6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text 6 Reprezetace křvek v CAD systémech Naprostá větša křvek a ploch, které se užvatel jeví jako velm růzorodé, je v moderích CAD systémech sestrojováa zcela jedotým způsobem. Od úsečky přes kuželosečky až po složté oramety defovaé užvatelem, od čtverce přes kulovou plochu až po karoser automoblu. V tomto textu se postupě astííme alespoň geometrcké prcpy těchto kostrukcí. 6. Afí kombace bodů V kaptole. jsme položl otázku, zda můžeme záps u = X A chápat jako rozdíl bodů, jehož výsledkem je vektor. Pokusme se yí a tuto otázku odpovědět. Pokud bychom záps X A chápal skutečě jako rozdíl bodů, měl by exstovat především součet těchto bodů [ x a; x a; x a] ( x + a ; x + a ; x + a )? + + + X + A= [ x; x; x] + [ a; a; a] = a také součet ásobků (kombace)? + + + t X + t A= t [ x; x; x] + t [ a; a; a] = [ tx ta ; tx ta ; tx ta ] ( tx + ta; tx + ta; tx + ta) Co by ovšem takovým součtem, popřípadě kombací bodů mělo být. Bod? Proč? Vektor? Z jakého důvodu? A jaký by to mělo geometrcký smysl? V kaptole. jsme defoval leárí kombac vektorů. V projektvím prostoru lze podobě defovat leárí kombac bodů. Projektví kombace bodů projektvího prostoru: Bod V prostoru E resp. E azveme leárí kombací bodů U; U;...; U právě tehdy, když každý reprezetat v bodu V je leárí kombací reprezetatů u; u;...; u bodů U; U;...; U, tj. když exstují ω ; = ;;..; taková, že v= ωu + ωu +... + ωu. Zapsujeme V = ω U + ωu + + ω U.... Důležtá pozámka: Projektví kombace bodů je tedy vpodstatě leárí kombace jejch reprezetatů, ovšem s jedím omezeím. Na rozdíl od koefcetů c; c;...; c leárí kombace vektorů musí být alespoň jede z koefcetů ω; ω;...; ω projektví kombace eulový. Pokud by totž byly všechy ulové, pak by kombací byl ulový vektor. To ovšem eí možé, eboť ulový vektor emůže být reprezetatem žádého projektvího bodu (vz kaptolu.4, odst. ). Projektví kombace bodů budeme používat k modelováí geometrckých útvarů v eukldovském prostoru, který lze chápat jako možu všech vlastích bodů prostoru projektvího. Aby toto aše modelováí bylo úspěšé, je třeba, abychom používal je takové projektví kombace, kde kombací eukldovských reprezetatů je eukldovský reprezetat. V E tedy musí být ( v ; v ;) c ( u ; u ;) c ( u ; u ;)... c ( u ; u ;) = + + + 98
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text v E aalogcky. Má-l ovšem být tato rovce splěa, musí být c + c +... + c = (4) Operac, která splňuje podmíku (4), budeme azývat afí kombací bodů. Můžeme tedy defovat:. Afí kombace vlastích bodů projektvího prostoru: Leárí kombac V = c U + cu + + c U... bodů projektvího prostoru azýváme afí kombací vlastích bodů právě tehdy, když U; U;...; U jsou eukldovští reprezetat vlastích bodů a c + c +... + c =. Díky podmíce (4) můžeme afí kombac zcela aalogcky defovat v afím prostoru: 4. Afí kombace bodů eukldovského prostoru: Bod V = cu + cu +... + cu, kde VU ; ; U;...; U jsou body eukldovského prostoru a c + c +... + c =, azýváme afí kombací bodů VU ; ; U;...; U. Afí kombace bodů má zcela jasý geometrcký fyzkálí výzam. V kaptole.. jsme modeloval přímku resp. rovu rovcem resp. x= w+ t s (5) x= w+ c u + cu kde jsme vektor w emohl ásobt skalárem. Jsou-l však A; B dva růzé body, pak afí kombace ebol X = ca + cb ; c+ c =, ( ) X = t A+ t B; t ; (6) je rovcí přímky procházející body A; B. Pro tř body A; BC, ; které eleží a jedé přímkce, je aalogcky X = ca + cb + cc ; c+ c+ c = (7) 99
