PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY OBJEKTIVNÍMI METODAMI

Matematico-fyziálí faulta Uiverity Karlovy v Praze MICHAL BAŤKA PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY OBJEKTIVNÍMI METODAMI

O autorovi Doc. RNDr. Michal Baťa, DrSc. je pražým rodáem. Po abolvováí gymaia vytudoval a Matematico-fyziálí faultě UK v Praze obor matematia. Po uočeí tudia v roce 96, ja bylo v této době obvylé, dotal umítěu a to do výpočetí laboratoře miitertva dopravy. Hydrometeorologicý útav byl v této době říze miitertvem dopravy a bylo tedy logicé, že požádal výpočetí laboratoř dopravy, aby ím začala polupracovat a umericé předpovědi počaí. Byl proto pověře touto poluprací, a ta e začal zabývat problémy umericé předpovědi počaí a v důledu toho taé i fyziou atmoféry. V této době a záladě rovice vorticity úpěšě realizoval a počítači Ural model pro předpověď hladiy 5 hpa, terý byl obdobou modelu vyviutého v USA v letech po druhé větové válce. V roce 965 e tal apiratem a matematico-fyziálí faultě, ejdříve v Cetru umericé matematiy, de začala jeho polupráce atedrou meteorologie a limatologie vedeou profeorem Stailavem Bradejem. Čleem této atedry e později tal. Vyučoval zde umericou matematiu a realizaci meteorologicých modelů a počítačích. Pro realizaci ložitějších již třídimeioálích modelů měl zde možot výpočtům používat v této době moderí počítače ICT v ČKD a později IBM v ČSAV. Po habilitačím řízeí byl v roce 984 jmeová docetem v oboru umericá matematia a utaove a atedře meteorologie MFF UK. V větu 99 zíal hodot DrSc. v oboru meteorologie a limatologie a habilitoval e taé i a doceta v tomto oboru. V letech 99 až 994 byl čleem meziárodího týmu v Méteo Frace v Touloue a zúčatil e vývoje loálího modelu pro předpověď počaí ALADIN, terý je v oučaé době v ČHMU používá pro aždodeí předpověď počaí a jeho výledy jou prezetováy v televizi. V oučaoti e jao emerití pracoví účatí práce a atedře meteorologie a limatologie.

MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA UNIVERSITY KARLOVY V PRAZE PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY OBJEKTIVNÍMI METODAMI Michal Baťa PRAHA 4

Vydavatelý zázam

Obah ížy Předmluva traa. Modelováí vývoje atmoféry a zálady umericé předpovědi počaí yopticéhoměříta používaá v meteorologii. Kartograficá zobrazeí používaá v meteorologii 5 3. Optimalizace geografie modelů a omezeé oblati a optimálí volba parametrů Lambertova oformího zobrazeí 35 4. Rovice pro změu hyboti a tradičí aproimace 48 5. Rovice mělé vody 83 6. Formulace progoticých rovic a zemé féře 98 7. Sytémy vertiálích ouřadic, laicá teorie 9 8. O traformaci dat mezi ytémy vertiálích ouřadic 6 9. Úvod do diferečích metod 44. Lieárí ocilátor mity a vly 58. Čaová itegračí chémata a jejich apliace a rovici lieárího ocilátoru a třeí 69. Rovice advece 87 3. Vlové pohyby v atmoféře a jejich důledy pro předpovědí modely 5 4. Hydrotaticé modely a modely plě tlačitelou atmoférou 3 5. Početí dipere gavitačích-ierciálích vl v diferečích chématech a imulace geotroficého přizpůobeí 47 6. Nelieárí evolučí parciálí difereciálí rovice 64 7. Aproimace elieárí rovice advece - ozervativí chémata 69 8. Eulerový barolií model v hydrotaticém přiblížeí 8 9. Semi-Lagrageové barolií modely v hydrotaticém přiblížeí 3. Formulace rovic pro emiimplicití oreci a jejich řešeí 37. Diagoalizace matice pro metodu reduce dimeze 335. Ortogoálí vertiálí ormálí módy 339 3. Metody rozladu pro řešeí etacioárích úloh 35 4. Galeriova aproimace a petrálí metody 359 5. Fiití Fourierova traformace 37 6. Spetrálí model a omezeé oblati a pricipy modelu ALADIN 383 7. Iicializace meteorologicých modelů a gravitačí vly 48 8. Záladí iformace o parametrizacích používaých v modelech 46 9. Příprava dat pro předpovědí modely - objetiví aalýza 43 3. Techia programováí meteorologicých modelů 48 3. Možoti objetiví předpovědi počaí a změ limatu 43 3. Dodaty Modifiace rovic e tavovou rovicí pro vlhý vzduch 435 Modelové atmoféry 438 Horizotálí difúze 44 Rotace féricých ouřadic 444 Výpočet vah vlivu řídícího modelu 447 Vztah mezi féricými a artézými ouřadicemi 448

K obahu jedotlivých apitol Tet publiace můžeme podle obahu v podtatě rozdělit a dvě čáti. Prví čát ládající e z apitol. až 7. e zabývá formulací rovic do tvaru vhodého pro výpočet vývoje atmoféry. Úvodí apitol rátce popiuje hitoricý vývoj objetiví předpovědi počaí a pa hruje záladí pozaty fyziy atmoféry. Další dvě apitoly. A 3. jou věováy matematicé artografii, terá e používá pro formulaci modelů a omezeé oblati. Vzhledem tomu, že předpověď e provádí a dotatečě velé oblati, ebo docela globálí předpověď, tedy a celé zeměouli, jou v apitole 4. formulováy řídící rovice ve féricých ouřadicích. V této apitole jou tudováy důledy zjedodušeí rovic azývaé Normaem Phillipem tradičí aproimace. Tato čát dává taé odpověď a otázu, teré čley rovic je třeba při použití tradičích aproimací v rovicích vyechat, aby byl zachová záo zachováí mometu hyboti. Kapitola 5. Popiuje model atmoféry zjedodušeý a jediou vrtvu otatí hutoty. Teto model e azývá divergetí barotropí model atmoféry ebo též Rovice mělé vody. Teto jedoduchý model má již většiu vlových vlatotí jao ložité modely atmoféry. Na tomto modelu je možé demotrovat ázorě moho vlatotí a taé formulací progoticých rovic. Model je taé používá pro tetováí umericých metod řešeí předpovědích rovic. V apitole 6. Je pa odvozea formulace řídících rovic pro modely a omezeé oblati, teré jao horizotálí ouřadice používají artézý ytém v roviě oformí mapy. Poledí Kapitola 7. této prví čáti je věováa laicé teorii traformace rovic do ouřadicových ytémů, teré používají zobecěou vertiálí ouřadici. Je třeba zdůrazit, že tato laicá teorie předpoládá, že atmoféra je tále v hydrotaticé rovováze. Jao záladí ytém, ze terého e pro traformace vychází, je z-ytém, de vertiálí ouřadicí je výša ad hladiou moře. Traformace do ového ytému vertiálí ouřadice je formulováa obecě pro libovolý mootóí vztah mezi původími a ovými ouřadicemi. Hlaví pozorot je věováa formulaci řídících rovic pro dva ytémy používaé pro předpověď. Jou to σ-ytém a hybridí η-ytém. Obecou traformaci lze použít i pro traformaci rovic do p-ytému, de ezávile proměou je tla p. Kapitolou 8. začíá druhá čát ížy, terá e věuje umericým metodám řešeí meteorologicých problémů. Tato prví apitola této druhé čáti bezprotředě avazuje a doplňuje předchozí apitolu. Je zde řešea umericá realizace traformace dat mezi dvěma ytémy vertiálích ouřadic. Obah apitoly vychází ze zušeotí traformacemi z p- ytému do σ-ytému a zpět. Tyto traformace byly používáy v předpovědím modelu daého v roce 988 do provozu v ČHMU. Traformace pomocí ubicých pliů e uázala efetiví a velmi přeou. V příloze je taé uvedea taé traformace iterpolací vadraticých polyomů, terou použil Shuma.F., Hovermale J. B. v roce 968 v provozím modelu v USA: A Operatioal Si-Layer Primitive Equatio Model. V oučaoti, dy modely mají vertiálě více ež 3 hladi je při tomto rozlišeí možé používat i méě přeou jedoduchou lieárí iterpolaci. Další apitoly 9. až. ezamují čteáře e záladími pozaty o metodě oečých diferecí, teré e v meteorologii používají. Jou zde zavedey pojmy aproimace derivací,

