Geometrie nelineárních útvarů cvičení

Geometrie nelineárních útvarů cvičení Geometrie křivek. Parametrické a obecné rovnice křivek, singulární body, tečný vektor Křivky v R zadané parametricky lze vykreslit v programu Maple jednoduchým příkazem plot[xt,yt,t=a..b]; konkrétně např. plot[*cost,3*sint,t=0..*pi]; Pro vykreslení křivek v R 3 lze použít příkaz withplots: spacecurve[xt, yt, zt], t = a.. b; Poznámka k následujícím úlohám: Vyloučení parametru t při hledání obecné rovnice křivky nemusí být vždy jednoduché. V mnohých případech doporučuji podívat se na výsledek a odhadnout, jak rovnice vhodně upravovat, sčítat, umocňovat apod., aby nakonec parametr vypadl. Je-li parametrizace dána polynomickými či racionálními funkcemi, lze k vyloučení parametru v případě ploch dvou parametrů použít teorii Gröbnerových bází. Teorie je použitelná i pro parametrizace dané goniometrickými funkcemi, použijí-li se vhodné substituce a přidají-li se dodatečné rovnice vyjadřující platnost některých goniometrických identit. Při převádění z obecného na parametrické vyjádření je často výhodné použití polárních souřadnic, viz příklad.. Uvažujme křivku rt = [ R cost 3 ; R sint 3 ], kde t R. Obrazem rr je kružnice o poloměru R. a Najděte její singulární body, b najděte regulární parametrizaci, jejímž obrazem bude stejná kružnice. a Singulární bod je v t 0 =0 rt 0 = [; 0] b např. rt =[R cost; R sint]. Křivka zvaná traktrix mj. se jedná o evolventu řetězovky, viz příklad 0, podsekce. je dána parametrizací rt = [ a ln tan t + cos t ; a sin t ], kde t 0,π. Nalezněte její obecnou rovnici. x = ln tan arcsin y + a y [ 3. Descartesův list je dán parametrickým vyjádřením rt = rovnici Descartesova listu. x 3 + y 3 3axy =0 [ 4. Dioklova kisoida je dána parametrickým vyjádřením rt = rovnici. y a x =x 3 5. Strofoida je dána parametrickým vyjádřením rt = rovnici strofoidy. a xy =a + xx 3at +t 3 ; 3at +t 3 ], kde t R \ { }. Najděte obecnou at +t ; at 3 +t ], kde t R. Najděte její obecnou [ a t +t ; at t +t ], kde t R. Najděte obecnou 6. Nikomédova konchoida je dána obecnou rovnicí x a x + y =b x. Napište obecnou rovnici i parametrické vyjádření Nikomédovy konchoidy v polárních a kartézských souřadnicích. ρ = a cos ϕ ± b, r polt =[ρ, ϕ] = [ a cos t ± b; t], kde jsme položili ϕ = t, dosadíme-li do definice polárních souřadnic x = ρ cos t a y = ρ sin t, dostáváme parametrické vyjádření v kartézských souřadnicích r kart t = [x, y] =[a ± b cos t; a tan t ± b sin t]. 7. Po pevné kružnici k poloměru R se zvenku valí bez prokluzování další kružnice k o poloměru R. Pevně zvolený bod na k pak opisuje křivku zvanou epicykloida, jejíž parametrické vyjádření může být např. x =R + R cos R t R cos t + R t, R R y =R + R sin R t R sin t + R t. R R

