Leohad EULER F. KOUTNÝ, Zlí (5. 4. 77 8. 9. 78) (asi 756) Kompilace sestaveá z liteáích pameů a webových stáe o životě a díle jedoho z ejvýzamějších matematiů všech dob. Histoicé téma Euleova života je doplěo výladem, ilustacemi a ometáři jeho ejdůležitějším pacím v současém duchu.
OBSAH. MILNÍKY V MATEMATICE PŘED EULEREM.. Algeba.. Logaitmy 4.. Teoie čísel 7.4. Geometie.5. Aalýza.6. Difeeciálí ovice, mechaia a další ozvoj matematiy 5 St.. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA 9. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE 5.. TEORIE ČÍSEL 5.. GEOMETRIE A TOPOLOGIE 7.. ANALÝZA... ČÍSLO e, EXPONENCIÁLA, LOGARITMUS... ŘADY A NEKONEČNÉ SOUČINY, ČÍSLO γ 8... VÝPOČET INTEGRÁLŮ 44..4. FUNKCE BETA A GAMMA 45..5. EULEROVA MACLAURINOVA FORMULE 5.4. DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE 5.5. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 5.6. VARIAČNÍ POČET 57 4. EULEROVY STOPY VE FYZICE 6 4.. ŘEMENOVÝ POHON 6 4.. OHYB NOSNÍKU 64 4.. VZPĚR NOSNÍKU. EULEROVO KRITICKÉ ZATÍŽENÍ 65 4.4. MAUPERTUISŮV EULERŮV PRINCIP 66 4.5. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 7 4.6. EULEROVA HYDRODYNAMICKÁ ROVNICE 7 4.7. TSUNAMI 74 5. DOSLOV 77 6. ODKAZY 79 F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM. MILNÍKY V MATEMATICE PŘED EULEREM Nejstaší dolady o ěčem víc ež o pouhém sčítáí předmětů pocházejí z Babyloie ( př. K.). Tam vzila číselá soustava se záladem 6 []. Zoumala se celočíselá řešeí ovice a b = c, tj. hledaly se Pythagoejsé tojúhelíy. Bylo zámo řešeí vadaticé ovice b c =, byla tabelováa řešeí ubicé ovice b = c, řešily se poblémy podobosti, počítaly se plochy a objem a používalo se odhadu π / 8. Babyloňaé dooce používali speciálího typu Fouieovy aalýzy výpočtu efemeid [,]. Něteé z těchto pozatů měli i staří Egypťaé a lze si těžo představit, že by bez ich postavili apř. Velou pyamidu u Gízy (olem 65 př. K.) [4]. Zatím vša šlo pouze o jedotlivé poblémy a jejich řešeí. Sutečý systém pozatů a matematiu jao vědecou discipliu vytvořili tepve Řeové. Rozvět řecé ultuy a matematiy začal asi 45 let př. K. [5]. Z této a pozdější doby pocházejí věty a záoy spojeé se jméy Eulides, Pythagoas, Achimédes, teé zá aždý šolá a teé ás dodes plí obdivem. Později se Řeco stalo římsou povicií a astal úpade evopsé matematiy. Za zachováí řecé matematiy a další ozvoj matematiy vděčíme mimoevopsým áodům, zejméa Aabům. S římsými číslicemi se dá těžo ásobit a dělit, taže byly použitelé je po sčítáí a odčítáí. Italští obchodíci z Jaova, Beáte atd. byli v otatu s Oietem a jejich postředictvím se matematia vátila zpět do Evopy. Po zhuba leté přestávce se objevuje Leoado z Pisy, zvaý Fiboacci, teý. apsal Libe Abaci. Fiboacciho jméo ese posloupost {a } = {,,,, 5, } zadaá po =, 4, předpisem a = a a. 9 8 7 6 a 5 4 4 5 6 7 8 9 4 5 6 Ob. Fiboacciova posloupost {,,,, 5, }. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Fiboacciova posloupost velmi ychle oste a dá se přiozeě zobecit a aditiví poslouposti [6]. Důležité je, že v Libe Abaci se používaly aabsé číslice, zlomy a deadicá soustava [7]. To usadilo další ozvoj počítáí i matematiy. V té době začal ůst výzam vzděláí a v Evopě se začala vytvářet síť uivesit (Bologa 88, Paříž 9, Ofod 96,, Cambidge 9,, Paha 48, ) [8]... Algeba O tři století později (6. století) je už zámo algebaicé řešeí ubicé ovice. Scipio del Feo eduoval děleím a a substitucí u = a /(a ) ubicou ovici a u a u a u a = do typů p = q, p = q, p = q, p, q > a říal, že ašel jejich řešeí. Zemřel vša 56, aiž své výsledy publioval. Postup řešeí zovu objevil 55 Tataglia z Beáte a ověž jej uchovával v tajosti. Pozadil jej po dlouhém aléháí léaři Hieoymovi Cadaovi z Miláa, teý mu slíbil mlčeí. Cadao vša 545 vydal ihu o algebře As maga. Jamile Tataglia zjistil, že je v í publiová výlad jeho metody, ozhořel se jede z velmi zámých pioitích spoů (jiý Newto/Leibiz záme z pozdějšího období olem ou 7). Nicméě v liteatuře o řešeí algebaicých ovic se po ořey eduovaé ubicé ovice p q = dodes uvádí vzoec = p / q / q/ p / q / q/, de p / = p/, q / = q/, pod Cadaovým jméem [9,]. Pozameáváme, že počítáí s tímto vzocem je složité. I v případě úspěšosti vyžaduje začou pozoost a eí po obyčejou alulaču. Vhodější je EXCEL. Např. u ovice = je p / = 4, q / =, / q / p = 8.657748, s = p / q / q/ =.848695, s = p / q / q/ =.985856 a oře = s s =.66859. Po výpočet eálých ořeů ubicé ovice a zadaý počet desetiých míst je poto vhodější použít ěteou umeicou metodu řešeí obecé ovice f() = se spojitou levou staou []. Vezmeme-li ubicou ovici apř. v eduovaém tvau, je její levá staa l() = p q difeecovatelou fucí. Po > p / má ladou deivaci, dl()/d = p > a l() je tedy ostoucí. Dále lim l() =, lim l() =. Podle Bolzao Weiestassovy věty eistuje taové, že l() =, tedy ubicá ovice s eálými oeficiety má vždy aspoň jede eálý oře. Obecěji: aždá algebaicá ovice lichého stupě s eálými oeficiety má eálý oře. Algebaicé řešeí ovic bylo poděté tím, že přivádělo matematiy ovým číselým oboům. Např. ovice = vede zápoému číslu =, = vede iacioálímu číslu, = vede imagiáímu číslu = i atd. Tyto F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM pojmy se úsilím moha matematiů postupě do matematiy začleily a des jich používáme samozřejmě. K důsledému používáí ompleích čísel přispěl Raffael Bombelli ihou Algeba (57), teou později studovali G. W. Leibiz i L. Eule. Uvažujme zovu ubicou ovici =. Lze ji psát ve tvau = = ( )( a b), de =.66859 je její pví oře učeý třeba umeicy. Rozásobeím pavé stay a sováím oeficietů stejých moci ajdeme a =, b = /. Další dva ořey ubicé ovice = jsou tedy ořey vadaticé ovice / =,, = 8 =.84759 ±.4679544 i. ± / Kátce po řešeí ubicé ovice se podařilo taé řešit ovici 4. stupě převedeím a souči dvou vadaticých tojčleů. Rovice vyšších stupňů se algebaicy obecě řešit edají. Tvalo víc ež století, ež emožost algebaicého řešeí ovice 5. stupě doázal N. H. Abel (8 89). Úplé řešeí poblému algebaicé řešitelosti ovic stupě 5 podal E. Galois (8 8). Úvahy o řešitelosti jej vedly vytvořeí záladů teoie gup [5,]. F.5.5.5- -.5.5- -.5.5- -.5.5 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 - -.8 -.6 -.4 -. y Ob.. Fuce F(, y) = (iy) 4 a itevalu [-, ] [-,]. Úlohu ostutivího řešeí algebaicé ovice P(z) =, de P je polyom s ompleími oeficiety, lze převést a poblém ajít miimum vhodé spojité F. KOUTNÝ: Leohad EULER
4. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM fuce dvou poměých (eálé a imagiáí složy ompleí poměé z = iy), třeba absolutí hodoty polyomu P, F(, y) = P(z) = ( Re(iy) Im(iy) ) / mi. Přílad je a ob.. po jedoduchý polyom P(z) = z 4. Potože ořey polyomu s eálými oeficiety jsou ompleě sdužeé, stačí pacovat v polooviě y ebo y. K hledáí miima se zvoleou přesostí lze použít geeticého algoitmu [], o teém pojedávala už předáša []... Logaitmy Složitější aitmeticé výpočty, zejméa ásobeí a děleí, pomohla usadit souvislost geometicé poslouposti moci a > s aitmeticou posloupostí epoetů, a, a, a,,,, Řešeí ovic a =, a = h,, a = a h, a vytvářejí a eálé ose logaitmicou stupici s poměým oem (ob..). Ob.. Kostuce logaitmicé stupice a hoizotálí ose. Souči ladých čísel b, c > se dá počítat ta, že se ějaým způsobem (itepolací) ajdou epoety β, γ taové, že b = a β, c = a γ. Tyto epoety se sečtou, β γ = δ, a vypočte se mocia a δ. Zřejmě a δ = a βγ = a β a γ = bc (ob..4). Ob..4 Sčítáí logaitmů zameá ásobeí jejich agumetů. Myšleu převést ásobeí a sčítáí uveřejil jao pví sotsý bao Joh Nepe (Napie) 64. Nezávisle se stejou myšleou přišel 6 let před ím Švýca Joost Bügi (588), ale publioval ji tepve a příaz Johaa Keplea 4 oy po Nepeovi []. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
5. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ze slov logos = popoce a aithmos = číslo Nepe sestavil ázev logaitmus. Vlastí metodou Nepe vypočítal tabulu logaitmů, teá odpovídala záladu e, ale pojem záladu ještě ezal. S ideou logaitmů sezámil svého přítele Heyho Biggse a oba se dohodli a záladě a =. Biggs 67 publioval tabulu 8místých deadicých logaitmů celých čísel od do. Po Nepeově smti (67) Biggs vypacoval obšíé tabuly deadicých logaitmů, teé 64 publioval v ize Aithmetica logaithmica. Přiozeé logaitmy l se objevily v souvislosti s epoeciálí fucí e, de e =.788 884 5945 Pví tabulu l vypacoval Joh Speidell 69. Fuce e má tu svělou vlastost, že je ivaiatem deivováí, e = (e ) = (e ) = (e ) (užíváme Lagageova ozačeí místo d/d, místo d /d,...), a itegace. Epoeciálí fuce a logaitmus jsou vzájemě ivezí fuce a a výpočet log a u lze ahlížet jao a úlohu ajít řešeí ovice f() = a u =. To vzhledem mootoii a spojitosti mocié fuce eí při použití počítače obtížé. Aby se při učím počítáí daly opeace s logaitmy povádět efetivě, musely být po zvoleý zálad a při dosti bohaté poslouposti {u i } vypacováy tabuly epoetů. Dříve zmíěá Fiboacciova posloupost uazuje, že už vhodý zápis sám o sobě může ispiovat. Může apř. stačit tomu, aby se začalo uvažovat o eoečých pocesech. Příladem může být vytvářeí eoečých posloupostí, součtu a součiu jejich čleů (řad a eoečých součiů), ebo tvoba výazů () c c c..., () atd. c c c... S těmito objety se zacházelo občas eoetě. Světlo přiesla tepve defiice limity vysloveá v 9. století B. Bolzaem (78-848) a A. L. Cauchym (789-857) [4]. Taže des můžeme uvažovat apř. tato: () Je-li c > a eistuje-li oečé C = c c c..., je taé C = c C. Pa C = C c a tato vadaticá ovice má ořey C, = ± () Je-li c a eistuje-li oečé C = c 4, je C = c c c.... Kladý oře je C = c. 4 c C, taže C cc =. Příslušý c oře je C = sig(c) c. Např. po c = 8 dostaeme C = 4 7 =.56... 4 Ja vlastě počítali Nepe, Biggs, Speidell logaitmy, jsem evypátal. Des je to ale po matematiu pouhá histoie. Je téměř jisté, že používali ějaé řady. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
6. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V záladech difeeciálího počtu se odvozuje Tayloův ozvoj l ( ) = 4 5 6 Řada vpavo je ovegetí po <, ale oveguje ychle je po v těsém oolí. Např. po výpočet l a 6 míst, tedy po =, bychom potřebovali čleů. Podstaté zychleí ovegece po větší > přiáší substituce (ob..5). u (u) = ebo ivezě u() = u 4 5 6.8 u.6.4. -...4.6.8..4.6.8 -.4 Ob..5 Gaf fuce u() = (a u() = ). Pa u l = l u = l ( u) l ( u) = ( u ( u u u = (u u u u 5 u 5 4 u 4 4 u 4 7 u 7 5 u 5 5 u 5 6 u 6 6 u 6 ) ) ) = Σ(u). Řada Σ(u) oveguje ychle po u blízá, tj. blízá (u() < po > ). Chceme-li po zálad a > a ějaé > a počítat log a, dělíme postupě číslem a toliát, až dostaeme podíl mezi a. Např. po a = e (=.788 ) = 6.787944 e =.558 e = =.67794699 e 5, l = l.67794699 l e 5 = l.67794699 5. Položme =.67794699, u = =.9488967. Čley a = u ásledují v tabulce. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
7. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM a Potože a mají stejé zaméo, odhadujeme chybu R při přeušeí součtu za čleem a tato:.94889677.4674 5.568 7.555 9.45.4 Součet.9744977 R u = 4 u u < ( u u 4 ) = u. 4 u V ašem případě R < 4.7 a l 5.9744977 4.65786 (l.67794699.948985). Logaitmus se záladem a > se vypočte pomocí přiozeého logaitmu podle vztahu l log a =. l a Např. log = l l.98689 4.65786.85667, log π = l l π.9597 Potože jsme zvylí pacovat s čísly v desítové soustavě, tj. epezetovat čísla jao součet ásobů moci, je ejpohodlější pacovat s deadicými logaitmy. S tímto účelem se jao techicá pomůca dříve používalo logaitmicé pavíto se stupicemi deadicých logaitmů. Po ástupu eletoicých alulače před lety se velmi ychle stala aachoismem. Víc o logaitmech je uvedeo apř. v [5]... Teoie čísel V teoii čísel se většiou pacuje s přiozeými čísly, tj. pvy možiy N = {,,, }. Opaovaým sčítáím se tvoří ásoby. Např. sudá čísla jsou dvojásoby přiozeých čísel. Opeacemi sčítáí a ásobeí z obou přiozeých čísel evybočíme. Odčítáí vede a zápoým číslům {,,, }. Sjedoceím těchto moži dostáváme obo celých čísel Z = {,,,,,,, }. Bohatší výsledy přiáší opeace děleí. Jsou-li m, N, > m a je-li p = /m celé, říáme, že je ásobem m, je dělitelé m, m je dělitelem atd. Libovolá m, můžeme dělit, /m = c, de c je celá část, c {,,, } a {,, m } je zbyte. Ta se možia celých čísel po daé m, modul, ozpadá do m zbytových tříd. To, že číslo patří do zbytové třídy, tj. = c m se od Gaussových dob zapisuje mod(m) a čte: je oguetí modulo m. Dělitelost celých čísel tvoří ozsáhlou apitolu tadičí algeby. Při maipulaci s čísly se objevují ůzé záoitosti a sado vziají ůzé hypotézy. Zvolme N a pišme je v deadicém tvau, tj. jao = =. Potože všechy ladé mociy jsou sudé, ozhoduje o tom, zda N je sudé či liché je posledí číslice. Zda je dělitelé se vyšetří taé sado. Každá ladá mocia dává po děleí zbyte, taže = (m ) ( ) = M ( ) a je dělitelé pávě dyž součet jeho cife je dělitelý, tj. ( ) mod(). F. KOUTNÝ: Leohad EULER
8. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ve vedlejší tabulce jsou ve duhém sloupci a přiozeé 7 7 4 4 ásoby 7. Ve. sloupci jsou posledí číslice. Pocházíli se číslice ve. sloupci s oem, dostae se 4 8 8 5 5 5 6 posloupost {,,,, 9} ve 4. sloupci. Ve. sloupci 4 7 49 9 se v aždých po sobě jdoucích řádcích vystřídají 8 56 6 9 6 všechy číslice deadicé soustavy. Vezmeme-li 7 podobou tabulu ásobů,,, museli bychom 77 7 84 4 4 místo čleů vzít 7, abychom s oem 7 pošli 9 4 98 8 posloupost {,,,, 9}. U 9 je to o 9 u o. 5 5 5 5 6 Čley poslouposti ásobů 5 očí je a ebo 5, u 7 9 9 všech sudých čísel a,, 4, 6, 8 atd. Ta se při psaí 8 6 6 6 9 čísel jasi automaticy může vyořit řada otáze, ale ty 4 většiou vedou jedoduchým záoitostem. 47 7 7 54 4 Z atiy záme Eulidův algoitmus (Euleidés 6 4 68 8 8 z Mega, asi 45 8 př. K.) po alezeí ejvětšího 5 75 5 6 společého dělitele dvou celých čísel, esp. polyomů. 8 7 89 9 9 Je po osvěžeí: dělitelé se cylicy dělí zbyty, doud eí zbyte. Posledí dělitel je ejvětší společý. Po ilustaci uvádíme přílady.. Po čísla 44 a 99 44 : 99 = (4) 99 : 4 = 4 (64) 4 : 64 = (68) 64 : 68 = (96) 68 : 96 = (7) 96 : 7 = (4) 7 : 4 = (). Po polyomy 4 : = 4 : = 4 : = 6 4 4 : 4 4 = /4 : 4 4 = /4 F. KOUTNÝ: Leohad EULER
9. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Pvočísla Je-li N dělitelé pouze a samým sebou, azývá se pvočíslo. Už Eulides doázal, že pvočísel je eoečě moho. Jeho důaz je svělým příladem důazu spoem. Kdyby totiž pvočísel p bylo oečě moho, vytvořila by možiu P ={p,, p m } o m pvcích. Avša číslo q = p p m N eí dělitelé žádým z ich, poto by samo bylo pvočíslem. Tedy q P, a současě q P (q p, =,, p m ). Složitější je malá Fematova věta: Je-li p pvočíslo a m přiozeé číslo, je m p m dělitelé p, tedy m p m (mod p). Důaz lze ajít v aždé učebici algeby, tedy apř. v [9,] a a webu. Např. 4 5 4 = = 4 5, 5 = 4 = 48 5 ebo 7 = 84 = 7. Piee de Femat (6 665) Piee de Femat (6 665) je zám hlavě jao auto tohoto tvzeí: Velá Fematova věta. Rovice y = z je v obou přiozeých čísel řešitelá je po =,. Femat si a oaj latisého přeladu Diofatova spisu pozameal, že ašel podivuhodý důaz tohoto tvzeí. Tvalo vša téměř století, ež tuto větu 994 doázal Adew Wiles. Jeho důaz je ta dlouhý, že zabíá ihu. Des se má obecě zato, že Femat se postě mýlil. Jistě se ale mýlil, dyž se domíval, že všecha čísla jsou pvočísla. Ale o tom už byla zmía v předášce o Gaussovi [6] a Fematovým číslům se ještě vátíme později (odst..). Femat si dopisoval s B. Pascalem (6 66). Oba tyto Facouze lze považovat za zaladatele ové matematicé discipliy teoie pavděpodobosti [7]. Oba lze taé považovat za půopíy metod difeeciálího počtu po příůsty ezávisle a závisle poměé používali metodu chaateisticého tojúhelía. Femat odvodil metodu hledáí etémů eálé fuce jedé poměé []. Pascal Blaise Pascal (6 66) je zám záoem z mechaiy teuti (tla v teutiě ezávisí a směu), postavil mechaicou alulaču atd. Uvažoval taé o itegálím počtu a a jeho dílo avázal později Leibiz. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM.4. Geometie V 6. a 7. století vyšly v Evopě latisé přelady řecých aticých autoů. Eulides 48, Achimédes 558, Diofatos 6 a další [5]. Eulidovo dílo tvořilo svou achitetuou vzo i po ostatí matematicé discipliy. Studium řecé matematiy bylo samozřejmě ispiací. Např. Pascal v 6 letech objevil větu o uželosečách zázoěou a ob..6. Ob..6 Pascalova věta po elipsu: půsečíy příme a 45, 6 a 4, a 56 leží a jedé přímce. Je to jeda z vět pojetiví geometie. Jiá, Desaguesova věta, teá Pascalovi sloužila jao vzo po pezetaci jeho věty [5], je a ob..7. Pascal vyalezl apř. baomet, hydaulicý lis, iječí stříaču. Géad Desagues (59 66) je považová za zaladatele pojetiví geometie [9]. Jeho aticým předchůdcem byl Pappus z Aleadie, teý žil olem ou (pozooval zatměí Sluce 8. říja ). V pojetiví geometii se uvádí apř. Pappova věta []. Ob..7 Desaguesova věta: půsečíy podloužeých sta a 45, a 46, a 56 leží a jedé přímce. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V 7. století žil taé filosof a matemati Reé Descates (596 65) [], mezi jehož zásluhy patří alezeí souvislosti mezi algebou a geometií. To později vedlo vytvořeí aalyticé geometie. Uázal, že moho geometicých poblémů se dá tasfomovat a algebaicé úlohy. Tím položil jede ze záladích ameů po vzi matematicé aalýzy, tj. počítáí s ifiitesimálími veličiami, teé Newto a Leibiz ozviuli později do tzv. alulu. Jeho Geometie (67) vša eobsahuje ai atézsé souřadice ai ovice příme, uželoseče ebo vadaticých ploch [5]. Descates je zámý především díy čeí Cogito ego sum (= Uvažuji, tedy eistuji) a ozpacováím filosofie v Meditacích o pvotí filosofii, mechaicým pojetím světa a atomismem, objevem záoa zachováí mometů v mechaice, disusí o metodách uvažováí. Z algeby záme Descatesovo pavidlo: počet ladých ořeů eálého polyomu je ove počtu zaméových změ v poslouposti jeho oeficietů seřazeé podle stupě Reé Descates (596 65) moci poměé mius sudé číslo []. Descates se sad jao mladý šlechtic účastil bitvy a Bíle hoře 8. listopadu 6 v císařsém vojsu. Později jej, už jao slavého filosofa, pozvala álova Kistia do Švédsa. Tamější studeé podebí mu vša esvědčilo a po átém pobytu zemřel ve Stocholmu a zápal plic []. Po jeho smti álova Kistia abdiovala a přestoupila a atolicou víu..5. Aalýza Ideje maipulace s eoečě malými, ifiitesimálími veličiami se zodily už ve staém Řecu. Zvyšováím počtu sta pavidelého mohoúhelía zísal Achimédes (?87 př. K.) odhady čísla π: / 7 < π < / 7. Výpočet a tabula obsahů pavidelých úhelíů vepsaých do jedotového uhu jsou uvedey apř. v [4], st. 5-5. Achimédes je aždému šoláovi zám především jao fyzi. O mechaicé metodě Achimédovy metody učováí ploch pojedává páce [] ebo o í předášel V. Zía [4]. Zde epoužijeme postupého vyplňováí geometicého objetu stále mešími jedoduchými objety zámé míy (ehaustiví metoda), je uážeme obecý picip výpočtu ploch a objemů geometicých útvaů limitím přechodem. Plocha uhové podstavy válce je π, válec o výšce H můžeme ozložit a ízých válečů výšy h = H/ s objemem V = π h. Objem celého válce je V = = V = V = π h = π H. U otačího tělesa s poloměem závislým a výšce z ad podstavou, jao je sud ebo oule a ob..8 zísáme tímto způsobem odhad: F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V() = = V = π h = (h). U oule o poloměu a je podle Pythagoovy věty (z) = a z, tedy po z = h je dolí odhad objemu oule (symetie osy z vzhledem počátu ) V() = π h = (a h ) = π a (a a = ) = π a ( = ). Ob..8 Dvě otačí tělesa. Potože = = 6 ()() (pozáma dále), je V() = π a ( ()()) = π a ( ( )( )). 6 6 Když yí pooste do eoeča a tloušťa vstviče h bude ovegovat, bude V = πa lim ( 6 ( )( )) = π a ( 6 lim ( )( )) = 4 π a. Ob..9 Koule vepsaá do válce. Bočí pohled. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Koule vepsaá do válce s poloměem podstavy a výšou H = a (ob..9) má stejý polomě a. Její objem V oule = 4 πa, objem válce je V válec = πa a. Pa ovšem podíl objemů V πa oule = = V. válec πa Teto výslede uvedl Achimédes ve svém spisu O ouli a válci [5]. ------ Sado lze uázat, že ovostaý válec vepsaý do oule o poloměu a má objem 4 V válec, = π a = V válec a střídavé vpisováí oule a válce může poačovat: V válec, = / V válec, V oule, = / V oule., =,, Pozáma. Součty S m () = m, m =,,, 4. = Součet S () = = je zámý součet aitmeticé poslouposti, ale můžeme jej učit = taé pomocí součtu čtveců. ( ) = ( ) =. = = = = = Potože S () = = ( ) = ( ) = = ( ), je = = = = S () = ( ). Aalogicy S () odvodíme pomocí třetích moci. ( ) = ( ) = ; taže = = = = = = S () = ( ) S () = ( )/. Po vyásobeí posledí ovice číslem : 6S () = 6 6 = ( ) = [( ) ], tj. S () = ( ) ( ). 