7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu příliš ztrácet čs (dokonce přemýšlím, zd y neylo lepší ho zcel vynecht). Stejně tk není moc účelné příliš dlouho setrvávt u vysvětlování odvozování nerovnice poloroviny. Následující dv příkldy y nopk n řdu přijít měly. Př. 1: Urči průsečík přímek p q. N zákldě výsledku rozhodni o jejich vzájemné poloze. x = 2 + 5t p: y = 5 + 4 t, t R, q : 4x 5y + 15 =. Průsečík leží n oou přímkách musí vyhovovt oěm vyjádřením řešíme soustvu tří rovnic o třech neznámých. x = 2 + 5t y = 5 + 4t 4x 5y + 15 = ( t) ( t) 4 2 + 5 5 5 + 4 + 15 = Z prvních dvou rovnic dosdíme do třetí rovnice. 8 + 2t 25 2t + 15 = 2 = Soustv nemá řešení přímky nemjí společný od přímky p, q jsou rovnoěžné. Př. 2: Rozhodni, zd se přímk r : x 2y 1 Příkld řeš v levé polovině stránky. = protíná s úsečkou PQ, P[ 3;3], [ ;2] Úsečku umíme vyjádřit pouze prmetricky. Směrový vektor: u PQ = Q P = ( 3; 1), počáteční od P[ 3;3] x = 3 + 3t úsečk PQ:, t ;1 (jde pouze o úsečku s počátečním odem P). y = 3 t, t ;1 Hledání průniku je stejné jko u předchozího příkldu. Musíme dát pozor, zd hodnot prmetru, který přípdně získáme, leží v intervlu ;1. x = 3 + 3t y = 3 t x 2y 1 = ( t) 3+ 3t 2 3 1 = 3+ 3t 6 + 2t 1 = 5t = 1 t = 2 Průsečík přímky p s přímkou PQ leží n polopřímce PQ z odem Q přímk r se s úsečkou PQ neprotíná. Q. 1
Pedgogická poznámk: Pokud opět nrzíte n prolém s vyjádřením přímky, nemá cenu situci příliš zdržovt. Nyní zkusíme vyřešit předchozí příkld oecně. Př. 3: Je dán přímk r : x y c + + = ody P[ p ; p ], Q[ q ; q ] 1 2 1 2. Npiš prmetrické vyjádření přímky PQ urči průsečík přímky r s úsečkou PQ. Příkld řeš v prvé polovině stránky nlogicky předchozímu příkldu s konkrétním zdáním. Postupujeme stejně jko v předchozím příkldu. nyní s písmenky místo číslic. Směrový vektor: u PQ = Q P = ( q1 p1; q2 p2 ), počáteční od P[ p1; p 2 ] PQ: x = p + t q p 1 1 1 y = p + t q p 2 2 2 Řešíme soustvu rovnic. x = p + t q p 1 1 1 y = p + t q p 2 2 2, t ;1 (jde pouze o úsečku s počátečním odem P). x + y + c = Z prvních dvou rovnic dosdíme do třetí. p1 + t ( q1 p1 ) + p2 + t ( q2 p2 ) + c = p + t q p + p + t q p + c =. Roznásoíme hrnté závorky: Rovnost p + t q p + p + t q p + c = vypdá hrůzostršně, přesto je v podsttě jednoduchá. Pro konkrétní zdání ve výrzu vlevo zude pouze jediná neznámá t p + t q p + p + t q p + c : výrz znmená hodnotu (číslo), kterou získáme doszením odu n přímce PQ do rovnice přímky r (jkmile zvolíme t, máme konkrétní od), jde o předpis lineární funkce proměnné t: f ( t) : Y = At + B, kde pltí: ( ) + ( ) At + B = q1 p1 q2 p2 t + p1 + p2 + c =. Jká je hodnot funkce f ( t) : Y = At + B v odě P? Pro od P pltí: t =. Dosdíme do výrzu t = : p + q p + p + q p + c = p + p + c. 1 2 f P = f = p + p + c = doszení odu P do rovnice přímky r. Pltí tedy: 1 2 Jká je hodnot funkce f ( t) : Y = At + B v odě Q? Pro od Q pltí: t = 1. Dosdíme do levé strny rovnice: p1 + 1( q1 p1 ) + p2 + 1( q2 p2 ) + c = = p + q p + p + q p + c = q + q + c =. 1 2 f Q = f 1 = q + q + c = doszení odu Q do rovnice přímky r. Pltí tedy: 1 2 2
