CVIČNÝ TEST 18 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Anna zdědila 150 000 Kč a banka jí nabízí uložit je na roční termínovaný vklad při 3% roční úrokové míře. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítává státem stanovená daň ve výši 15 %. Anna hotovost nepotřebuje, a proto nechá vklad zvýšený o zdaněný úrok v peněžním ústavu za stejných podmínek po dobu dalších dvou let. 1 Kolik korun bude připraveno po třech letech k vyzvednutí? (Výsledek vyjádřete v celých Kč.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Střecha přízemního domu má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o podstavné hraně délky a = 10 m. Sklon střechy je ϕ = 30. 2.1 Jaká je užitná plocha přízemí tohoto domu, zanedbáme-li tloušťku stěn? 2.2 Kolik zaplatí majitel tohoto přízemního domu za nákup plechové střešní krytiny, jestliže ta se prodává v balících po 10 m 2 za cenu 1 950 Kč za 1 balík? 1 bod 3 Určete počet všech průsečíků grafu funkce f: y = sin(2x) s oběma souřadnicovými osami pro x 0; 2π. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán bod A a přímka p (viz obrázek). Pro přímku q platí, že prochází bodem A a je kolmá na přímku p. 2 Maturita z matematiky 02
4 Určete souřadnice průsečíku P [x; y] přímek p a q. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. 5 Určete počet všech společných dělitelů čísel 30, 42 a 120. 1 bod 1 bod 6 Řešte v oboru reálných čísel nerovnici a výsledek zapište intervalem, příp. sjednocením intervalů. 6 3x x x 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Výška v na přeponu dělí přeponu na dva úseky. Obsahy S 1 a S 2 čtverců sestrojených nad těmito úseky jsou v poměru 81 : 16. Maturita z matematiky 03 3
7 V jakém poměru jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníku? A) 81 : 16 B) 5 : 2 C) 9 : 4 D) 3 : 2 E) v jiném poměru 2 body max. 4 body 8 Přiřaďte ke každému výrazu (8.1 8.4) jeho maximální definiční obor (A F). 8.1 x + 1 x + 2 x 1 8.2 8.3 8.4 4 x 2 x 1 x 1 x 2 x + 1 x 1 : (x + 1) x + 2 A) ( ; 2) ( 2; 1) ( 1; ) B) ( ; 2) ( 2; 1) (1; ) C) ( ; 1) ( 1; 2) (2; ) D) ( ; 2) ( 2; ) E) ( ; 1) ( 1; ) F) ( ; 1) (1; ) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Graf lineární funkce f prochází body A [1; 2] a B [ 1; 4]. 9 Rozhodněte o každém tvrzení (9.1 9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Předpisem funkce f je rovnice y = kx q, kde k, q jsou kladná reálná čísla. 9.2 Jeden z průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami je bod P [ 3; 0]. 9.3 Funkce f je rostoucí. 9.4 Funkční hodnota funkce f v bodě 2 je 1, tj. f(2) = 1. ANO NE 4 Maturita z matematiky 03
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Žáci jednoho semináře jedou na exkurzi minibusem, ve kterém je 19 míst k sezení (viz obrázek). Na sedadle vedle řidiče bude sedět organizátor exkurze. 2 body 10 Kolika způsoby si můžou do minibusu sednout Adam s Evou, jestliže spolu nastupují jako první a chtějí sedět těsně vedle sebe. A) 18 B) 16 C) 14 D) 8 E) 7 KONEC TESTU Maturita z matematiky 03 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Anna zdědila 150 000 Kč a banka jí nabízí uložit je na roční termínovaný vklad při 3% roční úrokové míře. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítává státem stanovená daň ve výši 15 %. Anna hotovost nepotřebuje, a proto nechá vklad zvýšený o zdaněný úrok v peněžním ústavu za stejných podmínek po dobu dalších dvou let. 1 Kolik korun bude připraveno po třech letech k vyzvednutí? (Výsledek vyjádřete v celých Kč.) Jedná se o úlohu na vzrůst hodnoty. Nejprve vypočteme čistou úrokovou míru, tedy promítneme do ní zdanění úroku: p = (1 0,15) 3 = 2,55. Jestliže počáteční hodnota je a 0 = 150 000 Kč, úroková míra je p = 2,55 a počet úrokovacích období je n = 3, potom konečná cena je a n = a 0 (1 + p 100 ) n = 150 000 (1 + 2,55 100 ) n = 161 770 Po třech letech bude k vyzvednutí připraveno 161 770 Kč. Řešení: 161 770 Kč VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Střecha přízemního domu má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o podstavné hraně délky a = 10 m. Sklon střechy je ϕ = 30. max. 3 body 2.1 Jaká je užitná plocha přízemí tohoto domu, zanedbáme-li tloušťku stěn? Užitnou plochu domu tvoří čtverec o straně a = 10 m, takže její velikost je: S = a 2 = (10 m) 2 = 100 m 2 Užitná plocha přízemí tohoto domu je 100 m 2. Řešení: 100 m 2 6 Maturita z matematiky 03
