GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 00

Goniometrie Funkce Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Goniometrie Funkce Obsah Goniometrie... 6 Funkce... 6 Funkce... 7 Varianta A... 7 Funkce... 0 Varianta B... 0 Funkce... Varianta C... Goniometrické funkce... 5 Goniometrické funkce ostrého úhlu... 5 Orientovaný úhel a jeho velikost... 6 Goniometrické funkce... 8 Varianta A... 8. Goniometrické funkce... 0 Varianta B... 0 Goniometrické funkce... Varianta C... Goniometrické funkce... 4 Funkce sinus a kosinus... 4 Grafy funkcí sinus a kosinus... 7 Goniometrické funkce... 0 Varianta A... 0 Goniometrické funkce... Varianta B... Goniometrické funkce... 7 Varianta C... 7

4 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce... 4 Funkce tangens a kotangens... 4 Grafy funkcí tangens a kotangens... 45 Goniometrické funkce... 47 Varianta A... 47. Goniometrické funkce... 49 Varianta B... 49 Goniometrické funkce... 5 Varianta C... 5 Goniometrické rovnice... 56 Goniometrické rovnice... 60 Varianta A... 60 Goniometrické rovnice... 6 Varianta B... 6 Goniometrické rovnice... 67 Varianta C... 67 Goniometrické vzorce... 69 Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi... 69 Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl... 69 Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty:... 69 Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel... 70 Trigonometrie... 7 Další trigonometrické věty... 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie... 7 Varianta A... 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie... 76 Varianta B... 76

Goniometrie Funkce 5 Goniometrické vzorce a trigonometrie... 78 Varianta C... 78

6 Goniometrie Funkce Goniometrie Funkce Definice: Funkce se nazývá periodická funkce, právě když eistuje takové číslo 0, že pro každé platí následující podmínky: a) Je-li, pak ; b). Číslo se nazývá perioda funkce. Pokud v množině čísel, která jsou periodami periodické funkce, eistuje nejmenší kladné číslo, nazýváme ho nejmenší perioda funkce. Definice: Funkce se nazývá funkce složená z funkcí, (v tomto pořadí), právě když platí:.) Definičním oborem funkce je množina všech těch..) Pro každé je. Funkce se označuje.

Goniometrie Funkce 7 Funkce Varianta A Příklad: Načrtněte graf funkce,. Řešení: f ( ) 4 0 4 Hodnoty funkce se pravidelně opakují: Pro každé číslo, které lze zapsat ve tvaru, kde je celé číslo, je ; pro každé číslo, které lze vyjádřit ve tvaru, kde je celé číslo, je. Hodnoty se pravidelně opakují, funkce je periodická. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

8 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Jaká je množina všech period funkce, kde? Má funkce nejmenší periodu? ) Zjistěte, které z daných funkcí jsou periodické, určete jejich nejmenší periodu (pokud eistuje) a načrtněte jejich grafy: a),, b), ) Rozhodněte, zda funkce je periodická. Má tato funkce nejmenší periodu? 4) Zjistěte, které z uvedených funkcí jsou periodické. Určete jejich nejmenší periody (pokud eistují). Načrtněte jejich grafy. a), b), Výsledek řešeník:.) Periodou je, kde je přirozené číslo, nejmenší perioda je..) a)nejmenší perioda, pro všechna,je hodnota funkce b)nejmenší perioda, pro sudá, je hodnota funkce, pro lichá, je hodnota funkce 0. ) Je periodická, nemá nejmenší periodu. 4) a) Je periodická s nejmenší periodou, pro lichá je je, pro sudá je ; b) Je periodická s nejmenší periodou, pro lichá je 0 je, pro sudá je.

