1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy 1. Úpravy algebraických výrazů: mnohočleny, zlomky, mocniny, odmocniny. 2. Rovnice: lineární (s parametrem), kvadratické (i v oboru komplexních čísel), iracionální. Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. 3. Nerovnice: lineární, v součinovém a podílovém tvaru (řešení pomocí nulových bodů), kvadratické. 4. Absolutní hodnota. Geometrický význam absolutní hodnoty. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (řešení pomocí nulových bodů). 5. Funkce: definiční obor, vlastnosti, funkce lineární, kvadratická, kubická, iracionální, lomená. 6. Exponenciální a logaritmická funkce. Pravidla pro logaritmování, logaritmování a odlogaritmování výrazů. Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice. 7. Goniometrické funkce, jejich grafy a hodnoty. Goniometrické rovnice a nerovnice. 8. Analytická geometrie v rovině. Vektory. Přímka - typy rovnic, graf. Kružnice - typy rovnic, určení středu a poloměru doplněním na čtverec. 1
1.3 Podmínky absolvování předmětu Zápočet pro studenty denního studia 1. Účast na cvičeních, 20 % dovolené neúčasti. 2. Absolvování tří písemných testů (max. 5 bodů/test). K zápočtu je nutné získat celkově alespoň 5 bodů ze všech testů. 3. Odevzdání semestrální práce zadané vedoucím cvičení (5 bodů). Zápočet pro studenty kombinovaného studia 1. Účast na přednáškách pro studenty kombinovaného studia (účasti se bodují po 5 bodech za přednášku, max 20 bodů). 2. Při vyšší neúčasti nebo zájmu o zisk bodů navíc lze odevzdat semestrální práci o hodnotě max 10 bodů dle kvality práce. Celkem minimálně 10, maximálně 20 bodů. Zkouška 1. Písemná část zkoušky - zisk aspoň 25 bodů z maxima 60 bodů. 2. Ústní část zkoušky - zisk aspoň 5 bodů z maxima 20 bodů. Celkem maximálně 80 bodů. Součet bodů za zápočet a zkoušku - aspoň 51 bodů ze 100 možných. Známka: nevyhověl dobře velmi dobře výborně Body: 0-50 51-65 66-85 86-100 Základní Literatura 1. Vrbenská, H., Bělohlávková, J.: Základy matematiky pro bakaláře I. Skriptum VŠB-TUO. 2. Vrbenská, H., Bělohlávková, J.: Základy matematiky pro bakaláře II. Skriptum VŠB-TUO. 3. Burda, P., Kreml, P.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Skriptum VŠB-TUO. 4. http://www.studopory.vsb.cz/materialy.html 5. http://mdg.vsb.cz/wiki 2
Používaná symbolika - matematická logika Logické operace. p, q... výroky negace p neplatí p konjunkce p q p a zároveň q disjunkce p q p nebo q implikace p q z p vyplývá q ekvivalence p q p právě tehdy, když q Kvantifikátory. existenční existuje! existuje právě jeden obecný pro všechna Používaná symbolika - množiny Prvek a množina a... prvek, A, B... množiny a A a / A a je prvkem A a není prvkem A Vztahy mezi množinami rovnost A = B A je rovno B inkluze A B A je podmnožinou B ostrá inkluze A B A je vlastní podmnožinou B Množinové operace sjednocení A B A sjednoceno s B průnik A B A průnik B rozdíl A \ B A minus B 3
2 FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ 2.1 Definice funkce V každodenní praxi se setkáváme s funkčními závislostmi jedné veličiny (např. y) na druhé (např. x). Uražená dráha v autě závisí na čase cesty, cena jízdenky v autobusu závisí na počtu kilometrů, obsah obdélníka na jeho stranách, apod. Představme si vztah y = 2x 2 + 3. Zvolíme-li libovolné konkrétní reálné číslo x 0, je tímto vztahem určeno právě jedno číslo y 0 = 2x 2 0+3. Např. pro hodnotu x 0 = 1 obdržíme y 0 = 5. Zvolíme-li tedy libovolné číslo x R, obdržíme právě jedno číslo y 3, + ). Vše shrneme následující definicí. Definice 2.1. Funkcí jedné reálné proměnné nazýváme zobrazení, které každému prvku z množiny D f R přiřadí právě jeden prvek z množiny H f R. Číslo x se nazývá argument funkce f. Číslo y funkční hodnota funkce f v bodě x. Množinu D f nazýváme definiční obor funkce f. Množinu H f obor hodnot funkce f. Označení: f : y = f(x), f : x f(x) Způsoby zadání funkce Funkce může být zadána různými způsoby. Analyticky explicitně: y je v rovnici vyjádřeno ve formě f : y = f(x), např. f : y = x 2 + 6x 2 implicitně: y není ze vztahu F (x, y) = 0 vyjádřeno, např. x 2 y 3 e y = 0 parametricky: proměnné x, y jsou vyjádřeny závislostí na parametru t x = ϕ(t) y = ψ(t) t D např. x = 3 cos t y = 3 sin t t R Tabulkou Grafem 4
Slovně Graf funkce Definice 2.2. Grafem funkce f : y = f(x) nazveme množinu všech bodů [x, f(x)], x D f v kartézské soustavě souřadnic. Příklad 2.1. Určete, zda se na Obr. 1 jedná o graf funkce. Obrázek vlevo je grafem funkce, nebot každému x R odpovídá právě jedno y. Obr. 1. Jedná se o graf funkce? Obrázek vpravo grafem funkce není, protože existuje hodnota x R taková, že jí odpovídají dvě "funkční hodnoty"y. Operace s funkcemi Definice 2.3. Necht f, g jsou funkce. Pak říkáme, že funkce f, g jsou si rovny, pokud D f = D g = D x D : f(x) = g(x). Definice 2.4. Necht f, g jsou funkce a množina D = D f D g je neprázdná. Na množině D pak definujeme součet funkcí f + g : (f + g)(x) = f(x) + g(x), x D, rozdíl funkcí f g : (f g)(x) = f(x) g(x), x D, součin funkcí f g : (f g)(x) = f(x) g(x), x D. Definice 2.5. Necht f, g jsou funkce a množina D = D f D g \ {x D g : g(x) = 0} je neprázdná. Na množině D pak definujeme podíl funkcí f/g předpisem (f/g)(x) = f(x) g(x), x D. 5
Argument funkce, stejně jako funkční hodnota, jsou reálná čísla. Můžeme tedy funkční hodnotu jedné funkce, např. g dosadit jako argument do jiné funkce, např. f. Takto vznikne nová funkce, tzv. složená y = f(g(x)). Definice 2.6. Necht f : y = f(u), g : u = g(x) jsou funkce a množina D = {x D g : u = g(x) D f } je neprázdná. Na množině D pak definujeme složenou funkci f g předpisem (f g)(x) = f(g(x)), x D. Funkce f se nazývá vnější funkce. Funkci g se říká vnitřní funkce. Např. složením funkcí f : y = u, g : u = x 2 + 1 dostaneme složenou funkci f g : y = x 2 + 1. 2.2 Vlastnosti funkce Sudost, lichost Definice 2.7. Funkce f se nazývá sudá, jestliže x D f : x D f f( x) = f(x). lichá, jestliže x D f : x D f f( x) = f(x). Obr. 2. a) sudá funkce, např. y = cos x, b) lichá funkce, např. y = sin x Pozn. Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y. Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadnic. Definiční obor sudé i liché funkce je souměrný podle nuly. Příklad 2.2. Rozhodněte, zda je daná funkce sudá nebo lichá. 1) y = x + sin x 2) y = 3x2 x 4 1 3) y = x + 4 4) y = ln 2 x 2+x Řešení: Ověříme obě podmínky definice sudosti (lichosti) funkce. Nejprve určíme definiční obor funkce. Pokud není symetrický podle nuly, funkce nemůže být ani sudá, ani lichá. Pokud symetrický je, funkce může být sudá nebo lichá a má smysl ověřit druhou podmínku. Vyjádříme funkční hodnotu v f( x) a pokud se nám 6