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text Je-l v rovc (6) resp. (7) avíc c; c, resp. c; c; c, jedá se o rovc úsečky AB resp. trojúhelíka ABC. Pro kokrétí hodoty čísel m; m;...; m určuje afí kombace T = mu + mu +... + mu (8) těžště soustavy hmotých bodů o hmotostech m; m;...; m. Je-l avíc m = m =... = m, lze afí kombací určovat geometrcké těžště mohoúhelíků. 6. Řídcí body V grafckých systémech se využívají křvky a plochy, které jsou sestrojováy a základě koečého počtu bodů zadávaých užvatelem tzv. řídcích bodů. Křvka ebo plocha, kterou takto sestrojujeme, může těmto body procházet, aebo také emusí. Podle toho dělíme křvky a plochy a: a) terpolačí procházejí všem zadaým body P; P;...; P b) aproxmačí eprocházejí všem zadaým body P; P;...; P Iterpolačí křvky jsou v systému Rhoceros přístupé z meu Křvka/Volý tvar/itepolovat body. Podroběj se jm budeme zabývat ve druhém semestru v umercké matematce. Zde se soustředíme a křvky aproxmačí, které jsou sestrojováy jako afí kombace řídcích bodů a v Rhoceros ajdeme v meu Křvka/Volý tvar/řídcí body. Užvatel zadává řídcí body P; P;...; P koefcety afích kombací jsou fukce c( t) ; c( t) ;...; c ( t ) ; t t; t takové, že pro každé t t; t je c( t) + c ( t) +... + c ( t) = Těmto fukcem jsou polyomy, jejchž stupeň může užvatel volt uvtř příkazu, č specálí racoálí fukce. Nepoučeému užvatel jsou tyto fukce skryty, v tomto textu o ěkterých z ch pojedáme dále. Každá křvka geerovaá systémem Rhoceros je pak afí kombací řídcích bodů. Tímto způsobem jsou sestrojováy běžě zámé křvky apř. kružce elpsa atd. (včetě úsečky) Například kružce je afí kombací osm řídcích bodů, které tvoří vrcholy a středy stra c t ; c t ;...; c ( t ) jsou fukce schopé geerovat kruhové oblouky čtverce. Fukcem ( ) ( )
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text (podroběj o ch pojedáme dále). Změou polohy jedého řídcího bodu je pak užvatel schope předvídatelě mět tvar velké část modelovaé křvky. Podobě plocha je afí kombací řídcích bodů P; P ;...; P ; P ; P ;...; P ;...; Pm ; Pm ;...; P m, koefcety této kombace jsou fukce c ( u; v) ; c ( u; v) ;...; c ( u; v ); c ( u; v) ; c ( u; v) ;...; c ( u; v );.. cm( u; v) ; cm ( u; v) ;...; cm( u; v ); dvou proměých takové, že pro každé u u; u ; v v; v je c ( uv) c ( uv) c ( uv) c ( uv) ; + ; +... + ; = ; = m m = j= I tyto fukce jsou polyomy č specálí racoálí fukce (tetokrát dvou proměých). Tímto způsobem jsou v Rhoceros opět sestrojováy všechy plochy včetě elemetárích apř. kulová, válcová č kuželová plocha (včetě rovy). Změou jedoho ebo ěkolka málo řídcích bodů je pak možo dosáhout požadovaé změy tvaru část plochy. j O ěkterých takto geerovaých plochách opět pojedáme dále v tomto textu. 6. Bézerovy křvky Jak jž bylo řečeo, drtvá větša křvek a ploch je v CAD systémech modelováa jako afí kombace řídcích bodů. Lší se od sebe vlastě je počtem těchto bodů a tzv. bázovým fukcem tj. fukcem, které fugují jako koefcety příslušé afí kombace. Prví takové křvky avrhl Perre Étee Bézer (9-999) pro frmu Reault. Odvodíme je způsobem, který avrhl Paul de Casteljau (ar. 9) pro frmu Ctroë
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text. Bézerova křvka. stupě: Úsečku vytvoří bod Q, jehož souřadce se měí v závslost a parametru t : ( ) ( ) Q t = P t + P t t ; Všměte s, že teto záps je tvaru t B t B t Q = P + P kde B t = t; B t = t a dále B ( t) + B ( t) = t+ t =. Úsečka je tedy afí kombací svých krajích bodů. Pozameejme ještě, že zápsy křvek ve tvaru afí kombace vlastích řídcích bodů jsou je jou formou zápsu bodové fukce - rovc lze totž v E přepsat do tvaru Q t = ( p ( t) + p t; p ( t) + p t;) kde p j začí j -tou souřadc bodu P (v E aalogcky). Je vdět, že afí zápsy jsou podstatě úsporější a přehledější, proto je u aproxmačích křvek upředostňujeme.. Bézerova křvka. stupě: Přdejme další řídcí bod a sestrojme tutéž afí kombac bodů P; P. Př začeí dle přpojeého obrázku obdržíme ( ) ( ) ( ) ( ) A t = P t + P t B t = P t + P t Do třetce sestrojme tutéž kombac A t ; B t. Dostaeme bodů ( ) ( ) Po dosazeí ( ) ( ) ( ) a úpravě Ozačme dostaeme záps tvaru ( ) ( ) Q t = A t t + B t t Q t = P t + P t t + P t + P t t ( ) ( ) ( ) Q t = P t + P t t + P t = ( ) ; B ( t) = t( t) ; ( ) B t t t B ( t) B ( t) B ( t) Q = P + P + P B t = t Lze ukázat, že se jedá o oblouk paraboly (pro rový případ dokážeme v kpt. 7. 5). Všměme s ještě geometrckého výzamu řídcích bodů. Dosazeím t = zjstíme, že
