VYSOKÉ UČENÍ TEHNIKÉ V BRNĚ aulta strojího žeýrství Ústav matematy PaedDr. Dalbor Martše, Ph.D. TEHNIKÉ APLIKAE DIGITÁLNÍ GEOMETRIE TEHNIAL APPLIATIONS O DIGITAL GEOMETRY ZKRÁENÁ VERZE HABILITAČNÍ PRÁE BRNO 2003
KLÍČOVÁ SLOVA počítačová grafa, počítačová geometre, dgtálí geometre, dgtálí prostor, dgtálí objet, fyzcá doméa, logcá doméa, mapováí, valuace, řva, graf řvy, prostor RGB, prostor IE, dgtálí fltr, metody stíováí, ovečí mrosop, ofoálí mrosop, optcý řez, rtera zaostřeí, 2 D reostruce, 3 D reostruce KEYWORDS computer graphcs, computer geometry, dgtal geometry, dgtal space, dgtal object, physcal doma, logcal doma, mappg, valuato, curve, graph of curve, RGB space, IE space, dgtal flter, shadg methods, covetoal mcroscope, cofocal mcroscope, optcal cut, focussg crtera, 2 D reostructo, 3 D reostructo Práce je uložea a Ústavu matematy aulty strojího žeýrství VUT v Brě Dalbor Martše, 2003 ISBN 80-24-2459- ISSN 23-48X
Obsah urrculum vtae...4 Úvod...5 Matematcé prostory...6 2 Dgtálí prostor...6 2. Defce dgtálího prostoru...6 2.2 yzcá doméa, fyzcý prostor...6 2.3 Logcá doméa, logcý prostor, mapováí...7 2.4 Metry dgtálího prostoru...8 2.5 Valuace a dgtálí objety...9 3 Kostruce dgtálích objetů... 3. Křva defce a záladí pojmy... 3.2 Úseča...2 3.3 yzcé grafy parametrcy zadaých řve...2 3.4 Křvy zadaé rovcí f( x, y ) = 0...2 3.5 Plochy určeé rovcí f( x, y, z ) = 0...3 3.6 Měřeí Hausdorffovy dmeze dgtálích objetů...3 4 Dgtálí teore barev...4 4. Zdroj světla...4 4.2 Pozorovaý předmět...4 4.3 Pozorovatel...4 4.4 Barevý prostor RGB...4 4.5 Barevý prostor IE...5 4.6 Metry barevých prostorů...6 4.7 Barevé palety...6 5 Dgtálí fltry...6 5. Obraz...6 5.2 ltrováí obrazů...7 5.3 Pojem a aplace D fltru...7 6 Modelováí optcých jevů...9 6. Stíováí ploch metodou evdstatí dstrbuce ormál...9 6.2 Rastrové texturováí...9 6.3 Odraz světla...2 6.4 Lom světla a jeho průchod absorbujícím prostředím...22 7 Dgtálí teore símacích zařízeí a její aplace...23 7. Čoča a mrosop...23 7.2 Hrace možostí optcých soustav...23 7.3 Pásmo ostrost, multfoálí obraz...23 7.4 Krtera zaostřeí...24 7.5 Složeí ostrého obrazu...24 7.6 Trojrozměré reostruce...26 7.7 Zpracováí trasparetích optcých řezů...27 Závěr...27 Abstract...30 3
Dalbor Martše Naroze : 29. věta 956 v Hodoíě Trvalé bydlště : Čechova 463, 664 5 Šlapace Záladí šola : 962-97, doočea v Brě. Středí šola : 97-975: gymázum Lerchova 63, Bro s vyzameáím Vysoá šola : 975-979: Pedagogcá faulta, UJEP Bro (deší Masaryova uverzta Bro) s vyzameáím 98-83 Přírodovědecá faulta UJEP Bro (deší Masaryova uverzta Bro) revalfačí studum s vyzameáím Dotorát : 98 Pedagogcá faulta UJEP Bro, ttul PaedDr. Ph.D. : 2000 - SI VUT Bro Zaměstáí : 979-985 SOU Vojesých staveb - středošolsý profesor 986 - dosud: Ústav matematy SI VUT v Brě. 996-2000: exterí dotoradsé studum tamtéž, obor Matematcé žeýrství, téma dsertačí práce: 3D reostruce mrosímů pořízeých optcým a ofoálím mrosopy 4
Úvod V 60. letech mulého století se zrodla počítačová grafa, terá pomáhá ostrutérům v ejrůzějších oborech. Soubor teoretcých pozatů aplovatelých př vývoj grafcých systémů byl azvá počítačová geometre. Tato dscpla vša des podle mého ázoru přestala plt svoj původí úlohu a počítačová grafa des matematu vlastě epoužívá. Tato práce se saží se postavt grafcé ostruce a soldí matematcé zálady. Buduje systematcou teor, terá se dotýá počítačové geometre, počítačové grafy, umercých metod aalýzy obrazu, dgtálí topologe, opty a ěterých dalších dscpl, se žádou z ch vša esplývá. Její výsledy jsou aplovatelé eje a motorech počítačů, č tsárách, ale a dsplejích dgtálích fotoaparátů, měřících přístrojů, moblích telefoů, GPS, símacích a osvtových zařízeích, polygrafcých a tsařsých strojích atd. V této prác j proto eazývám geometrí počítačovou ale geometrí dgtálí. Práce je rozdělea do sedm aptol. Prví aptola Matematcé prostory má omplačí charater. Shruje ěteré matematcé pojmy a vlastost, teré techům emusí být dostatečě zámy a teré jsou v dalším textu využíváy. Druhá aptola Dgtálí prostor uvádí záladí defce a vlastost dgtálího prostoru. Tato aptola je zcela orgálí, samy pojmy dgtálí prostor a dgtálí geometre jsou použty vůbec poprvé. Pojmy a vlastost jsou lustrováy přílady ostruce pxelu a šedotóového obrazu a operace s těmto objety. Zde uvedeá ostruce úsečy je podstatě rychlejší ež ostruce frmy Borlad mplemetovaá v systému DELPHI. Třetí aptola Kostruce dgtálích objetů uvádí exatí matematcou defc řvy a jejího grafu a tyto defce uvádí do souvslost s výše uvedeým aparátem. Je uvedea obecá parametrcá rovce řvy, z íž lze jao specálí případy odvodt řvy běžě používaé v AD systémech (ergusoovy, Bézerovy a oosovy), uvedea orgálí ostruce řve typu f( x, y ) = 0, vrstevc ploch z = f( x, y) a ostruce mplctě zadaých ploch, tj. ploch o rovc f( x, y, z ) = 0. Výsledem jsou ostruce podstatě valtější, ež grafa balíu ImplctPlot3D dodávaého se systémem Maple. Kaptolu uzavírá měřeí Hausdorffovy dmeze fratálů s přesostí až a dvě desetá místa. Čtvrtá aptola Dgtálí teore barev orgálí matematcá teore barevých prostorů RGB a IE. V závěru jsou rtzováy barevé palety MS Offce a avržey palety vhodější. Pátá aptola Dgtálí fltry zobecňuje pojmy obraz a fltr, aparát je aplovatelý př modelováí růzých trojrozměrých objetů. Šestá aptola Modelováí optcých jevů uvádí orgálí metodu stíováí objetů a matematcý model odrazu a lomu světla Sedmá aptola Dgtálí teore símacích zařízeí a její aplace aalyzuje optcé jevy, teré jsou běžě chápáy jao č vady optcého zobrazováí a uazuje, že tyto edostaty lze aparátem dgtálí geometre eje orgovat, ale že právě tyto jevy umožňují prostorové počítačové reostruce pozorovaých objetů. Vše je doladováo přílady prostorových reostrucí símů pořízeých ovečím ofoálím mrosopy. 5
MATEMATIKÉ PROSTORY V prác jsou stručě defováy pojmy metrcý prostor, grupa, vetorový prostor, ormovaý prostor, utárí prostor, euldovsý prostor, projetví prostor. Defce těchto pojmů lze ajít v běžě dostupé lteratuře a zde je pro edostate místa euvádím. Dále je defová 2 D a 3 D objet jao lbovolá eprázdá podmoža euldovsého prostoru E 2 ( E 3 ). 2 DIGITÁLNÍ PROSTOR 2. DEINIE DIGITÁLNÍHO PROSTORU Rastrová data uládáme jao souřadce bodů, teré jsou v souladu s tradčí euldovsou geometrí modelováy jao bezrozměré objety. Zobrazovací plocha výstupího zařízeí je vša fyzcý objet a body bez rozměrů zobrazovat resp. vímat eumí. V prác je proto zavede pojem - rozměrá doméa jao aaloge pojmu bod a - rozměrý dgálí prostor jao aaloge rovy (pro = 2 ) resp. trojrozměrého prostoru (pro = 3 ).. DEINIE multdex: Nechť I { 0,,...,,.., m } možu I = I azýváme multdexem. = = jsou dexové možy. Pa 2. DEINIE osč prostoru: Nechť J = a ; b ) jsou tervaly. Možu azýváme -rozměrým osčem dgtálího prostoru. 3. DEINIE multděleí: Nechť D { x0, x,..., x,..., xm } = jsou evdstatí děleí tervalů J = a; b) ; =, 2,..,. Možu D = D azýváme evdstatím multděleím osče J. 4. DEINIE dgtálí prostor, rozlšeí: Nechť J J je osč dgtálího prostoru, = = D D jeho evdstatí multděleí. Uspořádaou dvojc D = ( J ; D ) azýváme - = = = rozměrým dgtálím prostorem. Uspořádaou -tc = ( m, m,..., m,..., m ) rozlšeí prostoru D. 2 J = = r azýváme Dgtálí geometr pa lze defovat jao matematcou dscplu, terá studuje vlastost dgtálího prostoru. J 2.2 YZIKÁ DOMÉNA, YZIKÝ PROSTOR V celém dalším textu jsou věty pro edostate místa uváděy bez důazů, všechy uváděé věty jsou doázáy v habltačí prác. 6
. DEINIE fyzcá doméa: Podmožu J osče J dgtálího prostoru D = ( J ; D ) azýváme fyzcou D doméou právě tehdy, dyž = x ; ) ) ) ) ) x+ 2x ; 2 2x2+... x ;... ; ; x + x x+ = x x +. 2 = D doméy. Zapsujeme = x ; x + ) = [,,...,,..., ] =. Číslo ; v = x + x azýváme - tým rozměrem fyzcé 2. VĚTA: - té rozměry v všech fyzcých D domé = ( ) D jsou s rovy. 3. VĚTA: Moža = = x ; ) ; x + I všech fyzcých domé osče = D = J ; D je rozladem osče J. J dgtálího prostoru ( 4. VĚTA: Nechť ) = ( J ; D ) D je dgtálí prostor, Relace ρ J J defovaá vztahem a J. AB, J lbovolé body jeho osče. ρ( AB, ) : A B je evvalece 5. DEINIE fyzcý prostor: atorovou možu = J ρ z předchozí věty azýváme fyzcým prostorem osče J resp. prostoru D = ( J ; D ). Rozlšeím fyzcého prostoru rozumíme rozlšeí prostoru D. POZNÁMKA: Používaé pojmy pxel a voxel jsou z hledsa budovaé teore specálím případy domé pxel je fyzcou 2 D doméou, voxel fyzcou 3 D doméou. 2.3 LOGIKÁ DOMÉNA, LOGIKÝ PROSTOR, MAPOVÁNÍ. DEINIE logcý prostor, logcá doméa: Nechť prostoru D, v rozměry jeho fyzcých domé. Dále echť [ c c c c ] c v) = { r R {, 2,.., } : r ; ) x x+ r x = c } J. Možu : =, 2,...,,..., ; 0; L = ( azýváme logcým prostorem prostoru ) = ( J ; D ) logcé doméy. Rozlšeím logcého prostoru D 2. VĚTA: Nechť ( ; ) = J D je fyzcý prostor,. Zobrazeí ϕ : je fyzcý prostor dgtálího D, její prvy L ; = [,,...,,..., ] 2, L rozumíme rozlšeí prostoru D. ( ) L logcý prostor téhož dgtálího prostoru L taové, že ϕ ( ) = L L, je bjece. 3. DEINIE mapováí fyzcého prostoru, řídcí bod: Zobrazeí z předchozí věty azýváme mapováí fyzcého prostoru. ϕ : L 7
Bod : = [ c, c,..., c,..., c ]; c 0; v) J azýváme jeho řídcím bodem. 2 5. DEINIE vrcholové a středové mapováí: Mapováí Vϕ : VL, jehož řídcím bodem je bod V = [ 0,0,...,0], azýváme vrcholovým mapováím. Mapováí Sϕ : SL, v 2v v v jehož řídcím bodem je bod S =,,..,,.., 2 2 2 2, azýváme středovým mapováím. ( 6. DEINIE světová souřadá soustava: Nechť ) = ( J ; D ) rozměry jeho domé, ϕ : L lbovolé mapováí. Dále echť = = D je dgtálí prostor, v reálý vetorový prostor s bází { e } ; e ( 0,0,.., v,..,0). Uspořádaou ( + 2) R je -dmezoálí L, S, e, e2,..., e,..., e azýváme světovou souřadou soustavou logcého prostoru Uspořádaou ( + 2) -tc -tc L = L. =, S, e, e2,..., e,..., e azýváme světovou souřadou soustavou fyzcého prostoru duovaou mapováím ϕ. Uspořádaou ( + 2) D = D, S, e, e2,..., e,..., e azýváme světovou souřadou soustavou dgtálího prostoru D duovaou mapováím ϕ. Uspořádaou + 2 -tc ; = [, 2,...,,..., ] a) jao multdex ; = [, 2,...,,..., ] b) jao souřadce ; = [,,...,,..., ] L. můžeme yí chápat dvojím způsobem: doméy doméy 2 resp. L = L, ( ) = resp. L = L v soustavě ( ) = -tc resp. Multdex posytuje romě loalzace doméy jž je formac o rozlšeí (tj. počtu domé), dežto souřadce srývají avíc formac o absolutích velostech. Jedotové vetory souřadých soustav jsou totž defováy pomocí rozměrů fyzcých domé. Ty jsou dáy (2) rozlšeím prostoru a velostí jeho osče, tj. v případě realzace D apř. velostí motoru, č papíru použtého v tsárě. Podceěí těchto formací může vést závažým omylům. 2.4 METRIKY DIGITÁLNÍHO PROSTORU. VĚTA: Nechť taová, že je fyzcý prostor, 0 ( ; ) 2 j = c j E ; ( ) ( ) ( ) ( ; j ) ( ) ( ) ( ) = P = c j ; = ( ; j ) = max{ c j } ( ) ( ) ( ) Pa E ; P ; jsou metry a =. c >, E ; P ; zobrazeí () () R 8