ale i evolučích rovic, umericého řešeí evolučích rovic a podmíe jeho tabilího řešeí. Dále jou tudováa diferečí chémata vzhledem proměé čau. Kapitola. je věováa řešeí lieárí i elieárí rovice advece diferečí metodou. Kapitola 3. e zabývá tudiem vlových pohybů v atmoféře a plě tlačitelými ehydrotaticými modely v ouviloti vlovou teorií. Kapitola 4. S ázvem Hydrotaticé modely a modely plě tlačitelou atmoférou. Na záladě vlové teorie rovává fuci hydrotaticých modelů ehydrotaticými modely plě tlačitelou atmoférou. Studuje taé problémy viající při formulaci a realizaci ehydrotaticého modelu v řivočarých ouřadicích opírujících teré. Stručě e zmiňuje i o výzamých ehydrotaticých modelech využívaých v meteorologii. Kapitola 5. Studuje lieárí čát řídících rovic, terá imuluje proce geotroficého přizpůobeí. Pro umericé řešeí tohoto ytému e zde pouzuje aproimace a růzých třídavých ítích z hledia početí dipere gravitačích-ierciálích vl. Kapitoly 6. a 7. e zabývá elieárími evolučími parciálími difereciálími rovicemi a jejich aproimacemi, teré plňují záoy zachováí. Kapitoly 8. a 9. Obahují formulace aproimací Eulerového a emi-lagrageového modelu v hydrotaticém přiblížeí. Kapitoly.,. a. popiují metodiu řešeí implicití čáti aproimace předpovědích rovic. Celový potup je áledující. Semiimplicití chéma je formulováo ve dvou rocích. Prvím roem je eplicití aproimace, druhým roem je pa oprava, terá změí toto chéma a emiimplicití a vyřeší implicití rovice této opravy. Kapitola 3. e zabývá řešeím etacioárích úloh metodou fatorizace, terá původí úlohu rozdělí a ěoli po obě jdoucích jedodušších úloh. Kapitoly 4., 5. a 6. Defiují petrálí metodu obecě jao metodu ejlepší aproimace v metrice Hilbertova protoru. Tato defiice je založea a Galeriově metodě. Pro model ALADIN, terý je petrálím modelem a omezeé obdélíové oblati jou jao bae použity ve měru obou horizotálích proměých trigoometricé fuce. Ve petrálím protoru jou tedy fuce vyjádřey jao oečé Fourierovy řady. Pro realizaci traformací do petrálího protoru a zpět je pa použita rychlá Fourierova traformace. Protože fuce předpovědího modelu ejou a obdélíové výpočetí oblati periodicé, je výpočetí oblat rozšířea a fuce a této rozšířeé oblati jou doplěy vhodým způobem a periodicé fuce. Kromě traformací do petrálího protoru a zpět je zde uvede taé výpočet derivací v petrálím protoru. Kapitola 7. Je vlatě poledí apitolou, terá podroběji vyvětluje tudovaou látu. V í je tudová problém odtraěí ežádoucích gravitačích vl vetší amplitudy, teré jou způobey tím, že v počátečích datech eí pole rozložeí hmoty atmoféry v rovováze polem prouděí. Odtraěí těchto ežádoucích gravitačích vl z modelu úpravou počátečích podmíe e azývá iicializací. Další již velmi ráté apitoly 8. až 3. jou pouze iformačími, aby doplily celový pohled a modelováí v meteorologii. Poledí apitola pa obahuje oobí ázory autora a možoti předpovědi počaí a limatu, globálí otepleí a jié poré otázy. Na závěr je uvedeo šet dodatů, teré obahují ěteré zaloti používaé v meteorologii.

Předmluva Úolem této ížy je hrout záladí pozaty, teré by měl zát meteorolog, terý pracuje v oboru modelováí vývoje atmoféry a počítačích. Stěžejím úolem v této oblati je umericá předpověď počaí a záladě itegrace rovic hydrodyamiy atmoféry. Dalšími apliacemi využívající tuto předpověď jou apřílad výpočty šířeí zečišťujících láte v yopticém, tedy územím měřítu z průmylových aglomerací, zejméa po haváriích v chemicých závodech, ebo dooce i atomových eletráre. Předpovědí modely jou po určitých úpravách taé používáy v oblati limatologie. Pro provedeí výpočtů i zobrazeí jejich výledů e používají mapy. Je proto logicé, že výlad začíá ěterými důležitými pozaty z artografie. Dále jou formulováy rovice dyamiy atmoféry a rotující Zemi. Přitom je lade důraz a oziteci zjedodušeí obecých rovic dyamiy atmoféry a taé jejich formulaci a zařiveém povrchu Země. Pro loálí modely a omezeé oblati je to ytém ortogoálích ouřadic a oformí mapě. Závěrem této prví čáti zabývající e formulací modelů jou tudováy ytémy řivočarých vertiálích ouřadic opírujících zemý povrch používaých pro umericou předpověď meteorologicých prvů. Druhá, hlaví čát ížy e zabývá problémy umericé realizace této předpovědi. Tato problematia je velmi ložitá, protože e jedá o řešeí evolučích elieárích parciálích difereciálích rovic. Tyto rovice popiují v podtatě dva záladí mechaizmy změ proměých popiujících tav atmoféry. Jedím z ich jou změy způobeé pohybem atmoféry v poli větru. V rovicích teto jev popiují právě elieárí čley rovic. Druhým mechaizmem jou vlové pohyby v atmoféře. Pro meteorologii jou to zejméa gravitačí vly a ejdůležitější Robyho vly. Po obecé teorii umericého řešeí evolučích rovic jou zde formulováy rovice orétího meteorologicého modelu v hydrotaticém přiblížeí a vyvětley metody řešeí, tedy čaová itegrace rovic tohoto modelu. Tato čát vychází ze zušeotí autora realizací modelu, terý byl v deím provozu v ČHMU (Čeém hydrometeorologicém útavu), dále z modelů, teré byly zoušey v rámci dotorého tudie tudetů, teré jem vedl pro zíáí Ph.D. a taé z účati a vývoji regioálího modelu ALADIN, de byl autor v letech 99 až 994 čleem meziárodího týmu v Méteo Frace v Touloue. Model ALADIN je v oučaé době v ČHMU používá pro aždodeí předpověď počaí. Kíža vzila z předáše autora a Matematico-fyziálí faultě UK pro obor meteorologie a limatologie zušeotech při vedeí adidátých a dotorých prací. Obahuje taé původí teoreticé výledy autora. Je to zejméa apitola o optimálí volbě Lambertovy oformí mapy a řešeí rovic emiimplicití orece ta, aby vzilá orajová úloha byla pro eparabilí elipticou parciálí difereciálí rovici. V Praze v říju rou 4. Michal Baťa