podaří výraz upravit pomocí f(x) dle definice, dokážeme příslušnou vlastnost. Pokud existují dvě konkrétní hodnoty x, x, které nesplňují definici, funkce není ani sudá, ani lichá. 1) y = x + sin x, D f = R definiční obor je souměrný podle nuly. f( x) = x + sin( x) = x sin x = (x + sin x) = f(x) funkce je lichá. 2) y = 3x2 x 4 1 Určení definičního oboru: x 4 1 0 x ±1 D f definiční obor je souměrný podle nuly. f( x) = 3( x)2 = 3x2 = f(x) funkce je sudá. ( x) 4 1 x 4 1 3) y = x + 4, D f = 4, ) funkce není ani sudá ani lichá. = R \ {±1} 4) y = ln 2 x 2+x Určení definičního oboru funkce - řešíme nerovnici 2 x > 0. 2+x Nulové body čitatele a jmenovatele zlomku: x = ±2. Zjištění znamének hodnot výrazu na jednotlivých intervalech (dosazením nebo graficky znázorněním grafů dílčích funkcí): x (, 2) ( 2, 2) (2, ) f(x) - + - tj. D f = ( 2, 2) definiční obor je souměrný podle nuly. f( x) = ln 2 ( x) 2+x = ln = ln ( ) 2 x 1 2+( x) 2 x 2+x = ln 2 x = f(x) funkce je 2+x lichá. Periodičnost Definice 2.8. Funkce f se nazývá periodická, pokud existuje reálné číslo p > 0 tak, že platí x D f : x ± p D f f(x ± p) = f(x). Číslu p se říká perioda funkce f. Nejmenší perioda funkce f se nazývá základní perioda funkce f. Příklad 2.3. Určete základní periodu funkcí 1) y = sin x 2) y = tg x 2 3) y = sin 3x 4) y = 2 sin(3x π 2 ) Řešení: 1) Funkce y = sin x je periodická se základní periodou 2π. 2) Funkce y = tg x 2 má poloviční artgument, tj. dvojnásobnou základní periodu 7
Obr. 3. periodická funkce, např. y = tg x vůči funkci y = tg x, jejíž perioda je π. Základní perioda hledané funkce je proto 2π. 3) Funkce y = sin 3x má trojnásobný argument vůči y = sin x, tj. její základní perioda je třetinou periody funkce sinus. Její základní perioda je proto 2 3 π. 4) Funkce y = 2 sin(3x π) = 2 sin(3(x π)) má opět základní periodu 2π. 2 6 3 Vnitřní funkce u = x π udává pouze posunutí funkce o π doprava, zatímco 6 6 dvojka před sinem určuje velikost amplitudy. Ohraničenost Definice 2.9. Necht f je funkce a M D f. Pak f se nazývá ohraničená shora na M, jestliže h R, x M : f(x) h. ohraničená zdola na M, jestliže d R, x M : f(x) d. ohraničená na množině M, je-li na množině M ohraničená shora i zdola. Obr. 4. Funkce a) ohraničená shora, b) ohraničená zdola, c) ohraničená. 8
Monotónnost Definice 2.10. Necht f je funkce a M D f. Pak f se nazývá rostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), klesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ), neklesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), nerostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Funkce neklesající a nerostoucí na D f se nazývají monotónní. Funkce rostoucí a klesající na D f se nazývají ryze monotónní. Obr. 5. Funkce rostoucí na D f = 0, ), např. y = x. Obr. 6. klesající na (, 0); (0, ), např. y = 1 x. Zatímco funkce y = x na Obr. 5 je rostoucí na celém svém definičním oboru D f = 0, ), lineární lomená funkce y = 1 na Obr. 6 je klesající pouze na dílčích intervalech x (, 0); (0, ). Nelze říct, že je klesající na celém svém x definičním oboru, nebot pro volbu x 1 (, 0), x 2 (0, ) definice neplatí. Prostota Definice 2.11. Funkce f se nazývá prostá, jestliže x 1, x 2 D f : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Lineární lomená funkce y = 1 x na Obr. 7 je na svém definičním oboru D f = 9
Obr. 7. a) funkce prostá, např. y = 1 x, b) funkce není prostá, např. y = x2. R\{0} prostá, nebot každému y H f odpovídá pouze jedno příslušné x D f, tj. každé dvě různé x 1 x 2 D f mají také různé funkční hodnoty f(x 1 ) f(x 2 ). Naopak kvadratická funkce y = x 2 prostá není, protože jedné hodnotě y odpovídají dva různé argumenty x 1, x 2, např. f( 1) = f(1) = 1. Inverzní funkce Definice 2.12. Necht funkce f : D f H f je prostá. Funkce f 1 : H f D f se nazývá inverzní funkce k funkci f, jestliže x D f y H f : f 1 (y) = x f(x) = y. Poznámka Funkce f a f 1 se nazývají vzájemně inverzní. Grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle osy 1. a 3. kvadrantu. D f = H f 1. H f = D f 1. Obr. 8. a) f : y = x 3, f 1 : y = 3 x, b) f : y = x 2, f 1 : y = x. Funkce y = x 3 (viz. Obr. 8) je prostá na svém definičním oboru D f = R. Inverzní funkci získáme záměnou proměnných x, y a vyjádřením proměnné y z funkčního předpisu, tj. f 1 : y = 3 x. Platí, že D f 1 = H f = R. 10
Funkce y = x 2 není prostá na D f = R a tedy neexistuje inverzní funkce. Pokud bychom omezili definiční obor funkce na interval D f = 0, ), jedná se už o funkci prostou a nyní můžeme vytvořit příslušnou funkci inverzní f 1 : y = x. Platí, že D f 1 = H f = 0, ). 2.3 Základní elementární funkce I. Konstantní funkce f : y = c, c R, D f = R, H f = {c}. Grafem funkce je přímka rovnoběžná s osou x procházejícím bodem c na ose y. Obr. 9. Konstantní funkce, např. f : y = 2. II. Mocninná funkce f : y = x a, a R \ {0} Definiční obor funkce závisí na hodnotě parametru a. 1) f : y = x n, n N Je-li exponentem přirozené číslo n, D f = R. Pro sudé exponenty je funkce sudá, tj. souměrná podle osy y, a grafy funkcí vždy procházejí body [ 1, 1], [0, 0], [1, 1]. Typickým představitelem je parabola y = x 2. Pro lichá n je funkce lichá, tj. souměrná podle počátku souřadnic, a grafy funkcí vždy procházejí body [ 1, 1], [0, 0], [1, 1]. Typickým představitelem je kubická parabola y = x 3 (viz. Obr. 10). 2) f : y = x z, z Z \ N Je-li exponentem záporné číslo z = p, p > 0, pak funkce y = x p = 1 má x p definiční obor D f = R \ {0}. Pro liché z, resp. p je funkce lichá, grafy funkcí leží v prvním a třetím kvadrantu a vždy procházejí body [ 1, 1], [0, 0], [1, 1]. Typickým představitelem je tzv. nepřímá úměrnost y = 1, jejíž grafem je hyperbola se x středem v počátku souřadnic a jejímiž asymptotami jsou souřadné osy. Pro sudé z, resp. p, je funkce sudá, grafy leží v prvním a druhém kvadrantu a vždy procházejí body [ 1, 1], [0, 0], [1, 1]. Typickým představitelem je funkce y = x 2 = 1 (viz. x 2 11