2. DEINIE (vážeá) euldovsá, pošťácá a čtvercová metra fyzcého prostoru: Metry E ; P ; z předchozí věty azýváme po řadě vážeou euldovsou, vážeou pošťácou a vážeou čtvercovou metrou fyzcého prostoru. 3. VĚTA: Nechť L je logcý prostor, c > 0, E L ; P L ; L zobrazeí () () R taová, že ( L ; ) 2 Lj = c j E ; ( ) ( ) ( ) L L = ( L; Lj) = ( L ; Lj ) = max{ c j } P = c j ; ( ) ( ) ( ) L Pa E ; P ; jsou metry a L L L = L. 3. DEINIE (vážeá) euldovsá, pošťácá a čtvercová metra logcého prostoru: Metry E L ; P L ; L z předchozí věty azýváme po řadě vážeou euldovsou, vážeou pošťácou a vážeou čtvercovou metrou fyzcého prostoru L. 4. POZNÁMKA: Je zřejmé, že metry E ; ; P v prostoru jsou po řadě evvaletí s metram E ; ; L P L L v prostoru L. Poud bude zřejmé, ve terém prostoru pracujeme, budeme psát stručě E ; P ;. 5. DEINIE soused fyzcé doméy: Nechť ; ( ) jsou dvě růzé fyzcé doméy téhož fyzcého prostoru, ; j jejch uzávěry. Doméu j azveme sousedem doméy právě tehdy, dyž. 6. DEINIE soused logcé doméy: Nechť prostor téhož dgtálího prostoru D, Logcou doméu sousedem. 7. VĚTA: yzcá doméa j L ; ( ) j je fyzcý prostor, L j L, ϕ : L, ( ) L je logcý ϕ : Lj j. L j azveme sousedem logcé doméy L právě tehdy, dyž je je sousedem doméy ( ) j ( ) právě tehdy, dyž ( j) ; =. j 2.5 VALUAE A DIGITÁLNÍ OBJEKTY Klascá euldovsá sytetcá geometre modeluje své objety ta, že studuje prvy a podmožy prostoru E. Je-l v E defová objet P, zameá to, že je zámo pravdlo, podle terého lze jedozačě rozhodout, zda bod X E do P patří č ol. Toto pravdlo lze formálě zapsat jao zobrazeí ρ : E { 0,}, přčemž ρ ( X) = X P. Euldovsá aalytcá geometre modeluje pa své objety pomocí zobrazeí ϕ : E R, jehož prostředctvím přřazuje bodům souřadce. Provedeme-l aalogcou ostruc v dgtálím prostoru, lze tímto způsobem jedozačě fyzcé objety. Je-l totž P a defujeme-l 9
zobrazeí ρ : { 0;} ta, že ρ : = P, je zřejmé, že moža P jedozačě určuje zobrazeí ρ a aopa. Zcela aalogcy pro logcý prostor. DEINIE bárí valuace fyzcého prostoru: Nechť je fyzcý prostor. β : 0, azýváme bárí valuací fyzcého prostoru. Zobrazeí { } 2. DEINIE bárí valuace logcého prostoru: Nechť je fyzcý prostor, β : { 0,} jeho bárí valuace. Dále echť L je logcý prostor téhož dgtálího prostoru D, ϕ : L mapováí. Zobrazeí βl : L { 0,} taové, že ( ) ( ( ) ) L β L = ϕ L = β L L = : azýváme bárí valuací logcého prostoru L. Bárí valuace posytuje pouze čerobílé formace. K podchyceí dalších formací je µ : 0,,..., m µ : L 0,,..., m třeba pracovat mmálě se zobrazeím { }, resp. L { } ( m -árí valuace), popř. se zobrazeím dgtálího prostoru do obecějších mož. 3. DEINIE euldovsý D objet: euldovsým D objetem rozumíme lbovolou podmožu P osče E J dgtálího prostoru D. 4. DEINIE fyzcý D objet: Nechť je fyzcý prostor. yzcým D objetem rozumíme lbovolou podmožu P prostoru. Výše uvedeá zobrazeí : { 0,} ρ resp. E ϕ : E R, se terým mplctě pracuje euldovsá geometre, většou ejsou explctě uváděa. Přímé euldovsé ostruce objetů pomocí těchto zobrazeí ejsou totž většou pratcy možé pro eoečost euldovsého prostoru. Pro geometr dgtálí je vša taový aparát velm výhodý. Jeda proto, že defčí obor těchto zobrazeí fyzcý resp. logcý prostor je a rozdíl od E oečý a aždý dgtálí objet lze defovat výčtem jeho prvů. Za druhé proto, že dgtálí geometr ezajímá je to, zda prve do objetu patří č ol, č to, jaé má souřadce. Dgtálí prostor může sloužt modelováí ejrůzějších jevů, hodotám jeho domé tedy můžeme přsuzovat ejrůzější výzam. Ohodotíme-l prostor artézsým součem (s oečou artou), můžeme modelovat ěol vlastostí současě, eboť aždé doméě přřazujeme uspořádaou -tc čísel. Tyto vlastost můžeme avíc vhodě struturovat volbou odpovídající strutury oboru hodot příslušé valuace. 7. DEINIE fyzcý a logcý graf euldovsého D objetu: Nechť dgtálího prostoru D, P J je euldovsý D objet. Možu { E } E J je osč ( ) P : P = P budeme azývat fyzcým grafem euldovsého D objetu P ve fyzcém prostoru E. Logcý obraz P fyzcého grafu P objetu L P budeme azývat logcým grafem tohoto objetu v E. Tato defovaým grafem je apř. jaéolv zobrazeí reálého objetu ebo apř. techcého výresu a výstupím zařízeí počítače. V prác uvedey aplace - ostruce bodů 0
a ěteré operace s obrazy, teré jsou podstatě rychlejší ež operace mplemetovaé v omerčě dostupých obrazových edtorech, včetě operací, teré v těchto softwarech vůbec ejsou dspozc (vz v prác pt. 2.6 a 2.7). 3 KONSTRUKE DIGITÁLNÍH OBJEKTŮ 3. KŘIVKA DEINIE A ZÁKLADNÍ POJMY. DEINIE parametrzovatelá moža, parametrzace možy: Nechť G R a dále echť exstuje spojté a prosté zobrazeí γ : ab ; G. Pa možu G azýváme parametrzovatelou a zobrazeí γ azýváme její parametrzací. γ 2.VĚTA: Ozačme p γ uspořádáí možy G defovaé tato: ( X) < γ ( Y). Dále ozačme Γ možu všech parametrzací XY, G : X Y γ : a; b ab ; je lbovolý terval. Nechť γ; γ Γ jsou dvě parametrzace γ : ab ; G. Na možě Γ defujme relac ρ tato: 2 2 G R p γ, de γ : ab ; G ; 2 ([ ] ) G G G ( X Y G X pγ Y X pγ Y) γ ; γ Γ: γ ; γ ρ = =, : 2 2 2 Pa relace ρ je evvalece a Γ. 3. DEINIE jedoduchá řva: Nechť ρ je evvalece z předchozí věty. Každý prve γ rozladu Γ ρ možy Γ duovaého relací ρ azýváme jedoduchou řvou. Možu G R azýváme grafem jedoduché řvy γ. Podrobě začíme G γ. 4. DEINIE součet jedoduchých řve: Nechť γ : ab ; G R je lbovolý reprezetat jedoduché řvy γ, γ : ab ; G resp. γ 2 : ab ; G2 lbovolí reprezetat jedoduchých řve γ ; γ 2. Možu γ azýváme součtem řve γ ; γ 2. právě tehdy, dyž a) a; b a2; b2 = a; b b) b = a2 c) b = a2 γ( b) = γ 2( a2) Začíme γ = γ γ 2. Křvy, jejchž reprezetat splňují podmíy a) c) azýváme sečítatelým. 5. DEINIE řva: Nechť : a ; b G ; {,2,.. } γ je oečá moža po dvou sečítatelých jedoduchých řve. Křvou = UG = Gγ γ azýváme grafem řvy. γ γ rozumíme součet γ = γ. Možu 6. DEINIE fyzcý a logcý graf řvy: Nechť J je osč dgtálího prostoru D, 2,3, γ J je rová resp. prostorová řva. Možu { } ( γ : { ) γ = G } γ budeme azývat fyzcým grafem řvy γ. Logcý obraz =