Goniometrie Funkce 9 a) b) f ():= trunc ( ) + ( ) ( ) trunc f ( ) 4 0 4 f ( ) 4 4 4a) f ():= ( ) f ( ) 4 0 4 4b) f( ) := ( ) + f( ) 4 0 4

0 Goniometrie Funkce Funkce Varianta B Příklad: Každé reálné číslo lze zapsat ve tvaru, kde je celé číslo a 0,. Číslo se nazývá celá část čísla a označujeme je. Na obrázku jsou sestrojeny grafy funkcí : a :. Je některá z těchto funkcí periodická? f ( ) 0 g ( ) 0 h ( ) 0 Řešení: není periodická je periodická s nejmenší periodou Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Načrtněte graf funkce, která je periodická a navíc má ještě tyto vlastnosti: a) Je omezená a sudá, b) Je shora omezená, ale není zdola omezená, c) Má minimum, nemá maimum. ) Zjistěte, zda je daná funkce periodická, určete její nejmenší periodu (pokud eistuje) a načrtněte její graf: ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) 4) Rozhodněte, zda funkce je periodická. Načrtněte její graf..) a.) f ( ) 0 b.).5 g ( ) 0 f () 4 0 4.5

Goniometrie Funkce Funkce Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :,:. Zapište funkci složenou z funkcí, (v tomto pořadí) pomocí předpisu. Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí a..) \0, ; do patří všechna, pro která je, čili. Tuto podmínku splňuje každé, proto \0..) Pro každé je. Je tedy :. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Jsou dány funkce :, :. Určete složené funkce ;. ) Jsou dány funkce :, :. Určete složené funkce ; ; ) Máme dány funkce :,:. Určete složené funkce ; a sestrojte jejich grafy. 4) Uvažujte funkce : log, :. Sestrojte grafy funkcí ;..) ;.) ; ;.) 45 4.) ; Grafy k úlohám.a).b) 8 7 f ( ) 0 4 5 6 7 8 9 f ( ) 6 5 4 0 4 5

4 Goniometrie Funkce 4.a) f ( ) 4 0 4 5 6 7 4.b) g ( ) 0 4 5 6 7 8 9 0

Goniometrie Funkce 5 Goniometrické funkce Goniometrické funkce ostrého úhlu Definice: Sinus α je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého trojúhelníku. Kosinus je poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a délky přepony. Tangens je poměr délek odvěsny protilehlé k úhlu a odvěsny přilehlé. Kotangens je poměr délek odvěsny přilehlé k úhlu a odvěsny protilehlé..

6 Goniometrie Funkce Orientovaný úhel a jeho velikost Definice: Uspořádaná dvojice polopřímek, se společným počátkem se nazývá orientovaný úhel. Tento úhel se zapisuje. Polopřímka se nazývá počáteční rameno, polopřímka koncové rameno orientovaného úhlu, bod vrchol orientovaného úhlu. Kladný smysl otáčení- proti směru hodinových ručiček Záporný směr otáčení- po směru hodinových ručiček Definice: Velikost toho z úhlů,, který opíše polopřímka při otočení z počátečního ramene do koncového ramene v kladném smyslu, se nazývá základní velikost orientovaného úhlu. Definice: Velikostí orientovaného úhlu, jehož základní velikost v obloukové míře je, se nazývá každé číslo, kde je libovolné celé číslo. Věta: Je-li jedna z velikostí orientovaného úhlu, pak množina všech čísel, která lze psát ve tvaru, je rovna množině všech velikostí úhlu. Je-li v rovině dána polopřímka a je-li dáno libovolné reálné číslo, pak v této rovině eistuje právě jeden orientovaný úhel, jehož jedna velikost v obloukové míře je. Jednotková kružnice je kružnice se středem a poloměrem. Délka této kružnice je. Ke středovému úhlu 60 tedy přísluší délka oblouku.

Goniometrie Funkce 7 Stupňová míra a) Velikost úhlu zapisujeme ve stupních - jeden stupeň, b) Menší jednotky minuta; vteřina, c) ; Oblouková míra a) Velikost úhlu zapisujeme v radiánech, b) Jednotka rad- jeden radián, Definice: Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce. Z přímé úměrnosti:..

