Deformační metoda v nelineární mechanice VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ. Téma disertační práce:

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Tém dsertční práce: Deformční metod v nelneární mechnce Předládá: Šoltel: Ktedr: Ing. Len Kouová Doc. Ing. Petr Jns, CSc. 8 Ktedr stvení mechny Ostrv

2 Deformční metod v nelneární mechnce Astrt Nelneární nlýz onstrucí je jž řdu let předmětem soustvného výzumu. Vzhledem e složtost prolemty jde o tém stále tuální. Tto práce se změřuje n využtí oecné deformční metody př nelneárních výpočtech. Zývá se geometrcy, onstručně fyzálně nelneárním úlohm, přčemž znčná část je změřen především n určení deformčního stvu ocelových olouových výztuží. V první ptole je formulován cíl práce, což je vyprcování postupů pro nelneární řešení něterých typů rovnných prutových onstrucí z použtí oecné deformční metody. Druhá ptol pojednává o důležtost respetování geometrcé fyzální nelnerty př sttcém řešení onstrucí. Třetí ptol referuje o přístupu součsných norem nelneárním výpočtům, seznmuje se stávjícím poznty nstňuje něteré dosud známé způsoy řešení. V ptole čtvrté je popsán podstt oecné deformční metody. Pátá ptol je věnován geometrcy nelneárnímu řešení. Je zde popsáno použtí prncpu jednotových momentů pro výpočet onečných deformcí. Tento prncp je následně plován př nelneárním řešení rovnných prutových onstrucí. Dále je zde uvedeno geometrcy nelneární řešení soustv ruhových olouů. Šestá ptol se zývá úlohou onstručně nelneární. Numercy se zde řeší nosní n pružném podldu. Sedmá ptol se věnuje fyzálně nelneárnímu řešení. Nejdříve pojednává o určení ohyové tuhost EI v závslost n ohyovém momentu M následně v závslost n reltvním ntočení dϕ. Dále je zde popsáno geometrcy fyzálně nelneární řešení ocelových olouových výztuží. N onc ptoly je toto řešení rozšířeno, do výpočtu je zhrnut nterce výztuže oolní hornny (exstence psvních sl). Osmá ptol shrnuje dosžené výsledy, z nchž jsou následně formulovány závěry, omezení doporučení pro dlší rozvoj prolemty.

3 Deformční metod v nelneární mechnce Astrct Non-lner nlyss of structures hs een studed for mny yers. It stll remns to e n mportnt re of reserch. The thess s focused on use of dsplcement method n non-lner soluton. It dels wth the geometrclly, structurlly nd physclly non-lner solutons. The consderle prt s devoted to determnton of steel rc renforcement deformton stte. The m of the wors s defned n the frst chpter. It s elorton of procedure for non-lner nlyss of plnr r structures; the dsplcement method s utlzed. The second chpter dscusses the mportnce of ncludng the geometrcl nd physcl non-lnerty nto the sttc nlyss of structures. The thrd chpter revews pproches tht re used n techncl stndrds for nonlner solutons nd t lso revews current nowledge n the feld nd t outlnes some of the currently used methods of soluton. The prncple of dsplcement method s summrzed n the fourth chpter. A geometrclly non-lner soluton s defned n the ffth chpter. The pplcton of unt moments prncple for the fnte deformton computton s descred. Ths prncple s ppled to non-lner soluton of plnr r structures susequently. Further the geometrclly non-lner soluton of steel rc renforcement s ntroduced. The sxth chpter descres the structurlly non-lner nlyss. The numercl soluton of em on elstc foundton s presented. Physclly non-lner soluton s shown n the seventh chpter. At frst t dels wth determnton of the endng stffness EI n dependence on the endng moment. In consequence t dels wth determnton of the stffness EI n dependence on the reltve rotton dϕ. Further the geometrclly nd physclly non-lner soluton of steel rc renforcements s ntroduced. Ths soluton s further extended y ncluson of the nfluence of pssve forces. The eghth chpter summrzes results of the wor. Conclusons nd recommendtons for future development of the feld re formulted susequently.

4 Deformční metod v nelneární mechnce Poděování Děuj svému šoltel doc. ng. Petru Jnsov, CSc. z vedení práce, přínosné náměty, přpomíny prác z trpělvost, se terou t dlouho čel n doončení mé dsertční práce. Dále děuj svému muž Honzov z vešerou tolernc trpělvost př doončování dsertční práce. Té ych rád poděovl olegov doc. ng. Jřímu Brožovsému, Ph.D. z jeho přpomíny prác z posytnuté podldy.

5 Deformční metod v nelneární mechnce Osh: Cíl dsertční práce... Úvod... 3 Přehled součsného stvu prolemty Podstt oecné deformční metody Geometrcy nelneární řešení Využtí prncpu jednotových momentů pro určení onečných deformcí Prncp řešení Aproxmce zdeformovného prutu pomocí dílů ruhového tvru Aproxmce zdeformovného prutu pomocí dílů přímého tvru Příldy výpočtů Prncp jednotových sl Využtí prncpu jednotových momentů pro řešení rovnných onstrucí oecnou deformční metodou Prncp řešení Příld Využtí oecné deformční metody pro geometrcy nelneární řešení soustv ruhových olouů Geometrcá nlýz onstruce Postup řešení pomocí oecné deformční metody Použtí relxčního součntele η Řešené příldy Konstručně nelneární řešení Využtí oecné deformční metody pro numercé řešení nosníu n pružném podldu Tvor výpočtového modelu Postup řešení Řešené příldy Fyzálně nelneární řešení Určení ohyové tuhost EI v závslost n ohyovém momentu M Fyzální nelnert př neměnném tvru průřezu Fyzální nelnert př proměnném tvru průřezu Určení ohyové tuhost EI v závslost n reltvním ntočení dϕ Postup určení síly P v závslost n průhyu středu nosníu w s Postup určení tuhost EI v závslost n reltvním ntočení dϕ...64 v

6 Deformční metod v nelneární mechnce 7..3 Výsledné hodnoty efetvních tuhostí EI Srovnání zísných výsledů s hodnotm zísným pomocí progrmu ANSYS Geometrcy fyzálně nelneární řešení ocelových olouů Prncp řešení Řešený příld Nelneární řešení ocelové olouové výztuže př exstenc psvních sl Mtce tuhost soustvy K Postup výpočtu Řešené příldy Srovnání výsledů zísných pomocí uvedeného nelneárního řešení s výsledy zoušy důlních výztuží Pops vytvořeného softwru Závěr Možné směry dlších prcí Ltertur...4 Seznm utorových pulcí...6 Seznm orázů...8 Seznm tule... v

7 Deformční metod v nelneární mechnce Přehled použtého znčení A C D E EI F F F x F z H I K M M M N P P z R R ploch průřezu oefcent stlčtelnost podloží pružnoplstcá mtce tuhost mterálu Youngův modul pružnost v thu/tlu ohyová tuhost průřezu (součn modulu pružnost momentu setrvčnost) ztížení, osmělé řemeno ztěžovcí vetor soustvy svslé ztížení vodorovné ztížení vzepětí olouu moment setrvčnost průřezu mtce tuhost soustvy ohyový moment ohyový moment způsoený zdných ztížením ohyový moment způsoený jednotovým ztížením normálová síl ztížení, osmělé řemeno hodnot ztížení zísná ohyovou zoušou poloměr olouu prmární vetor soustvy R vetor gloálních prmárních oncových sl Rˆ vetor gloálních seundárních oncových sl R vetor gloálních oncových sl * R vetor loálních oncových sl S T X d f y střed olouu trnsformční mtce slož oncových sl podporový od, oznčení styčníu šíř průřezu, podporový od dél přeplátování olouů mez luzu h výš průřezu ; j pořdové číslo dílu, část číslo terčního rou gloální mtce tuhost * loální mtce tuhost l dél nosníu, prutu v

8 Deformční metod v nelneární mechnce m počet ruhových dílů n počet dílů, částí n o n p poloh neutrální osy stupeň přetvárné neurčtost q ntenzt rovnoměrného spojtého ztížení r poloměr zřvení r gloální vetor prmetrů deformce r vetor gloálních slože deformcí prutu s dél dílu u vodorovný posun w svslý posun x; y; z souřdnce, oznčení souřdncové osy α oznčení úhlu δ přetvárný (deformční) součntel δ prmetr vodorovné deformce ε poměrné přetvoření ε přesnost výpočtu γ ntočení prutu η relxční součntel ξ prmetr svslé deformce σ vetor normálového npětí ϕ pootočení ω oznčení úhlu ψ slon dílu v

9 Deformční metod v nelneární mechnce Cíl dsertční práce Cílem práce je vyprcovt postupy pro nelneární řešení něterých typů rovnných prutových onstrucí z použtí oecné deformční metody n záldě těchto postupů zprcovt progrmy v prostředí Mcrosoft Excel pomocí progrmovcího jzy Vsul Bsc. Progrmy, teré udou vytvořeny pro ždý typ řešené úlohy, udou následně použty řešení příldů. Práce se zývá hlvně geometrcy nelneárním úlohm, přčemž se předpoládjí velé deformce, tzn. deformce řádově srovntelné s rozměry onstruce. U něterých typů onstrucí, zejmén olouových, je počítáno s fyzální nelnertou. V úlohách, de vstupuje do výpočtu podloží onstruce, je respetován onstruční nelnert. Práce je změřen především n určení deformčního stvu onstruce. Znčná část práce je věnován ocelovým olouovým výztužím určení jejch prcovně - deformční chrtersty. Ačol je většn onstrucí, n nchž je v prác řešení prováděno, ocelová, metody postupy zde prezentovné lze v prncpu použít řešení rovnných prutových onstrucí z oecného mterálu, terý umožňuje j pružné, t plstcé deformce.

10 Deformční metod v nelneární mechnce Úvod U ěžných onstrucí se výpočet čsto zjednodušuje tím se zrychluje jejch sttcé řešení. Podmíny rovnováhy se sestvují pro nedeformovnou onstruc. Znedávjí se vznjící deformce, př nchž se mterál jž nechová pružně. Předpoládá se pltnost ěžně upltňovných prncpů, jo je Hooův záon lneární závslost mez npětím přetvořením, Bettho vět o vzájemnost vrtuálních přetvárných prcí, Mxwellov vět o vzájemnost přetvoření, č prncp superpozce slových účnů. Dále se předpoládá té ooustrnné půsoení vze. U něterých onstrucí vš výpočet nelze zjednodušt. Př vznu nemlých deformcí je zpotřeí respetovt geometrcou nelnertu, výpočet y měl ýt proveden podle teore onečných (velých) deformcí. V úlohách, de dochází nterc onstruce s oolním prostřením, y se měly respetovt jednostrnné vzy, teré v určtých stucích půsoí npř. jen v tlu. Tzn. mělo y se počítt s onstruční nelnertou. Poud nvíc vznjí deformce, př nchž se jž mterál nechová pružně závslost mez npětím deformcí v určtých úsecích není lneární, p je nutné uvžovt nelnertu fyzální. Jo příld onstrucí, de ezesporu dochází výrzným deformcím, lze uvést ocelové olouové výztuže. U těchto onstrucí p znlost výsledné deformce olouu, terou lze sndno změřt, může sloužt jo výchozí prmetr nverzní úlohy, př níž z deformcí usuzujeme n velost ztížení, teré je způsolo.

11 Deformční metod v nelneární mechnce 3 Přehled součsného stvu prolemty Dříve se př vyšetřování onstrucí vycházelo pouze z předpoldu lneární odezvy n ztížení [3]. N onc 6. let. století došlo ntenzvnějšímu rozvoj výpočetní techny moderních výpočetních metod (zejmén metody onečných prvů - MKP) v následujících desetletích p yly vyvíjeny postupy řešení nelneárních úloh MKP. Metod MKP [] se zývá řešením fyzálně geometrcy nelneárních úloh. Doáže řešt čsově závslé nezávslé úlohy fyzální nelnerty. Z čsově nezávslých řeší úlohy jo jsou nelneární pružnost, plstct (deální pružnoplstcý mterál, zpevnění, podmíny plstcty), lomová mechn. Z čsově závslých úloh se zývá vsoelsctou, vsoplstctou, dotvrováním, smršťováním, tečením j. Geometrcé nelnerty se vzthují nelnertám v onstrucích neo prvcích vedoucích e změně geometre (jejch vychýlení). Mtce tuhost K je funcí vetoru posunutí u. Změnu tuhost způsoují změny průřezových chrterst /neo ntočení mterálu. Progrm ANSYS, terý používá prncp metody MKP, počítá se čtyřm typy geometrcých nelnert []:. Velá přetvoření předpoldem je, že přetvoření není neonečně mlé. Počítá se zde se změnou průřezu (ploch, tloušť, td.). Posunutí pootočení mohou ýt lovolně velá.. Velá ntočení předpoládjí se velá ntočení, le poměrné deformce jsou vyhodnocen z použtí lneárních výrzů. U onstruce se nepředpoládá změn tvru. 3. Npěťová ztužení předpoldem jsou mlá přetvoření ntočení. K zísání něterých nelneárních účnů ntočení je zde použt proxmce. řádu. 4. Rotční změčení té předpoládá, že oojí, přetvoření ntočení jsou mlá. Tto možnost zpočítává rdální pohy hmoty. Co se týá součsných norem, t ty lze použít př nelneární nlýze onstrucí očs velm otížně. Př řešení fyzálně nelneárních úloh je zejmén nutné výstžným způsoem defnovt mterálové modely zohlednt u nch zejmén nelneární chrter prcovních dgrmů. Pro návrh etonových onstrucí jsou v normách uvedeny zjednodušující modely, teré nhrzují zejmén složtou závslost mterálových vlstností onstruce n vnějších vlvech jednoduchým, čsto lneárním funcem. Výpočet s použtím těchto modelů je sce jednoduchý, rychlý je možno jej provést ez využtí výpočetní techny, le nvržené onstruce jsou p předmenzovány. 3

12 Deformční metod v nelneární mechnce Př vznu trhln v etonových onstrucích lze dle norem stnovt ohyovou tuhost prvů s trhlnm, prolémem vš zůstává určení výsledného stvu deformcí vntřních sl př postupném vznu rozvíjení se trhln [5]. U ocelových onstrucí se částečné využtí plstcých vlstností mterálu upltňuje v česých normách už od 4. let. století. Teore plstcty je zomponován pevně do následujících norem. Zývjí se především zhrnutím plstcého výpočtu do posouzení mezního stvu únosnost. U mezního stvu použtelnost už není vlv plstzce omentován ntol osáhle. Př posuzování průhyů v pružnoplstcém stvu lze součsné normy použít jen otížně. Hodnoty mezních průhyů zde uvedené jsou sce hodnoty doporučovné, le odpovídjí pružnému půsoené onstruce. Proto se př jejch respetování v rámc posudu mezního stvu použtelnost musí zvolt tové dmenze prvů, u terých vzn plstcých deformcí př dném ztížení prtcy vůec nenstne [4]. Poud ychom hledl v součsné ltertuře nelneární řešení prutových onstrucí, nšl ychom npříld řešení od J. Bendy []. Toto řešení je přímo zhrnuto v deformční metodě spočívá v tom, že sttcé podmíny rovnováhy se sestvují pro onstruc deformovnou, přčemž se respetují zejmén deformcí způsoené délové změny rmen sl př výpočtu sttcých momentů těchto sl. Tzn. že př řešení je rán v úvhu ohyový moment způsoený osovou slou N n rmen průhyu w, tže známá dferencální rovnce pro ohyovou čáru má p tvr d w * dx M + Nw d w + * EI dx = N EI w = + M EI. () Dlší řešení uvedené v [8] té sestvuje sttcé podmíny rovnováhy pro deformovnou onstruc. U tohoto řešení je vnější ztížení doplněno o účne evvlentního ztížení, teré je důsledem deformovného tvru onstruce. Spojté evvlentní ztížení f ev je odvozeno z podmíny evvlence sl půsoících n dferencální element dély x deformovného prutu. f ev ( x + x) dw( x) dw d w,, x + N + = f ev = N = Fw ( x) dx dx () dx Tto dvě řešení uvedené v [] [8] předpoládjí pro zjednodušení úlohy, že řešená prutová onstruce oshuje jen přímé pruty stálého ( nol tenostěnného) průřezu, teré nejsou po své délce ztíženy žádným zdným osovým ztížením. Oě řešení yl využt řešení příldů v utorčně dplomové prác [8] ylo zjštěno, že fungují jen pro mlé deformce. Pro výpočet dle teore velých deformcí je tedy nelze upltnt. Poud ychom hledl nelneární řešení olouů, nlezl ychom řešení M. Psotného. Ten se v [7] zývá geometrcy nelneárním řešením plochého olouu. N onrétním 4

