BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Integrální počet jeho využití v ekonomii Vedoucí diplomové práce: RNDr. Mrtin Pvlčková, Ph.D. Rok odevzdání: 2011 Vyprcovl: Hn Králová ME, III. ročník

Prohlášení Prohlšuji, že jsem bklářskou práci vytvořil smosttně z vedení pní RNDr. Mrtiny Pvlčkové, Ph.D., že jsem v seznmu použité litertury uvedl všechny zdroje, ze kterých jsem při psní práce čerpl. V Července dne 15. dubn 2011

Poděkování Rád bych tímto poděkovl své vedoucí bklářské práce, pní RNDr. Mrtině Pvlčkové, Ph.D., z odbornou spolupráci, neustálou ochotu z čs, který mi věnovl. Poděkování si rovněž zslouží má rodin, která mne ve studiu podporovl.

Obsh Úvod 4 1 Neurčitý integrál 5 1.1 Primitivní funkce neurčitý integrál................ 5 1.2 Výpočet neurčitého integrálu..................... 8 2 Určitý integrál 13 2.1 Definice Riemnnov určitého integrálu............... 13 2.2 Vlstnosti Riemnnov určitého integrálu.............. 16 2.3 Výpočet Riemnnov určitého integrálu............... 18 3 Nevlstní integrál 21 3.1 Integrál jko funkce horní meze................... 21 3.2 Nevlstní integrál vlivem meze.................... 22 3.3 Výpočet nevlstního integrálu vlivem meze............. 24 3.4 Nevlstní integrál vlivem funkce................... 25 3.5 Výpočet nevlstního integrálu vlivem funkce............ 26 4 Aplikce integrálního počtu v ekonomii 29 4.1 Aplikce neurčitého integrálu.................... 29 4.1.1 Celkové nákldy celkové příjmy.............. 29 4.1.2 Tvorb kpitálu toky investic............... 32 4.2 Aplikce určitého integrálu...................... 34 4.2.1 Celkové nákldy celkové příjmy v čsovém intervlu... 34 4.2.2 Přebytek spotřebitele přebytek výrobce.......... 35 4.2.3 Tvorb kpitálu toky investic v čsovém intervlu.... 38 4.2.4 Spojité úročení........................ 39 4.2.5 Součsná budoucí hodnot příjmů............. 40 4.2.6 Lorenzov křivk Giniho koeficient............ 41 4.3 Aplikce nevlstního integrálu.................... 44 4.3.1 Věčný důchod......................... 44 4.3.2 Neomezený kpitálový příjem................ 45 Závěr 46 Seznm litertury 47

Úvod Tém mé bklářské práce Integrální počet jeho využití v ekonomii kždému jistě npoví, čím se zbývá co je jejím obshem. Práce se věnuje teorii integrálního počtu jeho ekonomickým plikcím, jkými jsou npříkld sledování nákldů příjmů v orgnizcích, tvorb kpitálu, insvestiční toky mnoho dlších. Široké spektrum prktického upltnění integrálního počtu mne rovněž vedlo k výběru dného témtu. Hlvním cílem práce je ukázt užití integrálního počtu v ekonomii ilustrování jednotlivých ekonomických problémů n názorných příkldech. Práce je rozdělen n mtemtickou ekonomickou (plikční) část. Mtemtická část čtenáři připomíná zákldní pojmy, vlstnosti vzthy týkjící se integrálního počtu. Ekonomická část již ukzuje jednotlivé plikce integrálů v ekonomii. První kpitol mtemtické části nás uvede do problemtiky integrálního počtu, seznámí nás s pojmy primitivní funkce neurčitý integrál předství zákldní vzthy pro počítání neurčitého integrálu. Druhá kpitol nás obeznámí s určitým integrálem, jeho zákldními vlstnostmi vzthy pro jeho výpočet. Třetí, zároveň poslední, kpitol mtemtické části se zbývá nevlstním integrálem vlivem meze i vlivem funkce jejich výpočty. První podkpitol ekonomické části, která se věnuje plikcím neurčitého integrálu v ekonomii, nstíní jednk teorii celkových mezních veličin, tké investic kpitálu. Druhá podkpitol, jež se zbývá plikcemi určitého integrálu v ekonomii, přímo nvzuje n plikce neurčitého integrálu z předchozí části nvíc jsou v ní ilustrovány nové plikce, jko je přebytek spotřebitele výrobce, spojité úročení, součsná budoucí hodnot příjmů nebo Lorenzov křivk Giniho koeficient. Poslední podkpitol ekonomické části práce pojednává o plikcích nevlstního integrálu, díky jehož vlstnostem lze rozšířit některé z plikcí integrálu určitého. 4

1 Neurčitý integrál Vznik rozvoj teorie neurčitého integrálu integrálního počtu obecně dtujeme od 17. 18. století. N vzniku diferenciálního integrálního počtu se podíleli zejmén Isc Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz brtři Jkob Johnn Bernoulliovi. Rozvíjeli již známá fkt týkjící se integrálního počtu podíleli se n vzniku symboliky, pojmů vzorců. V 18. století se tyto vědomosti zčly plikovt v dlších sférách, jko je npř. fyzik, sttistik ekonomie. Při zprcování kpitoly o neurčitém integrálu byly využity především zdroje [3], [7], [10], [12], [13], [14], [15] [17]. 1.1 Primitivní funkce neurčitý integrál Integrální počet úzce souvisí s počtem diferenciálním. Při derivování hledáme k funkci f funkci F tk, by f = F. Integrování je pk proces, při kterém nopk hledáme k funkci f funkci F tk, by F = f. Definice 1.1. Nechť f F jsou funkce definovné n intervlu I R. Řekneme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f n intervlu I, jestliže F (x) = f(x) x I. Poznámk 1.1. Je-li I intervl uzvřený, uvžujeme v koncových bodech příslušné jednostrnné derivce. Příkld 1.1. Primitivní funkcí k funkci f(x) = sin x n R je funkce F (x) = cos x, neboť ( cos x) = sin x x R. Primitivní funkce nemusí n určitém intervlu existovt pro kždou funkci, lze le dokázt následující tvrzení. Vět 1.1. Pro kždou funkci f spojitou n intervlu I existuje její primitivní funkce n intervlu I. Důkz této věty lze nlézt npř. v [10]. 5

Pro tvrzení z Věty 1.1 ovšem nepltí obrácená implikce. Spojitost funkce f n intervlu I totiž není nezbytnou podmínkou pro existenci primitivní funkce. Existují tedy i funkce, které nejsou n intervlu I spojité, le mjí n intervlu I primitivní funkci, což si ukážeme n následujícím příkldu. Příkld 1.2. Uvžujme funkci { ( ) (x F (x) = π 2 )2 1 cos, pro x π (x π 2 )2 2 0, pro x = π. 2 Pro x π bude 2 ( (x ) ( )) F (x) = π 2 ( ( 2 cos 1 (x = 2 x π ) cos π 2 )2 2 Pro x = π 2 bude F ( π 2 ) = lim x π 2 F (x) F ( π 2 ) x π 2 = lim x π 2 ( ) (x π 2 )2 cos 1 (x π 0 2 )2 x π 2 = 0. ) 1 + 2 (x π 2 )2 x π 2 ( sin ) 1 (x π 2 )2 Při výpočtu limity jsme využili tvrzení o limitě součinu funkce s nulovou limitou funkce omezené. Funkce F (x) je tedy n R primitivní k funkci. f(x) = { ( ) ( ) 2(x π) cos 1 + 2 1 sin, pro x π 2 (x π 2 )2 x π (x π 2 2 )2 2 0, pro x = π. 2 Funkce f(x) le není spojitá v bodě π, protože jednostrnné limity funkce 2 f(x) v bodě π 2 neexistují. Poznámk 1.2. O tom, že existují i funkce, které nemjí primitivní funkci, se přesvědčíme n následujícím příkldu. Pro to, bychom v příkldu ukázli, že primitivní funkce neexistuje, využijeme následující tvrzení. Vět 1.2. Nechť je dáno c R, δ > 0 funkce f : c, c+δ) R, která je spojitá zprv v bodě c, má vlstní derivci n (c, c + δ) lim x c + f (x) = A R. Potom má f derivci v bodě c zprv pltí f +(c) = A. 6

