3. Nejistoty měření Základní principy a zásady

Transkript

1 3. Neistoty ěřeí Neistota byla ao terí zavedea po dohodě eziárodích orgaizací. Neistoty ěřeí se stávaí společou záladou pro hodoceí výsledů ěřeí v experietálí ověřováí fyziálích evů a záoů, při hodoceí přesých ebo úředích ěřeí a při přesých a závažých ěřeích v techicých a přírodovědých oborech. 3.. Záladí pricipy a zásady Chyba ěřicího přístroe e úda ěřidla ius pravá hodota odpovídaící vstupí veličiy. Chyba ěřeí ůže být áhodá, systeaticá, dyaicá a reverzibility. Neistota ěřeí (výsledu ěřeí) charaterizue rozsah hodot oolo výsledu ěřeí, terý lze zdůvoděě přiřadit hodotě ěřeé veličiy. Neistota se udává ebo staoví ee u výsledu ěřeí, ale i u ěřidel, u hodot použitých ostat, u orecí ap. Zálade určováí eistot e statisticý přístup. Předpoládá se určité rozděleí pravděpodobostí, teré popisue, a se ůže udávaá hodota lišit od sutečé hodoty, resp. pravděpodobost s aou se v itervalu daé eistotou sutečá hodota ůže acházet. Mírou eistoty e sěrodatá odchyla udávaé hodoty. Tato vyádřeá eistota se ozačue stadardí eistota u a představue rozsah oolo aěřeé (staoveé hodoty). Stadardí eistoty se dělí a stadardí eistoty typu A a stadardí eistoty typu B. Stadardí eistoty typu A sou způsobováy áhodýi chybai (příčiy eich vziu esou záy), staoví se z opaovaých ěřeí steé hodoty za stále steých podíe statisticý přístupe a ozačuí se u A. Neistoty typu A se zešuí se zvětšuící se počte opaovaých ěřeí. Stadardí eistoty typu B sou způsobováy záýi a odhadutelýi příčiai vziu. Určuí se iýi postupy, teré esou přío specifiováy. Stadardí eistoty typu B se ozačuí u B. Jeich určováí ebývá vždy edoduché, právě aopa u složitěších ěřicích zařízeí a zvýšeé požadavu a přesost se usí provést podrobý rozbor vziu ožých chyb a staoveí veliosti eistoty typu B vyžadue i začé zušeosti. Stadardí eistoty typu B pocházeí od růzých zdroů a při určité ěřeí e výsledá stadardí eistota typu B dáa odociou suace vadrátů eistot od edotlivých zdroů i s respetováí vzáeých orelací. Protože se staoveí eistot typu A i typů B provádí steý přístupe, e ožé sládat eistoty typu A i typu B. Suací vadrátu stadardí eistoty typu A a stadardí eistoty typu B se dostae vadrát obiovaé stadardí eistoty ozačovaé u. Hodotí-li se výslede ěřeí obiovaou stadardí eistotou pa eá výza zvláště rozlišovat eistoty typu A a typu B. Z teoreticého hledisa ůže být opletí přístroové vybaveí potřebé pro realizaci ěřeí ateaticy popsaé odele ěřeí. Teto odel vyadřue vztah ezi výstupí veličiou Y a vstupíi (ezávislýi) veličiai (X, X,..., X,...X ). Mezi vstupí veličiy se zahruí: ěřeá veličia, veličiy ovlivňuící výslede ěřeí a veličiy, teré sou potřebé pro staoveí výsledu, často převzaté z růzých douetů (fyziálí ostaty, veličiy eichž hodoty se přebíraí z iých souviseících ěřeí ap.). V případě, že de o ěřeí edé veličiy, a výstupu odelu ěřeí ozačeé Y, poto lze odel ěřeí popsat výraze Y = f(x, X,...X ) = f(x), () de X, X,...X sou vstupí veličiy a eich stadardí eistoty sou u x, u x,...u x. Neistota veličiy Y e dáa vztahe azvaý taé všeobecý eboli ovariačí záo šířeí eistoty: u = A u + A A u u r y x x x x = = ; <, ()