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text křvka má počátečí bod v bodě P, pro t = dostáváme kocový bod v P. Je tedy P = Q ( ) ; P = Q Směrové vektory teče v těchto bodech jsou dáy dervacem Q ' + ( ) resp. Q '. Q' t = P t + P 4t + P t ' + ( )( ) ( ) ( ) = + = ( ) ( ) Q P P P P ; ' Q = P + P = P P Směrové vektory teče v krajích bodech jsou tedy určey reprezetaty PP ; PP. Protože platí ( ) ( ) B t + B t + B t = t + t t + t = je každý bod takto získaé křvky opět afí kombací řdcích bodů.. Bézerova křvka. stupě: Přdáím dalšího bodu a zopakováím předchozího postupu dostaeme: ( t) = ( t) + t ( t) = ( t) + t ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) = ( t) + t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A P P B P P C t = A t t + B t t D P P E t = B t t + D t t Q t = C t t + E t t kde ( ) ( ) B t = t ; ( ) ( ) B t = t t ; Po postupém dosazeí a úpravě dostaeme křvku ve tvaru t B t Q = P, = ( ) ( B t = t ( t) ;. ) B t = t (4) Jedá se o křvku, která je určea dvojcí resp. trojcí parametrckých rovc, z chž každá je třetího stupě. Pracujme-l v prostoru, je křvka určea trojcí parametrckých rovc je třetího stupě. Křvka jž emusí být rová. Zcela aalogcky jako v předchozím případě lze dokázat, že prochází řídcím body P; P a vektory PP ; PP jsou směrové vektory teče v bodech P; P. Rověž se lze přesvědčt, že opět platí ( ) ( ) ( ) ( B t + B t + B t + B ) t = 4. Bézerova křvka tého stupě: Výše uvedeým způsobem lze pokračovat dále. Pro řídcí body P; P;...; P bychom dostal křvku tvaru
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text ( ) ( ) ( Q t = P B t, kde ) B t = t ( t) ; = jsou tzv. Bersteovy polyomy. Bézerovy křvky jsou v systému Rhoceros dostupé z meu Křvka/Volý tvar/řídcí body. V příkazovém řádku je možo zadat stupeň křvky. Jak vyplývá z rovce, př volbě stupě je třeba zadat ejméě + řídcích bodů. Vyzkoušejte s, že tímto způsobem lze obdržet úsečku jako křvku zadaou dvěma řídcím body, které jsou pak krají body úsečky (vz odst. ). Na přpojeém obrázku je zázorě jede oblouk Bézerovy křvky stupě,, a 5. Zobrazeí řídcích bodů je možé zapout v paelu hlavích ástrojů. 6. 4 Některé další křvky K sestrojeí křvky ve tvaru afí kombace řídcích bodů, tj. ve tvaru ( ) Q t = c t P + c t P +... + c( t) P lze použít lbovolé fukce, které jsou dferecovatelé a splňují podmíku c t + c t +... + c ( t) =. Fergusoovy křvky jsou kubcké křvky, které se v CAD systémech zadávají dvěma řídcím body A;B a dvěma tečým vektory ab ; v těchto bodech. Mez Fergusoovým a Bézerovým křvkam exstuje těsá souvslost, kterou azačuje přpojeý obrázek. Je-l Bézerova křvka určea body P; P; P; P, pak Fergusoova křvka je tvaru t = F t + F ( t ) + F ( t) + F ( t) ( ) Q P P P P P P kde ( ) = + F ( t) = t + t ( ) = + F ( t) = t t F t t t F t t t t Z geometrckého hledska je Fergusoova křvka afí kombací bodů P; P. Vzhledem k tomu, že všechy řídcí body jsou vlastí, jsou body a = P P a 4