Valí-li se bez prokluzování kružnice k o poloměru R <R zvnitřku pevné kružnice k, opisuje pevně zvolený bod na k křivku zvanou hypocykloida, jejíž parametrické vyjádření může být např. x =R R cos R t + R cos t R t, R R y =R R sin R t R sin t R t. R R a Uvažujme epicykloidu, pro kterou R = R = R. Taková křivka se nazývá kardioida nebo též srdcovka. Najděte její parametrické vyjádření, křivku načrtněte a najděte její singulární body. rt = [R cos t R cos t;rsin t R sin t]; singulární body dostaneme pro t =kπ, k Z; Pro obrázek viz worksheet krivky.mw, získáme jej např. volbou R = R =. b Uvažujme epicykloidu, pro kterou R = R. Taková křivka se nazývá nefroida. Najděte její parametrické vyjádření, křivku načrtněte a najděte její singulární body. rt = [3/R cos/t /R cos3/t, 3/R sin/t /R sin3/t]; singulární body jsou v t =kπ, pro t =0, 4π, 8π, π,... máme bod r0 = [R, 0], pro t =π, 6π, 0π,... máme bod rπ =[ R, 0] c Steinerova křivka je hypocykloida, pro níž platí R = R 3. Napište její parametrické vyjádření a nakreslete ji. rt = [R /3 cost/3 + R /3 cost/3; R /3 sint/3 R /3 sint/3] d Asteroida je hypocykloida, pro níž platí R = R 4. Napište její parametrické vyjádření a nakreslete ji. rt = [3R /4 cost/4 + R /4 cos3t/4; 3R /4 sint/4 R /4 sin3t/4], pomocí goniometrických identit lze dojít až ke tvaru rt = [ R cos 3 t; R sin 3 t ] e Jak vypadá hypocykloida pro R = R? Jedná se o úsečku s parametrizací rt = [ R cos t ;0], což lze chápat jako kmitavý pohyb ve směru osy x s rovnovážnou polohou v počátku. Toho se využívá i v technické praxi při transformaci rotačního pohybu na kmitavý přímočarý pohyb. f Promyslete si, jak by vypadaly epicykloida a hypocykloida pro různé volby R a R. Zkuste si tyto případy vykreslit v Maplu, použijte worksheet krivky.mw. Můžete si měnit hodnoty R při pevně zvoleném R a získáváte tak různé epicykloidy a hypocykloidy vznikající valením různých kružnic po téže pevné kružnici. Několik poznámek: Poměr k = R R je rozhodujícím faktorem, máme-li rozhodnout, zda je epicykloida resp. hypocykloida uzavřená po určitém počtu oběhů valící se kružnice se křivka začne replikovat, či nikoliv. Pro k Q je křivka uzavřená, pro k R \ Q nikoliv. Epicykloidu i hypocykloidu lze podobně jako tomu bylo u cykloidy prodlužovat a zkracovat máme tedy prodlouženou zkrácenou epicykloidu a prodlouženou zkrácenou hypocykloidu viz obrázky. Někdy se provádí následující klasifikace, kdy se souhrnně hovoří o tzv. trochoidách neboli cyklických křivkách. Patří sem: prostá, prodloužená a zkrácená cykloida,

prostá, prodloužená a zkrácená epicykloida souhrnně tzv. epitrochoidy, prostá, prodloužená a zkrácená hypocykloida souhrnně tzv. hypotrochoidy, evolventa přímka se valí po kružnici, pericykloida kružnice valící se svou vnitřní stranou po vnější straně pevné kružnice. Možná jste si v dětství hráli s umělohmotnými ozubenými kolečky vybavenými otvory v různých místech, do nichž se zasunula tužka a jezdilo se dokola kolem nehybného kolečka případně uvnitř nehybného mezikruží, které se špendlíky připevnilo k podložce. Vznikaly pěkné ornamenty. Jaké křivky jste vlastně kreslili? Co muselo být splněno, aby se křivka po určité době začala replikovat? 