6 Je zřejmé, že tato lze poačovat. Např. S () = ( ) = S (), S 4() = [ (6 5 ) ] atd. 4 Výpočet objemů je součástí itegálího počtu, lidově řečeo scelovacího ebo sumačího počtu. S ím je úzce spoje difeeciálí počet, jehož ázev je odvoze ze slova difeece, ozdíl. A histoie ás vede již zmíěému chaateisticému tojúhelíu u fuce jedé eálé poměé. Přílad je a ob... Ob.. azačuje, že tam, de ozdíly y při ostoucím měí spojitě zaméo z ladého do zápoého, má fuce maimum. Na tuto vlastost pouázal již Femat. Bylo mu taé zřejmé, že příůsty ezávisle poměé musí ovegovat ule, aby se poloha etému fuce dala učit přesě. Podobě uvažovali Pascal, Descates, Huyges a další. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
4. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ob.. Veliost změ hladé fuce. V oolí etému se chaateisticý tojúhelí eduuje. Uceleější výlad limitího přechodu, y vedl pojmu deivace fuce y(). Isaac Baow, Newtoův učitel, stávil 4 oy cestami po Evopě a sezámil se s pacemi evopsých a zejméa facouzsých matematiů. Převzal difeeciálí (chaateisticý) tojúhelí a odvodil vzoec po výpočet dély oblouu ovié řivy. Newto azýval deivaci fuce y fluí, začil ji tečou, y&. Chápal ji spíš ve smyslu mechaiy, apř. je-li y dáha, ezávisle poměá t čas, je y& ychlost []. Toto začeí po deivaci podle času se ve fyzice používá dodes. Po matematiu je vša mohem přiozeější a vhodější začeí Leibizovo, de se limita podílu y/ ozačuje jao deivace fuce y() podle. U jedé poměé lim y () = lim y( ) y( ) = d y (), d u fucí více poměých je apř. paciálí deivace podle duhé poměé lim y(,, ) y(,, ) y = (,, ) apod. [4]. Přitom vyjadřuje, že jde o paciálí (dílčí) změu je u jedoho agumetu fuce. Toto ozačeí ifiitesimálí paciálí změy zavedl Legede olem. 786. Zobecěí deivace fuce jedé poměé a fuce více poměých je tedy sadé. Leibiz vycházel ze šiší filosoficé báze a sažil se zachytit logiu spávého uvažováí obecě. Paciálí deivace v Newtoově symbolice ezám. Mezi Newtoem a Leibizem vzil pioití spo [5,]. Des se má zato, že opeaci deivováí a ivezí opeaci itegace dospěli ezávisle [5]. Je-li F() difeecovatelá fuce a f deivace F, platí záladí fomule itegálího počtu b f() d = F(b) F(a). a Nazývá se Newtoova Leibizova fomule (ale zal ji už Newtoův učitel Baow [6]). Tato fomule se dá zobecňovat v ůzých směech [4]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
5. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM.6. Difeeciálí ovice, mechaia a další ozvoj matematiy Poměé, fuce a deivace mohou být svázáy do elace, difeeciálí ovice. Např. zychleí volého pádu tělesa v atmosféře závisí a výšce a odpou vzduchu, d y teý je fucí ychlosti tělesa, R( d t ). Pád z malé výšy y > a při bezvětří lze apoimovat jedodušším pohybem s ostatím gavitačím zychleím g a d y lieáím odpoem vzduchu R( d t dy )/ = cost (vadaticá závislost R( by samozřejmě byla ealističtější [7], ja dosvědčí aždý cylista) d s počátečími podmíami y() = y, d y dy ) = d y (c c ) d t d y g a y = (*) d y () =. ------ Relace (*) je lieáí difeeciálí ovice a její řešeí se ajde sado. Přepíšeme ji do tvau d ( d y ay) = g. Z ěj dostaeme d y ay = gt c, de c = cost. Po t = z počátečích podmíe plye d y() a y() = g c, tj. c = ay. Řešeí ové difeeciálí ovice d y ay = gt ay hledejme ve tvau y(t) = C(t) e at. Po dosazeí dostaeme d y(t) a y(t) = t C(t) C() = Taže y(t) = {C() y (e at ) odud po t = plye: dc e at ac e at ac e at = gt ay, tj. t ( gt ay ) e at = y e at g g [ t e at a y() = y = C(). ------ Rovice (*) má po a řešeí Po ozviutí epoeciály v řadu dc t e at = y (e at ) ( e at )]} e at = C() e at a g g y(t) = y t at a ( e ) a = ( gt ay ) e at a. g [ t e at a g t (y a ( e at )]. a g a )( e at ), gt 4 5 y(t) = y ag t at a t...! 4! 5! je ihed zřejmé, že po a = (ulový odpo) dostáváme elemetáí volý pád ve vauu. Ob.. ilustuje pád tělesa v gavitačím poli a povchu Země (g = 9.8m/s ) z výšy m při ůzém a, tedy s ůzým odpoem postředí. Fuce y po ejhustší postředí s a = s je paticy lieáí už po t >s (áme ve vodě), u fuce y po a =.s by se lieaity dosáhlo až po mohem delším čase (>s, áme ve vzduchu). F. KOUTNÝ: Leohad EULER
6. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM 8 a=/s a=./s a=/s Výša y, m 6 4.5.5.5.5 Čas t, s Ob.. Pád v ostatím gavitačím poli s ůzým lieáím odpoem postředí. Teto přílad azačuje, ja přiozeě a sado pojmy deivace a itegálu vedou difeeciálím ovicím a apliacím v eálém světě. Před stoletími to byly především fyziálí apliace v mechaice, optice, astoomii. V 7. století se už omě ih začaly vydávat i peiodicé časopisy. Tím se podstatě zvýšila ychlost šířeí ových pozatů i počet lidí zapojeých do vývoje matematiy tehdy ještě eodmyslitelě popojeé s fyziou a astoomií. Jea d Alembet (77 78) Např. ve Facii výzamě přispěl obecé vzdělaosti Jea le Rod d Alembet (77 78) [8], spoluedito (s Deisem Dideotem) vůbec pvího soubou tehdejších pozatů, zámé facouzsé Ecyclopédie. Jeho mata ho jao emaželsé ovoozeě položila a schodiště ostela Sait Jea le Rod, a podle zvyu byl tedy pojmeová podle patoa ostela. Bzy jej adoptovala žea jedoho sleáře. Jeho vlastí otec, šlechtic a důstojí, tajě platil pěstouům a jeho živobytí a vzděláí. D Alembet fomuloval jao pví záladí větu algeby doázaou později C. F. Gaussem [6]: aždý polyom s ompleími oeficiety má v ompleí oviě aspoň jede oře. V teoii číselých řad se uvádí d Alembetovo podílové iteium absolutí ovegece řady [4]: a jestliže < q <, řada = a a absolutě oveguje. D Alembet podstatě přispěl e zpřesěí pojmu limity. Z mechaiy záme d Alembetův picip [7,9,], z mechaiy otiua[,], matematicé fyziy [,4] i matematiy [4] d Alembetovo řešeí vlové ovice, popř. v jedé dimezi ovice mitů stuy, u u = v, t de je délová souřadice stuy, t je čas a u(, t) je výchyla bodu stuy olmo a osu stuy v lidu. Sado se ověří, že po libovolé dostatečě hladé fuce f, g je u(, t) = f( vt) g( vt) obecé řešeí ovice stuy. Názoý výlad s aimacemi lze ajít a iteetu [4,5]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
7. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Zatímco v Aglii evhodá symbolia Newtoova a jeho ult ozvoj matematiy bzdily, symbolia Leibizova a adáodí pojetí vědy a otietě vedly ychlému ozvoji ových metod. Kolem. 7 a později se a ěm začě podílel od Beoulliů ve více geeacích ze švýcasé Basileje (Basel). To je histoicy velmi uiátí feomé [5,7]. Z odu Beoulliů uvádíme je dvě geeace: Jaob Beoulli (654 75) Beoulliho čísla, dif. ovice, biomicé ozděleí, Joha Beoulli (667 748) mladší bat Jaoba mity stuy,.. Nicolaus I Beoulli (687 759), Nicolaus II Beoulli (695 76), Daiel Beoulli (7 78) Beoulliho ovice, picip a petohadsý paado, Joha II Beoulli (7 79), Joha III Beoulli (744 87). Jejich přede, Leo Beoulli, pocházel z Atvep a z ábožesých důvodů v 6. století emigoval do Basileje před špaělsou advládou. Něteé pojmy spojeé se jméem Beoulli:. Beoulliho difeeciálí ovice (Jaob Beoulli, 695): y P() y = Q() y (děleím y a substitucí u = y se lieaizuje). Beoulliho (alteativí) distibuce pavděpodobosti (Jaob Beoulli) [7] f(, p) = p po =. ( p) po = Sloupy vody zveduté polaem za poudovými motoy letadla letícího ízo ad hladiou [8]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
8. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM. Beoulliho picip (Daiel Beoulli, Hydodyamica, 78) u estlačitelých (ale i stlačitelých) teuti: ychlost teutiy se zvyšuje, lesá-li poteciálí eegie (tla). To ásě demostuje vztla u řídel ptáů a letadel ebo předchozí efetí obáze převzatý z [8]. Jaob Beoulli (654 75). Joha Beoulli (667 748), Euleův učitel. F. KOUTNÝ: Leohad EULER
9. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA [9] Leohad Eule se aodil 5. duba 77 v Basileji (Basel) ve Švýcasu. Jeho otec, Paul Eule, vystudoval teologii a basilejsé uivesitě a avštěvoval taé matematicé předášy Jaoba Beoulliho. Paul Eule a Joha Beoulli jao studeti dooce žili v domě Jaoba Beoulliho. Později se Paul Eule stal potestatsým pastoem a ožeil se s Magaetou Buceovou, ověž dceou pastoa. Jejich sy, Leohad, se aodil v Basileji, ale dyž měl asi o, odia se přestěhovala do Rieheu edaleo. Paul Eule měl jaési matematicé vzděláí a mohl tedy sám vzdělávat svého sya i v elemetáí matematice. Leohad začal chodit do šoly v Basileji a během šolí docházy bydlel u své babičy z matčiy stay. Šola, do teé Leohad chodil, byla evalá a v í se Eule o matematice moho edověděl. Avša otcův výlad vzbudil jeho zájem o matematiu, taže sám začal číst matematicé tety a hledat cesty dalšímu vzděláí. Paul Eule si přál, aby se jeho sy stal taé pastoem. Poto 4letý Leohad Eule začal studovat a uivesitě v Basileji. Měl ejpve zísat všeobecé vzděláí a pa astoupit a teologicou faultu. Otcův přítel, Joha Beoulli, při souomých lecích bzy zjistil, že Eule má obovsé matematicé adáí. Eule to sám popsal tato [9]: Bzy jsem ašel příležitost být představe slavému pofesou Johau Beoulliovi Pavda, měl málo času a ta hed odmítl dávat mi souomé hodiy. Ale dal mi mohem ceější adu, abych začal sám studovat obtížější matematicé ihy a to ta pilě, ja to je půjde. A dybych aazil a ějaou obtíž ebo přeážu, že za ím mohu aždé edělí odpolede přijít, a o mi vysvětlí všecho, co jsem epochopil F. KOUTNÝ: Leohad EULER
. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA V oce 7 Eule doočil magistesé studium ve filosofii pací, v íž sovává a staví poti sobě filosoficé ideje Newtoovy a Descatesovy. Na podzim 7 podle přáí svého otce začal studium a teologicé faultě. Ale přesto, že po celý život byl oddaým řesťaem, epociťoval po teologicá studia, studium řečtiy a hebejštiy taové adšeí, jaé v ěm vzbuzovala matematia. Po přímluvách Johaa Beoulliho otec aoec souhlasil, aby se Leohad zaměřil a matematiu. Jistě v tom sehálo svou oli přátelství otce s Johaem Beoullim. Eule uočil své studium a uivesitě v Basileji v oce 76. Během svého studia a a dopoučeí Johaa Beoulliho postudoval moho matematicých pací. V oce 76 už byla otištěa jeho pví átá páce o izochoách v lidém postředí (spojic míst současého výsytu ějaého jevu ebo hodoty). V dalším oce, 77, tedy ve, publioval páci o ecipoých tajetoiích a do soutěže o Velou ceu pařížsé aademie zaslal páci o ejlepším umístěí stožáů a plachetici. Velou ceu 77 zísal Bougue, epet a výpočty lodí. Eule zísal duhé místo, což byl po ta mladého adepta ásý výslede. Teď ale Eule musel sháět ějaé aademicé zaměstáí. A dyž v čeveci 76 zemřel v Petohadě Nicolaus (II) Beoulli a jeho místo se uvolilo, bylo Euleovi abíduto, aby tam vyučoval apliace matematiy a mechaiy ve fyziologii. Eule to místo přijal v listopadu, ale s výhadou, že do Rusa pojede až a jaře příštího ou. Po toto oddáleí měl své důvody. Jeda potřeboval čas, aby astudoval poblematiu spojeou s ovým místem, jeda měl aději, že a uivesitě v Basileji zísá místo po edávo zemřelém pofesou fyziy. Eule tehdy apsal čláe o austice, teý se stal lasicým, a předložil jej a podpou své žádosti. O obsazeí místa vša ozhodl los a v Euleův epospěch mluvil taé ízý vě tepve 9 let. Ale Calige píše [4]: Toto ozhodutí přieslo aoec Euleovi pospěch, potože jej doutilo, aby odešel z malé země a dostal se a postaveí mohem adevátější po jeho svělou výzumou a techologicou páci. Jamile se Eule dověděl, že atedu fyziy ezísá, odjel z Basileje. Nejpve jel lodí po Rýu, pa pojel Němeco v poštovím voze do Lübecu a oud přijel lodí do Petohadu 7. věta 77. Do Petohadsé aademie astoupil dva oy po jejím založeí Kateřiou I., žeou Peta Veliého (67 75). Na žádost Daiela Beoulliho a Jaoba Hemaa byl přiděle do matematico fyziálí sece aademie místo původě abídutého obou fyziologie. V Petohadě měl Eule moho olegů, teří po ěj vytvářeli výjimečě přízivé badatelsé postředí. Nide jide by ebyl oblope taovou supiou emietích vědců, jao byl v oblasti aalýzy a geometie jeho příbuzý Jaob Hema ebo Daiel Beoulli, s ímž Eulea omě přátelství pojil společý zájem a apliacích matematiy, dále mohostaý učeec Chistia Goldbach, s ímž Eule disutoval o moha poblémech aalýzy, teoie čísel a dalších. Eule byl fomálě saitáí poučí v usém ámořictvu 77 7. Nejpve F. KOUTNÝ: Leohad EULER