8 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta A Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny 7cm, cot. Vypočítejte délky zbývajících stran tohoto trojúhelníku. Řešení: Odvěsna 7cm cot 5 4 V trojúhelníku ABC přepona; odvěsna. cot 5 4 7 ; 5 4 7 5 8 5,6cm 7 5,6 8,96cm V daném trojúhelníku je odvěsna 5,6cm a přepona 8,96cm. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce 9 Příklady k procvičení: ) V pravoúhlém trojúhelníku je délka přepony 0cm, tan. Vypočítejte délky stran,. ) Určete délky všech stran a velikosti ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou : c) 4cm, 0cm d) 0dm, 40dm ) Je dána kružnice o poloměru 0cm a její tětiva, která má délku cm. Vypočítejte velikost středového úhlu, která přísluší této tětivě. 4) Nakládací rampa o délce metrů je na jednom konci o tři metry výše než na druhém konci. Jak velký úhel svírá rampa s vodorovnou rovinou?.) 6cm, 8cm ) a) 8cm, α 5 0, 6 50 ; b) 4,dm, α 4, 76.) 7 40 4.) 4 0

0 Goniometrie Funkce. Goniometrické funkce Varianta B Příklad: a) Převod radiánů na stupně: převeďte na stupně. b) Převod stupňů na radiány: 0 převeďte na radiány. Řešení: a) rad Z přímé úměrnosti 8 54. 54. Obecně. b) 0 Z přímé úměrnosti. Obecně. 0 0 45 60 90 80 70 60 0 6 4 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 0, 50, 0, 40, 0 b) 0, 6, 45, 7 ) Velikosti úhlů dané v míře obloukové vyjádřete v míře stupňové: a),,,,, ) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 4, 5, 9, 0, 5, 8, 40 b) 45, 60, 90, 50, 80, 70, 00, 60 4) Velikosti úhlů dané v obloukové míře vyjádřete v míře stupňové: a),,,,,, b),,,,, a.),,,, b.), 0,,,,76 a.) 40, 44, 4, 5, 6,.) a),,,,,,, b),,,,,,, 4.) a) 80, 60, 6, 0,,, 5, b) 0, 08, 44, 95, 70,

Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Jedna z velikostí orientovaného úhlu je a) ; b) 86. Určete jeho základní velikost. Řešení: a) Určíme takové celé číslo, pro něž platí, kde 0, : 4. Základní velikost daného orientovaného úhlu je. b) Jako v a) zjistíme, že 86 4 6 60. Základní velikost orientovaného úhlu je 4. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Na ciferníku hodin se středem označte body dané čísly, 0, 7, 4 postupně písmeny A, B, C, D. Určete ve stupňové i obloukové míře základní velikosti orientovaných úhlů,,,,,,,. ) Určete základní velikost orientovaného úhlu, jehož jedna velikost je a) 800 b) c) 567 d) 87 e) 84 f) 08 5 ) Základní velikost orientovaného úhlu je. Zjistěte, která z následujících čísel jsou velikostmi tohoto orientovaného úhlu: 4, 7, 8,, 5, 0 6 6,, 4) Základní velikost orientovaného úhlu je. Vypište všechny jeho velikosti z intervalu 4, 6..),,,,,,,.) a) 0, b) 7, c), d) 7, e) 76, f) 56 5.),,, 4.),,,,

4 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Funkce sinus a kosinus Jednotková kružnice je kružnice s poloměrem j. ( ) V počátek souřadnicového sytému; Orientovaný úhel počáteční rameno koncové rameno Souřadnice bodu : bod, v němž koncové rameno orientovaného úhlu protíná jednotkovou kružnici.

Goniometrie Funkce 5 Definice: Funkcí sinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno čísloo. Funkcí kosinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno číslo. ; základní velikost orientovaného úhlu,,,4 kvadranty souřadnicového systému

6 Goniometrie Funkce Věta: Pro každé a pro každé sin sin, cos cos. Z obrázku jednotkové kružnice je vidět, že hodnoty funkce sinus jsou kladné v prvním a druhém kvadrantu a záporné ve třetím a čtvrtém kvadrantu. Hodnoty funkce kosinus jsou kladné v prvním a čtvrtém kvadrantu a záporné ve druhém a třetím kvadrantu. Funkce sinus a kosinus jsou periodické Z jednotkové kružnice můžeme také usoudit, ze funkce sin je lichá a funkce cos je sudá. Věta: Pro každé sin sin cos cos

Goniometrie Funkce 7 Grafy funkcí sinus a kosinus : sin, 6,8 f ( ) 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 : cos, g ( ) 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8