8. Pascalova závitnice limacon je dána parametrickým vyjádřením rt =[a cos t b cos t; a sin t b sin t]. Nalezněte její obecnou rovnici v souřadnicích x, y a také v polárních souřadnicích ρ, ϕ. Jedná se o speciální případ některé z výše uvedených křivek. Které? x + y ax = b x + y ; ρ = a cos ϕ ± b [ ] a 9. Witch of Agnesi je křivka s parametrickými rovnicemi rt = at; +t pro t R. Jak křivka vypadá a jak se konstruuje naleznete např. na http://en.wikipedia.org/wiki/witch of Agnesi. Nalezněte její obecné vyjádření a singulární body. y = 8a3 x +4a ; singulární body nejsou 0. Studujte vlastnosti známých spirál rovnice jsou uvedeny v polárních souřadnicích ρ, ϕ: Archimedova spirála ρ = aϕ, logaritmická spirála ρ = a ϕ, hyperbolická spirála ρ = a ϕ, Fermatova spirála ρ = a ϕ, Lituuova spirála ρ = a ϕ, sinová spirála ρ m = a m sinmϕ.. Řetězovka je křivka s obecnou rovnicí y = a cosh x a. Vrchol řetězovky leží v bodě 0,a. Ukažte, že v tomto vrcholu má řetězovka styk třetího řádu s parabolou o rovnici y = x a + a. Styk třetího řádu křivek rt a st v bodě t 0 znamená splnění rovnic rt 0 =st 0, ṙt 0 =ṡt 0, rt 0 = st 0,... rt 0 =... st 0.. Napište parametrické vyjádření lemniskáty s obecnou rovnicí x + y = a x y. Je výhodné použít polární souřadnice x = ρ cos ϕ a y = ρ sin ϕ, parametrizace má pak tvar r kart ϕ = [ a cos ϕ cos ϕ; a cos ϕ sin ϕ ], obrázek v Maplu získáme příkazem plot[*sqrtcos*phi*cosphi,*sqrtcos*phi*sinphi,phi=-pi/4..5*pi/4];. Délka křivky, evolventa, parametrizace obloukem. Spočtěte délku oblouku cykloidy rt =[Rt sin t; R cos t], t 0, π. 8R. Spočtěte délku kardioidy rt = [R cos t R cos t;r sin t R sin t],t 0, π. 6R 3. Spočtěte délku oblouku logaritmické spirály rt =[a t cos t, a t sin t], a>, a pro t t,t, b pro t,t. +ln a a ln a a t a t +ln, b a ln a a t, jedná se tedy o konstantní násobek průvodiče. 4. Určete délku jednoho závitu šroubovice rt =[R cos t; R sin t; at], t 0, π. π R + a 5. Určete délku oblouku křivky rt =[acosh t; a sinh t; at], a>, pro t 0,. a e e 6. Určete délku oblouku křivky rt = [ at sin t; a cos t; 4a cos t ] mezi dvěma následujícími průsečíky s rovinou xz. 3

8a 7. Najděte evolventu neboli involutu šroubovice rt = [cos t; sin t; t]. rt = [cos t +t t 0 sin t; sin t t t 0 cos t; t 0 ] Všimněme si, že z-ová komponenta nezávisí na t a je tudíž konstantní evolventa šroubovice je vždy rovinná křivka ležící v rovině z = t 0, tedy v rovině rovnoběžné s rovinou xy procházející bodem, kde začalo odvalování přímky. 8. Najděte evolventu semikubické Neilovy paraboly rt = [ t ; at 3], t>0. [ rt = t 4+9a t 3 7 a 4+9a t 0 3 7 a 4+9a t ; at 3 9 4+9a t 3 a 4+9a t 0 3 9 a 4+9a t at ] 9. a Ukažte, že involutou asteroidy rt = [ cos 3 t; sin 3 t ] s počátkem odvalování v t = π 4 jinak umístěná, viz obrázek. je opět asteroida b Ukažte, že involutou zploštělé asteroidy rt = [ 3 cos3 t; 3 sin 3 t ] s počátkem odvalování v t 0 =0, přičemž k funkci t t 0 ṙτ dτ přičteme integrační konstantu, je elipsa s parametrickým vyjádřením rt = [ cos t; sin t], viz obrázek. 0. Najděte involutu řetězovky rt = [t; cosh t], počátek odvíjení zvolte v t 0 =0. rt = [ t tanh t; cosh t], jedná se o traktrix v poněkud jiné parametrizaci než v příkladu podsekce... Parametrizujte šroubovici rt = [R cos t; R sin t; at] obloukem. Je třeba nalézt funkci st = t t 0 ṙτ dτ, kde t 0 I je libovolně zvolený bod, a tu pak invertovat. V našem případě st = t t 0 R + a, hledáme inverzní funkci vyjádříme t pomocí s. Vyjde nám ts = s R +a rs = + t 0, což můžeme dosadit do původní parametrizace a dostáváme hledanou parametrizaci obloukem [ R cos s R + a + t 0 ; R sin s R + a + t 0 ; a ] s R + a + t 0. 4

