Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE SYSTÉMŮ. učební text. Zora Jančíková

Transkript

1 Vysoká škol báňská Technická univerzit Ostrv TEORIE SYSTÉMŮ učební text Zor Jnčíková Ostrv 202

2 Recenze: Prof. Ing. Frntišek Němec, CSc. Prof. RNDr. Alen Luksová, CSc. Název: Teorie systémů Autor: Zor Jnčíková Vydání: první, 200 Počet strn: 83 Nákld: 20 Vydvtel tisk: Ediční středisko VŠB TUO Studijní mteriály pro studijní obor Automtizce počítčová technik v průmyslu Fkulty metlurgie mteriálového inženýrství Jzyková korektur: nebyl proveden. Určeno pro projekt: Operční progrm Rozvoj lidských zdrojů Název: E-lerningové prvky pro podporu výuky odborných technických předmětů Číslo: CZ.O4.0.3/ /0326 Relizce: VŠB Technická univerzit Ostrv Projekt je spolufinncován z prostředků ESF státního rozpočtu ČR Zor Jnčíková VŠB Technická univerzit Ostrv ISBN

3 OBSAH. SYSTÉM A JEHO OKOLÍ... 7 Zákldní pojmy... 7 Chování systému, jeho stv vlstnosti... 2 Klsifikce systémů podle různých hledisek MODELOVÁNÍ A SIMULACE SYSTÉMŮ... 6 Model... 6 Simulce systémů... 7 Identifikce systémů ŘÍZENÍ SYSTÉMŮ... 2 Ovládání (dopředné řízení = feedforwrd) Regulce (řízení pomocí zpětné vzby = feedbck) STATICKÉ SYSTÉMY Mtemtický popis sttických systémů Příkldy sttických systémů: Zákldní pojmy teorie grfů Kódování grfů... Metod kritické cesty (Criticl Pth Method) DYNAMICKÉ SYSTÉMY Mtemtický popis dynmických systémů LOGICKÉ SYSTÉMY Logická proměnná, logická funkce Zákldní logické funkce Operce s logickými proměnnými, funkcemi Relizce logických funkcí Vyjádření logických funkcí Minimlizce logických výrzů... 7 Dlší zdroje... 84

4 POKYNY KE STUDIU Teorie systémů Pro předmět 4. semestru oboru Automtizce počítčová technik v průmyslu jste obdrželi studijní blík obshující integrovné skriptum pro distnční studium obshující i pokyny ke studiu hrmonogrm průběhu semestru rozvrh prezenční části rozdělení studentů do skupin k jednotlivým tutorům kontkty n tutory kontkt n studijní oddělení Cílem předmětu je seznámení se zákldními pojmy systémové teorie systémových plikcí. Po prostudování modulu by měl student být schopen orientce v mtemtickém popisu, vlstnostech chování sttických dynmických systémů. Pro koho je předmět určen Modul je zřzen do bklářského studi oboru Automtizce počítčová technik v průmyslu studijního progrmu Ekonomik řízení průmyslových systémů, le může jej studovt i zájemce z kteréhokoliv jiného oboru. Skriptum se dělí n části, kpitoly, které odpovídjí logickému dělení studovné látky, le nejsou stejně obsáhlé. Předpokládná dob ke studiu kpitoly se může výrzně lišit, proto jsou velké kpitoly děleny dále n číslovné podkpitoly těm odpovídá níže popsná struktur. Při studiu kždé kpitoly doporučujeme následující postup: Čs ke studiu: xx hodin N úvod kpitoly je uveden čs potřebný k prostudování látky. Čs je orientční může vám sloužit jko hrubé vodítko pro rozvržení studi celého předmětu či kpitoly. Někomu se čs může zdát příliš dlouhý, někomu nopk. Jsou studenti, kteří se s touto problemtikou ještě nikdy nesetkli nopk tkoví, kteří již v tomto oboru mjí bohté zkušenosti. Cíl: Po prostudování tohoto odstvce budete umět popst... definovt... vyřešit... Ihned potom jsou uvedeny cíle, kterých máte dosáhnout po prostudování této kpitoly konkrétní dovednosti, znlosti.

5 Výkld Následuje vlstní výkld studovné látky, zvedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše doprovázeno obrázky, tbulkmi, řešenými příkldy, odkzy n nimce. Shrnutí pojmů N závěr kpitoly jsou zopkovány hlvní pojmy, které si v ní máte osvojit. Pokud některému z nich ještě nerozumíte, vrťte se k nim ještě jednou. Otázky Pro ověření, že jste dobře úplně látku kpitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických otázek. Úlohy k řešení Protože většin teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význm využití v prxi, jsou Vám nkonec předkládány i úlohy k řešení. Klíč k řešení Výsledky zdných příkldů i teoretických otázek výše jsou uvedeny v závěru učebnice v Klíči k řešení. Používejte je ž po vlstním vyřešení úloh, jen tk si smokontrolou ověříte, že jste obsh kpitoly skutečně úplně zvládli. Úspěšné příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje utork výukového mteriálu Zor Jnčíková

6

7 Systém jeho okolí. SYSTÉM A JEHO OKOLÍ Čs ke studiu: hodin Cíl Po prostudování této kpitoly budete umět definovt popst zákldní pojmy teorie systému popst chování systému, jeho stv vlstnosti provést klsifikci systémů podle různých hledisek Výkld Zákldní pojmy Systém je uspořádnou množinou prvků, mezi nimiž působí vzájemné vzby (vzthy, relce), v jejichž důsledku je docilováno tkového chování celku vůči okolí, které není dosžitelné působením pouhého souboru jeho vzájemně neprovázných prvků.[] Z systém můžeme povžovt: reálný objekt (společnost, počítč) projekt reálného objektu proces nebo komplex procesů (technologický proces) problém nebo komplex problémů soubor informčních, regulčních řídících ktivit, které se vzthují k jistému reálnému problému, jeho projektu (komunikční systém, řídící systém) bstrktní myšlenkovou konstrukci, výrokovou konstrukci konstrukci mtemtických výrzů, která je zložen n reálném objektu nebo která je vytvářen bez přímého vzthu k tomuto objektu, procesu, problému Schemtická předstv působení okolí n systém i systému n své okolí je zchycen n obr.. Systém trnsformuje vstupní podněty (U) z okolí n výstupní působení (Y), předstvující rekci systému n tyto vstupní podněty. Jeho trnsformční proces je přitom určen jk vlstnostmi chování jednotlivých prvků systému, tk i jejich vzájemným uspořádáním, kterým je vymezen chrkter vzájemných vzeb mezi prvky systému. Vstupy (U) Systém Trnsformční proces Okolí Výstupy (Y) Obr. Působení okolí n systém systému n své okolí Prvek - z nějkého hledisk dále nedělitelná část celku. Hledisku, které definuje dále nedělitelný prvek, říkáme rozlišovcí úroveň. Nedělitelnost prvku je reltivní. Z jiného 7

8 8 Systém jeho okolí hledisk (rozlišovcí úrovně) může být prvek dále dělitelný. Rozlišovcí úroveň se zvyšuje dekompozicí systému n jednodušší prvky. Zvýšíme-li rozlišovcí úroveň, může se dřívější prvek stát systémem, když se v něm diferencují prvky vyšší rozlišovcí úrovně objevují se vzby mezi nimi. Ve vzthu k okolí systému rozlišujeme prvky vnitřní hrniční. Hrniční prvky mohou být jednk vstupní jednk výstupní. Vstupní prvky jsou tkové, jejichž vzby směřují pouze k prvkům systému v nichž nopk vzby s prvky okolí končí. Výstupní prvky jsou tkové, v nichž vzby s prvky systému končí z nichž vzby n prvky okolí vycházejí. Vzb systému - způsob spojení mezi prvky systému nebo mezi prvkem systému prvkem jeho okolí. Vzby mezi prvky tvořícími systém mění pouhou množinu prvků n souvislý celek, jehož vlstnosti jsou dány jk vlstnostmi jednotlivých prvků, tk chrkterem vzeb mezi nimi. Typy vzeb: z hledisk vzthu k okolí systému: vnitřní - spojuje prvky systému mezi sebou vnější - spojuje hrniční prvek systému s okolím z hledisk uspořádání prvků: sériová - uspořádání prvků z sebou prlelní - uspořádání prvků vedle sebe, souběžně zpětná - spojení mezi výstupem vstupem téhož prvku, subsystému nebo systému, které způsobuje, že vstup je závislý n výstupu; může být pozitivní nebo negtivní. z hledisk ohodnocení prmetry: prmetry vzeb - kvntittivní znky vzeb (npř. násobnost vzby, čsový intervl trvání vzby, vzdálenost pod.) jednoprmetrická víceprmetrická Okolí systému - účelově definovná množin prvků, které nejsou prvky dného systému, všk vykzují k němu vzby, které jsou pro dný účel význmné. V okolí nás nezjímjí vzthy mezi jeho prvky. Systém okolí n sebe vzájemně působí, jsou ve vzájemné interkci. Při zkoumání interkce systému okolí definujeme následující pojmy: vstup, výstup systému, uzvřený otevřený systém. Vstup systému (U) - množin vzeb nebo proměnných, jejichž prostřednictvím působí okolí n systém. Výstup systému (Y) - množin vzeb nebo proměnných, jejichž prostřednictvím systém působí n okolí. Uzvřený systém - systém, který nemá vstup ni výstup Otevřený systém - systém, který má spoň jeden vstup nebo výstup Absolutně uzvřený systém je zvláštním přípdem, který ve skutečnosti neexistuje. Nejčstějším druhem systému jsou reltivně uzvřené systémy, které mjí některé vzby s okolím, přičemž je přesně vymezeno hledisko, z kterého je uzvřenost míněn (npř. z hledisk výměny látkové, energetické nebo informční). U otevřených systémů rozeznáváme jejich podněty odezvy.