. Modelováí vývoje atmoféry a zálady umericé předpovědi počaí yopticého měříta Úvod Proč je modelováí vývoje atmoféry pro meteorologii ta důležité? Deší meteorologii můžeme chápat jeda jao vědí obor, terý e zabývá fyziálími záoy, teré atmoféra plňuje a a tomto záladě tuduje růzé meteorologicé jevy. Tato vědí oblat e azývá taé fyziou atmoféry. Jeda jao praticou čiot zabývající e převážě zpracováím meteorologicých iformací, dále poytující předpověď počaí, varováí před ebezpečými meteorologicými ději i další iformace. Nezavěceým by e mohlo zdát, že teoreticá výzumá čiot je v určité míře ezávilá a praticé meteorologicé čioti a obráceě, že praticá meteorologicá čiot používá je málo výledů teoreticé meteorologie, ale eí tomu ta. Meteorologie jao fyziálí věda má tu zvláštot, že atmoféru jao cele emůžeme apodobit v malém měřítu v laboratorích podmíách. Proto laboratoří meteorologie je utečá atmoféra Země a eperimet v laboratoři je ahraze měřeím údajů, pozorováím a vyvětleím dějů, teré v atmoféře probíhají. K tomu e v poledí době používá umericé modelováí tudovaých dějů. Tyto výpočty umožňují oučaé vyoce výoé počítače. Při modelováí e počítá obvyle vývoj objetivích parametrů popiujících tav atmoféry vztahujících e ěterému jevu v atmoféře, ebo i celovému vývoji atmoféry. V tomto druhém případě e jedá o modely všeobecé cirulace, tedy globálí meteorologicé modely a rověž modely a omezeé oblati, teré dovolují detailější popi tavu atmoféry. Modelováí vývoje atmoféry e opírá o hluboé teoreticé pozaty oboru meteorologie a matematiy, zejméa umericé matematiy a programováí počítačů, a terých e tyto rozáhlé výpočty realizují. Do modelováí vývoje atmoféry padá tedy umericá předpověď počaí, ja pro výzumé účely, ta i pro aždodeí předpověď v meteorologicé prai. Položme i yí otázu, co je de záladím úolem praticé meteorologie. Řel bych, že to je co možá ejpřeěji objetivě zjitit oučaý tav atmoféry a jejího dalšího vývoje. Tím rozumíme běr, otrolu zpracováí a archivaci čaového průběhu tavu atmoféry a vhodých počítačových mediích. Vývoj tavu atmoféry e pa využije pro předpověď počaí, varováím před ebezpečými meteorologicými jevy, případým velým zečištěím atmoféry umulací emitovaých láte, ebo při haváriích. Uchovávaá data e používají taé teoreticým tudiím chováí atmoféry, pouzováí limaticých změ i pro modelováí změ limatu. Meteorologie zajišťuje tedy iformace ja pro občaou veřejot, ta i peciálí iformace pro árodí hopodářtví, dopravu, zeměděltví, port i armádu. Ve Spojeých tátech počítali, že eoomicý přío meteorologicé lužby je přiejmeším deetrát větší ež álady vyaložeé a její čiot... Něoli lov z hitorie Na hitorii vývoje objetiví předpovědi počaí a záladě rovic hydrodyamiy je zajímavé, že teorie v podtatě o celé toletí předběhla prví úpěšé umericé předpovědi. Úplý ytém rovic hydrodyamiy pro vývoj atmoféry byl zám již v roce 858 Helmholtzovi [3], terý jej tudoval z hledia řešeí meteorologicých problémů. Sám

Helmholtz i ai ai emylil, že by e tyto rovice daly použít předpovědi počaí. Může e zdát převapivým, proč muel uběhout ta velý ča, praticy let, ež byly tyto rovice úpěšě použity pro předpověď meteorologicých prvů, tedy předpověď počaí. Odpověď a to je áledující. Sytém rovic hydrodyamiy a tedy i hydrodyamiy atmoféry je elieárí a velmi ompliovaý. Neeituje zřejmě jeho ta zvaé aalyticé řešeí v oečém tvaru a teto ytém je možé řešit pouze metodami umericé matematiy. Druhým problémem jou počátečí a orajové podmíy, teré je třeba pro čaovou itegraci zát a dotatečě velé oblati, tedy oblati yopticého měříta. Pro zadáí počátečích podmíe mohly loužit yopticé mapy. Jejich ázev pochází z řecého y optei což zameá oučaě vidět. Již z ázvu je tedy zřejmé, že yopticá mapa zobrazuje meteorologicé údaje v daý čaový oamži, tj. v době pozorováí a dotatečě velé oblati zemého povrchu. Syopticá mapa je pro tudovaou oblat vhodá, obvyle zjedodušeá geograficá mapa, a teré je předtištěa poloha meteorologicých taic. Do této mapy jou čílicemi a mluveými ymboly zaeey výledy pozorováí v íti meteorologicých taic v daém termíu. Tyto údaje jou vša epřehledé. Proto e provádí aalýza map, jejímž hlavím výledem je zareleí čar tejých hodot aalyzovaé fyziálí veličiy. Zarelují e apřílad pojice bodů tejého tlau izobary, tejé teploty izotermy i dalších veliči. Oba tyto úoy, ja zareleí pozorováí do podladové mapy, ta i zareleí izobar ubjetivě ruou, prováděl meteorolog yopti. Tato zíaá mapa e azývá ubjetivě aalyzovaá yopticá mapa. Taová mapa je již chopa poytout počátečí data pro umericou předpověď. Když mapu poryjeme apřílad pravidelou čtvercovou ítí a odečteme hodoty opět ubjetiví iterpolací do uzlových bodů ítě, dotaeme a obvyle obdélíové oblati počátečí data pro aalyzovaou veličiu. Ta e taé utečě připravovaly počátečí údaje pro prví umericé předpovědi počaí. Po druhé větové válce, dy byly provedey prví úpěšé umericé progózy, byla příprava dat taé potupě automatizováa. Subjetiví aalýza dat byla ahrazea objetiví aalýzou prováděou a počítačích. Objetiví aalýza počívá v tom, že z aměřeých údajů zíáme matematicou, tedy objetiví cetou, data přímo v uzlových bodech výpočetí ítě. Pa je možé pomocí programů pro releí vrtevic ado arelit izočáry libovolé fyziálí veličiy. Prví objetiví aalýzy počívaly a iterpolaci aměřeých dat pomocí polyomů. Uázalo e vša, že iterpolace pomocí polyomů ze zcela epravidelé ítě měřících taic do pravidelé výpočetí ítě e eovědčila. Pro tuto ložitou iterpolačí úlohu e hodí lépe metody založeé a matematicé tatitice. Statiticé metody vycházejí z předběžého pole, teré je defiováo v uzlech pravidelé výpočetí ítě. Hodoty z předběžého pole jou a pravidelé íti, a proto je adé je iterpolovat do bodů měřících taic, apřílad pomocí Lagrageových polyomů. Po této iterpolaci můžeme vypočítat odchyly předběžého pole od aměřeých hodot v bodech měřících taic. Potom pro aždý uzlový bod ítě áobíme odchyly v měřících taicích vhodými váhami a po jejich ečteí obdržíme pravděpodobou odchylu ve tudovaém bodě. Přičteím těchto odchyle hodotám předběžého pole dotaeme výledé opraveé pole aalyzovaého meteorologicého elemetu. Podle způobu výpočtu vah této iterpolace můžeme tyto metody ozačit za jedoduché orečí metody, de váhy iterpolace záviely pouze a vzdáleoti od uzlu, do terého iterpolujeme, ebo a přeější tatiticé metody vyviuté ruým matematiem-