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text b = P P evlastí. V prostorech E resp E můžeme tedy položt P PP = a ; PP = b a psát + ( ) a+ ( ) Q t = F t A F t B+ F t F t b = A; P = B; Fergusoovy křvky jsou v Rhoceros dostupé z meu Křvka/Volý tvar/křvka s tečam. I zde je patrá těsá souvslost S Bézerovým křvkam: Křvku zadáváme jako Fergusoovu v pořadí A; abb. ; ; Jestlže s však po této kostrukc echáme zobrazt řídcí body, zobrazí se stejá křvka jaké Bézerův oblouk. stupě s řídcím body P; P; P; P.. Coosovy křvky jsou opět afí kombací čtyř řídcích bodů. Její vyjádřeí dostaeme opět vhodou úpravou Bézerovy křvky, kterou tetokrát ebudeme podroběj rozebírat.. Coosovy křvky jsou tvaru kde t C t C t C ( t) C ( t) Q = 6 P + P + P + P ( t ) C t = ; C t = t 6t + 4 ; C t = t + t + t+ ; C t = t Pro každé t opět platí C t C ( t) C ( t) C ( t) ; ; ; ( ) + + + = (přesvědčte se o tom), fukce C t C t C t C t jsou leárě ezávslé (proveďte potřebý výpočet), Coosova křvka je tedy opět afí kombací svých řídcích bodů a leárě ezávslých fukcí. Pro počátečí bod Coosova oblouku, tj. pro t = je C ( ) = ; C ( ) = 4; C ( ) = ; C ( ) = ; pro kocový bod ( t = ) máme C ( ) = ; C ( ) = ; C ( ) = ; Pro počátečí bod Coosovy kubky tedy dostaeme 4 ( ) = ( + 4 + ) = ( + + ) + = ( + + ) + = ( + ) C =. Q P P P P P P P 6 6 P P P P T P Pro kocový bod pak ( ) = ( + 4 + ) = ( + + ) + = ( + + ) + = ( ' + ) Q P P P P P P P 6 6 P P P P T P Bod T resp. T ' je těžštěm trojúhelíka PPP resp. PPP Q středem úsečky TP resp. T' P. Tyto body se azývají attěžště PPP resp. PPP., bod Q ( ) resp. ( ) Vztah mez Bézerovým, Fergusoovým a Coosovým obloukem je zázorě a přpojeém obrázku. Coosovy křvky ejsou v Rhoceros užvatel přímo k dspozc, jsou však zřejmě skrytě používáy př apojováí křvek apř. v abídce Křvka/Nástroje pro úpravu křvek/navázat. Umožňují totž sadé avazováí s hladkost G (vz ásledující kaptola). 5
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text 6. 5 Aproxmace po částech, B splajy V kaptole 4.. jsme vyjádřl Bézerovy křvky zcela obecého stupě. Aproxmačí křvky vyšších stupňů se však používají zřídka. Vezměme kupříkladu Bézerovu křvku 8. stupě. Je určea řídcím body P ; P ;..; P 8 a př změě byť je jedoho jedého z ch se změí celá křvka vz přpojeý obrázek.. Pro každé < t < je tedy Q t Q t, kde Q je bodová fukce křvky před a Q je bodová fukce po změě řídcího bodu. Říkáme, že tato křvka eí lokálě kotrolovatelá. Př kostrukc křvek tvarovaých pomocí většího počtu řídcích bodů se proto používá většou aproxmace po částech. Zameá to, že pro řídcí body P ; P ;...; P m ebudeme sestrojovat jede Bézerův oblouk stupě m, ale raděj apř. dva oblouky stupě a m, prví určeý body P ; P ;...; P ; druhý určeý body P+ ; P+ ;...; Pm. K tomu je ovšem třeba tyto dva oblouky a sebe vhodě apojt. 6
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text. Spojté apojeí: Vhodým apojeím rozumíme především to, aby toto apojeí bylo spojté, tj. aby počátečí bod avazujícího oblouku byl rove kocovému bodu oblouku předchozího. V předchozí úvaze je tedy třeba především položt P = P +. V dalším textu budeme tedy předpokládat, že výsledá křvka je určea body P ; P ;...; P, přčemž bod P ; < < m je bod, ve kterém a sebe avazují dva oblouky.. Hladké spojeí: Pro křvky ejméě. stupě je dalším přrozeým požadavkem, aby ' Q' P v bodě apojeí exstovala společá teča. To zameá, že pro dervace Q ( P ); ( ) oblouků Q ; Q v bodě apojeí P by mělo platt Q' ( P) = k Q' ( P ) ; k (vz přpojeý obrázek vlevo). V případě, že k =, tj. Q' ( P) = Q' ( P ), hovoříme o geometrcky hladkém spojeí (vpravo). Obecě můžeme u křvek -tého stupě požadovat hladkost popř. geometrckou hladkost až do stupě, tj žádat, aby v bodě P platlo j ( ) = k ( ) Q P Q P ; ( j) ( ) ( k popř. j ) ( j) Q ( P) = Q ( P ) pro každé j = ;;...; (hladkostí ultého stupě se rozumí spojtost). O křvce, která v každém svém bodě splňuje tyto podmíky, říkáme, že má hladkost C ( ), resp. ( ) geometrckou hladkost G. Dospíváme tak k pojmu splaj křvky.. Splaj křvka: Splaj křvkou -tého stupě rozumíme křvku, která vzkla spojeím koečého počtu aproxmačích popř. terpolačích oblouků -tého stupě tak, že výsledá ( ) křvka má ve všech bodech geometrckou hladkost