9 Systém jeho okolí Podnět (stimul) -stv veličin vstupních proměnných, který chrkterizuje dné působení okolí n systém v určitém čsovém okmžiku Odezv - stv veličin výstupních proměnných chrkterizující působení systému n okolí vyvolné podnětem n vstupu systému. Dob odezvy (čsové zpoždění) - čs, který uplyne od okmžiku objevení se podnětu n vstupu systému do okmžiku objevení se k němu příslušné odezvy n výstupu systému. V některých přípdech je účelné rozlišovt v systému jeho části, jejichž prvky vykzují význmnější vzby mezi sebou než k jiným prvkům systému, tvoří tedy uvnitř systému reltivně smosttné celky. Hovoříme o subsystémech dílčích systémech. Vzth mezi systémem, subsystémy dílčími systémy je zřejmý z obr. 2: k A 2 B 2 q k q k ` q q B 3 A A 3 B q q q A i - prvky subsystému A k k k B i - prvky subsystému B A 4 B 4 k - vzby kvlity k q q q - vzby kvlity q A 5 subsystém A subsystém B k A 2 B 2 k k ` A B dílčí systém k k k k A 4 B 4 A 2 B 2 q q ` q q B 3 A 3 B q q q dílčí systém q A 4 B 4 q q A 5 Obr. 2 Vzth mezi systémem, subsystémy dílčími systémy. Z subsystémy povžujeme části systému tvořené prvky téže kvlity vzbmi, které tyto prvky spojují. Z dílčí systémy povžujeme řezy systému tvořené vzbmi téže kvlity prvky, které tyto vzby spojují. 9

10 Systém jeho okolí Subsystémy dílčí systémy jsou tedy podmnožiny prvků vzeb, které jsou z nějkého důvodu vyčleněny ze systému jsou chápány buď jko nový systém nebo jko prvek. Pro vymezení subsystému jsou rozhodující prvky zčleněné do dného subsystému. Subsystém obshuje některé prvky systému všechny vzby definovné mezi prvky zčleněnými do téhož subsystému. Pro vymezení dílčího systému je rozhodující kvlit (typ) vzeb zčleněných do tohoto dílčího systému. Dílčí systém obshuje všechny vzby dné kvlity (dného typu) v systému všechny prvky, které jsou těmito vzbmi spojovány. Pokud do prvku vstupuje nebo z něj vystupuje více vzeb různých kvlit, budou vzby různých kvlit spdt do různých dílčích systémů prvek může být součsně prvkem několik dílčích systémů. V tomto prvku může docházet k překrývání struktur. Ztímco subsystémy téhož systému bývjí zprvidl disjunktní (nemjí žádný společný prvek), pro dílčí systémy téhož systému totéž tvrzení nepltí. N vysvětlení: Vzth subsystémů dílčích systémů lze dobře demonstrovt n lidském těle. Ztímco npř. hlv, srdce, plíce, žludek td. mohou být povžovány z subsystémy, tvoří npř. nervová soustv, krevní oběh, lymftický oběh pod. zcel zřejmé dílčí systémy. Struktur systému - množin prvků vzeb mezi nimi včetně jejich uspořádnosti orgnizce. Uspořádnost je pouhé vzájemné přiřzení prvků systému n zákldě vzeb. Orgnizce předpokládá nejen uspořádnost prvků vzeb systému, le zhrnuje tké určité specifické vzájemné vzthy mezi částmi systému, tj. mezi jeho subsystémy, dílčími systémy hierrchickými úrovněmi. Hierrchie je symetrický vzth mezi dvěm prvky systému, ve kterém zdroj mezi nimi existující vzby vystupuje vůči jejímu spotřebiteli jko ndřízený jednoznčně tk vymezuje chování spotřebitele vzby. Hierrchická struktur - je tková struktur, kdy kždý prvek ptřící do určité úrovně je ndřzen prvku ptřícímu do jiné hierrchicky nižší úrovně, přičemž kždý z prvků této struktury nemůže ptřit součsně do více úrovní. Vzby v hierrchické struktuře: ) vzby vertikální - vzby mezi prvky různých úrovní 2) vzby horizontální - vzby mezi prvky téže úrovně Hierrchické struktury s výlučně vertikálními vzbmi předstvují strukturu tvru strom (obr. 2). Chování prvků n podřízené úrovni hierrchické struktury je iniciováno povely od prvků ndřízených vzb od podřízeného prvku k prvku ndřízenému nepředstvuje spojení pro přenos povelů, le slouží pouze ke zpětnovzebnímu toku informcí o způsobu splnění přijtých povelů. Hierrchické uspořádání systémů je v prxi zcel běžné výjimkou je v reálném světě spíše existence systémů bez hierrchicky uspořádných vnitřních vzeb. Příkldem hierrchického uspořádání objektivní relity svět je npř. skldb krystlů. V uzlech jejich mřížky jsou molekuly složené z tomů, jejich vnitřní struktur je vymezen uspořádáním elementárních částic hmoty. Jiným příkldem hierrchie je uspořádání jednotek rmády nebo hierrchická 0

11 Systém jeho okolí struktur utomtizovných systémů řízení technologických procesů, výroby podniku jko celku: ASŘTP se relizuje n úrovni dílny nebo provozu jsou zbezpečeny vzby n ASŘ výroby ASŘ podniku podle obr. 4. Obr. 3 Hierrchická struktur tvru stromu Období: rok, čtvrtletí, měsíc týden, den, směn hrnice reálného čsu reálný čs kpcitní plánování bilncování lhůtové plánování rozvrhování výroby opertivní řízení výrobního procesu ASŘ podniku ASŘ výroby ASŘTP řídicí systémy 2 3 mteriál, energie 2 3 výrobek gregáty Obr. 4. Hierrchická struktur utomtizovného systému řízení v podniku

12 Systém jeho okolí Chování systému, jeho stv vlstnosti Systém se v kždém čsovém okmžiku nchází v určitém stvu. Stv systému (Z) je soubor okmžitých hodnot všech veličin systému, které lze v dném čsovém okmžiku u systému rozpoznt které spolu se znlostí vstupů systému určují jeho výstupy. Typické stvy systému: - rovnovážný stv: pro konstntní vstup U je výstup Y tké konstntní - rovnovážný oscilční stv: pro konstntní vstup U je výstup Y periodickou funkcí - nerovnovážný stv: pro konstntní vstup U je výstup Y neperiodickou funkcí Nerovnovážný stv může být trvlý, pk jde o nestbilitu systému nebo dočsný, kdy jde o přechodový děj v systému po vychýlení systému z rovnovážného stvu změnou vstupní veličiny nebo poruchou. Stbilit systému je jev, kdy po vychýlení systému z rovnovážného stvu změnou vstupu nebo poruchou dochází u systému v konečném čse k novému rovnovážnému stvu. Čsto je návrt do původního stvu nemožný, protože se změnily podmínky, v nichž systém existuje. Pk si systém může njít stv odchylný od výchozího stvu, který je rovněž stbilní. Chování systému je odezv n vstupní podnět v dném čsovém intervlu. Chování systému závisí n jeho vlstnostech. Vlstnosti systému jsou definovány jko jkákoliv podobnost v přechodech systému z jednoho stvu do stvu následujícího z známých podnětů omezujících podmínek. Chování systému je v podsttě projevem určitých funkcí systému. Funkce systému je výrzem čsově proměnného vývoje trnsformčního procesu při převodu vstupního působení podnětů (stimulů) z okolí n poždovné výstupní rekce (systém přechází z počátečního stvu do stvu cílového). Trnsformce (probíhjící v systémech) - jsou to způsoby přeměn podnětů prvku, subsystému nebo systému (U) n rekce (Y). Schemticky můžeme tento vzth vyjádřit: okolí u u 2 u n v v 2 v k y SYSTÉM (F o ) y 2 y m okolí z z 2, Obr. 5 Vzthy systému okolí Pro vektory U, V, Y pltí: U = (u, u 2,...u n ) měřitelné vstupy Y = (y, y 2,...y m ) měřitelné výstupy V = (v, v 2,...v k ).. poruchové vstupy Z = (z, z 2,...z i ) stv systému z i 2

