Funkce Helena Říhová FBMI 5. října 2012 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 1 / 28
Obsah 1 Reálná funkce jedné reálné proměnné Limita funkce Věty o limitách Spojitost funkce Význačné limity Asymptoty grafu funkce Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 2 / 28
Limita funkce Definice Předpokládáme, že funkce f je definovaná v nějakém prstencovém okolíbodux o (tj.vboděx o může, ale nemusíbýtdefinována). Řekneme,že limita funkce f pro x blížícísekx o je rovnačíslul, jestliže ke ε > 0 δ > 0 tak,žepro xsplňující 0 < x x o < δ je f(x) L < ε. Píšeme lim x x o f(x)=l. Jde o vlastní limitu ve vlastním bodě. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 3 / 28
y f(x) L ε ε δ 1 δ 2 δ= min{δ 1, δ 2 } x o x lim f(x)=l x x o Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 4 / 28
Jednostranné limity funkce Definice Předpokládáme, že funkce f je definovaná v nějakém levostranném, pravostranném okolíbodux o. zleva Řekneme,že limita funkce f pro x blížícísekx o zprava číslul,jestliže ke ε > 0 δ > 0 tak,žepro xsplňující x (x o δ, x o ) je f(x) L < ε. Píšeme x (x o, x o +δ) je rovna lim x x o lim x x + o f(x) = L f(x) = L limita zleva limita zprava. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 5 / 28
Vlastnosti limity Pokud limita v daném bodě existuje, je dána jednoznačně. Limita je lokální pojem- nezáleží na chování funkce v bodech vzdálených x o. Limitaneovlivňuje hodnotuf(x o ), pokudexistuje.může být f(x o ) L. Je-li lim x x o f(x)= lim x x + o f(x)=l,pakexistuje lim x xo f(x) aje rovna L. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 6 / 28
Věty o limitách Věta(O sevřené funkci) Jestliže pro x Uδ(x o )platí: g(x) h(x) f(x) a lim x xo g(x)= lim x xo f(x)=l,pak lim x xo h(x) aje rovnal. Věta(O záměně pořadí limity a aritmetické operace) Necht označí jednuzoperací +,,, apříslušnélimity existují. Pak platí: lim(f(x) o g(x))= lim f(x) o lim g(x), x x o x xo x xo přičemžpro podílmusíbýtg(x) 0na Uδ(x o ) Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 7 / 28
Spojitost funkce Definice Máme funkci f definovanouvnějakémokolí U δ (x o )(tj. iv x o ). Řekneme,že f je vbodě x o spojitá,jestliže Definice lim f(x)=f(x o ). x x o Funkce je spojitá na intervalu I (otevřeném, nebo uzavřeném), je-li spojitá v každém bodě I.(V krajních bodech jednostranně, viz dále.) Věta Jsou-li f, g spojitév x o,potomi f o g je spojitáv x o, přičemž označí jednuzoperací:+,-,,, prodělenímusí platit: g(x) 0na nějakému δ (x o ). Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 8 / 28
Jednostranná spojitost funkce Definice Funkcef,definovanávlevo (pravo)strannémokolíbodux o včetně bodux o,je vtomtoboděspojitázleva (zprava), jestliže lim x x o lim x x + o f(x)=f(x o ) f(x)=f(x o ) Funkceje spojitávboděx o, je-lispojitávx o zleva izprava. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 9 / 28
Spojitost složené funkce Věta(O spojitosti složené funkce) Necht je funkce f spojitá v bodě c a funkce g je spojitá v bodě d, přičemž g(d)=c. Pak složenáfunkce h=f g je spojitávbodě d, h(d)=f(g(d))=f(c). Při výpočtu limity se často hodí následující skutečnost. Platí:je-li f(x)=g(x) vnějakém Uδ(x o ), pak lim f(x)= lim g(x), x xo x xo pokud zmíněné limity existují. A to je návod, jak počítat mnohé limity. Bude zužitkován v následujících příkladech. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 10 / 28
Příklad Příklad: Je dánafunkcef(x)= 1 pro x 0 = 0 pro x=0. Určete lim x 0 f(x). Řešení: Volímeg(x)=1pro x R.Pakg(x)=f(x) v Uδ(0) a lim x 0 g(x)=1=lim x 0 f(x). A jsmecelí hotoví. x 2 x 2 Příklad: Určete lim. x 2 x 2 x 2 x 2 Nejprvezkoušíme Řešení: lim = = 0 x 2 x 2 dosadit. Vyjde: 0 = můžeme krátit = lim(x+1)=3. Aje to. dvojčlenem(x 2) x 2 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 11 / 28
Věta ozáměnělimityafunkce Věta Jestliže lim x xo g(x)=c a f(x) jevbodě c spojitá,pak lim f(g(x))=f(lim g(x))=f(c) x x o x xo Příklad: Určete lim x 1 ln x2 x x 2 +x 2. Řešení: lim x 1 ln x2 x x 2 +x 2 = ln = ln 1 3 ( lim x 1 x 2 ) ( x x 2 = ln lim +x 2 x 1 ) x = x+2. = 1.0986. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 12 / 28