13 Deformční metod v nelneární mechnce příldě uzuje řešení deálního mperfetního olouu, jehož výsledem jsou řvy závslost průhyu ve vrcholu olouu n ztížení. Zoumá té mechnsmus prolomení onstruce. Přínosem tohoto řešení je zorzení energetcých hldn jednotlvých ztěžovcích drh, teré dotváří orz o půsoení onstruce ve fáz prolomení. Co se týá zhrnční ltertury, t řešení nelneárních úloh ychom nšl npříld v [], [], [3], [4] neo v [5]. 5

14 Deformční metod v nelneární mechnce 4 Podstt oecné deformční metody Oecná deformční metod (dále ODM) je metod nepřímá, terá řeší nejprve deformční stv prutové onstruce z něho p odvozuje sttcý stv [9]. Volí z neznámé přetvárně (deformčně) neurčté velčny. K určení neznámých prmetrů deformce (slože přemístění) uzlů jo výchozích hodnot pro stnovení vntřních sl prutů využívá sttcé podmíny rovnováhy uvolněných styčníů. F F x z M = = (3) y = Rovnce (3) se oznčují jo styčníové rovnce (v zoecnělém tvru) jejch počet je dán počtem neznámých prmetrů deformce. Celový počet neznámých přemístění u, w ntočení ϕ styčníů prutové soustvy udává stupeň přetvárné neurčtost soustvy n p. Pro stnovení stupně přetvárné neurčtost n p rovnné prutové onstruce lze použít vzth n = 3 t + + p, (4) p p v de t počet monoltcých (tuhých) styčníů, počet louových styčníů, p počet jednoduchých posuvných podepření, p v počet vnějších vze (přepočtených n jednonásoné vzy). Sestvené podmíny rovnováhy ještě neumožňují výpočet neznámých slože přemístění. Tyto neznámé složy totž ztím nejsou v rovncích uvedeny explctně t, y je ylo možno vyřešt jo ořeny soustvy rovnc. Aychom tedy mohl prutovou soustvu řešt oecnou deformční metodou, musíme nejprve provést nlýzu všech prutů, z nchž se prutová soustv sládá. Nejdříve řešíme prmární stv ždého prutu. O oncové uzly prutu, zcel znehyníme (tj. prohlásíme všech šest jejch slože přemístění z nulové). Tím změníme prut v tomto přípdě n ooustrnně doonle vetnutý nosní, n terém ponecháme zdné ztížení. Řešením ooustrnně vetnutého nosníu vypočteme odpovídjící složy ntercí, teré nzveme prmární složy ntercí X, Z, M, X, Z, M. Poud není n zoumném prutu zdáno žádné ztížení, není prut v prmárním stvu nj nmáhán všechny jeho prmární složy ntercí jsou nulové. 6

15 Deformční metod v nelneární mechnce Poté řešíme seundární stv ždého prutu. Z prutu odstrníme zdné ztížení oncovým uzlům prutu, udělíme jejch složy přemístění (oecně, neoť jejch velost ztím neznáme). Tím se do jn neztíženého prut vnese deformce. Řešením tohoto deformčního ztěžovcího stvu prutu vyjádříme oecně tzv. seundární složy ntercí jo lneární funce slože přemístění. ^ X ^ Y M X ^ ^ ^ Z ^ M = = = = = 5 = 4 u u 3 u 6 u u u w w w w w w ϕ ϕ ϕ + ϕ + ϕ + 63 ϕ u u 34 u 64 u u u w w w w w w ϕ 46 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (5) Konstnty úměrnost j ( =,, 6; j =,, 6) (v onrétním přípdě číselně určené) jsou tuhostní součntelé. Sečtením prmárního seundárního stvu zísáme vzorce pro gloální složy ntercí. X Z M X Z M = X = Z = X = Z = M = M u 4 u u 3 u 6 u u w w 3 4 w 6 w w w + ϕ ϕ ϕ + ϕ + ϕ + 63 ϕ u u u u 64 u u w w 35 w 65 w w + ϕ w ϕ ϕ ϕ ϕ 66 ϕ (6) Tyto vzorce lze přehledněj zpst v mtcovém tvru. Z tímto účelem defnujeme tyto mtce:. sloupcový vetor výsledných gloálních slože ntercí prutu { X Z M X Z M } T R = (7). sloupcový vetor prmárních gloálních slože ntercí prutu { X } T Z M X Z M R = (8) 3. sloupcový vetor gloálních slože uzlových přemístění prutu { u w ϕ u w ϕ } T r = (9) 7

16 Deformční metod v nelneární mechnce 4. gloální mtce tuhost prutu = () Pomocí mtc (7) ž () p lze vzorce (6) zpst jednou mtcovou rovncí (). R R + = r () Cílem nlýzy prutu je tedy určení gloálních ojetů ždého prutu, tj. gloálního vetoru prmárních oncových sl R gloální mtce tuhost prutu. Po uončení nlýzy prutů lze přstoupt tzv. nlýze prutové soustvy, pomocí teré zísáme řeštelnou soustvu n p lgercých rovnc, teré, j jž ylo řečeno, vyjdřují sttcé podmíny rovnováhy pro všechny uzly řešené prutové soustvy. V mtcové formě můžeme tuto soustvu rovnc zpst ve tvru K r = F, () de K je symetrcá čtvercová mtce soustvy rovnc řádu n p sestvuje se z gloálních mtc tuhost jednotlvých prutů. Vzhledem e svému fyzálnímu význmu se mtce K nzývá mtcí tuhostí prutové soustvy. Vetor r předstvuje gloální vetor prmetrů deformce prutové soustvy rozměru n p oshuje všechny hledné složy přemístění uzlů celé onstruce. Vetor F n prvé strně soustvy rovnc oznčuje ztěžovcí vetor prutové soustvy. Má ty rozměr n p vytvoří se superpozcí dvou vetorů stejných rozměrů. F = S R (3) V této rovnc vyjdřuje S gloální vetor uzlového ztížení oshuje hodnoty dného ztížení v uzlech, půsoící ve směrech ldných smyslech ždého z gloálních prmetrů deformce r. Vetor R je prmární vetor prutové soustvy sestvený z gloálních prmárních vetorů R jednotlvých prutů. Ay ylo možné sestvt mtc tuhost K vyšetřovné prutové soustvy její výsledný vetor R, je nutné prvy mtc vetorů R jednotlvých prutů onstruce R prutů lolzovt. Lolzcí nzýváme umístění příslušných prvů mtc vetorů n odpovídjící míst mtce K vetoru R prutové soustvy. 8

17 Deformční metod v nelneární mechnce Uzly podporové ody v prutové soustvě se lovolně očíslují. Jednotlvým uzlům podporovým odům přřdíme trojc čísel pro tř prmetry deformce v ždém uzlu. V podporových odech, de jsou předepsány úložné podmíny, se vázným prmetrům deformce místo čísl přřdí nul. Nejěžnější je postup lolzce pomocí ódového čísl prutu. Je to šestce čísel, terá jednoznčně defnuje gloální prmetry deformce v oou oncích ždého prutu. Podle orentce prutu se ódové číslo vytvoří z trojc čísel defnujících gloální prmetry deformce v počátečním oncovém uzlu prutu. Číslce v ódových číslech odpovídjí oznčení prmetrů ve vetoru r. Pořdové číslo, teré má uvžovná gloální slož vetoru r prmetrů deformce prutové soustvy se nzývá lolzční ndex. Dvojce lolzčních ndexů tvoří u mtce v podsttě dresu, podle níž lze prve mtce jednoznčně přřdt. Lolzce s použtím ódových čísel proíhá t, že lolzční ndexy příslušného ódového čísl oznčíme řády sloupce gloální mtce tuhost ždého prutu. Podle lolzčních ndexů, j p umístíme prve j z mtce do příslušné pozce mtce K. Podoně jo lolzce mtc tuhostí proíhá lolzce prvů gloálních prmárních vetorů R se upltní pro oznčení řádů vetoru. Rozdíl je v tom že se jedná pouze o jeden sloupec ódová čísl R. Vyřešením soustvy rovnc () zísáme pro dný ztěžovcí stv vetor deformcí celé prutové soustvy r. { u w ϕ u w ϕ... ϕ } T r = u n w n (4) n Pro ždý prut soustvy vyereme z použtí ódových čísel z vetoru deformcí r celé prutové soustvy rozměru n p příslušné složy přemístění vytvoříme vetor gloálních slože deformcí prutu r, terý má rozměr 6. { u w ϕ u w ϕ } T r = (5) Dlším roem výpočtu je určení vetoru gloálních oncových sl ždého prutu R R + = r. (6) Pro určení vntřních sl (tzn. normálových, posouvjících sl ohyových momentů) je p zpotřeí trnsformovt tento gloální vetor oncových sl R do loálního systému, čímž zísáme loální vetor oncových sl * * R prutu. * * * * * * { X Z M X Z M } T R = (7) 9

18 Deformční metod v nelneární mechnce T je trnsformční mtce, terá má tvr R = T R (8) T cosγ sn γ = sn γ cosγ cosγ sn γ sn γ cosγ, (9) de γ je ntočení prutu. [ ] x z γ x z * z [ ] x z x * Or. ) Loální gloální souřdncová soustv Pozn. Pro geometrcý pops onstruce jo celu používáme gloální prvoúhlou souřdncovou soustvu x, z. Pro usndnění nlýzy jednotlvých prutů zvádíme loální souřdncovou soustvu x *, z * pro ždý vyšetřovný prut.

19 Deformční metod v nelneární mechnce 5 Geometrcy nelneární řešení Pro zjednodušení vysvětlení postupu geometrcy nelneárního řešení ztím předpoládáme, že mterál, z něhož jsou zhotoveny pruty, je lneárně pružný. To znmená, že deformce prutů se řídí Hooeovým záonem po odtížení onstruce deformce zcel vymzí. Řešení je tedy proztím úloh fyzálně lneární. 5. Využtí prncpu jednotových momentů pro určení onečných deformcí 5.. Prncp řešení Podle teore onečných deformcí se podmíny rovnováhy sestvují pro deformovnou onstruc. Respetuje se tedy vlv posunů pootočení n velost slových velčn, přčemž tyto deformce jsou řádově srovntelné s délm prutů. Pro určení těchto deformcí (horzontálního vertálního posunutí u, w) lze použít prncp vrtuálních prcí (jednotových momentů) terčního postupu výpočtu [3]. F z F x n 3 z x [,] Or. ) Schém vetnutého prutu Prvním roem tohoto postupu je rozdělení prutu dély l n n stejných dílů. Pro ždý -tý díle se určí moment od zdného ztížení M,. Umístěním jednotového momentu v j-tém dílu zísáme pro ždý -tý díle moment M,,j. Pomocí numercé ntegrce p zísáme pro ždý díle jeho pootočení M M M,, j M, j ϕ = ds j, () EI l n, ds = EI j = de EI je ohyová tuhost prutu. Po určení pootočení ždého dílu prutu lze určt normálovou sílu N z její pomoc p novou délu jednotlvých dílů ds, terá je zmenšen j

20 Deformční metod v nelneární mechnce neo zvětšen dle Hooov záon o účne normálové síly. Př této. terc máme pro ždý -tý díle jeho pootočení délu. Následovně můžeme určt jeho posunutí ve vertálním horzontálním směru dvěm způsoy, teré jsou uvedeny v následujících ptolách. Po zísání nových souřdnc celý tento postup opujeme t dlouho, doud nedostneme poždovnou přesnost řešení ε, terá je dán rozdílem hodnot prmetrů deformce u, w ve dvou následujících tercích. 5.. Aproxmce zdeformovného prutu pomocí dílů ruhového tvru Př tomto řešení jednotlvé deformovné díly dély ds nhrdíme ruhovým olouy o poloměru R. ϕ Detl -tého dílu F x n 3 F z 3 n S n S 9 S 3 ω / ω R S [x s, z s, ] α α, S S Or. 3) Deformovný prut, proxmce prutu pomocí ruhových dílů Kždý díle je chrterzován úhlem ω, dále p slony α α, (úhel α udává slon přímy spojující příslušný střed olouu S od ležící n středu dély -tého olouu, ztímco α, udává slon přímy spojující příslušný střed olouu S oncový od -tého olouu), středem S [x s, z s, ] jeho poloměrem R. ( ϕ ϕ ) ω = ω () x = ± s, x, R cosα, () z α (3) s, = tn, ( xs, x, ) + z, R ds = (4) ω

21 Deformční metod v nelneární mechnce Př určování nového tvru prutu postupujeme od odu ve vetnutí, terý má nulové prmetry deformce ž volnému onc. Pomocí průnů ružnc příme určíme nové souřdnce středů dílů x, z onců dílů x,, z,, z nch p odvodíme jejch příslušné vodorovné svslé posuny u, w. x = x R cosα (5) s, z tn ( x xs, ) + zs. = α (6) x, xs, R cosα, = (7) z, tn, ( x, xs, ) + z s. = α (8) 5..3 Aproxmce zdeformovného prutu pomocí dílů přímého tvru U tohoto postupu předpoládáme, že jednotlvé díly mjí tvr přímy. Po ztížení se prut ohýá proto se musí prut rozdělt n dosttečný počet dílů pro dosžení potřené přesnost řešení. F z F x n 3 3 ϕ ϕ n Or. 4) Deformovný prut, proxmce prutu pomocí přímových dílů Opět postupujeme od odu ve vetnutí, terý má nulové prmetry deformce, ž volnému onc. Pomocí gonometrcých funcí určíme nové souřdnce středů dílů x, z onců dílů x,, z,, z nch p odvodíme jejch příslušné vodorovné svslé posuny u, w. x ds ϕ = x, + sn (9) z ds ϕ = z, + cos (3) 3

22 Deformční metod v nelneární mechnce x z = ds snϕ (3), x, +, z, + = ds cosϕ (3) 5..4 Příldy výpočtů Z výsledů výpočtů vyplývá, že př mlém počtu dílů se řešení uvedená v předcházejících ptolách lší, le př vyšším počtu dílů jsou výsledy téměř shodné. Toto tvrzení je vdět z tuly, de jsou uvedeny výsledy posunutí u w volného once vetnutého prutu ztíženého slm F x = F z = N (l = 6m, EI = Nm ). tvr počet dílů přím olou u [m] 4,56 4,344 4,5 4,34 4,6 4,9 w [m],44,3,8,7,53,4 u [m] 4,458 4,38 4, 4,33 4,6 4,89 w [m],46,37,9,7,53,4 T. ) Závslost přesnost řešení n tvru dílů 4,6 4,5 4,4 hodnot u [m] 4,3 4, 4, 4 3,9 3, počet dílů přím olou Or. 5) Závslost vodorovného posunu n počtu dílů Pomocí jednotových momentů ylo řešeno něol příldů pulovných v [], de je té jejch přesné řešení dosžené v roce 979 K. Mttssonem n unverztě v Göteorgu (Švédso) pomocí elptcých ntegrálů, teré vychází z přesné rovnce pro průěh úhlu slonu tečny ϕ rovnné úlohy ohyu prutu ez vlvu osových smyových sl dále p řešení pomocí progrmu NODEF (MKP). 4

23 Deformční metod v nelneární mechnce Bylo řešeno celem šest příldů (or. 6): osmělý moment M n volném onc, l = m, průřez,5 x mm, EI =,9 Nm, M =,9 Nm osmělá horzontální síl F stálého směru n volném onc, l = 3 m, EI = 749,93 Nm, F = 94,436 N osmělá síl F stále olmá tečně ohyové čáry n volném onc, l = 3 m, EI = 749,93 Nm, F = 94,436 N řemeno R o stálých složách F z = F (tlová) F x =,F, l = 3 m, EI = 749,93 Nm, F = 94,436 N horzontální řemen F =,85F v,564l F =,35F n volném onc, l = 3 m, EI = 749,93 Nm, F = 94,436/, N = 88,38 N řemeno R o stálých složách F z = F (thová) F x = F n volném onc, l = 3 m, EI = 749,93 Nm, F = 94,436 N M F F F M F R,F F R,35F,35F F F R,85F,564l,85F R Or. 6) Schémt ztížení pro 6 řešených příldů 5