G. Koečým počtem oblouků je samozřejmě jede oblouk, zameá to, že jedotlvé oblouky (apř. Bezérovy, Fergusoovy, Coosovy atd.) budeme považovat za splaj křvky. V Rhoceros jsou k dspozc splajy do hladkost G. Jsou dostupé z meu Křvka/Volý tvar/řídcí body. Jak bylo řečeo v závěru kaptoly 5.., př volbě stupě Je třeba zadat ejméě + bodů. Je-l zadáo bodů méě, příkaz se sce vykoá, výsledý stupeň křvky všem bude žší. Jsou-l apříklad zadáy pouze tř body, bude výsledá křvka pouze stupě dvě, přestože jsme požadoval apř. čtyř. Je-l zadáo bodů více ež je potřeba pro kostrukc křvky požadovaého stupě, je sestrojováa splaj křvka avázaá z oblouků žších stupňů. Lze se o tom přesvědčt ve vlastostech klkutím a tlačítko Podrobost. 7
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text Splaj křvky dále systém využívá př avazováí zolovaých oblouků z meu Křvka/Nástroje pro úpravu křvek/navázat. V tomto příkazu jsou k dspozc volby Pozce zaručuje spojtost výsledé křvky, tedy hladkost G, Tečost v bodě spojeí zaručuje společou teču, tj. hladkost G a Křvost v bodě spojeí zaručuje společou oskulačí kružc, zaručuje tedy hladkost G. Rhoceros umožňuje rověž změu tvaru jž sestrojeé křvky, a to eje změou souřadc řídcích bodů, ale umožňuje rověž řídcí body vkládat č odebírat, dodatečě lze také změt stupeň sestrojeé křvky, a to příkazem Rekostruovat. 4. Lokálí kotrolovatelost: Křvka, která vzkla aproxmací po částech, tj. apojeím ěkolka oblouků žších stupňů, se oprot křvkám vyšších stupňu vyzačuje tzv. lokálí kotrolovatelostí. Změa jedoho řídcího bodu takové křvky totž emusí mít vlv a kostrukc celé křvky. U těchto křvek ovlvňuje maxmálě tř její sousedí oblouky. 5. Bázové fukce: V odst. kaptoly. jsme hovořl o leárích kombacích vektorů a bázových vektorech. Tyto pojmy mají smysl rověž u fukcí. Leárí kombací fukcí f t ; f t ;...; f t rozumíme lbovolou fukc f ( t ), pro kterou exstují reálá čísla c; c;...; c tak, že platí = + ( ) + + ( ) f t c f t c f t c f t... t+ t+ Například fukce f t = 5e st je leárí kombací fukcí f t = e s t ; t f t = e s t, protože pro c = 4 ; c = e máme t+ t t+ t+ t+ ( ) c f t + c f t = 4 e s t+ e e s t = 4 e s t+ e s t = 5 e s t = f t 8
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text Naopak fukce ( ) ( ) ( ) B t = t eí leárí kombací fukc B t = t t ; eboť pro každá dvě čísla ; Fukce c c je t c ( t) c t( t) +. ( ) ( ) B t = t ; f t ; f t ;...; f t, z chž a jeda eí leárí kombací ostatích, azýváme leárě ezávslé, ebo též bázové fukce. Ke kostrukc aproxmačích křvek tvaru t f t f t f ( t) f ( t) Q = P + P +... + P +... + P emá smysl použít fukc fukce, která by byla leárí kombací ostatích. Pokud by totž fukce f t v zápsu (4) byla leárí kombací ostatích fukcí, byl by bod P afí kombací ostatích řídcích bodů a kostrukce křvky by se bez ěj mohla obejít. 6. Uformí a euformí B-splajy: Splajy, k jejchž kostrukc je použto výhradě bázových fukcí azýváme bázové splajy, krátce B-splajy. Tyto B-splajy lze dále dělt podle tvaru tzv. uzlového vektoru (te určuje, jakým způsobem jsou kostruovámy bázové fukce) a uformí a euformí. Obecější formace o těchto splajech a způsobu jejch kostrukce překračují rámec tohoto textu, a proto je ebudeme uvádět. Dodejme pouze, že Bersteovy polyomy vz vztah kpt. 7.. - jsou bázové a jedotlvé oblouky Bézerových křvek jsou euformí. V dalším textu je ještě poěkud zobecíme. 9. B-splaj křvky v eukldovském prostoru: Pokusme se yí zapsat B-splaj křvku jako eukldovskou bodovou fukc. Víme, že B-splaj křvku je možé zapsat ve tvaru afí kombace řídcích bodů (vz vztah ), kde P; P;...; P jsou eukldovští reprezetat bodů projektvího prostoru a f t ; f t ;...; f ( t ) jsou bázové fukce, pro které je ( ) t D: f t + f t +... + f t = Rozepíšeme-l rovc do souřadc v q p p... p E, dostaeme f ( t) t q p p... p f = q p p... p... q 4... f t Z toho vyplývá, že q f t f t f ( t) = + + + a díky podmíce tedy q 4 =. V zápsu 4... lze tedy čtvrté souřadce bodů vyechat a psát q p p... p f ( t) t f q = p p... p... q p p... p f t Díky tomu lze tyto křvky zapsat ve tvaru afí kombace v eukldovském prostoru: ( ) ( )... Qt = f t P+ f t P+ + f t P (4) 9