Speciálně, pro t 0 =0, vychází [ s rs = R cos R + a ; R sin s R + a ; ] as. R + a.3 Normálový vektor, křivost, oskulační kružnice, evoluta, Frenetův repér. Uvažujme křivku rt = [ t 3 + t ; t 5 7 ], kde t R. a Najděte její singulární body. Singulární bod dostáváme pro t 0 =0 rt 0 = [0; 7]. b Najděte její inflexní body. Rovnice Ṫt = 0 má dvě řešení t =0,t =. První řešení odpovídá singulárnímu bodu viz předchozí podúloha, avšak tečný vektor T je definován pouze v regulárních bodech. Inflexní bod křivky tedy dostáváme pouze pro t = rt = [0; 8], viz obrázek níže. c Najděte normálový vektor této křivky v obecném bodě rt a pak v bodě r. 5t Nt = 3 ; 3t+ 5t 6 +9t +t+4 5t, N = 50 6 +9t +t+4 0 ; 50 0 d Spočtěte křivost κ a poloměr křivosti poloměr oskulační kružnice R této křivky v obecném bodě t a pak v bodě t =. Křivost počítejte z definice křivosti κt = Ṫt ṙt. κt = 30tt+ 5t 6 +9t +t+4 3, κ = 3 50 5, Rt = κt, R = κ. e Předchozí podúlohu d řešte s využitím užitečného vztahu pro výpočet křivosti pouze z derivací parametrizace: κ = ṙ ṙ r r ṙ r ṙ. 3. Určete poloměr křivosti logaritmické spirály rt =[a t cos t; a t sin t]. Rt =a t + ln a 3. Napište parametrické rovnice evoluty elipsy rt = [ cos t, sin t]. Evoluta je množina středů všech oskulačních kružnic dané křivky, její parametrizace má tedy tvar načrtněte si obrázek ˆrt =rt+ κt Nt. Sestrojíme-li k výsledné křivce evolventu neboli involutu, dostaneme při vhodné volbě počátku odvalování a přičtení vhodné integrační konstanty původní křivku viz příklad 9 v podsekci.. Jedná se o zploštělou asteroidu rt = [ 3 cos3 t; 3 sin 3 t ], viz obrázek k příkladu 9 v podsekci.. 4. Najděte evolutu kružnice. Evolutou je jediný bod střed kružnice. 5. Napište parametrické rovnice oskulační roviny σ šroubovice rt = [cos t; sin t; 3t] v bodě r0. Oskulační rovina v bodě rt 0 je rovina určená tečnou a normálou v tomto bodě, jedná se tedy o rovinu rt 0 + Tt 0, Nt 0. σ = [, 0, 0] + 0, 0 0, 3 0 0,, 0, 0 = [, 0, 0] + 0; ; 3, ; 0; 0 6. Napište parametrické rovnice oskulační roviny σ křivky rt = [cos t; sin t;e t ] v bodě r0. 5

σ = [, 0, ] + 0,,, 6 3, 6 6, 6 6 = [, 0, ] + 0; ;, ; ; 7. Spočtěte křivost hyperboly rt =[a cosh t; b sinh t]. ab κt =, ve vrcholu hyperboly t =0, vychází κ = a a sinh t+b cosh t 3 b. [ t 8. Ukažte, že křivost klotoidy s parametrizací rt = 0 cos πs ds; ] t 0 sin πs ds je přímo úměrná délce oblouku. Délka oblouku měřená od t 0 =0je t, křivost vychází πt. 9. Spočtěte poloměr oskulační kružnice sinusoidy y = sin x pro x = π. R = Poznámka: Počítáme-li křivost a torzi přímo z definice, může to být někdy dosti pracné. Pro jejich výpočet lze užít níže uvedených vztahů, s jejichž pomocí spočteme křivost κ a torzi τ rovnou z derivací parametrizace. Ve worksheetu Frenetuvreper.mw naleznete jak výpočet z definice, tak výpočet využívající níže uvedených vzorečků. Je-li rt = [xt,yt,zt], pak platí: ṙ r ṙ ṙ r r ṙ r κt = ṙ 3 nebo též κt = ṙ 3, ẋ ẏ ż det ẍ ÿ z τt =... x...... y z ṙ r. 0. Popište Frenetův repér šroubovice rt =[a cos t; a sin