VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Filip Uhlíř

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE 2014 Bc. Filip Uhlíř

2 VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název diplomové práce: Optimalizace logistických procesů ve firmě Kigspa, a. s. Autor: Katedra: Obor: Vedoucí práce: Bc. Filip Uhlíř Katedra ekoometrie Ekoometrie a operačí výzkum Ig. Ja Zouhar, Ph.D.

3 Prohlášeí: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci a téma Optimalizace logistických procesů ve firmě Kigspa, a. s. zpracoval samostatě. Veškerou použitou literaturu a další podkladové materiály uvádím v sezamu použité literatury. V Hradci Králové de 22. prosice Filip Uhlíř

4 Poděkováí: Rád bych poděkoval Ig. Jau Zouharovi, Ph.D. za vedeí mé diplomové práce a za poděté připomíky, které ji velice obohatily. Dále bych chtěl poděkovat Ig. Jau Jačkovi ze společosti Kigspa, a.s. za podklady k práci a odboré připomíky.

5 Abstrakt Název práce: Optimalizace logistických procesů ve firmě Kigspa, a. s. Autor: Bc. Filip Uhlíř Katedra: Katedra ekoometrie Vedoucí práce: Ig. Ja Zouhar, Ph.D. Cílem této práce je ukázat využití operačího výzkumu a reálém příkladu z praxe a demostrovat tak praktickou využitelost této vědí disciplíy. Řešeou úlohou bude rozvozí úloha s děleou dodávkou. V textu je uvede celý postup řešeí této praktické úlohy od zadáí datových vstupů, automatizovaého získáváí dat z veřejě dostupých zdrojů pro vzdáleostí matici, vytvořeý matematický model pro tuto úlohu i s implemetací v SW Ligo. Dále jsou v práci popsáy klasické distribučí úlohy lieárího programováí s vazbou a řešeou úlohu. Mimo to jsou zde ukázáy i tři matematické modely zabývající se tímto typem rozvozí úlohy, které však elze pro řešeý problém použít, eboť obsahuje jisté požadavky či podmíky, které daé modely vůbec euvažují. Klíčová slova: okruží dopraví problém s děleou dodávkou, využití operačího výzkumu v praxi, distribučí úlohy lieárího programováí. Abstract Title: Author: Departmet: Supervisor: Optimizatio of logistic processes i the compay Kigspa, a.s. Bc. Filip Uhlíř Departmet of Ecoometrics Ig. Ja Zouhar, Ph.D. The aim of this work is to show the applicatio of operatioal research o a example that is put ito practise ad to show the usabillity of this sciece field. The problem solved will be the Vehicle routig problem with split delivery. The whole process of solvig this issue is described i the text. From the icome data ad automatised data aquisitio from publicly acessible resources for the distace matrix to the created mathemathical model for this issue together with the implemetatio i SW Ligo. Furthermore, i my work classic distributio problem of liear programmig i coectio to the solved issue are described. Beside that three mathematical models are show that are occyupyig with this type of delivery. They ca ot be used for fadig the solutio to this issue as they iclude certai requiremets or coditios which are ot take ito accout by the give models. Keywords: Vehicle routig problem with split delivery, use of operatio research i practice, distributio problem of liear programmig.

6 Obsah ÚVOD POPIS PROBLÉMU A DATOVÉ VSTUPY Výroba a odbyt sedvičových izolačích paelů ve společosti Kigspa, a.s Aktuálí stav řešeí akládky a rozvozu sedvičových izolačích paelů Datové vstupy od společosti Kigspa, a.s Vlastí datové vstupy FORMULACE MATEMATICKÉHO MODELU Klasické distribučí úlohy lieárího programováí Některé speciálí variaty rozvozích úloh Matematický model pro optimalizaci expedice sedvičových izolačích paelů pro společost Kigspa, a.s Implemetace řešeí v SW Ligo VÝPOČETNÍ EXPERIMENTY Zadáí a příprava vstupích dat Výsledek pro ilustrativí příklad Možosti implemetace pro úlohy reálého rozsahu ZÁVĚR LITERATURA PŘÍLOHY

7 Úvod V deší době ekoomické krize, kdy je saha ohledě miimalizace ákladů asi ejvětší, jsou společosti kromě ejrůzějších úspor, také ucey optimalizovat svoje podikové procesy. Nejčastěji optimalizovaými procesy ve výrobích společostech jsou Logistické procesy, což je dáo jedak jejich výzamostí, složitostí a fiačí ákladostí. Diplomová práce se věuje logistickým procesům ve společosti Kigspa, a.s., které se bude sažit optimalizovat pomocí metod operačího výzkumu a dále avrhout systémový způsob řešeí daého problému. Kigspa, a.s., je meziárodí společost zabývající se výrobou izolačích materiálů, kostrukčích prvků budov, solárích systémů a moho dalších produktů. Diplomová práce se zaměřuje a přepravu jedé kokrétí kategorie výrobků, sedvičových izolačích paelů, jež jsou jako jedié vyráběy a území České republiky. Většia odběratelů sedvičových izolačích paelů se achází a území Spolkové republiky Německo, kam jsou výrobky přepravováy prostředictvím siličí dopravy. Tematicky spadá uvažovaý problém do široké kategorie rozvozích úloh (vehicle routig problems, VRP); od stadardích hojě popsaých modelů VRP se však v ěkolika ohledech odlišuje. V prví řadě budeme uvažovat ákladích vozů více typů, kdy se jedotlivé druhy ákladích vozidel budou od sebe lišit růzými charakteristikami, které jsou důležité pro formulaci matematického modelu. Tato estejorodost vozidel je dáa tím, že společost využívá růzé sjedaé přepravce. V odboré literatuře zaměřeé a VRP se ejčastěji pro zjedodušeí předpokládá pouze jede typ vozidla, který má vždy stejé parametry. Dalším specifikem zkoumaého problému je práce s ehomogeím produktem. Výše jsme zmíili, že expedice se sice týká pouze jedoho druhu výrobku; pro sedvičové izolačí paely icméě eexistují stadardí rozměry, jsou tedy vyráběy a míru dle přáí každého jedotlivého zákazíka. V odboré literatuře se s přepravou ehomogeích produktů lze setkat je zřídka; přeprava ehomogeích produktů pomocí více typů vozidel je tedy to, čím se tato práce odlišuje od většiy dostupé literatury. Celkem vzato, uvažovaý logistický proces se tedy skládá ze dvou hlavích částí: aložeí výrobků a ásledý rozvoz ákladu kocovým zákazíkům. Řešeá úloha spočívá ve výběru vhodého počtu jedotlivých druhů ákladích vozidel, do kterých lze aložit požadovaé možství výrobků zákazíky (včetě kokrétího způsobu aložeí), a současého určeí rozvozích tras. Prví kapitola se věuje zejméa sezámeí s výrobkem a celému popisu reálé úlohy, kterou se tato práce zabývá. Jsou zde i iformace, které pomohou vytvořit celý obraz logistického procesu a to eje věcí, které se přímo dotýkají pouze ákladky a rozvozu sedvičových izolačích paelů. Je uvede popis současého stavu daého problému, kterým 6

8 se zabývá tato práce. Popsáy jsou i jedotlivé datové vstupy, a to eje přímo získaé od společosti Kigspa, a.s. Zmíěy jsou apříklad potřebé iformace, které obsahují jedotlivé reporty od společosti Kigspa, a.s., jaká je ejižší úroveň iformace v těchto jedotlivých reportech a samozřejmě i logický vztah mezi imi, dále pak přejdeme k popisu postupu získáváí vlastích datových zdrojů. Následující kapitola se zabývá popisem klasických distribučích úloh a ěkterých speciálích variat rozvozích úloh s děleou dodávkou (SDVRP). Z těchto modelů byly čerpáy základí podmíky, které jsou typické pro teto typ úloh. V ávazosti a to je uvede celý vytvořeý matematický model pro áš řešeý reálý příklad. Po formulaci vlastího matematického modelu se pak bude práce ve třetí kapitole zabývat výpočetími experimety a všemu, co s imi souvisí, ať již to jsou datové vstupy či diskuze ad výpočetí efektivostí. 7

9 1 Popis problému a datové vstupy 1 V této kapitole se budeme zabývat zejméa popisem problému a všech věcí, který s ím souvisí. Uvedeme si zde popis produktu, jehož přepravu budeme optimalizovat. Dále si popíšeme jeho proces výroby, pricip baleí do větších celků, které jsou akládáy do ákladích automobilů a další věci, který s tímto produktem úzce souvisí. Poté si pak uvedeme stručý popis, jak fuguje v současé době řešeí akládky a rozvozu sedvičových paelů k zákazíkům. Zadáí této úlohy spočívá v optimalizaci baleí izolačích paelů do balíků vhodých rozměrů, které pak lze aložit do ěkolika typů ákladích automobilů s růzou sazbou za ujetý kilometr. Ale jelikož je proces baleí paelů již optimalizová a aše úloha by se tím začě zkomplikovala, byla tato část zabývající se optimalizací baleí sedvičových izolačích paelů vypuštěa. Volba vhodého typu ákladího automobilu je dáa velikostí zakázky a případou možostí sdružeí více zakázek do jedoho ákladího vozu, pokud se to vyplatí. Celková cea přepravy se skládá z ěkolika složek. Cea k prvímu zákazíkovi eí účtováa podle ujetých kilometrů, ale fixě dle oblasti, kde se prví zákazík achází (podle prvího dvojčíslí PSČ). K této částce se pak přičtou cey jedotlivých přejezdů k dalším zákazíkům dle skutečě ujetých kilometrů a za každou druhou až -tou zastávku se připočte fixí cea za vykládku, která je stejá pro všechy druhy vozidel. Zjedodušeě můžeme říci, že v aší řešeé úloze jde o to, rozhodout, kdy se vyplatí poslat tři meší ákladí vozidla se třemi růzými zakázkami ebo poslat spíše jede větší ákladí automobil, který uveze všechy tři zakázky a rozveze je postupě těmto třem zákazíkům. Jako posledí si popíšeme jedotlivé datové zdroje, které budeme v praktické části práce využívat. Datové zdroje, které jsou podkladem pro tuto práci a to hlavě pro její výpočetí část, jsou rozděley a dvě skupiy a to jedak získaé datové zdroje od společosti Kigspa, a.s., a pak vlastí datové vstupy, které byly získáy z volě dostupých zdrojů. Tyto získaé iformace mají vazbu k primárím datovým vstupům získaých od společosti Kigspa, a.s. Popis vlastích zdrojů obsahuje i způsob získaí dat, který byl automatizová, aby ebyl pouze jedoúčelový, ale šel případě i využít po jistých drobých úpravách i pro jiou úlohu s jiými zdrojovými iformacemi. 1 Iformace o společosti Kigspa, a.s. a obrázky k této kapitole byly získáy z webových stráek společosti ( , 17:30). 8

10 1.1 Výroba a odbyt sedvičových izolačích paelů ve společosti Kigspa, a.s. Společost Kigspa, a.s. patří k předím světovým výrobcům zateplovacích sedvičovým paelům. Její výrobky vyikají eje vysokou kvalitou, ale vyhovují i ejrůzějším specifickým požadavkům. Mezi velké výhody jejich izolačích systémů patří sadá a rychlá motáž. Využití sedvičových izolačích paelů je velmi široké, stejě tak i jejich výhody. Mezi všeobecě zámé využití izolačích paelů patří použití k izolaci fasád. Pro teto účel existuje moho typů sedvičových izolačích paelů o růzých tloušťkách. Ta je vybíráa dle určeí pro kokrétí stavbu v ávazosti a její eergetické vlastosti. Zaizolováí fasády pak vede k ásledé úspoře eergií a chlazeí či vytápěí objektu. Meší spotřeba eergií vede k mešímu zečištěí ašeho ovzduší skleíkovými plyy či jiými tuhy látkami zečišťující ovzduší, které vzikají při výrobě eergií. V deší době, kdy hospodařeí s eergií upravují růzé zákoy a ormy se teto produkt právě dostává do popředí zájmů a roste po ěm poptávka. Existují však i typy sedvičových izolačích paelů, které mají speciálí fasádí strau a ty lze využít k opláštěí celých budov a to i včetě střeších ploch, které bývají velmi často amáhaý přírodími podmíkami. V zimě a sedvičový izolačí pael působí tíha mokrého sěhu a v létě pak putí díky velkým teplotím rozdílům mezi vitří a vější straou paelu. Všem těmto silým epřízivým přírodím vlivům je schopý odolat za předpokladu, že je k ěmu uzpůsobea celá kostrukce budovy. Tyto sedvičové izolačí paely se velmi často používají u velkých objektů, díky jejich sadé a rychle motáži a železé kostrukce. Typický příkladem těchto objektů jsou překladiště, skladovací a výrobí haly, velké hypermarkety a supermarkety. Ze sedvičových izolačích paelů lze vytvořit izolačí systémy pro řízeou atmosféru, což je hojě využíváo v potraviářském a farmaceutickém průmyslu. Pro chladíreské a mrazíreské prostory existuje orma, která přesě upravuje tepelé izolace chladíre a mrazíre, které tyto sedvičové izolačí paely splňují. Sedvičové izolačí paely se dělají se třemi typy zateplovacích jader. Prvím typem je jádro z tuhé polyuretaové pěy s uzavřeými buňkami (PUR). Sedvičové izolačí paely s jádrem z tuhého polyuretau se využívají ve stavebictví od padesátých let dvacátého století. Druhým typem s větší požárí odolostí je pael s jádrem z polyizokyaurátu (PIR ozačová též, jako IPN), který byl vyaleze přímo společostí Kigspa, a.s. 9