13 Systém jeho okolí Operátor trnsformce systému (Fo) - souhrn prvidel, podle kterých se kždému vstupnímu vektoru systému (U) vektoru stvu systému (Z) přiřzuje výstupní vektor systému (Y). Klsifikce systémů podle různých hledisek ) z hledisk vzthu k okolí uzvřený systém - nemá vstup ni výstup otevřený systém - má spoň jeden vstup nebo výstup Pro uzvřený systém pltí princip ekvifinlity: cílový stv uzvřeného procesu je jednoznčně vymezen jeho stvem výchozím průběhem funkcí trnsformčního procesu, tzn., že pokud nedojde ke změně výchozího stvu systému nebo ke změně vlstností prvků systému vymezujících funkce trnsformčního procesu, pk je systém vždy převeden do jednoho téhož cílového stvu. N pltnosti tohoto principu ekvifinlity jsou zloženy možnosti opkovtelnosti experimentů technických řešení výrobních procesů v různých systémech, pokud je zbezpečen uzvřenost systému. Tento princip nepltí pro otevřené systémy. Ty mohou dosáhnout stejného cílového stvu z různých výchozích stvů odlišnými způsoby provádění trnsformčních funkcí. To je hlvní příčinou obtížné opkovtelnosti výsledků biologických nebo sociálních experimentů i z stejných nebo jen málo odlišných podmínek. 2) z hledisk zákonitostí vymezujících průběh funkcí systému deterministické systémy - zákonitosti (hodnoty proměnných) vymezující chování systému jsou jednoznčně určeny (npř. logické obvody) stochstické systémy - funkce systému jsou popisovány zákonitostmi prvděpodobnostními (proměnné se chovjí náhodně), tzn., že chování systému může mít při týchž podnětech témže stvu více vrint, to kždou s určitou prvděpodobností. (npř. hrcí kostky, poruchy) neurčité (fuzzy, rozmzné) systémy - jejich funkce nelze vyjádřit žádnou zákonitostí (npř. relce málo, dosttečně, mnoho...) V prvních dvou přípdech se funkce systému řídí určitými zákonitostmi. Ve skutečnosti neexistuje bsolutně deterministický systém, všk stochstičnost některých systémů je tk mlá, že je pokládáme z deterministické (npř. šum systému je menší než rozlišovcí schopnost měřicího přístroje). V přípdě neurčitých systémů nelze o zákonitosti v jejich chování hovořit k jejich popisu je používáno prátu teorie tzv. fuzzy množin. 3) z hledisk reálné existence systémů reálné systémy - objektivně existují (npř. pec) bstrktní systémy - předstvovné imginárními prvky (npř. mtemtické modely systému n počítči) 4) z hledisk vzthu k čsu sttické systémy - stv systému se s čsem nemění (npř. budov) dynmické systémy - stv systému se s čsem mění (npř. zpnutá žehličk) 5) z hledisk změn chování v čse stcionární systémy (čsově invrintní) - chování (stv) systému je s čsem neproměnné, jeho chování při dném vstupu nezávisí n čsovém intervlu, ve kterém se relizuje; prmetry mtemtického popisu systému (npř. diferenciální rovnice) jsou konstnty (npř. stejně ztížený elektromotor v okolí prcovního bodu) nestcionární systémy (čsově vrintní) - chování systému je čsově proměnné, jeho chování při dném vstupu závisí n čsovém intervlu, ve kterém se relizuje (npř. 3

14 4 Systém jeho okolí elektromotor mimo okolí prcovního bodu), prmetry mtemtického popisu nejsou konstnty. 6) z hledisk spojitosti veličin systému v čse spojité systémy - všechny veličiny systému se mění s čsem spojitě (npř. teplot v peci) diskrétní systémy - všechny veličiny se nemění s čsem spojitě, le mjí diskrétní skoky (npř. veličiny v počítči - počet bitů, stv populce) hybridní systémy - některé veličiny jsou spojité, jiné nespojité v čse Někdy se spojité systémy úmyslně převádějí n diskrétní nebo jsou jko diskrétní interpretovány (měření v určitých čsech měřící ústřednou nebo řízení počítčem) 7) z hledisk, zd systém doshuje ustáleného stvu či nikoli proporcionální (sttické) systémy - doshují ustáleného stvu (npř. teplot v peci, žehličk) integrční (sttické) systémy - nedoshují ustáleného stvu (npř. nádrž s přítokem bez odtoku) 8) z hledisk chrkteru mtemtického popisu lineární systémy - všechny prvky mtemtického popisu systému jsou lineární operce (sčítání, odčítání, násobení konstntou, integrce, derivce) nelineární systémy - spoň jedn operce mtemtického popisu systému je nelineární (násobení, dělení, mocniny, goniometrické funkce) Při mtemtickém popisu reálných zřízení zprvidl obdržíme nelineární mtemtické vzthy, které znčně komplikují dlší využití výsledků. Pro mlé změny vstupních výstupních signálů můžeme předpokládt, že vzth mezi nimi je lineární, tj. vyjádřitelný lineárními diferenciálními rovnicemi. Pro trnsformci nelineárních systémů n lineární používáme postup nzvný linerizce. 9) z hledisk schopnosti systémů vyšší úrovně optimální systémy - systémy, které mjí z určitého hledisk optimální vlstnosti; při optimlizci systému musíme proto definovt kritérium optimlity (npř. optimálně seřízený motor - kritérium: co nejnižší spotřeb při co nejvyšším výkonu) dptivní systémy - systémy, v nichž se upltňuje proces dptivity, tj. vlstnost systému, která mu umožňuje regovt n změny stvu systému okolí tk, by to bylo pro jeho existenci výhodné (npř. zúžení zorniček při intenzívním světle) učící se systémy - systémy, které mění své vlstnosti (dptují se) vlivem zprvidl opkovných podnětů s cílem dosáhnout účelnějšího chování systému (npř. systémy umělé inteligence) 0) z hledisk oblsti zkoumání systémy řízení - systémy s cílovým chováním, jejichž část působí n dlší systémy tk, by dosáhly své žádoucí funkce systémy regulční - části systémů řízení, které pro svou činnost využívjí zpětné vzby systémy informční - systémy, jejichž vzby jsou relizovány informcemi prvky jsou míst trnsformce těchto informcí; zákldem je účinná informční výměn mezi prvky

15 Systém jeho okolí systému okolím, informční systém lze definovt jko soubor lidí, technických prostředků metod zbezpečujících sběr, přenos, uchování zprcování dt z účelem tvorby prezentce informcí. systémy komunikční - relizují přenos informcí, jsou většinou tvořeny zdrojem zpráv, kodérem, přenosovým knálem, dekodérem příjemcem zprávy (telefonní okruhy) systémy interkční - informční systémy obyčejně s dálkovým přenosem zprcováním dt, v nichž dochází k vzájemnému ovlivňování činnosti jednotlivých částí systému n zákldě vzájemného předávání hodnocení informcí (npř. rezervce letenek, místenek, celostátní bnkovní spojení pod.) systémy ekonomické - používné v oblsti ekonomického řízení mngementu, cílem je dosáhnout žádoucích vzthů mezi nákldy výnosy při respektování řdy vedlejších cílů (npř. řízení finnčních prostředků, zásob, sledování trhu pod.) ) z hledisk chrkteru dt, které zprcovávjí tvrdé systémy předstvují systémy zprcovávjící přesně strukturovná dt. Procesy probíhjící v těchto systémech lze lgoritmizovt, tudíž mjí jednoznčně zdné vstupy výstupy. Příkldem mohou být průmyslové systémy, ve kterých člověk vystupuje jko tvůrce lgoritmů jko kontrolní element. měkké systémy jsou systémy, které zprcovávjí šptně strukturovné lgoritmizovné problémy. Tyto systémy prcují s celou řdou fktorů vstupů, které nelze přesně kvntifikovt. Proto jsou tyto typy systému ztíženy velkou neurčitostí, riziky, nejistotmi, přípdně nestbilitou. Důležitou roli v nich sehrává lidský fktor. Typickými zástupci jsou firmy, bnky, vzdělávcí instituce, pod. V reálném životě se nejčstěji vyskytují systémy kombinovné, s některými problémy dobře s jinými obtížně strukturovnými popstelnými (identifikovtelnými). Shrnutí pojmů Systém, prvek, vzb systému, okolí systému, vstup výstup systému, subsystémy dílčí systémy, struktur systému, hierrchie, hierrchická struktur, stv systému, chování vlstnosti systému, operátor trnsformce systému, klsifikce systémů. Otázky. Chrkterizujte pojmy systém, prvek vzb systému. 2. Jký je rozdíl mezi subsystémy dílčími systémy? 3. Co znmená hierrchická struktur? 4. Čím se odlišuje proporcionální systém od integrčního? 5