2.2 Kolik zaplatí majitel tohoto přízemního domu za nákup plechové střešní krytiny, jestliže ta se prodává v balících po 10 m 2 za cenu 1 950 Kč za 1 balík? Střechu domu tvoří plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu. Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu tvoří čtyři shodné rovnoramenné trojúhelníky. Výšku trojúhelníku vypočteme s využitím goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku: a 2 cos φ = v a = a = 10 m = 10 3 m va 2 cos φ 2 cos 30 3 Plochu střechy S pl vypočteme jako obsah čtyř trojúhelníků: av S pl = 4 2 a = 2av a = 2 10m 10 3 m = 200 3 m 2 = 120 m 2 3 3 Jestliže se krytina prodává v balících po 10 m 2, pak je na pokrytí střechy třeba 12 balíků, a celková cena bude: 12 1 950 Kč = 23 400 Kč Majitel zaplatí za nákup plechové střešní krytiny 23 400 Kč. Řešení: 23 400 Kč 1 bod 3 Určete počet všech průsečíků grafu funkce f: y = sin(2x) s oběma souřadnicovými osami pro x 0; 2π. Graf funkce f: y = sin (2x) má pět průsečíků se souřadnicovými osami (viz obrázek). Řešení: 5 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Je dán bod A a přímka p (viz obrázek). Pro přímku q platí, že prochází bodem A a je kolmá na přímku p. Maturita z matematiky 02 7
4 Určete souřadnice průsečíku P [x; y] přímek p a q. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Přímka p je určena body [1; 0] a [0; 2]. Směrový vektor přímky p: s p = (1; 2). Normálový vektor přímky p: n p = (2; 1). Obecná rovnice přímky p: 2x y + c = 0. Přímka p je určena bodem [1; 0] 2 1 0 + c = 0 c = 2 p: 2x y 2 = 0 q p n q = s p = (1; 2). Obecná rovnice přímky q: x + 2y + c = 0. Přímka q je určena bodem [ 2; 0] 2 + 2 0 + c = 0 c = 2 q: x + 2y + 2 = 0. Řešíme soustavu rovnic: 2x y 2 = 0 x + 2y + 2 = 0. Z první rovnice vyjádříme y = 2x 2, dosadíme do druhé: x + 2(2x 2) + 2 = 0, upravíme: 5x 2 = 0, vyjádříme: x = 2 5 a y = 2 2 5 2 = 6 5. Průsečík má souřadnice P [ 2 5 ; 6 5 ]. Řešení: P [ 2 5 ; 6 5 ] 8 Maturita z matematiky 02
5 Určete počet všech společných dělitelů čísel 30, 42 a 120. 1 bod Určíme největšího společného dělitele čísel 30, 42 a 120, přičemž platí: D (30; 42; 120) = D (30; 42), protože číslo 120 je násobkem čísla 30. Rozložíme čísla 30 a 42 na součin prvočísel, tj. 30 = 2 3 5 a 42 = 2 3 7, z čehož vyplývá, že D (30; 42; 120) = 2 3 = 6. Společnými děliteli čísel 30, 42 a 120 jsou čísla 1, 2, 3 a 6, jejich počet je tedy 4. Řešení: 4 1 bod 6 Řešte v oboru reálných čísel nerovnici a výsledek zapište intervalem, příp. sjednocením intervalů. 6 3x x x 2 Nerovnice je řešitelná pro x 2. Upravíme levou stranu nerovnice vytknutím a zkrácením: 6 3x = 3(2 x) = 3. x 2 x 2 Z nerovnosti 3 x vyplývá: x 3, přičemž řešením nerovnice jsou všechna reálná čísla x, pro která platí: x 3 x 2, tj. x ( ; 2) (2; 3. Řešení: x ( ; 2) (2; 3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Výška v na přeponu dělí přeponu na dva úseky. Obsahy S 1 a S 2 čtverců sestrojených nad těmito úseky jsou v poměru 81 : 16. Maturita z matematiky 03 9