11 Třetím typem jádra je mierálí vla. Mierálí vláko vziká taveím diabasové horiy při vysoké teplotě společě s dalšími suroviami. Viklá tekutá láva se přeměňuje a vláka v odstředivé komoře, kde se k í přidávají další příměsi potřebé apříklad pro impregaci atd., tyto paely vydrží ezměěy ejméě sto let. Sedvičové izolačí paely IPN a PUR mají lehčí jádro oproti paelům s jádrem z mierálí vly a ezabírají tolik místa v ákladím prostoru převážejících aut a tudíž je u ich levější přeprava. Jak již bylo zmíěo výše, sedvičové izolačí paely z mierálí vly jsou vyráběy z horiy a tudíž jejich hmotost je začě vyšší ež paelů PUR a IPN a tudíž jejich doprava je dražší. Pro lepší představu o podobě izolačích paelů jsou zde přiložey dva obrázky. Prví obrázek (obr. 1-1) zázorňuje střeší izolačí paely, druhý (obr. 1-2) pak stěové izolačí paely a jejich profilaci. Obrázek 1-1: Řez střešími paely Zdroj: [8] 10

12 Obrázek 1-2: Vější a vitří profilace sedvičových izolačích paelů Zdroj: [8] Společost vyrábí sedvičové izolačí paely a třech výrobích likách. Na prví výrobí lice se vyrábějí izolačí paely s jádrem z polyuretau, kdežto a druhé se vyrábějí paely z materiálu, který má větší hustotu a je tudíž těžší. Tímto materiálem je mierálí vla, která tvoří jádro izolačího paelu. Na třetí se pak vyrábějí stropí izolačí paely, kde je specifická podmíka, že v balících musí být sudý počet kusů těchto paelů. Tato podmíka je důležitá, je kvůli kostrukci a motáži střešího izolačího paelu. Každý typ izolačího paelu je dělá v ěkolika růzých šířkách. Pro tyto šířky a příslušé kategorizovaé délky paelů, jsou defiováy limity počtů paelů v balíku. Tyto limity jsou defiováy, aby váha balíku ebyla větší, jak 3,5 tuy a celková výška balíku epřekročila 125 cm. Tato hodota 125 cm je logická vzhledem k tomu, že výška ákladového prostoru stadardích ákladích automobilů je 250 cm a balíky se dávají dva a sebe. 1.2 Aktuálí stav řešeí akládky a rozvozu sedvičových izolačích paelů V současé době jsou logistické procesy ve společosti Kigspa, a.s. astavey tak, že výroba je řízea programem, který přesě řídí jedotlivé dávky výroby podle zadaých kritérií. V praxi to zameá, že se zohledňuje při rozhodováí o pláováí výroby požadovaý termí dodáí výrobků, miimalizace počtu změ astaveí řezacích liek, a 11

13 kterých se řežou sedvičové izolačí paely a požadovaou délku dle objedávky kokrétího zákazíka a také možost kompletace paelů do balíků. Například pokud se mají řezat paely s levým řezem a s pravým řezem, tak v rámci úspory času se ejprve vyrobí všechy paely s řezem a jedé straě a ty se hed po ařezáí balí do balíků, jež se třídí dle zakázky. Pak se vyrobí izolačí paely s řezem z druhé stray, protože pokud by a lice bylo astaveo, že se ejdříve vyrobí vše k jedé zakázce a až pak se vyrobí další zakázka, muselo by se ěkolikrát během de změit astaveí výrobí liky. Takto se změí pouze jedou, čímž dochází k začé úspoře času a edochází k zbytečým časovým prodlevám a výrobí lice. Baleí vyrobeých sedvičových izolačích paelů do balíku, je dáo jejich pořadím výroby a výrobí lice. Dále balík musí splňovat ásledující parametry: maximálí výška balíku esmí přesáhout 125 cm, kvůli maipulaci s vysokozdvižým vozíkem a jeho celková hmotost esmí být větší ež 3,5 tuy. V ojediělých případech může dojít k překročeí povoleé hmotosti. Pro balíky jsou sestavey přípusté efektiví kofigurace z jedotlivých izolačích paelů tak, aby byl balík co ejvíce efektiví. Pojmem efektiví se rozumí, složeí balíků a sebe ebo vedle sebe, aby vzikal co ejmeší evyužitý prostor. Obrázek 1-3: Balík se sedvičovými izolačími paely pohled č. 1 Obrázek 1-4: Balík se sedvičovými izolačími paely - pohled č. 2 Zdroj: [8] Zdroj: [8] Na obrázcích je zázorěa podoba balíku vytvořeého ze sedvičových izolačích paelů. Systém rozvozu a hlavě sdružováí zakázek je říze speciálími vyčleěými pracovíky s dobrou zalostí Spolkové republiky Německo, co se týká zeměpisých poloh 12

14 měst a jejich vzájemých vzdáleostí mezi sebou po ejkratší možé siličí trase, která umožňuje ákladí přepravu. V praxi si skupia pracovíků rozdělí objedávky a dle svého expertího odhadu se pokouší sdružit meší zakázky do větších aut, pokud se vyplatí přejezd mezi místy dodáí. Existují pro každý typ ákladího vozidla již předefiovaé schémata aložeí, kterých se využívá pří rozhodováí, zda se zakázka do vozu vejde či ikoliv. Jelikož jsou pokaždé sedvičové izolačí paely jiak dlouhé podle přáí dodavatele, lze se tak rozhodovat pouze aproximativě zda schéma aložeí je vhodé. Pokud eí, je třeba vytvořit ové. 1.3 Datové vstupy od společosti Kigspa, a.s. Problémy při zpracováí vstupích dat se týkají zejméa možostí způsobu poskládáí paelů do balíků a jejich ásledé aložeí do ákladích automobilů. Problém s paely spočívá v tom, že existuje ekoečě moho velikostí paelů. Vyrábějí se totiž v rozmezí od 2 do 22 metrů, kdy velikost je určea od zákazíka přesě a milimetry, takže je potřeba ějakým způsobem vyrobeé izolačí paely stadardizovat do skupi podle jejich délky v přijatelých itervalech, protože počet stadardizovaých velikostí má pak dopad a počet typů balíků, které máme doručit. Velikost balíků je určea ejdelším paelem v balíku, a který se dále skládají další paely růzé délky, avšak a pael, který je klade a spodí pael musím mít délku miimálě 70 % délky spodího paelu. Celkový tvar balíku tedy emusí vždy tvořit pravidelý kvádr, ale jeda stra může mít schodišťovitý tvar. Počet vrstev paelů v balíků je mezi 4 až 27 kusy, ale tato iformace je pro ás epodstatá, eboť mi řešíme pouze rozvoz jedotlivých balíků. Pokud bychom se zabývali i tvorbou možých kombiací složeí balíku, emusíme řešit omezující podmíky týkající se váhy výsledého balíku, jeho šířky a výšky. Šířka je stále stejá u všech typů izolačích paelů. A co se týká výšky paelů, pro aložeí do ákladích vozů výsledý balík má stále přibližě stejou výšku, která povoluje pouze dva balíky a sobě v každém druhu vozidla. Celková váha sestaveého balíku eí důležitá, protože plě aložeé auto izolačími paely má stále rezervu do své ososti, kromě jedé málo časté výjimky, kterou bychom pro zjedodušeí aší úlohy mohli zaedbat. Co se týká výšky balíku, ta musí být maximálě 1,25 metru kvůli maipulaci. Jelikož těchto možostí, jak sestavit balíky je ekoečo a teto proces je již optimalizová, ebudeme ho dále v ašem problému řešit. Dále existují předepsaé ějaké stadardy, jak by měl balík vypadat, jakési předdefiovaé vzory, aby byl balík co ejvíce efektiví. 13

15 Vstupí iformace pro diplomovou práci jsou získáy z ěkolika reportů společostí Kigspa, a.s. Prví report ukazuje iformace o složeí balíků, které jsou poskládáy z vyrobeých a ařezaých izolačích paelů. Mezi důležité iformace patří číslo zakázky, číslo výrobí dávky zakázky, číslo balíku, typ izolačího paelu, počet kusů jedotlivých délek a v eposledí řadě lika, a které se izolačí pael vyráběl. Pro každou výrobí liku jsou totiž defiováy jié parametry, které by měl složeý balík splňovat. Vše je odvislé od toho, že a každé lice se vyrábějí jié typy izolačích paelů. Z prvího reportu záme však je iformace o výrobě a ás zajímá iformace o požadavcích a přepravu v daém časovém termíu. Pro tuto iformaci si musíme sáhout do druhého reportu, který obsahuje data o aložeí jedotlivých ákladích aut. V reportu je uvedeo kolik balíků, které zakázky a jaké výrobí dávky bylo aložeo do kokrétího ákladího automobilu. Celá výrobí zakázka emusí být expedováa přímo ajedou. Vše je závislé a požadavcích zákazíka, který si klade požadavky, a termí dodávky a stavbu. Z třetího reportu pak lze vypozorovat, jak byla zakázka expedováa, zda ákladí automobil jel je k jedomu zákazíkovi ebo k více zákazíkům. A samozřejmě lze z ěj zjistit i iformace, kolik a jakých automobilů jelo k daému zákazíkovi. Pokud bychom chtěli zjistit iformaci, jaké jsou celkové áklady a dopravu pro jedoho zákazíka, museli bychom použít iformace z třetího reportu a z druhého reportu o aložeí jedotlivých zakázek do ákladích aut. Výše celkové cey přepravy jedoho automobilu je vypočtea jako fixí sazba podle oblasti, kde se achází prví zákazík plus suma ce přejezdů k dalším zákazíkům. K tomuto se připočte za každou zastávku fixí sazba 1000 Kč. Tato sazba se eúčtuje za prví zastávku. Z této celkové cey pak lze pomocí vah vypočítat také výsledou ceu pro jedotlivého zákazíka. Cea se rozpočítává jedak za skutečě ujeté kilometry k zákazíkovi a také podle toho, kolik jeho áklad zaujímal z celkem aložeého materiálu. Váhy pro ujeté kilometry a objem aložeého materiálu mají stejou důležitost. Z dílčích vah vypočteme agregovaé váhy: w 0,5v 0, 5u i i i wi - celková váha pro výpočet cey přepravy pro zákazíka i vi - dílčí váha pro ujeté kilometry k zákazíkovi i ui - dílčí váha pro aložeý áklad pro zákazíka i 14

16 1.4 Vlastí datové vstupy Mezi datové vstupy, které emáme k dispozici a je potřeba je získat, patří iformace o vzdáleostech mezi jedotlivými městy, kam je potřeba zákazíkům doručit jejich objedaé zboží. Tyto jedotlivé vzdáleosti ám poslouží k vytvořeí vzdáleostí matice, z které si vypočteme ákladové matice pro každý typ ákladího vozu. Jako vstup by ám teoreticky stačila zjistit pouze horí trojúhelíková matice vzdáleostí mezi dvěma růzými městy, ale existuje zde riziko, že matice ebude ve skutečosti symetrická a výsledky tím budou zkresley. Problém tedy je, jaký je ejvhodější způsob pro získáí jedotlivých vzdáleostí mezi městy. Prví možostí je výpočet pomocí euklidovské vzdáleosti. Teto postup bude rychlejší, ež vyčíslováí vzdáleostí matice pomocí pláovačů tras volě dostupých z webu pro větší rozsah zadáí. Tato metoda ám ezaručí přesou vzdáleost, kterou ákladí vozidlo ujede po silici, ale dostaeme díky í rychle výsledky. Metoda pracuje pouze se vzdušou vzdáleostí. Co však ezohledňuje, je výškový profil trasy a přímost cesty. Klasickým příkladem jsou horské silice. Při použití této metody můžeme dostat výrazě zkresleé vstupy, které elze úplě použít pro ějaké relevatí výsledky, jež bychom rádi dostali. Jak již bylo zmíěo, ai vyčíslováí pomocí klasických vyhledávačů tras eí úplě efektiví způsob, byť dostáváme tímto způsobem relevatější výsledky. Jak tedy teto problém s vyčísleím vzdáleostí matice vyřešit? Jako vhodý ástroj se jeví aplikace The Google Distace Matrix API Aplikace The Google Distace Matrix API Tato aplikace umožňuje strukturovaé dotazováí a vzdáleosti mezi jedotlivými městy v růzých státech světa, která uživatel potřebuje zjistit. Odpovědí a dotaz je vyčísleá vzdáleostí matice požadovaých měst. Avšak i tato volě dostupá aplikace má svá úskalí, ale pro korporátího uživatele tato úskalí odpadávají. Tato aplikace má dvě provedeí. Prví verze je bezplatá s ízkými limity a druhá placeá verze s výrazě vyššími limity pro dotazovaí a server. Existuje pět základích omezeí pro dotazováí a The Google Distace Matrix API. 1) Volě dostupá verze a) Délka URL adresy esmí být delší ež zaků, což je dostatečé pro volě dostupou verzi. 2 Iformace o aplikaci The Google Distace Matrix API byly získáy z webových stráek: ( , 17:30). 15

