Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.21) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 1 / 36
Množina reálných čísel a její podmnožin Reálná čísla se zobrazují jako bod na číselné ose. Každému bodu číselné os odpovídá právě jedno reálné číslo. Množinu reálných čísel značíme R. Další číselné množin: N = {1, 2, 3,... } množina přirozených čísel Z = {..., 3, 2, 1,, 1, 2, 3,... } množina celých čísel Q = { p q : p Z, q Z {}} množina racionálních čísel I = R Q množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b R} množina kompleních čísel Množin N, Z, Q, I jsou podmnožin množin R. Smbolem R 2 budeme značit množinu všech uspořádaných dvojich (, ), kde R, R... rovina Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 2 / 36
Pojem funkce Definice (Funkce) Necht M je neprázdná podmnožina množin reálných čísel, tj. M R. Pravidlo f, které každému prvku M přiřazuje právě jeden prvek R, se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné. Píšeme = f() nebo f :. Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f). Množina všech R, pro něž eistuje M takové, že = f(), se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 3 / 36
Funkce je zadaná definičním oborem D(f) a pravidlem (funkčním předpisem), pomocí něhož je každému D(f) přiřazen právě jeden prvek H(f). Například: = 2, = 2, = sin, [ π 2, π 2 ] Pokud není v zadání funkce definiční obor uveden, pak jím rozumíme množinu všech R, pro která má daný předpis smsl. Například definiční obor funkce = +1 určíme následovně: ted + 1 = 1 a zároveň, D(f) = 1, ) (, ). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 4 / 36
Eplicitně zadaná funkce: = vzorec s proměnnou, například = sin, = ln, = 3, = 4 + 2, = +1. V zápisu = f() nazýváme f... funkční předpis (např. sin, ln,... )... argument (nezávislá proměnná)... funkční hodnota (závislá proměnná) Implicitně zadaná funkce: vzorec s proměnnými, =, například sin( + 2) + =. Budeme se zabývat pouze funkcemi zadanými eplicitně. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 5 / 36
Definice (Graf funkce) Grafem funkce f rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic (, f()) R 2, kde D(f). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 6 / 36
Příklad (Absolutní hodnota a signatura) Absolutní hodnota { pro, f() := = pro. D(f) = R, H(f) = [, ) Signatura 1 pro <, f() := sgn = pro =, 1 pro >. D(f) = R, H(f) = { 1,, 1} 1 1 Platí: = sgn a také = sgn. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 7 / 36
Není funkce, není graf Zobrazení, které není funkce jednomu bodu nemohou být přiřazen dvě různé hodnot: Bod v rovině nebo křivka, které nejsou grafem funkce: Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 8 / 36
Vlastnosti funkcí ohraničenost parita (sudost, lichost) periodičnost monotonie prostost Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 9 / 36
Definice (Ohraničenost) Necht f je funkce a M D(f) je neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže eistuje d R takové, že f() d pro každé M. shora ohraničená, jestliže eistuje h R takové, že f() h pro každé M. ohraničená, jestliže je na množině M ohraničená zdola i shora. Je-li funkce ohraničená zdola, pak eistuje vodorovná přímka (při označení z definice = d) taková, že graf funkce leží nad touto přímkou. Je-li funkce ohraničená shora, pak eistuje vodorovná přímka (při označení z definice = h) taková, že graf funkce leží pod touto přímkou. Je-li funkce ohraničená, leží celý graf mezi dvěma vodorovnými přímkami. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 1 / 36
Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 11 / 36
Definice (Parita) Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro každé D(f) platí lichá, jestliže pro každé D(f) platí D(f) a f( ) = f(). D(f) a f( ) = f(). Graf sudé funkce je souměrný podle os. Graf liché funkce je souměrný podle počátku. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 12 / 36
Definice (Periodičnost) Necht p R, p >. Funkce f se nazývá periodická s periodou p, jestliže pro každé D(f) platí ± p D(f) a f( + p) = f() = f( p). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 13 / 36