Důkz této věty lze nlézt npř. v [16]. Příkld 1.3. Uvžujme funkci f(x) = { 1, pro x (, b) b 0, pro x (, b), kde < < b <. Tkto definovná funkce f(x) popisuje hustotu prvděpodobnosti náhodné veličiny s tzv. rovnoměrným rozdělením prvděpodobnosti (viz npř. [9]). Rovnoměrné rozdělení nbývjí npříkld chyby při zokrouhlování čísel, chyby při odečítání údjů z lineárních měřicích přístrojů td. Funkce f(x) je definován n R, le nemá n R primitivní funkci, což lze dokázt npř. následovně. Předpokládejme, že existuje primitivní funkce F (x) k funkci f(x) n R. Pk je F spojitá n R, tj. spojitá zprv v bodě zlev v bodě b. Protože je F spojitá zprv v bodě protože pro kždé x (, b) pltí, že F (x) = f(x) = 1 b, vyplývá z Věty 1.2, že F +() = lim x + F (x) = lim x + f(x) = 1 b. To je le ve sporu s tím, že F +() = F () = f() = 0. Primitivní funkce F (x) k funkci f(x) tedy n R neexistuje. Poznmenejme, že obdobně bychom se dostli ke sporu tké při výpočtu F (b). Vět 1.3. Jestliže F je primitivní funkce k funkci f n intervlu I c R je libovolná konstnt, pk funkce G(x) = F (x) + c je rovněž primitivní funkcí k funkci f n I. Důkz: Pltí F (x) = f(x) (c) = 0. Potom tedy G (x) = f(x). Z Věty 1.3 plyne následující tvrzení. Má-li funkce f n intervlu I dvě různé primitivní funkce F G, pk se tyto funkce n celém intervlu liší právě o konstntu c. Poznámk 1.3. Primitivní funkce F n intervlu I tedy není určen jednoznčně. Pro jednu funkci f buď neexistuje žádná primitivní funkce, nebo jich existuje nekonečně mnoho liší se o reálnou konstntu c. 7

Nyní máme již vše podsttné zvedené, tk můžeme ndefinovt neurčitý integrál funkce f n intervlu I. Definice 1.2. Neurčitým integrálem funkce f n intervlu I nzýváme množinu všech primitivních funkcí k funkci f n intervlu I. Tj. f(x) dx = {F (x) + c ; c R, F je primitivní funkce k f}. Říkáme, že f je integrovná funkce, x je integrční proměnná dx je symbol, který určuje, podle které proměnné integrujeme. Poznámk 1.4. Symbol integrálu zvedl G. W. Leibnitz. Tento symbol má připomínt první písmeno slov summ. Souvislost mezi integrálem summou bude ukázán v kpitole Určitý integrál. 1.2 Výpočet neurčitého integrálu Proces, během kterého hledáme primitivní funkci F k funkci f, resp. neurčitý integrál, se nzývá integrování. Integrování je inverzní operce k derivování. Z této myšlenky vyplývjí následujicí vzthy. f (x) dx = f(x) ( f(x) dx) = f(x), x I. Při výpočtu neurčitého integrálu se řídíme následujícími prvidly, která vyplývjí ze vzorců pro derivování. dx = x + c, R, x R x n dx = xn+1 n+1 + c, n N, x R x α dx = xα+1 α+1 + c, α R \ { 1}, x R+ 1 dx = ln x + c, x R \ {0} x 8

e x dx = e x + c, x R x dx = x ln + c, R+ \ {1}, x R sin x dx = cos x + c, x R cos x dx = sin x + c, x R 1 dx = tg x + c, x R \ { π + k π, k Z} cos 2 x 2 1 dx = cotg x + c, x R \ {k π, k Z} sin 2 x 1 dx = rctg x + c, x R 1+x 2 1 1 x 2 dx = rcsin x + c, x ( 1, 1) f (x) dx = ln f(x) + c, f(x) 0 f(x) f(x + b)dx = 1F (x + b) + c, R \ {0}, b, c R Příkld 1.4. Njděte neurčitý integrál k funkci tg 2 x n intervlu (0, π 4 ). Řešení: tg 2 x dx = sin 2 x dx = 1 cos 2 x dx = tg x x + c, kde c R. cos 2 x cos 2 x Při výpočtech neurčitého integrálu se čsto setkáváme se součtem, resp. rozdílem více integrcí schopných funkcí, popřípdě s jejich konsttním násobkem. Následujicí vět ukzuje, jk je možné v tkovém přípdě postupovt. 9

Vět 1.4. Nechť mjí funkce f g své primitivní funkce n I nechť c R. Pk tké funkce f ± g, c f mjí své primitivní funkce n I pltí zde (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx, c f(x) dx = c f(x) dx. Důkz Věty 1.4 njdeme npř. v [12]. Příkld 1.5. Njděte neurčitý integrál k funkci 2 sin(3x + 1) n R. Řešení: Při hledání neurčitého integrálu využijeme vzorce pro integrování funkce sin x, vzorec f(x + b) dx = 1 F (x + b) + c prvidl pro integrování součinu konstnty funkce: 2 sin(3x + 1) dx = 2 sin(3x + 1) dx = 2 cos(3x + 1) + c. 3 Příkld 1.6. Njděte neurčitý integrál k funkci e x + x 3 + sin 2x + 5 n R. Řešení: Při hledání neurčitého integrálu opět využijeme kromě vzorců pro integrování elementárních funkcí vzorec f(x + b) dx = 1 F (x + b) + c prvidl pro integrování součtu: (e x + x 3 + sin 2x + 5) dx = e x dx + x 3 dx + sin 2x dx + 5 dx = e x + x4 4 1 cos 2x + 5x + c. 2 Příkld 1.7. Njděte neurčitý integrál k funkci (x 2 6) 2 n R. Řešení: Při hledání neurčitého integrálu využijeme zákldní vzorce zároveň prvidl pro integrování součtu: (x 2 6) 2 dx = (x 4 12x 2 + 36) dx = x5 5 4x3 + 36x + c. Při většině výpočtů neurčitého integrálu využíváme následující metody. Přitom je smozřejmě nezpomínáme kombinovt se zákldními vzorci, které již byly zmíněny. 10

Vět 1.5 (Metod per prtes). Nechť funkce u v mjí n intervlu I derivce u v. Existuje-li n I primitivní funkce k jedné z funkcí u v, uv, existuje tké k druhé z nich pltí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) Důkz Věty 1.5 njdeme npř. v [13]. u (x)v(x) dx. Poznámk 1.5. Metodu per prtes volíme v přípdech, kdy integrujeme součin dvou funkcí odlišného chrkteru. Obvykle se přitom řídíme následujicími prvidly: Z u(x) volíme funkce typu ln x, rctg x nebo polynom. Z v (x) volíme funkce typu sin x, cos x, e x nebo polynom. Vět 1.6 (První vět o substituci). Nechť je dán funkce f definovná n intervlu I 1 funkce φ, která má derivci n intervlu I 2. Nechť dále pltí, že φ(i 2 ) I 1. Jestliže funkce f má primitivní funcki F n intervlu I 1, pk F φ je primitivní funkcí funkce (f φ) φ n intervlu I 2 pltí následující vzth f(φ(x)) φ (x) dx = f(t) dt. Vět 1.7 (Druhá vět o substituci). Nechť je dán funkce f definovná n intervlu I 1 funkce φ, která má nenulovou derivci n intervlu I 2. Nechť dále pltí, že φ(i 2 ) I 1. Jestliže funkce (f φ) φ má primitivní funcki F n intervlu I 2, pk F φ 1 je primitivní funkcí funkce f n intervlu I 1 pltí následující vzth f(x) dx = f(φ(t)) φ (t) dt. Důkz Věty 1.6 Věty 1.7 njdeme npř. v [13]. Příkld 1.8. Njděte neurčitý integrál k funkci ln x x n intervlu (2, 3). Řešení: Neurčitý integrál njdeme použitím První věty o substituci pomocí Metody per prtes: ln x x dx = t = x dt = 1 2 dx = 2 ln t dt = u = ln t u = 1 t x v = 1 v = t = 2t ln t 2t = 2 x ln x 2 x + c, kde c R. 11 = 2t ln t 2 dt =