24 Deformční metod v nelneární mechnce Z výsledů vypočtených deformcí volného once onzoly uvedených v t. je ptrné, že řešení pomocí jednotových momentů ( znčeno v tulce MJM) lze povžovt z přesné. Pro toto řešení yl použt vždy počet dílů 5. Přesnost yl zdán ε =,m. V tulce výsledů znmená n počet provedených tercí. U výpočtů pomocí jednotových momentů yl u něterých příldů pro urychlení výpočtu, tj. snížení počtu tercí, použt př řešení relxční součntel η, terý se používá výpočtu modfovného ntočení ϕ mod ( η) ϕ mod,, = η ϕ mod,, + ϕ,, (33) de uvádí číslo terce, ϕ, je pootočení -tého dílu vypočtené v -té terc. Z grfu n or. 7 je ptrné, že př použtí nenulového relxčního součntele η podsttně lesl počet tercí. Př η =, dy se prutu přčítá plná hodnot vypočtených deformcí vypočtená v -té terc, se hodnoty u, w pohyují olem určté hodnoty, le onvergují velm pomlu. Ztímco př η =,5 se hodnoty velm rychle ustálí n výsledné hodnotě. Optmální hodnot relxčního součntele η je pro ždý příld jná. Vol proíhá v závslost n zdné hodnotě mxmálního počtu tercí mx. Poud počet tercí přeročí mx, p se hodnot součntele η zvýší o předepsnou hodnotu (npř.,). Součntel η se pohyuje v rozmezí od do.,,,8 u [m], w [m],6,4,, počet tercí u,.5 w,.5 u, w, Or. 7) Závslost počtu tercí n součntel η (η =.5, η = ) 6

25 Deformční metod v nelneární mechnce Deformce u [m] w [m] ϕ [rd] Příld Přesná hodnot,4597,5853, NODEF, n = 3,4567,5334, MJM, n =,4638,5945, Příld Přesná hodnot,956,699,4635 NODEF, n =,93,7,466 MJM, n = 7,9773,6979,469 Příld 3 Přesná hodnot,963,9,496 NODEF, n =,876,68,47 MJM, n = 4,96468,9398,49586 Příld 4 Přesná hodnot,6659,56,848 NODEF, n =,65,555,844 MJM, n =,67,595,8488 Příld 5 Přesná hodnot,6994,979,3477 NODEF, n =,6634,984,3346 MJM, n = 6,75,984,3467 Příld 6 Přesná hodnot,543,57,64 NODEF, n =,53,57,64 MJM, n =,5437,5786,64 T. ) Tul výsledů příldů -6 7

26 Deformční metod v nelneární mechnce 5..5 Prncp jednotových sl Pro určení deformcí (horzontálního vertálního posunutí u, w) dle teore onečných deformcí nelze doporučt prncp jednotových sl. Výpočty totž uázly, že př velých deformcích nevede tento postup e správným výsledům. Hlvním prolémem, terý př výpočtu nstl, yl změn dély prutu (nepřměřené zrácení neo prodloužení). Tuto sutečnost lze sptřt tře u onzoly, terá je ztížen dle or. 8 n svém volném onc horzontální vertální slou F x = F z, přčemž osttní prmetry prutu jsou dél l tuhost prutu EI. Prut po. terc je vdtelně delší, což vyplývá z toho, že n nevychýleném prutu nevznjí svslé posuny, jen vodorovné, ztímco po. terc je prut pro změnu zntelně rtší. u u F x F z F x F z w z x. terce. terce Or. 8) Deformovný prut po.. terc Tento jev zrcování, přípdně prodlužování prutu lze doázt pomocí jednoduchého mtemtcého postupu. [x + z + ] s [x + z + ] ξ + z [x z ] [x z ] s δ δ + ξ x Or. 9) Prmetry dílu prutu 8

27 Deformční metod v nelneární mechnce Vyjádříme-l souřdnce onců jednoho lovolného dílu prutu v určté terc pomocí totožných souřdnc v předcházející terc, tzn. x δ x = x + δ (34) í + = x + + í + z+ = z + ξ í + z = z í ξ (35) p délu dílu s v této terc lze pomocí Pythgorovy věty podle or. 9 zpst jo s s ( x x ) + ( z z ) = + + (36) ( x + δ x δ ) + ( z ξ z + ξ ) = + í + í + í + í (37) s ( x x ) + ( z z ) + ( δ δ ) + ( ξ ξ ) + ( x x )( δ δ ) ( z z )( ξ ξ ) = + + í+ í í+ í + í+ í + í+ í (38) s = s + δ + ξ + x δ z ξ (39) δ δ í δ í ξ ξ í ξ = + = + í x = x + x z = z + z (4) Poud se hodnoty prmetrů δ, ξ líží nule, což odpovídá mlým deformcím, p je toto řešení oretní. V přípdě, že jsou deformce řádově srovntelné s délm prutů, p jsou tyto hodnoty δ, ξ >> neznedtelné toto řešení nevede e správným výsledům. Tento jev, terý nstává u výpočtu metodou jednotových sl, nenstává u metody jednotových momentů. U této metody zůstává prut stejně dlouhý, přípdně je jeho dél změněn dle Hooov záon o účne normálové síly. Lze tedy říc, že př velých deformcích nelze prncp jednotových sl doporučt. Prmetrcé výpočty uázly, že př deformcích srovntelných s délm prutů vznjí neznedtelné nepřesnost chyy. 9

28 Deformční metod v nelneární mechnce 5. Využtí prncpu jednotových momentů pro řešení rovnných onstrucí oecnou deformční metodou Př lscém řešení oecnou deformční metodou se používjí př nlýze prutu prmární vetory mtce tuhost, teré yly odvozeny dle teore. řádu. Určení vetoru prmárních oncových sl R tuhostních součntelů mtce vede v oecném přípdě n řešení jednoduchého sttcy neurčtého nosníu. Jo záldní soustv se volí prostý nosní. Sttcy neurčté složy oncových sl se určují z použtí prncpu vrtuálních prcí. Nerespetuje se zde tvr prutu po ztížení používá se prncp jednotových sl, terý vš, j ylo dříve uvedeno, nelze př vznjících velých deformcích doporučt [36]. 5.. Prncp řešení Uvžujeme prut s oncovým ody,. Prmární vetor R gloální mtc tuhost prutu sestvíme s použtím prncpu jednotových momentů respetováním sutečného tvru prutu po ztížení. V prvním přípdě povžujeme prut z ooustrnně doonle upnutý půsoí n něj dné ztížení. Tento přípd oznčujeme jo prmární stv. Řešením ooustrnně doonle vetnutého nosníu určíme prmární vetor. Hodnoty prmárního vetoru se lší podle zdného slového ztížení. V druhém přípdě n prut nepůsoí žádné ztížení oncovým odům, prutu udělíme ztím neznámé oncové deformce u, w, ϕ, u, w, ϕ. Tento přípd oznčujeme jo seundární stv. Prut se od deformčního ztížení přetvoří, což vyvolá seundární oncové síly. V ždém deformčním stvu održíme šestc oncových sl jejch uspořádáním p čtvercovou mtc tuhost. V prmárním stvu o oncové uzly povžujeme z nehyné n prut půsoí dné slové ztížení. V seundárním stvu uvžujeme neztížený prut oěm oncům prutu udělíme loální složy prmetrů deformce, což způsoí přetvoření prutu vyvolá vntřní síly v prutu. V oou přípdech je úloh třrát sttcy neurčtá upltníme př řešení tř přetvárné podmíny zývjící tř složy oncových sl dořešíme z podmíne rovnováhy. Určení vetoru prmárních oncových sl tuhostních součntelů mtce tuhost vede tedy v oecném přípdě n řešení jednoduchého sttcy neurčtého nosníu. Jo záldní soustvu zvolíme prostý nosní. Použjeme zde numercé řešení, teré je možno použít pro řešení prutů jéhoolv tvru průřezu, tzn. lze řešt zřvené pruty proměnného průřezu. Podstt tohoto řešení je v rozdělení jednotlvých prutů n velý počet mlých úseů, teré se p povžují z přímy onstntního průřezu. Uvžujeme zřvený prut s oncovým ody,.

29 Deformční metod v nelneární mechnce x z c > X X 3 X 3 l X Or. ) Prut oecného tvru Průmět vzdáleností oou onců do osy x oznčíme rozpětím l zřveného prutu. Lší se od dély zřveného prutu, terá je závslá n func střednce prutu. Výšový rozdíl c oncových odů, povžujeme z ldný, je-l prvá podpor výše než levá. Sttcy neurčté složy oncových sl X, X X 3 (or. ) určíme z použtí prncpu jednotových momentů, přčemž upltníme tř deformční podmíny (4). u = ϕ = (4) ϕ = Prvním roem tohoto postupu je určení deformcí X u, ϕ, ϕ od jednotových X X ztížení X, X, X 3. Prut rozdělíme n n stejných dílů. Pro ždý j-tý díle se určí od jednotového ztížení moment M X, j normálová síl N X, j. Umístěním jednotového momentu v -tém dílu zísáme pro ždý j-tý díle moment M, j normálovou sílu j N,. Součnem zísných momentů normálových sl, následnou sumcí p zísáme pro ždý díle jeho pootočení ϕ,vyp. M M N, j N X, j ϕ, vyp = s j (4) EA n, j n X, j s j + j= EI j j= j x z ϕ j s j j [x j z j ] z j x j Or. ) Detl j-tého dílu

30 Deformční metod v nelneární mechnce Po určení pootočení ždého dílu určíme novou délu jednotlvých dílů s j, terá je zmenšen neo zvětšen dle Hooov záon o účne normálové síly. Máme tedy pro ždý j-tý díle jeho pootočení délu. Následně můžeme určt jeho posunutí ve vertálním horzontálním směru. Po zísání nových souřdnc celý tento postup opujeme t dlouho, doud nedostneme poždovnou přesnost řešení ε, terá je dán rozdílem hodnot posunutí ve dvou následujících rocích. Nonec p z nově zísných souřdnc určíme deformce X u, ϕ, ϕ od jednotových ztížení X, X, X 3. X X Tyto hodnoty vypočtených deformcí uspořádáme do čtvercové mtce δ. X u X δ = ϕ X ϕ u ϕ ϕ X X X u ϕ ϕ X X X (43) Druhým roem je určení deformcí zt u, ϕ, ϕ od dného ztížení, teré je n zt zt prutu umístěno. Postupujeme stejně jo v prvním rou, jen místo momentů normálových sl od jednotových ztížení použjeme moment normálovou sílu od dného ztížení. Održíme p deformce od dného ztížení, teré použjeme určení neznámých velčn X, X, X 3, teré tvoří tř složy prmárního vetoru oncových sl X,, M M. X X X 3 zt zt X u u u u u X X X X X X 3 zt zt δ X = ϕ ϕ ϕ X = ϕ X = M = δ ϕ (44) X X X zt zt X 3 ϕ X X 3 ϕ ϕ 3 ϕ 3 M ϕ Zývjící tř složy prmárního vetoru, Z Z dopočítáme z podmíne rovnováhy. X, def u Dlším roem, terý vede určení mtce tuhost, je postupné určení deformcí, ϕ, ϕ od jednotových oncových deformcí u, w, ϕ, u, w, ϕ (řešíme tedy celem def def šest ztěžovcích stvů). Stejně jo v předcházejícím rou održíme tř složy oncových sl řešením soustvy rovnc, zylé tř složy p z podmíne rovnováhy. X X X 3 X = M M = def u def δ ϕ (45) def ϕ Pro ždý ze šest ztěžovcích stvů zísáme tedy celem šest slože oncových sl jejch uspořádáním p čtvercovou mtc tuhost prutu.

31 Deformční metod v nelneární mechnce Prmární vetor gloální mtc tuhost prutu sestvené pomocí prncpu jednotových momentů s respetování sutečného tvru po ztížení se lší od R určené slovou metodou dle teore. řádu. Rozdíly lze sledovt v uvedeném příldě. 5.. Příld Popsný postup řešení yl použt pro řešení symetrcého rovnného rámu, terý je ztížen spojtým ztížením q = 5 N/m. Rám tvoří pruty onstntního průřezu /h =,/,4m modulu pružnost E = GP [36]. x q z d 4 e 5 f 3 6 m c 5 m 5 m Or. ) Schém symetrcého rámu U tohoto rámu se vysytují dv typy gloálních mtc tuhost: pro svslé pruty,, pro vodorovné pruty 4,

32 Deformční metod v nelneární mechnce U oou typů mtc yl levá mtce vypočten lscým způsoem, tzn. dle teore. řádu, ztímco prvá mtce z pomoc prncpu jednotových momentů. Jsou zde ptrné rozdíly. Hlvně v tom, že n pozcích nulových prvů levých mtc se u prvých mtc vysytují nenulové prvy. Svslé pruty jsou u tohoto rámu neztížené, tže mjí nulové prmární vetory. Vodorovné pruty jsou ztíženy o stejným spojtým ztížením, jejch prmární vetory jsou tedy shodné. Stejně jo u mtc tuhost jsou zde uvedeny dv prmární vetory. První, terý je vyřešen dle. řádu, druhý p určený prncpem jednotových momentů. R X Z = M X Z M 5 4,3 = 5 4,3 R R 57,3 5 6, = 57,3 5 6, Hlvní rozdíly mez těmto vetory jsou v osových slách. Poud řešíme ooustrnně vetnutý nosní ztížený spojtým ztížením slovou metodou dle teore. řádu, vznjí zde pouze posouvjící síly ohyové momenty. Ztímco př řešení pomocí prncpu jednotových momentů zde vznjí osové síly, protože se respetuje sutečný tvr prutu po ztížení. Vodorovný posun u má nenulovou hodnotu, což vyvolá zmíněné osové síly. q u Or. 3) Prut po ztížení Vyřešíme-l rám oecnou deformční metodou použjeme přtom o typy mtc tuhost prmárních vetorů, dostáváme dv vetory prmetrů deformce r. r T = { u w ϕ u w ϕ u w ϕ } d d d e e e 4 {,4 4, 34,4,6,4 4, 34,4} T r = 4 {, 4, 33,6,6, 4, 33,6} T r = f Největší rozdíly mez těmto dvěm řešením jsou v hodnotách vodorovných posunů styčníů d f. V druhém přípdě jsou tyto posuny 5,5rát větší. To, že vodorovné posuny vypočtené s mtcem prmárním vetory určeným dle teore. řádu jsou zntelně menší, způsouje prolém znázorněný n následujícím orázu. f f 4

33 Deformční metod v nelneární mechnce původn deformovná Or. 4) Původní deformovná rámová onstruce Vznjí zde chyy př určení nových souřdnc deformovné onstruce. Poud vyreslíme pruty po deformc s pomocí vypočtených ntočení zchováme přtom délu prutu, nedojde e spojení počátečního oncového odu. (Pozn. Vypočtené deformce jsou vyresleny v měřítu tovém, y yly lépe n orázu vdět uvedené nesrovnlost.) Je tedy evdentní, že vodorovný posun styčníů d f musí ýt větší. Tyto nesrovnlost nenstnou právě př použtí mtc tuhost prmárních vetorů vypočtených pomocí prncpu jednotových momentů, protože vypočtené posuny jsou zntelně větší. Dále jsou zde uvedeny v t. 3 hodnoty oncových sl n jednotlvých prutech. V první tulce jsou hodnoty vypočtené dle. řádu, v druhé z pomoc prncpu jednotových momentů. Z tule je ptrné, že hodnoty oncových sl (n rozdíl od deformcí) vypočtené popsným dvěm způsoy se moc nelší. 5

34 Deformční metod v nelneární mechnce N [N] V [N] M [Nm] N [N] V [N] M [Nm] N [N] V [N] M [Nm] N [N] V [N] M [Nm] T. 3) Hodnoty vypočtených oncových sl Dlším roem výpočtu je opování celého postupu, vš vždy s novým souřdncem, ž do té doy, než dosáhneme poždovné přesnost řešení ε (46). Poud ychom použl dlším výpočtům souřdnce určené s mtce prmárním vetory dle teore. řádu, vznly y velé nepřesnost, protože tvr deformovné onstruce vyzuje různé odchyly. Jednotlvé pruty zdné prutové soustvy jsou tedy rozděleny n velý počet mlých dílů. Soustvu vyřešíme s mtcem tuhost prmárním vetory vytvořeným numercou ntegrcí pomocí prncpu jednotových momentů. Řešením održíme hodnoty oncových sl, díy terým určíme hodnoty vntřních sl ve všech odech prutové soustvy. P postupně umístíme do ždého odu jednotový moment vyřešíme opět celou soustvu. Z vntřních sl od zdného ztížení jednotového momentu postupně určíme ntočení ždého odu soustvy z něj p nové souřdnce celé prutové soustvy. Dále provedeme opět výpočet prmárních vetorů mtc tuhost, nyní vš pro pruty s novým souřdncem. Vyřešíme znov celou prutovou soustvu popsným postupem, ovšem s nově vypočteným vetory mtcem. Tím zísáme upřesněné hodnoty souřdnc opět vypočteme nové prmární vetory mtce tuhost prutů. Tento postup opujeme t dlouho, než se výsledy dvou po soě následujících roů (tercí) shodují s poždovnou přesností ε de je číslo terce. R R ε =, (46) 6