Lγ fyzcého grafu γ řvy γ budeme azývat logcým grafem této řvy. Graf budeme azývat ostelou řvy resp. L. G γ řvy 3.2 ÚSEČKA Kostruce úsečy je stadardě dodáváa se všem systémy. Např. v Borlad DELPHI je realzová dvojcí metod MoveTo a LeTo. V této aptole je popsá algortmus založeý a aparátu z pt. 3.. Ve stručém podáí by byl poěud epřehledý, proto ho zde vyecháme. Algortmus je rychlejší ež algortmus MoveTo-LeTo. V závslost a délce úsečy je teto algortmus as třrát až třcetrát rychlejší ež algortmus mplemetovaý v Borlad DELPHI. 3.3 YZIKÉ GRAY PARAMETRIKY ZADANÝH KŘIVEK Kostruce řve v dgtálím prostoru spočívá v ostruc fyzcých grafů řve, jsou-l zadáy jejch ostely. V případě, že tyto ostely jsou zadáy aalytcy, lze těmto ostrucím přstupovat dvojím způsobem: Kostruce metodou evdstatího děleí defčího tervalu: tato metoda terpoluje řvu polygoem. Je zřejmé, že evdstatí děleí defčího tervalu, terým je v případě řvy zadaé rovcí : R R : y = f ( x) D ( γ ) = x R x x ; x = x x γ moža { 2 } 2 ; v žádém případě ezameá ostatí délu terpolujících úseče AB a už vůbec e příslušých oblouů AB sestrojovaé ostely. Tato metoda může být výhodá pouze v případě γ : t x ; x ; x = ϕ( t) x = ψ( t), de řve zadaých svým parametrcým vyjádřeím, tj. [ ] defčí terval je D ( γ ) = { t R t t ; t2 } = t; t2 rychlost (tj. vlastě parametrcé vyjádřeí řvy). 2 2. Tato ostruce umožňuje modelovat Metoda reurzvího půleí tervalu: Tato metoda dovoluje sestrojovat aždý bod fyzcé řvy právě jedou, avíc je podstatě přesější, eboť řvu eterpoluje, ale sestrojuje přímo fyzcý graf řvy dle def. 6. pt. 3.3, a to pro případ, dy její ostela je jedoduchá řva dle def. 3. pt. 3.3. Používá pojem soused fyzcého pxelu zavedeý v def. 8 pt. 2.4. 3.4 KŘIVKY ZADANÉ ROVNIÍ f (, xy ) = 0 Pxelový algortmus: využívá vrcholového mapováí (vz pt. 2.3.). Síťová ostruce: Pxelový algortmus je podstatě urychle dgtálí terpolací, terá je A = xy, ; popsáa v prác. Kreslcí plocha je rozdělea a obdélíy ABD, de [ ] B = [ x+ hx, y] ; = [ x+ hx, y+ hy] ; D = [ xy, + hy] a zjšťuje se, zda řva (, ) 0 testovaý obdélí. f x y = protíá 2
3.5 PLOHY URČENÉ ROVNIÍ f(, x y,) z = 0 Algortmus ostruce těchto ploch je trojrozměrým zobecěím síťového algortmu ostruce řve f( x, y ) = 0. Je podstatě přesější a 20-30 rát rychlejší ež algortmus mplemetovaý systému Maple frmy Waterloo. Testováo a lebschově ubce o rovc 3 3 3 2 2 2 2 2 2 8 x + y + z 89 xy+ xz+ yx+ yz+ zx+ zy+ 54xyz+ 26 ( xy+ xz+ yz) 2 2 2 9 x + y + z 9( x+ y+ z) + = 0 v mezích xyz,, 0.85;0.85. Výstup s můžeme prohlédout a obr.. Obr..: lebschova uba sestrojeá aparátem dgtálí geometre 3.6 MĚŘENÍ HAUSDOROVY DIMENZE DIGITÁLNÍH OBJEKTŮ V této aptole je studováa problemata zobrazeí fratálů a výstupích zařízeích a odhady Hausdorffovy dmeze zísávaé z tato zobrazeých objetů. Pro tyto odhady je v prác odvoze vzorec 2 l mp j j j= D, l 3
de je straa porývajícího čtverce, m j počet porývajících čtverců, ve terých se pxely vysytují s relatví četostí Pj ( ). Kvalta výsledů pochoptelě do začé míry závsí a valtě vstupích dat. Metoda demostrováa měřeím Hausdorffovy dmeze fyzcých grafů úsečy, ruhu a 7. terace vločy Kochové, geerovaých v obrazu s rozlšeím ( 000;000 ), a to až a dvě desetá místa. 4 DIGITÁLNÍ TEORIE BAREV Obraz a motoru č tsárě vzá růzým obarveím fyzcých pxelů. Pojem barva je vša ve své obecost velm mohozačý, taže jeho edooale specfovaý výzam může vést e začým ejasostem. Abychom pojmy souvsející s barvou mohl objetvzovat, je třeba s uvědomt, ja vzá barevý vjem. Na jeho vzu se podílejí tř záladí fatory. 4. ZDROJ SVĚTLA Zdroje světla lze rozdělt podle ěola hledse. Nejčastěj se dělí podle tvaru, resp. rozměrů a zdroje bodové a plošé a jeda podle příčy zářeí a zdroje vlastí a evlastí. K vlastím zdrojům se počítají zdroje, u chž zářeí vyá přímo v tělese. Jao evlastí jsou ozačováy zdroje, teré samy ezáří, ale odrážejí a rozptylují zářeí jých zdrojů. 4.2 POZOROVANÝ PŘEDMĚT Výsledý barevý vjem ovlvňují dále reflexí a absorbčí vlastost pozorovaého předmětu. Z ejdůležtějších fyzálích záoů jsou v prác zmíěy záo odrazu a lomu. 4.3 POZOROVATEL Rozlšovací schopost ldsého oa je omezea počtem barev, teré je schopo rozezat a velost pozorovaých předmětů. Z celového zářvého tou je velm malá část má schopost vzbudt zraový vjem. Zraový vjem vzá tím, že svaze paprsů přcházející do oa je jeho optcou soustavou promítut a sítc, de dopadá a fotoreceptory, teré ho měí a ervové podrážděí. Barevý vjem vzá pomocí tří fotosezblích láte, absorbujících zářeí v oblastech oolo 600 700m (červeá), 500 560 m (zeleá) a 450-480 m (modrá). Práce rozlšuje tzv. fotometrcý a fyzologcý jas. Všechy tyto sutečost ás opravňují použít aparát dgtálí geometre všude tam, de cílem těchto ostrucí je jejch vímáí ldsým oem. Ldsé oo samo je totž zřejmě velm dobrým modelem dgtálí rovy. 4.4 BAREVNÝ PROSTOR RGB. DEINIE dgtálí obor zářeí: Nechť λ I λ λ0; λm = ; D λ { λ, λ,..., λ,..., λ } = je evdstatí děleí tervalu I λ. Uspořádaou dvojc D = ( I ; D ) budeme azývat dgtálím λ λ 0 m 4