Příkld 1.9. Njděte neurčitý integrál k funkci 1 4x 2 n intervlu ( 1 2, 1 2 ). Řešení: Neurčitý integrál njdeme použitím Druhé věty o substituci: 1 4x2 dx = = 1 2 = 1 2 2x = sin t x = sin t 2 dx = 1 cos t dt 2 t = rcsin(2x) cos t cos t dt = 1 2 cos 2 t dt = = 1 sin 2 t 1 cos t dt = 2 cos 2 t = cos(2t) + sin 2 t cos 2 t = cos(2t) + 1 cos 2 t cos 2 t = cos(2t)+1 2 cos(2t)+1 2 = 1 4 1 2 sin 2t + 1 4 t + c = 1 8 2 sin t cos t + 1 4 t + c = = 1 2x 1 sin 2 t + 1 rcsin(2x) + c = x 1 4x 4 4 2 2 + 1 rcsin(2x) + c. 4 Poznámk 1.6. V prxi se čsto setkáváme s integrcí rcionálních funkcí, tj. funkcí ve tvru podílu dvou polynomů P m (x) Q n (x) proměnné x. Integrování rcionálních funkcí, u kterých n > m, řešíme pomocí metody, která se nzývá rozkld n prciální zlomky. Při integrci zdnou rcionální funkci vyjádříme jko součet prciálních zlomků, které jednotlivě zintegrujeme. Je-li m n, pk nejprve polynomy P m (x) Q n (x) vydělíme rozkld n prciální zlomky plikujeme n zbytek získný po jejich vydělení. Postup použití rozkldu n prciální zlomky v přípdě, kdy má jmenovtel reálné kořeny, si ukážeme n následujícím příkldu. Vzhledem k omezenému rozshu práce se přípdu, kdy jsou kořeny polynomu Q n (x) komplexní, nebudeme věnovt. Příkld 1.10. Njděte neurčitý integrál k funkci Řešení: = cos x dx = sin 2 x+sin x 2 t 2 +t 2 = (t 1)(t+2) 1 = A + B t 2 +t 2 t 1 t+2 1 = A(t + 2) + B(t 1) 1 = ta + 2A + tb B A = 1 B = 1 3 3 t = sin x dt = cos x dx = 1 t 2 +t 2 dt = = 1 3 = 1 ln sin x 1 1 ln sin x + 2 + c, kde c R. 3 3 = cos x n intervlu (0, π). sin 2 x+sin x 2 3 1 dt 1 1 dt = 1 ln t 1 1 ln t+2 +c = t 1 3 t+2 3 3 Více informcí o neurčitém integrálu lze nlézt npř. v [13]. 12

2 Určitý integrál Teorie určitého integrálu prošl dlouhým vývojem. O jeho definici se zsloužili vědci jko I. Newton, A. L. Cuchy, le v součsnosti se n určitý intergál nejčstěji díváme z pohledu B. Riemnn. 1 Odtud určitý integrál nzýváme jko Riemnnův určitý integrál. [17]. Při tvorbě této kpitoly byl využit zejmén litertur [3], [7], [10], [12], [13] 2.1 Definice Riemnnov určitého integrálu Uvžujeme nezápornou funkci f, která je definovná omezená n omezeném intervlu, b. Nším cílem je určit obsh plochy vymezené grfem funkce f, osou x přímkmi x = x = b. Abychom obsh plochy mohli přibližně vypočítt, rozdělíme intervl, b n n podintervlů n nich proximujeme skutečný obsh plochy obshy obélníků. y f xi xi+1 b x Definice 2.1. Konečná množin bodů D = {x 0, x 1,..., x n }, které leží v intervlu, b, se nzývá dělení intervlu, b, jestliže pltí = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Dělící body intervlu, b jsou body x 0, x 1,..., x n, i-tý dělící intervl je intervl x i 1, x i délk i-tého dělícího intervlu je x i = x i x i 1. 1 Německý mtemtik 19. století Bernhrd Riemnn rozšířil definici určitého integrálu i pro nespojité funkce. Předešlá Newtonov i Cuchyho definice určitého integrálu pltil pouze pro funkce spojité. 13

Pro kždý intervl, b můžeme nlézt nekonečně mnoho různých dělení množinu všech dělení intervlu, b znčíme D(, b ). Abychom mohli ndefinovt Riemnnův určitý integrál, je třeb nejprve zvést následující pojmy. Definice 2.2. Nechť je dán intervl, b, n kterém je funkce f omezená nechť D = {x 0, x 1,..., x n } je libovolné dělení intervlu, b. Oznčme pro všechn i = 1,... n m i = inf {f(x); x x i 1, x i }, tj. infimum funkčních hodnot f(x) n x i 1, x i M i = sup {f(x); x x i 1, x i }, tj. supremum funkčních hodnot f(x) n x i 1, x i. Pk můžeme definovt dolní, resp. horní Riemnnův součet funkce f při dělení D předpisy s(f, D) = n m i (x i x i 1 ) = i=1 n m i x i, resp. i=1 S(f, D) = n M i (x i x i 1 ) = i=1 n M i x i. i=1 Vět 2.1. Uvžujeme funkci f omezenou n intervlu, b, libovolná dělení tohoto intervlu D 1, D 2 D(, b ) infimum, resp. supremum funkčních hodnot 14

f(x) n intervlu, b m = inf {f(x); x, b }, resp. M = sup {f(x); x, b }. Pk bude pltit následující vzth m (b ) s(f, D 1 ) S(f, D 2 ) M (b ). Důkz Věty 2.1 njdeme npř. v [13]. Definice 2.3. Nechť je dán funkce f, která je omezená n intervlu, b. Pk dolním, resp. horním (Riemnnovým) integrálem funkce f n intervlu, b bude číslo f(x) dx = sup { s(f, D); D D(, b ) }, resp. f(x) dx = inf { S(f, D); D D(, b ) }. Definice 2.4. Nechť je dán funkce f, která je omezená n intervlu, b. Řekneme, že funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n, b, jestliže pltí následující vzth f(x) dx = f(x) dx. Tuto vlstnost funkce f znčíme f R(, b ) hodnotu, které se rovná dolní i horní Riemnův integál, nzýváme určitým Riemnnovým integrálem funkce f n intervlu, b znčíme jej f(x) dx ( b nebo (R) f(x) dx ). Před smotným výpočtem určitého integrálu je někdy vhodné ověřit, zd je funkce vůbec schopná integrce. Tedy zd splňuje podmínky integrovtelnosti, z nichž některé jsou blíže popsány v následujících řádcích. 15

Vět 2.2. Nechť je dán funkce f omezená n intervlu, b. Pk bude funkce f n intervlu, b integrce schopn (neboli f R(, b )) právě tehdy, když ε > 0 D D(, b ) : S(f, D) s(f, D) < ε. Vět 2.3. Nechť je dán funkce f, která je n intervlu, b monotónní. Potom f R(, b ). Vět 2.4. Nechť je dán funkce f, která je n intervlu, b spojitá. Potom f R(, b ). Důkzy Vět 2.2, 2.3 2.4 njdeme npř. v [14]. Poznámk 2.1. Typickým přípdem funkce, která není Riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b, je tzv. Dirichletov funkce. Blíže bude popsán v následujícím příkldu. Příkld 2.1. Uvžujme Dirichletovu funkci definovnou n intervlu 0, 1 předpisem χ(x) = { 1, pro rcionální x 0, 1 0, pro ircionální x 0, 1 Funkce χ(x) není n intervlu 0, 1 Riemnnovsky integrovtelná, neboť horní dolní Riemnnův integrál se sobě nerovnjí: 1 0 χ(x) dx = sup { s(χ, D); D D( 0, 1 ) } = 0, 1 0 χ(x) dx = inf { S(χ, D); D D( 0, 1 ) } = 1. 2.2 Vlstnosti Riemnnov určitého integrálu Dosud jsme uvžovli určitý integrál f(x) dx, v přípdě, kdy < b. Můžeme se le setkt i s přípdy, kde = b. Potom pltí f(x) dx = 0. V přípdech, kdy b < f R( b, ), definujeme f(x) dx = b 16 f(x) dx.