17 b) Maximálí počet výchozích ebo cílových měst je 25. c) Na jede dotaz a server je limit 100 prvků, což odpovídá matici 10x10. d) Během 10 vteři se esmíte zeptat a více ež 100 prvků. e) A limit a 24 hodi je prvků. 2) Placeá verze (Google Maps API for Busiess) a) Délka URL adresy esmí být delší ež zaků, což je dostatečé pro volě dostupou verzi. b) Maximálí počet výchozích ebo cílových měst je 25 c) Na jede dotaz a server je limit 625 prvků, což odpovídá matici 25x25. d) Během 10 vteři se esmíte zeptat a více ež prvků. e) A limit a 24 hodi je prvků. Tato omezeí představují v praktických aplikacích poměrě začý problém. Například pro 100 měst je potřeba miimálě 100 dotazů, v případě, že využijeme volě dostupou verzi. Omezeí a problémy, které mohou přiést praktické aplikace jsou popsáy v podkapitole Aplikace má zabudovaou ochrau proti DDoS útoku a pokud je uživatel, který zasílá dotazy vyhodoce, jako poteciálí hrozba, je mu síže limit a jede dotaz, deí limit a v krajím případě mu může být odepře i přístup a server a to vše bez varováí. Proměé v dotazu je možé zadávat ve více jazycích mimo běžé agličtiy a ěmčiy je lze zadávat i v češtiě. Pokud požadovaé město eí v daém jazyce správě apsaé, aplikace jej emusí správě dohledat. Vytvořeý dotaz pro získáí vzdáleostí matice má apříklad ásledující podobu: y Berli+Germay&destiatios=Bad Bereck+Germay Bad Falligbostel+Germay &mode=car&laguage=e-en&sesor=false Výhoda této aplikace je, že zohledňuje i cyklistické ebo pěší trasy, takže pokud místo mode=car dáme mode=walkig vzdáleosti se ám budou vyčíslovat podle peších tras ikoliv podle siličí sítě. Ke každému městu je potřeba apsat i stát, kde se achází. Jedotlivá města se oddělují symbolem. Výchozí města jsou zadáváa jako origis. Naproti tomu cílová města jsou zadáváa jako destiatios. Získaý výstup má ásledující podobu, jak je patré obsahuje i údaje o době přejezdu mezi vyhledávaými městy. <?xml versio="1.0" ecodig="utf-8"?> 16

18 <DistaceMatrixRespose><status>OK</status><origi_address>Aglasterhause, Německo</origi_address><origi_address>Berlí, Německo</origi_address><destiatio_address>Bad Bereck, Německo</destiatio_address><destiatio_address>Bad Falligbostel, Německo</destiatio_address><row><elemet><status>OK</status><duratio><va lue>9892</value><text>2 hod, 45 mi</text></duratio><distace><value>285921</value><text>286 km</text></distace></elemet><elemet><status>ok</status><duratio><value> 17435</value><text>4 hod, 51 mi</text></duratio><distace><value>529748</value><text>530 km</text></distace></elemet></row><row><elemet><status>ok</status><durat io><value>11709</value><text>3 hod, 15 mi</text></duratio><distace><value>344764</value><text>345 km</text></distace></elemet><elemet><status>ok</status><duratio><value> 11084</value><text>3 hod, 5 mi</text></duratio><distace><value>327098</value><text>327 km</text></distace></elemet></row></distacematrixrespose> Odpověď a odeslaý dotaz do aplikace The Google Distace Matrix API lze z webové stráky stáhout a uložit do formátu xml a pak soubor importovat do MS Excelu ebo výsledek můžeme uložit rovou přímo do MS Excelu. V obou případech je potřeba upravit strukturu dat. Pro aši úlohu budou data rovou ukládáa přímo do MS Excelu. Celý vlastí automatizovaý ávrh pro získáváí datových vstupů je uvede v ásledující podkapitole Automatizace získáváí dat o vzdáleostech pomocí Microsoft VBA Pomocí jedoduchého skriptu apsaého ve VBA lze vytvořit celý sezam url adres pro dotazováí a vyčísleí potřebé vzdáleostí. Makro pouze rozkopíruje fukci CONCATENATE, kterou jsme vytvořili pro prví url dotaz v matici vzdáleostí. Fukce je apsáa pro 5 výchozích a 5 cílových měst, pro jiý rozsah je jí třeba aalogicky upravit. =CONCATENATE(" city!$a2;" ";city!$a3;" ";city!$a4;" ";city!$a5;" ";city!$a6;"&destiatios=";city!b$1;" ";city!c$1;" ";city!d$1;" ";city!e$1;" ";city!f$1;"&mode=car&laguage=cz- CZ&sesor=false") Zde jsou uvedey scripty VBA, s jejíž pomocí byla získáa výsledá vzdáleostí matice pro áš řešeý příklad. Jedotlivé dílčí vzdáleosti do vzdáleostí matice z aplikace Google Maps API byly stažey pomocí prvího makra data_web_page. Toto makro stáhlo obsah z dotazovaé webové stráky a vložilo ho do ového souboru MS Excel, který byl ásledě ulože pod číslem, které určovalo pořadí dotazovaé url adresy. V makru byla astavea časové 17

19 prodleva, aby edošlo k překročeí limitu vyčísleí 100 vzdáleosti za 10 vteři, což by vrátilo pouze text, že jsme překročili limit. Sub data_web_page() Applicatio.ScreeUpdatig = False Dim wb As Workbook Dim sourcewb As Workbook Dim ws As Worksheet Dim strurl As Strig Dim Name As Strig For i = 1 To 1369 'for cyklus pro vsechy URL Set wb = Workbooks.Add(xlWBATWorksheet) Set ws = wb.sheets(1) ws.name = "Data" strurl = Cells(i, 2).Value Name = Cells(i, 1).Value With ws.querytables.add(coectio:="url;" & strurl, Destiatio:=ws.Cells(1, 1)).BackgroudQuery = False.TablesOlyFromHTML = False.Refresh BackgroudQuery:=False Ed With wb.saveas Fileame:= _ "E:\data_dp_api\" & Name _, FileFormat:=xlOpeXMLWorkbook wb.close Applicatio.Wait DateAdd("s", 10, Now)'limit 100 elemets per 10s ad 1 query Next i Applicatio.ScreeUpdatig = True Ed Sub Druhý skript sloužil k úpravě stažeé webové stráky do MS Excelu, tak aby se s í dalo dále pracovat, jako s datovým vstupem. Makro je avržeo, tak aby upravovalo strukturu pro výsledek dotazu s počtem až 10 výchozích a 10 cílových měst. A s miimálím počtem 2 výchozích a 2 cílových měst. Pokud by dotaz měl strukturu 1 výchozí město a 10 cílových či 10 výchozích a 1 cílové město, bylo by třeba makro upravit, protože výstup stažeé webové stráky do MS Excelu je v jié podobě. Maximálí rozsah 10 výchozích měst a 10 cílových měst byl zvole, protože maximálí rozsah povoleý a jede dotaz je 100 prvku, které jsou požadovaý k vyčísleí. Neí problém makro upravit tak, aby bez problému samo zvládalo rozsah matice 5 výchozích a 20 cílových měst ebo opačě. Jedié co je potřeba přidat, jsou další příkazy Case. Pokud bychom měli apsaou modifikaci pro matici 20 výchozích a 20 cílových měst a toto makro by upravovalo pouze workbook, kde by byl pouze rozsah dotazu 2 výchozí a 2 cílová města, makro bude fugovat bez problému a příkazy case, které jsou avíc, se epoužijí. 18

20 Sub data_modify() Applicatio.DisplayAlerts = False Applicatio.ScreeUpdatig = False Dim wbk As Variat Dim last_row_dest As Iteger Dim destiatio_last_row As Iteger Dim last_row_orig As Iteger Dim origi_last_row As Iteger ChDir "E:\data_dp_api" wbk = Dir("E:\data_dp_api\") While (wbk <> "") Applicatio.Workbooks.Ope (wbk) ActiveSheet.Rage("A1").EtireRow.Delete ActiveSheet.Cells(1, 12).Value = "/colum/#id" ActiveSheet.Cells(1, 13).Value = "/origi_address" ActiveSheet.Cells(1, 14).Value = "/destiatio_address" last_row_dest = 2 Do While ActiveSheet.Cells(last_row_dest, 1) <> "" 'cyklus pro alezei poslediho radku last_row_dest = last_row_dest + 1 Loop destiatio_last_row = last_row_dest - 1 last_row_orig = last_row_dest Do While ActiveSheet.Cells(last_row_orig, 2) <> "" 'cyklus pro alezei poslediho radku last_row_orig = last_row_orig + 1 Loop origi_last_row = last_row_orig - 1 ed_for = origi_last_row + (destiatio_last_row - 1) * (origi_last_row - destiatio_last_row) Cells(origi_last_row + 1, 12) = 1 For k = origi_last_row + 1 To ed_for If ActiveSheet.Cells(k, 3).Value = ActiveSheet.Cells(k - 1, 3).Value The ActiveSheet.Cells(k, 12).Value = ActiveSheet.Cells(k - 1, 12).Value + 1 Else: ActiveSheet.Cells(k, 12) = 1 Ed If Next k For i = origi_last_row + 1 To ed_for Select Case ActiveSheet.Cells(i, 3) Case "1" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 1, 2).Value Case "2" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 2, 2).Value 19

21 Case "3" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 3, 2).Value Case "4" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 4, 2).Value Case "5" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 5, 2).Value Case "6" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 6, 2).Value Case "7" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 7, 2).Value Case "8" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 8, 2).Value Case "9" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 9, 2).Value Case "10" ActiveSheet.Cells(i, 13) = ActiveSheet.Cells(destiatio_last_row + 10, 2).Value Ed Select Select Case ActiveSheet.Cells(i, 12) Case "1" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(2, 1).Value Case "2" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(3, 1).Value Case "3" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(4, 1).Value Case "4" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(5, 1).Value Case "5" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(6, 1).Value Case "6" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(7, 1).Value Case "7" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(8, 1).Value Case "8" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(9, 1).Value Case "9" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(10, 1).Value Case "10" ActiveSheet.Cells(i, 14) = ActiveSheet.Cells(11, 1).Value Ed Select Next i ActiveSheet.Rage("A1:B1").EtireColum.Delete ActiveSheet.Rage("A2", "A" & origi_last_row).etirerow.delete ActiveWorkbook.Save ActiveWorkbook.Close wbk = Dir Wed 20

22 Applicatio.ScreeUpdatig = True Applicatio.DisplayAlerts = True Ed Sub Třetí skript slouží k tomu, aby se data pro jedotlivé dílčí vzdáleostí matice dostaly z jedotlivých workbooku do jedé záložky v jedom Excelu. Každý MS Excel se otevře, ajde se posledí řádek, kde kočí data a rozsah se zkopíruje a vloží do cílové záložky v jiém souboru. Poté dostaeme data pro aši vzdáleostí matici, kde jede řádek je vyčísleí jedoho prvku vzdáleostí matice. Výsledá data dostaeme už do matice pomocí fukce vlookup. Sub data_all() Applicatio.DisplayAlerts = False Applicatio.ScreeUpdatig = False Dim wbk As Variat Dim last_row As Iteger Dim lr As Iteger ChDir "E:\data_dp_api" wbk = Dir("E:\data_dp_api\") While (wbk <> "") Applicatio.Workbooks.Ope (wbk) last_row = 1 Do While ActiveSheet.Cells(last_row, 1) <> "" 'cyklus pro alezei poslediho radku last_row = last_row + 1 Loop lr = last_row - 1 Wed ActiveSheet.Rage("A2", "N" & lr).copy Widows("diplomka_DM_vs02_5x5_matice.xlsm").Activate Call get_last_row_fce(dm_lr) ActiveSheet.Cells(dm_lr, 1).Select ActiveSheet.Paste Widows(wbk).Activate ActiveWidow.Close wbk = Dir Applicatio.ScreeUpdatig = True Applicatio.DisplayAlerts = True Ed Sub Fuctio get_last_row_fce(get_last_row) get_last_row = 2 21

23 Do While Workbooks("diplomka_DM_vs02_5x5_matice").Sheets("data").Cells(get_last_row, 1) <> "" 'cyklus pro alezei poslediho radku get_last_row = get_last_row + 1 Loop Ed Fuctio Limitace při použití pro úlohu reálého rozsahu Pro volě dostupou verzi aplikace The Google Distace Matrix API se limity pro dotazováí izerovaé a iteretových strákách aplikace začě liší oproti realitě. Ve skutečosti je celkový deí limit pro dotazováí polovičí oproti izerovaým prvkům, které jsou uvedey a webu aplikace. Aby se uživatel vyhul podezřeí z toho, že chce zatížit server dotazy, je volba mešího rozměru matice pro dotazováí vhodá, možá i ezbytá. Toto se týká omezeí 100 prvků a 10 vteři. V realitě se jedá spíše o miuty ež vteřiy. Takže pokud bychom měli automatizovaé dotazováí a aplikaci The Google Distace Matrix API jako máme v ašem případě a jede dotaz by právě obsahoval 100 prvků a my takových dotazů chtěli za sebou odeslat třeba 10, stae se to, že se ám stáhou je ěkteré dotazy a to i při astaveí velkých časových prodlev apř. 10 miut. Provádět poté ásledou validaci a doplňkové dotazováí je poměrě zdlouhavé a málo uživatelsky přívětivé, je proto vhodé se dotazovat a meší matice ež je velikost 100 prvků. 22