35 Deformční metod v nelneární mechnce Poté řešení uončíme. Hodnoty vypočtené v poslední terc p prohlásíme z geometrcy nelneární řešení. Geometrcy nelneárně yl řešen zdný rám. Po 6. terc jsme zísl tyto hodnoty oncových sl: N [N] V [N] M [Nm] N [N] V [N] M [Nm] T. 4) Hodnoty oncových sl v 6. terc Srovnáme-l hodnoty vypočtené v. terc (t. 3) 6. terc (t. 4), zjstíme, že největší změn je v momentech v rjních vetnutích M M c to nárůst o 5%. Momenty ve styčnících M d M f vzrostly o 7,%. Dlší zntelná změn je v posouvjících slách n rjních svslých prutech (resp.normálových slách n vodorovných prutech) to nárůst o 9,8%. Řešíme-l onstruc s respetováním geometrcé nelnerty, musíme určt tvr onstruce po jejím ztížení. Použjeme-l tomu lscý postup oecné deformční metody, dy se nlýz prutu provádí dle teore. řádu, vznjí př určení nových souřdnc ztížené onstruce nesrovnlost. Tento prolém se dá odstrnt, použjeme-l př nlýze prutu prncp jednotových momentů udeme přtom respetovt sutečný tvr prutu po ztížení. 7

36 Deformční metod v nelneární mechnce 5.3 Využtí oecné deformční metody pro geometrcy nelneární řešení soustv ruhových olouů V podzemním nědy v pozemním stvtelství je význmným vyztužujícím prvem ocelová výztuž tvořená ruhovým olouy. U těchto olouových výztuží jsou mnohdy znčné deformční projevy. Sttcé posouzení této výztuže y tedy mělo počítt s neznedtelným deformcem. V této ptole je popsáno geometrcy nelneární řešení soustv ruhových olouů, př terém se využívá oecná deformční metody. Př tomto řešení se počítá s deformcem, teré jsou řádově srovntelné s rozměry výztuže [4] Geometrcá nlýz onstruce Konstruce výztuže je tvořen soustvou ruhových olouů, teré se nvzájem přerývjí. Tvor geometre yl převzt z [7], ptol.. Or. 5) Geometrcé schém soustvy ruhových olouů [7] Vstupním hodnotm pro zprcování geometre soustvy olouů složené z něol ruhových dílů je počet dílů m u ždého dílu j p jeho dél l j, poloměr zřvení r j dél přerytí sousedních dílů d j. Dále p dél s jednoho přímového dílu, n teré ude následně tto soustv olouů rozdělen (tto dél dílu je př určování geometre upřesněn s ohledem n dély jednotlvých ruhových dílů jejch vzájemných přerytí). 8

37 Deformční metod v nelneární mechnce Or. 6) Zdávcí tul pro určení geometre olouu Pro pops geometre onstruce olouu nejdříve zvolíme následující souřdný systém. Podpory olouové výztuže A B jsou ve stejné výš. Počáte rtézsého souřdného systému vložíme do levé podpory A. Os x prochází oěm podporm os z je svslá (směr nhoru). z [ ] A Or. 7) Souřdný systém olouu B x Geometrcá nlýz tvoří záld celého řešení. Kruhový díl j nechť má délu l j, poloměr r j je přeryt s následujícím dílem j+ v délce d j. Je-l onstruce defnován počtem ruhových dílů, délou poloměrem zřvení ždého z nch délou přerytí sousedních dílů, p spojnce odů A B není defnován přímo, lze j vš ze zdných hodnot jednoznčně určt. Zvolíme-l npř. nejdříve souřdný systém x, z t, že jeho počáte ude ležet v odě A, tj. v levé podpoře výztuže směr osy x ude rovnoěžný s osou prvního olouu x (vz or. 5), má střed S ružnce prvního ruhového dílu souřdnce x z. 9

38 Deformční metod v nelneární mechnce ϕ x = r cos = r cosφ ϕ z = r sn = r sn Φ (47) (48) l ϕ = (49) r Φ ϕ = (5) Střed S ružnce druhého dílu má v souřdném systému x, z souřdnce: x = x + ( r r ) cos Φ (5) ( r ) z Φ (5) = z r sn Φ = Φ δ, (53) d δ, = r (54) ) ( Or. 8) Souřdnce prvního druhého dílu olouu v souřdném systému x, z 3

39 Deformční metod v nelneární mechnce Oecně pro střed ružnce j-tého dílu ( pro j > ) v souřdném systému x, z pltí: x z j = x j + ( rj+ rj ) cosφ j (55) j = z j ( rj rj ) sn Φ j (56) Φ j = Φ + ϕ ( δ δ ) (57) j j j, j + j, j d j δ j, j = (58) r ) ( j d j δ j, j = (59) r ) ( j ϕ l = j j rj (6) Souřdnce x B z B odu B, tj. druhé louové podpory výztuže, p jsou: x = x r snα (6) B B m m m m B z = z r cosα (6) de α π B = Φ n + ϕ n δ n, n +, (63) přčemž m je celový počet ruhových dílů výztuže (n or. 5 je m = 5). Souřdné systémy x, z x, z jsou vzájemně ntočeny o úhel ω, jehož hodnot vyplývá ze vzthu rctg z x B B B ω = (64) Trnsformce souřdnc středů ružnc S j jednotlvých ruhových dílů olouové výztuže do souřdného systému x, z lze p provést pomocí známých vzthů : x x cosω + z snω (65) j = j j z z cosω x snω (66) j = j j Znlost souřdnc středů ružnc jednotlvých dílů olouové výztuže umožňuje jednoznčně popst geometr onstruce, což je nezytný podld pro vlstní sttcé řešení. Vstupním hodnotm pro zprcování geometre olouu složeného z něol ruhových dílů je, j vyplývá z výše uvedeného, počet dílů n u ždého dílu j p jeho 3

40 Deformční metod v nelneární mechnce dél l j, poloměr zřvení r j dél přerytí sousedních dílů d j. Z podmíny, že podpory jsou ve stejné výš, je p geometre olouu jednoznčně defnován. Posledním roem určení fnálního souřdného systému, terý je používám př řešení, je posun počátu souřdného systému do vrcholu olouu otočení svslé osy z směrem dolů. [ ] x z A B Or. 9) Fnální souřdný systém olouu 5.3. Postup řešení pomocí oecné deformční metody Konstruc výztuže, terá je tvořen ruhovým díly, rozdělíme n n přímových dílů. Kždý tento díle, terý povžujeme z prut uložený ooustrnně monoltcy, je chrterzován svou délou ds, slonem ψ souřdncem styčníů x z. Tímto rozdělením dostneme celem n p neznámých prmetrů vetoru deformce r. Tyto neznámé deformce lze zíst řešením jž dříve zmíněné soustvy rovnc. K r = F (67) Mtce tuhost K je př velých deformcích funcí vetoru F. Zísáme j lolzcí mtc tuhost jednotlvých dílů. Ztěžovcí vetor F je dán rozdílem vetoru styčníového ztížení S celového prmárního vetoru R, terý zísáme lolzcí jednotlvých gloálních prmárních vetorů spojté rovnoměrné ztížení). R (dále je uveden příld prmárního vetoru (7) pro svslé J uázlo řešení v [39], de yl použt metod jednotových momentů, všechny hodnoty r nelze zíst př velých deformcích v závslost n zdném ztížení. Řešení př určté hodnotě ztížení neonverguje (tto hodnot odpovídá prvnímu odu zvrtu - or. ). Dále ylo zjštěno, že př nverzní úloze, dy se stnovuje ztížení v závslost n zdné hodnotě deformce, řešení onverguje př všech hodnotách. Z těchto důvodů nepoužjeme postup uvedený v ptole 5., de se mtce tuhost sestvuje pomocí prncpu jednotových momentů, protože řešení y ylo př této nverzní úloze velm omplovné. Použjeme tedy mtc tuhost odvozenou pomocí prncpu jednotových sl. J le ylo jž dříve řečeno, tuto mtc nelze př vznjících velých deformcích doporučt. Př 3

41 Deformční metod v nelneární mechnce jejím použtí dochází př řešení e změně celové dély olouu. Ale j uzují dále uvedené příldy, tyto změny dély lze do určté míry př řešení znedt. První od zvrtu ztížení Druhý od zvrtu deformce Or. ) Prcovně-deformční chrterst s nznčením prvního druhého odu zvrtu EA EA ds ds EI 6EI EI 6EI 3 3 ds ds ds ds 6EI 4EI 6EI EI * ds ds ds ds = (68) EA EA ds ds EI 6EI EI 6EI 3 3 ds ds ds ds 6EI EI 6EI 4EI ds ds ds ds cosψ snψ snψ cosψ T = (69) cosψ snψ snψ cosψ = T T * T (7) 33

42 Deformční metod v nelneární mechnce 34 T T x x x x q x q x q x q x q + = + = R R (7) Hodnoty r nelze tedy př velých deformcích, tzn. př deformcích řádově srovntelných s délm prutů, zíst explctně řešením (67). Explctně je možné je vyřešt pouze př vznjícím mlých deformcích. Můžeme le postupovt t, že volíme tře svslý posun vhodného odu onstruce w s hledáme odpovídjící ztížení q zývjící hodnoty vetoru deformce r. Zísáváme tedy smíšenou úlohu popsnou následujícím rovncem (7) ž (75), ve terých ndex s odpovídá pořdovému číslu volené deformce v r. F r K = q (7) = p p p p s p p p n s n s n n s n n sn ss s n s F F F q d w d M M M M L L M O N M M N O M L L (73) = s n ss s s n n n n n sn s s n p p p p p p p p w d q d F F F M M M M L L M O N M M N O M L L (74) ( ) s s q s s q w w K K r K r K F F = = (75) F ztěžovcí vetor vyvolný jednotovým ztížením q = K s vetor oshující prvy s-tého sloupce původní mtce K F K modfovná mtce tuhost, s-tý sloupec je nhrzen vetorem F q r modfovný vetor deformcí, hodnot w s nhrzen zápornou hodnotou q Výpočet pro dné w s proíhá terčně, doud neodržíme poždovnou přesnost ε, terá je dán hodnotm ztížení q ve dvou následujících -tých tercích. Pro ždý terční od se přepočítávjí prvy mtce tuhost K. ( ) q q q = ε (76)

43 Deformční metod v nelneární mechnce Poté se zvýší hodnot posunutí w s výpočet se opuje, doud nedosáhneme předepsného ztížení Použtí relxčního součntele η Př řešení používáme relxční součntel η, pomocí terého počítáme r mod. Př -té terc se tedy původním souřdncím nepřpočítává celá vypočtená deformce, le jen její část. r ( ) r = η r + η mod, mod, (77) Tento součntel slouží jedn e snížení počtu tercí př řešení dále tomu, ychom održel všechny hodnoty prcovně-deformční chrtersty dného olouu. Bez jeho použtí ychom neyl schopn se dostt z druhý od zvrtu (or. ). 3 5 rovnoměrné ztížení q [N/m] 5 5 hodnot spojtého ztížení q [N/m] ,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7 deformce ws [m] číslo terce η= η=,5 Or. ) Použtí relxčního součntele η 35

44 Deformční metod v nelneární mechnce N or. je znázorněno řešení pro hodnotu průhyu, terá je jž z druhým odem zvrtu. Př η =, dy se přčítá plná hodnot vypočtených deformcí, se hodnoty vypočteného ztížení q pohyují olem určté hodnoty, le řešení neonverguje. Ztímco př η =,5 řešení onverguje můžeme porčovt v určování dlších odů řvy, teré jsou jž z druhým odem zvrtu. J jž ylo řečeno v ptole 5..4, optmální hodnot relxčního součntele η je pro ždý příld jná. Vol proíhá v závslost n řeštelem zdné hodnotě mxmálního počtu tercí mx. Poud počet tercí přeročí mx, p se hodnot součntele η zvýší o předepsnou hodnotu (npř.,). Součntel η se pohyuje v rozmezí od do Řešené příldy Příld Máme zdnou soustvu tří olouů s těmto prmetry: dély jednotlvých dílů - 4m, 3m, 4m poloměry zřvení - 6m, 5m, 6m dély přeplátování jednotlvých dílů olouů,3m;,3m profl TH9 (EI = 5,8 Nm, EA = 777 N) zdná přlžná dél jednoho dílu je,5m (odpovídá počtu dílů n = 46) Tuto soustvu olouů ztěžujeme svslým spojtým rovnoměrným ztížením q. Jo vhodnou předepsovnou deformc volíme svslý posun vrcholu olouu w s. q A B Or. ) Příld , schém ztížení q Př řešení yl pro urychlení výpočtu použt relxční součntel η =,5. Pro zísání hodnot w s,4 m, teré jsou z druhým odem zvrtu, p musel ýt relxční součntel zvýšen ž n hodnotu η =,9 (př menších hodnotách η řešení neonvergovlo). 36

45 Deformční metod v nelneární mechnce 5 rovnoměrné ztížení q [N/m] 5 5,,4,6,8,,4,6,8,,4,6,8 deformce ws [m] Or. 3) Příld , prcovně-deformční chrterst olouu př spojtém ztížení q w s [m] q [N/m], 34,5,4 56,7,6 64,3,8 65,, 6,6, 56,4,4 47,,6 34,5,8 8,4, 98,, 7,6,4 34,8 T. 5) Příld , zísné hodnoty ztížené q v závslost n posunu w s 37

46 Deformční metod v nelneární mechnce,5,5 deformce ws [m],5 3 Or. 4) Příld , tvry deformovné onstruce pro jednotlvé deformce w s w s [m] l [%],5,, 3,,5 5,9, 9,5 T. 6) Příld , změny dély olouu př zdných deformcích w s Dle hodnot v t. 6 můžeme říc, že změny dély olouu l můžeme znedt zhru do průhyu w s, terý je roven polovně vzepětí olouu. Zde je tto změn dély menší než 5% řešení můžeme povžovt z oretní Příld Nyní máme zdán olou s těmto prmetry: dél m poloměr zřvení m profl TH-9 (EI = 5,8 Nm, EA = 777 N) počet dílů n = 5 Tento olou ztížíme šmou slou. Šmá síl F je umístěn ve styčníu číslo (3,835 m od podpory A) půsoí pod úhlem 6. 38

47 Deformční metod v nelneární mechnce F 6 A B Or. 5) Příld , schém ztížení slou F šmá síl F [N] ,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 deformce ws [m] Or. 6) Příld , prcovně-deformční chrterst olouu př ztížení šmou slou F 39

48 Deformční metod v nelneární mechnce w s [m] F [N], 8,3, 63,,3 79,9,4 87,9,5 9,5,6 89,,7 84,4,8 77,,9 67,, 54,6, 39,5,,,3 9,3 T. 7) Příld , zísné hodnoty síly F v závslost n posunu w s,5,5,75 deformce ws [m],5,5 Or. 7) Příld , tvry deformovné onstruce pro jednotlvé deformce w s 4

49 Deformční metod v nelneární mechnce w s [m] l [%],5,7,5,4,75,, 3, T. 8) Příld , změny dély olouu př zdných deformcích w s Dle hodnot v t. 8 můžeme říc, že v tomto příldě změny dély olouu l můžeme znedt ž do hodnoty průhyu w s, terá je rovn téměř vzepětí olouu. I př velm velých zdných hodnotách deformce w s se změny dély pohyují do 5%. Z uvedených řešení oou příldů je ptrné, že jedné hodnotě ztížení mohou odpovídt ž tř hodnoty deformce (or. 8). Tento poznte je důležtý pro dlší roy výpočtu, dy udeme počítt s fyzální nelnertou (ptol 7.). ztížení deformce w w w 3 Or. 8) Prcovně-deformční chrterst výztuže - nznčení třech hodnot deformce odpovídjící jedné hodnotě ztížení 4

50 Deformční metod v nelneární mechnce 6 Konstručně nelneární řešení 6. Využtí oecné deformční metody pro numercé řešení nosníu n pružném podldu Úlohy řešení nosníů n pružném podldu se v techncé prx vysytují velm čsto. Zde se zýváme řešením onečného nosníu (nosníu onečné dély), terý je uložen částečně neo po celé své délce n pružném podldu. Pro přesné řešení onstruce uložené n oecném typu podldu je tře vyřešt deformční npěťové stvy nejen v onstruc, le té v podloží, což je úloh znčně složtá. Běžné příldy z prxe lze znčně zjednodušt zvedením vhodného modelu podloží. Pružný (Wnlerův) podld je nejstrším nejjednodušším modelem podloží. Tento model předpoládá, že spojtá rece podloží je přímo úměrná průhyu. Wnlerův model pružného podloží je chrterzován oefcentem stlčtelnost podloží C. Ptří tedy mez jednoprmetrcé modely s lneární odezvou n ztížení, protože pro jeho pops stčí pouze jedn onstnt. Nosníy uložené n různých typech podldů se čsto řeší pomocí dferencálních neo ntegrálních rovnc, teré využívjí záldních pozntů z teore nosníů. Jedno z možných nlytcých řešení je popsáno v [5]. Př tomto řešení (nrozdíl od tohoto řešení) se nepřpouští možnost, že y se nosní vlvem ztížení oddáll neo uvolnl od podloží, což je určtým zjednodušením. 6.. Tvor výpočtového modelu Nosní dély L rozdělíme n n dílů tím održíme n vodorovných prutů uložených ooustrnně monoltcy (n+) svslých prutů uložených jednostrnně louově, teré předstvují podloží (počet (n+) odpovídá nosníu uloženému po celé délce) [37]. z x + n L Or. 9) Výpočtový model nosníu ( ) ( 3 4 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) Or. 3) Příld ódových čísel potřených pro lolzc 4