V následujících větách jsou uvedeny vlstnosti Riemnnov určitého integrálu, které je třeb zohledňovt při výpočtech R-integrálů. Pro zákldní lgebrické operce s určitým integrálem, jko je npříkld sčítání, odčítání násobení integrálu konstntou, pltí podobné vlstnosti jko pro neurčitý integrál. Vět 2.5. Nechť jsou dány funkce f, g R(, b ). Potom tké f + g R(, b ) pltí ( ) b f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. Vět 2.6. Nechť f R(, b ), c R. Potom tké c f R(, b ) pltí c f(x) dx = c f(x) dx. Vět 2.7. Nechť jsou dány funkce f, g R(, b ). Potom tké f g R(, b ). Vět 2.8. Nechť jsou dány funkce f, g R(, b ) reálné číslo c > 0 tkové, že g(x) c n, b. Potom bude pltit, že f R(, b ). g Vět 2.9. Nechť jsou dány funkce f, g R(, b ) nechť pltí f(x) g(x) x, b. Potom tké f(x) dx g(x) dx. Vět 2.10. Nechť je dán funkce f R(, b ) čísl k, K R tková, že k f(x) K x, b. Potom bude pltit následující vzth: k (b ) f(x) dx K (b ). Důkzy Vět 2.5, 2.6, 2.9, 2.10 njdeme npř. v [10] důkzy Vět 2.7 2.8 njdeme npř. v [13]. Následující vět nám říká, že určitý integrál funkce n dném intervlu můžeme vyjádřit jko součet integrálů funkce přes jednotlivé subintervly. 17

Vět 2.11. Nechť < c < b, kde, b, c R nechť f R(, c ) f R( c, b ). Potom f R(, b ) pltí f(x) dx = c f(x) dx + c f(x)dx. Důkz Věty 2.11 njdeme npř. v [10]. Vět 2.12. Nechť f R(, b ) nechť pltí, že c, d, b. Potom tké f R( c, d ). Důkz Věty 2.12 lze nlézt npř. v [13]. 2.3 Výpočet Riemnnov určitého integrálu Při výpočtu Riemnnov určitého integrálu používáme stejné metody jko při výpočtu neurčitého integrálu (tj. substituční metodu metodu per prtes). Je všk třeb nejprve zvést Newton-Leibnizův vzorec. Vět 2.13 (Newton-Leibnizův vzorec). Nechť je dán funkce f R(, b ) nechť F je její primitivní funkcí n, b. Potom pltí f(x) dx = F (b) F () [ F (x) ] b. Důkz Věty 2.13 njdeme npř. v [13]. Příkld 2.2. Vypočítejte obsh plochy vymezené grfem funkce sin x, osou x přímkmi x = 0 x = 2π. Řešení: π sin x dx = [ cos x ] π = cos π ( cos 0) = 2. 0 0 Obsh plochy vymezené grfem funkce sin x, osou x přímkmi x = 0 x = 2π bude tedy roven 4. y f 0 π 2π x 18

Vět 2.14 (Metod per prtes). Nechť funkce u v mjí derivce n intervlu, b nechť u, v R(, b ). Potom u(x)v (x) dx = [ u(x)v(x) ] b }{{} u(b)v(b) u()v() u (x)v(x) dx Důkz Věty 2.14 njdeme npř. v [13]. Příkld 2.3. Njděte určitý integrál k funkci x ln x n intervlu 1, 2. Řešení: 2 x ln x dx = u = ln x u = 1 x 1 v = [ x 2 = x v = ln x] 2 2 1 x2 dx = 2 ln 2 x2 2 1 1 x 2 2 1 ln 1 1 2 x dx = 2 ln 2 [ 1 x 2 ] 2 = 2 ln 2 3. 2 2 1 2 2 1 4 y f 0 1 2 x Vět 2.15 (První vět o substituci). Nechť je dán spojitá funkce f definovná n intervlu, b funkce φ, která má derivci n intervlu α, β pltí, že φ je n tomto intervlu integrovtelná. Nechť dále pltí, že φ( α, β ), b. Potom β (f(φ(x)) φ (x) dx = φ(β) α φ(α) f(t) dt. Vět 2.16 (Druhá vět o substituci). Nechť je dán spojitá funkce f definovná n intervlu, b funkce φ, která má nenulovou derivci n intervlu α, β nechť φ je n tomto intervlu integrovtelná. Nechť dále pltí, že φ( α, β ) =, b. Potom f(x) dx = β α Důkz Vět 2.15 2.16 njdeme npř. v [13]. 19 (f(φ(t)) φ (t) dt.

Příkld 2.4. Njděte určitý integrál k funkci x+1 (x 2 +2x+3) 2 n intervlu 0, 1. Řešení: 1 0 = 1 12 + 1 6 = 1 12. x+1 dx = (x 2 +2x+3) 2 t = x 2 + 2x + 3 dt = (2x + 2) dx x = 0 : t = 3 x = 1 : t = 6 = 1 2 6 3 [ dt = ] 1 t 2 2 t 1 6 = 3 y f -2-1 0 1 2 x Poznámk 2.2. Význmným plikcím určitého integrálu v ekonomii bude věnován zvláštní kpitol. 20

3 Nevlstní integrál N nevlstní integrál funkce jedné proměnné se lze dívt jko n zobecnění Riemnnov určitého integrálu. Riemnnův určitý integrál, kterému byl věnován předchozí kpitol, zjednodušeně splňuje dvě kritéri. První kritérium říká, že intervl, n kterém funkci integrujeme, musí být omezený. Druhé kritérium zse znmená, že integrovná funkce musí být n dném intervlu omezená. V prxi se můžeme setkt s přípdy, kdy je některé z těchto kritérií porušeno. V tkovém přípdě hovoříme o nevlstním integrálu. Tto kpitol byl sepsán z pomocí litertur [12], [13] [18]. 3.1 Integrál jko funkce horní meze Pro správné pochopení pojmu nevlstní integrál je vhodné nejprve ndefinovt integrál jko funkce horní meze. Definice 3.1. Nechť je dán funkce f Riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b. Potom pro všechn t, b existuje funkce F (t) = t f(x) dx kterou nzýváme integrál jko funkce horní meze. 2 Pro výše zmíněnou funkci horní meze pltí řd vlstností. Některé z nich jsou zmíněny v následujících větách. Vět 3.1. Nechť je dán Riemnnovsky integrovtelná funkce f n intervlu, b. Potom bude funkce F (t) = t f(x) dx n intervlu, b spojitá. Vět 3.2. Nechť je dán funkce f Riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b funkce F (t) = t f(x) dx, kde t, b. Pk pltí, že v kždém bodě t 0, b, v němž je funkce f spojitá, má funkce F vlstní derivci pltí F (t 0 ) = f(t 0 ). 2 Obdobně bychom mohli ndefinovt i integrál jko funkci dolní meze G(t) = f(x) dx pro t t, b. 21

Je-li t 0 = nebo t 0 = b, jedná se o jednostrnné derivce. Důkzy Vět 3.1 3.2 njdeme npř. v [13]. Jk již bylo nznčeno v úvodu kpitoly, rozlišujeme dv typy nevlstního integrálu v závislosti n porušení jednoho z kritérií Riemnnov určitého integrálu. V přípdě, že intervl, n kterém integrujeme dnou funkci, není omezený, mluvíme o nevlstním integrálu vlivem meze. V přípdě, že integrovná funkce není n dném intervlu omezená, mluvíme o nevlstním integrálu vlivem funkce. Body, v jejichž okolí není integrovná funkce omezená nebo nevlstní body, nzýváme singulární body. Tkových singulárních bodů uvžujeme pouze konečný počet. Definice 3.2. Nechť je dán bod c R, kde c b. Jestliže c = nebo c = nebo je-li funkce f n okolí bodu c neomezená, nzveme bod c singulárním bodem integrce funkce f n intervlu (, b). Výpočet nevlstních integrálů provádíme pomocí limit. Jedná-li se o vlstní limitu, tvrdíme, že nevlstní integrál konverguje. Nopk, jedná-li se o nevlstní limitu (nebo limit neexistuje), tvrdíme, že nevlstní integrál diverguje. Tento zjednodušený pohled n výpočet nevlstních integrálů bude následně zpřesněn. 3.2 Nevlstní integrál vlivem meze Nevlstním integrálem vlivem meze obecně rozumíme integrál, u kterého je lespoň jedn z mezí nevlstní. y f b= 22 x

Definice 3.3. Nechť je dán funkce f definovná n intervlu, ) nechť pro kždé t (, ) existuje integrál t f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim t t f(x) dx, říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje 3 (existuje). Existuje-li tento nevlstní integrál, definujeme jej vzthem f(x) dx = lim t t f(x) dx. Je-li limit nevlstní nebo neexistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje. Definice 3.4. Nechť je dán funkce f definovná n intervlu (, b nechť pro kždé t (, b) existuje integrál f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim t t t f(x) dx, říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje (existuje). Existuje-li tento nevlstní integrál, definujeme jej vzthem f(x) dx = lim t t f(x) dx. Je-li limit nevlstní nebo neexistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje. Definice 3.5. Nechť je funkce f definovná n intervlu (, ) nechť konvergují ob nevlstní integrály c f(x) dx (1) c f(x) dx (2), kde c R. Pk říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje (existuje) definujeme jej vzthem f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx, c R. Diverguje-li spoň jeden z integrálů (1) (2), pk říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx diverguje. Přesný postup výpočtu nevlstního integrálu vlivem meze bude popsán v následující podkpitole plikován n konkrétním příkldě. 3 Kritéri konvergence pro nevlstní integrály lze njít npř. v [13]. 23