24 2 Formulace matematického modelu V této kapitole, ež přejdeme k vlastímu matematickému modelu pro aši řešeou úlohu, si uvedeme ěkolik matematických modelů pro klasické distribučí úlohy, kterými se zabývá lieárí programováí. Modely si popíšeme a vysvětlíme souvislosti s úlohou, kterou se zabývá tato práce. Dále si představíme i ěkteré matematické modely pro speciálí variaty rozvozích úloh. Tyto speciálí variaty řeší rozvozí úlohu s děleou dodávkou. Níže uvedeé modely posloužily k porozuměí daého problému a jeho možé formulaci. Z ěkterých společých podmíek pak bylo vycházeo pro formulaci vlastího matematického modelu. Jako posledí si uvedeme matematický model s popisem sestaveý přímo pro aši řešeou úlohu. 2.1 Klasické distribučí úlohy lieárího programováí Dopraví problém Dopraví problém formulovaý v [1] je základí úlohou již výše zmíěých distribučích úloh, kterými se budeme v této kapitole zabývat. V dopravím problému se ejčastěji řeší rozvržeí rozvozu od dodavatele k odběrateli, tak aby celkové áklady a teto rozvoz byly miimálí. Náklady a přepravu se odvozují od počtu přepravovaých jedotek mezi dodavatelem a odběratelem. Existují dva typy dopravího problému, vyrovaý a evyrovaý. Pokud dopraví problém eí vyrovaý, lze ho jedoduše převést a vyrovaý problém a to tak, že zavedeme fiktivího odběratele či dodavatele. V aší distribučí úloze, kterou se v práci zabýváme, se kapacitou rozumí pouze kapacita určitého typu vozu daá délkou jeho ákladového prostoru. Ale všech typů ákladích vozů máme eomezeý počet kusů, protože k přepravě balíků jsou využívái specializovaí přepravci, takže celkovou možost kapacity dodavatelů emusíme vůbec řešit. A kromě toho máme fakticky pouze jedoho dodavatele, i když si pro převoz ajímá spedičí společosti, které převážejí jeho výrobky zákazíkům. Nejprve si tedy uvedeme matematický model dopravího problému, který posléze rozebereme a vysvětlíme. Miimalizovat m z 1c ij x ij 1 i j (2.1) 23

25 za podmíek xij ai, j1 m xij i1 b j, i 1,2,..., m, j 1,2,...,, (2.2) (2.3) x 0, i 1,2,..., m, j 1,2,...,. (2.4) ij Nyí přejde ke krátkému popisu matematického modelu. V modelu máme m dodavatelů a odběratelů. Idex i ám ozačuje, o jakého dodavatele se jedá. Idex j ozačuje odběratele. Každý dodavatel má omezeou kapacitu a ta je začea a i. Na druhé straě b j pak ozačuje velikost požadavku odběratele. Proměá x ij vyjadřuje, kolik jedotek se přepraví mezi dodavatelem i a odběratelem j. Koeficiet c ij vyjadřuje ceu přepravy ákladu mezi dodavatelem i a odběratelem j. Účelová fukce (2.1) miimalizuje áklady a přepravu mezi dodavatelem a odběratelem. Prví podmíka (2.2) slouží k tomu, aby žádý dodavatel eměl dodávat více, ež jsou jeho kapacití možosti. Druhá (2.3) podmíka zajišťuje, aby se každému odběratelovi dostal objem zboží, který požaduje. Posledí podmíka (2.4) je podmíkou ezáporosti pro proměou x ij Kotejerový dopraví problém Kotejerový dopraví problém v [1] modifikuje klasický dopraví problém tak, že zboží se od dodavatele k zákazíkovi přepravuje pomocí kotejerů s daou kapacitou, za které se účtuje cea. Ať jede kotejer plý či poloprázdý, vždy za ěj bude účtováa stejá cea a to u předchozí formulace ebylo, tam se cea účtovala ze převážeé jedotky. V ašem případě by se dal každý typ vozu chápat jako jistý druh kotejeru, ale problém je, že se pro teto typ úlohy předpokládá homogeí produkt, což aše palety se sedvičovými izolačími paely rozhodě ejsou. A avíc musíme řešit i umístěí jedotlivých balíku ve voze, abychom mohli zajistit správé pořadí vyložeí. O tom se více zmííme dále v textu. Opět si ejdříve předvedeme matematický model pro kotejerový dopraví problém a pak si jej celý vysvětlíme. Miimalizovat m z 1c ij y ij 1 i j (2.5) 24

26 za podmíek xij ai, i 1,2,..., m, j1 (2.6) m xij i1 b j, j 1,2,...,, (2.7) xij Ky ij, i 1,2,..., m, j 1,2,...,, (2.8) x 0, i 1,2,..., m, j 1,2,...,, (2.9) ij y ij Z, i 1,2,..., m, j 1,2,...,. (2.10) 0 Nyí si opět uděláme krátký popis matematického modelu pro kotejerový dopraví problém, jelikož jsou ěkteré části modelu totožé s předchozím modelem, ebudeme je zde už uvádět a pouze si popíšeme věci, které jsou avíc ebo se odlišují. Kostata K vyjadřuje kapacitu kotejeru. Novou proměou, která v tomto modelu přibyla oproti předchozímu, je proměá y ij. Tato proměá vyjadřuje, kolik kotejerů o kapacitě K jede mezi dodavatelem i a odběratelem j. Dále se pak k této proměé vztahuje pátá podmíka (2.10), která říká, že tato proměá musí být celočíselá. Třetí podmíka (2.8) zajišťuje to, aby kapacita všech kotejerů, které jedou od dodavatele i k odběrateli j bude meší ebo rova objemu zboží, které má právě od toho dodavatele i k odběrateli j jet. Účelová fukce (2.5), pak miimalizuje celkové áklady a přepravu všech kotejerů mezi dodavateli a odběrateli. Podmíky (2.6), (2.7) a (2.9) jsou stejé, jako v předešlém modelu Okruží dopraví problém Okruží dopraví problém uvedeý v [2] je ozačová též jako úloha obchodího cestujícího. Spočívá v tom, že je potřeba ajít trasu z daého místa, avštívit všechy další místa právě jedou, vrátit se zpět do výchozího místa a urazit přitom ejkratší vzdáleost. Z íže uvedeého modelu můžeme využít do vlastího matematického modelu upraveou podmíku proti parciálím cyklům. Nejdříve si uvedeme samotý matematický model a pak si jej popíšeme. Miimalizovat z 1c ij x ij 1 i j (2.11) 25

27 za podmíek j1 i1 x 1, i 1,2,...,, ij x 1, j 1,2,...,, ij (2.12) (2.13) 1, i 1,2,...,, j 2,3,...,, (2.14) i j x ij x 0,1, i 1,2,...,, j 1,2,...,. (2.15) ij Matematický model obsahuje tři proměé x ij, i a j. Proměá x ij abývá hodot ula a jeda, což vyjadřuje posledí podmíka (2.15). Hodoty jeda abývá, pokud povede cesta mezi místem i a j v avrhovaém okruhu. Proměé i a j pak abývají libovolých hodot. Ceový koeficiet je opět vyjádře c ij. Model je formulová jako klasický přiřazovací. Prví dvě podmíky (2.12) a (2.13) říkají, že jeda hraa z cyklu v uzlu kočí a z druhého vychází. Problém je doplěý o třetí podmíku (2.14), takzvaou smyčkovou podmíku zamezující parciálím cyklům. Účelová fukce (2.11) miimalizuje celkovou ujetou vzdáleost, celkovou dobu přejezdů či áklady a ujetou trasu Rozvozí úloha Rozvozí úloha v [3] je rozšířeou úlohou obchodího cestujícího v tom smyslu, že místo jedoho cyklu jich můžeme mít více. Prví uzel je brá, jako výchozí místo a tak je třeba ho zahrout ve všech cyklech. Podmíky modelu zajišťují, aby všechy okruhy pokryly všechy uzly, které je třeba avštívit. Úloha avíc obsahuje kapacití omezeí pro každé vozidlo, které je vypravováo k obsluze zákazíků. Kapacití podmíky spočívají v tom, že by suma všech požadavků odběratelů eměla překročit kapacitu vozidla, které je má za úkol obsloužit. Jiými slovy suma požadavků odběratelů a vytvořeém okruhu, který má obsloužit daé vozidlo, esmí být větší ež jeho kapacita. V aší řešeé úloze však může astat situace, že jedo vozidlo obslouží ěkolik zákazíků a jede zákazík bude tedy obslouže ěkolika automobily. Jiak řečeo jeho požadavek bude rozděle do ěkolika cyklů, což teto íže uvedeý model eřeší. A avíc se často stae, že jedo vozidlo ai epokryje požadavky jedoho kokrétího zákazíka. O modelu rozvozí úlohy s děleou poptávkou se zmííme až po vysvětleí modelu klasické Rozvozí úlohy. 26

28 Miimalizovat z 1c ij x ij 1 i j (2.16) za podmíek j1 i1 x 1, i 2,3,...,, ij x 1, j 2,3,...,, ij (2.17) (2.18) u a V(1 x ) u, i 1,2,...,., j 2,3,...,, (2.19) i j 2 ij j a u V, i 1,2,...,, i u 1 0 i (2.20) (2.21) x 0,1, i 1,2,...,, j 1,2,...,. (2.22) ij Nyí opět popíšeme odlišosti či věci, které jsou avíc oproti předchozím modelům, abychom zbytečě eopakovali věci, které jsou již vysvětley výše. Ceový koeficiet je vyjádře c ij a proměá x ij je opět bivaletí. Hodoty jeda abývá, pokud povede cesta mezi místem i a místem j. Kapacitu vozidla ozačujeme V. V modelu přibyly proměé a i a a j, proměé u i a u j ahrazují proměé i a j z miulého modelu. Proměé a i a a j vyjadřují velikost ákladu aložeého v uzlu i respektive v uzlu j. Naproti tomu proměé u i a u j jsou velikosti ákladu aložeého ve vozidle po ávštěvě uzlu i respektive uzlu j. Místo smyčkových podmíek použijeme třetí podmíku (2.19). Čtvrtá podmíka (2.20) zajišťuje, aby objem aložeého ákladu v uzlu i a velikost celkového ákladu po avštíveí daého uzlu i epřesáhla kapacitu vozidla o velikosti V. Účelová fukce (2.16) opět miimalizuje celkovou ujetou vzdáleost či ujetý čas. Pátá podmíka (2.21) zajišťuje, že prví uzel emá žádé kapacití požadavky eboť je to výchozí staice, kam se všechy vozy vrátí. 2.2 Některé speciálí variaty rozvozích úloh V této podkapitole si představíme tři matematické modely, které řeší rozvozí úlohu s děleou poptávkou. Jede z těchto modelu dokoce řeší přepravu ehomogeích produktů, což je rozdíl oproti většiě kostruovaých matematických modelů. Modely sice řeší stejý typ úlohy, jako je ta aše, ale elze je využít pro áš typ úlohy. 27

29 Rozvozí úloha s děleou dodávkou (SDVRP) je rozvozí úloha s omezeou kapacitou vozidla (CVRP), kde každý zákazík může být avštíve více ež jedou. Důvod, proč se poptávka zákazíků dělí mezi více vozů, je jedoduchý. Tímto rozděleím lze sížit počet využívaých vozidel a také sížit přejezdové vzdáleosti mezi jedotlivými zákazíky a to vše pak vede k úspoře ákladů Model 1 (podle[4]) Teto matematický model, kromě podmíek podstatých pro zachováí úlohy obsahuje i doplňující podmíky, které posilují formulaci úlohy, ale a její charakter emají vliv. Autoři v textu [4] defiují úlohu SDVRP takto: Nechť G = (N, A) je úplý a orietovaý graf, kde N je možia všech uzlů N = {1,2,, } a A je možia všech hra A = {(i,j), i,j N, i j}. Uzel jeda začí pochopitelě depo, které je výchozím a cílovým místem všech okruhů a uzly 2 až, pak jedotlivé zákazíky, které je potřeba obsloužit. Následá formulace matematického modelu je vytvořea kombiací orietovaého a eorietovaého grafu. Formulace epředpokládá symetrickou vzdáleostí matici. Miimalizovat z m c ij x i1 j1 k1 i j ijk (2.23) za podmíek m vik di, i 2,...,, k1 vik Q, k 1,..., m, i2 (2.24) (2.25) i1 i p x ipk xpjk 0, k 1,..., m, p 1,...,, (2.26) j1 j p uik u jk xijk 1, i 2,...,, i j, k 1,..., m, (2.27) d y v, k 1,..., m, i 2,...,, (2.28) i ik ik 28

30 xijk j1 ji j2 y ik, k 1,..., m, i 2,...,, (2.29) ( x ) 2, k 1,..., m, (2.30) 1 jk x j 1k x 0,1, i 1,...,, j 1,...,, i j, k 1,..., m, (2.31) ijk y 0,1, i 2,...,, k 1,..., m, (2.32) ik v 0, i 2,...,, k 1,..., m. (2.33) ik doplňující zesilující podmíky yik v ik, k 1,..., m, i 2,...,, (2.34) dixijk j1 ji v ik, k 1,..., m, i 2,...,, (2.35) i2 m k1 y 1, k 1,..., m, ik y 1, i 2,...,, ik (2.36) (2.37) x x 1, i 2,...,, j 2,...,, i j, k 1,..., m, (2.38) ijk jik m i1 j1 k1 ji xijk 2m 2, (2.39) m i1 k1 y ik m 2, (2.40) x, k 1,..., m, i 2,...,, j 2,...,, (2.41) ijk x jpk p1 pi ij i1 j1 ji c x c x, k 1,..., m 1, (2.42) ijk ij i1 j1 ji ijk 1 29