oborem zářeí. Je-l λ = 380m ; λ 2 = 720m, pa dgtálí obor zářeí azýváme dgtálí obor (vdtelého) světla. Lze sado uázat, že dgtálí obor zářeí je specálím případem dgtálího prostoru D pro =. Lze a ěm tedy defovat všechy pojmy zavedeé v pt. 2. Jeho prvy jedorozměré fyzcé domémy (pro fyzý prostor) resp. logcé doméy (pro logcý prostor) jsou pa azývámy fyzcým resp. logcým vlovým délam. 2. DEINIE dgtálí spetrum, fotometrcá barva, fotometrcý barevý prostor: Nechť D je dgtálí obor zářeí. Jeho reálou valuac azýváme dgtálím spetrem. Je-l tato valuace defováa a dgtálím oboru vdtelého světla, azýváme j fotometrcou barvou. Možu všech fotometrcých barev azýváme fotometrcým barevým prostorem. m 3. DEINIE moochromatcá fotometrcá barva: Ozačme B fotometrcý barevý prostor, jehož prvy jsou barvy defovaé a oboru vdtelého světla s fyzcým vlovým m délam λ ; =,2,..., m. Barvu β B azveme moochromatcou fotometrcou barvou s vlovou délou λ právě tehdy, dyž c 0 = {,2,..., m}: β ( λ ) = 0. V prác je matematcy zavede součet fotometrcých barev, ásobeí barvy reálým číslem a leárí ombace fotometrcých barev. Je uázáo, že tato zacvedeý fotometrcý barevý prostor je leárím prostorem. Dále je defováa fyzologcá barva jao lbovolá reálá valuace dgtálího oboru vdtelého světla D s rozlšeím m = 3 a fyzologcý barevý prostor jao moža všech fyzologcých barev. m 3 Pro aždý prostor B, pro terý je m 3, exstuje evvalece ρ, taová, žeb = B m ρ. Těchto evvalecí je obecě více. Jedu z ch realzuje zraové cetrum ldsého mozu př aždém zraovém vjemu a lze j lze slově popsat jao relac vyvolávat stejý zraový vjem, zápsy [ β; β2] ρ, resp. βρβ 2 je třeba číst barvy β; β 2 vyvolávají stejý zraový vjem resp. β; β2 β zameá fotometrcé barvy β ; β 2 reprezetují tutéž fyzologcou barvu β. V prác je proto azýváa fyzologcá popř. vzuálí evvalece a barvy β; β2 β, pro teré je β ρβ 2, jsou azýváy fyzologcy popř. vzuálě evvaletím. Barevý prostor RGB je pa fyzologcý barevý prostor, jehož báz tvoří moochromatcé fotometrcé barvy Red s fyzcou vlovou délou γ = R λ = 700 m ; Gree γ2 = G λ = 546. m (zeleá spetrálí čára rtut); Blue γ 3 = λ = 435.8 m (modrá spetrálí čára rtut). B Tato matematcá teore pa slouží e ostruc růzých palet, modelováí jasu a průhledost v prostoru RGB, tj. a motorech a barevých dsplejích. 4.5 BAREVNÝ PROSTOR IE Barevý prostor IE je z hledsa výše uvedeého aparátu fyzologcým barevým prostorem, terý má s prostorem RGB společý podprostor řez prostoru RGB tzv. rovou 5
ostatího jasu. V prác je uvedea trasformace prostoru RGB a prostor IE včetě trasformace verzí. 4.6 METRIKY BAREVNÝH PROSTORŮ Obarveí objetu P barvou z prostoru RGB resp. IE považovat za valuac (2) (2) βrgb : R G B = RGB resp. βie : X Y Z = IE, tj. za souč valuací resp. β = βr βg βb, β = βx βy βz, β β R X : (2) R, : β (2) X, G β Y : (2) G, : (2) Y, β β B Z : (2) B, RGB=,, { 0,,..., 255} : (2) Z,,, { 0,,..., 255} RGB=. Valuace βr, βg, β B odpovídají rozladu símu a símy v červeém, zeleém a modrém světle. Tyto rozlady mohou mít začý pratcý výzam. Napřílad růzé část preparátu pro ofoálí mrosop mohou být pro lepší rozlšeí obarvey zeleým a červeým barvvem. Podobě př 3 D reostruc stereosopcých fotografí je jeda z fotografí ohodocea jao Red, druhá jao Gree. Stereofotograf dostaeme jao souč těchto ohodoceí. Vzhledem růzé ctlvost ldsého oa a jedotlvé spetrálí barvy eodpovídají subjetvě vímaé rozdíly barev jejch euldovsé vzdáleost v prostorech RGB a IE. Současá lteratura vša epracuje s pojmem metra, a proto sahy o apraveí tohoto edostatu vedou e začě rolomým a eefeltvím ostrucím. 4.7 BAREVNÉ PALETY. DEINIE paleta: Nechť r je r prvová podmoža barevého prostoru, P r ejméě dvouprvová podmoža možy r, < P uspořádáí možy P. Pa možu P azveme paletou vybraou z r -chromatcé možy. Moža r eí je uspořádaou r -prvovou možou ta, ja to vyžaduje předchozí defce. Pratcy vždy pracujeme s barevým prostorem a př výběru barev palety je třeba brát v úvahu metrcé vlastost příslušého barevého prostoru. Moje osobí zušeost bohužel svědčí o tom, že mozí výrobc softwaru těmto otázám věují velm malou pozorost. Jao přílad je v prác uvedea záladí barevá paleta systému Wdows a a záladě metrcých vlastostí prostoru RGB je avržea paleta vhodější. Je rověž sestrojea tzv. topografcá paleta vhodá pro aplace v geograf. r 5. DIGITÁLNÍ ILTRY 5. OBRAZ. DEINIE vzorovaá fuce: Nechť I je osč dgtálího prostoru. uc g( x) defovaou pro aždé x = [ x x ;...; ] R : g = g( Truc) ; 2 x azveme vzorovaou právě tehdy, dyž x I x x, de Truc Truc( x ) Truc( x ) Truc( x ) ; 2 ;..., x =. 6