3.3 Výpočet nevlstního integrálu vlivem meze Známe-li primitivní funkci F k funkci f n uzvřeném intervlu, který neobshuje singulární body integrce, můžeme nevlstní integrál f(x) dx počítt pomocí modifikovného Newton-Leibnizov vzorce. ( t ) ( f(x) dx = lim f(x) dx = lim [F (x)] t ( ) t t ) = lim F (t) F () t ( ) ( ) f(x) dx = lim f(x) dx = lim [F (x)] b ( ) t t t t = lim F (b) F (t) t f(x) dx = = c f(x) dx+ ( ) F (c) lim F (t) + t c ( f(x) dx = lim t ) lim F (u) F (c) u c t f(x) dx+ lim u u c f(x) dx = = lim u F (u) lim t F (t) Příkld 3.1. Vypočítejte nevlstní integrál k funkci e 2x n intervlu 0, ) rozhodnětě o jeho konvergenci. Řešení: ( e 2x t [ ) dx = lim 0 t 0 e 2x 1 dx = lim e 2x] t t 2 0 = lim t ( 1 2 e 2t + 1 2 e0 ) = 1 + 1 2 = 1 2. Nevlstní integrál je roven 1 2 konverguje. = y 1 f 0 x 24

3.4 Nevlstní integrál vlivem funkce Nevlstním integrálem vlivem funkce obecně rozumíme integrál funkce, která není n dném intervlu, b omezená. y f b x Definice 3.6. Nechť je dán funkce f definovná n omezeném intervlu, b), která není omezená n žádném levém okolí bodu b nechť pro kždé t, b) existuje integrál t f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim t b t f(x) dx, říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje (existuje). Existuje-li nevlstní integrál, pk jej definujeme vzthem f(x) dx = lim t b t f(x) dx. Je-li limit nevlstní nebo neexistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje. Definice 3.7. Nechť je dán funkce f definovná n omezeném intervlu (, b, která není omezená n žádném prvém okolí bodu nechť pro kždé t (, b existuje integrál t f(x) dx. Existuje-li vlstní limit lim t + t f(x) dx, říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje (existuje). Existuje-li nevlstní integrál, definujeme jej vzthem 25

f(x) dx = lim t + t f(x) dx. Je-li limit nevlstní nebo neexistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje. Definice 3.8. Nechť je dán funkce f definovná n, c) (c, b, která není omezená n žádném okolí bodu c nechť konvergují ob nevlstní integrály c f(x) dx (3) c f(x) dx (4). Pk říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje (existuje) definujeme jej vzthem f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Diverguje-li lespoň jeden z integrálů (3) (4), říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx diverguje. 3.5 Výpočet nevlstního integrálu vlivem funkce Nevlstní integrál vlivem funkce lze obdobně jko nevlstní integrál vlivem meze počítt pomocí modifikovného Newton-Leibnizov vzorce opět z podmínky, že je znám primitivní funkce F k funkci f n uzvřeném intervlu neobshujícím singulární body integrce. Nechť f není omezená n žádném okolí bodu b: f(x) dx = lim t b t Nechť f není omezená n žádném okolí bodu : f(x) dx = lim t + t f(x) dx = lim t b ( [F (x)] t ) = lim t b ( F (t) F () ) ( f(x) dx = lim [F (x)] b ) ( ) t + t = lim F (b) F (t) t + Nechť f není omezená n žádném okolí bodu c (, b): f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx = lim t c 26 t f(x) dx + lim u c + u f(x) dx =

( ) = lim F (t) F () + t c ( ) F (b) lim F (u) u c + 1 Příkld 3.2. Vypočítejte nevlstní integrál k funkci n intervlu 0, 1 3 (1 x) 2 rozhodnětě o jeho konvergenci. Řešení: Při hledání nevlstního integrálu využijeme modifikovného Newton- Leibnizov vzorce pro výpočet nevlstního integrálu vlivem funkce, neboť intervl, n kterém integrujeme funkci, je omezený přitom D f 1 0, 1 lim 1 0 3 1 = 1 x 1 (1 x) 2 1 t dx = lim 3 (1 x) 2 t 1 0 0 + = +. ( 1 [ 3 dx = lim 3 1 x ] t 3 (1 x) 2 t 1 0 = lim t 1 (3 3 1 t + 3) = 3. Nevlstní integrál je roven 3 konverguje. ) = = R {1}, kde y f 0 1 x Dosud jsme uvžovli nevlstní integrály s mximálně dvěm singulárními body. V prxi se všk můžeme setkt i s funkcemi, které mjí n intervlu, b n singulárních bodů, kde n > 2. V tkovém přípdě intervl, b rozdělíme n n podintervlů (c i 1, c i ) tk, že = c 0 < c 1 < c 2 < < c n 1 < c n = b. Řekneme, že nevlstní integrál funkce f n intervlu, b konverguje, konvergují-li všechny integrály c i c i 1 f(x) dx, i = 1,... n definujeme f(x) dx = n i=1 ci c i 1 f(x) dx. Diverguje-li lespoň jeden z integrálů c i c i 1 f(x) dx, i = 1,... n, potom diverguje tké nevlstní integrál funkce f n intervlu, b. 27

Příkld 3.3. Vypočítejte nevlstní integrál k funkci 1 (x+3) x+2 2, ) rozhodněte o jeho konvergenci. n intervlu Řešení: Protože je funkce definovná n D f = ( 2, ), kde 2 2, ) zároveň 1 lim x 2 (x+3) x+2 = 1 = +, jedná se o nevlstní integrál vlivem funkce + 0 + i meze se dvěm singulárními body 2. Nejprve njdeme primitivní funkci: t = x + 2 1 (x+3) x+2 dx = t 2 = x + 2 x = t 2 = 1 2 2t dt = 2 1 dt = 2 rctgt + c = (t 2 +1) t t 2 +1 dx = 2t dt = 2 rctg x + 2 + c. Nyní vyřešíme nevlstní integrál: I = 1 2 1 (x+3) x+2 dx + 1 1 (x+3) x+2 dx = lim [ ] 1 2 rctg x + 2 + t 2 + t [ ] u + lim 2 rctg x + 2 = lim u 1 t 2 +(2 rctg1 2 rctg t + 2)+ lim (2 rctg u + 2 u 2 rctg1) = π. Nevlstní integrál je roven π konverguje. y f -2 + x Poznámk 3.1. Aplikcím nevlstního integrálu v ekonomii bude věnován zvláštní kpitol. 28

4 Aplikce integrálního počtu v ekonomii Integrální počet má velký význm užití v ekonomii, fyzice, sttistice, chemii v dlších sférách. Jednotlivé plikce neurčitého, určitého nevlstního integrálu v ekonomii budou popsány v následujících kpitolách. 4.1 Aplikce neurčitého integrálu Neurčitý integrál je v ekonomické prxi využíván zejmén pro výpočet celkových nákldů, celkových příjmů nebo pro popsání tvorby kpitálu v závislosti n čse. Před smotným popisem těchto plikcí neurčitého integrálu si nejprve zvedeme některé důležité pojmy: Nákldy rozumíme spotřebu výrobních prostředků v peněžních jednotkách. Příjmy jsou přírůstky peněžních prostředků. Kpitálem jsou prostředky, které investujeme z účelem zisku. V následující podkpitole bude popsáno, jk lze neurčitým integrálem získt informce o celkových nákldech celkových příjmech. 4.1.1 Celkové nákldy celkové příjmy Celkové nákldy znčíme T C 4 funkci, která popisuje celkové nákldy n vyrobení x výrobků, znčíme T C(x) pltí pro ni vzth T C(x) = K + V (x), kde K jsou fixní nákldy, které se nemění s objemem produkce, V (x) jsou vribilní nákldy, které se nopk s objemem produkce mění. Funkci, která popisuje průměrné nákldy n výrobu jednoho výrobku při vyrobení x výrobků, znčíme AC(x) pltí pro ni vzth AC(x) = T C(x). x 4 Oznčení celkových nákldů T C vychází z nglického názvosloví totl cost. Dále zmíněné průměrné nákldy AC vychází z verge cost mezní nákldy MC z mrginl cost. Obdobné znčení pltí i pro příjmy R (revenue). 29