16 Modelování simulce systémů 2. MODELOVÁNÍ A SIMULACE SYSTÉMŮ Čs ke studiu: 0.5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstvce budete umět chrkterizovt model jko nástroj pro zobrzení skutečnosti popst proces simulce vysvětlit pojem identifikce systémů provést klsifikci metod identifikce systémů Model Výkld Čsto je nutné zkoumt chování různých zřízení v mezních situcích, které n skutečném zřízení nesmí nstt, neboť by mohly vést k znčným škodám, nebo je nutno vyšetřit vlstnosti objektů ještě před jejich výrobou. V tkových přípdech je velmi efektivní prcovt místo se skutečným zřízením s jeho modelem. Model je pk zobrzení podsttných vlstností reálného (nebo konstruovného) systému, které ve vhodné formě vyjdřuje informci o systému. Musí vyjdřovt vzthy příčiny následků. Příčin následek jsou spolu prostřednictvím systému vázány operátorem trnsformce F o. Schemticky můžeme tento vzth vyjádřit: příčin SYSTÉM (jev) následek Obr. 6 Vzthy v modelu systému Popis tohoto uspořádání budeme nzývt modelem. Přitom je jedno, pomocí jkého výrzového prostředku je tento popis proveden. Může být proveden mtemticky, formou grfů, tbulek, lgoritmem, le tké jen slovně. Popis lze formlizovt: U Y prostředí MODEL prostředí Obr. 7 Formlizce popisu systému 6

17 Zde jsme oznčili: příčinu U (vstup modelu), následek Y (výstup modelu). 7 Modelování simulce systémů Vzbu mezi nimi lze zpst ve tvru Y = F (U) F je prvidlo, podle kterého přiřzujeme následek Y příčině U - přiřzujeme výstup modelu jeho vstupu. Toto prvidlo F nzýváme operátorem modelu. Model reálného systému je vždy spojen se zjednodušením znedbáním nepodsttných detilů reálného systému, protože reálná skutečnost může být lidským pozorovtelem vystižen jen do určité míry. Právě tto mír rozhoduje, jk přesně bude model vystihovt chování reálného objektu, le součsně určuje jeho složitost tím i prktickou použitelnost (npř. co nejpřesnější popis chování reálného systému by mohl vést k tk složitému modelu, že by pk nebyl prkticky použitelný). V této fázi tvorby modelu musíme rozlišit sledovné jevy od nesledovných, podsttné od nepodsttných Mtemtický model je pk zobrzením podsttných vlstností reálného systému mtemtickým popisem. Simulce systémů Zákldní princip simulce systémů je nhrzení původního systému jiným systémem, tzv. simulčním modelem, zpětná plikce pozntků ze simulčního modelu n původní systém. Simulce předstvuje jeden z účinných nástrojů pro nlýzu rcionlizci řízení složitých procesů systémů. Simulci můžeme popst jko proces tvorby modelu reálného systému včetně procesu experimentování s tímto modelem s cílem získt lepší informce o chování studovného systému. Simulce pomáhá popst předvídt chování různých systémů procesů z mnoh oborů lidské činnosti bez následků pro simulovný objekt, jeho okolí, obsluhu, životní prostředí pod. Místo toho, bychom sledovli dynmické chování nějkého reálného sytému nebo procesu jeho rekce n provedené změny, sledujeme chování jeho modelu. Můžeme sledovt chování systému z různých podmínek, v hvrijních situcích, ve stvech, které npř. n skutečném objektu nesmí nstt. Rozvoj výpočetní techniky znmenl podsttné rozšíření možností řešitelnosti mtemtických modelů. Umožnil utomtizovt výpočet relcí mtemtického modelu. Technická relizce mtemtického modelu objektu n počítči se oznčuje jko počítčový model. Počítčová relizce mtemtického modelu umožňuje utomtizovt výpočet řešení rovnic modelu, čímž uživteli zůstává pouze zdávt vstupy mtemtického modelu zprcovávt výstupy získné prostřednictvím výstupních zřízení počítče (grfické průběhy, tbulky). Při dosttečné progrmové podpoře můžeme s mtemtickým modelem systému experimentovt obdobně jko s reálným objektem. Hlvní fáze procesu simulce: vymezení systému n zkoumném objektu, určení mtemtického popisu systému - identifikce sestvení modelu (relizce npř. n PC) - modelování ověření shody (verifikce) projevů modelu objektu - simulce

18 vlstní experimenty s modelem - simulce plikce výsledků simulčních experimentů n zkoumný objekt Identifikce systémů Modelování simulce systémů Identifikce je proces určování mtemtického popisu modelu systému. Je to činnost, při které určujeme strukturu prmetry modelu. Je-li struktur známá, hovoříme o odhdu prmetrů. Úloh identifikce spočívá v určení (syntéze) operátoru modelu F, tj. v provedení vyhodnocení měření určení odhdu operátoru F tk, by byl v určitém předem definovném smyslu blízký skutečnému operátoru Fo. Objekt identifikce si lze znázornit tkto: v v 2 v k u u 2 u n SOUSTAVA y y 2 y m kde veličiny u, u 2,..., u n y, y 2,..., y m v, v 2,..., v k Obr. 8 Objekt identifikce měřitelné vstupy soustvy, měřitelné výstupy soustvy, poruchové vstupy soustvy. Zkoumný systém lze identifikovt buď nlyticky, tj. pomocí metod mtemticko-fyzikální nlýzy nebo empiricky, tj. pomocí metod experimentálních (deterministické sttistické metody). Prktické metody leží mezi těmito dvěm krjními přípdy. Vždy je užitečné teoretickou cestou njít přibližné mtemtické vzthy popisující dný systém experimentálně pk upřesnit prmetry, které v nich vystupují (tzv. deduktivní postupy). ) Identifikce metodou mtemticko-fyzikální nlýzy Identifikce metodou mtemticko-fyzikální nlýzy vychází ze známých přírodních zákonů, které umožňují popst vzth mezi vstupní výstupní veličinou soustvy. Při sestvování rovnic (nejčstěji soustv diferenciálních rovnic) vycházíme z hmotových nebo energetických bilncí z rovnic fyzikálních, chemických biologických procesů (npř. rovnice kontinuity, Fourierov rovnice sdílení tepl, sdílení tepl konvekcí, Bernoulliho rovnice). Tkovýto mtemtický model lze chrkterizovt jko vnitřní popis chování zkoumného systému. Tkovýto model reprodukuje skutečné zákonitosti, jeho prmetry mjí fyzikální smysl, je většinou složitý nelineární, le popisuje chování systémů ve větším rozshu. Vede k jednoznčnému popisu systému. Výhodou této metody je to, že umožňuje určit mtemtický model v přípdech, kdy se soustv teprve projektuje. Výsledků tkového rozboru lze užít pro volbu optimální koncepce detilní konstrukce celého zřízení. 8