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text kde Qt ; P E ; = ;;..;. Vdíme, že v případě B-splaj křvek je rovce (4) formálě shodá s rovcí. 6. 6 NURBS křvky Vážým edostatkem euformích B-splaj křvek je emožost přesého modelováí kuželosečkových oblouků a dále skutečost, že tyto křvky ejsou varatí vůč projektvím trasformacím, což je epříjemé v případě, je-l v geometrckém modelář použto středové promítáí. Tyto edostatky překoávají tzv. NURBS křvky (No Uform Ratoal B-Sple) NURBS křvky mají tyto vlastost:. Lze je vždy zadat tak, aby procházely prvím a posledím bodem řídcího polygou.. Jsou lokálě kotrolovatelé, tj. změa polohy, resp. váhy jedoho bodu má tedy vlv pouze a část křvky.. Jsou varatí vůč projektvím trasformacím 4. Umožňují přesé vyjádřeí kuželoseček.. Defce NURBS křvky: Nechť P; P;...; P jsou eukldovští reprezetat bodů projektvího prostoru, f t ; f t ;...; f ( t ) jsou bázové fukce takové, že t D: f t + f t +... + f ( t) = NURBS křvkou rozumíme možu všech bodů leárích kombací reprezetatů ( ) tj. ω ω ω ω = f t P, t D: Q t = f t P + f t P +... + f t P = f t P Koefcety ω; ω;...; ω této kombace azýváme váhy bodů P; P;...; P. Vektor ( ω ω ω ) ω= ; ;...; azýváme váhovým vektorem. Přpomíáme, že alespoň jeda váha musí být eulová (ulový vektor totž emůže být reprezetatem bodu v projektvím prostoru).. Příklad: Pomocí Bersteových polyomů sestrojme NURBS křvku. stupě s váham a) ω = ; ω = ; ω = d) ω = ; ω = 4; ω = b) ω = ; ω = ; ω = e) ω = ; ω = ; ω = c) ω = ; ω = ; ω = f) ω = ; ω = ; ω = Řešeí: Bersteovy polyomy. stupě jsme sestrojl vz vztah v kpt. 9. 9 a) ω ω ω ( ) ( ) Qa t = f t P + f t P + f t P = t P + t t P + t P b) Q ( ) ( ) b t = ωf t P + ωf t P+ ωf t P = t P + t t P + t P c) Q ( ) ( ) c t = ωf t P + ωf t P+ ωf t P = t P + t t P + t P Křvky Q t ; Q t ; Q t ze zadáí d) e) f) aalogcky (přeecháváme čteář) d e f
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text Všměte s, že pro ω = ω = ω = dostáváme Bézerovu křvku. stupě. Proč se tyto křvky ozačují jako racoálí, když v ašem zápsu žádé lomeé výrazy ejsou, vysvětlíme v ásledujícím textu.. Geometrcký výzam váhového vektoru objasíme a případu rové B-splaj křvky. stupě. Každý bod B-splaj křvky vzká jako kombace BP + BP+ BP eukldovských reprezetatů řídcích bodů. Díky tomu, že tato kombace je afí - tj. díky podmíce je výsledkem eukldovský reprezetat, tj. reprezetat, kterého lze rověž považovat za bod v eukldovské rově. Váhy přřazeé jedotlvým řídcím bodům způsobí, že se z původí afí kombace reprezetatů stae pouze kombace leárí, tj. výsledí reprezetat křvky opustí eukldovskou rovu. Na obrázku máme další křvku, kde jsme bodům P; P přřadl váhy ω = ω = a bodu P jsme přřadl váhu ω =. Díky í eí součet BP + ωbp+ BP eukldovským reprezetatem a opustl eukldovskou rovu. Bod ω Q, který teto součet reprezetuje, se v projektvím prostoru zřejmě bude se vzrůstajícím ω blížt bodu P. To zameá, že jeho eukldovský reprezetat ωq se bude blížt k eukldovskému reprezetatov P bodu P. NURBS křvky tak lze tvarovat eje změou řídcích bodů, ale změou jejch vah. V eukldovské rově se to projeví tak, že se vzrůstající vahou se budou body křvky více blížt příslušému řídcímu bodu. Naopak bude-l váha meší, křvka se od řídcího bodu vzdálí. Změu tvaru NURBS křvky pomocí vah ovšem elze chápat je takto tutvě. Jak uvdíme v dalším textu, mají tyto změy hlubší geometrcké souvslost.
