3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se vsktují derivace hledaé fukce jedé proěé Parciálí difereciálí rovice: rovice, ve které se vsktují parciálí derivace hledaé fukce dvou a více proěých Řáde difereciálí rovice azýváe řád ejvšší derivace hledaé fukce v daé rovici 3Defiice: Občejou DR -tého řádu azýváe rovici F,,, 0, která vjadřuje vztah ezi ezáou fukcí jedé proěé a jejíi derivacei do řádu Řešeí DR F,,, 0 -tého řádu a itervalu I azýváe každou -krát diferecovatelou fukci, která vhovuje daé rovici tj, dosadíe-li tuto fukci a její derivace do daé DR je tato rovice splěa idetick (řešeí DR ůže být eje v eplicití tvaru, ale i v paraetrické ebo iplicití) Pozáka: M se budee podroběji věovat difereciálí rovicí a řádu, které obsahují resp Cauchovou úlohou pro difereciálí rovici F(, ozačujee úlohu F(,, ( 0 ) 0 Její řešeí je řešeí, které splňuje počátečí podíku ( 0 ) 0 Druh řešeí difereciálích rovic řádu F Z hlediska obecosti řešeí záe:,,, 0 : obecé řešeí rovice - řádu tvoří každá fukce tvaru C C C,, která daou DR splňuje pro libovolé kostat C C C Obecé řešeí ted vžd obsahuje itegračí kostat 4
partikulárí řešeí (částečé) získáe přiřazeí kokrétích hodot itegračí kostatá C C C 3 výjiečé řešeí - elze získat z obecého řešeí i kdž za kostat C C C dosadíe jakákoliv čísla Výjiečé řešeí eistuje je u ěkterých DR Křivka, která zázorňuje řešeí daé difereciálí rovice, se azývá itegrálí křivka této difereciálí rovice Pozáka: M budee u daých DR hledat obecé řešeí ebo partikulárí řešeí DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘÁDU f ( ), je ejjedodušší tpe difereciálí rovice Dokážee-li alézt k fukci f () fukci priitiví, dokážee také vřešit tuto difereciálí rovici Pak: f ( ) d Kostata je zahruta v itegrálu Z toho je zřejé, že hledaá fukce eí jedozačě určea, ale že difereciálí rovice á řešeí ekoečě oho Např rovice á obecé řešeí C, 4 atd jsou její partikulárí řešeí Itegrálí křivk této difereciálí rovice jsou parabol rovoběžě posuuté ve sěru os Jelikož za C ůžee zvolit libovolé reálé číslo, ůžee a hledaou fukci klást další požadavek - zvolit počátečí podíku, viz Cauchova úloha Chcee apříklad, ab hledaá itegrálí křivka 5 Pak C C procházela přede zvoleý bode A,5, tj 5 C 4, takže rovice hledaé křivk bude 4 Difereciálí rovice se separovaýi proěýi rozuíe každou rovici, kterou lze zapsat ve tvaru P 0 3Věta: Nechť fukce P a lze a oblasti a, b c, d vjádřit obecé řešeí ve tvaru: Q Q jsou spojité pro všecha a, b, c, d, poto P d Q d C 5
Často se ůžee setkat s DR v tzv separovatelé tvaru: Q S 0 P R Za předpokladu, že Q R 0, 0 upravíe DR a tvar se separovaýi proěýi, poto lze obecé řešeí vjádřit ve tvaru: P S d d C Q R Pozáka: Rovice ůže ít i výjiečá řešeí pro R 0 P S 0, což je DR Q R 3 Hoogeí difereciálí rovice Rovice f, tvar: se azývá hoogeí, lze - li ji jedoduchýi úpravai upravit a kde F je spojitá fukce F, Pozáka: Po úpravě se v rovici ohou proěé a vsktovat výhradě ve zloku, tz, esí v í být saostatě Při řešeí hoogeí difereciálí rovice použijee substituci z a tí převedee rovici a rovici se separovaýi proěýi 4 Eaktí difereciálí rovice 3Defiice: Nechť P(, a Q (, jsou fukce ající spojité parciálí derivace Řekee, že difereciálí rovice P(, d Q(, d 0 je eaktí, pokud výraz P (, d Q(, d je totálí difereciále ějaké fukce dvou proěých Pozáka: ) Rovice je ted eaktí právě tehd, kdž eistuje fukce (, s vlastosti (, P(, a (, Q(, 6
) P (, d Q(, d je difereciále ějaké fukce, právě kdž platí 3) Výraz P(, Q(, (, (, d (, d d se azývá difereciál fukce (, a fukce (, se azývá keová fukce tohoto difereciálu 3Věta (řešeí eaktí rovice): Je-li (, keová fukce difereciálu P (, d Q(, d, á rovice P(, d Q(, d 0 obecé řešeí iplicitě určeé rovicí (, C, C R 5 Lieárí difereciálí rovice Jsou jed z ejdůležitějších difereciálích rovic řádu a jsou to takové rovice, které jsou lieárí vzhlede k ezáé fukci a její derivaci Obecý tvar lieárí difereciálí rovice řádu je: P( ) Q( ), kde P ( ), Q( ) jsou spojité fukce v itervalu I Pokud je v uvažovaé itervalu Q ( ) 0 dostáváe hoogeí lieárí difereciálí rovici prvího řádu (zkráceý tvar): P( ) 0, což je rovice řešitelá separací proěých K alezeí řešeí ehoogeí rovice (úplý tvar, s pravou straou) se užívá tzv etod variace kostat: Pozáka: Fukce 0 vhovuje rovici P( ) 0, dostaee ji volbou C 0 e itegrací, ale 7