19 9 Modelování simulce systémů Nevýhodou je, že vyždují důkldné teoretické znlosti příslušného oboru, km identifikovný objekt ptří, že výsledky jsou znčně složité výsledné vzthy nutno někdy proximovt, linerizovt, to n úkor přesnosti. 2) Experimentální metody identifikce Při experimentálním způsobu identifikce (induktivní postupy) se mtemtický model určí n zákldě experimentálně obdržených údjů v chování dného systému. Předpokládá se přitom, že hodnoty vstupních výstupních signálů lze měřit. Tkovýto model lze chrkterizovt jko vnější popis chování dného systému. Má většinou jednoduchý tvr, prmetry se sndno určují, le čsto nemjí fyzikální smysl. Tkový model je použitelný v menším rozshu (npř. v okolí prcovního bodu, v ustáleném stvu pod.). Chrkter tohoto způsobu je nejednoznčný: pro systém můžeme získt několik popisů podle použité metody identifikce, zvolené struktury složitosti modelu. U experimentálních metod identifikce se předpokládá, že můžeme měřit přímo v provozu vstupní výstupní signály systému záznmů o čsovém průběhu těchto signálů pk použít k vyhodnocení dynmických vlstností systémů. Rozborem vstupních výstupních veličin systému můžeme získt mtemtický model vyjdřující jeho vnější popis (npř. diferenciální rovnici, přenos pod.). Při experimentálních metodách předpokládáme spoň přibližnou znlost struktury objektu, který povžujeme z černou skříňku blck box. Nevýhodou těchto metod identifikce je skutečnost, že identifikovný objekt je obvykle součástí většího zřízení, proto jej nemůžeme zkoumt izolovně, jk bychom si přáli. Při zkoumání v souvislosti s jiným zřízením se nám čsto nepodří odstrnit působení jiných veličin zřízení, ni poruchových veličin. Deterministické metody experimentální identifikce neuvžují působení náhodných veličin n objektech ni nepřesnosti měření. Deterministické metody jsou jednoduché názorné. Je-li měření n objektu provedeno pečlivě, dostneme dobré výsledky. Hodí se především pro jednoprmetrové soustvy. Pro víceprmetrové soustvy se hodí tehdy, můžeme-li hodnoty nesledovných veličin znedbt nebo jejich vliv vyloučit (udržováním n konstntní hodnotě). Sttistické metody předpokládjí působení náhodných veličin n objekt, nebo že měřené veličiny jsou ztíženy šumem. K identifikci systémů podle náhodných čsových průběhů vstupních výstupních signálů slouží metody sttistické dynmiky jko korelční nlýz, regresní nlýz jiné. Sttistické metody identifikce vyždují mnohem větší soubory změřených dt jejich zprcování je možné pouze s použitím počítče. Při experimentálním způsobu identifikce postupujeme obvykle tk, že pro vhodně zvolenou strukturu modelu (tím rozumíme způsob mtemtického vyjádření závislosti výstupního signálu n signálu vstupním npř. ve tvru diferenciální rovnice, diferenční rovnice, přenosu, impulsní chrkteristiky) provedeme odhd jeho prmetrů tj. koeficientů rovnic, resp. přenosů. Provádíme to obvykle plikcí různých metod pro vyhodnocení záznmů odezvy systému n definovný vstupní signál. Výsledky experimentu lze všk využít zprcovt i jinými způsoby: ) lze jich využít k prktickému ověření závěrů, vyplývjících z mtemticko fyzikálního rozboru soustvy, přípdně k zpřesnění mtemtického modelu nlezeného cestou mtemticko-fyzikální nlýzy, b) v některých přípdech umožňují identifikci konstnt vyjdřujících kvntittivně průběh procesu - jko jsou součinitelé přestupu tepl při ohřevu pod.

20 Modelování simulce systémů Nopk výsledků mtemticko-fyzikální nlýzy lze využít k odhdu řádu rovnice či přenosu identifikovné soustvy při experimentální identifikci. Z uvedeného vyplývá, že obě metody se vhodně doplňují. Lze říci, že především vhodnou kombincí těchto metod je možno vytvořit předpokldy pro zjištění úspěchu identifikce. Nlezení nejvhodnějšího způsobu identifikce předpokládá velké teoretické znlosti především určité zkušenosti, protože kždý konkrétní systém vyžduje jiný způsob identifikce. Shrnutí pojmů Model, operátor modelu, mtemtický model, simulce systémů, identifikce systémů Otázky. Chrkterizujte pojem model systému. 2. Popište proces simulce. 3. Vysvětlete pojem identifikce systémů. 4. Proveďte klsifikci metod identifikce. 20

21 Řízení systémů 3. ŘÍZENÍ SYSTÉMŮ Čs ke studiu: 0.5 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstvce budete umět definovt pojem řízení systémů chrkterizovt zákldní druhy řízení systémů popst různé druhy regulce systémů Výkld Řízení chápeme jko cílevědomé působení řídicího systému n systém řízený z účelem dosžení vytýčeného cíle. zpětná vzb Řídicí Řízený cíl řízení systém řídicí působení u(t) systém projevy řízeného w(t) (model) {ovlivnitelné} y = f(u) objektu vůči okolí y(t) řídicí funkce poruchy v(t) (funkční lgoritmus řízení) Obr. 9 Obecný princip řízení (neovlivnitelné, náhodné) Řídicí působení je prováděno podle určitého funkčního lgoritmu, který je mtemticky popsán tzv. řídicí funkcí, která je v podsttě mtemtickým vyjádřením vzthu mezi řídicím působením cílem řízení (npř. stvovou rovnicí, přenosem pod.) Řídicí systém - fyzikální zřízení, které relizuje funkční lgoritmus řízení tím, že generuje řídicí působení u(t) n řízený systém; mtemtickým popisem tohoto systému je tzv. řídicí funkce. Jko řídicí systém lze chápt npř. člověk, regulátor, řídící počítč pod. Řízený systém - fyzikální zřízení, které chceme řídit (npř. technologický proces, podnik), mtemtickým popisem bstrhujeme od jeho fyzikální podstty vytváříme model vlstního reálného objektu, který využíváme npř. při simulci systému n počítči. Rozlišujeme-li možné způsoby cílevědomého působení n systém, je účelné rozlišovt mezi sledováním (monitorováním systému) vlstním řízením systému. Sledováním (monitorováním) systému rozumíme spojité či přetržité získávání informcí o stvu systému bez součsného působení n systém. 2

22 Řízení systémů Řízení je cílevědomé působení řídicího systému n systém řízený z účelem dosžení vytýčeného cíle Rozlišujeme dv zákldní druhy řízení podle toho, zd je obvod řízení otevřen nebo uzvřen: ovládání regulci. Ovládání (dopředné řízení = feedforwrd) Jedná se o řízení při otevřeném obvodu. K řízení využívá jen priorních informcí o řízeném objektu nijk se nekontroluje jeho skutečný stv (není zpětná vzb). řídicí systém řízený systém R řídící veličin kční veličin výstupní w(t) u(t) veličin y(t) S poruch v(t) Obr. 0 Ovládání s měřením poruch Ovládání je možno s úspěchem použít je tm, kde můžeme s jistotou tvrdit, že výstupní veličin řízeného systému y(t) bude přesně tková, jko ji předpokládá řídicí systém. Aby byl tento poždvek splněn, musí být do nejmenších podrobností znám mtemtický popis řízeného systému podchyceny i všechny poruchy n tento systém působící. Opomenutí některých vzeb vede k nekontrolovné odchylce skutečné hodnoty výstupní veličiny řízeného systému y(t) od poždovné hodnoty w(t). Proto se ovládání používá převážně u řízení logického (spínče, výthy, semfory), kde vzth mezi výstupem vstupem řízeného systému je popsán logickými funkcemi výstup je svou povhou (logické 0 ) prkticky nezávislý n poruchách. Regulce (řízení pomocí zpětné vzby = feedbck) Jedná se o řízení v uzvřeném obvodu. Zde se nvíc k řízení využívá i informce o stvu řízeného systému, to obvykle měřením výstupní veličiny řízeného systému y(t) (zpětná vzb). w(t) _ e(t) u(t) y(t) + R S žádná hodnot regulční kční regulovná regul. veličiny odchylk regulátor veličin regulovný veličin systém e(t) = w(t) - y(t) cíl regulce e(t) 0 v(t) poruch Obr. Regulce Řídicí systém porovnává žádnou hodnotu regulovné veličiny w(t) se skutečnou hodnotou regulovné veličiny y(t). Existuje-li mezi w(t) y(t) odchylk e(t), působí řídicí systém kční veličinou u(t) n řízený systém tk, by byl odchylk odstrněn. 22