Obr. 10. a) y = x, y = x 3, y = x 5, b) y = x 2, y = x 4 Obr. 11) Obr. 11. a) y = x 0, y = x 2, y = x 4, b) y = x 1, y = x 3. 3) f : y = x m/n, m, n N, n je sudé Je-li exponentem číslo racionální, tj. zlomek a = m, závisí definiční obor funkce n f : y = x m/n = n x m na jmenovateli zlomku, tj. řádu odmocniny n. Pokud je n sudé, definiční obor D f = 0, ). Grafy funkcí procházejí body [0, 0], [1, 1]. Pokud je exponent m < 1, funkce je konkávní (typickým představitelem je funkce n y = x 1/2 = x). Pro m > 1, je funkce konvexní (typickým představitelem je n funkce y = x 3/2 = x 3 ). Viz. Obr. 12 4) f : y = x m/n, m, n N, n je liché Je-li jmenovatel n lichý, je definiční obor D f = R. Tvar funkce a poloha závisí na koeficientu m. Je-li m liché, funkce je lichá, leží v prvním a třetím kvadrantu a prochází body [ 1, 1], [0, 0], [1, 1]. Typickým představitelem je např. funkce y = x 1/3 = 3 x (viz. Obr. 13). Je-li m sudé, funkce je sudá, leží v prvním a druhém kvadrantu a prochází body [ 1, 1], [0, 0], [1, 1]. Typickým představitelem je např. funkce y = x 2/3 = 3 x 2 (viz. Obr. 14). 12
Obr. 12. a) y = x 1/2 = x, b) y = x 3/2 = x 3 Obr. 13. a) y = x 1/3 = 3 x, y = x 5/3 = 3 x 5 Obr. 14. b) y = x 2/3 = 3 x 2, y = x 4/3 = 3 x 4 13
III. Racionální funkce Racionální funkce nepatří mezi základní elementární funkce, ale pouze mezi elementární funkce. Elementární funkce získáme ze základních elementárních funkcí konečným počtem operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládáním funkcí. Racionální funkce získáme jen z konstant a obecných mocnin s přirozeným exponentem pomocí sčítání, odčítání, násobení a dělení. Ukážeme si postupně několik základních typů racionálních funkcí, které budeme často používat. 1) Lineární funkce y = ax + b, a 0 Definiční obor D f = R. Grafem je přímka. Koeficient b určuje hodnotu průsečíku grafu s osou y. Koeficient a se nazývá směrnice přímky a platí a = tg α, kde α je orientovaný úhel, který svírá graf funkce s osou x. Je-li a > 0, funkce je rostoucí, je-li a < 0 funkce je klesající (viz. Obr. 15). Obr. 15. Lineární funkce y = 2x 1 2) Kvadratická funkce y = ax 2 + bx + c, a 0 Definiční obor D f = R. Grafem je parabola. Koeficient c určuje hodnotu průsečíku grafu s osou y. Koeficient a určuje tvar paraboly. Pro a > 0 je funkce konvexní, je-li a < 0, funkce je konkávní. Úpravou funkčního předpisu na čtverec lze dostat rovnici paraboly ve tvaru y n = a(x m) 2, z níž získáme souřadnice vrcholu paraboly [m, n] (viz. Obr. 16). 3) Lineární lomená funkce y = ax+b, ad bc 0 cx+d Definiční obor D f = R \ { d }. Grafem je hyperbola, jejíž asymptoty jsou rovnoběžné se souřadnými osami. Funkční předpis lze přepsat do tvaru y n = a, x m c z níž získáme souřadnice středu hyperboly [m, n]. Koeficient a určuje, ve kterém "kvadrantu"po příslušném posunutí leží graf funkce. Pro a > 0 leží graf v 1. a 3. posunutém kvadrantu, pro a < 0 leží graf v 2. a 4. posunutém kvadrantu (viz. Obr. 17). 4) Polynom n tého řádu f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0. 14
Obr. 16. Kvadratická funkce y = x 2 4x + 3 Obr. 17. Lineární lommená funkce y = x+3 x 1 Definičním oborem D f = R. Jedná se o zobecnění lineární a kvadratické funkce na obecně n tou mocninu proměnné x. Lineární a kvadratická funkce jsou polynomem prvního, resp. druhého řádu. Graf funkce už musíme sestavit pomocí postupu, který si ukážeme v další části kurzu. IV. Exponenciální funkce f : y = a x, a > 0, a 1 Definiční obor D f = R. Funkce je ohraničená zdola a její obor hodnot H f = (0, ). Každá exponenciální funkce prochází bodem [0, 1]. Pro a > 1 je funkce rostoucí na celém svém definičním oboru, pro 0 < a < 1 je funkce na celém svém definičním oboru klesající (viz. Obr. 18). Pro práci s exponenciálními funkcemi používáme vzorce a r+s = a r a s, a r s = ar a s, (ar ) s = a rs. Často budeme používat funkci y = e x, kde základem je tzv. Eulerovo číslo e = 2, 718... V. Logaritmická funkce f : y = log a x, a > 0, a 1 15
Obr. 18. a) 0 < a < 1, např. y = ( 1 2) x, b) 1 < a, např. y = e x. Exponenciální funkce y = a x je prostá, proto k ní existuje funkce inverzní, tzv. logaritmická funkce o základě a. Z vlastností vzájemně inverzních funkcí platí, že definiční obor logaritmické funkce D f = (0, ) a obor hodnot H f = R. Grafy exponenciální funkce y = a x a příslušné logaritmické funkce f : y = log a x jsou souměrné podle osy 1. a 3. kvadrantu. Proto každá logaritmická funkce prochází bodem [1, 0]. Pro a > 1 je funkce rostoucí na celém svém definičním oboru, pro 0 < a < 1 je funkce klesající (viz. Obr. 19). Opět si připomeneme často používané vzorce r log a r + log a s = log a r s, log a r log a s = log a s, n log a r = log a r n. Logaritmickou funkci inverzní k funkci y = e x označujeme y = ln x a nazýváme ji přirozený logaritmus. Obr. 19. a) 0 < a < 1, např. y = log 0,5 x, b) 1 < a, např. y = ln x VI. Goniometrické funkce Funkce y = sin x, y = cos x jsou definovány pomocí souřadnic bodu na jednotkové kružnici. Definičním oborem D f = R a oborem hodnot H f = 1, 1. Grafem funkce je sinusoida, resp, kosinusioda (viz. Obr. 20). Obě funkce jsou periodické s periodou 2π, tj. platí sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x. 16
Funkce y = sin x je lichá, zatímco funkce y = cos x je sudá, tj. platí sin( x) = sin x, cos( x) = cos x. Funkce y = tg x je definována vztahem tg x = sin x. Definiční obor funkce proto cos x Obr. 20. a) f : y = sin x, D f = R, b) f : y = cos x, D f = R musí splňovat podmínku cos x 0, tj. funkce není definována pro liché násobky π. Odtud D 2 f = R \ {(2k + 1) π }, kde k Z. Funkce y = tg x je lichá, periodická 2 s periodou π a rostoucí v každém dílčím intervalu ( (2k 1) π, (2k + 1) ) π 2 2. Funkce y = cotg x je definována vztahem cotg x = cos x. Definiční obor funkce sin x musí splňovat podmínku sin x 0, což odpovídá celým násobkům π. Proto D f = R \ {kπ}, kde k Z. Funkce y = cotg x je lichá, periodická s periodou π a klesající v každém dílčím intervalu (kπ, (k + 1)π). Obory hodnot obou funkcí H f = R. Jejich grafy viz. Obr. 21. Znaménka jednotlivých goniometrických funkcí v příslušných kvadrantech (in- Obr. 21. c) f : y = tg x, D f = R \ { (2k + 1) π, k Z}, d) 2 f : y = cotg x, D f = R \ {kπ, k Z} tervalech) lze vyčíst z grafů funkcí. Dále budeme potřebovat hodnoty všech čtyř goniometrických funkcí ve významných bodech prvního kvadrantu, tj. na intervalu 0, π 2 17
x 0 π 6 sin x 0 1 cos x 1 tg x 0 π 4 2 2 2 3 2 2 2 3 1 3 π π 3 2 3 1 2 1 0 2 3 / Df cotg x / D f 3 1 3 3 0 Ze spousty známých goniometrických vzorců si uvedeme pouze ty, které budeme pravidelně používat (přičemž poslední dvojici až v následujícím semestru): sin 2 x + cos 2 = 1, tg x = 1 cotg x, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos 2 x sin 2 x, sin 2 x = 1 (1 cos 2x), 2 cos2 VII. Cyklometrické funkce x = 1 (1 + cos 2x). 2 Jedná se o funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Všechny goniometrické funkce jsou však periodické a tedy nejsou prosté. Proto je nutné omezit definiční obory jednotlivých goniometrických funkcí tak, abychom pracovali pouze s prostými funkcemi. Funkce y = sin x je na intervalu π, π rostoucí, prostá a nabývá všech hodnot mezi 1 a 1. V tomto intervalu k ní existuje inverzní funkce 2 2 y = arcsin x (čteme arkus sinus). Její definiční obor D f = 1, 1 a obor hodnot H f = π, π. Podobně funkce y = cos x je na intervalu 0, π klesající, tedy 2 2 prostá a nabývá všech hodnot mezi 1 a 1. V tomto intervalu k ní existuje inverzní funkce y = arccos x (čteme arkus kosinus). Její definiční obor D f = 1, 1 a obor hodnot H f = 0, π. Grafy funkcí viz. Obr. 22. Funkce y = tg x je na intervalu ( π, π ) rostoucí, prostá a nabývá hodnot všech 2 2 Obr. 22. a) f : y = arcsin x, D f = 1, 1, b) f : y = arccos x, D f = 1, 1 reálných čísel. V tomto intervalu k ní existuje inverzní funkce y = arctg x (čteme arkus tangens). Její definiční obor D f = R a obor hodnot H f = ( π, π ). Podobně 2 2 18
funkce y = cotg x je na intervalu (0, π) klesající, prostá a nabývá hodnot všech reálných čísel. V tomto intervalu k ní existuje inverzní funkce y = arccotg x (čteme arkus kotangens). Její definiční obor D f = R a obor hodnot H f = (0, π). Grafy funkcí viz. Obr. 23. Obr. 23. c) f : y = arctg x, D f = R, d) f : y = arccotg x, D f = R Určení definičního oboru funkcí Na základě definičních oborů elementárních funkcí jsme schopni určit z předpisu definiční obor libovolné funkce, tj. všechna x, pro které má daná funkce smysl. Při určování definičního oboru funkcí se řídíme těmito zásadami: jmenovatel zlomku musí být různý od nuly, sudá odmocnina je definována pouze z nezáporných hodnot svého argumentu, logaritmus je definován pouze pro kladné hodnoty svého argumentu, argument funkce tangens nesmí být roven lichým násobkům π 2, argument funkce kotangens nesmí být roven celým násobkům π, funkce arcsin a arccos jsou definovány pouze na intervalu 1, 1. Příklad 2.4. Určete definiční obor funkcí 1) y = x3 +2x 1 x 2 +x 2 + ln(x + 4), 2) y = x+1 x 4 + 3 x + 7, 3) y = cos 2x + tg(2x + π ), 4) y = arccos(2x 3). 4 Řešení: 1) y = x3 +2x 1 + ln(x + 4) x 2 +x 2 Stanovíme podmínky výrazu a vyřešíme získané (ne)rovnice. Jmenovatel zlomku musí být různý od nuly. Argument logaritmu musí být kladný. x 2 + x 2 0 (x + 2)(x 1) 0 x 2, 1 x + 4 > 0 x > 4. 19
Obě podmínky musí platit najednou. Definiční obor je tedy D f = ( 4, 2) ( 2, 1) (1, ). x+1 2) y = + 3 x + 7 x 4 Opět stanovíme podmínky. Zlomek pod druhou odmocninou musí být kladný a jmenovatel tohoto zlomku musí být různý od nuly. Třetí odmocnina je definována na všech reálných číslech a proto nám definiční obor funkce nijak neomezuje. x+1 0 x 4 x 4 Nerovnici vyřešíme pomocí nulových bodů. Všechna reálná čísla rozdělíme pomocí nulových bodů 1, 4 na tři dílčí intervaly a určíme znaménka zlomku v jednotlivých intervalech x (, 1) ( 1, 4) (4, ) x + 1 - + + x 4 - - + x+1 + - + x 4 Krajní body intervalů vyřešíme zvlášt. Zatímco 1 v definičním oboru leží, nebot nerovnice je neostrá, bod 4 v definičním oboru ležet nemůže, protože je nulovým bodem jmenovatele. Proto D f = (, 1 (4, ). 3) y = cos 2x + tg(2x + π) 4 Jediné omezení definičního oboru plyne z funkce tangens. Argument funkce tangens nesmí být roven lichým násobkům π, tj. 2 2x + π π + kπ 2x π + kπ x π + k π 4 2 4 8 2 Odtud D f = R \ { π + k π }, k Z. 8 2 4) y = arccos(2x 3) Argument funkce arkus kosinus musí být pouze v intervalu 1, 1 : 1 2x 3 1 2 2x 4 1 x 2 Proto D f = 1, 2. 2.4 Limita funkce Před zavedením pojmu limity si ukážeme jednoduchý příklad. Motivační příklad: Nakreslete graf funkce f : y = x3 x 2 +x 1 x 1 Řešení: Stanovíme definiční obor: D f = R \ {1}. Dále upravíme výraz postupným vytýkáním a krácením y = x3 x 2 +x 1 = x2 (x 1)+x 1 = (x2 +1)(x 1) = x 2 + 1. x 1 x 1 x 1 Funkce f : y = x3 x 2 +x 1 není v bodě x = 1 definovaná, ale funkce g : y = x 2 +1 x 1 20
má v tomto bodě hodnotu g(1) = 2. Výrazy jsou si rovny pro všechna x R\{1}. Blíží-li se hodnota funkcí f(x) a g(x) k bodu x = 1, blíží se hodnoty obou funkcí k y = 2. Číslo g(1) = 2 nazýváme limitou funkce f : y = x3 x 2 +x 1 a zapisujeme x 1 x 3 x 2 + x 1 lim x 1 x 1 = lim x 1 (x 2 + 1) = 2 Grafy funkcí tedy musí být až na jediný bod x = 1 totožné. Grafem funkce g : y = x 2 + 1 je parabola s vrcholem v bodě 1 na ose y. Grafem funkce f : y = x3 x 2 +x 1 tedy musí být tatáž parabola s jedním "chybějícím bodem"o x 1 souřadnicích [1, 2] (viz. Obr. 24). Obr. 24. Graf funkce f : y = x3 x 2 +x 1 x 1. Okolí bodu Nejprve si zavedeme pojem okolí bodu, který budeme používat v dalších definicích. Jedná se o otevřený interval (x 0 ε, x 0 + ε), kde ε je nějaké malé kladné číslo. Podobně pak nadefinujeme různé další varianty okolí - levé, pravé a tzv. prstencové okolí, což je okolí bodu x 0 bez bodu x 0 samotného. Definice 2.14. Necht x 0 R a ε > 0. Pak nazýváme okolí bodu x 0 O(x 0 ) = {x R : x x 0 < ε} prstencové okolí bodu x 0 P (x 0 ) = {x R : 0 < x x 0 < ε} levé okolí bodu x 0 O (x 0 ) = {x R : x 0 ε < x x 0 } levé prstencové okolí bodu x 0 P (x 0 ) = {x R : x 0 ε < x < x 0 } pravé okolí bodu x 0 O + (x 0 ) = {x R : x 0 x < x 0 + ε} pravé prstencové okolí bodu x 0 P + (x 0 ) = {x R : x 0 < x < x 0 + ε} 21
Limita funkce Definice 2.15. Necht funkce y = f(x) je definována na nějakém prstencovém okolí bodu x 0 R a necht a R. Říkáme, že funkce f má v bodě x 0 limitu a právě tehdy, když ε > 0 δ > 0 x D f : 0 < x x 0 < δ f(x) a < ε. Označujeme: lim x x0 f(x) = a. Obr. 25. Limita funkce Definice říká, že ke každému okolí O(a) bodu a nalezeneme prstencové okolí P (x 0 ) bodu x 0 takové, že každé x P (x 0 ) z tohoto prstencového okolí má funkční hodnotu v O(a). Z definice plyne, že limita funkce nezávisí na tom, zda je funkce v bodě x 0 definovaná nebo není. Jednostranné limity Definice 2.16. Necht funkce y = f(x) je definována na nějakém levém (resp. pravém) prstencovém okolí bodu x 0 R a necht a R. Říkáme, že funkce f má v bodě x 0 limitu a zleva (resp. zprava) právě tehdy, když ε > 0 δ > 0 x D f : x 0 δ < x < x 0 f(x) a < ε. ( resp. ε > 0 δ > 0 x D f : x 0 < x < x 0 + δ f(x) a < ε. ) Označujeme: lim x x 0 f(x) = a, lim f(x) = a x x + 0 x Příklad 2.5. Vypočtěte lim, lim x x 0 x x 0 + x Řešení: x lim x 0 x x lim x 0 + x = lim x 0 x x = 1, = lim x = 1, x 0 + x 22
Obr. 26. Graf funkce y = x x. Věty o limitách Věta 2.1. Platí: lim x x0 f(x) = a lim x x 0 lim x x 0 f(x) = lim f(x) = a. x x + 0 f(x) lim f(x) funkce f nemá v bodě x 0 limitu. x x + 0 Věta 2.2. Necht funkce f je elementární funkce, která je definována na nějakém okolí bodu x 0 R. Pak existuje její limita v bodě x 0 a platí lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Poznámka. Analogická věta platí pro limity zprava i zleva. Příklad 2.6. Vypočtěte lim x 2 4 x2. Řešení: Je-li elementární funkce definována na nějakém okolí bodu, stačí pro výpočet limity funkce dosadit funkční hodnotu v tomto bodě. Pro naši funkci je D f = 2, 2, limitu počítáme pro x jdoucí k 2 zleva, tj. lim 4 x2 = lim 4 22 = 0. x 2 x 2 Operace s limitami Věta 2.3. Necht lim x x0 f(x) = a R, lim x x0 g(x) = b R. Pak platí: lim x x0 [f(x) + g(x)] = a + b, lim x x0 [f(x) g(x)] = a b, lim x x0 [f(x) g(x)] = a b, f(x) lim = a, je-li b 0. x x0 g(x) b Věta 2.4. Necht lim x x0 g(x) = b R, lim u b f(u) = a R a necht g(x) b na 23
nějakém prstencovém okolí bodu x 0. Potom složená funkce f(g(x)) má v bodě x 0 limitu a platí lim x x0 f(g(x)) = a. Nevlastní limita ve vlastním bodě Má-li funkce f(x) v bodě x 0 konečnou limitu, říkáme, že má vlastní limitu. Nevlastní limita v bodě x 0 znamená, že na nějakém okolí bodu x 0 rostou funkční hodnoty nad libovolně zvolenou pevnou hodnotu k a říkáme, že limitou v bodě x 0 je plus nekonečno. Podobně nadefinujeme i nevlastní limitu. Definice 2.17. Necht funkce y = f(x) je definována na nějakém prstencovém okolí bodu x 0 R. Říkáme, že funkce f má v bodě x 0 limitu (resp. ) právě tehdy, když k R δ > 0 x D f : 0 < x x 0 < δ f(x) > k. (resp. k R δ > 0 x D f : 0 < x x 0 < δ f(x) < k.) Označujeme: lim x x0 f(x) =, (resp. lim x x0 f(x) = ) Obr. 27. lim ln x = x 0 + Vlastní limita v nevlastním bodě Limita funkce f(x) popisuje průběh funkce f(x) v okolí bodu x 0. Často je však třeba zjistit, co se s hodnotami funkce děje pro hodnoty x jdoucí do plus (resp. minus) nekonečna. Definice 2.18. Necht funkce y = f(x) je definována na nějakém intervalu (K, + ) a necht a R. Říkáme, že funkce f má v bodě limitu a právě tehdy, když ε > 0 K R x D f : x > K f(x) a < ε. Poznámka. Analogicky definujeme limitu v bodě. Označujeme: lim f(x) = a, (resp. lim f(x) = a) x x 24
Obr. 28. lim arctg x = π, lim arctg x = π. x 2 x 2 Nevlastní limita v nevlastním bodě Definice 2.19. Necht funkce y = f(x) je definována na nějakém intervalu (K, + ). Říkáme, že funkce f má v bodě limitu právě tehdy, když k R K R x D f : x > K f(x) > k. Poznámka. Analogicky definujeme ostatní tři kombinace lim f(x) = ±. x ± Obr. 29. lim x ( x2 ) =, lim x ( x2 ) =. Věty o nevlastních limitách Věty platící pro vlastní limity lze často použít i pro nevlastní limity, nevede-li výpočet k tzv. neurčitým výrazům, které si vysvětlíme v poznámce za větou. Věta 2.5. Necht x 0 R {± }, lim f(x) = a > 0, lim g(x) = 0 a x x0 x x0 necht funkce y = g(x) je kladná na nějakém redukovaném okolí bodu x 0. Pak f(x) lim =. x x g(x) 0 Symbolicky lze věty zapsat a+ =. Analogické věty jen symbolicky: 0 + a 0 =, a+ 0 =, a 0 + =, a ± = 0, a + =, a =, a + ( ) =, a ( ) =, 25
=, ( ) =, ( ) ( ) =, a + =, a =, + =, =. Poznámka. Výsledkem limit tzv. neurčitých výrazů (, 0 0, 0,, 1, apod.) může být jakýkoli prvek z R {± }. Limity některých základních funkcí Výpočet se provede pomocí definice nebo některé ze základních vět, případně ze znalosti grafu příslušné základní elementární funkce. lim x xn =, 1 lim =, x 0 + x lim x ex = 0, lim ln x =, lim x 0 + lim x ± 1 = 0, n > 0, x n lim 1 =, x 0 x lim e x =, x ln x =. x Dále často využíváme definice Eulerova čísla: lim x Výpočet některých typů limit I. Dosazení na základě Věty 2.2. ( 1 + x) 1 x ( = lim 1 + a ) x a x x = e. Příklad 2.7. Vypočtěte: 1) lim x 1 (x3 2x + 3) x 2 2) lim x 2 3 x Řešení: Je-li funkce definovaná na okolí bodu x 0, stačí přímé dosazení. 1) lim x 1 (x3 2x + 3) = lim x 1 (( 1)3 2 ( 1) + 3) = 4. x 2 2 2 2) lim = lim = 0. x 2 3 x x 2 3 2 II. Limita typu 0. Při formálním dosazení do výrazu dostaneme v čitateli i jmenovateli nulu. Proto limita typu 0. Zlomek se snažíme zkrátit výrazem konvergujícím 0 0 k nule nebo rozšířit jedničkou ve vhodném tvaru a následně opět krátit. Příklad 2.8. Vypočtěte: x 1) lim 3 1 x 1 x 2 1 2) lim x 2 x 2 x+7 3 3) lim x+1 2 x 3 3 x+6 26
Řešení: 1) Zde stačí zlomek upravit, zkrátit výraz konvergující k nule a opět dosadit. x lim 3 1 = lim (x 1)(x 2 +x+1) x = lim 2 +x+1 = 3. x 1 x 2 1 x 1 (x 1)(x+1) x 1 x+1 2 2) Nyní už přímo krátit nelze. Proto rozšíříme výraz jedničkou tak, abychom se při použití vzorce (a + b)(a b) = a 2 b 2 zbavili odmocniny a následně opět krátíme výrazem konvergujícím k nule a dosadíme. lim x 2 x 2 x+7 3 x+7+3 x+7+3 = lim (x 2)( x+7+3) x 2 x+7 9 = lim x 2 ( x + 7 + 3) = 6. 3) Podobně jako v předchozím příkladě jen s tím rozdílem, že členy obsahující odmocniny máme jak v čitateli, tak ve jmenovateli. Proto musíme provést rozšíření dvěmi zlomky. Následný postup už je totožný. lim x 3 = 3 2. x+1 2 3 x+1+2 x+6 x+1+2 3+ x+6 3+ x+6 = lim x 3 (x+1 4)(3+ x+6) (9 x 6)( x+1+2) = lim x 3 3+ x+6 x+1+2 = III. Limita typu a, kde a 0. Nevlastní limita, jejímž výsledkem je vždy ±. 0 Výpočet provedeme určením znaménka výrazu obou jednostranných limit. Příklad 2.9. Vypočtěte: 1 1) lim x 0 x 3 2) lim x 2 x 3 x 2 4 Řešení: Problém rozdělíme na dvě jednostranné limity a pro každou z nich určíme znaménko výrazů v čitateli i jmenovateli. 1) Čitatel 1 je vždy kladný. Jmenovatel x 3 je pro kladná x kladný a pro záporná x záporný. V prvním případě tedy řešíme podíl dvou kladných čísel a výsledek musí být kladný. V druhém případě podíl kladného a záporného čísla a výsledek musí být záporný. 1 lim = ( + x 0 + x +) =. 3 1 lim = ( + x 0 x ) =. 3 2) Výraz x 3 pro x jdoucí k 2 konverguje k 5 (stačí přímé dosazení) a tedy je v obou případech záporný. Jmenovatel x 2 4 může v bodě 2 měnit znaménko ( 2 je nulovým bodem výrazu x 2 4) a proto určíme znaménko výrazu v pravém a levém okolí bodu 2. Nejjednodušším způsobem je bud načrtnutí grafu funkce (x 2 4 je konvexní parabola procházející průsečíky ±2) nebo dosazením hodnot blízkých 2 zleva a zprava (např. 2, 01 a 1, 99). Oběmi způsoby určíme, že výraz x 2 4 je vlevo od bodu 2 kladný a vpravo záporný. Následně určíme znaménka podílu a získáme výsledek. lim x 2 + x 3 = ( x 2 4 ) =. 27
lim x 2 x 3 = ( x 2 4 +) =. IV. Limita typu. V případě limity podílu dvou polynomů v nevlastním bodě lze z čitatele i jmenovatele vytknout největší mocninu x, která se vyskytuje ve jmenovateli, a tou pak celý zlomek krátit. Příklad 2.10. Vypočtěte: 2x 1) lim 2 +4x 1 x ± x 2 +3x 1 Řešení: 2) lim x ± 2x 3 2x 3x 2 +5x 3 3) lim x ± 3x 2 +x 2 3x 3 x 2 +6 1) Největší mocninou ve jmenovateli je x 2, které vytkneme a zkrátíme. Výrazy typu a, a, atd. konvergují pro x ± k nule. Odtud ihned získáme výsledek. x x 2 2x lim 2 +4x 1 = lim x 2 (2+ 4 x 1 x ± x 2 x 2 ) = lim 2+ 4 x 1 +3x 1 x ± x 2 (1+ 3 x 1 x 2 = 2. x 2 ) x ± 1+ 3 x 1 x V případě, že se jedná o podíl dvou polynomů stejného 2 řádu, je výsledek vždy roven poměru koeficientů u nejvyšších mocnin obou polynomů. 2) Opět vytýkáme a krátíme x 2 (největší mocnina ve jmenovateli) a pak provedeme formální dosazení. Neuvažujeme-li členy konvergující k nule, zůstane nám výraz 2x, který pro x jdoucí do nekonečna roste nade všechny meze a je pro 3 kladné hodnoty záporný a naopak pro záporné hodnoty kladný. Je tedy evidentní, že výsledkem musí být. lim x ± 2x 3 2x = 3x 2 +5x 3 lim x ± x 2 (2x 2 x ) x 2 ( 3+ 5 x 3 x 2 ) = lim x ± 2x 2 x 3+ 5 x 3 x 2 =. Je-li polynom v čitateli většího řádu než polynom ve jmenovateli, je výsledkem vždy nekonečno a je nutné jen správně určit znaménka výsledných limit. 3) Vytýkáme a krátíme největší mocninu ve jmenovateli x 3 a po dosazení ihned získáme výsledek. 3x lim 2 +x 2 = lim x 3 ( 3 x + 1 x ± 3x 3 x 2 x 2 2 x 3 ) 3 x = lim + 1 +6 x ± x 3 (1 1 x + 6 x 2 2 x 3 = 0. x 3 ) x ± 1 1 x + 6 x Je-li polynom ve jmenovateli většího řádu než polynom 3 v čitateli, je výsledkem limity vždy nula. Poznámka. Limity typu 0, lze také řešit využitím tzv. L Hospitalova pravidla, 0 které si uvedeme později v kapitole 3.5. sekci Využití derivace funkce. V. Limita typu 1. V tomto a některých dalších případech lze využít známých ( ) výsledků limit, např. lim (1 + 1 x x x )x = lim 1 + a a = e x x Příklad 2.11. Vypočtěte: 1) lim (1 + 1 x x 4 )x 2) lim x (1 + 2 x+1 )x 3) lim x ( x+3 x 1 )x 28
Řešení: 1) Výraz rozdělíme na dva členy. První se dle uvedeného vztahu musí blížit k e (pro přehlednost lze zavést substituci t = x 4, která ovšem není nutná). V druhém provedeme formální dosazení a ihned vidíme, že výraz konverguje k 1. lim (1 + 1 x x 4 )x 4+4 = lim (1 + 1 x x 4 )x 4 lim (1 + 1 x x 4 )4 = e 1 = e. ( ) x 2) Analogický postup s použitím vztahu lim 1 + a a = e x x lim (1 + 2 x x+1 )x+1 1 = lim (1 + 2 ) x+1 2 2 lim (1 + 2 x x+1 x x+1 ) 1 = e 2 1 = e 2. 3) Další podobný příklad, kde nejprve upravíme lineární lomenou funkci uvnitř závorky do tvaru požadovaného pro výpočet limity. lim ( x+3 x x 1 )x = lim ( x 1+4 x x 1 )x = lim (1 + 4 x x 1 )x = lim (1 + 4 x x 1 )x 1+1 = = lim (1 + 4 ) x 1 4 4 (1 + 4 ) = x x 1 x 1 e4. 2.5 Spojitost funkce Pojem spojitosti je s pojmem limity úzce spjatý. Funkce je v bodě x 0 spojitá, jestliže lim x x0 f(x) je rovna funkční hodnotě v tomto bodě f(x 0 ). Definice 2.20. Říkáme, že funkce f je spojitá (resp. spojitá zleva, spojitá zprava) v bodě x 0 R, jestliže x 0 D f a platí lim f(x) = f(x 0 ) (resp. lim f(x) = f(x 0 ), lim f(x) = f(x 0 )) x x 0 x x 0 x x + 0 Věta 2.6. Funkce je spojitá v nějakém bodě právě tehdy, když je v něm spojitá zleva i zprava. Věta 2.7. Necht funkce f, g jsou spojité v bodě x 0 R. Potom také funkce f + g, f g, f g jsou spojité v bodě x 0. Je-li navíc g(x 0 ) 0, je také funkce f/g spojitá v bodě x 0. Věta 2.8. Necht g je funkce spojitá v bodě x 0 R a funkce f je spojitá v bodě g(x 0 ). Pak složená funkce f(g(x)) je spojitá v bodě x 0. Typy nespojitosti Definice 2.21. Necht funkce f není spojitá v bodě x 0 R. Říkáme, že funkce f má v bodě x 0 odstranitelnou nespojitost, jestliže lim x x 0 f(x) = lim f(x). x x + 0 29
f(x) lim f(x), ale jsou reálné. Je- x x + 0 nespojitost 1. druhu, jestliže lim x x 0 jich rozdíl se nazývá skok funkce. nespojitost 2. druhu, jestliže alespoň jedna jednostranná limita je rovna ±. Obr. 30. a) odstranitelná nespojitost, b) nespojitost 1. druhu, c) nespojitost 2. druhu Spojitost na intervalu Definice 2.22. Říkáme, že funkce f je spojitá na intervalu I = a, b D f, platí-li: funkce f je spojitá v každém vnitřním bodu intervalu I, tj. x (a, b). funkce f je spojitá zprava v bodě a, zleva v bodě b. Definice 2.23. Říkáme, že funkce f je spojitá, jestliže je spojitá na celém definičním oboru. Věta 2.9. Všechny elementární funkce jsou spojité na svém definičním oboru. Věta 2.10. Necht funkce f je spojitá a existuje k ní inverzní funkce f 1. Pak f 1 je také spojitá funkce. 3 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PRO- MĚNNÉ 3.1 Definice derivace funkce Pojem derivace je stěžejním pojmem tohoto semestru. Derivace nám umožňují řešení velkého množství geometrických i fyzikálních problémů. Z geometrického 30
hlediska je pojem derivace v bodě úzce spjatý s tečnou ke grafu funkce, z fyzikálního hlediska s okamžitou změnou jedné veličiny v závislosti na změně veličiny druhé. Geometrický význam derivace funkce Na obr. 31 je nakreslen graf spojité funkce y = f(x). Zvolíme na tomto grafu pevný bod T o souřadnicích T = [x 0, f(x 0 )]. Pokusíme se zapsat rovnici tečny t ke grafu funkce y = f(x) dotýkající se v bodě T. Stačí najít směrnici k této tečny, nebot její rovnice pak bude ve tvaru y f(x 0 ) = k(x x 0 ). Zvolme na grafu funkce další bod P = [x, f(x)]. Sestrojíme sečnu s procházející body T a P. Výraz f(x) f(x 0) x x 0 má význam směrnice sečny T P, tj. tg ϕ s. Bod P nyní limitně přiblížíme k bodu T (x x 0 ) a sečna přejde v tečnu v bodě T. Směrnice tečny v bodě x 0, tj. tg ϕ t je tedy rovna tg ϕ t = k = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Neexistuje-li tato limita, je-li nevlastní nebo funkce f(x) není v bodě x 0 spojitá, tečna v bodě T neexistuje. Obr. 31. Geometrický význam derivace funkce Fyzikální význam derivace funkce Uvažujeme hmotný bod, který se pohybuje po přímce p z bodu P v časovém intervalu t 0, t (viz Obr. 32). Rychlost hmotného bodu vypočteme jako podíl uražené dráhy s a příslušné doby t. Na střední škole jste pracovali s pojmem průměrné rychlosti. Tu získáme podílem celkové uražené dráhy s(t) s(t 0 ) a celkové doby t t 0, kterou bod k uražení potřeboval. Chceme-li znát hodnotu okamžité rychlosti 31
(např. hodnotu, kterou ukazuje ručička na palubové desce vašeho auta) musíme provést analogickou úvahu, tj. limitně zmenšit časový interval t t 0. průměrná rychlost za dobu t t 0 v(t) = s(t) s(t 0) t t 0 okamžitá rychlost v čase t 0 s(t) s(t v(t 0 ) = lim 0 ) t t0 t t 0 Obr. 32. Fyzikální význam derivace funkce Poznámka. Podobně lze definovat okamžitou hodnotu zrychlení hmotného bodu, oteplování zahřívaného tělesa, apod. Definice 3.1. Necht funkce f je definována na okolí bodu x 0 R. Existuje-li vlastní limita lim, nazýváme ji derivace funkce f v bodě x 0 a značíme ji f (x 0 ). Poznámka. f(x) f(x 0 ) x x0 x x 0 Analogicky lze zavést derivaci zleva (resp. zprava) použitím limity zleva (resp. zprava). Ekvivalentní definice derivace funkce f v bodě x 0 : kde h = x x 0. f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim, h 0 h Definice 3.2. Necht existuje derivace funkce f (x) v každém bodě x M D f. Pak funkci y : y = f (x) nazýváme derivaci funkce f na množině M. 3.2 Derivace elementárních funkcí Pomocí definice lze odvodit vzorce pro derivování elementárních funkcí. Postup si ukážeme na jednoduchém příkladu funkce f : y = x 2. Zvolíme bod x 0 R a použitím definice vypočteme její derivaci v bodě x 0. K výpočtu využijeme metodu pro řešení limity typu 0, kde krátíme výrazem konvergujícím k nule. 0 f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 = lim x2 x2 0 x x0 x x 0 = lim x2 x2 0 x x0 x x 0 32 = lim x x0 (x x 0 )(x+x 0 ) x x 0 =
= lim x x0 (x + x 0 ) = 2x 0. V libovolném bodě x 0 R je tedy derivace funkce f : y = x 2 rovna f (x 0 ) = 2x 0. Na celém definičním oboru D f = R proto můžeme vytvořit funkci f : y = 2x, která je derivací funkce f : y = x 2. Derivace všech základních elementárních funkcí si odvozovat nebudeme. Nicméně pro zvládnutí kurzu je naprosto nutné následující vzorce znát zpaměti. Derivace základních elementárních funkcí 1. (c) = 0, kde c R. 2. (x) = 1. 3. (x n ) = n x n 1, kde n 0. 4. (e x ) = e x. 5. (a x ) = a x ln a, kde a > 0, a 1. 6. (ln x) = 1 x. 7. (log a x) = 1, kde a > 0, a 1. x ln a 8. (sin x) = cos x. 9. (cos x) = sin x. 10. (tg x) = 1 cos 2 x. 11. (cotg x) = 1 sin 2 x. 12. (arcsin x) = 1 1 x 2. 13. (arccos x) = 1 1 x 2. 14. (arctg x) = 1 1+x 2. 15. (arccotg x) = 1 1+x 2. Pravidla pro výpočet derivací Elementární funkce vznikají ze základních elementární funkcí pomocí operací sčítání, odčítání, násobení a dělení a také pomocí skládání funkcí. Proto je nutné si zapamatovat také následující věty a vzorce. 33
Věta 3.1. Necht c R a funkce f, g mají derivace na množině M. Pak i funkce f ± g, f g, c f, f/g (přičemž g 0) mají na množině M derivace a platí (f ± g) = f ± g, (f g) = f g + f g, (c f) = c f, ( ) f g = f g f g. g 2 Příklad 3.1. Vypočtěte derivace funkcí y = 2x 4 + 3x 3 6x + 7 Řešení: Derivace polynomu používá vzorec pro y = x n. Dále použijeme vztahy pro součet a rozdíl funkcí a násobení funkce konstantou. y = 2 4x 3 + 3 3x 2 6 1 + 0 = 8x 3 + 9x 2 6 y = x + 1 3 + 3 x x x 2 2 Řešení: Také odmocniny a převrácené výrazy lze zapsat jako mocniny s racionálním exponentem a následně derivovat pomocí vzorce pro y = x n. y = x + 1 3 + 3 x x x 2 = x 1/2 + x 1 3x 2 + x 2/3 2 y = 1 2 x 1/2 x 2 + 6x 3 + 2 3 x 1/3 = 1 2 1 + 6 + 2 x x 2 x 3 3 3 x y = 3e x + 4 ln x Řešení: Zde využijeme vzorce pro derivace funkcí y = e x a y = ln x. y = 3e x + 4 x y = x 2 sin x Řešení: Provedeme s použitím vzorce pro derivace funkce y = sin x a vzorce pro derivaci násobení funkcí. y = 2x sin x + x 2 cos x y = tg x = sin x (derivujte jako podíl) cos x Řešení: Derivujeme pomocí vzorce pro derivaci podílu funkcí. Následná úprava využívá známé goniometrické identity sin 2 x+cos 2 x = 1 a můžeme si všimnout, že správně obdržíme opravdu výsledek derivace funkce y = tg x z našeho seznamu základních elementárních funkcí. y cos x cos x sin x ( sin x) = = cos2 x+sin 2 x = 1 cos 2 x cos 2 x cos 2 x y = sin x 1 cos x Řešení: Zde je vidět, že často nestačí pouze funkci zderivovat, ale bude potřeba také funkci správně upravit. 34
y = cos x (1 cos x) sin x sin x (1 cos x) 2 = cos x cos2 x sin 2 x (1 cos x) 2 = cos x 1 = 1 (1 cos x) 2 cos x 1 y = ln x x 2 Řešení: Analogický problém ještě jednou pro jinou funkci. y = 1 x x2 ln x 2x x 4 = Derivace složené funkce x 2x ln x x 4 = x(1 2 ln x) x 4 = 1 2 ln x x 3 Věta 3.2. Necht funkce g má v bodě x 0 derivaci a funkce f má derivaci v odpovídajícím bodě u 0 = g(x 0 ). Pak složená funkce y = f(g(x)) má derivaci v bodě x 0 a platí [f(g)] = f (g) g Příklad 3.2. Vypočtěte derivace funkcí y = (2x + 1) 5 Řešení: V těchto příkladech je klíčové správně určit, která funkce je vnitřní a která vnější. Vnitřní funkce je unvitř závorky, tj. g : u = 2x + 1. Její derivace je proto g : u = 2. Vnější funkce je pátou mocninou svého argumentu funkce vnitřní. Můžeme si to představit jako f : y = u 5 a proto příslušná derivace f : y = 5u 4. Celkovou derivaci pak vypočteme podle Věty 3.2. součinem obou výrazů. y = 5(2x + 1) 4 2 = 10(2x + 1) 4 y = x 2 + x 4 = (x 2 + x 4) 1/2 Řešení: Analogická situace. Vnitřní funkce g : u = x 2 +x 4, vnější funkce f : y = u = u 1/2. Příslušné derivace jsou proto: g : u = 2x + 1, f : y = 1 2 u 1/2. y = 1 2 (x2 + x 4) 1/2 (2x + 1) = 2x+1 2 x 2 +x 4 y = sin 3x Řešení: Zde nemáme zapsáno uzávorkování, přesto by mělo být jasné, že vniřní funkcí je g : u = 3x, vnější f : y = sin u. Odtud g : u = 3, f : y = cos u. y = cos 3x 3 = 3 cos 3x y = cos 3 x Řešení: Vnitřní funkce g : u = cos x, vnější f : y = u 3. Příslušné derivace g : u = sin x, f : y = 3u 2. y = 3 cos 2 x ( sin x) = 3 cos 2 x sin x 35
y = sin x 3 Řešení: Na rozdíl od předchozího příkladu je zde vnitřní funkce g : u = x 3, vnější f : y = sin u. Odtud g : u = 3x 2, f : y = cos u. y = cos x 3 3x 2 = 3x 2 cos x 3 y = ln sin x Řešení: Vnitřní funkce g : u = sin x, vnější f : y = ln u. Příslušné derivace g : u = cos x, f : y = 1. u y = 1 sin x cos x cos x = = cotg x sin x y = ( ) x 1 2 x+1 Řešení: Vnitřní funkce tvoří zlomek g : u = x 1 a proto jej musíme v x+1 dalším výpočtu derivovat podle vzorce pro podíl. Vnější funkcí je druhá mocnina f : y = u 2 f : y = 2u. y = 2 x 1 1 (x+1) (x 1) 1 = 2 x 1 2 = 4(x 1) x+1 (x+1) 2 x+1 (x+1) 2 (x+1) 3 y = e x+1 Řešení: Je třeba si uvědomit, že se jedná o tři složené funkce. Derivování je jednoduché. Problém vyřešíme po částech. Zderivujeme nejprve vnější funkci f : y = e u f : y = e u. Vnitřní funkce g : u = x + 1 = (x + 1) 1/2 je sama o sobě složenou funkcí a proto ji budeme derivovat opět podle Věty 3.2., tj. g : u = 1 2 (x + 1) 1/2 1. Druhou možností je si funkce označit f[g(h)], přičemž vnější funkcí je f : y = e u, prostřední funkcí je funkce g : u = v a vnitřní h : v = x + 1. Derivování pak provádíme postupně analogicky. y = e x+1 1 2 (x + 1) 1/2 1 = 1 2 x+1 e x+1 x 2 y = 2 arcsin 4 Řešení: Podobný problém, kde po nás po samotném derivování čeká ještě několik kroků úpravy získaného výrazu. y 1 = 2 4 x+2 4 = 1 1 x 2 4 2 1 2 ( x 2 4 ) 1/2 1 4 1 = 1 1 x 2 4 (6 x)(x 2) 2 x 2 1 4 = 2 6 x 1 2 x 2 = 1 3.3 Derivace vyšších řádů 4 1 x 2 Má-li funkce f : y = f(x) na množině M derivaci f : y = f (x), získali jsme předchozím postupem novou funkci. Existuje-li v bodě x 0 M derivace funkce f : y = f (x), vytvoříme v tomto bodě tzv. druhou derivaci funkce f(x) v bodě x 0 a označíme f (x 0 ). Tímto způsobem pak můžeme opět získat novou 4 = 36
funkci, které říkáme druhá derivace funkce f(x). Analogicky můžeme vytvořit třetí derivaci ze druhé a tento pojem tak rozšířit až na obecnou derivaci n tého řádu. Definice 3.3. Necht f je funkce a n N 0. Pak n tou derivací funkce f (derivací n tého řádu funkce f) nazýváme funkci f (n) definovanou rovností f, je li n = 0, f (n) = [ ] f (n 1), je li n N. Poznámka. Kromě výše uvedeného označení se používá běžně také f, f, f, f IV, f V,... Příklad 3.3. Vypočtěte pátou derivaci funkce y = x 4 + 2x 3 3x 2 + 5x 6. y = 4x 3 + 6x 2 6x + 5 y = 12x 2 + 12x 6 y = 24x + 12 y (4) = 24 y (5) = 0 Všimněte si, že postupným derivováním polynomu vždy při každé derivaci klesne řád polynomu o jedna. Polynom n tého řádu (v našem příkladu čtvrtého) tak má poslední nenulovou derivaci právě n tého řádu. Všechny další řády už pak musí být rovny nule. Vypočtěte druhou derivaci funkce y = x2 4. x 2 +1 y = 2x(x2 +1) (x 2 4) 2x = 10x (x 2 +1) 2 (x 2 +1) 2 y = 10(x2 +1) 2 10x 2(x 2 +1) 2x = 10(x2 +1)[x 2 +1 4x 2 ] = 10(1 3x2 ) (x 2 +1) 4 (x 2 +1) 4 (x 2 +1) 3 3.4 Rovnice tečny a normály k funkci Problém jsme si již nastínili při ukázce geometrického významu derivace. Nyní jej pouze exaktně popíšeme a doplníme o normálu ke grafu funkce, tj. přímku kolmou na tečnu, která také prochází bodem dotyku tečny T = [x 0, f(x 0 )]. K výpočtu můžeme použít bud vzorců z následující definice nebo vyjít z úvahy, že směrnice tečny odpovídá derivaci funkce f (x 0 ) v bodě x 0 a následným použitím základů analytické geometrie, které byste měli znát ze střední školy (doporučujeme vrátit se k tomuto příkladu po pročtení závěrečné sekce Analytická geometrie). Vše si ukážeme v příkladu 3.4. 37
Definice 3.4. Přímka t s obecnou rovnicí y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) se nazývá tečna grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f(x 0 )]. Přímka procházející bodem T, která je na ni kolmá, se nazývá normála grafu funkce f v bodě T. Je-li f (x 0 ) 0, pak obecná rovnice normály je ve tvaru y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). Poznámka. Je-li f (x 0 ) = 0, tečna je rovnoběžná s osou x (její rovnice y = y 0 ) a normála rovnoběžná s osou y (její rovnice x = x 0 ). Obr. 33. Rovnice tečny a normály k funkci: a) f (x) 0, b) f (x) = 0. Příklad 3.4. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f : y = x 2 3x + 11 v bodě T = [2, f(x 0 )]. Řešení: Vypočteme y ovou souřadnici dotykového bodu T : f(x 0 ) = 2 2 3 2 + 11 = 3, první derivaci funkce f: f (x) = 1 2 (x2 3x + 11) 1/2 (2x 3) = 2x 3 2 x 2 3x+11 a dosadíme dotykový bod T : f (x 0 ) = 1 6. První variantou je dosazení vztahů z definice 3.4. Získáme rovnici tečny t : y 3 = 1 6 (x 2) 1 6 x + y 8 3 = 0 a normály n : y 3 = 6(x 2) 6x + y 15 = 0. Druhá možnost je využití analytické geometrie. Rovnici přímky, můžeme zapsat ve tvaru y = kx+q, kde k je směrnice přímky. Víme, že pro tečnu ke grafu funkce platí k = f (x 0 ). Hledaná tečna má proto rovnici y = 1 6 x + q. Tečna prochází dotykovým bodem T, který musí vyhovovat její rovnici. 38
Stačí ho tedy do rovnice dosadit a určit hodnotu koeficientu q. T t : 3 = 1 2 + q q = 8. 6 3 Získali jsme rovnici tečny t : y = 1x + 8 neboli 1x y + 8 = 0. 6 3 6 3 Z ní jsme schopni určit normálový vektor tečny n = ( 1, 1). Odvodíme 6 směrový vektor tečny (ve dvourozměrném prostoru stačí k získání kolmého vektoru prohodit souřadnice a u jedné změnit znaménko) s = (1, 1 ), který 6 je zároveň normálovým vektorem normály. Rovnice normály je proto ve tvaru: x + 1 y + c = 0. Chybějící koeficient c opět určíme pomocí bodu T, 6 který na normále leží a musí tedy vyhovovat i její hledané rovnici. T n : 2 + 1 3 + c = 0 c = 5. 6 2 Získáme rovnici normály n : x + 1y 5 = 0, která je násobkem rovnice z 6 2 první varianty řešení (násobíme koeficientem 1). 6 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f : y = arctg 1 x k přímce p : 2x y = 0. tak, aby byla kolmá Řešení: Nyní nemáme přímo zadaný dotykový bod a tedy nelze použít vzorce z Definice 3.4. Úlohu vyřešíme pomocí analytické geometrie na základě obdobných úvah jako v předchozí úloze. Z obecné rovnice přímky p získáme její normálový vektor n p = (2, 1). Normálový vektor tečny zapsané obecně ve tvaru t : y = kx + q má souřadnice n t = (k, 1.) Tyto vektory musí na sebe být kolmé, tj. jejich skalární součin musí být roven nule. Odtud získáme hodnotu směrnice tečny k. n p n t = 0 2k + 1 = 0 k = 1. 2 Víme, že směrnice tečny je rovna hodnotě derivace v dotykovém bodě k = f (x 0 ). Odtud získáme souřadnice dotykového bodu T. Určíme v jakém bodě funkce f(x) je směrnice rovna 1. Vypočteme první derivaci funkce 2 f (x) : f (x) = 1+( 1 ( ) 1 x) 1 2 x = 1 1 = 1. 2 x 2 +1 x 2 x 2 +1 x 2 Musí tedy platit 1 = 1 x 2 + 1 = 2 x = ±1 x 2 +1 2 Získali jsme dokonce dva dotykové body s příslušnou směrnicí tečny. Dopočítáme jejich y ové souřadnice T 1 = [1, π], T 4 2 = [ 1, π]. 4 Podobně jako v předchozí úloze určíme rovnice obou tečen: t 1 : y = 1x + q 2 T 1 t 1 : π 4 = 1 2 1 + q q = π 4 + 1 2. t 1 : y = 1 2 x + π 4 + 1 2. t 2 : y = 1 2 x + q T 2 t 2 : π 4 = 1 2 ( 1) + q q = π 4 1 2. t 2 : y = 1 2 x π 4 1 2. 39