51 Deformční metod v nelneární mechnce Chrtersty vodorovných prutů: dél prutu modul pružnost nosníu v thu tlu E = L n (78) šíř výš h průřezu nosníu (dopočítné průřezové chrtersty A, I) Chrtersty svslých prutů: jednotová dél prutu modul stlčtelnost podloží C ploch prutu A A = (popř. A = pro rjní pruty) (79) 6.. Postup řešení Př výpočtu se neuvžuje vlv normálových posouvjících sl n výpočet deformcí. Řešení má celem n p = (n+) neznámých prmetrů deformce. V ždém z (n+) styčníů je neznámý svslý posun w ntočení ϕ. Pro jejch určení je tře sestvt nejprve ztěžovcí vetor F soustvy poté její mtc tuhost K. Ztěžovcí vetor soustvy F je sestven ze sl momentů umístěných přímo ve styčnících (přípdné spojté ztížení je rozděleno do styčníů). { F M F M K F M K F M } T F = (8) Mtc tuhost K zísáme lolzcí gloálních mtc tuhost vodorovných prutů ooustrnně monoltcy uložených (8) gloálních mtc tuhost svslých prutů, teré udeme povžovt z prvostrnně louově přpojené (8). Svslé pruty, teré předstvují podloží, jsou zde povžovány z jednostrnné vzy půsoící pouze v tlu. Vznne-l v těchto vzách záporná rece, položí se C osžené v příslušné mtc tuhost (8) velm mlé hodnotě. To způsoí, že se zde vyloučí půsoení podloží n nosní. n n 43

52 Deformční metod v nelneární mechnce 44 = = EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA , , (8) = = , CA l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI (8) Lolzcí tedy zísáme čtvercovou mtc tuhost K řádu n p. Dále p vyřešíme soustvu rovnc. F K r F r K = = (83) Výsledné řešení této soustvy rovnc je vetor prmetrů deformce r. V pořdí lché hodnoty udávjí svslé posuny jednotlvých odů w sudé hodnoty p hodnoty ntočení ϕ jednotlvých odů. Ze zísných hodnot svslých posunů p lze vypočítt rece podloží R. w A C R = (84)

53 Deformční metod v nelneární mechnce Z těchto hodnot recí podloží lze dopočítt hodnoty posouvjících sl V. Hodnoty ohyových momentů M lze zíst roznásoením hodnot prmetrů deformcí mtce tuhost jednotlvých vodorovných prutů. Př řešení se můžeme sett s přípdem, dy nosní není uložen po celé své délce. V tomto přípdě postčí v místech, de chyí podloží, dosdt hodnotu C =. Dále se p můžeme sett s přípdy, dy je nosní v něterých místech podepřen podporm, popř. vetnut. V těchto přípdech zvedeme zdné orjové podmíny (vynulujeme příslušná ódová čísl) tím zručíme nulovou hodnotu příslušné deformce Řešené příldy Popsným způsoem yly vyřešeny následující příldy. Výsledné hodnoty yly porovnány s nlytcým řešením uvedeným v [5]. Anlytcé řešení dle [5] Numercé řešení ODM znč jednot znč jednot Ntočení dv/dx rd f mrd Průhy v m w mm Posouvjící síl T N V N Ohyový moment M o Nm M Nm T. 9) Přehled použtého znčení jednote u nlytcého numercého řešení pomocí oecné deformční metody Příld Nosní dély L = L + L je po délce L uložen n pružném podldu. Nosní je n nepodloženém volném onc ztížený slou F. Dáno: L =,5 m; L = m; F = N; E = GP; =, m; h =,4 m; C = MNm -3. Př numercém řešení tohoto příldu yl n délce L zdán nulový modul stlčtelnost podloží C, což způsolo, že mtce tuhost svslých prutů, terý jsou n délce L, yly nulové. F L L Or. 3) Příld 6..3., částečně uložený nosní ztížený slou F n nepodloženém onc 45

54 Deformční metod v nelneární mechnce Or. 3) Příld 6..3., průěhy průhyu ntočení dle [5] f [mrd] w [mm] 5 5 x [m],,5,,5,, Or. 33) Příld 6..3., průěhy průhyu ntočení zísné numercým řešením pomocí ODM Or. 34) Příld 6..3., průěhy posouvjících sl ohyových momentů dle [5] 46

55 Deformční metod v nelneární mechnce V [N] M [Nm] 6,88 5,,5,,5,,5-5 - x [m] ,73 Or. 35) Příld 6..3., průěhy posouvjících sl ohyových momentů zísné numercým řešením pomocí ODM Výsledy uvedené n or. 33 or. 35 yly zísány z předpoldu, že nosní pevně přlne podloží. Tzn. předpoládá se ooustrnné půsoení vze předstvujících podloží, úloh je tedy onstručně lneární. 8, 6, 4, Rece [N],,,,5,3,45,6,75,9,5,,35,5,65,8,95,,5,4 -, -4, -6, x [m] Or. 36) Příld 6..3., rece podloží Ve sutečnost vš není nosní podloží přlepen. Svslé pruty, teré předstvují podloží, jsou př onstručně nelneárním řešení povžovány z jednostrnné vzy půsoící pouze v tlu. Z or. 36 je ptrné, že výsledné hodnoty recí n prvé část jsou záporné, 47

56 Deformční metod v nelneární mechnce tzn. vznjí zde thové rece tto sutečnost y se měl zhrnout do řešení. Vznne-l v podloží tedy záporná rece, položí se hodnot součntele C v tomto místě velm mlé hodnotě, npř. C = -5 Nm -3 (vyloučí se půsoení podloží n nosní). Vyřešíme-l tento příld jo úlohu onstručně nelneární (v přípdě vznu záporných recí vyloučíme půsoení podloží), dojdeme závěru, že se nosní převrátí. Uprvíme-l vš zdání, můžeme n tomto příldě předvést onstručně nelneární řešení s předpoldem vyloučení thových recí podloží. Úprv zdání spočívá v prohození déle podloženého nepodloženého úseu nosníu, tedy L = m; L =,5 m přdání ztížení q = N/m po celé délce nosníu L. Př řešení tohoto uprveného zdání proěhlo celem 7 tercí. V 7. terc yl vyloučen poslední záporná rece podloží. N or. 37 p můžeme vdět průěhy průhyů pro jednotlvé terce. N or. 38 jsou p hodnoty recí podloží pro první poslední sedmou terc. -,5 -, -,5 -, průhy w [mm] -,5,,5,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5 x [m],5,,5 = = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 Or. 37) Příld 6..3., průěhy průhyů w v jednotlvých tercích 48

57 Deformční metod v nelneární mechnce 3, 5, = = 7, Rece [N] 5,, 5,, -5,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5 x [m] Or. 38) Příld 6..3., hodnoty recí vznlých v podloží pro terce = = Příld Ooustrnně posuvně vetnutý nosní dély L = L + L je po délce L uložen n pružném podldu. Nosní je po celé délce ztížen onstntním spojtým ztížením q. Dáno: L = m; L = 3 m; q = N/m; E = GP; =, m; h =,4 m; C = MNm -3. q L L Or. 39) Příld 6..3., ooustrnně posuvně vetnutý nosní se ztížením q uložený částečně n pružném podldu Př numercém řešení tohoto příldu yl n délce L zdán nulový modul stlčtelnost podloží C, což způsolo, že mtce tuhost svslých prutů, terý jsou n délce L, yly nulové. Posuvné vetnutí n oou oncích ylo zhrnuto do výpočtu t, že deformce s ódovým číslem (n+), teré předstvují ntočení n zčátu onc dély, yly dány rovny nule. 49

58 Deformční metod v nelneární mechnce x [m] - -,5 - -,5,5,5,5 3, Průhy w [mm],,4,6,8, Frydrýše ODM,,4 Or. 4) Příld 6..3., průhy w, - -,5 - -,5,5,5,5 3 -, -,4 Ntočení f [mrd] -,6 -,8 -, -, -,4 -,6 -,8 Frydrýše ODM -, x [m] Or. 4) Příld 6..3., ntočení ϕ 5

59 Deformční metod v nelneární mechnce, - -,5 - -,5,5,5,5 3-5, Posouvjící síly V [N] -, -5, -, Frydrýše ODM -5, x [m] Or. 4) Příld 6..3., posouvjící síly V Ohyové momenty M [Nm] -5, -, -5, -, -5, - -,5 - -,5,5,5,5 3, 5,, 5,, 5, 3, x [m] Frydrýše ODM Or. 43) Příld 6..3., ohyové momenty M 5

60 Deformční metod v nelneární mechnce T. ) Aplční vzthy pro ooustrnně posuvně vetnutý nosní dély L +L, terý je po délce L uložen n pružném podldu. Nosní je po celé délce ztížen onstntním spojtým ztížením. Řešení pltné n nepodloženém úseu L [5] T. ) Aplční vzthy pro ooustrnně posuvně vetnutý nosní dély L +L, terý je po délce L uložen n pružném podldu. Nosní je po celé délce ztížen onstntním spojtým ztížením. Řešení pltné n podloženém úseu L [5] T. ) Vzthy pro výpočet ntegrčních onstnt A, teré jsou potřené pro vzthy v t. [5] 5

61 Deformční metod v nelneární mechnce,5, Rece [N],5,,5,,,,4,6,8,,,4,6,8,,,4,6,8 3, 3, 3,4 3,6 3,8 4, 4, 4,4 4,6 4,8 5, x [m] Or. 44) Příld 6..3., výsledné hodnoty recí podloží J vyplývá z hodnot v grfech uvedených n or. 4 ž 43, výsledy těchto dvou řešení se téměř shodují. Můžeme tedy říc, že řešení pomocí oecné deformční metody lze použít pro řešení nosníů n pružném podldu. Př tomto řešení můžeme nrozdíl od uvedeného nlytcého řešení počítt s onstruční nelnertou. 53

62 Deformční metod v nelneární mechnce 7 Fyzálně nelneární řešení V onstrucích mohou vznt deformce, př nchž se mterál jž nechová pružně závslost mez npětím deformcí v určtých úsecích není zcel jstě lneární. Př výpočtu, dy vznjí nemlé trvlé deformce, se musí uvžovt té fyzální nelnert. Předpoládá se pružnoplstcé chování mterálu. Vlv fyzálně-nelneárního chování onstruce (vlv nepružného chování mterálu) se projeví u onstruce změnou tuhost. Fyzálně nelneární úlohy oecně vyplývjí z fyzálních rovnc, tj. z respetování nelneární závslost mez vetorem npětí σ vetorem deformce ε, teré lze zpst pomocí rovnc σ = D ε, (85) de D je pružnoplstcá mtce tuhost mterálu. Pro většnu mterálů pltí, že pro npětí menší než lmtní hodnot npětí mterálu, lze uvžovt lneární závslost mez vetorem npětí vetorem deformce. Př přeročení lmtní hodnoty npětí mterálu musí ýt jž uvžován nelneární závslost mez npětím deformcí. Př řešení onstruce z předpoldu nelneárního chování mterálů (onstruce se může ncházet j v pružném t té v plstcém stvu) je nutné uvážt nelneární závslost mez npětím deformcem. Nelneární závslost lze chrterzovt změnou ohyové tuhost EI. Řešení onstruce v pružnoplstcém stvu vede oecně n soustvu nelneárních lgercých rovnc. K řešení nelneárních úloh je možné použít různé typy numercých metod. 54

63 Deformční metod v nelneární mechnce 7. Určení ohyové tuhost EI v závslost n ohyovém momentu M 7.. Fyzální nelnert př neměnném tvru průřezu Odvození ohyové tuhost lze doumentovt n jednodušším proflu. Př tomto řešení se vychází z předpoldů, že onstruce tedy ždý její průřez je z pružnoplstcého mterálu, dále pltí Nver-Bernoullho hypotézy o zchování rovnnost průřezu, teré se v procesu ztěžování neměnly. Konstruce je lespoň jednoose symetrcá, ztížení půsoí v ose symetre onstruce. Znedává se vlv posouvjících sl, vlstní pnutí, lopení ztrát stlty []. Uvžujme průřez nmáhný ohyovým momentem Μ v rovně symetre normálovou slou N půsoící v těžšt průřezu. Vlvem půsoení normálové síly ude neutrální os vůč těžštní ose posunut. Poud se změní velost M neo Ν, změní se poloh neutrální osy. Postupnou plstzc průřezu lze velm doře modelovt numercy. Řešení se opírá o Bernoull-Nverovu hypotézu o rovnnost průřezů přetvoření se mění lneárně po výšce průřezu. Průřez se po výšce rozdělí n n vrstev. Dále se zvolí poloh neutrálné osy n o určí se rozdělení poměrného přetvoření ε v průřezu. N záldě přetvoření se stnoví velost npětí σ náležející -té vrstvě průřezu z něj se pomocí plochy vrstvy A vypočítá velost její normálové síly N. Podle podmíny rovnováhy musí ýt součet všech těchto dílčích normálových sl síly N roven nule. Pomocí numercých metod se hledá řešení podmíny rovnováhy, přčemž proměnnou je poloh neutrální osy n o. Po nlezení řešení se určí velost ohyového momentu M, terý odpovídá zvolenému průěhu npětí přetvoření. Tento postup, dy se rozdělení npětí v průřezu určuje n záldě zvoleného lneárního rozdělení poměrného přetvoření ε je výhodný zvláště u proflů člentějších v přípdě mterálu, terý není deálně pružnoplstcý. Lze použít jýol prcovní dgrm zísný npř. z thových zouše. Efetvní ohyovou tuhost průřezu EI (86) lze vyjádřt pomocí momentu M, polohy neutrální osy od rjních vláen průřezu n o poměrné deformce rjních vláen ε s. EI M ε s n o = (86) N or. 45 je znázorněn příld plochy tuhost pro profl K-4 [7]. N jedné vodorovné ose jsou vyneseny velost ohyového momentu M, n druhé ose jsou vyneseny γ násoy součnu meze luzu f y plochy průřezu A. N svslé ose je vynesen velost efetvní ohyové tuhost průřezu EI. Normálová síl se tedy do výpočtu nezdává solutní hodnotou, le poměrem celové plstcé pctě průřezu v prostém thu (tlu). 55

64 Deformční metod v nelneární mechnce Or. 45) Ploch tuhost ocelového proflu K-4 [7] Prncp řešení částečně zplstzovné onstruce spočívá v jeho rozdělení n n dosttečně mlých částí. Kždé část je přřzen odpovídjící efetvní tuhost EI odpovídjící vntřním slám, tj. ohyovému momentu normálové síle v dné část onstruce. Řešení sttcy neurčté onstruce př respetování fyzální nelnerty součsně geometrcé nelnerty proíhá s využtím prncpu vrtuálních prcí. Výpočet se nejdříve provede dle teore. řádu. Zísjí se tím hodnoty vntřních sl přetvoření. Znlost velost vntřních sl (ohyového momentu normálové síly) umožňuje př znlost plochy tuhost proflu ontrolu, zdl v ždém uvžovném místě onstruce odpovídá efetvní ohyová tuhost lneární závslost mez npětím deformcí neo je jná. Nstne-l tento rozpor, p se v následující terc ohyová tuhost olouu v příslušných místech mění. Součsně se mění té souřdnce onstruce v jednotlvých uvžovných odech. S tto změněným vstupním hodnotm se výpočet opuje. Počet tercí, teré proěhnou, lze předepst poždovnou přesností výpočtu. 7.. Fyzální nelnert př proměnném tvru průřezu Předpoldy uvedené v předcházející ptole se dostávjí do rozporu se sutečností, je-l určtý úse nmáhán t, že dochází e změně tvru proflu. Řešení tohoto prolému, tzn. sestvení efetvní ohyové tuhost zhrnující j fyzální nelnertu, t té změnu tvru proflu, lze řešt j mtemtcým modelováním př plc metody onečných prvů, t využtím sutečných výsledů ohyových zouše. 56