31 1 j 1 jk j2 i2 c x c x, k 1,..., m, (2.43) i1 i1k y ik y ip y jk y jp 3, i 2,...,, j 2,...,, i j, k 1,..., m, p 1,..., m, p k. (2.44) Nyí si popíšeme matematický model. Náklady přejezdu po hraě (i,j) jsou ozačey c ij a požadavky každého zákazíka jsou d i a pro platí d 1 = 0. Celková poptávka všech zákazíků je pak ozačea jako D. Teto model předpokládá, že všechy vozy mají stejou kapacitu Q. Podle celkové poptávky D a kapacity Q je odvoze miimálí počet okruhů K, který je potřeba vytvořit pro uspokojeí všech zákazíků. Idexem i a idexem j ozačujeme zákazíky. Idex k vyjadřuje, o jakou trasu se jedá. Jak jsme již popsali dříve, počet uzlů (počet zákazíků + depo) je a počet všech tras vozidel je pak m. V modelu jsou použity čtyři proměé. Prví proměou je bivaletí proměá x ijk, která abývá hodoty jeda, pokud vede trasa mezi uzly i a j a okruhu k, jiak abývá hodoty ula. Volé proměá u ik a u jk slouží k zamezeí vziku parciálích cyklů, které jsou ežádoucí. Třetí proměou je biárí proměá y ik, která abývá hodoty jeda, pokud je uzel i avštíve a trase k, jiak abývá hodoty ula. Posledí proměá pak vyjadřuje možství, které je doručeo do uzlu i a trase k. Posledí dvě proměé ejsou defiováy pro i = 1, protože se jedá o depo a to emá žádé požadavky. Účelová fukce (2.23) miimalizuje celkovou ujetou vzdáleost, která je potřeba k obsloužeí všech zákazíků a uspokojeí jejich požadavků. Podmíka (2.24) sčítá přes všechy trasy k možství zboží, které je dodáváo zákazíkovi i a každé trase. Tím je zajištěo, že každý zákazík dostae vše, co požaduje. Podmíka (2.25) pak zamezuje tomu, aby součet aložeého možství zboží ve voze, jež jede po trase k, epřekročil jeho kapacitu o velikosti Q. Podmíka (2.26) vyjadřuje, že pokud se dostaeme do uzlu p, pak z ěj také musíme odjet. Podmíka (2.27) zamezuje tvorbě parciálích cyklů. Podmíka (2.28) zajišťuje, že pokud se veze a trase k zboží zákazíkovi i, tak proměá y ik musí abývat hodoty jeda. S tím souvisí i podmíka (2.29), která vyjadřuje, že pokud se dostaeme k zákazíkovi i musí existovat jedo spojeí z toho uzlu a trase k do uzlu j. Podmíka (2.30) zajišťuje, aby depo bylo výchozí a cílové místo pro každé vozidlo jedoucí a trase k. 30

32 Podmíka (2.31) a podmíka (2.32) zajišťuje, že proměé x ijk a y ik jsou biárí a podmíka (2.33) vyjadřují ezáporost proměé v ik. Po vysvětleí podstatých podmíek matematického modelu si ještě ozřejmíme doplňující podmíky, které emají vliv a základí podstatu matematického model pro rozvozí úlohu s děleou dodávkou. Podmíka (2.34) vyjadřuje, že pokud je zákazík i avštíve, tak je mu také zboží doručeo. Podmíka (2.35) zajišťuje, že zboží může být doručeo zákazíkovi i, pouze pokud je také avštíve. Podmíka (2.36) zajišťuje, aby byl každý zákazík avštíve aspoň jedou, stejě pak podmíka (2.37) hlídá, aby každá trasa byla použita. Podmíka (2.38) zamezuje vziku duplicitě spojeí dvou míst a jedé trase. Duplicitou je myšleo, aby trasa k eobsahovala spojeí z uzlu i do uzlu j a zároveň eexistovalo i spojeí z uzlu j do uzlu i a tom samém okruhu. Podmíka (2.39) omezuje horí mezí počet všech spojeí mezi jedotlivými zákazíky a tím omezuje tvorbu ěkterých dílčích cyklů. Horí mezí se rozumí počet hra, který je potřeba v optimálím řešeí. Podmíka (2.40) vyplývající z předešlé podmíky omezuje horí mezí celkový počet ávštěv všech zákazíků. Tato horí mez je odvozea dle optimálího řešeí. Podmíka (2.41) zamezuje vziku ěkterých parciálích cyklů vziklých uvolěím podmíek pro x ijk. Podmíka (2.42) elimiuje alterativí optimálí řešeí cyklů. Zamezeí alterativích řešeí dochází pomocí řazeí tras od ejkratší po ejdelší. Alterativí optimálí řešeí jsou zrušey podmíkou (2.43). Tato podmíka zajišťuje vybráí ejkratší hray ve směru cyklu a také se zároveň pomocí této hray dostaeme ejblíže zpět k depu. Posledí podmíka (2.42) zakazuje rozděleí dodávky pro zákazíka i a zákazíka j do dvou cyklů k a p. Teto model pro aši úlohu elze aplikovat z ěkolika důvodů. Jedak díky předpokladu dopravy pouze homogeího produktu a také kvůli jedomu typu vozidla. Vzhledem k tomu, že pro určité typy vozidel v aší úloze platí speciálí podmíky. A mimo to my musíme rozdělit vůz i a jedotlivé sektory, pro které jsou staovey podmíky, které je třeba dodržet. 31

33 Autor sice epředpokládá symetrickou vzdáleostí matici stejě, jako my v aší úloze, ale řeší i cestu zpět což je vidět a zesilující podmíce (2.43). Tuto skutečost emusíme vůbec řešit, eboť pro cestu zpět do depa od jakéhokoliv zákazíka jsou áklady v aší úloze ulové. Je to kvůli tomu, že ve skutečosti si dopravce po doručeí zboží sháí zákazíky sám, aby se mu retovala cesta zpět a vůz do depa ejel prázdý. Co se týká tvorby cyklů v ašem případě, musíme také řešit pořadí vykládky balíků pro jede typ vozidla. Tato podmíka je ezbytá pro adrozměrý typ vozidla, eboť spodí paleta určuje celkovou možou kapacitu pro horí sektory, ale o tom již více v kapitole 2.3, kde je popsá vytvořeý model pro aši úlohu Model 2 (podle [5]) Autoři v textu [5] defiují úlohu k - SDVRP, kde k představuje možství zboží dodaého zákazíkovi takto: Máme graf G = (V, E), kde vrchol V = {0,1,, }, kde vrcholem ula je ozačeo depo, a ostatí vrcholy představují zákazíky, které je potřeba obsloužit. Sadu hra pak pochopitelě začíme E a tedy (i,j) E. Požadavky a dodáí zboží jsou defiováy pro všechy vrcholy V-{0}, což je logické, eboť se opět jedá o depo. Miimalizovat z m i0 j0 v1 v c ij x ij (2.45) za podmíek m i0 v1 v ij x 1, j 0,...,, (2.46) i0 v v x x 0, p 0,...,, v 1,..., m, (2.47) ip is js v j0 pj xij S 1, v 1,..., m, S V 0, (2.48) v y d x, i 1,...,, v 1,..., m, (2.49) iv i j0 ij m yiv di, i 1,...,, v1 (2.50) 32

34 i1 y (2.51) iv k, v 1,..., m, x 0,1, i 0,...,, j 0,...,, v 1,..., m, (2.52) v ij y 0, i 1,...,, v 1,..., m. (2.53) iv Nyí opět přejdeme k popisu a vysvětleí výše uvedeého matematického modelu pro k - SDVRP. Idexem i a idexem j jsou ozačováy vrcholy, které představují jedotlivé zákazíky. Idexem v je ozačeo kokrétí vozidlo, které obsluhuje a vytvořeém cyklu zákazíky i a j. Stejě jako u předchozí úlohy i zde jsou oceěy jedotlivé spojeí dvou vrcholů v grafu. Toto oceěí představuje koeficiet c ij, který může představovat jedat ceové áklady a přejezd ebo vzdáleost mezi oběma vrcholy. Velikost požadavku zákazíka i představuje d i. Od sumy požadavků všech zákazíků je odvoze celkový počet vozidel, který je potřeba k jejich obsloužeí. Počet těchto vozidel je rove m. Vozidel je k dispozici ekoečý počet a kapacita každého vozidla je k. V modelu jsou použity dvě proměé y iv a x ij v. Proměá x ij v je biárí a abývá hodoty jeda, když vozidlo v jede mezi zákazíky i a j, jiak má hodotu ula. Naproti tomu proměá y iv je pouze ezáporá a vyjadřuje možství zboží aložeé ve vozidle v a doručeé zákazíkovi i. Účelová fukce (2.45) miimalizuje celkové ujeté vzdáleosti všemi vozidly či celkové áklady a přejezdy mezi zákazíky. Je to odvislé od toho co vyjadřuje koeficiet c ij, jestli vzdáleosti ebo ceové áklady. Podmíka (2.46) zajišťuje, že každý zákazík je avštíve alespoň jedou. Podmíka (2.47) vyjadřuje, že pokud dostau do vrcholu p, pak z ěj také musím odjet. Podmíka (2.48) zamezuje tvorbě parciálích cyklů a S je podmožiou V-{0}. Podmíka (2.49) vyjadřuje, že zboží je zákazíkovi i doručeo tehdy pokud je vozidlem v avštíve. Podmíka (2.50) zajišťuje, že bude splě požadavek zákazíka i. Podmíka je kostruováa tak, že suma možství zboží, které vezou vozidla v k zákazíkovi i, se rová právě velikosti jeho požadavku. 33

35 Podmíka (2.51) zabraňuje překročeí kapacitě vozidla k. Čili objem zboží aložeý v autě v pro všechy zákazíky esmí přesáhout kapacitu vozu. Podmíka (2.52) zaručuje, že proměá x ij v je biárí. Osmá podmíka (2.53), pak zajišťuje ezáporost proměé y iv. Teto model předpokládá, že požadavek každého zákazíka je meší ež kapacita vozidla, který je k dispozici. Což v aší řešeé úloze eplatí. V aší úloze je často potřeba více aut s jejich celou kapacitou, aby obsloužily jedoho zákazíka. Autoři předpokládají počet aut m, kdy jejich kapacita se rová celkovému požadavku všech zákazíků. Toto v ašem příkladě emusí platit, eboť se může stát, že bude výhodější poslat dva meší ákladí automobily e úplě plé, protože vypraveí jedoho velkého s přejezdem by se z fiačích důvodů vůbec evyplatilo. Čili v aší řešeé úloze musí být k dispozici dostatečě velký počet všech typů aut. Další důvody proč teto model eí vhodý pro aši úlohu, jsou stejé či obdobé, jako u předešlého modelu. Např.: pořadí vykládky, podmíky pro jedotlivé druhy ákladích automobilů, které jsou k dispozici ebo podmíky pro jedotlivé sektory vozu Model 3 (podle [6]) Autoři v čláku [6] představují málo vídaý typ Rozvozí úlohy, která obsahuje i rozděleí vozidla a jedotlivé části. Teto typ přepravy se často objevuje v petrochemickém či potraviářském průmyslu. Tato úloha řeší problém přepravy ehomogeích produktů, kterým je bezesporu přeprava bezíu a afty, protože tyto dvě pohoé hmoty elze přepravovat společě v jedé ádobě. Ale pokud bychom měli vůz rozděleý do sektorů, už je lze přepravovat společě v jedé cisterě. Obdobě je tomu apříklad i s přepravou jídla, kdy je potřeba ěkteré potraviy převážet v chladu jié zase v suchu. V matematickém modelu pro Rozvozí problém s rozděleím vozidla a jedotlivé části (Vehicle routig with compartmets = VRPC) jde o přiřazeí jedotlivých objedávek do příslušých ákladích prostorů vozidel a všechy objedávky jsou každému vozidlu přiřazey po částech. Teto způsob pak staovuje trasu, kterou má daé vozidlo jet a jaké zákazíky, tak obsloužit. Všechy trasy začíají a kočí v depu. Následý matematický model by měl řešit úlohy, které se ezabývají řešeím rozvozu pohoých hmot. 34

36 Miimalizovat z vv il jl cost ij b ijv (2.54) za podmíek b 0 jv 1, v V, jl c (2.55) il b b, v V, k L, ikv (2.56) kjv jl u iv u jv Lb ijv L, v V, i L, j L (2.57) c c u 1, v V, l0v oo (2.58) quatity ( o) x compcapa ( c), v V, cc (2.59) oo cc vv cc ovc quatity ( o) x vehcapa, v V (2.60) x ovc 1, oordcust ( j) cc x o O ovc ovc O il b ijv (2.61), v V, j L (2.62) c x O y ovc oord Prod ( p) pvc, p P, vv, cc (2.63) y pvc y 0, ( p, c) IcProdComp, vv (2.64) pvc y qvc 1, ( p, q) IcProd, vv, cc (2.65) bijv 0,1, u iv 1,..., L, i, j L, vv i L, vv (2.66) (2.67) xovc 0,1, o O, vv, cc (2.68) ypvc 0,1, p P, vv, cc (2.69) K dispozici máme pevý počet vozidel V, každé vozidlo má C jedotlivých ákladích prostorů. Počet produktů je P, počet objedávek je ozače jako O a cílových míst je celkem L. Všechy vozy mají stejou kapacitu vehcapa. Jedotlivé ákladí prostory pak mají kapacitu o velikosti compcapa(c). Dále předpokládají symetrickou vzdáleostí matici. 35