2. DEINIE obraz: Nechť W = 0 ; w) R ; w R ; H = 0 ; h) R ; h R ; V = v ;v2 ) R jsou tervaly. uc I : W H V azveme obrazem. Je-l I vzorovaá, mluvíme o vzorovaém obrazu. Je-l fuce I vzorovaá a H R, mluvíme o dgtálím obrazu. Defce 2 je dostatečě obecá a to, aby jí vyhovoval aždý obraz ta, ja ho běžě chápeme Vše závsí a oboru hodot V tohoto obrazu. 5.2 ILTROVÁNÍ OBRAZŮ V aalýze obrazu jsou běžě používáy tzv. leárí obrazové fltry, teré hodotu aždého pxelu j 2 D obrazu I ahrazují hodotou 2 D ovoluce obrazu I v pxelu j s ovolučí matcí. Tyto ovoluce jsou dosud používáy výhradě a dgtalzovaý 2 D obraz dle def. 2. předchozí aptoly, jehož valuace je terpretováa téměř výhradě jao obarveí. 5.3 POJEM A APLIKAE D ILTRU Aparát dgtálí geometre umožňuje podstatě obecější a pratcy velm užtečé terpretace. Zobecěí lze provést v ěola směrech: a) Vhodým přebarveím obrazu před použtím výše uvedeých lascých fltrů lze tyto fltry použít jým účelům. b) V aalýze obrazu je hodota pxelu vždy chápáa jao barva, př zpracováí a počítač jao dgtalzovaá barva. Nc vša ebráí tomu, abychom podobě fltroval eje barvu, ale apřílad taé souřadce, průhledost, dex lomu apod. ltrovat lze více taových vlastostí současě. ltry lze zobect taé co do počtu rozměrů fltrovaého objetu. ltrovat lze eje obraz jao 2 D objet, ale taé D objety. Ta lze modfovat apř. vlastost mrosopcých preparátů, lomových ploch, výbrusů apod. ε (. DEINIE r ε ový obal dgtálího prostoru: Nechť, ϕµ, ) ε ( s mapováím ϕ a metrou µ,, ϕµ, ) ε voxelu má v prostoru (vzhledem metrce µ ). 2. DEINIE r ε umercá valuace prostoru ε ( ) * je β = β β : A D. * D je dgtálí prostor D jeho podprostor taový, že ε -ové oolí aždého ε * ε r prvů. Pa prostor = I azýváme r ε -ovým obalem ový obal valuace dgtálího prostoru: Nechť, β : A. Pa valuac β : A D je D valuace r ε ového obalu taová, že pro aždé D azýváme r ε ovým obalem valuace β : A 3. DEINIE prostorový D fltr, zaorouhleí fltru, leárí fltr: Nechť β : D A je umercá valuace dgtálího prostoru, β : D A její r ε -ový obal, 7
de r ε -ové oolí O ε ( ) doméy má r prvů. Dále ozačme f : R r R fuc r reálých proměých a O ε ( ) = { ; ;...; } uspořádaé r prvové oolí fyzcé 2 r Φβ doméy. Numercou valuac : A Φf D taovou, že pro aždé je Φβ ( ) = f ( β ; β( 2) ;...; β( r )), azýváme zfltrovaou valuací β : D A, fuc f Φf Φβ pa prostorovým D fltrem. uc roud ( ) = roud f ( β ; β( 2) ;...; β( r )) Φf Φβ azýváme zaorouhleím fltru ( ). Jestlže exstuje fuce g : R r R a zobrazeí Φf t : { ε;..;0;...; ε} R taové, že = Φβ Φf ( β ; β 2 ;...; β r ) β( ) f = = t t, azýváme fuc f leárím fltrem. Dále je defová tzv. objetový fltr, terý se od prostorového fltru lší tíl, že esčítáme přes, ale pouze přes prů tohoto oolí s fltrovaým objetem P. O ε celé oolí V prác je uvedeo ěol aplací tato zobecěých fltrů. Tyto fltry se mohou uplatt př vyhlazováí hrac objetů, modelováí topografcého teréu, detec povrchových ploch, detec zoploch salárího pole (v prác demostrováo vzualzací zoploch účost sacího ástavce), př extrapolac vývoje salárího pole (apř. bouřové oblačost) apod. Na obr. 2 je model část orgaely prvoa vlevo tzv. voxelový model, uprostřed aplace 3 D objetového fltru dolí propust, vpravo fltru gradetího. t Oε ( ) Obr. 2. Modelováí objetu 3 D objetovým fltry 8
6 MODELOVÁNÍ OPTIKÝH JEVŮ K tomu, aby objet zázorňovaý a obrazovce počítače působl realstcy, je třeba vyřešt ěol problémů. a) volba vhodého promítáí a obrazovu b) vdtelost c) optcé vlastost povrchu objetu d) ostruce vržeých stíů a odlesů. Aparát dgtálí geometre se zde výzamě uplatí především v bodě c. 6. STÍNOVÁNÍ PLOH METODOU EKVIDISTANTNÍ DISTRIBUE NORMÁL Př grafcé ostruc ploch tyto plochy většou plátujeme. Pláty jsou obecě prostorové segmety, teré př ostruc terpolujeme pomocí trojúhelíů. Předpoládáme-l jede zotropí plošý světelý zdroj dostatečě vzdáleý od dooale dfuzí plochy, je hodota stíu rového segmetu dáa osem úhlu, terý svírá jeho ormála se směrem dopadajícího světla. Poud vša př ostruc obarvíme celý segmet stejou barvou, pa jsou a původě oblé ploše většou oem patré hray segmetů, a tím ežádoucím způsobem upozorňujeme a fat, že sestrojeá plocha, o teré přepoládáme, že je hladá, je (mohdy dost hrubou) terpolací (vz obr. 3). Teto ežádoucí efet je možo odstrat buď terpolací barvy ebo ormály. Nejpoužívaější je tzv. Gouraudovo a Phogovo stíováí. Tato stíováí jsou vša oretí je v trválích případech, dy plocha může být segmetováa čtyřúhelíy, a to ještě pouze za určtých oolostí. V prác popsaá metoda je založea a odhadu čtyř tečých rov obecého prostorového segmetu, jejchž ormály jsou poté rozmístěy ta, že půdorysy jejch pat tvoří evdstatí síť (2) (tj. logcou rovu L dle def.. pt. 2.3 ). Hodota stíu se pa zísá bleárí terpolací čtyř ejblžších ormál. Výslede s můžeme prohlédout a obr. 4. 6.2 RASTROVÉ TEXTUROVÁNÍ Růzobarevost plochy vyjádříme ejlépe aesím textury. Texturou rozumíme fuc, terá přřazuje bodům rovy hodotu modulovaé velčy: T : K L H, de K, L, H R pro spojtý a K, L, H N pro dsrétí případ. Aplac textury provedeme defováím tzv. mapovací fuce M : K L P, terá aždému bodu z defčího oboru textury přřadí bod A a povrchu P tělesa. Barva tohoto bodu je pa defováa hodotou textury h H. Segmetové texturováí spočívá v tom, že aždému pxelu textury přřadíme segmet ABD ám sestrojovaé plochy. Př rastrovém texturováí postupujeme obráceě: procházíme všechy pxely a výstupím zařízeí a aždým z ch vyšleme zpětý promítací paprse. Prote-l zobrazovaou plochu, obarvíme pxel barvou, terá přísluší ejblžšímu průsečíu, ja použjeme barvu pozadí. Rastrové texturováí je podstatě rychlejší ež texturováí segmetové. Lze ho využít v ejrůzějších stuacích od čstě grafcých až po závažé techcé aplace. Použjeme-l 9
Obr. 3.: Kostatí stíováí Obr. 4.: Metoda evdstatí dstrbuce ormál 20