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘÁDU Tpů difereciálích rovic řádu je veli oho, se budee zabývat pouze řešeí lieárích difereciálích rovic řádu s kostatíi koeficiet Jedá se o rovici tpu: A kde A 0 a B, C jsou reálé kostat B C D(), Pozáka: Je- li avíc D( ) 0, jedá se o hoogeí lieárí difereciálí rovici (zkráceý tvar) Tato rovice á vžd kostatí řešeí 0, tzv triviálí Např: 3 0 jedá se o hoogeí lieárí difereciálí rovici 3 jedá se o ehoogeí lieárí difereciálí rovici Máe-li dáu rovici A B C D(), pak rovice, která vzike ahrazeí pravé stra ulovou fukcí (tj A B C 0 ) se azývá hoogeí rovice příslušá ehoogeí rovici A B C D() Dvojici fukcí ), ( ) azýváe fudaetálí ssté řešeí rovice ( A B C 0, pokud, jsou dvě etriviálí lieárě ezávislá řešeí daé rovice O lieárí ezávislosti fukcí rozhodee poocí Wroského deteriatu (Wroskiáu): W ( ) ( ) ( ) ( ), pokud W 0, pak jsou ), ( ) lieárě závislé fukce, pokud W 0, jsou ), ( ) lieárě ezávislé fukce ( ( Řešeí hoogeí lieárí DR s kostatíi koeficiet Měje zkráceou rovici A B C 0 Ukážee, že všecha řešeí takovéto rovice dokážee ajít bez použití itegrace, a že je dokážee vjádřit poocí eleetárích fukcí Dosadíe do levé stra rovice za k e (hledáe řešeí v toto tvaru), k a ke k e k, kde k je kostata k Po úpravě dostáváe: e Ak Bk C 0 k Jelikož e 0, bude platit, že je řešeí, pokud k bude řešeí tzv charakteristické rovice (kvadratická rovice pro ezáou k) 8
Ak Bk C 0 Tuto charakteristickou rovici odvodíe sado ze zadáí, kde ísto dosadíe dosadíe k a ísto dosadíe k, ísto Nalezeí fudaetálího sstéu řešeí zkráceé rovice: Měje rovici A B C 0 a její charakteristickou rovici Ak Bk C 0 Řešeí zkráceé rovice závisí a to, jaké jsou koře charakteristické rovice: Jsou-li k, k e ( ) k R ( k k ) dva růzé reálé koře char rovice, pak ( ) k e a Je-li k R dvojásobý reálý koře char rovice, pak ( ) k e a ( ) k e 3 Jsou- li k, k i R dva kopleě sdružeé koře char rovice, pak ( ) e cos( ) a ( ) e si( ) Fukce, tvoří fudaetálí ssté řešeí rovice A B C 0 a obecé řešeí 0 á tvar: C ( ) C ( ), kde C, C R 0 Řešeí ehoogeí lieárí DR s kostatíi koeficiet Měje úplou rovici A B C D() Obecé řešeí úplé rovice á tvar: ˆ, 0 kde 0 je řešeí příslušé zkráceé rovice a ŷ je partikulárí řešeí úplé rovice, příslušé pravé straě D() Nalézt 0 uíe, takže zbývá alézt partikulárí řešeí To je ožo poocí dvou etod: Lagrageova etoda variace kostat (uiverzálí etoda použitelá pro každou lieárí difereciálí rovici) etoda eurčitých koeficietů (etoda použitelá pouze v případě speciálího tvaru pravé stra 9
Metoda eurčitých koeficietů a Pro ěkteré fukce D() (tzv speciálí pravé stra obecě: e P cos Q si ůžee tvar partikulárího řešeí přede odhadout a ásledě jedoduše dopočítat Tvar speciálí pravé stra a k ěu příslušého partikulárího řešeí ŷ je dá v ásledující tabulce fukce D koře k ásobost P 0 P 0 a e P k a e P k a e P cos Q si k i l a e P cos Q si k i l tvar kořee ŷ k p k r r p e a p r r a e p a e p cos q si a l, r r a e p cos q si a l, l Lagrageova etoda variace kostat Pricip etod je aalogický řešeí lieárí difereciálí rovice řádu Měje ehoogeí lieárí difereciálí rovici s kostatíi koeficiet ve tvaru p q f (), kde p, q R Záe-li řešeí příslušé zkráceé rovice p q 0 ve tvaru C ( ) C ( ), kde C, C R Předpokládaé obecé řešeí úplé difereciálí rovice p q f () je tvaru C ( ) ( ) C ( ) ( ), kde C ), C ( ) jsou spojitě diferecovatelé fukce ( 30
Nechť fukce C ), C ( ) splňují soustavu ( C ( ) ( ) C ( ) ( ) 0 C( ) ( ) C ( ) ( ) D( ), Při řešeí soustav vužijee Wroskiáu a Craerova pravidla Získaé C ), C ( ) dosadíe do C ( ) ( ) C ( ) ( ) ( 3