37 Depo je v tom případě opět ozačeo, jako L= 0 místo, které je potřeba obsloužit je defiováo L c = L - {0}. V jedom místě, pak může být i více objedávek a pro ě tedy platí o O, customer(o) L c, defiuje místo, kam je zakázka určea, product(o) P určuje poptávku zákazíka po produktu o velikosti quatity(o). Zákazík může dostat tedy ěkolik dodávek z růzých objedávek. Předpokládá se tedy, že každý zákazík l L c, má alespoň jedu objedávku a každý produkt p P. A dodávka alespoň jedé objedávky esmí být rozdělea. Dále je v modelu zavede pojem ekompatibilí produkt, jež je defiovaý takto IcPrd P X P, apř.: (p,q) IcPrd, kde estejorodé produkty emohou být přepravováy ve společém ákladím prostoru. Nekompatibilita mezi produktem a ákladí prostorem je defiováa jako IcPrdComp P X C, kde (p,c) IcPrdComp, což zameá, že produkt p emůže být přepravováa v prostoru c. Idexy i a j slouží k ozačeí míst. Idex v vyjadřuje kokrétí automobil a idex c, pak určuje ákladí prostor ve vozidle. Idex o jsou začey jedotlivé objedávky zákazíků. Proměá b ijv je biárí proměou a hodoty jeda abývá v případě, že vozidlo v jede z místa i do místa j, jiak abývá hodoty ula. Přirozeé proměé u iv a u jv zamezují vziku parciálích cyklů. Biárí proměá x ovc vyjadřuje, že objedávka o je vezea ve vozidle v a je uložea v ákladím prostoru c, pokud toto platí abývá hodoty jeda jiak je proměá rova ule. Bivaletí proměá y pvc abývá hodoty jeda, pokud produkt p je aložeý v ákladím prostoru c vozidla v, jiak abývá hodoty ula. Koeficiet cost ij vyjadřuje áklady a dopravu z místa i do místa j. Koeficiet quatity(o), vyjadřuje velikost objedávky o. Účelová fukce (2.54) miimalizuje celkové přepraví áklady a rozvoz všech objedávek pomocí vozidel s rozděleým ákladím prostorem a jedotlivé ákladí prostory. Prví omezující podmíka (2.55) zajišťuje, že každé vozidlo v vyjede z depa ejvýše jedou. Podmíka (2.56) zameá, že pokud vozidlo přijelo do místa k, musí také z místa k odjet. Podmíka (2.57) slouží k zamezeí vziku parciálích cyklů. Omezující podmíka (2.58) zajišťuje, aby depo bylo vždy výchozím místem pro všecha vozidla. 36

38 Podmíka (2.59) slouží k tomu, aby objedávka o aložeá ve vozidle v, přesěji v jeho úložém prostoru c epřekročila kapacitu tohoto ákladového prostoru. Obdobý výzam má i omezující podmíka (2.60), která zajišťuje, aby objem všech aložeých objedávek ve všech ákladích prostorech c ve vozidle v, epřesáhl kapacitu toho daého vozidla. Omezující podmíka (2.61) vyjadřuje, že každá objedávka musí být přiřazea právě jedomu ákladovému prostoru ve vozidle. Podmíka (2.62) zajišťuje, aby byl avštíve zákazík j vozidlem v, pokud je v tomto vozidle pro ějaká objedávka o aložeá. Omezující podmíka (2.63) vyjadřuje, zda produkt p je přiřaze ákladovému prostoru c ve vozidle v. Podmíka (2.64) zařizuje, aby se do ákladového prostoru c vozidla v ealožil produkt p, který do tohoto ákladového prostoru esmí být alože. Omezující podmíka (2.65) zajišťuje, aby ebyly spolu aložey do stejého ákladového prostoru vozidla dva ekompatibilí produkty. Podmíka (2.66) zaručuje, že proměá b ijv je biárí proměou. Třiáctá podmíka (2.67) říká, že proměá u iv je přirozeou proměou. Podmíky (2.68) a (2.69) zajišťují, že proměé x ovc a y pvc jsou bivaletí. Teto matematický model je formulová tak, aby v každém ákladím prostoru vozidla byla pouze jeda objedávka, což u aší úlohy by bylo ežádoucí. To si ostatě můžeme demostrovat a příkladě. Dejme tomu, že budeme mít ákladí automobil, který musí obsloužit tři zákazíky. K této obsluze máme k dispozici ákladí vůz a jeho ákladí prostor rozdělíme a dvě symetrické části levou a pravou. Celková ložá délka ákladího prostoru vozidla je osm metrů. Třem zákazíků máme dodat tři palety s izolačími paely, délky palet jsou tři, pět a sedm metrů. Je tedy evidetí, že dvě objedávky by se ám vešly do jedé části, ale při aplikaci tohoto modelu bychom museli použít více ež jedo vozidlo aebo vozidlo s větší kapacitou, které má však větší přejezdové áklady. V ašem příkladě emusíme řešit, zda balíky mohou být spolu aložey ve stejém ákladovém prostoru ebo e. A to i přesto, když se jedá o jiý typ produktu, protože tato podmíka je irelevatí, eboť i v jedom balíku může být více typů sedvičových izolačích paelů. Mimo to v jedé poloviě vozidla můžeme vést jede balík stěových paelů a jede střeších, pokud by to bylo výhodé. 37

39 Dále autoři předpokládají jede typ vozidla a my jich máme více, ale to je stejý rozdíl jako u předchozích modelů. Máme sice stejě jako autoři ehomogeí produkt (balíky růzých délek), ale všechy tyto balíky můžeme dávat bez problému spolu do jedé části ákladového prostu. Teto matematický model eumožňuje, aby jedotlivé objedávky byly dodáy více vozidly, což u aší úlohy je potřeba. 2.3 Matematický model pro optimalizaci expedice sedvičových izolačích paelů pro společost Kigspa, a.s. Nyí si ukáže matematický model sestaveý přímo pro aši řešeou úlohu. Model sice obsahuje drobá zjedodušeí oproti skutečosti, ale ty emají vliv a logickou správost a slouží pouze k tomu, aby zjedodušily výpočet ukázkového příkladu. Model epředpokládá symetrickou vzdáleostí matici. Aby orietace v zapsaém modelu byla co možá ejsazší jsou všechy sumace vyjádřey pomocí moži či podmoži, které jsou pojmeováy podle prvího či prvích dvou písme příslušeého prvku. Idexy jsou pak začey podle příslušé možiy. Prví použitou možiou je možia A, která obsahuje počet typů aut. V ašem případě auty rozumíme ákladí vozy. Z možiy A jsou pak odvozey čtyři podmožiy AS, AN, AT a AP. Podmožia AN (AN A), zameá auta, která jsou defiováa, jako adrozměrý vůz. Nadrozměrým se rozumí vůz, který může převážet pael dlouhý až 22 metrů. V ašem případě do této podmožiy spadají dva typy vozů. Podmožia AS (AS A) obsahuje v aší úloze tři typy stadardích vozů. Tyto typy ákladích vozů mají růzé délky a lze u ich aložit paletu, která bude délku vozu překračovat maximálě o půl metru. Ve třetí kapitole je pak uvede popis, jaké jsou délky vozů a jaký je u ich povoleý přesah, který je už zakompoová do datového vstupu pro zjedodušeí modelu. Posledí dva typy vozů z možiy A tvoří dohromady ve skutečosti jede ákladí automobil. Jedá se o ákladí automobil s vlekem. Tahač s ákladím prostorem tvoří podmožiu AT (AT A) a přívěs tvoří podmožiu AP (AP A). Mezi možiou AT a AP existuje vztah, že pokud je k určitému zákazíkovi vyprave tahač daé istace, je k ěmu přiřaze i přívěs s ulovými áklady a přejezd a i ulovými áklady k prvímu zákazíkovi. Teto ákladí vůz byl rozděle a dva vozy z důvodu zjedodušeí podmíek, která pracují s aložeím paelů do jedotlivých sektorů. Místo abychom měli jede typ vozu s dvojásobým počtem sektorů, máme o jede typ vozu více a všechy typy ákladích automobilů mají stejý počet sektorů, kam lze aložit paely. Více o defiováí a chápáí sektoru ve vozech bude popsáo v souvislosti s možiou S. Všechy tyto podmožiy jsme 38

40 defiovali, protože pro ěkteré typy ákladích automobilů je potřeba zavést speciálí podmíky, které jsou pro ostatí druhy vozů zbytečé. Další možiou je možia I, která představuje počet istací od každého typu vozidla. Tato hodota je v ašem případě pro všechy druhy vozidel stejá. Počet istací je zvole dostatečě velký tak, aby se daly případě všechy balíky s izolačími paely odvést případě pouze jedím typem vozidla, pokud by toto řešeí bylo optimálí. Pokud bychom chtěli tedy mluvit o kokrétím voze daého typu, zavedli bychom pro ěj odvozeou možiu DV (AxI). Ozačeí DV zameá daý vůz. V ašem příkladě lze chápat pod pojmem pael a paleta popřípadě balík totožou věc, eboť parametry palety (balíku) se odvíjejí od ejdelšího paelu v í. Šířka všech paelů je stejá. Tloušťka paelů je sice růzá, ale pokud se dají sedvičové izolačí paely do balíku, vždy vytvoří přibližě stejě vysoký balík asi 1,25 m. Jediý rozměr, s kterým budeme tedy pracovat, je délka palety. Jelikož délka balíku je spojitá veličia je třeba tyto délky kategorizovat, aby se s imi lépe pracovalo. V ašem případě jsme všechy délky rozdělily do itervalů po 0,1 metru. Tyto stadardizovaé délky ám pak tvoří typy palet. Typy palet pak ozačujeme možiou P. Možiu zákazíků, ke kterým je třeba doručit balíky s izolačími paely, začíme jako Z. Pokud bychom měli doručit dvě zakázky do stejého místa, budeme chápat toto místo, jako dva růzé zákazíky. Miimalizovat z zz z' Z aa ii c zz x ' a zz' ai (2.70) za podmíek y pzais aa ii ss požadavek pz, p P, z Z (2.71) y pzais d p zz pp zz pp zz pp kapacita a, a A, ii, s 1 (2.72) y 1, a AN, ii, s 1 (2.73) pzais y d y d, a AN, ii, s 1, s' 2 (2.74) pzais p zz pp pzais ' p x x, z Z, z' Z, a AT, a' AP, ii (2.75) zz' ai zz' a' i pp y pzais M z' Z x z' zai, z Z, a A, ii, ss (2.76) 39

41 z' Z x zz' ai z' Z x z' zai, z Z, a A, ii (2.77) u u zai zai xzz' ai M(1 x ) u, a A, ii, z Z, z' 2,3,... (2.78) 1 zz' ai z' ai M ( 1 y pzais ) uz'ai, a AN, i I, z Z, z' Z, s 1 (2.79) 0,1, pp z Z, z' Z, a A, ii (2.80) y pzais Z 0, p P, z Z, a A, ii, ss (2.81) u zai Z 0, z Z, a A, ii (2.82) U každého typu vozidla můžeme rozdělit ákladový prostor a jedotlivé sektory. Těmito sektory rozumíme horí a dolí. V ašem řešeém příkladě představuje sektory v každém daém voze (možiě DV) možia S. Pokud bychom chtěli tedy mluvit o kokrétím sektoru v kokrétím voze daého typu, zavedli bychom pro ěj odvozeou možiu SV (DVxS ebo AxIxS). Ozačeí SV zameá sektor vozu. Výraz M lze defiovat, jako libovolé dostatečě velké číslo, které ám zajistí platost podmíky, pokud určitá proměá abývá daé hodoty. Po defiováí moži přejdeme k vysvětleí výzamu jedotlivých proměých, koeficietů a hodot pravých stra, které jsou v ašem vytvořeém matematickém modelu použity. V ašem matematickém modelu využíváme dva typy koeficietů. Prvím je ceový koeficiet c zz a, který ozačuje ceu přejezdu od zákazíka z k zákazíkovi z typem ákladího vozu a. Tato hodota koeficietu platí pro všechy istace i daého ákladího vozu. Dalším koeficiet v ašem vytvořeém matematickém modelu je koeficiet d p, jež představuje délku palety, která je odvozea od ejdelšího sedvičového izolačího paelu zabaleého v í. Dále do ašeho matematického modelu vstupují dvě defiovaé hodoty pravých stra. Prví hodotou pravé stray je požadavek pz. Tato hodota udává, kolik zákazík z požaduje palet p. Druhou defiovaou hodotou je kapacita a, která představuje kapacitu daého typu ákladího auta. Kapacitou rozumí maximálí ložou délku dolího sektoru v autě a s přičteím maximálě možého přesahu ákladu pokud je u daého typu vozidla povole. 40