8 Goniometrie Funkce Z obrázků je vidět, že cos sin. Graf funkce sinus se nazývá sinusoida, graf funkce kosinus se nazývá kosinusoida. sin cos Definiční obor Obor hodnot,, Rostoucí V každém intervalu, V každém intervalu, Klesající V každém intervalu, V každém intervalu, Parita lichá Sudá Omezenost Shora i zdola omezená Shora i zdola omezená Maimum V každém V každém Minimum V každém V každém Periodicita Periodická, perioda, Periodická, perioda, Hodnoty funkcí sinus a kosinus 0 6 4 sin 0 0 - cos 0-0

Goniometrie Funkce 9 Při sestrojování grafů funkcí sinus a kosinus je upravujeme vždy na tvar: sin amplituda perioda posun po ose posun po ose

0 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) sin b) cos c) sin 90 d) cos 70 Řešení: a) sin sin b) cos cos cos cos c) sin 90 sin60 0 sin 0 d) cos 70 (viz jednotková kružnice) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Vypočítejte sin, sin7, cos 9 4,sin5,cos9 6 8 ) Vypočítejte cos70, cos 90, sin845, sin 585, cos 585 ) Vypočítejte: a) cos sin cos sin b) cos 5 sin6 cos c) sin 0 7 cos 0 6 sin 70 4) Dokažte, že platí: a) sin 0 sin 740 b) cos 54 cos06.) 0; 0; ; -0,5; ) ; ; ; ;.) a) 0,5, b) -6, c)

Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta B Příklad: Zakreslete graf funkce : sin Řešení: Předpis funkce upravíme- : sin Postupně sestrojíme grafy funkcí: : sin : sin : sin : sin : sin

Goniometrie Funkce sin ; sin ; sin f ( ) g ( ) h ( ) 5 4 0 4 5

4 Goniometrie Funkce sin ; sin i ( ) j ( ) 5 4 0 4 5 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce 5 Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cos b) cos c) cos d) cos ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin0,5 b) cos Jaké jsou nejmenší periody těchto funkcí? ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin b) sin Zapište jejich obory hodnot. 4) Načrtněte postupně grafy funkcí: sin,0,5 sin,0,5 sin,0,5 sin, 0,5 sin.) a) c) 4 f ( ) 0 4 5 6 f ( ) 0 4 5 6 b) d) f ( ) 0 4 5 6 f ( ) 0 4 5 6

6 Goniometrie Funkce.) a), 0 4 5 6 b), f ( ) 4 f ( ) 0 4 5 6 4.) sin 0,5 sin f ( ) 0 4 5 6 f ( ) 0 4 5 6 0,5 sin 0,5 sin f ( ) 0 4 5 6 f ( ) 0 4 5 6 0,5 sin f ( ) 0 4 5 6

Goniometrie Funkce 7 Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Zakreslete grafy těchto funkcí: a) sin b) sin c) sin d) sin Řešení: a) c) f ( ) 0 f ( ) 0 4 5 6 b) d) f ( ) 0 4 5 6 f ( ) 0 4 5 6

8 Goniometrie Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) ) Načrtněte graf funkce ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin b) sin 4) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cos b) cos c) cos d) cos.) a) b) f ( ) 5 4 f ( ) 5 4 4 0 4 4 0 4

Goniometrie Funkce 9.) 4.) a) 5 4 f ( ) f ( ) 4 0 4 4 0 4.) a) b) f ( ) 4 0 4 f ( ) 4 0 4.)b) 4.)c) f ( ) 4 0 4 f ( ) 5 4 0 4 5

40 Goniometrie Funkce 4d) f ( ) 5 4 0 4 5

Goniometrie Funkce 4 Goniometrické funkce Funkce tangens a kotangens Definice: Funkcí tangens se nazývá funkce daná vztahem. Funkcí kotangens se nazývá funkce daná vztahem. Tyto funkce zapisujeme