65 Deformční metod v nelneární mechnce Př ohyu dochází e změně proflu. V závslost n směru velost ohyového momentu vznjí n jedné strně proflu npětí thová, n druhé strně npětí tlová. Profl př rostoucím momentu stále mění svůj tvr jeho prmetry - moment setrvčnost - se mění té. Tento efet (změnu momentu setrvčnost) nelze předem zhrnout do výpočtového modelu. Je důsledem rozložení slože vntřních sl, neo přesněj řečeno, slože npětí v proflu. Pro nlýzu ohyové tuhost výpočet efetvní ohyové tuhost yl zvolen jednostrnně vetnutý nosní, ztížený n volném onc dvojcí sl. Průěh ohyového momentu je po celé délce nosníu onstntní. Úhel ntočení volného once je dán výrzem [7], M l φ = (87) E I de M je ohyový moment, l je dél nosníu, E je modul pružnost v thu I je plošný moment setrvčnost. Závslost ohyového momentu M o n úhlu ohnutí φ předstvuje ohyovou chrterstu (or. 46). Lze n ní pozorovt počáteční lneární úse (odpovídjící lneární teor nosníů). P vš, zejmén v důsledu zplstzování, pozděj též v důsledu změny proflu, zznmenáváme podsttně zpomlený nárůst ohyového momentu, respetve výrzně zrychlený ohy (v závslost n momentu). P dochází výrzné změně proflu tím e snížení tuhost proflu. K ohyu p je jž zpotřeí menšího momentu. Tento od předstvuje ztrátu stlty tvru. Př zchování slového ztížení y následovlo zhroucení onstruce. V ždém rou se přepočítávjí ohyové momenty v závslost n změně geometre. Toto lze doplnt o změnu ohyové tuhost EI t, y odpovídl ohyovému momentu. Efetvní ohyovou tuhost lze p určt ze vzthu M l φ E I ( M ) =. (88) 57

66 Deformční metod v nelneární mechnce Ohyový moment M o [N m] Ohyová chrterst úhel f [st] Or. 46) Ohyová chrterst vetnutého nosníu z proflu K-4 [7] E I [N m^] Chrterst EI - M o M o [Nm] Or. 47) Ohyová tuhost ocelového proflu K-4 určen MKP [7] Z průěhu n or. 47 je zřejmé, že př ztěžování do určté hodnoty (lneární olst) je efetvní tuhost onstntní odpovídá sutečnému součnu modulu pružnost E momentu setrvčnost I. Dále p efetvní tuhost lesá vlvem zplstzování pozděj též vlvem snížení momentu setrvčnost proflu. Bod zvrtu průěhu předstvuje od ztráty stlty tvru. Zhrneme-l do výpočtu závslost ohyové tuhost n ohyovém momentu, lze t nepřímo zhrnout j vlv plstcty, t zejmén změnu proflu. Výpočet výše uvedený se týá nosníu nmáhného čstým ohyovým momentem. Ve sutečnost vš je ohýný prve ztěžován omncí ohyového momentu normálové síly, ovyle tlové. Přítomnost normálové síly neznedtelné hodnoty ovlvní tvr ohyové chrtersty následně závslost efetvní tuhost n ohyovém momentu. V tomto přípdě vš výše uvedený postup nelze použít. Př neznedtelném průhyu vzná rmeno, n němž normálová síl dává moment. Výsledný ohyový moment p je větší, než pouze moment slové dvojce, po délce nosníu se mění. 58

67 Deformční metod v nelneární mechnce Efetvní tuhost je p v tomto přípdě dán výrzem [7] E I Mo z φ ( Mo) =. (89) Tento výrz je modfcí výrzu pro rátý úse nosníu z, n němž můžeme průěh ohyového momentu poládt z onstntní. Velm důležtá je vol dély úseu z. Z hleds poždvu onstntního ohyového momentu po této délce je účelné volt z co nejmenší. Vyrný úse nosníu vš musí ýt dosttečně dlouhý, y zhrnul celou olst vyoulení proflu př ztrátě stlty tvru y s řezová ploch zchovl svou rovnnost. Uvedený postup p vede e stnovení závslost efetvní tuhost EI n ohyovém momentu M o pro různé hodnoty normálové síly N je podldem pro onstruc řve ohyové tuhost pro různé hodnoty normálové síly. Otevřené jednoosé symetrcé profly mjí různou stltu př ztížení ohýjícím momentem směrem do proflu z proflu. Projevuje se to pochoptelně n ohyové tuhost, poud v proflu vznjí plstcé deformce tvr proflu se deformuje. Stejným způsoem, j yl zjšťován výše ohyová tuhost proflu ohýného do proflu lze zjstt ohyovou chrterstu efetvní ohyovou tuhost př ohýání opčným směrem. EI [Nm^] chrterst EI - M o M o [Nm] N = N = N N = 4 N N = 6 N N = 8 N N = N N = N Or. 48) Ohyová tuhost ocelového proflu K-4 př ohýání směrem do proflu stnoven MKP [7] 59

68 Deformční metod v nelneární mechnce 7. Určení ohyové tuhost EI v závslost n reltvním ntočení dϕ N fyzálně geometrcy nelneárním chování onstruce se může podílet nepružné chování mterálu změn tvru proflu prutů onstruce. Tyto změny se projeví změnou ohyové tuhost prutů. V předcházející ptole yl odvozen efetvní tuhost jo funce ohyového momentu M. Př geometrcy nelneárním řešení olouů (p ) se uázlo, že jedné hodnotě ztížení odpovídjí ž tř deformovné stvy této onstruce. Dále p hodnot ohyového momentu nevymezuje n př nulové neo onstntní normálové síle v prutu jednoznčně efetvní tuhost EI. Jednomu ohyovému momentu mohou odpovídt př velých deformcích dvě hodnoty této tuhost př stejných normálových slách. Uzuje se vš, že tuhost EI může ýt jednoznčně defnován jo funce změny jeho pootočení dϕ. Odvození efetvní (sečnové) tuhost EI, v tomto přípdě pro nulovou normálovou sílu, provedeme n prostém nosníu dély metr, terý je tvořen proflem P-8. Nosní je po své délce rozdělen n n dílů. Př tomto řešení se vychází z předpoldů, že onstruce tedy ždý její průřez je z pružnoplstcého mterálu, pltí Nver-Bernoullho hypotézy o zchování rovnnost průřezu, teré se v procesu ztěžování neměnly. Znedává se vlv posouvjících sl, vlstní pnutí, lopení ztrát stlty. Pro určení efetvní tuhost použjeme oecnou deformční metodu terční postup výpočtu. Př řešení respetujeme geometrcou nelnertu [43]. Př odvození tuhost EI, terá ude určen v závslost n reltvním ntočení jednotlvých průřezů dϕ, postupujeme následovně (jo vstupní hodnoty, ze terých vycházíme, slouží hodnoty odečtené z grfu zísného ohyovým zoušm []):. nosní rozdělíme n n dílů (vzhledem výšce použtého proflu volíme n = 6, p je dél dvou středních dílů, teré v tomto přípdě měří 5 mm, srovntelná s výšou h dného proflu P-8). určíme hodnotu síly P v závslost n průhyu středu nosníu w s 3. zísnou hodnoty síly P porovnáme s hodnotou síly P z, terý odpovídá dnému průhyu w s dle ohyové zoušy (or. 5) 4. poud se zísná hodnot síly lší, měníme hodnotu efetvní tuhost EI dvou středních dílů nosníu (or. 49) t dlouho, doud neodržíme s určtou zdnou přesností ε hodnotu odpovídjící síly P z z ohyové zoušy (př prvním rou výpočtu měníme pouze EI dvou středních dílu, v následujících rocích p už EI všech dílů) 5. tento postup plujeme n všechny hodnoty dných průhyů středu nosníu w s 6. popsných postupem zísáme hodnoty efetvních tuhostí EI, terým je vždy přřzeno reltvní ntočení dných dílů dϕ (po vynesení hodnot do grfu zísáme poždovnou řvu tuhost) 6

69 Deformční metod v nelneární mechnce 7. celý postup opujeme, le př následujících rocích jž vždy postupně měníme tuhost všech dílů nosníu dle hodnot tuhostí zísných v předcházejícím rou, vš hodnotu tuhost dvou středních dílů uprvujeme stále dle odů 3 ž 4 8. výpočet uončíme, poud se hodnoty ohyových tuhostí následujících roů udou shodovt s poždovnou přesností ε 3 P l = m Or. 49) Schém ztěžovného nosníu Or. 5) Profl P-8 [mm] 48 3 [mm] 9 [mm] 3 d [mm] 7,9 d [mm] 4,5 h [mm] 7,5 T. 3) Prmetry proflu P-8 6

70 Deformční metod v nelneární mechnce ,,,3,4,5 Pz [N],6,7,8,9,,,,3,4,5 ws [m] vntřní strn vnější strn Or. 5) Prcovně-deformční chrterst ocelového nosníu z proflu P-8 př ztěžování z vntřní vnější strny ořene dle ohyové zoušy [] vnější strn vntřní strn w s [m] F [N] w s [m] F [N],5,,5 5,, 3,,5 85,,5 45,,75,, 54,,,,5 6,,5 9,,3 66,,5 5,,35 73,,75 3,,4 78,, 37,,5 9,,5 39,5,6 97,,5 4,,7 3,,75 34,,8 34,,3 3,,9 3,,35 3,, 3,,35,, 93,,375 85,, 85,,4 75,,3 7,,45 58,,4 5,,475 5,,5 3,,5 45, T. 4) Hodnoty odečtené z grfů zísných ohyovým zoušm [] př ztěžování z vntřní vnější strny ořene proflu P-8 6

71 Deformční metod v nelneární mechnce 7.. Postup určení síly P v závslost n průhyu středu nosníu w s Nosní je rozdělen n n přímových dílů. Tím dostneme celem n p = [3 (n+) 3] neznámých prmetrů vetoru deformce r. Tyto neznámé deformce, teré předstvují vodorovný posun u, svslý posun w ntočení ϕ jednotlvých odů nosníu, lze zíst řešením známé soustvy rovnc K r = F. (9) Mtc tuhost K zísáme lolzcí dále uvedených mtc tuhost jednotlvých dílů. Ztěžovcí vetor F zde oshuje jednou nenulovou hodnotu to sílu P, terá tvoří střední hodnotu tohoto vetoru. T T { P L } = P { L L } = F F = L P (9) EA EA ds ds EI 6EI EI 6EI 3 3 ds ds ds ds 6EI 4EI 6EI EI * ds ds ds ds = (9) EA EA ds ds EI 6EI EI 6EI 3 3 ds ds ds ds 6EI EI 6EI 4EI ds ds ds ds cosϕ snϕ snϕ cosϕ T = (93) cosϕ snϕ snϕ cosϕ = T T * T (94) Př řešení této úlohy máme zdán svslý posun středu nosníu w s, přčemž hodnot síly P je zde neznámá hodnot. Zísáváme tedy smíšenou úlohu, terou řešíme postupem popsným následujícím rovncem (95) ž (98). K r = P F (95) 63

72 Deformční metod v nelneární mechnce 64 = M M M M L L M O N M M N O M L L P d w d p p p s p p p n s n n s n n sn ss s n s (96) = s n ss s s n n n n sn s n p p p p p p p w d P d M M M M L L M O N M M N O M L L (97) ( ) s s P s s P w w K K r K r K F F = = (98) F ztěžovcí vetor vyvolný jednotovou slou P = s K vetor oshující prvy z prostředního sloupce původní mtce tuhost soustvy K F K modfovná mtce tuhost, původní prostřední sloupec je nhrzen vetorem F P r modfovný vetor deformcí, hodnot w s je nhrzen zápornou hodnotou P Vyřešením této úlohy zísáme romě hodnot všech deformcí r nosníu hodnotu svslé síly P, terá vyvolá právě dný posun w s. Po zísání všech deformcí určíme nové souřdnce odů nosníu následně p novou mtc tuhost K jž deformovného nosníu celou úloh opět zopujeme. Výpočet pro dné w s proíhá terčně, doud neodržíme poždovnou přesnost řešení, terá je dán velostí ztížení určených v následujících -tých tercích. ( ) P P P = ε (99) 7.. Postup určení tuhost EI v závslost n reltvním ntočení dϕ Určíme pro dnou hodnotu w s hodnotu síly P. Zísnou hodnoty síly P porovnáme s hodnotou síly P z, terá odpovídá dnému průhyu w s dle ohyové zoušy (or. 5). Poud je zísná hodnot síly odlšná, uprvujeme hodnotu efetvní tuhost EI dvou středních dílů nosníu.

73 Deformční metod v nelneární mechnce EIn/ = EIn/+ = F < F EI = EI F > F z z EI = EI ( EI + EI ) n/ n/ n/ ( + ε ) ( ε ) () Hodnotu tuhost středních dílů upřesňujeme t dlouho, doud neodržíme s určtou zdnou přesností ε hodnotu odpovídjící síly P z z ohyové zoušy. ( P z P) ε = () P Tento postup plujeme pro všechny hodnoty dných průhyů w s. Popsným postupem zísáme hodnoty tuhostí EI, terým vždy přřdíme příslušné reltvní ntočení (řvost) středních dílů dϕ (po vynesení hodnot do grfu zísáme poždovnou řvu tuhost). dϕ () ( ϕ ϕ ) = + ds ( x x ) + ( z z ) ds (3) Celý postup opujeme, le př následujících j-tých rocích jž vždy postupně měníme efetvní tuhost všech -tých dílů nosníu dle hodnot tuhostí zísných v předcházejícím rou, přčemž hodnotu tuhost dvou středních dílů stále uprvujeme jž popsných postupem (v závslost n hodnotě síly P z z ohyové zoušy). dϕ, j dϕ EI, j m, j = EI dϕ m. j, j < dϕ m, j ( dϕ, j dϕm, j ) ( ) ( EI ) m, j EIm, j dϕ dϕ m, j m, j (4) Př změnách efetvních tuhostí stále ontrolujeme, zd hodnoty EI v následujících rocích pouze lesjí. Poud y se stlo, že y tuhost zčl zpětně stoupt, t vzrostlou hodnotu tuhost nhrdíme menší tuhostí z předcházejícího rou. Výpočet provádíme t dlouho, doud neodržíme poždovnou přesnost řešení ε 3, terá je dán hodnotm tuhostí v následujících rocích. ( EI EI ), j, j, j ε 3 = mx (5) EI 65

74 Deformční metod v nelneární mechnce 7..3 Výsledné hodnoty efetvních tuhostí EI Pomocí popsného postupu jsme održel hodnoty efetvních tuhostí EI pro profl P-8 ztěžovný z vntřní vnější strny ořene, z nchž jsme následně zonstruovl odpovídjící řvy závslost efetvní ohyové tuhost EI n reltvním ntočení (řvost) dϕ. Hodnoty tuhostí EI n následujících or. 5, yly zísány se zdným přesnostm ε = ε = ε 3 =,. V lneární olst (geometrcy fyzální) je tuhost EI onstntní. Tto lneární olst tvoří jen mlou část řvy. Př rostoucím reltvním ntočení dϕ nstává poles tuhost EI. Poles tuhost má svou příčnu zejmén v přeročení meze luzu mterálu, le té ve změně geometre smotného proflu. ohyová tuhost EI [Nm^] ,,4,6,8,,,4,6 reltvní ntočení dϕ [rd/mm] Or. 5) Křvy tuhost př ztěžování z vntřní strny ořene proflu P-8 ohyová tuhost EI [Nm^] ,5,,5,,5,3,35,4,45,5 reltvní ntočení dϕ [rd/mm] Or. 53) Křvy tuhost př ztěžování z vnější strny ořene proflu P-8 66

75 Deformční metod v nelneární mechnce ohyová tuhost EI [Nm^] ,,,3,4,5,6,7,8,9, reltvní ntočení dϕ [rd/mm] ODM vnější ODM vntřní Or. 54) Srovnání výsledných tuhostí př ztěžování z vntřní vnější strny ořene proflu P Srovnání zísných výsledů s hodnotm zísným pomocí progrmu ANSYS N záldě modelů relzovných v progrmu ANSYS yl stnoven efetvní tuhost uvedeného proflu P-8, terá je funcí ohyového momentu M [4]. Máme-l funční závslost efetvní tuhost EI n ohyovém momentu M, lze p dopočítt odpovídjící reltvní ntočení (řvost) dϕ vyreslt průěh tuhost EI v závslost n reltvním ntočení dϕ (or. 55). M dϕ (6) EI N or. 55 je řv pro profl P-8 ztěžovný z vnější strny ořene proflu. N or. 56 je p její srovnání s řvou zísnou z ohyové zoušy pomocí oecné deformční metody. J je z orázu ptrné, tto dvě řešení se téměř shodují. 67

76 Deformční metod v nelneární mechnce 4 EI [Nm^] EI [Nm^] M [Nm] 5 4 3,5,,5,,5,3,35,4,45,5 dϕ [mrd] Or. 55) Křvy tuhost EI závslé n M následně p dϕ ohyová tuhost EI [Nm^] ,5,,5,,5,3,35,4,45,5 reltvní ntočení dϕ [rd/mm] ANSYS ODM vnější Or. 56) Srovnání řve zísných pomocí progrmu ANSYS z ohyové zoušy 68