Pokud se úsečk PQ s přímkou p protne, musí pro nějkou hodnotu prmetru t ;1 pltit rovnice p + t ( q p ) + p + t ( q p ) + c = funkce : dosáhnout nulové hodnoty. f t Y = At + B musí Z grfu lineární funkce je vidět, že nekonstntní lineární funkce doshuje nulové hodnoty pouze v odě, kde funkce mění znménk úsečk PQ se protne s přímkou r právě když, f P f p p c f Q = f 1 = q + q + c opčná znménk. mjí čísl = = 1 + 2 + 1 2 Dokážeme poznt, zd dv ody leží ve stejné polorovině s hrniční přímkou p: pokud leží ve stejné polorovině, úsečk, kterou tvoří se neprotíná s přímkou p funkční hodnoty mjí stejné znménko oecná rovnice přímky nám něco říká i o odech, které n ní neleží. Q P p Jestliže přímk p má oecnou rovnici x + y + c =, pk jedn polorovin s hrniční přímkou p je množin odů [ ; ] druhá polorovin je množin odů [ ; ] X x y, pro které pltí x + y + c X x y, pro které pltí x + y + c. Dodtek: Znménko výrzu x + y + c neříká nic o tom, zd od leží nd neo pod přímkou. Jediné, co z něj ztím můžeme získt, je jeho srovnání se znménkem jiného odu. Pedgogická poznámk: Ne všichni studenti udou schopni o hodině pochopit odvození nerovnice poloroviny. Myslím, že je zytečné se kvůli tomu dlouho zstvovt, určitě se spokojí s oshem rámečku. Vyřešení následujícího příkldu je pro ně důležitější. Př. 4: Rozhodni, zd ody P[ 3;3], [ ;2] r : x 2y 1 =. Q leží v jedné polorovině ohrničené přímkou Postupujeme podle předchozích úvh: P 3;3 do rovnice přímky r: x 2y 1 = 3 2 3 1 = 1, doszení odu [ ] doszení odu [ ;2] Q do rovnice přímky r: x 2y 1 = 2 2 1 = 5. 3
V oou přípdech jsme získli hodnoty se stejným znménkem ody P, Q leží vzhledem k přímce r v jedné polorovině (už víme z příkldu 2, kde jsme zjistili, že úsečk PQ nemá s přímkou r žádný průsečík). Pedgogická poznámk: Metou této hodiny je, y studenti pochopili odvození, le pokud v příkldu 4 ví, co mjí udělt, je to tké úspěch. Př. 5: Jsou dány ody A [ 1;2 ], B[ 1; 1], V [ 3;1] [ 5; 6] od K leží uvnitř konvexního úhlu A. K. Rozhodni výpočtem, zd A V K B Z orázku je vidět, že pokud má od K ležet uvnitř konvexního úhlu A musí: vzhledem k hrniční přímce ležet ve stejné polorovině jko od A, vzhledem k hrniční přímce VA ležet ve stejné polorovině jko od B. Hrniční přímk B V = 2; 2 = 1; 1 n 1;1 rovnice: Směrový vektor: u, normálový vektor: x + y + c =. Dosdíme od B: 1 + 1 + c = c = 2. Oecná rovnice přímky : x + y + 2 =. Dosdíme od A: x + y + 2 = 1+ 2 + 2 = 5. Dosdíme od K: x y + + 2 = 5 + 6 + 2 = 1. Stejná znménk ody A K leží ve stejné polorovině s hrniční přímkou. Hrniční přímk VA A V = 4;1 u = 4;1. Směrový vektor: VA Normálový vektor: ( 1; 4) n rovnice: x 4y + c =. = Dosdíme od A: 1 4 2 + c = c = 7. Oecná rovnice přímky VA: x 4y + 7 =. Dosdíme od B: x y Dosdíme od K: x y 4 + 7 = 1 4 1 + 7 = 1. 4 + 7 = 5 4 6 + 7 = 36. Stejná znménk ody B K leží ve stejné polorovině s hrniční přímkou VA od K leží uvnitř konvexního úhlu A. = Př. 6: Petáková: strn 16/cvičení 24 ) strn 16/cvičení 26 strn 16/cvičení 28 4
Shrnutí: Oecná rovnice přímky nese informci i o odech, které n ní neleží. Doszením můžeme ze znmének rozhodnout, zd ody leží ve stejné polorovině. 5