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text 4. NURBS křvky v Rhoceros: Váhu řídcích bodů můžeme mět příkazem Váha, a to v rozmezí.. Na přpojeém obrázku je původě kubcká Bézerova křvka, u íž byla změěa váha jedoho řídcího bodu postupě a.5; ;; 4;5. 5. Pozámka: Je zřejmé, že vyásobíme-l váhy lbovolým číslem růzým od uly, křvka se ezměí (Přesvědčte se o tom v Rhoceros!). p ; p ; p ; p kωp ; kωp ; kωp ; kω p ; k jsou totž reprezetaty Vektory ( ω ω ω ω 4) ; ( 4) téhož bodu. V příkladu je tedy t ( t) ( t) ( t) Q =Q =Q =Q. c d e f 6. NURBS křvka v eukldovském prostoru: Přepíšeme-l rovc do souřadc v E, máme ωf( t) q p p... p ωf t q = p p... p... q... ωf t Tedy q = p ω f t + p ω f t +... + p ω f t = p ω f t =... q = p ω f t + p ω f t + + p ω f t = p ω f t =... q = ω f t + ω f t + + ω f t = ω f t = Abychom obdržel kartézské souřadce bodu Q v eukldovském prostoru je třeba, abychom q q = reprezetoval eukldovským reprezetatem Q= ; ;, tedy q q bod Q ( q ; q ; q ) E q q = = = p ω f t ω f t ; q q = = = p ω f t ω f t Vyjádřeí NURBS křvky v eukldovském prostoru je tedy tvaru. takže Q t q q = = = = ; = ; = q4 q4 ω f t ω f t ω f t = = = Qt = = p ω f t pω f t [ p ; p] ω f t = Pω f t ω f ; Q( t) E t (4)
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text Ve srováí s vyjádřeím v projektví rově přbývá jmeovatel odtud euformí racoálí B-splaj křvky. Jsou-l fukce f ( t ) ve výrazu (4) Bersteovy polyomy, azýváme křvku racoálí Bézerovou křvkou. Výraz (4) se v lteratuře často uvádí ve tvaru Q t = P R t (5) = kde ω f t R t = (6) ω f t = je tzv. racoálí báze. I v eukldovském prostoru samozřejmě platí pozámka 5 použjemel ve výrazu (4) resp. (5) a (6) místo vah ω jejch eulové ásobky kω, výrazy se ezměí. 7. Kuželosečkové oblouky jako NURBS: a) Uvažujme ejdříve Bezerovu křvku. stupě, která má tvar ( ) ( ) ( ) Q t = P t + P t t + P t (vz kpt. 7.., výraz ). Ozačme S střed úsečky Q. Podle algortmu de Casteljau (vz kpt. 7.) to bude střed úsečky SS, kde S je střed PP, S střed PP. Úsečky PP ; PP jsou však tečy oblouku v bodech P; P. Bod P je tedy pól a bod M je k ěmu polárě sdružeý. Úsečka SS je středí příčkou PPP, z čehož vyplývá, že Q ( ) je středem úsečky PS. Je tedy ( P; S; Q ) =, z toho už ovšem plye, že vyšetřovaým obloukem je oblouk paraboly (vz kpt. 5.4. odst. 6) P P a určeme bod ( ) b) Podívejme se yí a NURBS křvku. stupě s váham ω = ω = ω = ω. Podle pozámky 4 a příkladu b) dostáváme ( ) ( ) ( ) Q t = P t + P t t + P t tedy opět Bézerovu křvku. stupě, o které jž víme, že je to parabola. c) Uvažujme yí váhy ω = ω ω. Z pozámky 5 je opět zřejmé, že v tom případě můžeme položt ω = ω = ; ω. Zamysleme se ještě jedou ad geometrckým výzamem váhy ω Vážeím přejde bod Q projektvího bodu prostoru do bodu Q ', jehož eukldovským reprezetatem je Q '. V sytetckém modelu projektví rovy dostaeme bod Q ' jako obraz bodu Q ve středové koleac kol( S; PP ; Q Q ') a bod Q jako obraz bodu Q ' ve středové koleac kol( S; PP ; Q ' Q '). Protože kol kol zachovávají dvojpoměr, jejch
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text složeí opět zachovává dvojpoměr, je to tedy rověž koleace. NURBS křvka k s vaham ω = ω = ω = je parabola (vz předchozí odstavec), podle kpt. 4.4. odst. je tedy křvka s vaham ω = ω = ; ω kuželosečka. Zbývá rozhodout, která. Uvažujme tedy NURBS křvku tvaru ( t) P + ωt( t) P+ t P K t = t + ωt t + t a spočtěme bod ( ) Q Q : ( ) ( ) ( ) ( ) ω ( ) ( ) ( ) + ω ( ) + ( ) P + P+ P 4 P + ωp+ 4P = = + ω Zapsáo pomocí polohových vektorů OQ; OP; OP; OP bodů QP ; ; PP: ; OP + ω OP + OP OQ = 4 4 + ω Využjme afí varatost, tj. skutečost, že volbou jých řídcích bodů (pokud zůstaou vlastí) ezměíme počet evlastích bodů kuželosečky (tj. elptcký oblouk zůstae elptckým a hyperbolcký hyperbolckým). Položme tedy OP = ( ; ) ; OP = ( ; ). Dostáváme OQ ω = OP OQ ω, ebol = +ω OP (7) + ω Bod P je pólem kuželosečky, přímka p = PP její polárou (př aší volbě je polárou osa x ). Bodem polárě sdružeým s P je počátek O souřadé soustavy. Ozačme B další průsečík sečy