tatitiem A. Kolmogorovem při terých jou pro aalyzovaou veličiu tudováy ta zvaé autooreačí fuce. Váhy iterpolace pa záviejí i a rozložeí taic v oolí uzlu, do terého iterpolujeme. Tato metoda iterpolace e azývá metoda optimálí iterpolace a byla pro meteorologii rozpracováa Lvem Gadiem, (ejdříve v Ruu, později v USA). Při prvích apliacích této metody e jao předběžé pole volilo pole tatiticých ormálů aalyzovaých veliči. Později e uázalo, že je lepší jao předběžé pole vzít pole předpověděé a prvích 6, ebo hodi. Ta vlatě přirozeou cetou vzila metoda aimilace dat do předpovědího modelu, terá e uázala vzhledem malému porytí ěterých území měřícími taicemi jao velmi efetiví. Jitá evýhoda této metody počívá v tom, že pro aimilačí proce lze použít pouze data aměřeá v čaových termíech po šeti ebo dvaácti hodiách. Tomu vyhovují data z pozemích a radioodážích taic a data ze tacioárích družic. Data z pohyblivých zdrojů, jao jou družice a polárích drahách, ebo měřeí z lodí a letadel e při této metodě e použít edají. Aby byla odtraěa tato evýhoda laicé aimilace dat byla vyviuta obecější metoda založeá a miimalizaci odchyle od aměřeých hodot, terá je formulováa matematicy jao miimalizace určitého fucioálu. Proto e tato metoda yzývá variačí aimilací dat. Tato metoda je přeější a mimo to umožňuje využít i data z pohyblivých zdrojů, zejméa družic létajících a polárích drahách, teré v aždém oamžiu měří data v jié oblati. Metoda variačí aimilace dat taé zahruje iicializaci dat pro jejich přímé použití jao počátečích podmíe pro čaovou itegraci. Důležitou roli pro včaé zíáí počátečích dat pro předpověď v reálém čae ehrál rozvoj teleomuiací, bez terého by větší rozvoj umericé předpovědi ebyl vůbec možý. Prví přízemí yopticé mapy byly etavey ěmecým meteorologem H. W. Bradeem v létech 86-8, ovšem z archivího materiálu. Atuálí yopticé mapy umožil etavit až vyález telegrafu. Prví atuálí yopticé mapy byly publiováy ve zprávách o počaí v oviách Daily New v roce 848 [5]. V této době e jedalo pouze o přízemí mapy. Výšové mapy, popiující údaje v celé tropoféře byly umožěy až radioodážími měřeími. To bylo ovšem až v období mezi oběma větovými válami. Dvě záladí podmíy pro hydrodyamicou předpověď počaí vylovil orý meteorolog Vilhelm Bjere v roce 94. Je to jeda dotatečě přeá zalot počátečích podmíe tavu atmoféry, jeda zaloti záoů, jimiž e změy atmoféry řídí. Početí předpověď počaí ozačil Bjere za hlaví a oečý cíl meteorologie jao eatí vědy. Norá šola ehrála taé výzamou úlohu v pochopeí dějů yopticého měříta. Prví praticý pou početí předpovědi počaí provedl Levi F. Richardo ocem prví větové vály. Při formulaci rovic dyamiy atmoféry vycházel Richardo z velmi zámé a obáhlé ihy Horace Lamb: Hydrodyamic [8]. Teto pou publioval v roce 9 v rozáhlé ížce [6] mající 36 tra. Tato íža je z hledia hitoricého velmi zajímavá, eboť e zabývá rozáhlou problematiou meteorologie. Zabývá e problémy, jao je zářeí, voda v atmoféře, eergetia atmoféry, vertiálí pohyby, třeí o zemý povrch atd. I dyž teorie v ížce je rozáhlá, pro praticý pou ezbývalo ic jiého, ež e omezit a záladí vztahy. Přeto pou očil eúpěšě. Pou byl formulová jao protorově dvojdimeioálí model, eboť v té době byla měřea a tedy dipozici pouze přízemí data. Výpočetí potup a záladě oečých diferecí byl z dešího hledia velmi moderí. Podle oudobého ázvoloví používal Richardo v podtatě třídavou C-íť 3

4 v Araawově laifiaci [4]. Tato íť je popáa a traě 49 ížy [6]. Protorová íť používala ve měru poledíů ro m a ve měru rovoběže 8 m. Čaový ro eplicitího čaového chématu cetrovaou diferecí byl 3 hodiy. Soutava rovic byla vša dotatečě obecá, obdobá rovicím mělé vody, taže její formulace obahovala i relativě rychlé gravitačí vly. Pro tabilitu výpočtu by bylo uté plit CFL riterium tability, teré by pro zvoleý protorový ro dovolovalo maimálí délu čaového rou řádově jedoty miut. Toto riterium vša odvodil a publioval Courat, Fridrich a Lewy až v roce 98 v čláu []. Dalším problémem mohla být i prává příprava počátečích dat. Počátečí data by eměla obahovat gravitačí vly větší amplitudy. Richardo ovšem eměl tehdy dipozici počítač, taže míto počítače měl ál moha počtářami vybaveými mechaicými alulátory. Proto by eměl šaci tuto úlohu e právou délou čaového rou v rozumém čae počítat. Po protudováí Richardoovy práce bych chtěl upozorit ještě a áledující edotate jím použitého modelu. Model je totiž formulová a záladě liearizovaých rovic uvedeých v Lambově hydrodyamice. Tyto rovice, teré e azývají Laplaceovy lapové rovice (Laplace tidal equatio) eobahují čley popiující adveci. Rovice popiují právě Robyho vly, eboť Corioliův parametr v rovicích je fucí zeměpié šířy a tedy proměý. Rovice vša popiují taé rychlé gravitačí vly, teré právě pro tabilitu výpočtu vyžadují relativě rátý čaový ro, což bylo hlaví příčiou havárie výpočtu. Úpěšá předpověď e podařila až po druhé větové válce upiě vedeé Chareym, Fjortoftem a vo Neumaem použitím prvího počítače ENIAC, vyviutého v roce 945 v USA. Tato předpověď byla založea a itegraci rovice vorticity pro předpověď výšy hladiy 5 milibarů, (v ovém ozačeí 5 hpa), za předpoladu že vítr v modelu je geotroficý. Tato formulovaý model popiuje pouze adveci a Robyho vly, epopiuje vša rychlé gravitačí vly, a proto i při použití eplicitího chématu dovoluje při zachováí tability o řád větší délu čaového rou... Rovice, jimiž e řídí pohyb atmoféry formulovaé v Eulerově tvaru v ierciálím artézém ytému. Záoy zachováí V meteorologii, tejě jao v hydrodyamice, de vyšetřovaé jevy mají maroopicý charater a týají e tedy tatiticého chováí velého možtví moleul, e pro vyšetřováí pohybu vzduchu používá předtava pojitého protředí otiua. Tato předtava ám umožňuje popi pohybu vzduchu pomocí matematicého aparátu difereciálích rovic. V tom je určitý rozpor mezi fyziou a matematiou. Hovoříme-li z hledia fyziy o čátici jaožto malém elemetu objemu vzduchu, považujeme jej vša ještě atoli velý, že obahuje velý počet moleul. Matematia ám dává adevátí popi pohybu taovýchto čátic, i dyž matematicá aalýza iterpretuje tyto čátice jao eoečě malé, tj. přeěji libovolě malé, a dívá e a ě jao a body. Pro matematicý popi pohybu vzduchu používáme, tejě jao v laicé mechaice Euleidový protor e ytém ouřadic, y, z, terý popiuje polohu bodu v protoru a ča t. Pro určeí polohy