77 Deformční metod v nelneární mechnce 7.3 Geometrcy fyzálně nelneární řešení ocelových olouů Geometrcy fyzálně nelneární řešení provedeme n olouu tvořeném ocelovým proflem P-8 [4]. Tento olou je uložen ooustrnně neposuvně (or. 58). Pro tento profl stnovl A. Mropoulos J. Podešv efetvní ohyové tuhost EI, teré jsou závslé nejen n reltvním ntočení průřezu dϕ, le n normálové síle N, terá v průřezu vzná [4], or náhrdní ohyová tuhost EI [Nm^] 8 6 4,,,,3,4,5,6,7,8,9, reltvní ntočení dϕ [mrd] N=-N N=-N N=-8N N=-6N N=-4N N=-N N=N Or. 57) Křvy efetvní ohyové tuhost EI pro profl P Prncp řešení Olou rozdělíme po jeho délce n n přímových dílů. Kždý tento díle, terý povžujeme z prut uložený ooustrnně monoltcy, je chrterzován svou délou ds, slonem ψ souřdncem styčníů x z. Tímto dostneme celem n p = [3 (n+) 4] neznámých prmetrů vetoru deformce r. Př zísávání hodnot vetoru deformcí r postupujeme t, že volíme svslý č vodorovný posun vhodného odu onstruce hledáme odpovídjící hodnotu ztížení q zývjící hodnoty vetoru deformcí r. Řešíme tedy smíšenou úlohu popsnou rovncem uvedeným v ptole

78 Deformční metod v nelneární mechnce q x [m] x z Or. 58) Schém olouu Výpočet pro dnou deformc proíhá terčně. V ždém terčním rou přepočítáváme prvy mtce tuhost K. Nové hodnoty jsou závslé nejen n změně geometre onstruce, le n změně ohyové tuhost jednotlvých dílů EI. Pro určení nových prvů mtce tuhost potřeujeme určt nové souřdnce jednotlvých odů jejch novou délu. x z = x + u = z + w (7) ds ( x x ) + ( z z ) (8) Dále p určíme reltvní ntočení dϕ ždého dílu hodnotu normálové síly N v dném dílu. dϕ (9) ( ϕ ϕ ) = ds R * = T r () N = R = R () * *,,4 r gloální vetor deformcí pro -tý díle * R loální vetor oncových sl pro -tý díle Tyto hodnoty použjeme určení efetvní ohyové tuhost EI z řve uvedených n or. 57. V následujících vztzích uvádí ndex m číslo řvy pro jednotlvé normálové síly. Index j p uvádí pořdí hodnot n m-té řvce pro určtou hodnotu N. 7

79 Deformční metod v nelneární mechnce ~ E I m, = dϕ EI dϕ m. j m, j dϕ ( dϕ dϕ m, j ) ( ) ( EI ) m, j EI m, j dϕ dϕ m, j < dϕ m, j m, j () EI N ~ = EI m. N m N ( N N ) ( ) ( ) m ~ ~ EI m, EI m+, N N m+ < N m m+ (3) Poud zísáme hodnotu ztížení q pro dnou deformc s poždovnou přesností ε, porčujeme ve výpočtu zvýšením hodnoty této deformce. Celý postup se opuje, doud nedosáhneme předepsné mxmální poždovné deformce Řešený příld Popsný postup yl plován n ocelovou olouovou výztuž --4/P-8. T je ztěžován svslým spojtým rovnoměrným ztížením q. x [m] z [m] 3 4 Or. 59) Prmetry výztuže --4/P-8 N or. 6 je vyreslen řv závslost velost ztížení q n zdávném svslém posunu vrcholu olouu w s, terá yl stnoven s přesností ε =,. N počátu má tto řv lneární průěh. Př rostoucím w s zčíná růst reltvní ntočení dϕ jednotlvých průřezů v něterých částech olouu podsttně lesá ohyová tuhost EI. Poles tuhost má svou příčnu nejen ve změně geometre smotného proflu, le zejmén v přeročení meze luzu 7

80 Deformční metod v nelneární mechnce mterálu. S lesjící tuhostí p znčně lesá hodnot ztížení q, terá je potřená dosžené předepsného posunu w s. N následujícím or. 6 jsou p znázorněny tvry deformovného olouu př rostoucím průhyu w s. Nejvyšších hodnot reltvního ntočení dϕ je dosženo v místech, de dochází vyoulení olouu do jeho strn dále p v jeho středu. V těchto místech nývjí hodnoty ohyových tuhostí nejmenších hodnot. Poles tuhost je zde něolnásoný. Npříld př w s = m hodnot efetvní ohyové tuhost ve vrcholu olouu lesl ž n EI = 9 Nm (z původní hodnoty EI = 5 Nm ). w s [m] EI [Nm ], 743,,4 8,4,6 44,8,8,6, 67,5, 4,5,4 88,,6 6,8,8 4,6, 9, T. 5) Příld 7.3., hodnoty efetvní ohyové tuhost ve vrcholu olouu q [N/m] ,,4,6,8,,4,6,8 ws [m] Or. 6) Příld 7.3., prcovně - deformční chrterst olouu př spojtém ztížení q 7

81 Deformční metod v nelneární mechnce w s [m] q [N/m], 46,86,4 4,5,6,6,8 8,, 5,79, 4,4,4 3,,6,34,8,49,,6 T. 6) Příld 7.3., zísné hodnoty ztížené q v závslost n posunu w s -3,5-3 -,5 - -,5 - -,5,5,5,5 3 3,5,5 ws [m],5,5 3 3,5 4 Or. 6) Příld 7.3., deformovný olou pro zdné hodnoty posunu vrcholu w s Dle následující t. 7 můžeme říc, že změny dély olouu l můžeme znedt zhru do hodnoty průhyu w s = m, terá odpovídá s čtvrtně vzepětí olouu. Zde je tto změn dély menší než 5% řešení lze povžovt z oretní. Př větších průhyech je chy ve výpočtu jž neznedtelná. 73

82 Deformční metod v nelneární mechnce w s [m] l [%],5,4,5,5,75,8, 4,3,5 5,9,5 7,6,75 9,5,,8 T. 7) Příld 7.3., změny dély olouu př zdných deformcích w s 7.4 Nelneární řešení ocelové olouové výztuže př exstenc psvních sl V této ptole se př řešení počítá s ntercí výztuže oolní hornny. Je použt nejstrší nejjednodušší model nterce s oolním prostřením Wnlerův model. Tento záldní model ptří mez jednoprmetrcé modely s lneární odezvou n ztížení, protože pro jeho pops stčí pouze jedn onstnt, oefcent stlčtelnost podloží C [45]. Ztížení ocelové výztuže dlouhých důlních děl může ýt v zásdě tvní neo psvní. Atvní ztížení je vyvoláno zejmén tíhou rozvolněné hornny, teré půsoí n výztuž ve svslém v horzontálním směru. Může ýt vyvoláno též tíhou technologcého zřízení č rázovým ztížením př vznu důlního otřesu. Dále v dlouhých důlních dílech může ýt vyvoláno tvní deformční ztížení deformujícím se hornnovým msvem. Atvním ztížením se ocelová olouová výztuž deformuje v přípdě, že má ontt s hornnou deformce výztuže má směr "do hornny", dochází slovému půsoení hornny n výztuž, jež je vyvoláno deformující se výztuží. Tto nduovným slám říáme psvní síly ztížení p psvní ztížení. Psvní ztížení je tedy deformční ztížení vyvolné tvním ztížením ocelové olouové výztuže. Psvní síly mjí velm příznvý vlv n únosnost n deformc ocelové výztuže. Stlzují j tím, že vyvolávjí ve výztuž podsttně příznvější hodnoty slože vntřních sl než smotné tvní ztížení [7]. Předpoládejme, že výztuž je tvně ztížen. Důsledem tohoto ztížení se výztuž ude deformovt v přípdě onttu s hornnou směru deformce výztuže "do hornny" udou vznt psvní síly. Oě zde uvedené podmíny, ontt s hornnou směr deformce, jsou nutné, mjí-l psvní síly vznnout. Předpoládejme nejprve, že psvní síly udou vznt po celém ovodu výztuže. Celou délu olouu rozdělíme n n dílů o délce ds. Předpoládejme dále, že v ždém 74

83 Deformční metod v nelneární mechnce vznlém styčníu půsoí psvní síl olmo n střednc olouu. Kždá psvní síl předstvuje dlší jednoduchou vzu, pružný poddjný yvný prut. Celem tedy održíme n přímových dílů, teré tvoří olou n+ yvných prutů, teré evvlentně nhrzují vznjící psvní síly (or. 6). Tímto rozdělením vznne celem n p neznámých prmetrů vetoru deformce r. Tyto neznámé deformce lze zíst pomocí oecné deformční metody řešením soustvy rovnc () n- n Or. 6) Schém olouu př exstenc psvních sl V průěhu ztěžování se mterál výztuže nemusí chovt lneárně. Může se chovt fyzálně nelneárně může se měnt tvr proflu. Důsledem je změn ohyové tuhost proflu, terá je funcí vntřních sl (ohyového momentu M normálových sl N). Hodnotu ohyové tuhost př dných složách vntřních sl povžujeme z lneární (evvlentní ohyová tuhost). Pro možnost jejího jednoznčného vyjádření je vhodné j defnovt jo func reltvního pootočení (řvost) dϕ normálové síly N Mtce tuhost soustvy K Mtc tuhost K soustvy zísáme lolzcí gloálních mtc tuhostí jednotlvých dílů olouu mtc tuhostí yvných prutů smulujících psvní síly. Mtce K je př nelneárním řešení funcí ztěžovcího vetoru F. Gloální mtce tuhost jednotlvých přímových dílů, teré tvoří olouovou výztuž, zísáme pomocí vzthů (4), (5) (6). 75

84 Deformční metod v nelneární mechnce EA EA ds ds EI 6EI EI 6EI 3 3 ds ds ds ds 6EI 4EI 6EI EI * ds ds ds ds = (4) EA EA ds ds EI 6EI EI 6EI 3 3 ds ds ds ds 6EI EI 6EI 4EI ds ds ds ds T cosψ snψ = snψ cosψ cosψ snψ snψ cosψ (5) = T T * T (6) V těchto vztzích je ds dél jednotlvých dílů olouu, ψ je úhel ntočení -tého dílu. EI je hodnot evvlentní ohyové tuhost dílu, teré se v průěhu výpočtu zísává lneární nterpolcí v závslost n reltvním ntočení dϕ dílu hodnotě normálové síly N z řve n or. 64. Pro výpočet EI yly použty vzthy (7) ž (3) uvedené v ptole Gloální mtce tuhost yvných prutů, teré evvlentně nhrzují psvní síly, zísáme pomocí následujících vzthů (7) ž (). U těchto yvných prutů volíme délu l =. Ploch je dán násoem šířy proflu (pro profl P-8 je = 5 mm) součtu polovn déle ds dvou přléhjících dílů olouu. Modul pružnost E je určen hodnotou oefcentu stlčtelnost C. * = (7) K podl, 76

85 Deformční metod v nelneární mechnce 77 + = + = =, podl s s C s s C l EA K (8) π ψ ψ ϑ + + = (9) = cos sn sn cos cos sn sn cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ T () = = sn cos sn cos sn cos,,,, * podl podl podl podl T K K K K ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ T T () Or. 63) Detl prutů v -tém styčníu včetně nznčení příslušných deformcí ψ - ψ ϑ ( ) w u ϕ ( ) w u ϕ ( ) w u ϕ ( ) w u ϕ ( ) u w ( )

86 Deformční metod v nelneární mechnce 4,,, tuhost EI [Nm^] 8, 6, 4,,, -, -,8 -,6 -,4 -,,,,4,6,8, reltvní ntočení dϕ [rd/mm] N = -N N = -8N N= -4N N = N N = +4N Or. 64) Křvy evvlentních ohyových tuhostí EI pro profl P-8 [4] 7.4. Postup výpočtu Pro řešení použjeme rovnce (7) ž (75) uvedené v ptole V ždém terčním rou neustále přepočítáváme prvy mtce tuhost K. Nové hodnoty jsou závslé nejen n změně geometre onstruce, le n změně ohyové tuhost jednotlvých dílů EI. Zároveň v ždém terčním rou ontrolujeme, zd v yvných prutech, teré nhrzují psvní síly, nevzná th. Neoť n onttech s výztuží nemohou zprvdl thové síly vznt (yvné pruty jsou jednostrnné vzy). Je-l yvný prut tžený, položí se hodnot součntele C v příslušné mtc () velm mlé hodnotě, npř. C = -5 Nm -3. Tím se vyloučí půsoení oolní hornny n výztuž. Zd th vzná, lze zjstt porovnáním směrového úhlu yvného prutu ϑ směru deformce α δ, v dném -tém styčníu. Směr deformce výztuže př splnění podmíny () není "do hornny", výztuž nemá v tovém přípdě ontt s hornnou nevznjí v dném místě psvní síly. π π ϑ < αδ, < ϑ + () 78

87 Deformční metod v nelneární mechnce u α δ, w ϑ π ϑ + π ϑ Or. 65) Grfcé vysvětlvy e vzorc () Řešené příldy Příld Popsným postupem yl řešen výztuž --6/P8. Tto výztuž je tvořen třem ocelovým olouy, teré jsou vzájemně přeplátovány. Rozměry jednotlvých olouů dély přeplátování jsou uvedeny v zdávcím formulář n or. 66. Je zdán hodnot stlčtelnost oolního prostředí C = 36 MP/m 3 po celém ovodu výztuže. Výztuž je ztížen svslým spojtým rovnoměrným ztížením. x [m] -3,5-3, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,5 3, 3,5,5 z [m],5,5 3 3,5 Or. 66) Geometre výztuže --6/P-8 79

88 Deformční metod v nelneární mechnce q Or. 67) Příld , schém ztížení výztuže Nejprve yl výpočet proveden ez exstence psvních sl. N or. 68 je znázorněn závslost ztížení q n vhodně zvolené deformc, což pro tento příld yl svslý posun vrcholu olouu w s. Hodnot ztížení q zde nepřerčuje 7 N/m. N následujícím or. 69 je p zorzen postupná deformce výztuže v závslost n zdných hodnotách w s ztížení q [N/m] 5 4 3,,4,6,8,,4 deformce ws [m] Or. 68) Příld , prcovně - deformční chrterstu ocelové olouové výztuže ez exstence psvních sl 8

89 Deformční metod v nelneární mechnce w s [m] q [N/m], 67,46,4 3,99,6 5,8,8,6,,9,,86,4, T. 8) Příld , zísné hodnoty ztížené q v závslost n w s ez exstence psvních sl x [m] -3,5-3, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,5 3, 3,5,5 z [m],5,5 3 3,5 Or. 69) Příld , postupná deformce olouu ez exstence psvních sl w s [m] l [%],,4,4,3,6,3,8 3,6, 4,9, 6,5,4 8, T. 9) Příld , změny dély olouu př zdných deformcích w s ez exstence psvních sl 8

90 Deformční metod v nelneární mechnce Dle hodnot v t. 9 můžeme říc, že změny dély olouu l můžeme znedt zhru do průhyu w s = m, terý je roven s třetně vzepětí olouu. Zde je tto změn dély menší než 5% řešení můžeme povžovt z oretní. V dlším rou yl jž výpočet proveden př exstenc psvních sl. N or. 7 je opět znázorněn závslost ztížení q n zvolené deformc w s. Hodnot ztížení q zde přerčuje 5 N/m, což je více než trojnásoe mxmální hodnoty ez exstence psvních sl. K tomu, y př exstenc psvních sl docházelo velým deformcím, je tedy zpotřeí větších ztížení než ez jejch exstence 3 5 ztížení q [N/m] 5 5,,4,6,8,,4 deformce ws [m] Or. 7) Příld , prcovně - deformční chrterstu ocelové olouové výztuže př exstenc psvních sl w s [m] q [N/m], 5,9,4 98,5,6 58,5,8 47,58, 4,46, 3,87,4 5,69 T. ) Příld , zísné hodnoty ztížené q v závslost n posunu w s př exstenc psvních sl 8

91 Deformční metod v nelneární mechnce N or. 7 můžeme sledovt chování výztuže př její deformc. Př větších deformcích jž nedochází e spolupůsoení hornny s výztuží výztuž se deformuje směrem od hornny. V této olst se s yvným pruty, teré zstupují psvní síly, jž nepočítá v mtc tuhost K. x [m] -3,5-3, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,5 3, 3,5,5 z [m],5,5 3 3,5 Or. 7) Příld , postupná deformce olouu př exstence psvních sl w s [m] l [%],,4,4,,6,3,8 3,6, 5,, 7,4,4 9,8 T. ) Příld , změny dély olouu př zdných deformcích w s př exstence psvních sl Dle hodnot v t. můžeme říc, že změny dély olouu l můžeme znedt, stejně jo př řešení ez exstence psvních sl, zhru do průhyu w s = m, terý je roven s třetně vzepětí olouu. 83