OP s kuželosečkou. Protože ( POQB ; ; ; ) =, je ( POA ; ; ) ( PA ; ) ( OQ ; ) = = ( POQ ; ; ) ( OA ; ) ( PQ ; ) a ( OQ ; ) ( OQ ; (7) ) ω = = = = ( PQ ; ) ( PB ; ) ( OP ; ) ( OQ ; ) + ( PQ ; ) + ( ; ) + + ω OQ ( OB ; ) ω Je-l ω <, je PB ω = < PB, takže = ( POB ; ; ;) >. To ovšem zameá, že v případě OB + + OB ω < je uvažovaá křvka elpsou (vz prví obrázek v kpt. 5.4.). Je-l ω >, je ω PB ω = > PB, takže = ( POB ; ; ;) <. To zameá, že pro ω > dostáváme OB + + OB hyperbolu (vz tetýž obrázek). Můžeme tedy shrout: Racoálí Bézerova křvka. stupě s váham ω = ω je: pro ω < ω = ω elptcký oblouk; pro ω = ω = ω parabolcký oblouk pro ω > ω = ω hyperbolcký oblouk 4
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text 8. Kruhový oblouk a kružce jako NURBS: Kružce je důležtý specálí případ elpsy. V CAD systémech je hojě používáa, a to eje sama o sobě, ale slouží k modelováí celé řady těles. Podívejme se tedy a podmíky, za kterých elptcký oblouk z předchozího odstavce přejde v oblouk kruhový. V případě kruhového oblouku musí především být PP = PP. Umístěme počátek do středu α OQ = SK OS = r r cos r r OP = SP OS = r cos = S úsečky PP. A dále předpokládejme ω = ω =. Zbývá tedy ajít ω. Podle (7) OQ ω má být =. Je-l kuželosečka OP + ω kružcí, lze délky OQ, OP vyjádřt pomocí jejího poloměru a příslušého středového úhlu: α r OS = r cos ; SP =. Dále je α cos α ( cos ) α α α cos cos Pro poměr těchto vzdáleostí tedy dostáváme: ( ) α ( cos ) ( ) ( )( ) ω OQ r rcos cos r cos cos cos = = = = ω = cos + ω OP cos + cos + cos α α α α α α α α r r Kruhový oblouk se středovým úhlem α tedy dostaeme volbou řídcích bodů P; P; P tak, α aby PP = PP, PPP = π α (proč?) a váhového vektoru ω = ( ; cos ;). Specálě ω a řídcí body tvoří vrcholy rovorameého pravoúhlého trojúhelíka. Celou kružc pak obdržíme hladkým spojeím čtyř takových oblouků, tj. použjeme celkem osm řídcích bodů, z chž krají body každého segmetu tvoří středy stra a prostředí body jeho vrcholy. Středy mají váhu ω =, vrcholy pro čtvrtkružc tedy musí být = ( ; cos ) ( ) π 4; = ; ; váhu ω ' = (popřípadě ásobky těchto hodot vz opět pozámku 5). Sado s o tom můžeme přesvědčt v Rhoceros. Sestrojme kruhový oblouk s lbovolým středovým úhlem, zobrazme jeho řídcí body a zkoteolujme jejch vághy. Dále sestrojíme kružc (jakýmkol způsobem), opět zobrazme její řídcí body a zkotrolujme jejch váhy. α 5
6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text V CAD systémech je kružce sestrojováa spojeím čtyř čtvrtkružc, (vz kpt. 6. 5, odst. ), ( ) přčemž toto spojeí je stupě G. 9. Elptcký oblouk a elpsa jako NURBS: NURBS křvky jsou varatí vůč projektvím trasformacím. Zameá to ásledující: Pro každé dvě NURBS křvky k ; k stupě s týmž bázovým fukcem exstuje prokjektví zobrazeí Z takové, že Z : k k, tj. obrazem křvky k je křvka k, a to bez ohledu a použté váhy, č řídcí body. Vezmeme-l lbovolou racoálí Bézerovu křvku druhého stupě, jedá se vždy o oblouk kuželosečky. Použjeme-l váhy ω = ω = ω, je křvka k obloukem paraboly. Použjeme-l ω = ω; ω ω, je křvka obloukem elptckým ebo hyperbolckým. Přtom jak elptcký, tak hyperbolcký oblouk lze obdržet jako obraz oblouku parabolckého ve vhodém projektvím zobrazeí. Dále lze ukázat, že dvě NURBS křvky stupě s týmž bázovým fukcem a avíc stejým váhovým vektorem ω, jsou afě varatí, tj. pro dvě takové křvky k ; k vždy exstuje afí zobrazeí A takové, že A : k k, a to bez ohledu a použté řídcí body.. Rytzova kostrukce elpsy v Rhoceros. Máme-l pravítkem a kružítkem sestrojt osy elpsy, záme-l její sdružeé průměry, je možé použít Rytzovou kostrukcí (vz odst. 4. kpt. 5. 6.). Octeme-l se ve stejé stuac v Rhoceros, máme k dspozc jedodušší cestu. Pomocí příkazu Kopírovat aplkovaé a zadaé sdružeé průměry opíšeme hledaé elpse rovoběžík, jehož vrcholy spolu s kocovým body zadaých průměrů poslouží jako řídcí body čtyř Bézerových oblouků druhého stupě. Po sestrojeí těchto oblouků změíme váhy ve vrcholech rovoběžíka a hodotu ω =. Takto vzklé čtyř elptcké oblouky v případě potřeby sjedotíme příkazem Spojt. 6