5 bodů v protoru e v meteorologii používá ěterý ze ytémů obvyle ortogoálích řivočarých ouřadic. Pohyb vzduchu můžeme yí popat, ja je to v hydrodyamice obvylé těmito fucemi: vetorovým polem v(, y, z, t) de v je vetor rychloti čátic, tj. vetor větru, jehož ložy ozačme v = (u, v, w) a dvěma alárími poli, tlaovým polem p(, y, z, t) a hutotou vzduchu ρ(, y, z, t). Protože tla p, hutota ρ a abolutí teplota T jou vázáy tavovou rovicí, p ρ = RT de R je plyová otata pro uchý vzduch, používá e v meteorologii popiu tavu atmoféry míto hutoty teplota T, a již zmíěý tla p, což je přirozeější. Pozameejme ještě, že fyziálí parametry čátice, rychlot, tla, teplota a hutota jou dáy její polohou a čaem (Eulerova formulace) a jou ezávilé a její velioti ebo hmototi. Proto můžeme čátice považovat za čátice jedotové hmototi. Rovice popiující čaový vývoj tavu atmoféry, terým budeme říat řídící rovice, jou formulováy a záladě záoů zachováí. Jou to záoy zachováí:. záo zachováí hmoty. záo zachováí eergie 3. záo zachováí hyboti 4. záo zachováí vody v atmoféře. (Možtví vody v atmoféře bývá popáo jedím záoem zachováí a to zachováím vodí páry, ale ve ložitějších modelech mirofyziou i třmi záoy zachováí, pro aždé upetví vody zvlášť.) 5. záoy zachováí růzých příměí v atmoféře. Záoy zachováí zde rozumíme podle fudametálí práce P. D. Lae: Hyperbolic ytém of Coervatio Law II hyperbolicé ytémy rovic, jejichž tvar je defiová tato: Záo zachováí je rovice v divergetím tvaru, tedy 3 u t + f j = j Tato rovice vyjadřuje fat, že rychlot změy veličiy u obažeé v aždé oblati G -protoru je dáa toem vetorového pole (f, f, f 3 ) v G: j= (..) d dt ud = f d G (..) Moho fyziálích záoů má tvar záoa zachováí. Veličiy u a f závií a proměých, popiujících tav fyziálího ytému a a jeho derivacích. Sytémům tohoto typu věujeme dále celou apitolu. Na prvé traě rovice, vyjadřující záo zachováí je ula. Na prvé traě této rovice může být i ějaá zdrojová fuce, terá pa ovšem hodoty veličiy u, měí. Pro záo zachováí eergie je to apřílad příto, ebo ztráta tepla při radiačích proceech, ebo vlivem fázových přechodů vody, ebo při parametrizacích ovece. Tyto zdrojové fuce jou dáy ta zvaými parametrizacemi modelu. Pro rovice hyboti jou jao zdrojové fuce parametrizace třeí. Pouze záo zachováí hmoty atmoféry, terý je vyjádře rovicí otiuity, je obvyle v čité podobě, bez zdrojových fucí. Slovo obvyle je zde proto, že byla zoušea i parametrizace, terá vyjadřovala úbyte hmoty atmoféry, BG

6 tedy vlatě vodí páry vlivem ráže, terá odteče v rážové vodě. Při tudiu této parametrizace e uázalo, že teto úbyte hmoty atmoféry je pro meteorologii epodtatý. Prví tři záoy můžeme považovat za záladí čát modelu. Tato čát modelu daá záoy zachováí e obvyle azývá dyamicá čát modelu. Tato čát modelu ám dává vývoj záladích parametrů určující tav atmoféry, tedy vývoj termobaricého pole a pole větru. Při umericém řešeí e používají de obvyle čátečě implicití (emi-implicití) chémata, při terých pro výpočet hodot proměých v áledujícím čaovém rou dotáváme ložitou outavu pěti parciálích difereciálích rovic, vyjadřujících tyto tři záoy, terou muíme řešit. Je-li tedece vývoje atmoféry v daém čaovém oamžiu z dyamicé čáti modelu již vypočtea, pa výpočet čaových změ předpovídaých veliči daých vějšími vlivy je zahruta do pravých tra rovic vyjadřujících záoy zachováí. Tyto pravé tray rovic, azývaé parametrizacemi modelu, můžou zahrout apřílad změy možtví vody a její fázové přechody v atmoféře, při ichž vziají přítoy, ebo odběry tepla z atmoféry jou do změ teploty zahruty obvyle až po vyřešeí dyamicé čáti modelu. Teto způob zahrutí parametrizace je vlatě metoda fatorizace, teré e věujeme při metodách umericého řešeí rovic modelů. Výpočet parametrizací modelu probíhá tedy vcelu ezávile a dyamicé čáti modelu, zejméa a umericé metodě řešeí dyamicé čáti modelu. Výpočet parametrizací proto ezávií a tom, byla-li použita diferečí, petrálí metoda, ebo i v meteorologii méě používaá metoda oečých elemetů. Parametrizace jou formulováy a řešey vždy a dirétí výpočetí íti, a proto jou vlatě uiverálí vzhledem libovolému způobu řešeí dyamicé čáti modelu. Všiměme i yí matematicé formulace jedotlivých záoů zachováí v artézém ytému ouřadic. Eulerův tvar pohybových rovic Nechť u, v, w jou ložy rychloti rovoběžé oami ouřadic v bodě (, y, z) v čae t. Tyto veličiy jou fucemi ezávile proměých, y, z, t. Předpoládejme dále, že ejeom ložy rychloti u, v, w jou oečými a pojitými fucemi proměých, y, z, ale i protorové derivace u, v, w,.., atd. jou všude oečé. Taovémuto prouděí říáme pojitý pohyb a v dalším tudiu e a ěj omezíme. Pro aždou daou hodotu t defiují ložy rychloti pohyb ve všech bodech protoru, ve terém e achází teutia. Pro pevě zvoleé hodoty, y, z je dáa hitorie pohybu, terá proběhla v tomto mítě. Změy libovolého fyziálího parametru F jou v tomto pevém bodě dáy parciálí derivací podle čau, tedy hodotou F t terá e azývá loálí čaovou změou fuce F. Kromě této změy, můžeme tudovat čaovou změu vztažeou a jedu orétí čátici. Budeme-li ledovat pohyb čátice, terá je omezea malou uzavřeou plochou oblopující tudovaý bod P pohybující e apaliou, pa tato plocha uzavírá ve vém vitřu, tále tejou hmotu oblopující bod P. Změa hodoty fyziálí veličiy F této pohybující e orétí čátice, e azývá idividuálí změou veličiy F a rychlot její změy je dáa derivací, terou ozačujeme df dt. Tuto hodotu azýváme obvyle totálí derivací, ebo taé idividuálí čaovou změou.

7 Abychom počítali změu fuce F(, y, z, t) měící e pohybující e čáticí, všiměme i, že e čátice z počátečí polohy (, y, z) v čae t e dotae v čae t + δt do polohy ( + uδt, y + vδt, z + wδt). Odpovídající hodota F v tomto ocovém bodě je pa F( + uδt, y + vδt, z + wδt, t + δt) F = F(, y, z, t) + uδt F F F F + vδt + wδt + δt y z t + o(δt) (..3) Hodotu F(, y, z, t) převedeme a levou trau rovice, rovici dělíme δt a přejdeme limitě pro δt. Na levé traě rovice dotaeme hodotu, terou podle Stoee ozačme ymbolem d dt ebo též D Dt ozačující derivováí ledující pohyb teutiy a azýváme ji tedy obvyle totálí derivací, ebo idividuálí čaovou změou. Novou hodotu F můžeme vyjádřit vztahem, F + df dt δt de Pozameejme zde, že operátor df dt = F F F F + u + v + w t y z (..4) u F F F + v + w y z je elieárí a v matematice e azývá ovetivím operátorem, v meteorologii operátorem advece, protože popiuje pou hmoty atmoféry. Vzhledem elieároti vyžaduje teto operátor při diferečí aproimaci použít vhodá ozervativí diferečí chémata. V oučaé době e používají čato ta zvaá emi-lagrageová chémata, de e totálí derivace v daém uzlovém bodě výpočetí ítě aproimuje áledově. Při obvylém ozačeí echť F + zameá hodotu fuce v uzlovém bodě, v čae t. Pa alezeme polohu výchozího bodu v čae t t, ze terého e čátice v čae t dotala do zvoleého uzlového bodu. Nyí z oolích uzlových bodů v čae t t iterpolujeme hodotu fuce do výchozího bodu trajetorie, terou ozačme F. Nyí můžeme totálí derivaci vypočítat ze vztahu (F + F ) t. Při použití apřílad Lagrageovy ubicé iterpolace v roviě z oolích šetácti uzlových bodů ítě dotaeme velmi přeou a umericy tabilí aproimaci i pro relativě dlouhé čaové roy. Matematicá formulace záoů zachováí v atmoféře je áledující: Záo zachováí hmoty je vyjádře rovicí, terou azýváme rovice otiuity Teto záo lze formulovat pro jedu z těchto veliči. Pro hutotu ρ, což je v hydrodyamice ejobvylejší, pro měrý objem α = ρ a v meteorologii po traformaci vertiálí ouřadice taé pro tla p. Všiměme i yí formulace tohoto záoa pro hutotu ρ a měrý objem α. Odvozeí lze ajít v aždé učebici hydrodyamiy. Ve většiě učebic hydrodyamiy e rovice otiuity odvozuje pomocí Gauovy věty. Teto způob