4 Goniometrie Funkce Definičním oborem funkce tg je množina všech reálných čísel různých od a, kde je libovolné celé číslo. Jinak řečeno, definičním oborem funkce tg je množina všech, pro něž, kde. Definičním oborem funkce tan je tedy množina, která je sjednocením nekonečně mnoha otevřených intervalů tvaru, ; přitom je libovolné celé číslo. Tuto množinu zapisujeme takto:, Symbol označuje sjednocení příslušných intervalů. Definičním oborem funkce kotangens je množina všech těch, pro která má smysl výraz čili pro něž je sin 0. V intervalu 0, je sin 0 pouze pro čísla 0 a ; dále víme, že funkce sin je periodická s nejmenší periodou. Odtud plyne, že definičním oborem funkce cotg je množina všech těch, pro něž ; přitom je libovolné celé číslo. Definiční obor funkce kotangens lze tedy zapsat v tomto tvaru:,

Goniometrie Funkce 4 Věta: a) Pro každé reálné číslo, kde, tg tg b) Pro každé reálné číslo, kde, cotg cotg Věta: Funkce tangens a kotangens jsou liché funkce. Věta: a) Pro každé z definičního oboru funkce tg a pro každé tg tg b) Pro každé z definičního oboru funkce cotg a pro každé cotg cotg 0 6 4 tan 0-0 - cot - 0-0

44 Goniometrie Funkce Definiční obor tg Množina všech cotg Množina všech Obor hodnot Rostoucí V každém intervalu -, Klesající - V každém intervalu, Parita Lichá Lichá Omezenost Není omezená ani shora, ani zdola Není omezená ani shora, ani zdola Maimum Neeistuje Neeistuje Minimum Neeistuje Neeistuje Periodicita Periodická s periodou, Periodická s periodou,

Goniometrie Funkce 45 Grafy funkcí tangens a kotangens : tg, 6,8 5 4 f ( ) 9 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 9 4 5

46 Goniometrie Funkce : cotg 5 4 f ( ) 9 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 9 4 5

Goniometrie Funkce 47 Goniometrické funkce Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) tg b) cotg Řešení: a) tg tg tg tg tg b) cotg cotg cotg Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

48 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Určete hodnoty: a) tg, cotg b) tg, cotg ) Určete hodnoty a) tg 00, cotg 00 b) tg945, cotg945 ) Vypočtěte: a) tg 0 cotg 0 sin 0 tg 60 b) cotg tg cotg tg7 4) Vypočítejte: a) b).) a),, b), ) a),, b) -,-.) a), b) 0 4.) a), b)

Goniometrie Funkce 49. Goniometrické funkce Varianta B Příklad: Určete definiční obory funkcí: a) b) cotg Řešení: a) b) tg0, cotg 0, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

50 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Zapište definiční obory funkcí: a) b) ) Vypočítejte: a) tg0sincos cotg b) tg 0 cotg 0 sin 0 tg 60 ) Vypočítejte: a) 6 cotg 5 sin cos b) cos 4 sin 8 tg 4) Uspořádejte podle velikosti tato čísla: a) sin 0, cos 0, tg 0, cotg 0 b) cos 4, sin5,tg, cotg.) a),, b),.) a) 0, b).) a) -, b) 4 4.) a) sin 0 tg 0 cos 0 cotg 0 b) sin5 cotg cos4tg

Goniometrie Funkce 5 Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: a) : tg, : 0,5 tg b) :0,5 tg, :0,5 tg Řešení: a) 5 4 f ( ) g ( ) 9 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 9 4 5

5 Goniometrie Funkce b) 5 4 h ( ) k ( ) 9 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 9 4 5 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce 5 Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cotg b) cotg 0,5 ) Načrtněte graf těchto funkcí: a) tg b) cotg ) Načrtněte grafy funkcí: a) cotg b) tg 4) Načrtněte graf následující funkce a poté z grafu určete její vlastnosti: tg.) a) 5 4 f ( ) 5 4 0 4 5 b) 5 4 f ( ) 5 4 0 4 5

54 Goniometrie Funkce.) a) f ( ) 5 4 5 4 0 4 5 4 5 b) f ( ).) a) 5 4 5 4 0 4 5 4 5 b) f ( ) 5 4 5 4 0 4 5 4 5 f ( ) 5 4 5 4 0 4 5 4 5