23 Řízení systémů Cílem regulce je tedy udržení nulové (minimální) odchylky. Z popisu principu regulce je ptrno, že se zde pro řízení bezprostředně nevyužívá mtemtického popisu řízeného systému většinou se ni neměří poruchy vstupující do systému. Přesto je tento princip řízení tk univerzální, že dovoluje řídit systémy s nejrůznějšími dynmickými vlstnostmi, dokonce i některé systémy nestbilní. Mtemtický popis řízeného systému je využíván pro nstvení prvků řídicího systému, by bylo dosženo optimálního regulčního pochodu. Druhy regulce: ) stbilizce - regulce n konstntní žádnou hodnotu regulovné veličiny w(t) = konst. 2) progrmová regulce - regulce, kdy se w(t) mění v čse podle předem stnoveného progrmu 3) vlečná regulce (kskádní) - regulce, kdy se w(t) mění podle určité technologicky význmné veličiny 4) extremální regulce - regulce, kdy se hledá extrém funkce dvou proměnných 5) optimální regulce - regulce, kdy se hledá optimum funkce většího množství proměnných (funkcí) 6) dptivní regulce - regulce, kdy se v procesu řízení regulátor smosttně přizpůsobuje změnám regulovné soustvy, používá se především tehdy, mění-li soustv v průběhu řízení neznedbtelně své prmetry (dynmiku, tj. odpory, kpcity) Pro řízení složitých dynmických systémů se stále více používá kombince obou typů řízení, kdy je řízení s využitím mtemtických modelů korigováno prostřednictvím zpětných vzeb - hovoříme o kombinci řízení feedforwrd feedbck. U vyšších stupňů hierrchické struktury ASŘ se setkáváme s pojmy řízení off - line, on - line in - line. Pojem off -line je používán v přípdě, že neexistuje přímé spojení procesu s počítčem, údje do počítče nebo z počítče jsou předávány člověkem. Toto spojení se oznčuje jko počítč - rádce. Úloh počítče je zde redukován pouze n jeho využití jko prostředku pro utomtizci výpočtů, kdy umožňuje rychlé prošetření vrint řízení výběr nejlepší, le do rozhodování přímo nezshuje. Tento typ řízení je chrkteristický pro nejvyšší stupně hierrchické struktury ASŘ (ASŘ podniku, ASŘ výroby). Pojmy on -line in -line souvisí s řízením v uzvřené smyčce. Počítč zde prostřednictvím jednotky styku s prostředím měří potřebné fyzikální veličiny z procesu n zákldě ověřeného lgoritmu řízení vypočítává nejvhodnější prmetry dného procesu. V přípdě, že cílem počítče je koordinovt, kontrolovt ovlivňovt utomtické systémy řízení n úrovní jednotlivých procesů to tk, že vypočítné hodnoty zdává jko řídící veličiny nlogovým regulátorům hovoříme o řízení on - line. Pokud počítč bezprostředně řídí průběh procesu, to tk, že jsou nlogové regulátory nhrzeny progrmem počítče, hovoříme o řízení in - line, o přímém číslicovém řízení (Direct Digitl Control - DDC). Tento typ řízení je chrkteristický pro nejnižší stupně hierrchické struktury ASŘ (ASŘ TP). Podle stupně utomtizce, tj. podle účsti člověk n řízení rozlišujeme řízení: ) utomtické - relizovné pouze technickými prostředky bez bezprostřední účsti člověk 23

24 Řízení systémů 2) utomtizovné - relizovné technickými prostředky s částečnou bezprostřední účsti člověk n řízení 3) neutomtické (ruční řízení) - vlstní řídicí funkce jsou relizovány jen člověkem Zvláštním druhem řízení je řízení v reálném čse: řídicí systém prcuje tk, že dob odezvy řízeného systému n řídicí zásh je menší než dob přechodu systému z původního stvu do stvu nového. Shrnutí pojmů Řízení systémů, obecný princip řízení, ovládání, regulce, druhy regulce, řízení off-line, on-line, inline, řízení utomtické, utomtizovné, neutomtické, řízení v reálném čse. Otázky ) Chrkterizujte pojem řízení systémů. 5. Jké jsou zákldní druhy řízení systémů? 6. Popište různé druhy regulce systémů 7. Co znmená řízení off-line, on-line, in-line? 24

25 Sttické systémy 4. STATICKÉ SYSTÉMY Čs ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstvce budete umět definovt pojem sttický systém uvést příkldy mtemtického popisu sttických systémů vysvětlit princip kódování grfů jejich číselné vyjádření pomocí mtic vysvětit popst kritickou cestu v síťovém grfu Výkld Mtemtický popis sttických systémů Smotný pojem sttický systém je bstrkce. U reálných systémů nelze prkticky oddělovt sttickou stránku od dynmické, obě jsou spolu úzce spojeny, záleží pouze n schopnosti rozlišení. Jde tedy o to, že v určitém konečném čsovém intervlu se nám určité vzthy, jevy, struktury jeví jko čsově invrintní, neměnné. Členění systémů n sttické dynmické je tedy uměle zvedené z důvodů metodologických. Obecný sttický systém je relce R definován n krtézském součinu množin: X= X xx 2 x...x X n kde X... X n jsou množiny, jejichž prvky nejsou čsově proměnné ni funkcemi čsu. Příkldem obecného sttického systému je soustv m lineárních rovnic o n neznámých: x + 2 x n x n = b 2 x + 22 x n x n = b 2 m x + m2 x mn x n = b m Tto soustv nám definuje relce mezi formálními objekty - proměnnými x i. Hodnoty formálních objektů tohoto systému X i jsou hodnotmi proměnnými x i. Vlstnosti tohoto systému jsou vlstnosti, které vyšetřuje lineární lgebr (konzistence, homogenit, určitost soustvy). Obecnějším typem obecného sttického systému může být soustv lineárních nerovností: x + 2 x n x n + b <=> 0 m0 x + m2 x mn x n + b m <=> 0 25

26 Sttické systémy kde <=> znmená některý ze znků <, <, =, >, >. Ještě obecnějším typem obecného sttického systému může být soustv f (x,x 2,...,x n ) <=> 0 f m (x,x 2,...,x n ) <=> 0 Příkldy sttických systémů ) Prutová soustv Jde o zjednodušené znázornění kovového nosníku pomocí neorientovného grfu, jež se používá ve sttických výpočtech; v tomto přípdě zpisujeme styčníky jko uzly U ={U, U 2... U 8 } pruty jko hrny H = {H, H 2... H 3 }. U 3 U 2 U 4 G = (U,H) U ` U 5 U 6 U 7 U 8 Obr. 2 Prutová soustv 2) Leontiefské ekonomické modely Tyto modely popisují sttické (strukturní) vzthy v ekonomických objektech pomocí orientovných grfů. Prvky reálných systémů (uzly) jsou npř. odvětví, vzbmi (proudy) jsou toky zboží, výkonů služeb, měřené zprvidl ve finnčních jednotkách. 3) Modely soustv progrmů pro počítčové systémy Používjí se v řízení technologických ekonomických procesů. Anlyzují se vzájemné vzby mezi progrmy v orientovném grfu, který zobrzuje celou tuto soustvu. Uzly jsou progrmy proudy jsou vzájemné vzby mezi těmito progrmy, mezi jejich vstupy výstupy (výstupy získné z určitého progrmu se mohou používt jko vstupy do řdy jiných progrmů). 4) Modely utomtizovných systémů řízení V nlýze syntéze ASŘ se zobrzuje jejich struktur pomocí orientovných grfů nebo mtic Uzly grfu jsou činnosti (operce strojů, zprcování dt, určité rozhodování pod.) vzbmi mezi nimi jsou obvykle informce mezi činnostmi i j. V mtici pk binární hodnot prvku ij (0 nebo ) oznčuje existenci či neexistenci informční vzby mezi činnostmi i j. Zákldní pojmy teorie grfů Teorie grfů je zákldem metod, jež využívá teorie systémů, operční nlýz, strukturní nlýz syntéz. Její metody postupy umožňují u systémů obshujících velké množství 26

27 Sttické systémy prvků vzeb mezi těmito prvky rychle se v nich orientovt zjistit uvnitř systému i n rozhrní systému s okolím různé vzthy, které nás zjímjí. Tyto metody postupy se využívjí především u ekonomických výrobních procesů, kde je možno očekávt stovky ž tisíce prvků. Jedná se npř. o nvrhování integrovných obvodů počítčů, modelování technologických procesů, modelování vzthů v ekonomických systémech (toky zboží, výkonů služeb). Neorientovný grf G(U,H) - je útvr obshující uzly (U,..., U i,..., U I ) hrny (H,..., H j,..., H J ). Kždá hrn spojuje buď dv uzly, tzn.že je s nimi koincidentní, tehdy mluvíme o vnitřní hrně -, nebo je spojená s jedním uzlem útvru reprezentuje spojení s okolím - vnější hrn b (obr. 3). b Obr. 3 Neorientovný grf Podgrf - podgrfem G' (U', H' ) grfu G (U, H) je grf, kde pltí, že U' U H' H (obr. 4). Obr. 4 Podgrf Řetězec je pojem, pod kterým se rozumí n hrn (H,.., H n,.., H N ), které mjí tu vlstnost, že jeden uzel koincidentní s libovolnou H n (mimo H H N ) je spojený s H n- druhý uzel koincidentní s H n je spojený s H n+. Počet členů posloupnosti {H n } je zároveň délkou řetězce (obr. 5). H n- H n H n Obr. 5 Řetězec 27

28 Sttické systémy Cyklus - řetězec, který zčíná končí v jednom uzlu (obr. 6). Obr. 6 Cyklus Spojený grf - grf, u kterého můžeme libovolné dv uzly spojit řetězcem (obr. 3, 5, 6, 7, 8). Strom spojeného grfu - stromem nzýváme podgrf S (U, H'), který obshuje všechny uzly grfu G, le jen tolik hrn, by nevznikl cyklus. Hrnám H' podgrfu říkáme větve, sestvující hrny grfu G nzýváme tětivmi (obr. 7). Obr. 7 Strom spojeného grfu Orientovný grf Q (U, P) - útvr obshující nejen uzly, le i orientovné hrny - proudy, které mjí všechny vlstnosti hrn nvíc orientovnost toku (obr. 8). Obr. 8 Orientovný grf 28

29 Kódování grfů Sttické systémy Při kódování přiřdíme k jednotlivým uzlům indexy k =, 2,... K proudům j =, 2,... J. Tento popis nám umožní jednoznčně číselně vyjádřit orientovný grf pomocí incidenční sociční mtice (precedenční mtice). Incidenční mtice I s rozměry KxJ definujeme následně: pro prvek mtice kj pltí: k,j = - proud j je vstupním proudem do uzlu k k,j = -- proud j je výstupním proudem z uzlu k k,j = 0 - proud j není koincidentní s uzlem k Při tvorbě precedenční (sociční) mtice P se vychází z předpokldu, že libovolné 2 uzly jsou v jednom směru spojené nnejvýš jedním orientovným proudem. V přípdě, že tento předpokld není splněn, mohou se proudy buď sloučit, nebo lze grf doplnit fiktivními proudy nebo uzly. Výhodou precedenční mtice je, že dostáváme mtici dvouhodnotových funkcí 0. Precedenční mtice P je čtvercovou mticí s rozměry KxK, pro jejíž prvky pltí: p k, k = - z předpokldu, že existuje orientovný proud z uzlu k do k p k, k = 0 - z předpokldu, že neexistuje orientovný proud z uzlu k do k Řešený příkld Vycházejme z obecného příkldu recyklu (obr. 9) přiřďme uzlům proudům číselné hodnoty indexů k j. Vyjádřete incidenční mtici Obr. 9 Přiřzení indexů k prvkům orientovného grfu Řešení: Incidenční mtice bude mít tvr: I =

30 Sttické systémy Precedenční mtice bude mít tvr: P = Precedenční mtice nám poskytuje rychlou informci o počtech vstupů výstupů z jednotlivých prvků: ve sloupcích obshuje přehled všech předchůdců (výstupy) jednotlivých prvků ve vzdálenosti jednoho proudu v řádcích přehled všech následovníků (vstupy) těchto prvků ve vzdálenosti jednoho proudu (jedničkové prvky). Můžeme npř. určit největší počet vstupů, resp. výstupů dného prvku (njdeme největší součet jedniček ve sloupci, resp. v řádku), dále pk prvky bez výstupu, izolovné prvky td. Asociční mtice má význmnou vlstnost: booleovské mocniny této mtice P n určují výskyt orientovných řetězců v grfu. Je-li n počet proudů směřujících z uzlu k do k, pk pro prvek mtice P n (n-té booleovské mocniny mtice P) pltí: p n kk = - pk z uzlu k do uzlu k směřuje orientovný řetězec o délce n proudů p n kk =0 - neexistuje orientovný řetězec o délce n proudů z uzlu k do uzlu k Mtice P n předstvuje seznm uzlů, které jsou od sebe vzdáleny o n hrn (jedničkové prvky). Předchůdci dného prvku jsou prvky, které jsou počátečními uzly cest grfu, které v dném prvku končí. Následovníci dného prvku jsou koncové uzly cest grfu systému, které v dném prvku zčínjí. Jedničkové prvky k -tého sloupce mtice P n nám udávjí všechny předchůdce prvku k o vzdálenosti dné exponentem n, tj. existenci precedenčních cest délky n k prvku k. Jedničkové prvky k-tého řádku mtice P n nám udávjí všechny následovníky k-tého prvku ve vzdálenosti n, tj. všechny sekvenční cesty délky n k prvku k. Mtice P n má velký význm v oblsti tvorby systémů detekce korekce chyb npř. v utomtizovných informčních systémech: zde nás zjímjí všechn následující zprcování, do kterých může proniknout chyb vzniklá v určitém předchozím zprcování, nebo hledáme všechn předcházející zprcování, ze kterých se chyb mohl dostt do chybného zprcování. Řešený příkld 2 Uvžujeme systém n obr. 20. Vyjádřete jej precedenční mticí dále pk njděte všechny sekvenční precedenční cesty délky n=2, 3, 4. 30

31 Sttické systémy P 2 P 5 P P 3 P 7 P 4 P 6 Řešení: Obr. 20 Struktur systému znázorněného orientovným grfem P = P 2 = P 3 =

32 Sttické systémy P 4 = Z mtice P 2 vidíme, že npř. k prvku p systému jsou prvky p 4, p 5, p 6 následovníky (řádky) ve vzdálenosti 2; k prvku p 2 jsou následovníci prvky p 6 p 7 ve vzdálenosti 2. K prvku p 4 je následovník ve vzdálenosti 2 prvek p 7. Čteme-li mtici P 2 po sloupcích, pk prvek p 4 má předchůdce prvek p ve vzdálenosti 2, prvek p 5 má předchůdce prvek p ve vzdálenosti 2, prvek p 6 má předchůdce prvky p p 3 ve vzdálenosti 2 prvek p 7 má předchůdce prvky p 2, p 3 p 4 ve vzdálenosti 2. Pomocí dříve popsných mtic s booleovskými prvky, které mohou nbývt hodnot 0 je možno popisovt vzby pouze existenčně (říkjí nám jen, zd existuje či neexistuje vzb mezi prvky k k ). Tyto mtice nám dávjí málo informcí o skutečné struktuře systému. Proto byly zvedeny mtice čísel. Nhrdíme-li dvouhodnotové prvky v precedenční mtici čísly, dostáváme mtici ohodnocení vzeb. Těmito ohodnoceními mohou být různé prmetry vzeb: počet opkování vzeb, množství, vzdálenosti, doby trvání. Řešený příkld 3 Je dán systém znázorněný orientovným grfem n obr. 2. Jednotlivé vzby jsou ohodnoceny prmetry. O - oznčujeme okolí systému, které můžeme povžovt z dlší prvek systému, tj. O=p 5. Určete mtici ohodnocení vzeb. O P P 3 P 2 2 P 4 5 O O 2 Obr. 2 Struktur systému znázorněného orientovným grfem 32

33 Sttické systémy Řešení: Mtice ohodnocení vzeb má tvr: A = Úlohy o rozhrní (interfce) Anlyzují se vlstnosti sousedních prvků, subsystémů, resp. prvků vzeb, které do nich vstupují vystupují. Vyšetřuje se konzistence prmetrů n vstupech výstupech sousedních prvků. V těchto úlohách se zkoumá, z jkých podmínek bude existovt shod mezi přípustnými hodnotmi prmetrů n vstupech výstupech sousedních prvků. Řešený příkld 4 Uvžujeme již dříve popsný systém n obr. 20, který může být zjednodušeným obrzem npř. informčního nebo počítčového systému. Předpokládejme, že vstupy kždého prvku vst. systému jsou chrkterizovány jedním sklárním prmetrem p i výstupy rovněž jedním sklárním prmetrem p výst. i. Tyto prmetry mohou chrkterizovt npř. druhy vstupů výstupů, rytmus vstupů výstupů (frekvenci), kódy vstupů výstupů pod. Prmetry vstupů výstupů jsou zdávány tbulkou: sklár. pr. prvky p j vst p i výst p 2 p 2 2 p p 4 p 5 3 p p 7 3 Řešení úlohy spočívá v prověření shody prmetrů n vstupech výstupech sousedních prvků. Je-li u vzby v ij splněn rovnost p výst i = p vst j = p, říkáme, že dná vzb v ij je regulární má prmetr p. Není-li rovnost splněn, je vzb neregulární. Informce o existenci vzeb v ij získáme z precedenční mtice: jsou-li jedničky v průsečíku mezi prvky p i p j, existuje výst vst vzb mezi těmito prvky. Srovnáním p i p j prmetrů prověříme regulárnost vzby. Informci o neregulárních vzbách zpisujeme do mtice neregulárnosti vzeb R: je-li vzb v ij regulární, pk pro prvek mtice r ij = 0, není-li regulární, pk r ij =. 33

