9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a + b) = a + a b +... šestý čle bude mít jako dolí 0 číslo biomického koeficietu číslo x = x y x = x = x 0 0 0 9 8 99 ( xy) 9 4y 4 4 y y y Pedagogická pozámka: Vždy se ajde ěkdo, kdo si euvědomí, že mociy b a spodí čísla v biomických koeficietech začíají od uly a počítá sedmý čle místo šestého.. Př. : Urči čle biomického rozvoje xy 0 y. x, který obsahuje Nezámá y se vyskytuje pouze v prvím čleu původího dvojčleu hledáme čle rozvoje, který obsahuje sedmou mociu prvího čleu jde o čtvrtý čle (dolí číslo biomického koeficietu se rová ) 0 0! 0 9 8 ( xy) x y x y xy 6 6 = = =. x!! x 8x Pedagogická pozámka: Pokud chcete žákům trochu zavařit ahraďte ezámé x, y ezámými a, b. Někteří budou totálě zmatei, jií budou potřebovat dovysvětlit zadáí. Př. : Urči absolutí čle (čle, který eobsahuje proměou) biomického rozvoje x + x. Absolutí čle = čle, který eobsahuje ezámou musíme ajít taková čísla, aby platilo: = a + b = 0 b = a, x a + b = (platost biomické věty), a + a = a = ; b = 9 hledáme desátý čle (pro k = 0 ). pokráceí ezámé ( x ) Hledaý čle: ( x ) a 9 9 9 0 9 x 9 9 4 9 = =. x x b
Pedagogická pozámka: Studeti počítají potřebé mociy z hlavy. Řešeí pomocí soustavy rovic přesto ukazuji jako variatu pro obtížější případ. Pedagogická pozámka: Pokud je málo času, stačí spočítat u ásledujícího příkladu pouze jede z obou bodů. Př. 4: Pomocí biomické věty vyjádři v algebraickém tvaru komplexí čísla: a) ( i), b) ( i). a) 6 4 4 ( i) = + ( i) + ( i) + ( i) + ( i) + ( i) + 0 4 6 4 6 + ( i) + ( i) = i + i i + i i + i i = 6 = i + i + i + i = 8 + 8i b) ( i) = 4 ( ) ( ) ( i) ( ) ( i) ( ) ( i) ( )( i) ( i) 4 = + + + + + = 0 4 4 = 9 9 + 0 0 + = 9 4 0 + 0 + = = 6 6i i i i i i i i i Pomocí biomické věty je možé spočítat i operace, které by jiak (a bez kalkulačky) byly začým oříškem. Př. : Vypočti,0 bez kalkulačky pomocí biomické věty. Problém: V zadáí eí ikde vidět biomická věta musíme vytvořit dvojčle. ( ) ( ), 0 = + 0, 0 = + 0 = 4 4 = + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) = 0 4 = + + + + + = 4 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0, 00000 Pedagogická pozámka: Většiu ásledujících příkladů eí aprostá většia studetů schopa vyřešit samostatě. Nemá ceu je echávat příliš dlouho se trápit, lepší je popostrčit třídu a echat ji příklady dopočítat. Navíc a ě ai ezbývá příliš moho času.
Př. 6: Urči součet + + +... + +. 0 Součet připomíá biomický rozvoj, kterému chybí mociy a a b. Přesě takto by však rozvoj vypadal, kdyby platilo a = b =... 0 + + + + + = = + + +... + + = ( + ) = 0 Správost výsledku si můžeme zkotrolovat. Kombiačí číslo udává počet k-prvkových k podmoži možiy s prvky výraz + + +... + + udává počet 0 všech podmoži možiy prvky, kterých je (jak jsme si říkali, když jsme probírali variace s opakováím). Př. : Pomocí biomické věty dokaž, že výraz 6 je pro každé přirozeé číslo dělitelý pěti. Je to divé, ale asi to opravdu fuguje: = 6 = 6 = - je dělitelé pěti = 6 = 6 = - je dělitelé pěti = 6 = 6 = - je dělitelé pěti Hledáme důkaz: dělitelost z výrazu 6 musíme vytkout (zatím tam žádá eí), výraz 6 eobsahuje biomickou větu, kterou máme použít, apíšeme ( ) 6 = + a máme obojí (pětku i biomickou větu). Použijeme biomickou větu: ( + ) = ( a + b) = + + +... + + = 0 = + + +... + + = 0 = + + +... + 0 Všechy čley biomického rozkladu obsahují mociy pěti, kromě posledího, který se rová a odečte se s jedičkou, která stojí mimo biomický rozklad můžeme vytkout a tedy výraz 6 je pro každé přirozeé číslo dělitelý pěti. Pozámka: Trik použitý v předchozím příkladu se při důkazech dělitelosti používá často. 0
Př. 8: Zaokrouhli číslo,0 a tisíciy. Půjdeme a to přes biomickou větu. ( ),0 0,0 = + = 6 4 4 = + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + 0 4 6 + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) = 6 4 6 8 0 4 = + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 4 6 Čley biomického rozvoje se od leva doprava postupě zmešují (kvůli zvětšující záporé mociě desítky) musíme ajít ejmeší čle, který ještě ovlivňuje výsledek a tisíciy 4 4 zkusíme čle 0 0 = - čley více apravo jsou ještě meší 4 4, 0 + 0 + 0 = + 0 + 0 =, 0, 0. 0 Číslo,0 zaokrouhleé a tisíciy se rová,0. Dodatek: V době předkalkulačkové byla jedou z ejdůležitějších oblastí užité matematiky oblast přibližých výpočtů. Jedím z ejběžějších vzorců byl vztah: ( x) v situacích, kdy x ( x je daleko meší ež ). + + x, používaý zejméa Pomocí biomické věty můžeme odhadout chybu takového zaedbáí. ( + x) = + x + x +... + x = 0 + x + x +... + x Chyba zaedbáí ( x) ( x) + + je rova absolutí hodotě vyechaých čleů biomického rozvoje: + x + x = x +... + x = x + x +... + x platí: a + a +... + ak a + a +... + ak ( ) ( ) x <,, x <, a ještě x = x x + x +... + x < x + +... +. ( + x) ( + x) = x + x +... + x x + x +... + x Dále víme, že x < a tedy: 4
Pro součet kombiačích čísel v závorce platí:... + + + <, celkově tedy dostáváme: ( ) ( ) x x x + + <. V kokrétím případě u příkladu by horí odhad chyby vyšel: 0, 0 = 0, 08. Př. 9: Petáková: straa 48/cvičeí 8 straa 49/cvičeí 86 straa 49/cvičeí 90 straa 49/cvičeí 9 a) c) e) straa 49/cvičeí 99 b) d) Shrutí: