Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + + f f ( )
f =, f f () ( ) f () = lim = lim = lim = f = χ f f () χ f () = lim = lim = lim χ =
Derivace na intervalu ( a, b) f : f : f Derivace funkce f je funkce f, která každému bodu přiřazuje hodnotu rovnou směrnici tečny ke grafu funkce f v tomto bodě
( + h) ( + h) + = lim = h h = lim ( + h + h + h ( + h + h ) + ) = h h = lim ( h + h + h h h ) = lim ( + h + h h) = h h h ( ) sin sin sin + h α + β α β = lim = sinα sin β = cos sin = h h + h + + h sin = = + = h h lim cos sin lim cos( ) cos h h h h
+ h h e e h e e = lim = lim e e e = e lim h h h h h h e u : = e, e = u +, h = ln( + u) u = = = h u h h h lim lim h h u ln( + u ) ( = lim = = e ) = e u ln e u ln( + u) Slovník a gramatika pro derivace skripta str. 65
Pravidla derivace součinu f ( + h) g( + h) f g ( f g ) = lim = h h = lim ( f ( + h) g( + h) f g( + h) + f g( + h) f g ) = h h = lim (( f ( + h) f ) g( + h) + f ( g( + h) g )) = h h f ( + h) f g( + h) g = lim g( + h) + f lim = h h h h = f g + f g
Příklady na výpočet derivací f = ( + )( 4 ) f = f = + f = + + + cos f = arctg sin f = ln + + ln
f = ( + )( 4 ) f = ( + ) ( 4 ) + ( + )( 4 ) = = ( 4 ) + ( + )( 8 ) = 6 8 8 6 = 6 8 4 f = = ( ) ( ) f = ( = =
f = + f + + + = = + + + = + ( ) = = = + + + + +
f ( ) + + = = + + ( + ) + ( + ) f = ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + ( ) + + * =
+ + + + + + * = + + = ( ) + + + + = = + + + + + + f + + + + + + = = = = + + + + + + + 4
Jinak : + + + + = = = = + f + + + + + + ( ) + f = + + = = + = + = + + + + + = + +
cos f = arctg + sin sin ( + sin ) cos cos sin sin cos f = = = cos ( + sin ) ( + sin ) + cos + + sin + + = = = + sin + sin + cos + sin ( sin ) ( sin ) ln ln ln ln ln f = ln + = e + e ln( ln ) ( ) ln ( ) f = e ln ln + e ln = ( ln ) ln ( ln ) + + ln ln ln + ln = ( ln ) ( ln ln(ln ) + ) + ln
Přímka, která prochází bodem [, ( ) ] f se směrnicí f ( ), se nazývá tečna ke grafu funkce f v bodě. Přitom platí:. eistuje-li vlastní nenulová derivace f : tečna: y f = f y f ( ) = f ( ) normála:. platí-li f = : vodorovná tečna: y = f svislá normála: =. je-li f ( ) nevlastní: svislá tečna: = vodorovná normála: y = f Je-li f f +, nazývají se příslušné polopřímky polotečny
Tečny a normály t : y = + n : y = t : y = n : = t : = n : y = Polotečny p : =, y > p : y = +, < p : y = + 5, > f () = lim f =, f () = lim f =, + + f () = lim f =, f () = lim f = +
Výpočet rovnice tečny a normály [ ] [ ] f = + T = T =,,,, [ ] [ ] f = ( )( + ), T =,, T =,, T =, 5 =, = f f = e, =
( ) [ ] [ ] f T T = +, =,, =, f = ( ) f ( ) =, f t : y = ( ) + y + = n : y = ( ) y 9 = t : = n : y = 5 =, = f f = 5 = f 5 5 5 ( ) + pro lim f = 5 lim 5 = pro + polotečna =
f = e, = f = e f = e < lim f e e > = = + f = f ( ) e < lim f = e = polotečna zprava : y = ( ) y = polotečna zleva : y = ( ) y =
[ ] [ ] f = ( )( + ) T =,, T =,, T =, ( + ) + ( ) ( + ) f = ( )( + ) = = 4 ( ) ( + ) ( + ) + ) = = 4 ( ) ( + ) ( ) ( + ) = f =, pro = = f = ( ) ( + ) t : y =, n : = lim f = lim = + = t : =, n : y = ( ) + + lim f = lim = polotečna = 9 +
Linearizace e ln,5 =? ln =, ln = ln.78888... = f = ln =, =,5 g : y = f ( ) + f ( ) f g f =, f ( ) = f () = g(,5) = f () + f (),5 = +,5 =,5 f (,5) g (,5) =,5 d : = df : = f d diferenciál funkce
Určit diferenci a diferenciál, je - li f d 4 = 4 + 5 =, =.5 f = 4 δ f ( ) = f ( + d) f ( ) = = f (.5) f () = 4.875 4.875 df ( ) = f ( ) d df () = f () d = 8.5 = 4 d =. δ f ( ) = f ( + d) f ( ) = f (.) f () = 4.99 4.99 df ( ) = f ( ) d df () = f () d = 8. =.8
Vlastnosti diferencovatelných funkcí Fermatova věta ( ξ ) Jestliže funkce f spojitá na a, b má v ξ a, b etrém přičemž eistuje f, potom f ( ξ ) = Lagrangeova věta Je - li funkce f spojitá na a, b a diferencovatelná (, ), ξ (. ) na a b potom eistuje f ( b) f ( a) f ( ξ ) = b a a b tak, že platí
Důsledky interval, jeho vnitřek f konstantní na f neklesající na f nerostoucí na f = na f = na f na f na f ( ) f ( ), ξ (, ) : = f ( ξ ) = f ( ) = f ( ) : f neklesající na : f ( ) f f ( ) f f, < > : = lim f na : < f ( ) f ( ) = f ( ξ) f ( ) f ( ) f nerostoucí na analogicky
L Hospitalovo pravidlo - použití zobecněné věty o přírůstku funkce pro počítání limit: Jsou-li f a g funkce diferencovatelné na jistém okolí bodu c, přičemž platí lim f = lim g = c c a eistuje (vlastní nebo nevlastní) limita f f lim = l, potom také lim = l. c g c g f Výraz lim kde lim f = lim g = c g c c nazýváme neutčitý výraz typu.
. L Hospitalovo pravidlo Je li lim f = ±, lim g = ± a eistuje (vlastní nebo nevlastní) c c f f limita lim = l, potom také lim = l. c g c g V tomto případě hovoříme o neurčitém výrazu typu. Analogicky se definují neurčité výrazy typů,,,, V těchto případech výraz upravujeme na některý z prvních dvou typů.
f f Nechť f ( a) = g( a) = potom lim = lim a g a g f f ( a) f f ( a) lim f f f ( a) lim lim lim a a a f a f = = = = lim a g a g g( a) a g g( a) g g( a) = lim g ( a) a g a a a Příklady lim e lim ln ( ln ) lim lim ( cos ) + cotg lim n n n
e e e lim = lim lim lim = = = e = ln + lim lim lim + = = = + = = + ln ( ) ln ln + ( ) = lim = lim lim + = = = + + ln + ( ) ln + + ln + ln lim ln = ( ) = lim = = lim = lim = + + + +
( ) cotg cotg ln cos lim cos = = lim e = * ( sin ln cos ) = ( = ) = = = cos = tg tg cos lim cotg ln cos ln lim lim tg = lim cos = * = e = tg e lim n n n = lim N ln ( ) lim = lim = = lim e = * ln n lim = = lim = * = e = lim n = n
Derivace vyšších řádů Druhá derivace : f : = f ( n ) n tá derivace f = f ( k ( ) ) n? = : n : ) n < k : = k = k ( k ) ( ) ( ) k k k = k k = k k k ( ) ( ) k k k ( k ) ( n) = k ( k ) ( k ) ( k ( n ) )( ) k n
( k ) ( k ) ( ) ) n = k : = k ( k ) ( k ) k ( k ) = ( k ) ( n) = k ( k ) ( k ). = k! ( ) ( + ) ( ) k k ) : k k n = k + = = (!) k = 4) n > k : = kk ( k ) k n k ( k ) ( k ) k ( n ) n < k ( n) = k! n = k n > k
( n ) sin =? sin = cos = sin( + ) ( π ) π sin cos sin cos sin ( π = = + = + = + ) ( n) ( π sin = sin + n ) π
Taylorův polynom ( v bodě = ) : T = a + a ( ) + a ( ) + + a ( ) n n Požadavky : n f ( ) = T ( ), f ( ) = T ( ), f ( ) = T ( ),, f ( ) = T ( ) ( n) ( n) n n n n odtud ( n) f ( ) f ( ) f ( ) Tn = f ( ) + ( ) + ( ) + + ( )!! n! ( n+ ) f ( ξ ) n+ a pro f = Tn + R platí R ( ) ( n + )! n
( n) ( n) n f = e, = e = e, e = = e = + + + + + + R!! n! f = sin, = ( n) ( sin ) = sin( + n ), ( sin n ) = (,,,,, ) π π n= 5 n+ n sin = + + ( ) + R! 5! (n + )!
( ( n) ) ( ) f = cos, = cos =,,,, 4 n n cos = + + ( ) + R! 4! ( n)! n= f = ( + )sin = R <,5 T = +,;,7 T = + + 4 4 6 6 ( ) (,9;, )
Etrémy Řekneme, že funkce f má v lokální maimum ( minimum ) právě když U ( ) U ( ) : f f ( ) f f ( ) tedy právě když je v funkční hodnota "lokálně největší" ( nejmenší ) Nutná podmínka pro lokální etrém Má - li funkce f v lokální etrém, je f ( ) = nebo f ( ) Postačující podmínka pro lokální etrém f ( ) > v je lokální minimum f ( ) > v je lokální maimum f ( ) = v etrém může a nemusí nastat Absolutní maimum (minimum) = největší (nejmenší) hodnota funkce na dané množině (nejčastěji na intervalu) Na uzavřeném intervalu má spojitá funkce vždy absolutní maimum a minimum v bodech lokálních etrémů nebo v koncových bodech intervalu
Zjištění druhu etrému pomocí znaménka derivace v okolí vyšetřovaného bodu: Pro (, a) je f >, tedy funkce roste v = a není etrém pro ( a, b) je f >, tedy funkce roste pro ( a, b) je f >, tedy funkce roste v = b je maimum pro ( b, c) je f <, tedy funkce klesá pro ( b, c) je f <, tedy funkce klesá v = c je minimum pro ( c, d) je f >, tedy funkce roste pro ( c, d) je f >, tedy funkce roste v = d je maimum pro ( d, e) je f <, tedy funkce klesá
Příklady f = + f = = 4 + + f = + = f = < f = + 4 f = = = + 4 4 4 4 f = : = = = f f f = 4, ( ± ) = 8 <, () = 4 > f = f ( ± ) = 4, f = f () = ma min
( ) ( ) f = = 4 f = = ( )( + ) = f =, = ± f znaménko f : min + + ց ր ց ր min ma min f = f ± =, f = f () = ma 4 + lim f = lim = 4 + lim f = lim = + + + v bodech = ± je svislá polotečna
+ f = + = < + > f = f () < = : = < = f znaménko f : ր + + 6 ma ց ր min ma 8 4 6, 7 9 f = f = + = f = f () = min lim f =, lim f = + graf má v = pravou polotečnu y = a levou polotečnu y =
+ f = : = ± f svislé asymptoty + + ( ) + 4 + = f = ( ) ( ) 4 ( ) + ( ) 4 + = + = 4 4 4 4 4 = + + f = < f ( ) + funkce nemá etrémy
4 Největší a nejmenší hodnota funkce f = + na intervalu, f = + = + 4 6 význačné body : =, =, =, = ma min 7 6 f ( ) =, f =, f () =, f () = f = f () =, f = f = 7 6
Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl nejmenší. >, f = + min f = = f = > = f =, f () = > min Hledané číslo je =, nejmenší možná hodnota f () =.
Konvenost, konkávnost, inflee iřekneme, že diferencovatelná funkce f je v ( a, b) konvení (konkávní), jestliže graf funkce f leží v každém bodě intervalu ( a, b ) nad (pod) tečnou. i je inflení bod funkce f, jestliže v tomto bodě graf funkce přechází z jedné strany tečny na druhou. Znaménko druhé derivace: f > f roste graf je nad tečnou ( f je konvení ) (, ), (, ) f je v a b konvení konkávní jestliže a b platí f > f < Nutná podmínka pro inflei : inflení bod f ( ) =.
. (, ), (, ), (, ) v intervalech a b c d e je funkce konkávní, (, ), (, ), (, ) (, ) v a b c d e f a f g je funkce konvení = a, = b, = c, = e jsou inflení body bod d není inflení bod! (graf zde nemá tečnu)
+ f = : ± f 4 + f = < ( ) + 4 4 ( + + ) ( + + ) 8 5 8 5 f = = ( + ) ( ) ( + ) = inflení bod, f () = inflení tečna y = ( )( + ) Asymptoty : + + + + = = = + lim lim lim 4 ( ) ( ) ( ) zprava zleva + + + + = = = + + lim lim lim 4 ( ) zprava zleva - svislé asymptoty = ±
+ a = = = = = = ± + + lim lim, b lim lim ± ± ± ( ) ± asymptoty + : y =, : y =
Vyšetření průběhu funkce Definiční obor funkce - Body nespojitosti, intervaly spojitosti - Průsečíky se souřadnými osami - Symetrie grafu (sudost, lichost), periodičnost funkce - Chování funkce v okolí bodů nespojitosti a svislé asymptoty - Chování v nekonečnu asymptoty se směrnicí Intervaly monotónnosti, body etrémů a etrémy Intervaly konvenosti a konkávnosti, inflení body
Načrtněte graf funkce spojité na { } přímka = je její svislá asymptota, přímka y = je asymptota pro, přímka y = + je asymptota pro, f ( ) =, f () =, f ( ) = f () =,, f ( ) =, f ( ) = f () =, f () =, f () f = R + =, f < pro,,, a,, f ( ) > pro, Do obrázku nakreslete také všechny asymptoty a tečny resp. polotečny v bodech =,,,.