34 Sttické systémy Řešení: Precedenční mtice má tvr: P = Mtice neregulárnosti vzeb: R = Mtice R je řešením dné úlohy o rozhrní, používá se při úprvách rozhrní mezi prvky systému, kdy je nutno systém postupně uprvovt tk, by všechny vzby byly regulární (tj. by mtice R byl nulová). Úprvy se provádějí npř. modifikcí prmetrů vstupů výstupů, záměnou prvků, modifikcí celkové struktury systému pod. Metod kritické cesty (Criticl Pth Method) Kritická cest - křivk, která spojuje počáteční koncový uzel síťového grfu přes tzv. kritické činnosti, tj. tkové, jejichž celková čsová rezerv je nulová, jejichž zdržení by způsobilo prodloužení celkového čsu pro relizci určitého projektu. Probíhá celým grfem vždy je nejméně jedn. Cíl: zjistit co nejdříve možný konec kce. Použití: plánování relizce kcí (npř. plánování relizce ekonomických i technologických procesů, plánování relizce různých oprv, stveb pod.) Při řešení relizčních prcí dává možnost předem určit nároky npř. n čsové ztížení prcovníků, spotřebu mteriálu, simulovt dopředu vznik možných situcí tím se n ně připrvit. Pro řešení metodou kritické cesty využíváme tzv. síťový grf, který se skládá z uzlů orientovných hrn. Hrny odpovídjí jednotlivým dílčím činnostem úkolu. Dnou činnost jednoznčně určují počáteční koncový uzel, kterými je kždá činnost ohrničen. Činnost oznčujeme uspořádnou dvojici čísel (i, j), přičemž musí pltit i < j. N relizci činnosti je třeb určité doby, tzv. doby trvání činnosti t ij, vynložení určitých nákldů. Některé činnosti musí být vykonány v určitém čsovém pořdí, proto je třeb do 34

35 Sttické systémy síťového grfu zvést ještě fiktivní činnosti s nulovou dobou trvání, které vyjdřují vzby závislosti mezi činnostmi. Síťový grf má tyto zákldní vlstnosti: Kždý síťový grf musí mít vždy jeden počátek, ze kterého hrny pouze vystupují, jeden konec, do kterého hrny pouze vstupují. Tuto podmínku lze splnit vždy pomocí fiktivních činností (obr. 22 ). Kždá činnost může být zhájen jen tehdy, když jsou dokončeny všechny předcházející činnosti. Souběžné (prlelní) činnosti z důvodu jednoznčné identifikce musí být odděleny fiktivní činností (obr. 22 b). Délky hrn neodpovídjí dobám trvání činností. Uzly lze očíslovt tk, by pltil nerovnost i < j. V tomto přípdě v síťovém grfu nevystupují cykly (obr. 22 c). Při sestvování síťových grfů je třeb provést rozbor činností uvědomit si, které činnost bezprostředně předcházejí kždé činnosti, které činnosti z dnou činností bezprostředně následují, které činnosti probíhjí souběžně které činnosti n sobě nezávisejí. Všechny údje o činnostech zpisujeme do tbulky, n zákldě které pk sestvíme vlstní síťový grf. Obr. 22 Zákldní vlstnosti síťových grfů pro použití metody CPM 35

36 Sttické systémy Symbolik CPM i j t i (0) t ij (i,j) t j () Obr. 9 Popis uzlů hrn v síťovém grfu 2) t i, t j - termín splnění - čs, kdy má být určitá etp dokončen v uzlu i,j 3) i, j - pořdí uzlů - znázorňujeme v horní části kruhu 4) (i,j) - činnost - grficky vyjádřen jko úsečku, která vychází z uzlu i do j, směr průběhu činnosti je oznčen šipkou 5) t ij - dob trvání příslušné činnosti - zpisujeme do středu úsečky; by byl projekt splněn v termínu musí pltit pro úsek mezi uzly i j : t i + t ij t j 6) t i (0) - nejdříve možný zčátek činnosti (i,j) - určuje čs, kdy jsou splněny všechny činnosti, které je nutno provést do uzlu i, tedy může být zhájen činnost (i,j); je tedy dán trváním nejdelší cesty, která vede v síťovém digrmu do uzlu i; pro uzel 0 pltí obyčejně t i (0) = 0. () 7) t i - nejpozději nutný zčátek činnosti (i,j) - vystihuje skutečnost, že v rozvětvených digrmech, kdy nejdříve možný zčátek je dán trváním nejdelší cesty vedoucí do uzlu i, vznikjí n osttních cestách čsové rezervy. Znmená to prkticky, že některé činnosti mohou být zhájeny později, niž by došlo ke zpoždění hlvního cíle projektu prodloužení celkové průběžné doby dného projektu. 8) t j (0) - nejdříve možné ukončení činnosti (i,j) - je vypočítáván z uvžování nejdříve možného zčátku: t j (0) = t i (0) + t ij 9) t j () - nejpozději nutné ukončení činnosti (i,j) - určuje termín, kdy musí být splněn činnost (i,j) tk, by bylo dosženo konečného termínu celkového trvání projektu: t j () = t i () + t ij Postup při určování kritické cesty: ) Nkreslíme síťový digrm, vnitřek uzlu rozdělíme n 3 části: v horní části číslujeme pořdí uzlů, do středů úseček zznmenáváme dobu trvání příslušné činnosti t ij. 2) Výpočet hodnot t i (0) t j (0) (nejdříve možného zčátku konce činnosti (i,j)): ) Jde-li o zčátek procesu, volíme t i (0) = 0 (v přípdě, že řešíme dílčí proces, pk může být t i (0) > 0 ). Hodnotu t i (0) vpisujeme do levé části uzlu i. b) K hodnotě t i (0) připočítáme dobu t ij (zpsnou ve středu úsečky) výsledek t j (0) píšeme n prvou část úsečky (k šipce). Postupujeme tk ve všech směrech z uzlu i. c) Končí-li v uzlu j jedn nebo více činností, pk mximální hodnotu t j (0) ze všech vpisujeme do levé části uzlu, přičemž mximální hodnotu t j (0) výrzně oznčíme orámováním. 3) Výpočet hodnot t i () t j () nejpozději nutného zčátku konce činnosti (i,j): ) Při výpočtu vycházíme z konečného uzlu postupujeme opčným směrem k počátečnímu uzlu. Hodnotu t j () = t j (0) vpisujeme do prvé části uzlu j 36

37 b) Od hodnoty t j () odečítáme t ij výsledek píšeme n levou část úsečky jko t i (). Sttické systémy c) Zčíná-li v uzlu i jedn nebo více činností, pk minimální hodnotu t i () ze všech vpisujeme do prvé části uzlu i, přičemž minimální hodnotu t i () výrzně oznčíme orámováním. Čsová rezerv - dob, o kterou může být činnost zdržen, niž by se ovlivnil celková dob trvání celé kce. Kritická cest v digrmu je určen sledem kritických uzlů, u nichž hodnoty uvedené v levé prvé části se sobě rovnjí, tj. nevykzuje žádné čsové rezervy. Řešený příkld 5 Máme z úkol sestrojit výrobek, který je vyroben ze tří součástí tento příkld zkreslit do síťového grfu. Činnosti jsou oznčeny písmeny velké becedy. Npříkld symbol A < B, C oznčuje, že činnost A předchází činnostem B C tk dále. Podle tbulky sestrojte síťový grf určete kritickou cestu čsové rezervy. Doby trvání činností jsou uvedeny ve zvolených čsových jednotkách (č.j.). Tbulk Vypočtené hodnoty k příkldu 2 Řešení: Nejdříve sestrojíme síťový grf s uvžováním omezení n čsové činnosti. Přečíslování uzlů nemusíme provádět, protože vyhovuje podmínce i < j. 37