42 V aformulovaém matematickém modelu se používají tři proměé. Dvě jsou celočíselé a jeda je biárí. Prví proměou v ašem vytvořeém matematickém modelu je proměá y pzais. Tato proměá je celočíselá a udává kolik palet typu p (jak jsme již dříve popsali p je kategorie délky balíku) pro zákazíka z se achází v daém typu ákladího auta a a jeho příslušé istaci i a v jakém kokrétím sektoru s v daém voze. Další užívaou proměou je biárí proměá x zz ai, která vyjadřuje, zda daý vůz (ákladí automobil typu a a istace i) pojede od zákazíka z k zákazíkovi z. Posledí užívaou proměou v ašem matematickém modelu je pomocá proměá u zai, která zamezuje vziku parciálích cyklů. Nyí můžeme přejít k vysvětleí jedotlivých podmíek ašeho matematického modelu a účelové fukce. Účelová fukce (2.70) se saží miimalizovat celkové áklady, které stojí rozvoz všech kusů palet ke všem zákazíkům. Prví podmíka (2.71) ám říká, že pokud sečteme proměou y pzais pro každého zákazíka z a typ palety p přes všechy ákladí automobily typu a, jejich příslušé istace i a jejich sektory s všichi zákazíci z dostaou miimálě všechy palety p, které požadují. Velikost požadavku zákazíka z a příslušý typ palety p je pak vyjádře hodotou požadavek pz. Podmíka (2.72) zajišťuje, aby v každém typu vozidla a, istaci i a prvím sektoru s = 1 (dolí sektor ákladového prostoru) ebyly aložey balíky, které by v součtu délek překračovaly kapacitu kapacita a příslušého typu ákladího vozu a. Podmíka fuguje tak, že se sčítá proměá y pzais vyásobeá příslušou délkou balíku d p pro typ palety p přes všechy zákazíky z a palety typu p, které jsou aložey právě v daém voze v jeho dolím sektoru. Podmíka (2.73) platí pouze pro typy aut a AN, tedy pouze pro adrozměré ákladí vozy a jejich příslušé istace i. Podmíka ám říká, že v dolím sektoru s = 1 u adrozměrého ákladího automobilu může být pouze jeda paleta p. Aby se do adrozměrého vozu edostaly krátké palety, které by se vešly i do meších ákladích aut hlídá účelová fukce, která toto řešeí vyhodotí jako příliš ákladé. Tato podmíka je zavedea z důvodu, že adrozměrý ákladí automobil má stejé parametry, jako jede z běžých typů ákladích automobilů, ale umožňuje díky své kostrukci přepravovat předměty výrazě delší ež je délka jeho ákladového prostoru a proto byla adrozměrým vozidlům staovea kapacita délky ákladu 22 metrů. Pro adrozměrý ákladí automobil pak logicky plye podmíka, že ve spodím sektoru vozu může být jede balík, který je delší ež 14 metrů. 41

43 Podmíka (2.74) zajišťuje, aby součet délek všech aložeých palet p v dolím sektoru daého vozu byla delší ebo rova v součtu délek všech aložeých palet p v horím sektoru. Tato podmíka je logická, protože byť je auto rozděleo a dolí a horí sektor balíky z horího sektoru jsou postavey a balících umístěých v dolím sektoru. A pak je tedy jasé, že v dolím sektoru emůže být jeda dvoumetrová paleta a v horím jede sedmimetrový. Tato podmíka je obdobou druhé podmíky, která platila pouze pro prví sektor. Platí i pro adrozměré vozy a všechy jejich istace i a v tom druhém sektoru může být i více kusů balíků, jejichž suma délek d p epřesáhe délku spodího paelu p. Podmíka (2.75) platí pro všechy a AT a a AP a zajišťuje, aby se ke každému tahači daé istace i přiřadil jeho ávěs, který pojede stejou trasu, tím se dostaeme a skutečou kapacitu daého ákladího automobilu. Návěs má vždy ulový ceový koeficiet, protože skutečé áklady vozu a cestu od zákazíka z k zákazíkovi z jsou vztažey a tahač. Jak již bylo popsáo výše k rozděleí složeého ákladího a dvě části tahač a přívěs bylo provedeo, aby všechy vozy měly stejý počet sektorů a tím se ulehčilo psaí matematického modelu. Podmíka (2.76) ošetřuje to, že pokud vezu zákazíkovi z paletu p v sektoru daého vozu, pak k tomuto zákazíkovi také musím jet. Tato podmíka platí pro všechy typy ákladích vozů a jejich istace i a všechy sektory s v ich. Podmíka (2.77) zajišťuje, že pokud k zákazíkovi z s daým vozem přijedu musím také od ěj odjed. Podmíka (2.78) slouží k vyloučeí parciálích cyklů. Pokud typ vozu a istace i ejede k zákazíkovi z, tak proměá u zai abývá hodoty ula. Podmíka (2.79) zajišťuje to, že pokud se zákazíkovi z veze paleta typu p v sektoru s = 1 v istaci i v ákladím vozidle a AN, tak teto zákazík musí být a trase daého vozu až posledí. Podmíky (2.80), (2.81) a (2.82) defiují, jakého typu jsou ámi používaé proměé, které jsme si defiovali již výše pro áš vytvořeý matematický model. 42

44 2.4 Implemetace řešeí v SW Ligo V ásledující kapitole je uvedeý přepis matematického modelu do SW Ligo, v kterém byly řešey výpočetí experimety. model: sets: paleta/@ole('diplomka_vs_fial.xlsx','paleta')/:delka; zakazik/@ole('diplomka_vs_fial.xlsx','zakazik')/:; sektor/1..2/:; auto/avia,solo,set_truck,mega_stadard,flat_bed,oversized,aves/:kap_pa; adrozmer(auto)/flat_bed,oversized/; beze(auto)/avia,solo,mega_stadard/; tahac(auto)/set_truck/; prives(auto)/aves/; it/1..4/:; dayvuz(auto,it):; dayvuzadrozmer(adrozmer,it):; sektorvozu(auto,it,sektor):; matice_zza(zakazik,zakazik,auto):c; matice_zzdv(zakazik,zakazik,dayvuz):x; matice_pz(paleta,zakazik): poz; matice_ns(adrozmer,it,sektor):; matice_zdv(zakazik,dayvuz):u; matice_pza(paleta,zakazik,sektorvozu):y; edsets data: c kap_pa poz delka M=100; eddata [ucel_fce] <= <= >=@sum(zakazik(z):@sum(paleta(p): <=M*@sum(zakazik(z2):x(z2,z,a,i)))); 43

45 @for(matice_zzdv(z,z2,a,i) z2#gt#1:u(z,a,i) M*(1-x(z,z2,a,i)) -M*(1-@sum(paleta(p): @for(matice_zdv:@gi(u)); = = = eddata ed 44

46 3 Výpočetí experimety V této kapitole si ukážeme výpočetí experimety. Uvedeme si zde datové vstupy pro každý experimet, jak je bylo třeba připravit a upravit. Dále si uvedeme výsledek ilustrativího příkladu a budeme se zabývat výpočetí efektivosti ámi řešeé úlohy, kterou se zabývá tato práce. 3.1 Zadáí a příprava vstupích dat Vstupem pro výpočetí část ašeho příkladu bude sloužit ěkolik tabulek. Některé už máme připraveé, jié bude uté dopočítat Kapacita vozidla a počet istací vozidla Jak jsme již azačili v druhé kapitole, máme k dispozici ěkolik typů ákladích automobilů. Rozdíl mezi imi spočívá v kapacitě ákladového prostoru, který je vyjádře délkou ložé plochy ákladového prostoru daého typu vozu. Automobily mají samozřejmě i rozdílou sazbou za ujetý kilometr. Všechy charakteristiky k typu vozidla plátí pro jeho všechy istace v předešlé kapitole. Jelikož je u třech druhů vozidel možý přesah až půlmetru, avýšíme touto hodotou kapacitu těchto ákladích automobilů, abychom si ekomplikovali matematický model a emuseli řešit, ke kterému typu vozidla lze přičíst povoleý přesah. A mimo to u dvou typů vozidla eí přesah vůbec možý z techického důvodu, protože se jedá o ákladí vůz s přívěsem. Teto typ ákladího vozu, jak jsme již popsali v podkapitole 2.3 je rozděle a dva typy automobilů (tahač a přívěs). A u dvou ákladích automobilů, které mají charakter adrozměrého vozu, je přesah dokoce vyžadová. Zde bychom si měli i ozřejmit, proč máme dva druhy ákladího vozidla typu adrozměr, když oba mají stejou možou kapacitu ákladového prostoru a přitom mají rozdílou ceu, která je účtováa za jede kilometr přejezdu. Důvod je prostý ve skutečosti se jedá o jié typy automobilů, jež se liší svými techickými parametry a samozřejmě tím pádem i spotřebou. Nadrozměrý ákladí automobil má stejé parametry, jako jede z běžých typů ákladích automobilu. Umožňuje, ale díky kostrukci přepravovat předměty výrazě delší ež je ložá plocha jeho ákladového prostoru. Pro adrozměrý typ automobilu platí pravidlo, že spodí balík s izolačími paely v ákladovém prostoru musí být delší ež 14 metrů. Z tohoto pravidla je patré, že a teto typ vozu elze aložit za sebou dva osmimetrové balíky. Pro lepší představu si zde uvedeme tabulku s parametry jedotlivých typů vozů. 45

47 Typ ákladího vozu Skutečá délka ákladového prostoru v metrech Využitelá délka ákladového prostoru v metrech Cea za jede ujetý km v Kč small (avia) 6, Solo 7, set truck - tahač 7,5 7,5 30 set truck - ávěs 7,5 7,5 0 stadard/mega 13, flat bed 13, Oversized 13, Tabulka 3-1 Od každého ákladího vozidla budeme mít k dispozici tři istace, což je dostatečý počet pro rozvoz všech požadavku zákazíků Požadavky zákazíků Iformace o požadavcích zákazíků byly získáy z reportů od společosti Kigspa, a.s. Původí iformace obsahovala, kolik sedvičových izolačích paelů daého typu a určité délky je zabaleo v balíku. Pro aši úlohu ám stačí iformace, jaký je ejdelší pael v paletě, protože te určuje velikost balíku. Toto zjedodušeí můžeme provést, eboť všechy paely, které se mají dovést k zákazíkovi, jsou již zabaley v balících a to tak, že v balíku jsou pouze paely pro jedoho zákazíka. Avšak balíky je třeba ještě kategorizovat dle délky, abychom eměli zbytečě příliš moho typů balíku a ulehčili si tím výpočetí experimet. Kategorizaci provedeme jedoduchým způsobem, délku balíku zaokrouhlíme klasickým způsobem a metry s jedím desetiým místem a tím apříklad ze dvou kategorií 7,44 m a 7,42 m dostaeme pouze jedu kategorii 7,4 m. Pro áš výpočetí experimet byli vybrái pouze tři zákazíci, kterým se má doručit celkem 12 palet. Celkový počet palet je slože ze 4 růzých typů (délek) palet. Čtvrté město Hradec Králové (HK) ozačuje výchozí depo a požadavky v depu jsou rovy ule pro všechy typy balíků. Takto malý rozsah úlohy byl zvole z techických důvodů. Těmito důvody jsou vybaveost HW a SW, které si podroběji rozebereme v podkapitole 3.3. Tabulka 3-2 ukazuje kolik balíků, jaké délky je třeba doručit do daého města ve Spolkové republice Německo. 46

48 Délka palety Nákladová matice HK Aglasterhause Ahlbeck Ahresburg v metrech 4, , Tabulka 3-2 Získáí výsledé ákladové matice je poěkud složitější proces ež získáí předešlých vstupů. Jak jsme popsali v prví kapitole, přesěji v podkapitole 1.4, získáí vzdáleostí matice bylo provedeo z aplikace The Google Distace Matrix API. Abychom získali z této vzdáleostí matice ákladovou matici, musíme si ejdřív uvědomit, počítá celkovou ceu za jede ákladí automobil. Cea k prvímu zákazíkovi je určea fixě dle oblasti (prvího dvojčíslí PSČ), kde se zákazík achází, tato fixí sazba platí pro všechy typy ákladích vozů. Cea účtováa za ávštěvu každého dalšího zákazíka má dvě složky fixí 1000 Kč a variabilí, která je odvislá podle ujetých kilometrů daým typem ákladího vozu. Pokud by bylo více zákazíku v jedom městě, je jim účtováa pouze fixí složka. Nákladovou matici stačí spočítat pouze pro každý druh ákladího automobilu a eí třeba ji replikovat pro každou istaci daého typu vozu. Tabulka ukazuje, jaké jsou áklady a dopravu mezi depem (HK) a cílovými městy (prví zákazík) a mezi jedotlivými zákazíky tyto áklady a přepravu jsou rozděley podle jedotlivých druhů ákladích vozidel, které máme k dispozici. Jak je patré z tabulky áklady a druh vozidla set truck ávěs jsou áklady ulové, protože už jsou započítaý u typu vozidla set truck tahač. Jak jsme již zmíili výše, obě vozidla tvoří ve skutečosti jede celek a byly rozděley pouze z důvodu usaděí formulace matematického modelu. Cey uvedeé v tabulce 3-3 jsou Kč. Z města Do města small (avia) Solo set truck - tahač set truck - ávěs stadard/ mega flat bed Oversized HK HK HK Aglasterhause HK Ahlbeck HK Ahresburg Aglasterhause HK