8 odpovídá matematicé teorii elieárích parciálích difereciálích rovic hyperbolicého typu v divergetím tvaru, tedy matematicé teorii rovic záoů zachováí. Z Gauovy věty e taé vychází při formulaci diferečích chémat tazvaou metodou otrolovaého objemu. Rovici otiuity můžeme tedy pro hutotu ρ apat v advetivím tvaru a pro měrý objem α = ρ ve tvaru dρ + ρ ( u dt + v y + w z ) = (..5) dα α ( u dt + v y + w z ) = (..6) Doadíme-li em za totálí derivaci její rozvoj, můžeme rovici otiuity pát v divergetím tvaru ρ t + (ρu) + y (ρv) + z (ρw) = (..7) zde vetor ρv e azývá toem hmoty. Vzhledem e zaméu míu u oučiu měrého objemu divergecí e rovice (..7) edá přepat ta jao rovice otiuity (..6) paá pro hutotu do divergetího tvaru. Proto e ai rovice otiuity pro měrý objem téměř epoužívá. Záo zachováí eergie Teto záo zachováí eergie je vyjádře prví větou termodyamiy. Jetliže atmoféru považujeme za evazou teutiu, pa záo zachováí eergie ám říá, že změa eergie určitého objemu vzduchu, pohybující e čátice vzduchu, je dáa pouze přítoem eergie a to jeda přítoem tepla do daé pohybující e čátice, teré můžeme vatitativě popat idividuálí čaovou změou tepla a jedotu hmoty tedy hodotou dq dt, a jeda prací daou epazí, (ebo aopa tlačováím) daého objemu vzduchu. Tato práce je dáa zvětšeím objemu proti půobeí ormálových tlaových il půobících a povrch objemu. Práce vyoávaá při epazi proti íle tlau a jedotu hmoty za jedotu čau je dáa hodotou p(dα dt). Je tedy dáa vlatě oučiem tlau a rychloti rozpíáí objemu vzduchu. Protože vitří eergie ideálích plyů závií pouze a abolutí teplotě, je rychlot změy vitří eergie čátice dáa hodotou C v (dt dt) a termodyamicou větu můžeme pát ve zámém tvaru dt C v dt = dq dα p dt dt (..8) Kde C v je měré (dříve pecificé) teplo při otatím objemu, (C v je možtví tepla teré je potřeba ohřevu g vzduchu o K). Pro uchý vzduch je C v = 77 J g K, T je abolutí teplota, p tla vzduchu, α je měrý objem a tedy p(dα dt) ám přetavuje rychlot

9 práce vyoávaé reveribilím rozpíáím objemu čátice vzduchu, tedy rychlot změy vitří eergie čátice jedotové hmoty. Neuvažujeme zde tedy viozitu. Při formulaci meteorologicých modelů je používáo ěoli termodyamicých veliči. Jou to tla p, abolutí teplota T, měrý objem α a hutota ρ. Tyto veličiy vša ejou ezávilé. Měrý objem je převráceou hodotou hutoty, tedy α = ρ. Protože vzduch lze pro aše účely považovat za dooalý ply, tři z těchto veliči plňují tavovou rovici pα = RT (..9) de R = 87 J g K je plyová otata pro uchý vzduch. Derivujeme-li tavovou rovici, dotaeme p dα dt dt dp = R α dt dt Doadíme-li z předchozího vztahu p(dα dt) do (..8) máme dt C v dt = dq dt dp R + α dt dt dt eboli C p dt dt dp = α dt + dq dt (..) (..) (..) Kde C p = C v + R = 4 J g K je měré teplo při otatím tlau. Idividuálí změa tlau p e azývá zobecěou vertiálí rychlotí. Můžeme ji taé iterpretovat jao rychlot v ouřadém ytému, de vertiálí ouřadicí je tla p. Tato veličia e ozačuje řecým pímeem. Podle defiice je tedy ω = dp dt. Rovici (..) v předpovědích modelech používáme ve tvaru dt dq C p = ωα + dt dt (..3) Kde dq/dt je rychlot přítou tepla a jedotu hmototi. Prví čle a pravé traě této rovice e azývá omega-alfa čle. Teto čle vyjadřuje tu čát vitří eergie, terá e měí a práci daou gradietem tlau. Správá aproimace tohoto čleu hraje důležitou úlohu v meteorologicých modelech. Pro adiabaticé děje je příto tepla rove ule, tedy dq dt = termodyamicou rovici píšeme ve tvaru dt C p dt = ωα (..4) Pro tudium etropie použijeme ještě jiý tvar termodyamicé věty. Rovici (..3) dělíme abolutí teplotou T. Pomocí tavové rovice (..9) dotaeme dq dt = T dq dt = C p d lt dt Kde dq/dt je idividuálí změa etropie Q. Vztah R d lp dt (..5)

dq dt = dq T dt (..6) vyjadřuje idividuálí změu etropie vzduchové čátice, tedy určitého objemu vzduchu. Teto vztah (..5) můžeme považovat za jedu z možých defiici etropie, terá je tím určea až a aditiví itegračí otatu. Pro adiabaticé děje je idividuálí čaová změa etropie hydrodyamicým ivariatem. Charaterizuje taé adiabaticý děj. Je-li rova ule, pa děj je adiabaticý. Pro defiici a odvozeí vlatotí poteciálí teploty, terá je hydrodyamicým ivariatem při adiabaticých dějích v atmoféře potupujeme áledově. Do rovice (.4) doadíme za ze tavové rovice (..9) máme dt dt = R T C p p ω (..7) Bezrozměrá otata R C p =. 88 e obvyle ozačuje řecým pímeemκ, tedy R C p = κ. Předchozí rovici pa apíšeme ve tvaru dt T dt = κ dp p dt (..8) eboli d dt lt = κ d dt l p (..9) Podle předchozí rovice je levá traa áledující rovice rova ule d dt (l T l pκ ) = d dt l T pκ d T = pκ T dt p κ = (..) odtud máme d T dt p κ = (..) Vezmeme-li ějaou charateriticou otatí hodotu tlau p je jaé že platí dp κ dt =. I dyž hodota p e čato volí jao 3 hpa, může být libovolá. Vztah (..) můžeme pát v obvylém tvaru d κ dt T (p p ) = (..) Veličia T ( p p )κ e azývá poteciálí teplotou a ozačuje řecým pímeem θ. Poteciálí teplota je pro adiabaticé procey v atmoféře hydrodyamicým ivariatem a prví větu termodyamiy můžeme pát ve tvaru dθ dt = (..3)

Čato e taé zavádí ta zvaá Eerova fuce π defiovaá vztahem π = (p p ) κ (..4) Vztah mezi abolutí teplotou a poteciálí teplotou pa můžeme pát ve tvaru T = πθ (..5) Podle mého ázoru eí zvláští důvod ezvolit otatu p rovu, protože měříto Eerovy fuce e tím příliš ezměí, eboť při obvylé volbě p = 3 κ hpa je p pouze p κ =.88 = 7.339, což měříta výpočtů v pohyblivé čárce příliš eovliví. Studujme yí vztah etropie a poteciálí teploty. Na záladě poteciálí teploty můžeme vyjádřit změu etropie áledujícím způobem. Ve druhém čleu pravé tray rovice (..5) ahradíme R oučiem R = C p κ. Kotatu κ pa zahreme do epoetu tlau p. Po úpravách pa obdržíme dq dt = C p d dt l θ = C p dθ θ dt (..6) Q = C p lθ + cot (..7) Kde cot je itegračí otata. Teto vztah můžeme považovat též za defiici etropie, Podle vztahu (..6) je pro adiabaticé procey idividuálí etropie rova ule a je tedy hydrodyamicým ivariatem pro adiabaticé děje v atmoféře. Pro další tudia, zejméa vlových vlatotí atmoféry, potřebujeme čato vyjádřit vztah mezi idividuálí změy tlau p a hutoty ρ. Termodyamicá věta (..8) pro adiabaticý proce de dq dt = má tvar dt dα C v + p dt dt = (..8) Derivujeme-li tavovou rovici (..9) dotaeme α dp dα dt + p = R dt dt dt (..9) Z předešlých dvou rovic vyloučíme čle e změou abolutí teploty, tím, že rovici (..8) áobíme zlomem R C v. Srováím rovicí (..9) máme použitím vztahu + R C v = C v + R C v = C p C v = γ Kterým zavádíme ovou bezrozměrou otatu γ=.4, dotáváme dp γp dt = dρ ρ dt Neboli pro adiabaticý proce platí d lp d lρ = γ dt dt (..3) (..3) (..3)