7 V jakém poměru jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníku? A) 81 : 16 B) 5 : 2 C) 9 : 4 D) 3 : 2 E) v jiném poměru 2 body S 1 S2 = 81 c 2 b = 9 2 16 2 ca 4 2 ( c b ca ) 2 = ( 9 4 ) 2 c b ca = 9 c a = 4 4 cb 9 Euklidovy věty pro odvěsny: a 2 = c c a b 2 = c c b a 2 = c c a = b 2 c cb c a cb = 4 9 = 2 2 3 2 ( a b ) 2 = ( 2 3 ) 2 a b = 2 3 Odvěsny jsou tedy v poměru 2 : 3, resp. 3 : 2, správně je tedy možnost D. Řešení: D max. 4 body 8 Přiřaďte ke každému výrazu (8.1 8.4) jeho maximální definiční obor (A F). 8.1 x + 1 x + 2 x 1 8.2 8.3 8.4 4 x 2 x 1 x 1 x 2 x + 1 x 1 : (x + 1) x + 2 A) ( ; 2) ( 2; 1) ( 1; ) B) ( ; 2) ( 2; 1) (1; ) C) ( ; 1) ( 1; 2) (2; ) D) ( ; 2) ( 2; ) E) ( ; 1) ( 1; ) F) ( ; 1) (1; ) 10 Maturita z matematiky 03
8.1 Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že x 2 x ( ; 2) ( 2; ). Jde tedy o možnost D. 8.2 Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že x 1 x ( ; 1) (1; ). Jde tedy o možnost F. 8.3 Zlomek upravíme: x 1 x 2 = x 1 x + 1 (x 2)(x + 1) Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že: x 2 x 1 x ( ; 1) ( 1; 2) (2; ). Jde tedy o možnost C. 8.4 Zlomek upravíme: x 1 : (x + 1) = x 1 1 ; x + 2 x + 2 x + 1 Ze jmenovatele zlomku vyplývá, že x 2 x 1 x ( ; 2) ( 2; 1) ( 1; ). Jde tedy o možnost A. Řešení: D, F, C, A VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Graf lineární funkce f prochází body A [1; 2] a B [ 1; 4]. 9 Rozhodněte o každém tvrzení (9.1 9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Předpisem funkce f je rovnice y = kx q, kde k, q jsou kladná reálná čísla. 9.2 Jeden z průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami je bod P [ 3; 0]. 9.3 Funkce f je rostoucí. 9.4 Funkční hodnota funkce f v bodě 2 je 1, tj. f(2) = 1. ANO NE 9.1 f: y = kx q A f: 2 = k q(i) B f: 4 = k q(ii) (I) + (II): 6 = 2q q = 3 > 0 (I)k = q 2 = 1 > 0 Tvrzení je pravdivé. 9.2 P y : x = 0 y = 0 3 = 3 P y [0; 3] P x : y = 0 0 = x 3 x = 3 P x [3; 0] Tvrzení je nepravdivé. Maturita z matematiky 02 11
9.3 f: y = x 3; k = 1 > 0 funkce f je rostoucí Tvrzení je pravdivé. 9.4 f(2) = 2 3 = 1 1 Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, NE, ANO, NE VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Žáci jednoho semináře jedou na exkurzi minibusem, ve kterém je 19 míst k sezení (viz obrázek). Na sedadle vedle řidiče bude sedět organizátor exkurze. 2 body 10 Kolika způsoby si můžou do minibusu sednout Adam s Evou, jestliže spolu nastupují jako první a chtějí sedět těsně vedle sebe. A) 18 B) 16 C) 14 D) 8 E) 7 V autobusu je pět dvojsedadel, takže dvojice má 5 možností, jak je obsadit. Dále je v autobusu jedno čtyřsedadlo, které může dvojice obsadit 3 různými způsoby sednout si těsně vedle sebe k levému či pravému okénku, nebo doprostřed. Dvojice má tedy dohromady 8 způsobů, a navíc si mohou mezi sebou vyměnit místo, takže možností je celkem 2 8 = 16. Jde tedy o možnost B. Řešení: B 12 Maturita z matematiky 02
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 161 770 Kč 2 2.1 100 m 2 1 bod 2.2 23 400 Kč 3 5 1 bod 4 Přímka p je určena body [1; 0] a [0; 2]. Směrový vektor přímky p: s p = (1; 2). Normálový vektor přímky p: n p = (2; 1). Obecná rovnice přímky p: 2x y + c = 0. Přímka p je určena bodem [1; 0] 2 1 0 + c = 0 c = 2 p: 2x y 2 = 0 q p n q = s p = (1; 2). Obecná rovnice přímky q: x + 2y + c = 0. Přímka q je určena bodem [ 2; 0] 2 + 2 0 + c = 0 c = 2 q: x + 2y + 2 = 0. Řešíme soustavu rovnic: 2x y 2 = 0 x + 2y + 2 = 0. Z první rovnice vyjádříme y = 2x 2, dosadíme do druhé: x + 2(2x 2) + 2 = 0, upravíme: 5x 2 = 0, vyjádříme: x = 2 5 a y = 2 2 5 2 = 6 5. Průsečík má souřadnice P [ 2 5 ; 6 5 ]. Řešení: P [ 2 5 ; 6 5 ] 5 4 1 bod Maturita z matematiky 03 13
6 x ( ; 2) (2; 3 1 bod 7 D 2 body 8 9 8.1 D 8.2 F 8.3 C 8.4 A 9.1 ANO 9.2 NE 9.3 ANO 9.4 NE 10 B 2 body max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 14 Maturita z matematiky 03
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 2 2.1 1 bod 2.2 3 1 bod 4 5 1 bod Maturita z matematiky 03 15
6 1 bod 7 2 body 8 9 8.1 8.2 8.3 8.4 9.1 9.2 9.3 9.4 10 2 body max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky 03