2 de A, A sou převodí oeficiety odelu ěřeí (citlivosti), teré sou dáy vztahy f ( X) f ( X) A = ; A = (3) X X Korelačí oeficiet r x, udává statisticou závislost (orelaci) ezi veličiai X a X. Poud sou vstupí veličiy eorelovaé (orelačí oeficiety sou blízé ule), poto se rovice zedoduší a tzv. Gaussův záo šířeí eistot: uy = A ux (4) = Stadardí obiovaá eistota udává iterval, rozsah hodot ve teré se s pravděpodobostí P=68,3% ůže vysytout sutečá hodota. Praxe většiou žádá větší pravděpodobost, toho se dosáhe zvětšeí itervalu. Proto se zavádí eště rozšířeá stadardí eistota ozačeá U a daá vztahe U = u u, de u e oeficiet rozšířeí ebo porytí. Rozšířeá eistota se á používat eo při udáváí výsledu ěřeí a usí to být asě ozačeo i včetě uvedeí veliosti u. Veliost u se volí dvě až tři. V posledí době se doporučue volit u =, t. U = u a to odpovídá pravděpodobosti pro orálí rozděleí 95%, pro troúhelíové rozděleé 96,6%. 3.. Staoveí stadardích eistot Postupy určováí obiovaých a rozšířeých eistot se budou lišit podle toho, zda se edá o příé ebo epříé ěřeí Staoveí stadardích eistot při příé ěřeí Stadardí eistota typu A u A při příé ěřeí se staoví z opaovaých a ezávislých ěřeí steé hodoty a za steých podíe. Odhad ěřeé hodoty veličiy X e dá výběrový průěre x z aěřeých hodot x, x,... atd. Výběrový průěr x se určí z x = x i (5) i = Výběrová sěrodatá odchyla s x se vypočítá z aěřeých hodot (áhodý výběr) dle vztahu sx = x i x ( ) (6) i = Výběrová sěrodatá odchyla s x charaterizue rozptýleí aěřeých hodot ole výběrového průěru x. Výběrový průěr udává odhad hodoty ěřeé veličiy a poěvadž se určue z áhodého výběru, á áhodý charater. Rozptyl výběrových průěrů se staoví ze vztahu s = s (7) x x a výběrová odchyla výběrových průěrů e dáa odociou z předchozí rovice. Výběrová sěrodatá odchyla výběrových průěrů s x charaterizue rozptyl hodot výběrových průěrů a e proto zvolea ao íra eistoty výběrového průěru x (íra eistoty odhadu hodoty veličiy X. Stadardí eistota typu A e v toto případě rova sěrodaté odchylce výběrových průěrů ua = s = x ( x i x) (8) ( ) i= Poud e počet opaovaých ěřeí eší ež 0 a eí ožé učiit valifiovaý odhad a záladě zušeosti, e eistota typu A dáa u A = s s (9) x

3 de s e oeficiet, ehož hodota závisí a počtu ěřeí, a uazue ásleduící tabula s,,,3,3,4,7,3 7,0 Z tabuly vyplývá, že zešováí počtu opaovaých ěřeí vede eúěréu zvětšováí eistoty, zeéa pro < 5. Doporučue se volit počet ěřeí větší ež 0, v raí případě větší ež 5. Stadardí eistota typu B Stadardí eistoty typu B se u ěterých autorů ozačuí ao systeaticé eistoty a v oha případech se ta proevuí. Určováí veliosti eistot typu B e založeo taé a statisticé záladě. Při staoveí veliosti eistoty typu B se postupue ásledově: vytypuí se ožé zdroe eistot Z,..., Z,... Z, určí se stadardí eistoty typu B u aždého zdroe u z, staoveé eistoty u z od edotlivých zdroů se přepočítaí a odpovídaící složy eistoty ěřeé veličiy u xz, posoudí se ožé orelace ezi edotlivýi zdroi eistot typu B a odhadou se eich orelačí oeficiety r z,, vypočítá se celová stadardí eistota typu B u B. Zdroe eistot při ěřeí sou způsobováy: edooalýi ěřicíi přístroi a ěřicí techiou, použitýi ěřicíi etodai, podíai v ichž ěřeí probíhá, epřesýi údai ostat používaých při vyhodocováí, způsoby vyhodocováí, edostatečýi zalosti a alýi praticýi zušeosti persoálu. Odhad eistoty typu B edotlivých zdroů Z se sládá z těchto roů: odhade se rozsah zě ± z ax (odchyle) od eovité hodoty, veliost z ax se volí taová, aby eí přeročeí bylo álo pravděpodobé, uváží se, teré rozděleí pravděpodobosti elépe vystihue výsyt hodot z v itervalu ± z ax, (v tabulce č. předpisu TPM sou uvedey rozděleí: orálí, troúhelíové, lichoběžíové, rovoěré, troúhelíové biodálí a ipulzové), určí se eistoty typu B edotlivých zdroů Z ze vztahu u Bz = z ax / Θ, de hodota Θ se veze buď z uvedeé tabuly č. ebo pro orálí a rovoěré rozděleí sou uvedey hodoty Θ v obrázu a oci této apoitoly. Kostata Θ udává poěr axiálí hodoty odchyle z u sěrodaté odchylce zvoleého rozděleí. Neí-li ožé odpověďě rozhodout o rozděleí odchyle z v itervalu ± z ax, poto se vyde z předpoladu, že všechy hodoty z v daé itervalu se ohou vysytovat se steou pravděpodobostí a tou odpovídá rovoěré rozděleí. Přepočítáí odhadutých eistot u Bz zdroů Z a odpovídaící složy eistoty ěřeé veličiy u xz se provádí podle vztahu u xz = A xz u z, de A xz se určí ze závislosti X a zdroích Z dle vztahu A xz = X / Z. Poud závislost X = f(z) eí záá, staoví se A xz experietálě ta, že se zěří hodota x z odpovídaící zěě z a staoví se A xz x z / z. Za předpoladu, že eexistue ezi edotlivýi zdroi Z orelace, staovíe výsledou stradardí eistotu typu B z výrazu ub = ux, z = Ax, z uz (0) = = Jeliož zdroe eistot typu B sou v oha případech obtížě defiovatelé a eí poto ožé určovat orelačí oeficiety ezi ii, v závažých případech se usí přistoupit experietálíu postupu. 3