49 Aglasterhause Aglasterhause Aglasterhause Ahlbeck Aglasterhause Ahresburg Ahlbeck HK Ahlbeck Aglasterhause Ahlbeck Ahlbeck Ahlbeck Ahresburg Ahresburg HK Ahresburg Aglasterhause Ahresburg Ahlbeck Ahresburg Ahresburg Tabulka 3-3 Tabulka 3-3 bude pro reálé rozsahy úloh abývat velkých rozměrů i když se emusí sestavovat pro každou istaci každého druhu vozidla. Pro její sestaveí je důležité udržet provázaost iformace o PSČ, které áleží daému městu, aby šla přiřadit fixí sazba, pokud se město achází jako prví a vytvořeé trase pro daý vůz. Pokud bychom měli v úloze avštívit dva a více růzých zákazíků v jedom městě, přistupovali bychom k im, jako by se jedalo o dvě odlišá města a k zákazíkům bychom začali přidávat číslovky pro rozlišeí. Hodoty pro přejezdy k dalším městům by měly totožé stejě tak, jako áklady za příjezd z depa. A áklady a přejezd mezi sebou by byly pouze ve výši fixí sazby za další vykládku. Nevýhoda způsobu vyčíslováí vzdáleostí matice spočívá v tom, že se zjišťuje vzdáleost pro kokrétí město ikoliv pro přesou adresu, kde se achází zákazík. Tato evýhoda se projeví u více zákazíků v jedom velkém městě, kdy každý může být a druhém koci města a přejezd z jedoho koce a druhý by zameal přejezd třeba 60 km. Nevýhoda spočívá v tom, že pokud bychom měli s jedím vozem obsloužit dva zákazíky v témže městě a vzdáleost přejezdu mezi imi by byla 60 km a dále obsloužit třetího zákazíka, ke kterému je to z jedoho koce blíže ež z druhého, budeme obě místa považovat za stejě výhodá co pořadí a trase. S tímto se však edá ic dělat, protože vstupem byl pouze údaj o městě, kde se zákazík achází ikoliv o přesé adrese a e vždy je více zákazíků v jedom a tom samém městě Upraveé vstupy Teto ukázkový příklad ám eukazuje fukčost podmíky pro adrozměré vozy, že ejdelší aložeý balík musí být vyložeý, jako posledí. Proto si upravíme zadaí. Tato podmíka je pro adrozměrý vůz velice důležitá, protože zajišťuje správé pořadí zákazíků a trase. Zadáí ebude odpovídat realitě, ale bude sloužit k dokázáí fukčosti modelu. Upravíme si zadáí tak abychom, doutili a trasu vyjet adrozměrý vůz a umožili mu 48

50 přejezd k dalšímu zákazíkovi. Umožěí přejezdu je myšleo to, aby místo přejezdu ebyl a trasu vyslá meší levější ákladí automobil. Vezměme si tabulku 3-3, kde jsou uvedeé cey přesuů mezi městy a upravme áklady a přejezd mezi městy Ahresburg a Ahlbeck, tak aby áklady a přejezd mezi městy byly stejé a dostatečě ízké a to, aby mohl být povoleý přejezd mezi těmito městy. Povoleým přejezdem je myšleo, že přejezd je výhodější ež zapojeí malého ákladího vozu. Nebudeme uvažovat ai o fixí sazbě za další zastávku. Upraveé áklady v tabulce 3-4 vyzačíme tučě a kurzívou. Z města Do města small (avia) Solo set truck - tahač set truck - ávěs stadard/ mega flat bed Oversized HK HK HK Aglasterhause HK Ahlbeck HK Ahresburg Aglasterhause HK Aglasterhause Aglasterhause Aglasterhause Ahlbeck Aglasterhause Ahresburg Ahlbeck HK Ahlbeck Aglasterhause Ahlbeck Ahlbeck Ahlbeck Ahresburg Ahresburg HK Ahresburg Aglasterhause Ahresburg Ahlbeck Ahresburg Ahresburg Tabulka 3-4 Dále si staovme ové požadavky zákazíku, které jsou uvedey v tabulce 3-2, aby mělo vůbec smysl vypravit adrozměrý ákladí automobil a trasu mezi městy Ahresburg a Ahlbeck. Délka palety HK Aglasterhause Ahlbeck Ahresburg v metrech 4, , Tabulka

51 3.2 Výsledek pro ilustrativí příklad Pro aší řešeou ilustrativí úlohu jsme měli celkem k dispozici 18 ákladích vozidel šesti růzých typů odvozeých od jejich kapacity (délky ákladího prostoru) a cey za jede ujetý kilometr. Toto platí i pro upraveé zadáí ukázkového příkladu Výsledek původího zadáí ukázkového příkladu Na rozvoz všech požadavků, který čiil 12 balíků, budeme potřebovat celkem tři ákladí automobily, jak je vidět z tabulky 3-4. A to kokrétě jedu Avii, jede vůz typu oversized a jedo vozidlo stadard/mega. Celkové áklady (hodota účelové fukce) a rozvod všech objedávek jsou Kč. Z města Do města Typ vozu HK AGLASTERHAUSEN AVIA AGLASTERHAUSEN AHRENSBURG AVIA AHRENSBURG HK AVIA HK AHLBECK OVERSIZED AHLBECK HK OVERSIZED HK AHRENSBURG MEGA_STANDARD AHRENSBURG HK MEGA_STANDARD Tabulka 3-6 Vozidlo typu oversized pojede pouze k zákazíkovi do Ahlbecku, kam mu poveze celou jeho objedávku a poté se vrátí do depa. Nákladí automobil typu stadard/mega poveze část zakázky k zákazíkovi do Ahresburgu a poté se vrátí zpět do výchozího místa. Posledí vypraveý vůz, kterým je Avia, ejdříve pojede k zákazíkovi do Aglasterhauseu, kde vyloží celou zásilku a poté přejede k zákazíkovi do Ahresburgu, kde doručí zbytek jeho objedávky, kterou edoručilo vozidlo stadard/mega. Obrázek 3-1: Schéma rozvozu č. 1: Depo M2 M3 M1 50

52 Depo Hradec Králové M1 Ahlbeck M2 Aglasterhause M3 Ahresburg Rozmístěí jedotlivých palet pro každého zákazíka v jedotlivých ákladích vozech je pak ásledující: Délka palety v metrech Zákazík Typ vozu Istace Sektor 1 Sektor 2 4,8 AHRENSBURG AVIA ,8 AHRENSBURG MEGA_STANDARD AGLASTERHAUSEN AVIA AHLBECK OVERSIZED ,4 AHLBECK OVERSIZED AHLBECK OVERSIZED Tabulka 3-7 Výstup ze SW Ligo s hodotou o účelové fukce a proměých x a y je uvedeý v příloze č Výsledek upraveého zadáí ukázkového příkladu Z města Do města Typ vozu HK AGLASTERHAUSEN OVERSIZED AGLASTERHAUSEN HK OVERSIZED HK AHLBECK OVERSIZED AHLBECK AHRENSBURG OVERSIZED AHRENSBURG HK OVERSIZED Tabulka 3-8 Obrázek 3-2: Schéma rozvozu č. 2: Depo M2 M3 M1 51

53 V tabulce 3-8 jsou uvedey dvě výsledé trasy pro upraveé zadáí ukázkové úlohy, kdy je vyputá podmíka (2.79) ve vytvořeém modelu pro tuto řešeou úlohu. Hodota účelové fukce je Kč. Z města Do města Typ vozu HK AGLASTERHAUSEN OVERSIZED AGLASTERHAUSEN HK OVERSIZED HK AHRENSBURG OVERSIZED AHRENSBURG AHLBECK OVERSIZED AHLBECK HK OVERSIZED Tabulka 3-9 Obrázek 3-3: Schéma rozvozu č. 3: Depo M2 M3 M1 V tabulce 3-9 jsou pak uvedey opět dvě výsledé trasy pro upraveé zadáí ukázkové úlohy, kdy je aopak zaputá podmíka (2.79) vytvořeého modelu. Hodota účelové fukce je v tom případu větší a je Kč. Tato hodota je aprosto v pořádku, protože musí být dodržea podmíka, že se jako posledí vyloží paleta umístěá v dolím sektoru, která fyzicky zvětšuje kapacitu adrozměrého vozu. Nákladí vůz typu Flat bed hodotu účelové fukce ijak eovlivňuje, protože jede pouze k jedomu zákazíkovi a zpět do depa. A jak je patré z tabulky 3-3 cea účtovaá k prvímu zákazíkovi je pro všechy vozy stejá bez ohledu a jejich kapacitu či áklady a jede ujetý kilometr. 3.3 Možosti implemetace pro úlohy reálého rozsahu Původí rozměr ašeho ukázkového příkladu měl být větší a měl být řeše pomocí SW Gurobi istalovaého v SW MPL, který je vhodější k výpočtu celočíselých úloh lieárího programováí oproti SW Ligo. 52

54 Původě řešeý ukázkový příklad měl za cíl alézt optimálí řešeí pro rozvoz 40 balíků k sedmi zákazíkům ve Spolkové republice Německo, ale ai po ěkolika pokusech se teto výpočet zdárě ezdařil. Teto eúspěch byl způsobem edostatečou vybaveosti počítače, a kterém se výpočetí experimet měl provádět. Tímto edostatek byla edostatečá kapacita operačí paměti počítače. Proto tedy byl zvole meší rozsah úlohy, jež lze vypočítat i v SW Ligo, který eí tak vhodý k výpočtu celočíselých úloh jako SW Gurobi. Rozhodutí, které poměrě dost ovlivňuje dobu výpočtu, je vhodá volba počtu istací vozidel, které budeme mít k dispozici. Pro výpočet je důležité mít k dispozici dostatečý počet vozidel od každého druhu vozidla, protože dopředu evíme, zda bude vhodé vozit balíky pouze jedím typem ákladího automobilu, ebo rozvoz palet bude rovoměrě rozlože do všech druhů ákladích vozidel. Jak jsme již zmíili dříve společost Kigspa, a.s. si přepravce sjedává a tudíž emusí řešit počet automobilů, které má k dispozici pro jedotlivé typy vozů. Uveďme si příklad, jak se doba výpočtu prodlužuje v závislosti a volbě počtu istací, při použití SW Ligo. Máme zadáí původí úlohy ašeho ukázkového příkladu. Pokud zvolíme, že od každého druhu vozidla máme k dispozici pouze tři istace, tak se výpočtu optimálího řešeí dočkáme asi za 5,5 miuty. Více o počtu iteracích v příloze č. 1. Pokud však zvolíme, že máme k dispozici každý druh ákladího automobilu čtyřikrát, pak až po devíti hodiách výpočtu dostaeme optimálí řešeí. Nejlepší alezeé celočíselé řešeí, které je vypočteo asi po 10 miutách, má stejou hodotu jako účelová fukce, která by ám měla vyjít tedy Kč. Problém tedy spočívá v procházeí jedotlivých větví, kdy jsou postupě procházey jedotlivé větve a jsou pomalu odřezáváy, jak se výpočet zespoda blíží k hodotě účelové fukce. Například větev, jejíž hodota účelové fukce je ,7 Kč, se počítala z devíti hodi výpočtu miimálě 8,5 hodiy. Právě díky zvýšeí počtu istací roste počet možých permutací umístěí jedotlivých balíků a tím se prodlužuje čas výpočtu. Otázkou je, jak by si se změou zadáí poradil SW, který umí lépe řešit celočíselé úlohy lieárího programováí. Bohužel v době změy vstupu (zvýšeí počtu istací) ebyl SW Gurobi z licečích důvodů k dispozici. 53

55 Na obrazku 3-4 je koečé výpočetí oko ze SW Ligo pro ukázkový příklad, když máme k dispozici tři istace od každého typu vozidla. Na obrázku 3-5 je pak koečé výpočetí oko, když máme od každého vozu čtyři istace. Jak je vidět z obrázku počet výpočetích kroků a jedotlivých iterací se diametrálě liší. Obrázek 3-4: Výpočetí SW Ligo oko č. 1 Obrázek 3-5: Výpočetí SW Ligo oko č. 2 Bylo by proto výhodé zajistit, aby SW dostával iformaci, že pokud vyhodotil ějakou kombiaci aložeí jako eefektiví, její permutace budou též eefektiví a eí důvod je počítat. Další možostí je pro každý druh vozidla vytvořit speciálí istaci tak, abychom mohli mít růzý počet jedotlivých druhů vozidel. Tímto však bohužel dojde ke ztrátě obecosti modelu. Počet typů vozidel by šel sížit za ceu sížeí přesosti výpočtu. Pokud bychom obě vozidla, která spadají do kategorie adrozměrého vozu, zrušili a vytvořili pouze jede ový adrozměrý vůz, který by měl samozřejmě stejou kapacitu a ceu přejezdu k prvímu zákazíkovi, ale cea přejezdů k dalším zákazíkům by byla vyjádřea jako aritmetický průměr přejezdů vozidel oversized a flat_bed, sížili bychom tak celkový počet vozidel. Pokud bychom měli jede druh vozu adrozměr emuseli bychom pak zkoumat, zda použít typ oversized či flat_bed a obsloužeí daé trasy, ale rovou by byl přiřaze jede typ vozu, který bychom vytvořili. 54