t; bt]. Spočtěte její křivost a torzi. Tt = a sin t; a cos t; b, Nt = cos t; sin t; 0, Bt = a +b a b sin t; b cos t; a, κ = +b a a +b, τ = b a +b.. Popište Frenetův repér křivky rt = [ t; t ; t 3]. Spočtěte její křivost a torzi využijte vztahů a. Tt = ; t ; 3t +4t +9t 4 +4t +9t 4 +4t, +9t 4 t+9t Nt = +4t +9t 4 ; 9t 4 +9t +9t 4 +4t +9t 4 ; 3tt + +9t +9t 4 +4t, +9t 4 +9t +9t 4 3t Bt = ; 3t ; 9t4 +9t + 9t4 +9t + 9t4, κt = 9t 4 +9t + 3, τt = +9t + +4t +9t 4 3 9t 4 +9t +.. Popište Frenetův repér křivky rt = [ t; t ; t + ]. Spočtěte její křivost a torzi. Tt = ; +4t, Nt = ; ; t +t +t +t 3 t ; +4t +4t, τt = 0 = jedná se o rovinnou křivku. +t 3. Najděte tečnu ke křivce rt = [ t ; t;e t] rovnoběžnou s rovinou x y 5 = 0. Např. [,, e] +,, e 4. Na prostorové křivce rt =[xt,yt,zt] uvažujme bod rt 0., Bt = Rovina určená bodem rt 0 a vektory Tt 0 a Nt 0 se nazývá oskulační rovina. Rovina určená bodem rt 0 a vektory Nt 0 a Bt 0 se nazývá normálová rovina. Rovina určená bodem rt 0 a vektory Tt 0 a Bt 0 se nazývá rektifikační rovina. ; 0;, κt = Napište parametrické rovnice oskulační, normálové a rektifikační roviny šroubovice rt = [a cos t; a sin t; bt] v bodě r0. Směrové vektory rovin nemusejí být nutně jednotkové, lze použít vhodné násobky vektorů T, N a B. 6

ρ osk = [a, 0, 0] +, 0, 0, 0, a, b, ρ norm = [a, 0, 0] +, 0, 0, 0, b, a, ρ rekt = [a, 0, 0] + 0, a, b, 0, b, a. 5. Určete křivost a torzi křivky rt = [a cosh t; a sinh t; at], kde a>0. κt =τt = a cosh t 6. Prostudujte worksheet Frenetuvreper4D.mw. Je zadána křivka rt = [cos t, sin t, cos t, sin t] R 4. Máme nalézt Frenetův repér této křivky a všechny možné zobecněné křivosti, tedy první druhou a třetí křivost. Při hledání Frenetova repéru je nutné použít Gram-Schmidtův ortonormalizační proces, s nímž má u složitějších křivek problém i Maple zkuste si to. Křivosti pak počítáme z definice zobecněných křivostí. Náš příklad vychází docela pěkně, všechny tři křivosti vycházejí konstantní. Existují nějaké vzorce analogické vztahům a, které by nám umožnily spočítat první, druhou a třetí křivost křivky v R 4, případně další křivosti v prostorech vyšších dimenzí? Geometrie ploch Terminologická poznámka: Označíme-li K Gaussovu křivost a H střední křivost plochy, pak: je-li K = konst > 0, plocha se nazývá sférická, je-li K = konst < 0, plocha se nazývá pseudosférická, je-li K =0, plocha se nazývá rozvinutelná, je-li H = konst, hovoříme o ploše s konstantní střední křivostí, je-li H =0, plocha se nazývá minimální.. Vivianiho křivka je průnikem sféry o poloměru R a rotační válcové plochy o polovičním poloměru, přičemž válcová plocha prochází středem sféry. Křivka připomíná prostorově vyvedenou číslici 8. a Najděte parametrické vyjádření této křivky. b Ukažte, že Vivianiho křivka je též průnikem sféry a kuželové plochy, která má vrchol na rovníku, její osa je tečnou k poledníku a plocha prochází severním pólem sféry. Válcová plocha je popsána rovnicí x R + y = R, sféru můžeme parametrizovat sférickými souřadnicemi x = R cos ϑ cos ϕ, y = R cos ϑ sin ϕ, z = R sin ϑ. Dosazením parametrických rovnic sféry do rovnice válcové plochy dostáváme jednu rovnici o dvou neznámých