4 Hodoty převodích oeficietů a eistot v průběhu výpočtu se zaorouhluí zpravidla a tři platá ísta a celová eistota se uvádí se dvěa platýi ísty. Kobiovaá stadardí eistota Kobiovaá stadardí eistota při příé ěřeí se staoví z u = ua + ub de u A e celová stadardí eistota typu A, u B e celová stadardí eistota typu B. () 3... Staoveí stadardích eistot při epříé ěřeí edé veličiy (část 3... e ožo při prví sezáeí s touto probleatiou vyechat) Úole ěřeí e staoveí hodoty veličiy Y z hodot edé ebo ěolia přío ěřeých veliči X a s použití ostat V h podle vztahu Y = f(x,..., X,..., X, V,..., V h,...v p ) = f(x, V) () de X,... X sou přío ěřeé veličiy, V,... V p sou hodoty použitých ostat. Měřeí se opaue -rát a pro aždé i-té ěřeí dostaee hodoty přío ěřeých veliči x i, x i,... x i,... x i. Odhad hodoty veličiy Y se staoví výběrový průěre y, terý se ůže počítat dvěa způsoby: a) ao výběrový průěr z hodot y i staoveých podle rovice () pro aždou serii aěřeých hodot x i : y = yi = f ( x i,... x i,... xi, v,... vh,... vp) = f ( xi, v ) (3) i= i= i= b) dosazeí výběrových průěrů přío ěřeých veliči do rovice (), ožo použít e pro lieárí vztahy: y = f( x,... x,... x, v,... v,... v ) = f( x, v ) (4) h p de x = x i sou výběrové průěry edotlivých přío ěřeých veliči, i = v h sou hodoty paraetrů (ostat) V h. Stadardí eistota typu A u Ay se staoví ze vztahu Ay y x x x x x, = = ; < u = s = A s + A A s de A x = f( x,v) / x, A x = f( x v) / x sou převodí charateristiy staoveé dosazeí vypočítaých hodot x a hodot v do parciálích derivací předchozí rovice za předpoladu zaedbáí čleů vyšších řádů Taylorovy řady, s = x x x i ( ) (6) ( ) i = e výběrový rozptyl výběrového průěru x a s = ( x x x x x i ) ( i ), ( (7) ) i = e výběrová ovariace výběrových průěrů x a x. (5) 4