92 Deformční metod v nelneární mechnce Příld Opět je řešen výztuž --6/P8. Tentorát výztuž ztěžujeme z levé strny spojtým rovnoměrným horzontálním ztížením. Pro zjímvost řešení je zde levá podpor uložen posuvně. Jo vhodnou deformc vstupující do výpočtu jsme zvoll vodorovný posun u x odu x, terý je vzdálený -,957 m od vrcholu olouu (od lízo podpory ). q Or. 7) Příld , schém ztížení Nejprve jsme provedl řešení opět ez exstence psvních sl. N or. 73 je znázorněn závslost ztížení q n zvolené deformc u x. Hodnot ztížení q zde nepřerčuje 9 N/m. N následujícím or. 74 je zorzen postupná deformce výztuže v závslost n zdných hodnotách u x. Z tohoto orázu je ptrné, že ez exstence psvních sl dochází volně deformcím ve směru vodorovného ztížení. 9 8 ztížení q [N/m] ,,4,6,8,,4 deformce ux [m] Or. 73) Příld , prcovně - deformční chrterstu ocelové olouové výztuže ez exstence psvních sl 84

93 Deformční metod v nelneární mechnce u x [m] q [N/m], 3,4,4 6,8,6 7,85,8 8,66, 8,, 8,5,4 4,8 T. ) Příld , zísné hodnoty ztížené q v závslost n posunu u x ez exstence psvních sl x [m] -,5-3,5-3, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,5 3, 3,5,5 z [m],5,5 3 3,5 Or. 74) Příld , postupná deformce olouu ez exstence psvních sl u x [m] l [%],,,4,,6,4,8,8,,,,7,4,4 T. 3) Příld , změny dély olouu př zdných deformcích u x ez exstence psvních sl 85

94 Deformční metod v nelneární mechnce Dle hodnot v t. 3 můžeme říc, že změny dély olouu l můžeme znedt př velých hodnotách zdné deformce u x. Řešení tedy můžeme povžovt z oretních př velých posunech podporového odu. V dlším rou yl jž výpočet proveden př exstenc psvních sl. N or. 75 je opět znázorněn závslost ztížení q n zvolené deformc u x. Hodnot ztížení q zde přerčuje 4 N/m, což je něolnásoe mxmální hodnoty ez exstence psvních sl. K tomu, y př exstenc psvních sl docházelo velým deformcím, je tedy zpotřeí mnohem větších ztížení než ez jejch exstence. 6 4 ztížení q [N/m] 8 6 4,,4,6,8,,4 deformce ux [m] Or. 75) Příld , prcovně - deformční chrterstu ocelové olouové výztuže př exstenc psvních sl u x [m] q [N/m], 4,7,4 4,64,6 9,3,8 5,9, 4,75, 4,48,4 3,6 T. 4) Příld , zísné hodnoty ztížené q v závslost n posunu u x př exstenc psvních sl 86

95 Deformční metod v nelneární mechnce N or. 76 můžeme sledovt chování výztuže př její postupné deformc. Př exstenc psvních sl se posuvná podpor zsouvá směrem do výztuže, ztímco prvá strn, teré je ráněno v deformc psvním slm, zůstává téměř ve stejné poloze. Dle hodnot v t. 5 můžeme říc, že změny dély olouu l můžeme znedt zhru do posunu u x =. m, což je s pětn rozpětí olouu. Zde je tto změn dély menší než 5% řešení můžeme povžovt z oretní. x [m] -,5-3,5-3, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,5 3, 3,5,5 z [m],5,5 3 3,5 Or. 76) Příld , postupná deformce olouu př exstenc psvních sl u x [m] l [%],,,4,8,6,5,8,5, 3,7, 5,,4 6,3 T. 5) Příld , změny dély olouu př zdných deformcích u x př exstenc psvních sl 87

96 Deformční metod v nelneární mechnce U této výztuže --6/P8, terá je ztížená z levé strny spojtým rovnoměrným horzontálním ztížením, yl proveden ještě jeden výpočet to pro přípd, dy je horní část výztuže odryt (or. 77). q Or. 77) Příld , schém výztuže př částečné exstenc psvních sl V horní část, de není zemn, nevznjí psvní síly. Tto část yl zdán ve vzdálenost x -,55;,55. Byl zde rán v úvhu té sutečnost, že podpor je pouze jednostrnná nepřenáší th. V přípdě, že v ní vznl thová rece, yl tto podpor vynechán ve výpočtu. N or. 78 je znázorněn závslost ztížení q n zvolené deformc u x. Mxmální hodnot ztížení q zde přeshuje hodnotu 5 N/m. 3 5 ztížení q [N/m] 5 5,,4,6,8,,4,6,8 deformce ux [m] Or. 78) Příld , prcovně - deformční chrterstu ocelové olouové výztuže př částečné exstenc psvních sl 88

97 Deformční metod v nelneární mechnce u x [m] q [N/m], 7,68,4 4,88,6 3,48,8,74, 8,56, 7,65,4 6,76,6 5,7,8 4,86, 4,69 T. 6) Příld , zísné hodnoty ztížené q v závslost n posunu u x př částečné exstenc psvních sl N následujícím or. 79 je zorzen postupná deformce výztuže v závslost n zdných hodnotách u x. N tomto orázu můžeme pozorovt, j se výztuž chová př postupném zvětšování vodorovného posunu u x. Dochází její deformc směrem nhoru do část, terá je odryt de deformcím nerání psvní síly. Až doonce dojde ndzvednutí podpory, terá je pouze jednostrnná nepřenáší th. x [m] -,5-3,4 -,8 -,3 -,7 -, -,6,,6,,7,3,8 3,4,5 z [m],5,5 3 3,5 Or. 79) Příld , postupná deformce olouu př částečné exstenc psvních sl 89

98 Deformční metod v nelneární mechnce u x [m] l [%],5,5,,,5 4,4, 9,,5 5, T. 7) Příld , změny dély olouu př zdných deformcích u x př částečné exstenc psvních sl Dle hodnot v t. 7 můžeme říc, že změny dély olouu l můžeme znedt zhru do posunu u x =.5 m, což je s čtvrtn rozpětí olouu. Zde je tto změn dély menší než 5% řešení můžeme povžovt z oretní. Tyto dv uvedené příldy uzují, že únosnost stejné výztuže se pohyuje ve velm šroých mezích ovlvněných zejmén rozložením tvních sl půsoících n výztuž podmínm, teré se vytvoří pro nterc hornny s výztuží Srovnání výsledů zísných pomocí uvedeného nelneárního řešení s výsledy zoušy důlních výztuží Ocelové olouové výztuže používné zejmén v hornctví do znčné míry v podzemním stvtelství se vyráějí stále v reltvně velém množství jsou plovány v nejrůznějších, čsto velm otížných podmínách. Používjí se nejčstěj v tzv. poddjném provedení. Jejch vlstnost se ověřují expermentálně př ztěžování prvů této výztuže neo př ztěžování celých ocelových olouů. Smuluje se přtom sutečné ztížení, teré může v důlních podmínách nstt. Potřené zušení zřízení jž v Česé repulce neexstuje. Celé důlní výztuže se mohou zušeně ověřovt v Ktovcích v Polsu v GIG (Glowny nsttut gornctw). Postupuje se přtom dle normy [6], terá vznl v mnulost ve spoluprác uvedené orgnzce Vědecovýzumného uhelného ústvu Ostrv-Rdvnce, de zušení zřízení pro důlní výztuže ylo té. V letošním roce proěhly v GIG Ktovce zoušy důlních výztuží [9] dle poždvů oděrtele těchto výztuží OKD,.s. Ostrv ArcelorMttl.s. Ostrv. Výsledy těchto zouše u nově zváděné výztuže SP 6/4 z proflu TH-9 z ocel 3Mn4 v nepoddjném provedení jsou v této ptole srovnávány s výsledy zísným pomocí uvedeného nelneárního řešení. Výztuž typu SP 6/4 je tvořen čtyřm ocelovým olouy z proflu TH-9, teré jsou vzájemně přeplátovány. Prmetry jednotlvých olouů dély přeplátování jsou uvedeny n or. 8. 9

99 Deformční metod v nelneární mechnce Or. 8) Prmetry zoušených dveřejí typu SP 6/4 [9] Or. 8) Profl TH-9 Výztuž v nepoddjném provedení yl př zoušce vystven půsoení tvních psvních sl (or.8). Atvní síly jsou tvořeny rovnoměrným spojtým ztíženém q, teré půsoí ve vrcholu olouu olmo e střednc v délce 3 m (síly F 4, F 5 F 6 ). Psvní síly (síly F, F, F 3, F 7, F 8 F 9 ) půsoí z levého, respetve z prvého ou ocelové olouové výztuže. Výsledné hodnoty změřených tvních sl půsoících n výztuž F c =F 4 +F 5 +F 6 hodnoty odpovídjících posunutí vrcholu olouu y jsou n or

100 Deformční metod v nelneární mechnce Or. 8) Schém ztížení dveřejí (F 4, F 5, F 6 tvní síly; F, F, F 3, F 7, F 8, F 9, - psvní síly) [9] Postup ztěžování výztuže odpovídjící provedené zoušce yl modelován vytvořeným softwrem. K tomu ylo nezytné znát způso ztížení výztuže (or. 8), její geometrcé rozměry (or. 8) řvy efetvní ohyové tuhost pro profl TH-9 z ocel 3Mn4. Pro profl TH-9 pro uvedenou jost ocel, stejně jo pro jž dříve uvedený profl P-8, stnovl A. Mropoulos J. Podešv efetvní ohyové tuhost EI, teré jsou závslé nejen n reltvním ntočení průřezu dϕ, le n normálové síle N, terá v průřezu vzná [3], or. 83. Výztuž yl modelován, stejně jo př zoušce, jo nepoddjná, tzn. třecí spoje yly zloovné. N or. 84 je znázorněn závslost ztížení q n vhodně zvolené deformc, což pro tento příld yl svslý posun vrcholu olouu w s. V t. 9 jsou uvedeny hodnoty chyy, změny dély l výztuže, jo funce w s. Dle uvedených hodnot lze říc, že pro nám řešené hodnoty w s m nejsou tyto chyy podsttné. Pro tyto hodnoty je l menší než 5% výsledy můžeme povžovt z oretní. 9

101 Deformční metod v nelneární mechnce 4,, tuhost EI [Nm^], 8, 6, 4,,, -, -,8 -,6 -,4 -,,,,4,6,8, reltvní ntočení dϕ [rd/mm] N = -N N = -8N N= -4N N = N N = +4N Or. 83) Křvy efetvních ohyových tuhostí EI pro profl TH-9 [3] 5 ztížení q [N/m] 5 5,,,3,4,5,6,7,8,9 deformce ws [m] Or. 84) Prcovně - deformční chrterst výztuže SP 6/4 ve vyztuženém stvu 93

102 Deformční metod v nelneární mechnce w s [m] q [N/m],5 85,7, 6,,5 97,, 54,,4 49,4,6 7,5,8,8, 5,4 T. 8) Zísné hodnoty ztížené q v závslost n posunu w s pro výztuž SP 6/4 ve vyztuženém stvu x [m] -3,5-3, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,5 3, 3,5,5,5 z [m],5 3 3,5 4 4,5 5 Or. 85) Postupná deformce výztuže SP 6/4 ve vyztuženém stvu w s [m] l [%],,3,4,,6,9,8 3,, 4,3 T. 9) Změny dély výztuže SP 6/4 ve vyztuženém stvu př zdných deformcích w s 94

103 Deformční metod v nelneární mechnce Or. 86) Výslede zoušy výztuže SP 6/4 z proflu TH9 z ocel 3Mn4 [9] Př zoušce [9] yl stnoven mxmální únosnost výztuže F mx = 65 N odpovídjící snížení výšy výztuže w = 9 mm (or. 86). Uvedeným nelneárním řešením pomocí oecné deformční metody yl stnoven hodnot mxmální únosnost F mx = 3 q mx = 659 N odpovídjící w = 9 mm. N or. 87 je p znázorněno srovnání výsledu zoušy dveřejí [9] nám zísných hodnot, de F c = 3 q. Tyto hodnoty se téměř shodují, což potvrzuje oretnost postupu modelování vyvnutého softwru. 7 6 celová síl Fc [N] ODM zouš,,4,6,8,,,4 deformce ws [m] Or. 87) Srovnání prcovně-deformční chrtersty zísné zoušou pomocí oecné deformční metody 95

104 Deformční metod v nelneární mechnce Pops vytvořeného softwru N záldě ždého uvedeného postupu yl vytvořen softwre v prostředí Mcrosoft Excelu pomocí progrmovcího jzy Vsul Bsc, terý yl následně použt pro řešení příldů. V této ptole je uveden pops softwru vytvořeného n záldě postupu formulovného v této ptole 7.4. Tento postup řeší nejsložtější úlohu uvedenou v této prác, jelož zhrnuje všechny typy zde uvedených nelnert. Uvedený softwre se zývá nelneárním řešením ocelových olouových výztuží. Prvním roem výpočtu je zdání hodnot potřených pro určení geometre výztuže. Do zdávcího formuláře (or. 88) je zpotřeí zdt prmetry výztuže: počet ruhových olouů (dílů), ze terých je olouová výztuž tvořen dél ždého ruhového dílu výztuže poloměr zřvení ruhových dílů výztuže dél přeplátování (přerytí) s následujícím dílem orentční dél jednoho dílu, n teré ude výztuže rozdělen Or. 88) Zdávcí formulář pro prmetry potřené určení geometre výztuže Geometr výztuže, terá yl vytvořen n záldě zdných prmetrů, s můžeme zontrolovt. N or. 89 modré ody předstvují styčníy, teré určují n dílů, n teré yl výztuž rozdělen. Z orázu je ptrné, že v něterých místech jsou styčníy nhuštěny (dél dílů je menší). N tomto or. 89 tto míst odpovídjí přeplátování jednotlvých dílů výztuže. Tto sutečnost vysvětluje, proč se zdává pouze orentční dél jednoho dílu. Dél dílu je totž př určování geometre upřesněn s ohledem n dély jednotlvých ruhových dílů jejch vzájemných přeplátování. 96

105 Deformční metod v nelneární mechnce -3,5-3, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,5 3, 3,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Or. 89) Vytvořená geometre výztuže Dlším roem výpočtu je zdání následujících vstupních údjů potřených pro výpočet: profl, ze terého je ocelová olouová výztuž (níd je omezen pouze n dv uvedené profly, pro jné ztím neyly určeny hodnoty efetvní ohyové tuhost EI potřené pro výpočet) - TH-9 z ocel 3Mn4 - P-8 z ocel 5 Or. 9) Zdání proflu tvořícího výztuž uložení olouu n levé prvé strně - pevné podepření - posuvné podepření - vetnutí Or. 9) Zdání uložení olouu 97

106 Deformční metod v nelneární mechnce nterce výztuže s oolní hornnou (přítomnost psvních sl); poud se počítá s exstencí psvních sl, musí ýt zdán součntel stlčtelnost podldu C - výpočet s exstencí psvních sl - výpočet ez exstence psvních sl - výpočet s částečnou exstencí psvních sl (musí ýt zdán úse, n terém není nterce výztuže s oolní hornnou) Or. 9) Zdání psvních sl ztížení půsoící n ocelovou olouovou výztuž - osměl síl půsoící ve styčníu o úhel ntočení síly ( odpovídá směru osy x) o x-ová vzdálenost síly (poloh styčníu, ve terém síl půsoí) - spojté ztížení o svslé o vodorovné zlev o vodorovné zprv o vodorovné ooustrnné o omnce svslého vodorovného ooustrnného ztížení (nutno zdt oefcent vodorovného ztížení ε; vodorovné ztížení je ε násoem svslého ztížení) Or. 93) Zdání ztížení výztuže 98

107 Deformční metod v nelneární mechnce prmetry volené deformce - x-ová vzdálenost míst deformce (poloh styčníu) - typ deformce (vodorovná neo svslá) - ro výpočtu - mxmální deformce (př dosžení této hodnoty se výpočet uončí) Or. 94) Zdání prmetrů volené deformce prmetry výpočtu - ro relxčního součntele η - mxmální počet tercí mx - přesnost řešení ε Or. 95) Zdání prmetrů výpočtu Pozn. Tento popsovný softwre je postupně doplňován o nové vstupní prmetry dle potře řešených úloh. Po zdání všech hodnot můžeme spustt výpočet. Ten proíhá n záldě lgortmu grfcy znázorněného vývojovým dgrmem n or. 96. Pozn. Řešení soustvy rovnc proíhá pomocí Gussovy elmnční metody. Tto lscá metod je podroně vyložen v mnoh učencích mtemty, npříld v [6]. 99