ϑ a ϕ. Vyřešíme-li ji, zjistíme, že ϑ = ϕ. Dosadíme-li pak zpět do parametrických rovnic sféry dostaneme parametrické vyjádření Vivianiho křivky rt = [ R cos t; R cos t sin t; R sin t ], kde jsme položili ϕ = t. Při hledání průniku sféry s kuželovou plochou postupujeme analogicky.. Uvažujme anuloid s parametrizací ru, v = [R + R cos u cos v;r + R cos u sin v; R sin u]. a Určete, zda je tato parametrizace anuloidu regulární. Ano, Jacobiho matice J r je regulární ve všech bodech. b Načrtněte souřadnicovou síť na anuloidu vytvářenou touto parametrizací. Pro R =a R =viz obrázek. c Určete tečný prostor anuloidu v bodě ra, kde a = 0, π. Napište parametrické rovnice tečné roviny anuloidu v bodě ra. 7

Tečný prostor je definován jako lineární obal tečných vektorů k souřadnicovým křivkám. Vychází: r u = 0, 0,R r u,v=0, π, v = R u,v=0, π R, 0, 0, přičemž pro zapsání vektorového prostoru generovaného těmito vektory můžeme použít jejich libovolné násobky. Máme tedy T ra rr = 0, 0,,, 0, 0. Tento vektorový prostor je zaměřením hledané tečné roviny, která prochází bodem ra = [0,R + R, 0], její parametrické vyjádření je T = [0,R + R, 0] + 0, 0,,, 0, 0. Pro R =a R =viz obrázek. d Vypočtěte první fundamentální formu anuloidu v této parametrizaci. g = R, g = g =0, g =R + R cos u, resp. I = R du +R + R cos u dv. e Najděte normálové vektorové pole anuloidu v této parametrizaci. Nezapomeňte, že normálový vektor má být jednotkový! n = cos u cos v, cos u sin v, sin u nebo opačný vektor. f Vypočtěte druhou fundamentální formu anuloidu v této parametrizaci. h = R, h = h =0, h = R cos u + R cos u, resp. II = R du +R cos u + R cos udv. g Spočtěte tvarový operátor Shape operator anuloidu. Označíme-li g a h matice koeficientů první a druhé fundamentální formy, pak S = g h = R 0 cos u. 0 R +R cos u h Určete Gaussovu a střední křivost anuloidu. K = det S = det h det g = cos u R R +R cos u, H = Tr S = R +R cos u R R +R cos u i Spočtěte všechny Christoffelovy symboly anuloidu v této parametrizaci. Γ =Γ =Γ =Γ =Γ =0, Γ = sin ur+r cos u R, Γ =Γ =. Uvažujme sféru s parametrizací rϑ, ϕ =[R cos ϑ cos ϕ; R cos ϑ sin ϕ; R sin ϑ]. a Určete, zda je tato parametrizace sféry regulární. R sin u R +R cos u Parametrizace není regulární pro ϑ = π + kπ, kde k Z severní a jižní pól. Jacobiho matice má v těchto bodech hodnost. b Načrtněte souřadnicovou síť na na sféře vytvářenou touto parametrizací. Pro R =viz obrázek. 8

c Vypočtěte první fundamentální formu sféry v této parametrizaci. g = R, g = g =0, g = R cos ϑ, resp. I = R dϑ + R cos ϑdϕ. d Najděte normálové vektorové pole sféry v této parametrizaci. n = cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ nebo opačný vektor. e Vypočtěte druhou fundamentální formu sféry v této parametrizaci. h = R, h = h =0, h = R cos ϑ, resp. II = Rdϑ + R cos ϑdϕ. f Spočtěte tvarový operátor sféry. Označíme-li g a h matice koeficientů první a druhé fundamentální formy, pak S = g h = g Určete Gaussovu a střední křivost sféry. R 0. 