Záo zachováí hyboti, ebo taé změy hyboti v ierciálí outavě Rovice vyjadřující záo zachováí hyboti, formulujeme a záladě Newtoova záoa zachováí hyboti v ierciálím ytému artézých ouřadic, mají tvar du dt = X p ρ (..33) dv dt = Y p ρ y (..34) dw dt = Z p ρ z (..35) Položíme-li pravé tray rovic rovy ule, vyjadřují tyto rovice záo zachováí hyboti. Pravé tray rovic popiují změu hyboti ilou gradietu tlau a vetor (X. Y. Z) může vyjadřovat parametrizace modelu jao je vliv třeí o zemý povrch, zahrutí vlivu orografie. Protože hybot je vetorovou veličiou, má 3 ložy a hutota a teplota jou aláry, je záladí pohyb atmoféry popá pěti rovicemi. Pomocí tavové rovice taé reduujeme počet proměých dyamicé čáti modelu a pět ezámých, taže výledě máme pět rovic pro pět progoticých veliči..3. Síly půobící v atmoféře Země v rotující outavě Newtoův druhý pohybový záo popiuje změu hyboti objetu v ierciálí outavě ouřadic daou oučtem všech il půobících a daý objet. V meteorologii jou to áledující íly: íla tlaového gradietu, íla gravitace a třeí. V meteorologii vša obvyle vztahujeme pohyb vzhledem ytému rotujícím e Zemí, terý eí ierciálí. Pro tudium pohybu a rotující Zemi používáme tíhovou ílu Země, terá je oučtem gravitačí a odtředivé íly Země. Pro Newtoův druhý pohybový záo v tomto případě muíme přidat ještě Corioliovu ílu. Tato zdálivá íla je způobea rotací Země a bude tudováa podrobě v apitole 4. O ílách tlaového gradietu, gravitace a třeí předpoládáme, že jou dotatečě zámy, proto e zde budeme věovat pouze ilám, teré jou v meteorologii třeba formulaci rovic v outavě pevě pojeé rotující Zemí. Síla gravitace Newtoův záo obecé gravitace říá, že aždé dva hmoté elemety e přitahují vzájemě ilou, terá je úměrá oučiu jejich hmototí a epřímo úměrá čtverci jejich vzdáleotí. Obecý gravitačí záo můžeme formulovat áledově. Nechť máme dva hmoté elemety o hmototech M a m a echť r je vetor měřující od elemetu o hmototi M měrem elemetu o hmototi m. Síla, terou půobí hmota M a hmotu m je dáa vztahem F = GMm r ( r r )

3 (.3.) de G je uiverálí gravitačí otata. Pro objety jejichž hmota je rozložea ymetricy olem tředu můžeme jejich vzdáleot považovat za vzdáleot jejich tředů. Když za hmotý elemet M, budeme považovat Zemi a r echť je průvodič ze tředu Země elemetu m, a za čátici m vezmeme elemet atmoféry, pa íla, terou je elemet přitahová Zemi vztažeá a jedotu hmoty je rova F m = g = GM r (r r ) (.3.) V meteorologii e obvyle jao vertiálí ouřadice používá výša ad hladiou moře, de výšu hladiy moře považujeme za otatí, odpovídající tředí hodotě poloměru Země, terý ozačujeme a. Te volíme obvyle a=637 m. Položíme-li r=a+z pa můžeme pát de g = g ( + z a ) (.3.3) g = GM a (r r ) (.3.4) což je gravitačí íla pro tředí hladiu moře. V meteorologii, de atmoféra a povrchu země tvoří je relativě teou vrtvu je z mohem meší ež poloměr Země a zaedbáváme proto poměr z/a. Gravitačí ílu pa považujeme ezávilou a výšce ad povrchem Země, lademe g = g a gravitačí íla je tedy otatí. Dotředivá íla Předpoládejme, že čátice o hmotě m e pohybuje po ružici o poloměru r otatí úhlovou rychlotí ω. Z hledia pozorovatele v outavě rotující čáticí je její rychlot jeví jao otatí, ve utečoti e vša její trajetorie epřetržitě měí, to zameá, že její rychlot eí otatí. Abychom vypočítali zrychleí, uvažujme změu vetoru rychloti δv, terá vzie za čaový přírůte δt, při terém čátice urazí úhel δθ, (Obráze.). Protože δθ je taé úhel mezi vetory V a V + δv, veliot vetoru δv je rova δv = V δθ. Když dělíme teto vztah δt a přejdeme limitě δt, δv měřuje oe rotace a máme dv dt Avša V = ωr a dθ dt = ω, odud máme dv dt = ω r = V dθ dt ( r r ) (.3.5) (.3.6) V pevě zvoleém (erotujícím) ytému je dá pohyb otatím zrychleím měřujícím oe rotace. Jeho veliot je rova oučiu čtverce úhlové rychloti a vzdáleoti od oy rotace. Toto zrychleí e azývá dotředivým zrychleím. Odtředivé zrychleí má tejou veliot, ale opačý měr. Síla zemé tíže

4 Na čátici vzduchu v atmoféře, terá rotuje polečě e Zemí, půobí dvě íly. Síla gravitace a odtředivá íla. Součet těchto dvou il azýváme ílou zemé tíže. Tato íla je rova g = g + Ω r (.3.7) Síla zemé tíže půobí ejeom a atmoféru, ale i a amotou hmotu Země. Země proto emá tvar oule, ale geoidu, jehož povrch je plochou otatího geopoteciálu a íla zemé tíže půobí vždy olmo této ploše, tedy ve měru geograficé zeměpié šířy (terá je defiováa obecě pro referečí ouli, rotačí elipoid i geoid) jaožto úhel, terý vírá ormála plochy v daém bodě roviou zemého rovíu a ozačuje e pímeem φ. Úhel terý vírá pojice tředu Země a uvažovaého bodu roviou zemého rovíu je azývá geocetricou zeměpiou šířou. Protože rozdíl mezi těmito dvěma zeměpiými šířami je malý, v meteorologii jej zaedbáváme. Považujeme proto Zemi za féru a ílu zemé tíže otatí mířící do tředu Země. Podrobější výlad tohoto problému je uvede ve čtvrté apitole. Zrychleí zemé tíže v meteorologii poládáme tedy za otatí a jeho veliot e lade obvyle 9.8 ebo 9.8 m/. Pozameejme, že při zavedeí techicé outavy jedote e používá ta zvaé ormálí tíhové zrychleí, teré je rovo zrychleí zemé tíže a 45 zeměpié šířy při hladiě moře a je rovo g=9.8665 m/. Literatura: [] BRDIČKA M.: Mechaia otiua. Naladateltví ČSAV Praha 959. [] COURANT R., FRIDRICHS K., LEWY H.: Über die Differezegleichuge der Mathematiche Phyi. Math. Aale, 98 [3] CHARNEY J. G., FJØRTOFT R. VON NEUMANN J.: Numerical itegratio of the barotropic vorticity equatio. Tellu, 95 [4] HELMHOLTZ H.: Über atmophäriche Beweguge. Nachr. Ge. Wi. Göttige 3, 37, 889 [5] HOLTON JAMES R.: E Itroductio to Dyamic Meteorology. Academic pre, New Yor ad Lodo 97 [6] Sir HORACE LAMB: Hydrodyamic. CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS, SIXTH EDITION 93 [7] LANDAU L.D., LIFŠIC E. M.: Gidrodiamia. Teoretičeaja fizia to VI. Mova Naua 986 [8] LAX P. D.: Hyperbolic Sytem of Coervatio Law II. Commuicatio o Pure ad Applied Mathematic VOL. X, 537-566. 957. [9] MESINGER F., ARAKAWA A.: Numerical Method ued i Atmopheric Model. Vol I. GARP Publicatio Serie No. 7, Augut 976, WMO [] MUNZAR J. a ol.: Malý průvodce meteorologií. Mladá frota Praha 989. [] PECHALA F., BEDNÁŘ J.: Příruča dyamicé meteorologie, Academia Praha 99. [] RICHARDSON L. F.: Weather Predictio by Numerical Proce.Cambridge Uiv. Pre. Lodo 9 [3] THOMPSON P. D.: Numerical weather aalyi ad predictio. The Macmilla Compay New Yor 96