a ulovou plochu jao texturu mapu světa, dostaeme rotující globus. Použjeme-l jao textury apř. radarové símy atuálí oblačost, přcházející z meteoradarů v dostatečě rátých časových tervalech, lze pracovat v reálém čase s amovaým vývojem oblačost ad jstým územím a ve spojeí s výsledy pt. 5.3. v reálém čase rověž predovat její vývoj. Podobě lze použít já salárí data o zemsém povrchu. Rastrové texturováí rovy lze využít apř. prostorovým reostrucím objetů z tzv. rových optcých řezů ta, ja je posytuje apř. ofoálí mrosop, č počítačový tomograf. 6.3 ODRAZ SVĚTLA Každému pxelu j výstupího zařízeí přřadíme bod P π použté průměty. Tímto bodem vyšleme zpětý promítací paprse směrem zobrazovaé scéě a hledáme průsečíy. Jestlže eexstují, pxel bude obarve barvou pozadí a výpočet očí. Jestlže průsečí exstuje, pa v tomto bodě vyhodotíme tzv. osvětlovací model. Sestrojíme odražeý, popř. lomeý paprse a výpočet reurzvě opaujeme podle požadovaé ásobost odrazu resp. lomu. K vyhodoceí odrazu a lomu světla lze přstupovat vpodstatě dvojím způsobem: a) Emprcé modely: Nemají přímý vztah fyzálí podstatě šířeí světla. hápou složtý fyzálí děj jao čerou sříňu a jeho výslede se saží více č méě jedoduše vatfovat. Nemohou posytout ta přesé a vzuálě přesvědčvé výsledy, jao modely fyzálí, jsou vša začě jedodušší a aplace, teré jsou a ch založey, jsou podstatě rychlejší. Jsou proto často používáy. Obr. 5.: Mohoásobý odraz světla a ulových plochách (emprcý model) 2
b) yzálí modely: Vycházejí z fyzálích záoů šířeí světla a odraz od erového povrchu se saží popsat pomocí popsu šířeí eerge. Tyto metody mohou posytout téměř dooalé fotorealstcé výstupy. Jsou vša začě složté, časově velm áročé a pro sutečé výpočty použtelé je s velým obtížem. 6.4 LOM SVĚTLA A JEHO PRŮHOD ABSORBUJÍÍM PROSTŘEDÍM V prác je podrobě popsá fyzálí proces průchodu světla absorbujícím prostředím. Př algortmzac elze bohužel většou celý popsaý fyzálí proces posthout. Jeda pro celovou složtost a jeda pro edostupost potřebých formací. U aždého paprsu by totž bylo třeba propočítat všechy odrazy a lomy a tato zísaé barvy terferujících paprsů míchat. Navíc by bylo třeba započítat další jevy absorbc, dfuz, dspers apod. To ovšem lze udělat pouze pro objet, terý lze popsat aalytcy a pro jehož aždý bod jsou tyto velčy zámy. Hlavím výsledem práce v této aptole je fyzálí model slé spojé čočy, terý př začě zjedodušeých předpoladech posytuje valtí výsledy (vz obr. 6). Obr. 6.: Otvorová a barevá vada slé spojé čočy 22
7 DIGITÁLNÍ TEORIE SNÍMAÍH ZAŘÍZENÍ A JEJÍ APLIKAE 7. ČOČKA A MIKROSKOP Tato aptola popsuje čoču a mrosop z pozc geometrcé opty a slouží jao východso ' dalšímu textu. Zobrazeí G : P P, teré vyhovuje postulátům geometrcé opty, je 3 3 azváo geometrcou projecí ( P 3 předmětový, - Rova ω, pro terou je : ϕ2 ω rova mrosopu). P ' 3 obrazový prostor optcé soustavy). G, je azváa rovou ostrost ( ϕ 2 předmětová ohsová 7.2 HRANIE MOŽNOSTÍ OPTIKÝH SOUSTAV Zobrazeí reálým optcým přístroj esplňuje postuláty geometrcé opty dy zcela přesě, a to z ěola důvodů: a) omezeá šířa svazu paprsů. b) vlová podstata světla. c) eomplaárost pozorovaého objetu. d) rozlšovací schopost símacího zařízeí. Na záladě rozboru těchto jevů je defováa:. DEINIE vlová projece, vlová stopa: Nechť MV ω ϕ2 je relace taová, že Relac λ M S = ϕ = G 4Α P 0 [ P; Q] V Q V X 2 XP' P' ( P) M V azýváme vlovou projecí. Možu azýváme jejím průměrem. P S V azýváme vlovou stopou bodu P, číslo λ P 0 ( SV ) = sup { = ; } = d a R a X Y P XY, SV 2. DEINIE euldovsá projece, euldovsá stopa: Nechť P 3 je předmětový prostor ' optcé soustavy, G : P3 P3 geometrcá projece. Dále echť P P3 ; G :P P' ; S je homocetrcý svaze procházející bodem P a G : S S '. Relac M E P3 ϕ = { P; P' p S ': P' p ϕ} azýváme euldovsou projecí. P S = P' ϕ P; P' M azýváme euldovsou stopou bodu P, Možu E { [ ] E} P P číslo d( E ) = sup { X; Y ; X, Y E } S S azýváme jejím průměrem. 2Α 7.3 PÁSMO OSTROSTI, MULTIOKÁLNÍ OBRAZ Díy jevům rozebraým v předchozí aptole se ostře zobrazí eje předmětová ohsová rova do rovy ostrost, ale tzv. pásmo ostrost do optcého řezu: 23
. DEINIE pásmo ostrost: Nechť P P3 je bod předmětového prostoru, ME P3 ϕ (2) euldovsá projece, je fyzcá rova ohsové rovy ϕ, p ; p rozměry jejích fyzcých P pxelů, ( E ) d S průměr euldovsé stopy bodu P. Možu P { ( S ) { }} P3 = P P3 d < p; p = m p ; p O E x y azýváme otevřeým pásmem ostrost símacího zařízeí. 2. DEINIE výša pásma ostrost: Nechť P = [ p ; p ; p ] ; Q [ q ; q ; q ] otevřeého pásma ostrost ( O) P 3. Číslo ( ( O) 3) 2 3 v P = [ ] [ ] azýváme výšou pásma ostrost. x y = jsou body 2 3 { p q P = p p2 p3 Q = q q2 q3 P Q P3} sup ; ; ; ; ; ; ;, O 3. DEINIE optcý řez: Nechť P je pozorovaý objet, ( O) P 3 pásmo ostrost mrosopu. Možu R = P ( O) P3 azveme optcým řezem objetu. Na obr. 7. s můžeme prohlédout dva optcé řezy řídla mouchy (Drosophla) 7.4 KRITERIA ZAOSTŘENÍ Je-l výša pásma ostrost meší ež výša símaého objetu, je třeba pořídt tzv. - foálí obraz, tj sér símů ( ) O, = ; 2;...;, jejchž výšy pásem ostrost porývají celou výšu preparátu. V tom případě je možé eje sestrojt ostrý 2 D obraz, ale prostorovou reostruc objetu. 2 D zpracováí - foálího obrazu bude zřejmě spočívat ve složeí ového obrazu ta, aby se teto ový obraz sládal pouze z obrazů optcých řezů jedotlvých projecí.v této aptole jsou staovea rtera, terá dují příslušost pxelů a jedotlvých obrazech optcým (0) (2) řezům. Je sestroje tzv. zaostřovací pseudoobraz O: r, jehož hodoty pxelů udávají, a teré složce - foálího obrazu je daý pxel ejlépe zaostře. Matematcy je defováo zaostřeí, popsáy ěteré jeho vlastost a odvozeo varačí, rozptylové a frevečí rterum. 7.5 SLOŽENÍ OSTRÉHO OBRAZU Optcé řezy deteovaé výše uvedeým rter odpovídají vstupím datům až a přílš čleté hrace mez řezy. Přímé použtí tato čletých mož e složeí výsledého obrazu v sobě srývá rzo, že se a výsledém obrazu objeví strutury, teré a pozorovaém objetu ejsou. Před složeím obrazu je tedy třeba hrace poěud vyhladt a šum z pozadí potlačt. To je možé provést pomocí fltrů popsaých v pt. 5. Na obr. 8. vdíme ostrý obraz řídla mouchy sestrojeý ze sedm optcých řezů, jejchž uáza je a obr. 7.. 24