I. význačná limita sin x lim x 0 x y 1 = 1 sin x x π π 2 π 2 π x Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 13 / 28
I. význačná limita Zlimity vyplývá, že proxblízkánuleje sin x x. y y=x 1 π 2 π 2 x Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 14 / 28
Věta o substituci Věta Necht limf(u)=l a limg(x)=dabud f jespojitáv d, u d x c nebog(x) dvnějakémokolíbodu c.potom limf(g(x))= substituce u=g(x) =limf(u). x c u d sin3x 2 Příklad: Určete lim x 0 x 2 Řešení: sin3x 2 lim x 0 x 2 sin3x 2 = lim x 0 3x 2 3= substituce u=3x 2, u 0 = lim3 sinu = 3 u 0 u Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 15 / 28
Důsledky limity Dále platí: lim x 0 sin(kx) kx lim x 0 tan x x Proxblízkánuleje = 1 prok R, k 0, lim x 0 sin k (x) x k = 1prok R, lim x 0 sinx k x k = 1 pro k R +, arcsinx arctanx = 1, lim = 1, lim = 1. x 0 x x 0 x tanx x, arcsinx x, arctanx x a jsou splněny obdobné vztahy jako ty výše uvedené pro sinus. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 16 / 28
Příklad: Daným funkcím sin2x 2x, sin x 2 x 2, odpovídající grafy. sin 2 x x 2 přiřad te π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 17 / 28
Nevlastní limita Definice Říkáme,že funkcef má vboděx o nevlastní limitu +,, ke k > 0 δ > 0tak,že pro x: 0 < x x o < δ k < 0 je f(x) > k f(x) < k. Píšeme lim f(x)=+ x xo lim f(x)=. x x o jestliže Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 18 / 28
(Ne)vlastní limita v nevlastním bodě Definice Říkáme,že funkcef má limitu Lvnevlastnímboděx o = ±, jestliže ke ǫ > 0 c takové,žepro x cje f(x) L < ǫ. Píšeme lim f(x)=l x + lim f(x)=l. x Říkáme,že funkcef má nevlastnílimitu+ vnevlastnímbodě +,jestliže ke k > 0 c takové,žepro x > c je f(x) > k. Píšeme lim x + f(x)=+. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 19 / 28
II. význačná limita y ( lim 1+ 1 x = e x x) e y= ( 1+ 1 ) x x 1 1 x Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 20 / 28
II. význačná limita y lim(1+x) 1 x= e x 0 e 1 y=(1+x) 1 x 1 x Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 21 / 28
II. význačná limita Další limity, které vyplývají z těch předešlých: ( lim 1+ 1 x = e x x) ln(1+x) lim = 1 x 0 x e x 1 lim = 1 x 0 x Limity se spočítají vhodnou substitucí, kterou se převedou na předešlé. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 22 / 28
Asymptoty Jestliže limita funkce ve vlastním(konečném) bodě je nevlastní (nekonečná), graf funkce má svislou asymptotu(asymptotu bez směrnice). lim f(x)=± svisláasymptota x=x o. x x o (Limita může být zleva, zprava nebo oboustranná.) Jestliže limita funkce v nevlastním bodě(nekonečnu) je vlastní (konečná), graf funkce má vodorovnou asymptotu. lim f(x)=l vodorovnáasymptota y=l. x ± Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 23 / 28
Asymptoty Definice Říkáme,že přímkay=kx+q jeasymptotou(sesměrnicí)křivky y=f(x) prox ±,jestliže platí Určení rovnice asymptoty lim (f(x) (kx+q))=0. x ± f(x) lim x ± x = k, lim (f(x) kx)=q. x ± Vyjde-lisměrniceknenulová,mluvíme ošikméasymptotě,prok=0 jsmeopětuvodorovnéasymptotyy=q. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 24 / 28
Příklad Příklad: Určete všechny asymptoty grafu funkce f(x)= x x+1 x. Načrtnětečástigrafu vblízkostiasymptot. x 1 Řešení: Vzhledem k absolutní hodnotě hledáme řešení úlohy zvlášt prox < 1aprox 1. a) x < 1 Pak f(x)= 2x2, funkcejedefinovánanacelém intervalu(, 1) x 1 svislá asymptota není. Zjistíme, zda je šikmá, vodorovná, nebo žádná. f(x) lim x x = lim 2x2 = 2 šikmáasymptotaje amá x x(x 1) směrnici k = 2. Určíme q. Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 25 / 28
Pokračování příkladu ( ) 2x 2 q= lim (f(x) kx)= lim x x x 1 +2x 2x 2 +2x 2 2x = lim x x 1 = 2. A máme rovnici šikméasymptoty: y= 2x 2. b) x 1 Nyní f(x)= 2x x 1. Funkcenenídefinovánavboděx=1. 2x lim = ±, grafmásvislou asymptotux=1. x 1 ± x 1 A protože lim y=2. x 2x = 2, existujeivodorovnáasymptotaamárovnici x 1 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 26 / 28
Konec příkladu Závěr:graf funkcemá šikmouasymptotuy= 2x 2v,svislou asymptotux=1avodorovnouasymptotuy=2v+. y y= x x+1 x 1 x 1 1 x Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 27 / 28
Děkuji za pozornost Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 28 / 28