Pomocí celkových nákldů lze tké zjistit nákldy n výrobu x-tého výrobku, které znčíme C(x) lze je popst funkcí C(x) = T C(x) T C(x 1). Nákldy n výrobu x-tého výrobku lze ilustrovt pomocí následujícího motivčního obrázku. TC TC(x) TC(x) C t B TC(x-1) A x-1 x x Nákldy n výrobu x-tého výrobku C(x) jsou v obrázku určené úsečkou AC. Jestliže funkci T C(x) v bodě x 1 proximujeme tečnou t, lze tyto nákldy C(x) přibližně nhrdit úsečkou AB, tedy diferenciálem funkce T C(x) v bodě x 1 pro přírůstek x = x (x 1). To znmená, že C(x) dt C(x 1) = T C (x 1) x = T C (x 1). Z obrázku vidíme, že hodnot T C (x 1) určuje mezní hodnoty funkce C(x). V tomto přípdě (u funkce s konvexním průběhem) T C (x 1) určuje dolní krjní možnou hodnotu funkce C(x). Proto zvádíme funkci mezních nákldů, pro kterou pltí MC(x) = T C (x). Mezní (neboli mrginální) nákldy MC(x) v bodě x 1 tedy přibližně udávjí nákldy n výrobu x-tého výrobku. Nyní se již dostáváme k smotné plikci neurčitého integrálu. Jelikož integrování je inverzní operce k derivování, využijeme vzth MC(x) = T C (x) 30

je-li známá funkce mezních nákldů M C(x), lze pomocí neurčitého integrálu vypočítt funkci celkových nákldů T C(x) ze vzthu T C(x) = MC(x) dx. Příkld 4.1. Jsou dány mezní nákldy popsné funkcí MC(x) = 10 2 e 0,3x v Kč. Njděte funkci celkových nákldů T C(x) zjistěte celkové nákldy n výrobu 20 výrobků, jestliže známe fixní nákldy K = 3 10 3 Kč. Řešení: T C(x) = 10 2 e 0,3x dx = 103 3 e0,3x + c. Abychom určili integrční konstntu c, využijeme vzth T C(x) = K + V C(x), kde fixní nákldy nezávisí n objemu produkce, proto pro x = 0 budou celkové nákldy rovny fixním nákldům: 10 3 T C(0) = K 3 e0,3 0 + c = 3 10 3 c = 3 10 3 103 3 = 8 3 103 Celkové nákldy n výrobu 20 výrobků budou: T C(20) = 103 3 e0,3 20 + 8 3 103 = 137 142, 93 Kč. Nyní si ukážeme, jk lze pomocí neurčitého integrálu vypočítt i celkový příjem. Celkový příjem T R(x) je množství peněžních prostředků získných z prodeje x výrobků pro jeho výpočet pltí vzth T R(x) = P x, kde P je cen jednoho výrobku x je množství prodných výrobků. Funkce AR(x) udává průměrný příjem z jednoho prodného výrobku při x prodných výrobcích pltí AR(x) = T R(x). x 31

Mezním příjmem rozumíme přibližnou změnu celkových příjmů v důsledku změny prodeje o jednotku obdobným postupem jko u již zmíněné nákldové funkce bychom dospěli ke vzthu MR(x) = T R (x), tedy T R(x) = MR(x) dx. Poznámk 4.1. Obecně lze vzthu mezi celkovou mezní veličinou využít tké u jiných veličin (npř. u užitku), kdy celkovou veličinu získáme zintegrováním veličiny mezní. Příkld 4.2. Jsou dány mezní příjmy popsné funkcí MR(x) = ( ) 2x 3 x 100 e 2 v Kč. Njděte funkci celkových příjmů T R(x) zjistěte celkové příjmy z prodeje 10 výrobků. Řešení: Celkové příjmy získáme zintegrováním mezních příjmů z použití Metody per prtes: T R(x) = ( ) 2x 3 x 100 e 2 dx = u = 2x 3 u = 2 100 v = e x 2 v = 2e x 2 4 e x 2 = ( ) 4x 3 x 50 e 2 8e x 2 + c = e x 2 (4x 403 50 ) + c. = ( ) 2x 3 x 100 2e 2 Abychom určili integrční konstntu c, využijeme vzth T R(x) = P x, ve kterém bude pro x = 0 pltit: T R(0) = 0 ( e 0 2 4 0 403 ) + c = 0 50 c = 403 50. Celkové příjmy z prodeje 10 výrobků budou: T R(10) = e 10 2 (4 ) 10 403 50 + 403 = 4 748, 38 Kč. 50 Dlší plikcí neurčitého integrálu v ekonomii je teorie tvorby kpitálu. 4.1.2 Tvorb kpitálu toky investic Tvorbou kpitálu rozumíme proces hospodářské ktivity, při kterém se tvoří peněžní prostředky, které jsou následně použity k investování. Sledujeme-li tento 32

proces v čse, lze zákldní kpitál vyjádřit jko funkci čsu K(t). Pomocí derivce této funkce lze určit míru tvorby kpitálu K (t), kterou lze ztotožnit s mírou toku čisté investice v čse t, oznčovnou I(t), tj. K (t) = I(t). Z této rovnice lze vyjádřit vzth pro výpočet zákldního kpitálu v čse t, tj. K(t) = I(t)dt. Příkld 4.3. Je dán čistý investiční tok I(t) = 25 3 t 2 v Kč. Zákldní kpitál v čse t(0) je 1000 Kč. Určete změnu kpitálu v závislosti n čse. Řešení: 25 3 t 2 dt = 25 t 5 3 5 + c = 15 3 t 5 + c. 3 Integrční konstntu c vypočítáme pro t = 0: 1000 = 15 3 0 5 + c c = 1000. Zákldní kpitál bude tedy v čse t roven K(t) = 15 3 t 5 + 1000 Kč. Při tvorbě kpitoly Aplikce neurčitého integrálu byly využity především zdroje [3], [4], [5], [6], [8] [11]. 33

4.2 Aplikce určitého integrálu Kromě neurčitého integrálu nlézá v ekonomii upltnění tké integrál určitý. Díky integrčním mezím určitého integrálu můžeme npříkld pozorovt různé ekonomické ukztele v čse. Široké spektrum plikcí určitého integrálu v ekonomii bude v této kpitole postupně vysvětleno předvedeno n prktických příkldech. Při zprcování této kpitoly byly využity zdroje [1], [2], [3], [5], [6], [8] [11]. 4.2.1 Celkové nákldy celkové příjmy v čsovém intervlu První plikce určitého integrálu v ekonomii nvzuje n teorii, které byl věnován předchozí podkpitol, v níž jsme zjišťovli celkové veličiny pomocí známých mezních veličin. Nyní budeme schopni pomocí určitého integrálu sledovt celkové veličiny i v nějkém čsovém intervlu. Obecně pltí, že známe-li spojitou funkci f(t), která popisuje nákldy nebo příjmy v čse t, kde t t 1, t 2, můžeme z použití určitého integrálu vypočítt celkové nákldy nebo celkové příjmy z dný čsový intervl t 1, t 2, tj. T C(t 1, t 2 ) = t2 t 1 f(t) dt, resp. T R(t 1, t 2 ) = t2 t 1 f(t) dt. Příkld 4.4. Určete celkový příjem z období prvních 3 let, je-li známá funkce f(t) = 10t e (2t+1) v Kč, která popisuje příjem v čse t, přičemž jednotkou čsu je 1 rok. Řešení: Při výpočtu určitého integrálu, jehož integrční meze budou 0 3, využijeme První větu o substituci i Metodu per prtes: T R(0, 3) = 3 0 10t e(2t+1) dt = z = 2t + 1 t = z 1 dz = 2 dt t = 0 : z = 1 t = 3 : z = 7 34 = 5 2 7 1 (z 1) ez dz =