0 R K = det S = det h det g = R = konst = jedná se o sférickou plochu, H = Tr S = R = konst = jedná se o plochu s konstantní střední křivostí. h Spočtěte hlavní křivosti sféry a pomocí nich určete Gaussovu a střední křivost sféry. Hlavní křivosti určíme jako vlastní hodnoty tvarového operátoru: κ, = R = hlavní křivosti jsou konstantní ve všech bodech sféry. K = κ κ = R, H = κ + κ = R. i Spočtěte všechny Christoffelovy symboly sféry v této parametrizaci. Γ =Γ =Γ =Γ =Γ =0, Γ = sin ϑ cos ϑ, Γ =Γ = tan ϑ 3. Uvažujme otevřenou polosféru polosféru bez rovníku s parametrizací ru, v = [ u; v; R u v ], kde u a v splňují podmínku u + v <R. a Určete, zda je tato parametrizace otevřené polosféry regulární. Ano, Jacobiho matice je regulární pro všechna u a v splňující u + v <R. b Načrtněte souřadnicovou síť na na otevřené polosféře vytvářenou touto parametrizací. Pro R =viz obrázek. 9

c Vypočtěte první fundamentální formu otevřené polosféry v této parametrizaci. I = R v R u v du uv + R u v dudv + R u R u v dv 4. Uvažujme helikoid, katenoid, pseudosféru a rotační válcovou plochu. U všech těchto ploch spočtěte první a druhou fundamentální formu, Gaussovu a střední křivost, případně též Christoffelovy symboly. Určete též, zda je některé z těchto ploch nepatří do některé z výše uvedených tříd ploch sférické, pseudosférické, rozvinutelné, minimální plochy, plochy s konstantní střední křivostí. Všechny výpočty naleznete ve worksheetech helikoid.mw, katenoid.mw, pseudosfera.mw, valec.mw. 5. Určete délku křivky ut =t, vt =t, kde t 0, π na ploše, jejíž první fundamentální forma má tvar I =du + 4 cos vdv. 6. Loxodroma na sféře je křivka, která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem viz obrázek. Sféru parametrizujme obvyklým způsobem pomocí sférických souřadnic, rϑ, ϕ =[R cos ϑ cos ϕ; R cos ϑ sin ϕ; R sin ϑ], v nichž má první fundamentální forma tvar I = R dϑ + R cos ϑdϕ. Lze poměrně snadno odvodit, že loxodroma má rovnici ϕ ϕ 0 = tan αarctanh sin ϑ arctanh sin ϑ 0, 3 přičemž se většinou řeší dva typy úloh:. Jsou zadány dva body rϑ,ϕ a rϑ,ϕ, kterými má loxodroma procházet, z rovnice 3 jsme pak schopni určit úhel α, pod kterým loxodroma protíná všechny poledníky,. je dána odchylka od poledníků α a jeden bod rϑ 0,ϕ 0, kterým má loxodroma procházet, v rovnici 3 pak vystupuje ϑ jako parametr, přičemž ϕ je jeho funkcí. Určete délku loxodromy mezi body rϑ,ϕ a rϑ,ϕ. Nejprve určíme úhel α, ze vztahu 3 dostáváme ϕ ϕ α = arctan. arctanh sin ϑ arctanh sin ϑ Loxodroma je podle 3 vlastně zadána rovnicemi ϑt =t a ϕt = tan αarctanh sin t arctanh sin t + ϕ, kde α, t = ϑ a ϕ jsou konstanty. Bod rϑ,ϕ považujeme za výchozí a budeme od něj počítat délku loxodromy až do bodu rϑ,ϕ. Spočtěme dϑ a dϕ: dϑ =dt, dϕ = tan α sin t cos t dt = tan α cos t dt. Nyní stačí dosadit do vztahu pro délku křivky na podvarietě předpokládáme α, ϑ 0, π, ať se vyhneme absolutním hodnotám: l = = t t R dϑ + R cos ϑdϕ = R dt + R cos t t t t R + tan αdt = R t cos α dt = R t cos α t t tan α cos t dt = t dt = R cos α t t. 0

Jestliže jsme za parametr t označili přímo latitudu ϑ, potom l = R cos α ϑ ϑ. Kupř. pro ϑ,ϕ = 0, 0 a ϑ,ϕ = π 4, π 4 dostáváme α. = 4 4 a l. =,05R. 7. Spočtěte Lieovu závorku vektorových polí ξ = y x x y + xyz z a η = ln x x + z y + z. [ξ, η] = xz y x x + ln x +xyz y + yz ln x xz3 xy z