Goniometrie Funkce 55 4.) 5 4 f ( ) 5 4 0 4 5

56 Goniometrie Funkce Goniometrické rovnice Definice: Goniometrickou rovnicí nazýváme každou rovnici, v níž se vyskytují goniometrické výrazy s neznámou, kde. Dva základní typy goniometrických rovnic:.) sin, cos Je-li: a) 0 nebo, užijeme pro řešení graf nebo jednotkovou kružnici b) 0 a zároveň, pak zjistíme kořeny, 0, pomocí jednotkové kružnice popřípadě grafu, známé tabulkové hodnoty nebo kalkulátoru Množina řešení,. Pozn.: Je-li, pak rovnice nemá řešení..) tg, cotg Pro všechna má rovnice nekonečně mnoho řešení, která určíme: a) Pro 0, užijeme grafu nebo vlastností tg 0 sin 0 cotg 0 cos 0 b) Pro 0, zjistíme právě jeden kořen 0,, přičemž postupujeme jako v případě.). Množina řešení. Složitější goniometrické rovnice řešíme převedením na základní tvar. A to substitucí nebo užitím vzorců pro goniometrické funkce.

Jednotková kružnice funkce sinus Goniometrie Funkce 57

58 Goniometrie Funkce Jednotková kružnice funkce kosinus

Goniometrie Funkce 59 Osy cos() a sin() můžeme zakreslit do jedné kružnice. V obrázku jsou navíc vyznačeny kvadranty.

60 Goniometrie Funkce Goniometrické rovnice Varianta A Příklad: Řešte základní goniometrické rovnice: a) sin b) cos c) sin Řešení: a), b), c) Určíme základní úhel, pro něž je sin. 6 sin je záporný ve třetím a čtvrtém kvadrantu, tedy 6 7 6 6 6 7 6, 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce 6 Příklady k procvičení: ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou : a) sin b) tg c) cos 0 d) cotg 0 ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou 0,4: a) cotg b) tg c) cos 0,5 d) sin ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou : a) sin 0,5 b) cotg Řešte goniometrické rovnice s neznámou 0,4: c) sin 0,5 d) cotg 4) Řešte v rovnice: a) cos 0,5 b) sin 0,86 c) cotg,

6 Goniometrie Funkce.) a), b), c), d).) a),,,, b),,, c),,,, d),.) a),, b), c),,,, d),,, 4.) a) 69 0 60, 90 0 60, b) 9 9 60, 00 4 60 c) 40 0 80

Goniometrie Funkce 6 Goniometrické rovnice Varianta B Příklad: Řešte v : a) sin b) sin Řešení: a) Substituce sin 6 7 6 7 6 7 6 6 6 7, b) Rovnici budeme řešit substitucí, tj. přejdeme k řešení rovnice sin čili k rovnici sin 0,5 s neznámou.

64 Goniometrie Funkce Množinu všech jejích kořenů tvoří čísla tvaru kde. 7 6 6 Množina všech kořenů původní rovnice se tedy skládá ze všech čísel,, pro která platí právě jeden ze vztahů Odtud dostaneme Neboli 7 6 6 7 8 8 8 5 8 Množinu všech kořenů původní rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 8, 5 8 Provedením zkoušky dosazením se přesvědčíme, že jsme se v průběhu řešení nedopustili numerické chyby..) 8 sin 8 sin 6 sin 7 6 sin 6 8

Goniometrie Funkce 65 8 8.) 5 8 sin 5 8 sin5 6 sin 6 sin 6 5 8 5 8 5 8 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

66 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) tg 0 b) sin 0 c) cotg 4 ) Řešte rovnice s neznámou : a) sin b) cos 45 c) tg 0 ) Řešte rovnice s neznámou : a) sin 0 b) tg 4) Řešte rovnice s neznámou : a) cos 0,5 b) cotg 0.) a), b) c),.) a), b) 45 60 c) 5 80.) a), b) 4.) a),, b)

Goniometrie Funkce 67 Goniometrické rovnice Varianta C Příklad: Řešte rovnici s neznámou sin cos sin Řešení: Rovnici upravíme takto: sin cos 0 Číslo je kořenem této rovnice, právě když platí sin 0 nebo cos0 Zavedeme substituce: Odtud dostaneme dále: sin 0 cos, kde, kde Množinu všech řešení zadané rovnice tvoří všechna, která lze psát v některém z tvarů, ; přitom, jsou libovolná celá čísla. Tuto množinu lze zapsat ve tvaru Nebo také, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