5 Druhý čle ve vztahu (5) respetue orelaci ezi přío ěřeýi veličiai, poud e tato orelace ulová ebo blízá ule, lze pa druhý čle zaedbat. Korelace ezi přío ěřeýi veličiai se dá posoudit podle veliosti orelačího oeficietu sx, r = (8) x, s s x x Staoveí stadardí eistoty typu B při epříé ěřeí edé veličiy se provádí ásledově: odhadou se stadardí eistoty B přío ěřeých veliči u Bx, odhadou se stadardí eistoty B ostat u vh, posoudí se veliost orelací ezi přío ěřeýi veličiai, staoví se celová stadardí eistota B u By. Stadardí eistoty B přío ěřeých veliči u Bx se určuí steý postupe ao při příé ěřeí, edotlivě pro aždou veličiu. Kostaty V h při epříé ěřeí ohou být: fyziálí ostaty, eichž hodoty bývaí uváděy apř. v tabulách fyziálích ostat, de by ěly být též vyádřey i eich eistoty, techicé ostaty, eichž hodoty se acházeí v techicých orách, v předpisech, v atalozích ap. Poud tyto douety eobsahuí iforace o eistotách, sažíe se odhadout v aé rozsahu se ohou vysytovat zěy eich hodot a eistoty se pa odhaduí podle poyu uvedeého při příé ěřeí. Mezi ostaty lze též ědy zařadit i hodoty eistot použitých ěřidel, teré sou obsažey v techicé douetaci ebo zísaé při alibraci. Korelace ezi přío ěřeýi veličiai ohou být způsobováy tí, že a údae ěřidel působí steé ovlivňuící veličiy (apř. teplota) ebo se používá steých ěřicích zařízeí pro ěřeí veliči steého druhu. Korelace ezi ostatai se vysytuí e zřída a e v případech poud aí ěteré společé zdroe eistot. Celovou stadardí eistotu B při epřío ěřeé veličiě Y staovíe sloučeí odhadutých eistot ze vztahu p p By x Bx vh vh x x Bx Bx x, vh vl vh vl vh, l = h= = ; < h= ; l< h u = A u + A u + A A u u r + A A u u r de A x = y / x, A vh = y / v h sou převodí oeficiety určeé z příslušých parciálích derivací veličiy Y; u Bx a u vh sou eistoty typu B přío ěřeých veliči X a ostat V; r x, a r vh,l sou oeficiety orelace ezi přío ěřeýi veličiai X a X a ezi ostatai V h a V l. Kobiovaou stadardí eistotu při epříé ěřeí staovíe sloučeí celových eistot u Ay a u By dle vztahu u = u + u (0) y Ay By (9) 3.3. Staoveí rozšířeých eistot Rozšířeá eistota U y se používá ísto obiovaé eistoty tehdy, dyž se požadue velá pravděpodobost výsytu sutečé hodoty v itervalu (y - U y ), (y + U y ). Z hledisa ateaticé statistiy se edá o ofidečí iterval pro zvoleou ofidečí úroveň ( - α). Exatí řešeí e i pro edoduché ěřeí obtížé. Proto byly pro staoveí U y avržey zedodušuící postupy, teré vedou určeí rozšířeí eistoty ao ásobu obiovaé eistoty u y, podle vztahů () a (0). U y = U u y () de U e oeficiet rozšířeí ebo porytí a eho veliost se určue: ovecí, výpočte z údaů zušeých experietátorů. Koeficiet U ívá běžě hodoty od (pro P=95%) do 3 (pro 5

6 P=99,73%), pro orálí rozděleí, a doporučeé hodoty bývaí uvedeé v techicých orách, předpisech, v idividuálích doedáích ap Všeobecé zásady pro vyadřováí eistot Výpočet eistot e eoddělitelou částí zpracováí aěřeých údaů a výsledé eistoty sou stálou částí výsledu ěřeí. Při aždé údai eistoty usí být asě uvedeo o aou eistotu se edá. Úda rozšířeé eistoty usí být doprováze použitý oeficiete U a též odpovídaící ofidečí úroví. Udáváí absolutích a relativích eistot e evivaletí a ědy e účelé použít obou způsobů. Uváděé hodoty eistot se zásadě zaorouhluí a dvě platá čísla a předostě se zaorouhluí sěre ahoru. Větší počet platých íst eistoty se poechává, ásledue-li další zpracováí. Poud se při výpočtu eistot použie ěterý orativí douet, uvede se příslušý odaz. Něteré douety přío předepisuí áležitosti a forulace týaící se vyadřováí výsledů ěřeí včetě způsobů udáváí eistot. V iých případech sou uvedey iforace, teré e uto o eistotách uvádět Doprovodé iforace údaů o eistotách U stadardích eistot typu A se uvádí: počet opaovaých ěřeí ebo počet stupňů volosti, výběrové sěrodaté odchyly přío ěřeých veliči a orelačí oeficiety ezi ii. U stadardích eistot typu B se uvádí: uvažovaé zdroe eistot B, popřípadě i výzaěší zdroe, teré byly zaedbáy, výchozí hodoty a postupy určováí eistot edotlivých zdroů, hodoty vypočítaých eistot u edotlivých zdroů a odhaduté orelačí oeficiety ezi ii. U obiovaých stadardích eistot se uvádí: hodoty stadardích eistot typu A a typu B, teré se podílely a obiovaé eistotě, doložeé iforace o uvedeých eistotách. U rozšířeých stadardích eistot se uvádí: hodota obiovaé eistoty a oeficiet U, při výpočtu oeficietu rozšířeí též etodu a uvažovaou ofidečí úroveň. Jestliže se pro staoveí eistot používá orativí literatura, uvede se a pa iž eí uté uvádět iforace obsažeé v této literatuře. 6

7 Zpracováo podle J.Vítovce, ČMS a ory TPM : Staoveie eistôt pri eraiach. 7