Lieárí programováí Adjugovaý problém lieárího programováí V případě řešeí problému lieárího programováí LP ma{ c T : A b 0} získáváme výchozí přípustou jedotkovou bázi u doplňkových proměých a za předpokladu b 0 je možo asat výchozí řešeí jako ezáporou lieárí kombiaci jedotkových vektorů báze. Je-li obecě LP problém v kaoickém tvaru mi ma{ c T : A b 0} a matice A obsahuje jedotkovou submatici o hodosti m m je počet omezujících rovic potom výchozí bázické přípusté řešeí získáme tak že jeho souřadice odpovídající jedotkovým sloupcům položíme rovy prvkům b i i... m a ostatí souřadice položíme rovy ule. Jestliže matice A LP problému v kaoickém tvaru eobsahuje vhodou jedotkovou submatici eí výchozí bazické přípusté řešeí zřejmé. V tomto případě je účelé použít tzv. metodu umělé báze. LP problém v kaoickém tvaru který eobsahuje jedotkovou bázi rozšíříme zavedeím tzv. umělých proměých u u... u m a vytvoříme tak jedotkovou umělou bázi. Účelovou ukci lze apsat ve tvaru c c... c wu... wum mi omezeí řešeí je ve tvaru a a... a m a a a m...... a... a... a 0; u u... u m m u u u m b 0; w >>>.velké kladé číslo. Rozšířeím úlohy o umělé proměé jsme získali ový LP problém který azýváme adjugovaý LP problém. b b m
Adjugovaý problém je ale jiá úloha ež původí LP problém proto je uté ukázat souvislosti řešeí obou problémů. Souvislosti řešeí adjugovaého LP problému a původí LP úlohy Eistuje-li optimálí řešeí adjugovaého LP problému s ulovými umělými proměými potom je optimálím řešeím původího LP problému. Eistuje-li optimálí řešeí adjugovaého LP problému které obsahuje kladé umělé proměé potom eeistuje přípusté řešeí původího LP problému možia řešeí původího LP problému je prázdá. Nemá-li adjugovaý LP problém koečé optimálí řešeí emá ai původí problém koečé optimálí řešeí. Příklad : Řešme úlohu lieárího programováí ve tvaru mi Úlohu převedeme do kaoického tvaru mi Kaoický tvar úlohy eobsahuje jedotkovou bázi. Po zavedeí umělých proměých dostáváme adjugovaý LP problém který řešíme simpleovou metodou wu u u wu u mi u
u u b - - 0 0 0-0 - - 0 0 -w -w 0 Vytvoříme bázi umělých proměých u u b - - 0 0 0-0 w- w- -w -w 0 0 w u u b - - 0 0 0 - - 0 w- w- 0 -w 0 w u u b 0 -/ -/ / / 0 / -/ -/ / 0 0 w-/ w-/ /-w /-w * * * 0 V tomto případě eistuje optimálí řešeí původího LP problému ve tvaru * Příklad : Řešme úlohu lieárího programováí ve tvaru 7 ma Úlohu převedeme a adjugovaý LP problém u wu 7 u ma
u b - 0-0 7 - - 0 w 0 Vytvoříme bázi umělých proměých u b - 0-0 7 w- -w- 0 0-7w u b - 0-0 - w-7 0 w 0 -w * 7 * Posledí řádek posledí simpleové tabulky u prví proměé ukazuje že řešeí adjugovaého problému je optimálí. Bohužel umělá proměá je eulová tudíž optimálí řešeí původího LP problému eeistuje. Duálí úlohy lieárího programováí Každé úloze lieárího programováí je přiřaze jistý LP problém který se azývá duálí. Původí úloha je vzhledem k této úloze primárí. Pozatky o dualitě slouží k hlubšímu rozboru řešeí a úloh LP k odvozeí speciálích metod řešeí a k zeektivěí metod řešeí. Řešeí pomocí MATLABu V této kapitole ukážeme řešeí úloh lieárího programováí pomocí ukce liprog kterou obsahuje optimalizačí toolbo MATLABu. Popis ukce X LINPROGAb solves the liear programmig problem: mi '* subject to: A* < b
Řešeí příkladu 90 90 00. MAX Navazující předmět ORR - Optimálí rozhodováí a řízeí pro. Štecha.
Úlohy Úloha 9.: Řešte úlohy lieárího programováí a 7 6 b 7 c 0 d 8 Úloha 9.: Směšovací problém Ze tří složek je třeba amíchat 0 kg směsi. Prví složka stojí 0 Kč/kg druhá 0 Kč/kg a třetí 0 Kč. Přitom směs musí obsahovat alespoň 0 procet druhé složky maimálě 60 procet druhé složky a miimálě procet třetí složky. Formulujte úlohu jako úlohu lieárího programováí a určete hmotostí podíl složek ve směsi tak aby byly suroviové áklady miimálí.