Definice (Monotonie) Necht f je funkce a M D(f) neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) < f( 2 ). klesající, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) > f( 2 ). neklesající, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) f( 2 ). nerostoucí, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 < 2 je f( 1 ) f( 2 ). Funkce f se nazývá monotonní na množině M, jestliže je neklesající nebo nerostoucí. Funkce f se nazývá rze monotonní na množině M, jestliže je rostoucí nebo klesající. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 14 / 36
Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 15 / 36
Definice (Prostá funkce) Necht f je funkce a M D(f) neprázdná množina. Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každá dvě 1, 2 M splňující 1 2 je f( 1 ) f( 2 ). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 16 / 36
Věta Je-li funkce rze monotonní na množině M, pak je na této množině prostá. Je-li funkce prostá, pak každá vodorovná přímka protíná její graf v nejvýše jednom bodě. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 17 / 36
Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f a g definujeme následovně: (f + g)() = f() + g() pro D(f) D(g) (f g)() = f() g() pro D(f) D(g) (f g)() = f() g() pro D(f) D(g) ( ) f () = f() pro D(f) D(g) {z R : g(z) = } g g() Příklad f : = 3, g : =, D(f) = D(g) = R f + g : = 3 +, f g : = 3, D(f + g) = R D(f g) = R f g : = 4, D(f g) = R ( ) f g : = 2, D f g = R {} Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 18 / 36
Skládání funkcí Dosazením libovolné funkce za argument jiné funkce vzniká funkce složená. Definice (Složená funkce) Necht f, g jsou dvě funkce. Složenou funkcí g f rozumíme funkci definovanou předpisem (g f)() = g(f()), kde D(f) a f() D(g). Funkce f se nazývá vnitřní složka a g vnější složka složené funkce g f. Zápis g f čteme g po f. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 19 / 36
Příklad f : = 2, g : = sin g f : = g(f()) = sin 2 f g : = f(g()) = sin 2 Složená funkce může mít více složek, např. (h g f)() = h(g(f())). Příklad f : = 2, g : = sin, h : = ln h g f : = h(g(f())) = ln sin 2 f g h : = f(g(h())) = sin 2 ln f h g : = f(h(g())) = ln 2 sin g f h : = g(f(h())) = sin ln 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 2 / 36
Inverzní funkce Definice (Inverzní funkce) Necht f je prostá funkce. Funkce f 1, která každému H(f) přiřazuje právě to D(f), pro které platí = f(), se nazývá inverzní funkce k funkci f. f je inverzní funkce k funkci f 1. Graf funkcí f a f 1 jsou smetrické podle přímk =. D(f) = H(f 1 ) a H(f) = D(f 1 ) f 1 (f()) = pro každé D(f) f(f 1 ()) = pro každé H(f) Funkce f je rostoucí (klesající), pak f 1 je také rostoucí (klesající). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 21 / 36
Inverzní funkci k funkci f určíme tak, že v zadání funkce = f() zaměníme proměnné a. Dostaneme ted rovnici = f(). Z této rovnice vjádříme proměnnou (pokud to lze). Je-li funkce f prostá, je toto vjádření jednoznačné. Příklad Inverzní funkce k funkci = 3 1 je funkce = 1 3 + 1 3. f : = 3 1 f 1 : = 3 1 = 1 3 + 1 3 D(f) = R D(f 1 ) = R H(f) = R H(f 1 ) = R Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 22 / 36
Některé vzájemně inverzní funkce: = = 2, = 3 = 3 = e = ln = a, a 1, a > = log a = sin, π/2, π/2 = arcsin = cos,, π = arccos = tg, ( π/2, π/2) = arctg = cotg, (, π) = arccotg Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 23 / 36
Základní elementární funkce Mocninné funkce Eponenciální funkce Logaritmické funkce (inverzní k eponenciálním) Goniometrické funkce Cklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým na daném intervalu) Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 24 / 36
Mocninné funkce přímka = parabola = 2 kubická parabola = 3 hperbola = 1 = 1 2 odmocnina = Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 25 / 36