Obr. 7.: Uáza optcých řezů řídlo mouchy (Drosophla) 25
Obr. 8.: Ostrý obraz sestrojeý z optcých řezů (Drosophla) 7.6 TROJROZMĚRNÉ REKONSTRUKE Metoda řezů ostatí výšy: Jsou-l pásma ostrost po dvou dsjutí, záme fuc dvou proměých, jejíž graf přblžě odpovídá pozorovaého preparátu. Ozačíme-l v celovou výšu preparátu, pa výša pásma ostrost foálího obrazu je v. Reostruovaý objet pa (2) lze přblžě popsat valuací β : R taovou, že (2) : (0) j β j = O ( j ) Metoda fltrovaých řezů: a valuac β zísaou metodou řezů ostatí výšy 3 D fltr typu dolí propust defovaý a obalu ε β pro dostatečě velé ε a příslušou fltrovaou ohodoceí valuac ve fučí terpretac dle pt. 5.4. Metoda přímého určeí výšy: určuje vzdáleost aždého bodu od rovy ostrost a záladě vattatvího vyhodoceí hodot zaostřovacích rterí a jedotlvých složách. Dává ejvaltější výsledy. Na obr. 9 ahoře je 3 D reostruce úlomu lávy z osmfoálího obrazu (pořídl g. Pavel Štarha), dole pro srováí fotografe téhož úlomu pořízeá pod stejým pohledovým úhly (orgálí velost cca 5 mm). 26
7.7 ZPRAOVÁNÍ TRANSPARENTNÍH OPTIKÝH ŘEZŮ Tyto optcé řezy posytuje apř. ofoálí mrosop. Lší se od řezů popsaých v předchozí aptole: a) velm úzým pásmem ostrost b) body mmo pásmo ostrost ejsou pratcy zobrazey c) řezy jsou trasparetí d) je jch až ěol desíte. V prác jsou podrobě popsáy modface výše uvedeých metod, teré vyplývají z rozdílých vlastostí dat. Moderí zařízeí jsou schopa posytovat šestáctbtová data, reostruce jsou pa valtější. Na obr. 0. vdíme reostruc detalu orgaely prvoa (Paramecum) metodou detece zoplochy pomocí 3 D gradetího fltru vz pt.5.4. Na obr. je objemový model prvoa (Euplodum) pořízeý metodou vážeého součtu dest (data Prof. MUDr. Roma Jasch, L MU). ZÁVĚR Možost současé výpočetí techy jsou podstatě větší, ež s větša z ás uvědomuje. Autoř lteratury zaměřující se a pratcé problémy algortmzace a programováí grafcých výstupů jsou totž stále méě ochot věovat se (alespoň orajově) matematcé podstatě svých problémů. Záladí pojmy, se terým současá lteratura operuje, jsou v aprosté většě vágí, aprosto evyjasěé a ědy taé bohužel zcela chybé. Absece teoretcých záladů a žvelost rozvoje současé počítačové grafy tuto dscplu eje začě degradují, ale podle mého ázoru jí des jž přímo bráí v jejím rozvoj. Touto prací jsem se pousl azačt cestu ápravě. 27
Obr. 9.: Nahoře: 3 D reostruce přímým určeím výšy Dole: fotografe téhož objetu (úlome lávy o velost cca 5 mm) 28
Obr. 0.: 3 D reostruce detalu orgaely prvoa (Paramecum) Obr..: 3 D reostruce orgasmu prvoa (Euplodum) 29
ABSTRAT Ths wor bulds compact mathematc theory of the graphc costructo. It relates wth computer graphcs, mage processg, dgtal topology, optcs ad other braches but t does't jot wth ay of them. The theory s used for practcal applcatos. Results of the theory are graphcal algorthms, whch ofte exceeds covetoal techques ad are used a commercal software. The wor also descrbes uque algorthms, whch are publshed for the frst tme. hoose from cotet: hapter : Mathematcal spaces Short troducto of bass mathematcal terms (lear ad metrc space, eucldea space ad some others). hapter 2: Dgtal space Ths chapter dscusses raster ad vector data ad troduces a term of dgtal space as startg pot for plety of graphcal costructos. There s descrbed a fast pot access algorthm there. hapter 3: Dgtal object costructos Ths chapter bulds fudametal costructos of computer graphc o a mathematcal bass, that has ot tll bee ths tme publshed ad whch eables qute orgal costructos. Algorthm of costructo of les, curves defed by a parameter, curves defed by formula f( x, y ) = 0 ad surfaces defed by formula f( x, y, z ) = 0. These algorthm s much better tha algorthm mplemeted Borlad Delph ad Waterloo Maple. Ths part dscuses a software measuremet of the Hausdorff dmeso too. hapter 4: Dgtal colours theory Mathematcal theory of colour spaces ad metrces hapter 5: Dgtal flters Ths chapter presets a geeralsato of flters ow mage processg. lters preseted here ca be used to 3 D objects processg wth aalogous effects tha mage flters. They ca be used to surface smoothg, erosve flters delete small 3 D objects. The hgh-pass 3 D flters detect object surfaces. Topographcal, meteorogcal ad bologcal applcatos are demostrated. hapter 6: Optcal pheomea modellg Ths part dscuses vsblty, shadg, trasparecy, texture mappg, segmet ad raster texturg. Optcal pheemea modellg, reflecto ad refracto. hapter 7: Dgtal theory of scaer apparates ad ts applcato Ths part dscuses recostructo of outputs aqured by covetoal mcroscope, cofocal mcroscope, D cameras e.t.c. The dsplayg whch s realsed by these apparates does ot coform exactly to postulates of geometrcal optcs. We must th about lmted wdth of beam of rays, wave ature of lght, oplaarty of the preparato ad fty scaer resoluto. alculatg these feomea we ca obta very mportat 2 D mages but 3 D recostructos too. 30