68 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) cos sin cos b) cotg tg cotg ) Řešte rovnice s neznámou : a) cos 7cos0 b) tg tgn0 ž cos ) Řešte rovnice s neznámou : a) cotg cotg0 b) sin sin0 4) Řešte rovnice s neznámou : a) sin cos 0 b) tg cotg 0.) a),, b), 4.) a),, b),,,49..) a),, b) 4.) a), b) prázdná množina

Goniometrie Funkce 69 Goniometrické vzorce Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi š š š š, Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty: Pro všech na reálná čísla, platí

70 Goniometrie Funkce Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel Pro každé reálné číslo platí:

Goniometrie Funkce 7 Trigonometrie Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β,γ é,,, í, ě ž úí é Sinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délka jedné strany a velikosti dvou úhlů b) délky dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich.

7 Goniometrie Funkce Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β,γ é,,, í Kosinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délky všech tří stran b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. Další trigonometrické věty žé úé úí, ž ří ú í,, é,, í: ší ýč úí ů :, ě ž é ě ž é

Goniometrie Funkce 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta A Příklad : a)určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže 0,6 áň, b) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže áň, Řešení: a) 0,6 0,64 0,8 0,6 0,8 4 4 b) tg 9 0 0 9 9 0 0 0

74 Goniometrie Funkce Příklad : Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno : a) 0, 45, 05 b) 5,, 4,76, 6 Řešení: a) 80 80 05 45 0 0 0 45 0 0 0 05 8,6 0 b) 5, 4,76. 5,. 4,76. 6 5 949,4 77, 5, 6 0,54 77, 8 47 ý ú 80 6 8 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže: e) 0,6 áň, f),4 áň,

Goniometrie Funkce 75 ) Dokažte, že pro všechna, pro která jsou dané výrazy definovány, platí ) Určete délky všech stran a úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno: c) 88,4, 56 8, 95 6 d) 5, 5, 45 4) Tři kružnice s poloměry 5, 4, 6 se dotýkají vně. Vypočítejte velikosti úhlů, které svírají středné. Výsledky: a.) 0,8 ; ; b.) ; ; a.),8, 8 6, 98, b.) 48,, 0, 05 4.) 50 8 59, 70

76 Goniometrie Funkce Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta B Příklad: Upravte: Řešení: a) 0 0 sin 0 0 0 0 sin b) c) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce 77 Příklady k procvičení: ) Vyjádřete jako součin: a) = b) = ) Řešte v rovnice: a) b ) Zjistěte pro která mají výrazy smysl a pak je zjednodušte: sin. 4) Řešte v rovnice: 6 6 4 Výsledky:.) a) b).) a), b),,.) a), b), c),, d), 4.) a), b)

78 Goniometrie Funkce Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :,:. Zapište funkci složenou z funkcí, (v tomto pořadí) pomocí předpisu. Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí a. ) \0, ; do patří všechna, pro která je, čili. Tuto podmínku splňuje každé, proto \0. ) Pro každé je. Je tedy :. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Goniometrie Funkce 79 Příklady k procvičení: ) Letadlo letí ve výšce 500 m k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem 8, při druhém měření pod výškovým úhlem 50. Určete vzdálenost, kterou proletělo mezi oběma měřeními. ) Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výškovém úhlu 9 5. Přijdeme-li k jeho patě o 50 blíž na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výškovém úhlu 58 4. Jak vysoká je věž? ) Dvě přímé cesty se křižují v úhlu 5 0.Na jedné z nich stojí dva sloupy, jeden na křižovatce, druhý ve vzdálenosti 500 od ní. Jak daleko je třeba jít od křižovatky po druhé cestě, aby byly vidět oba sloupy v zorném úhlu. 4) Na vrcholu hory stojí věž hradu vysoká 0. Křižovatku silnic v údolí vidíme z vrcholu věže a od její paty v hloubkových úhlech 5, 0 0. Jak vysoko je vrchol hory nad křižovatkou. Výsledky:.) 600.) 8,.) 595 4.) 7