5. Kartograficá zobrazeí používaá v meteorologii Úvodem Zobrazeí povrchu země, do roviy má pro meteorologii velou důležitot. Výledy měřeí, pozorováí i výledy meteorologicých předpovědích modelů používají zobrazeí povrchu Země do roviy, tedy a mapu. Ať je to mapa a papíře, ebo rovia obrazovy moitoru počítače. Na mapě jou zobrazováy alárí pole tlau, teploty vlhoti i růzá další pole. Tato pole jou zobrazováa pomocí čar tejých hodot daé veličiy, ta zvaých vrtevicových map. Vetorová pole prouděí e čato zobrazují pomocí šipe - vetorů větru. Při umericé předpovědi počaí je možé potupovat dvěma způoby. Buďto rovice dyamiy atmoféry formulujeme přímo pro řivočaré ouřadice a ouli a jao ezávile proměé jou použity zeměpié ouřadice,, ebo jou pro předpověď použity pravoúhlé ouřadice v roviě mapy. V obou případech e vša výledy zobrazují a meteorologicých mapách, tedy v roviě. Modely a omezeé oblati ozačovaé zratou LAM (z aglicého Limited Area Model), jao je apřílad model ALADIN, vyviutý za meziárodí polupráce v Méteo Frace, patří druhé upiě. Jao ezávile proměé a horizotálí ploše používají artézý ytém ouřadic v roviě mapy. Pro model je podle polohy oblati možé zvolit růzá zobrazeí. Pro oblati, teré obahují everí pól, e čato používá treograficá mapa. Pro oblati eobahující everí pól e používají uželová ebo válcová oformí zobrazeí. Pro oblati rovíové je to válcové zobrazeí - Mercatorova mapa a pro otatí oblati (zejméa oblati ve tředích šířách) je ejvhodější uželové zobrazeí - Lambertova oformí mapa. Všechy tyto mapy jou oformí a ezrelují tedy úhly. Uážeme i taé, že tereograficou a Mercatorovu mapu můžeme považovat za mezí případy Lambertovy oformí mapy. To je umožěo tím, že Lambertovo oformí zobrazeí závií a jedom parametru, terý můžeme podle potřeby měit. V úvodí čáti ezámíme čteáře ěterými pojmy a pozaty z difereciálí geometrie, teré jou třeba dotatečě přeému pochopeí artograficých zobrazeí a jejich vlatotí. Na jejich záladě bude dále řeše i problém optimálí volby artograficého zobrazeí pro loálí předpovědí model, zejméa pro model a Lambertově mapě, jao je apřílad model ALADIN.. Záladí pojmy a vztahy Geoid a referečí plochy Předmětem artografie je zobrazováí povrchu Země. Teto povrch eí přeě geometricy defiovaou plochou, ýbrž je epravidelý áledem půobeí il a hmotu země, terá avíc emá homogeí hutotu. Nejvýzamější z těchto il je íla gravitace a odtředivá íla vziající rotací země olem vé oy. Výledicí těchto il je pa íla zemé tíže, terá je olmá povrchu země je tedy ve měru ormály povrchu země. Plochu ulové výšy ad hladiou moře tvoří plocha, terá je určea hladiou moře ve vybraém mítě a je v aždém bodě olmá e měru zemé tíže. Tato plocha e azývá geoid. Tuto plochu můžeme taé považovat za plochu tejého geopoteciálu. Geoid e edá doti dobře

6 geometricy charaterizovat, proto pro geodeticé výpočty eí vhodý. Dá e vša velou přeotí ahradit rotačím elipoidem, vzilým rotací elipy podél vilé ratší oy, terá plývá oou země. Teto rotačí elipoid má ovšem malé zploštěí a lze jej určitou přeotí ahradit ulovou plochou, což vyhovuje pro mapy malého měříta zobrazující velou oblat a zemi a tedy taé pro účely meteorologie. Referečí elipoid je rotačí těleo vzilé rotací elipy podle malé oy. Referečí elipoid je plě určeý co do tvaru i velioti dvěma údaji délou velé a malé polooy a,b meridiálí elipy. Teto elipoid je charaterizová taé ještě dvěma otatami výtředotí e a zploštěím, teré jou defiováy vztahy: a b / a, a b a e / (..) Teto elipoid eí vša jediý, eboť e jeho parametry čaem měily (upřeňovaly). Parametry referečího elipoidu můžeme de charaterizovat přibližě těmito hodotami: a = 6 378 m, b = 6 357 m, odtud je e.67, / 98. (..) Referečí oule Matematicá artografie formuluje a tuduje válcová a uželová zobrazeí pro referečí elipoid. Válec a užel muí být ovšem v ta zvaé záladí poloze, to zameá, že oa užele a válce muí být zároveň rotačí oou elipoidu. Taové zobrazeí je přeější, ež zobrazeí ulové plochy. Má vša určité evýhody. Je ložitější a platí pouze pro užel a válec v záladí poloze. V meteorologii e yí používají čato ta zvaé rotovaé ouřadice. V tomto případě zeměpié ouřadice otočíme ta, ja potřebujeme. Oa zemé féry pa prochází ice tředem Země, ale je obecě jiá ež oa zemé rotace. Pro účely meteorologie e proto používá výhradě referečí oule. Tato oule má přibližě tejý povrch i objem jao referečí elipoid. Poloměr zemé féry zaorouhleý a celé m je a = 6 37 m. V modelu ALADIN je použita pro poloměr zemé féry hodota a = 6 37.9 m. Pro účely meteorologie je rozdíl mezi těmito hodotami epodtatý. Přechod z referečího elipoidu a referečí ouli e v geodézii provádí ta, že e elipoid apřed vhodou metodou zobrazí a ouli a z této e pa převádějí geometricé prvy do roviy, tedy a mapu. Chyba vziá tím, že ačoliv e ulová plocha elipoidu země velmi blíží, má otatí řivot, dežto elipoid proměou řivot, terá e měí e zeměpiou šířou. To způobuje určité rozdíly v délách a elipoidu a a ouli mezi body e tejými zeměpiými ouřadicemi. Referečí rovia, dy povrch země ahradíme roviou, můžeme použít pouze pro zobrazeí malé čáti povrchu země, pro artograficé pláy v oblati o průměru ai m. Zeměpié ouřadice a geograficá íť. Polohu bodu P a povrchu země udáváme ejčatěji zeměpiými ouřadicemi, šířou a délou. Zeměpiá šířa je defiováa (obecě pro referečí ouli, rotačí elipoid i geoid) jaožto úhel, terý vírá ormála plochy v bodě P roviou zemého rovíu. Budeme ji ozačovat pímeem. Proložíme-li oou rotace země vaze rovi a jedu z ich zvolíme za záladí ulovou, vírají tyto roviy e záladí roviou úhel, terý azýváme zeměpiou délou a ozačujeme. Geometricým mítem bodů otatí zeměpié šířy