= u = z 1 u = 1 v = e z v = e z = ( 5 2 [(z 1) e z ] 7 1 7 ez) = 5 1 2( 6e 7 [e z ] 7 ) 1 = = 5 2( 6e 7 (e 7 e 1 ) ) = 13 714, 71 Kč. 4.2.2 Přebytek spotřebitele přebytek výrobce Dlší plikce určitého integrálu se týká trhu výrobků služeb, proto zmíníme následující důležité pojmy: Nbídkou rozumíme množství zboží, které je výrobce ochoten prodávt při různých úrovních ceny. Poptávkou rozumíme množství zboží, které je spotřebitel ochoten nkoupit při různých úrovních ceny. Dokonlá konkurence je teoretický model trhu, n kterém je v dném odvětví velký počet nkupujících prodávjících, le žádný není schopen ovlivnit cenu. Dlším znkem je volný vstup do dného odvětví homogenní produkty. Zákldním předpokldem následujících úvh je rovnováh n dokonle konkurenčním trhu. Rovnováh n trhu nstává v okmžiku, kdy se nbízené množství rovná poptávnému množství. Tkové množství se nzývá rovnovážné množství, které znčíme x 5 E. Rovnovážnému množství odpovídá rovnovážná cen, kterou znčíme P E. Pro funkci nbídky s(x) pro funkci poptávky d(x) bude při rovnovážném množství pltit vzth s(x) = d(x). P s P E E d x E x 5 Oznčení pro rovnováhu E vychází z nglického equilibrium. Dále zmíněné oznčení pro nbídku s je odvozeno od supply pro poptávku d od demnd. 35

V prxi se můžeme setkt se situcí, kdy jsou spotřebitelé ochotni nkupovt dný výrobek z cenu vyšší než je P E, v tkovém přípdě vzniká tzv. přebytek spotřebitele. V následujícím obrázku je přebytek spotřebitele ilustrován jko rozdíl mezi největší částkou, kterou je spotřebitel ochoten zpltit z dné množství výrobků, částkou, kterou spotřebitel skutečně pltí. Tuto úvhu lze zpst pomocí integrálu, tj. P S = xe 0 d(x) dx x E P E. P P E d x E x Přebytek výrobce zse vzniká v přípdě, kdy jsou výrobci ochotni prodávt nbízné množství z cenu nižší než je P E. Tuto situci lze opět ukázt n obrázku, ve kterém je přebytek výrobce předstven jko rozdíl mezi nejmenší částkou, z kterou je výrobce ochoten prodt dné množství výrobků, cenou, z kterou dný výrobek skutečně prodl, tj. P V = x E P E xe 0 s(x) dx. P s P E x E x 36

Příkld 4.5. Určete přebytek spotřebitele přebytek výrobce, jestliže je známá funkce poptáky d(x) = 50 2x 2 v Kč funkce s(x) = 2(2x + 1), která popisuje nbídku dného výrobku je rovněž vyjádřená v Kč. Řešení: Abychom mohli úlohu vyřešit, je nutné nejprve zjistit rovnovážné množství rovnovážnou cenu. Rovnovážné množství vypočítáme z rovnosti d(x) = s(x): 50 2x 2 = 2(2x + 1) x 2 + 2x 24 = 0 Kořeny kvdrtické rovnice jsou x 1 = 4 x 2 = 6. Rovnovážné množství tedy bude x E = 4, neboť záporná hodnot druhého kořene rovnice zde nemá smysl. Rovnovážnou cenu vypočítáme z jedné z rovnic doszením x E : P E = 50 2 4 2 = 18 Kč. Nyní jsme schopni vypočítt přebytek spotřebitele i výrobce: P S = 4 (50 0 2x2 ) dx 4 18 = [ 50x 2x3] 4 72 = 157, 33 72 = 85, 33 Kč. 3 0 P V = 4 18 4 2(2x + 1) dx = 72 0 [2x2 + 2x] 4 0 = 72 40 = 32 Kč. P d P P E s P E x 0 x x 0 x Přebytek spotřebitele Přebytek výrobce 37

4.2.3 Tvorb kpitálu toky investic v čsovém intervlu V jedné z předchozích podkpitol, která se věnovl plikcím neurčitého integrálu, jsme tvorbu kpitálu vysvětlili jko funkci čsu ukázli pro ni vzth v čse t: K (t) = I(t). Pomocí určitého integrálu nvíc budeme schopni tuto funkci pozorovt v nějkém čsovém intervlu t 1, t 2. Známe-li funkci čistých investic I(t), pk bude pro tvorbu kpitálu K(t) během čsového intervlu t 1, t 2 pltit vzth K(t) = t2 t 1 I(t) dt. Obdobně lze kpitál sledovt již od počátku jeho tvorby. Tvorbu kpitálu tedy můžeme definovt pro čsový intervl 0, t 1 vzthem K(t) = t1 0 I(t) dt. A protože lze uvedený integrál rozepst podle Newton-Leibnizov vzthu, tj. t1 I(t) dt = 0 [K(t)]t 1 0 = K(t 1 ) K(0), můžeme z něj odvodit velikost kpitálu v čse t 1, tj. K(t 1 ) = K(0) + kde K(0) je počáteční zákldní kpitál. t1 0 I(t) dt, Následující příkld bude vycházet ze stejného zdání jko Příkld 4.3, tentokrát všk budeme sledovt velikost kpitálu v dném čsovém intervlu. Příkld 4.6. Nechť je dán investiční tok I(t) = 25 3 t 2 v tis. Kč. Určete tvorbu kpitálu během pátého ž desátého roku. Řešení: Ze zdání určíme čsový intervl, během kterého kpitál sledujeme, tj. 4, 10. Nyní můžeme řešit určitý integrál s integrčními mezemi 4 10: 10 4 25 3 t 2 dt = 25 [ t 5 3 5 3 ] 10 4 = 15 3 10 5 15 3 4 5 = 545, 05 tis. Kč. 38

4.2.4 Spojité úročení Před zvedením smotné plikce určitého integrálu, týkjící se spojitého úročení, nejprve ndefinujeme zákldní pojmy týkjící se této problemtiky: Úrokem rozumíme cenu, z kterou veřitel poskytne půjčku dlužníkovi. Úročením rozumíme proces výpočtu úroku. Úroková mír je hodnot úroku v procentech z dné období. Úrokové období je čsový intervl, n jehož konci je úrok připsán. Spojité úročení je zvláštním přípdem področního úročení, kdy se intervly připisování úroků nekonečně zkrcují. Spojité úročení je zároveň složeným úročením, u nějž pro spltnou částku n konci n-tého roku pltí vzth K n = K 0 (1 + i) n, kde K 0 je počáteční kpitál i je úroková mír. U spojitého úročení se setkáváme s efektivní úrokovou mírou i e, což je roční úroková mír, která nám při čstém připisování úroků dává stejný úrok jko roční úroková mír pltí 1 + i e = ( 1 + i m) m, kde m je frekvence připisování úroků. Jk již bylo řečeno, délk úrokovcích období se u spojitého úročení nekonečně zkrcuje, tedy klesá k nule, pomocí limitního vyjádření definice eulerov čísl bude pltit ( ) 1 + i e = lim (1 + i m 0 m )m = lim (1 + 1 m ) m i i = e i. m 0 i Pro spltnou částku n konci n-tého roku u spojitého úročení při úrokové míře i bude tedy pltit K n = K 0 e i n. 39

Uvžujeme-li úrokovou míru i proměnnou v čse t, vypočítáme spltnou částku při spojitém úročení z použití určitého integrálu pomocí vzthu K n = K 0 e n 0 i(t) dt. Příkld 4.7. Jký musel být počáteční vkld, jestliže se po 2 letech 9 měsících zúročil n 25 000 Kč při spojitém úročení s úrokovou szbou i(t) = proměnnou v čse t, kde t je v letech. 5t2 % 1+t 2 Řešení: Nejprve vypočítáme určitý integrál proměnné úrokové míry v čse t tk, že úrokovou szbu i v % vydělíme 100, bychom ji převedli n intervl 0, 1 : 1 2,75 5t 2 dt = 5 2,75 t 2 +1 1 dt = 5 2,75 1 dt 5 2,75 1 dt = 100 0 1+t 2 100 0 1+t 2 100 0 100 0 1+t 2 = 5 100 [t]2,75 0 5 [rctg t]2,75 100 0 = 0, 0764. Nyní již můžeme zjistit počáteční hodnotu kpitálu z rovnice K n = K 0 e n 0 i(t) dt : K 0 = 25 000 25 000 2,75 = 5t 2 0 e 1+t2 dt e 0,0764 = 23 161, 14 Kč. 4.2.5 Součsná budoucí hodnot příjmů Dlší plikce určitého integrálu v ekonomii spočívá v úloze njít počáteční hodnotu kpitálové investice, která by nám při spojitém úročení i % ročním úroku zjistil poždovný budoucí příjem. Z těchto předpokldů hledáme počáteční hodnotu kpitálu, která nám zjistí nepřetržitý tok příjmů po dobu n let. Známe-li funkci R(t), která popisuje tok budoucích příjmů v čse t, lze z uvedených podmínek definovt počáteční hodnotu vkldu v čse t = 0, kterou nzýváme součsná hodnot příjmů pltí P V = n 0 R(t) e i t 100 dt. 6 Při investičním rozhodování nás bude zjímt i budoucí hodnot příjmů, kterou zvedeme z stejných podmínek, tedy při spojitém úročení při i % ročním 6 Pro součsnou hodnotu příjmů používáme oznčení P V z nglického present vlue dále zmíněnou budoucí hodnotu příjmů znčíme F V od future vlue. 40

úroku. Známe-li funkci R(t), která popisuje tok budoucích příjmů v čse t, budoucí hodnotu příjmů v čse t = n vypočítáme pomocí vzthu F V = n 0 R(t) e i (n t) 100 dt. Příkld 4.8. Určete součsnou hodnotu příjmů nepřetržitého toku příjmů po dobu 10 let, kde mír toku příjmů v čse t je popsán funkcí R(t) = (1 + 3t) v tis. Kč při spojitém úročení s roční szbou 6%. Řešení: Při výpočtu určitého integrálu s integrčními mezemi 0 10 využijeme Metodu per prtes: P V = 10 (1 + 3t) 0 e 0,06t dt = u = 1 + 3t u = 3 v = e 0,06t v = 1 = [ (1 + 3t) ( 1 ] 10 0,06 e 0,06t ) 0 0,06 e 0,06t = 10 0 3 0,06 e 0,06t dt = 31 0,06 e 0,6 + 1 0,06 + [ ] 10 + 3 1 0,06 0,06 e 0,06t = 266, 89 + 3 ( 1 0,06 0,06 e 0,6 + 1 ) = 109, 10 tis. Kč. 0,06 0 4.2.6 Lorenzov křivk Giniho koeficient Poslední v práci zmíněná ekonomická plikce určitého integrálu bude věnován problemtice rozdělení důchodů ve společnosti. Důchodem přitom rozumíme tok příjmů, který plyne dnému ekonomickému subjektu. Pro měření stupně nerovnosti v důchodech byl zveden Lorenzov křivk, která přiřzuje procentně rozděleným skupinám obyvtelstv procentní rozdělení důchodů. Absolutně rovnoměrné rozdělení důchodů mezi obyvtelstvo popisuje ideální Lorenzov křivk, jejíž trend lze znázornit n následujícím obrázku. % důch. 100 % LKi A 100 % % dom. 41

V reálných hodnotách všk rozdělení důchodů popisuje skutečná Lorenzov křivk, která má konvexní průběh. Ekonomická teorie její průběh ve spojitosti s rozdělěním důchodů nzývá důchodovou pyrmidou. To znmená, že široký zákld tvoří většin obyvtelstv s nižšími důchody ostrou špičku pyrmidy tvoří méně početné vrstvy nejbohtších. % důch. 100% LKs B 100% % dom. Pro měření míry nerovnosti v důchodech byl zveden Giniho koeficient. Ten porovnává skutečnou Lorenzovu křivku s ideální. Tuto úvhu lze ilustrovt n následujícím obrázku. % důch. 100% LKi A-B LKs 100% % dom. Giniho koeficient GK srovnává plochu pod ideální Lorenzovou křivkou s plochou pod skutečnou Lorenzovou křivkou je definován vzthem GK = A B A. Poznámk 4.2. Pro následující úvhy budeme místo intervlu 0, 100 používt intervl 0, 1, kde 1 odpovídá 100%. 42

Protože ploch pod ideální Lorenzovou křivkou je rovn 1, lze vzth Giniho 2 koeficientu vyjádřit následovně: GK = A B ( ) 1 A = 2 2 B = 1 2B, kde plochu pod skutečnou Lorenzovou křivkou můžeme vyjádřit pomocí určitého integrálu s integrčními mezemi 0 1 pro Giniho koeficient tedy bude pltit GK = 1 2 1 0 LK s (x) dx. Giniho koeficient nbývá hodnot n intervlu 0, 1, kde hodnoty blížící se k nule znmenjí spíše rovnoměrné rozdělení důchodů nopk hodnoty blízké číslu 1 znmenjí spíše nerovnoměrné rozdělení důchodů. Příkld 4.9. Vypočítejte Giniho koeficient, je-li skutečná Lorenzov křivk popsán funkcí LK s = x 2. Řešení: GK = 1 2 1 0 x2 dx = 1 2 [ ] 1 x 3 = 1 2 = 1. 3 3 3 0 % důch. 100% LKs 0 100% % dom. Výsledná hodnot Giniho koeficientu 1 3 vypovídá o spíše rovnoměrném rozdělení důchodů. 43

4.3 Aplikce nevlstního integrálu Aplikce nevlstního integrálu v ekonomii úzce souvisí s plikcemi určitého integrálu. V práci již bylo nznčeno, že nevlstní itegrál je speciálním typem určitého integrálu, kdy buď intervl, n kterém funkci vyšetřujeme, je neomezený, nebo funkce je n dném intervlu neomezená. V ekonomických plikcích nevlstního integrálu prcujeme zejmén s nevlstními intergrály vlivem meze, neboť nám umožňují sledovt ekonomické veličiny v nekonečném čsovém intervlu t 1, ). Tto kpitol byl zprcován z pomocí zdroje [8]. 4.3.1 Věčný důchod Tto plikce nevlstního integrálu nvzuje n plikci integrálu určitého, kde jsme zjišťovli celkový příjem z určitý čsový intervl. V tomto přípdě všk budeme uvžovt čsový intervl t 1, ), neboť předpokládáme věčné příjmy, tzv. věčný důchod. Obecně tedy pltí, že uvžujeme-li spojitou funkci f(t), která popisuje příjmy v čse t, kde t t 1, ), můžeme z použití nevlstního integrálu vlivem meze vypočítt celkové příjmy z dný čsový intervl t 1, ) nebo-li věčný důchod předpisem T R(t 1, ) = t 1 f(t) dt. Příkld 4.10. Určete doživotní celkový příjem, je-li známá funkce f(t) = 100 6t2 +2 e (t3 +t) čsu je 1 rok. v tis. Kč, která popisuje příjem v čse t, přičemž jednotkou Řešení: Při výpočtu nevlstního integrálu vlivem meze využijeme První větu o substituci: T R(0, ) = 100 6t2 +2 dt = lim 0 e (t3 +t) z = s = t 3 + t ds = (3t 2 + 1)dt t = 0 : s = 0 t = : s = ( z = lim 100 z 0 ( 100 z 0 ) 6t 2 +2 dt = e (t3 +t) 2 ds ) ( [ ] = lim e 200 1 z s z e 0) = s 44

( [ = lim 200 1 z e (t3 +t) ] z 0 ) = 200 (0 + 1) = 200 tis. Kč. 4.3.2 Neomezený kpitálový příjem Poslední uvedená ekonomická plikce nevlstního integrálu rovněž nvzuje n plikci určitého integrálu, ve které jsme hledli počáteční neboli součsnou hodnotu kpitálu, která by nám při spojitém úročení i % úrokové míře zjistil nepřetržitý tok příjmů R(t) po dobu n let. Tentokrát všk budeme uvžovt, že čsový intervl, po který nám plyne dný tok příjmů, je neomezený, tj. 0, ). Tkový budoucí tok příjmů nzýváme neomezený příjem jeho součsnou hodnotu vypočítáme pomocí nevlstního integrálu vlivem meze ze vzthu P V = 0 R(t) e i t 100 dt. Příkld 4.11. Určete součsnou hodnotu neomezeného kpitálového příjmu, který nám bude plynout doživotně, jestliže mír toku příjmů v čse t je popsán funkcí R(t) = (1 000t + 200) Kč při spojitém úročení s roční szbou 2%, kde t je v letech. Řešení: Při výpočtu nevlstního integrálu vlivem meze využijeme Metodu per prtes: P V = (1 000t + 200) z 0 e 0,02t dt = lim (1 000t + 200) z 0 e 0,02t dt = = u = 1 000t + 200 u = 1 000 v = e 0,02t v = 1 0,02 e 0,02t = ([ = lim (1 000t + 200) ( 1 z 0,02 e 0,02t ) ] z 0 + z 0 1 000 0,02 e 0,02t dt ) = [ ] z 1 0,02 e 0,02t 0 ( ) = lim (50 000z + 10 000) e 0,02z + 10 000 + 50 000 = z ( ) = lim (50 000z + 10 000) e 0,02z + 10 000 + 50 000 ( 1 z 0,02 e 0,02z + 1 ) = 0,02 = 10 000 + 2 500 000 = 2 510 000 Kč. 45