.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální funkce Logaritmická funkce y = y = log 8 8 log 8 - je číslo, na které musím umocnit, aby vyšlo 8
0 8 6-0 -8-6 - - - - -6-8 -0 y = y = log 8 6 8 0 Dvojici tvoří dvě navzájem inverzní funkce, které mají obrácené dvojice proměnná; hodnota. [ ] Druhá odmocnina je inverzní funkcí k druhé mocnině a používáme ji, když potřebujeme zjistit, jaké číslo dát na druhou, aby vyšla požadovaná hodnota druhé mocniny. Logaritmus je inverzní funkcí k eponenciální funkci a používáme ho, když potřebujeme zjistit, na jaké číslo umocnit základ eponenciely, aby vyšla požadovaná hodnota. Goniometrické funkce vyrábějí z hodnoty úhlu souřadnici bodu na jednotkové kružnici. Odpovídají na otázku: Jaký bude poměr stran, když úhel bude 60? Je možné položit i obrácenou otázku: Jaký musí být úhel, aby poměr stran byl 0,? Podobná obrácená otázka stála u zavedení odmocnin a logaritmů (inverzních funkcí). potřebuji najít inverzní funkce k funkcím goniometrickým. Poznámka:
yto funkce ve skutečnosti již dávno používáme. Na kalkulačkách jsou označeny většinou sin, cos případně tan a používali jsme je vždy, když jsme potřebovali zjistit velikost úhlu při známé hodnotě některé z goniometrických funkcí (hledali jsme odpověď na obrácenou otázku). Hodnoty inverzních funkcí k funkcím goniometrickým jsme již určovali v jedné předchozích kapitol, kdy jsme hledali úhly k zadaným hodnotám goniometrických funkcí. Nyní je zavedeme pořádně. Jaké požadavky musí splňovat funkce, ke které chceme najít funkci inverzní? Funkce musí být prostá (aby po obrácení šipek z každého čísla vycházela pouze jedna). Problém: goniometrické funkce nejsou prosté, protože jsou periodické. budeme muset omezit definiční obor (stejně jako u kvadratické funkce) Př: Nakresli graf funkce y = sin. Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = sin s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní. Omezím definiční obor pouze na D ( f ) ; - =. - - - Funkce inverzní k funkci y = sin se nazývá y = arcsin (arkus sinus). Př: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = arcsin. y = sin (s omezeným definičním oborem) a y = sin y = arcsin
( ) = ; D ( f ) = ; D f funkce je rostoucí H ( f ) = ; H ( f ) = ; funkce je rostoucí Př: Urči hodnoty funkce y = arcsin, pro ; ;0; ; ; ;. arcsin = (protože sin = ) arcsin = (protože sin = ) arcsin 0 = 0 (protože sin 0 = 0 ) arcsin arcsin = (protože = (protože 6 sin = ) sin = ) 6 arcsin ( ) = (protože sin = ) arcsin = neeistuje (protože funkce y = sin nemá nikdy hodnotu ) Př: Urči pomocí kalkulačky přibližné hodnoty funkce 0,; 0,7; ; ;. y = arcsin, pro arcsin 0, B ( ) arcsin 0,7 B 5 arcsin 8 B arcsin = neeistuje (protože funkce y = sin nemá nikdy hodnotu větší než a B,57 ) arcsin 5 5 B (protože < ) U kvadratické funkce a druhé odmocniny: = - druhá odmocnina ze čtyř má pouze jednu hodnotu (aby byla určena jednoznačně, je to nutné)
= =, = - čísla, která po umocnění na druhou dají jsou dvě, hodnota = a číslo k ní opačné = u neprostých původních funkcí není výpočet inverzní funkce to samé jako nalezení všech hodnot, které dají v původní požadovaný výsledek ( arcsin =, ale čísel pro které platí sin = je více (nekonečně mnoho)). Př: Najdi všechna, pro která platí sin =. arcsin =, tím jsem ale našel pouze čísla z intervalu ; kružnici:. Nakreslím jednotkovou - S R - V intervalu 0; žádné další takové není. Protože funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou, platí sin = i pro všechna další čísla vzdálená o sin = platí pro všechna čísla U = + k k Z. Př: Najdi všechna, pro která platí sin =. arcsin =, tím jsem ale našel pouze čísla z intervalu ; jednotkovou kružnici:. Nakreslím 5
- S R - Z obrázku je vidět, že v intervalu 0; eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = : 5 = a = (základní velikost úhlu ). Protože funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou, platí sin = i pro všechna další čísla vzdálená o. sin = platí pro všechna čísla U 5 = + k ; + k k Z. Př: Najdi všechna, pro která platí sin = 0,6. Protože 0,6 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce y = sin, nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu (stejně jako nedokážeme zapsat přesně hodnotu čísla, které se po umocnění na druhou rovná ). Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arcsin 0,6 B 8 5 (stejně jako přibližná hodnota odmocniny je B, ). Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí sin = 0, 6 pomocí funkce arcsin jako arcsin 0,6 (stejně jako používáme pro přesné vyjádření čísla, které se po umocnění rovná symbol ). Platí tedy = arcsin 0, 6. Z jednotkové kružnice zjistíme zda eistují další taková čísla: 6
- S R - Z obrázku je vidět, že v intervalu 0; eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = 0,6 : = arcsin 0,6 a = arcsin 0, 6. Protože funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou, platí sin = 0,6 i pro všechna další čísla vzdálená o. sin = 0, 6 platí pro všechna čísla U = { arcsin 0, 6 + k ; arcsin 0, 6 + k }. k Z Př: Najdi všechna 0;60, pro která platí sin = 0,. Protože -0, nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce hodnotu úhlu. y = sin, nemůžeme přesně určit arcsin 0, B 5. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna ( ) Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí sin = 0, pomocí funkce arcsin jako arcsin ( 0, ). Bohužel arcsin ( 0, ) je záporné číslo a nepatří mezi čísla, která hledáme. Z jednotkové kružnice zjistíme zda taková čísla eistují: - S R arcsin(-0,) - 7
Z obrázku je vidět, že v intervalu 0;60 eistují dvě hodnoty, pro které platí sin = 0,. Můžeme je vyjádřit pomocí úhlu arcsin ( 0, ) = ( ) + a = ( ). (tento úhel je záporný) : arcsin 0, 60 80 arcsin 0, Funkce y = arcsin je lichá, také můžeme vyjadřovat hodnoty i pomocí kladného úhlu arcsin ( 0, ) = arcsin ( 0, ) : = 60 arcsin ( 0, ) a 80 arcsin ( 0, ) = +. 8