Eponenciální a logaritmické funkce = a (a > 1) Speciální případ: = a ( < a < 1) a = e, e. = 2, 71828 1 e je tzv. Eulerovo číslo 1 a 1 1 = log a (a > 1) Speciální případ: = log a ( < a < 1) 1 = ln = log e 1 1 a tzv. přirozený logaritmus a 1 Funkce = a a = log a jsou vzájemně inverzní, ted = log a = a. Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 26 / 36
Goniometrické funkce = sin 1 = cos 1 π π 2 π 2 π 2π π π 2 π 2 π 2π -1-1 = tg = cotg π π tg = sin cos π 2 π 2 π π 2 π 2 π cotg = cos sin Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 27 / 36
Cklometrické funkce = arcsin inverzní k = sin, π 2, π 2 π 2 = arccos inverzní k = cos,, π π 1 1 π 2 π 2 1 1 = arctg inverzní k = tg, ( π 2, π 2 ) π 2 = arccotg inverzní k = cotg, (, π) π π 2 π 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 28 / 36
Transformace grafu funkce = 2 = 2 1 = 2 +1 1 1 = (+1) 2 = ( 1) 2 = 2 1 1 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 29 / 36
Polnom Definice (Polnom) Polnomem stupně n rozumíme funkci tvaru P n () = a n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n, kde a, a 1,..., a n R, a. Čísla a, a 1,..., a n nazýváme koeficient polnomu. Člen a n se nazývá absolutní člen polnomu. Příklad polnom stupně : P () = a (konstantní funkce) polnom stupně 1: P 1 () = a + b (lineární funkce) polnom stupně 2: P 2 () = a 2 + b + c (kvadratická funkce) konkrétní příklad polnomu 5. stupně: 5 3 4 + 5 2 + 9 Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 3 / 36
Definice (Kořen polnomu) Číslo c se nazývá kořen polnomu P n (), jestliže P n (c) =. Kořen c polnomu P n () se nazývá k-násobný, jesliže eistuje polnom Q n k takový, že P n () = ( c) k Q n k () a c není kořenem polnomu Q n k (), tj. Q n k (c). Kořen s násobností 1 se nazývá jednoduchý kořen. Násobnost kořene c udává, kolikrát je možné vdělit daný polnom beze zbtku tzv. kořenovým činitelem ( c). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 31 / 36
Věta (Základní věta algebr) Každý polnom stupně n má právě n kořenů (včetně kompleních), přitom každý kořen počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Příklad Lineární polnom P 1 () = a + b má právě jeden kořen = b a (řešení rovnice a + b = ). Kvadratický polnom P 2 () = a 2 + b + c má právě dva kořen 1,2 = b± b 2 4ac 2a (řešení rovnice a 2 + b + c = ): dva různé reálné kořen, pokud b 2 4ac > jeden dvojnásobný reálný kořen, pokud b 2 4ac = dvojici kompleně sdružených kořenů, pokud b 2 4ac < Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 32 / 36
Geometrický význam reálných kořenů Reálné kořen polnomu jsou průsečík grafu tohoto polnomu s osou. Kořen sudé násobnosti: Polnom nemění znaménko v tomto bodě. Kořen liché násobnosti: Polnom mění znaménko v tomto bodě. Příklad P () = 2 ( 2)( + 3) 3 3 je trojnásobný kořen 3 2 je dvojnásobný kořen 2 je jednoduchý kořen Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 33 / 36
Racionální lomená funkce Definice (Racionální lomená funkce) Necht P n () je polnom stupně n a Q m () je polnom stupně m. Funkce tvaru se nazývá racionální lomená funkce. R() = P n() Q m () Je-li n < m, pak se R() nazývá rze lomená. Je-li n m, pak se R() nazývá nerze lomená. Každou nerze lomenou racionální funkci lze vjádřit jako součet polnomu a rze lomené racionální funkce. (Provedeme dělení P n () : Q m ()). Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 34 / 36
Vužití sstémů počítačové algebr Vužití sstémů Sage, Maima, Wolfram Alpha: Základ práce: http://user.mendelu.cz/marik/akademie/zaklad-prace.html Grafika: http://user.mendelu.cz/marik/akademie/grafika.html Matematické výpočt online (MAW): Graf funkcí: http://um.mendelu.cz/maw-html/inde.php?lang=cs&form=graf Definiční obor: http://um.mendelu.cz/maw-html/inde.php?lang=cs&form=df Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 35 / 36
Příklad Určete definiční obor funkcí: ( ) + 2 = ln, = 3 2 3 + 2. Řešení pomocí Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/): domain of f()=ln((+2)/(-3)) domain of f()=sqrt(^2-3+2) Příklad Nakreselte graf funkcí: = 2 + 2, = sin. Řešení pomocí Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/): plot ^2+2 plot sin() Simona Fišnarová (MENDELU) Funkce základní pojm a vlastnosti ZVMT lesnictví 36 / 36