Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková
A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často setkáváme s úlohami, ve kterých se hodnot jedné veličin mění v závislosti na hodnotách jiné veličin. Tuto závislost popisujeme pomocí pojmu unkce jako zorazení v R. Nechť A a B jsou dvě neprázdné množin reálných čísel. Přiřadíme-li každému číslu z množin A podle nějakého předpisu právě jedno číslo z množin B, které označíme, pak množina uspořádaných dvojic [;] se nazývá reálná unkce reálné proměnné stručně unkce., Množinu A označujeme a nazýváme deiničním oorem unkce. Množinu B označujeme H a nazýváme oorem hodnot unkce. Číslo je nezávisle proměnná, argument unkce. Číslo je závisleproměnná, unkční hodnota unkce v odě.
Úloh Př.1 Zapište pomocí intervalů deiniční oor unkcí 3 a 3 1 1 1 1 Př. Je dána unkce 1 a Určete 0, -7, 3 Patří čísla -4, 0 do ooru hodnot unkce? 3
Vlastnosti unkcí a Sudé unkce, liché unkce Sudá unkce Lichá unkce Gra je souměrný podle os. Gra je středově souměrný podle počátku. Např., 1 R Např., 3 1 R 4 Např. { } 0,, 1 R R { } 0, 3 R
Úloh Př.1 Rozhodněte, které z daných unkcí jsou sudé neo liché a 1 d c d Př. Rozhodněte, které z daných unkcí jsou sudé neo liché 5
Vlastnosti unkcí Periodické unkce Funkce se nazývá periodická, právě kdž eistuje takové číslo p >0, že pro každé k ϵz platí 1 Je-li ϵ, pak kpϵ kp perioda unkce Např. 1 3 cos, tg, 4 sin cotg 6
Vlastnosti unkcí c Funkce omezená zdola, shora, maimum a minimum unkce Zdola omezená Shora omezená Omezená d je d h je h Je omezená shora i zdola. Funkce má v odě a maimum, právě kdž je a Funkce má v odě minimum, právě kdž je 7
Úloh Př.1 Rozhodněte, ve kterých odech mají následující Př. Určete maima neo minima následující unkcí unkce maimum neo minimum a 1 5 d c 1 1 d
Vlastnosti unkcí d Rostoucí a klesající unkce Rostoucí unkce 1, 1 < 1 < Klesající unkce 1, 1 < 1 > Je-li unkce rostoucí, pak je prostá. Je-li unkce klesající, pak je prostá. Funkce je prostá 1, 1 1 Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají RYZE MONOTÓNNÍ. 9
Vlastnosti unkcí d Neklesající a nerostoucí unkce Neklesající unkce, < 1, 1 1 Nerostoucí unkce, < 1, 1 1 Funkce nerostoucí a neklesající se souhrnně nazývají MONOTÓNNÍ. 10
Vlastnosti unkcí e Inverzní unkce Inverzní unkce k prostéunkci je unkce -1, pro kterou platí 1. -1 H a H -1-1. Každému ϵ -1 je přiřazeno právě to ϵ, pro které je. Gra unkcí a -1 sestrojené v téže soustavě souřadnic 0se stejnou délkovou jednotkou na oou osách jsou souměrně sdružen podle přímk. Např. 11
Vlastnosti unkcí e Inverzní unkce Inverzní unkce k prostéunkci je unkce -1, pro kterou platí 1. -1 H a H -1-1. Každému ϵ -1 je přiřazeno právě to ϵ, pro které je. Příklad unkcí a unkcí k nim inverzních 1
1 LINEÁRNÍ FUNKCE a, R Gra Přímka a <0 a 0 a >0 a R, H R R, H {} Není omezená ani Je omezená. shora, ani zdola. Je nerostoucí a Je klesající, ted neklesající. prostá. Není prostá. Nemá maimum, ani Má maimum a minimum. minimum pro každé ϵr. Je spojitá v R. Je spojitá v R. R, H R Není omezená ani shora, ani zdola. Je rostoucí, ted prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá v R. 13
Úloh Př. 1Pro lineární unkci -5 určete souřadnice průsečíku grau s osami,. Př. Načrtněte gra lineárních unkcí a 1 3 c 3 5 d 4 Př. 3Pro lineární unkci platí 3-5 -1 4 Vjádřete ji předpisem a a načrtněte gra. Př. 4Řešte graick i početně soustavu rovnic 3 - - 1 14
KVARATICKÁ FUNKCE a c, a 0, každá unkce tpu Gra Paraola R a >0 a <0 R, H c ; 4a Je zdola omezená, není shora omezená. Pro 0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá. Je rostoucí pro ϵ <-/a,. Je klesající pro ϵ, -/a>. Není prostá. Má ostré minimum [-/a;c- /4a] Je spojitá v R. R, H ; c 4a Je shora omezená, není zdola omezená. Pro 0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá. Je rostoucí pro ϵ, -/a>. Je klesající pro ϵ<-/a,. Není prostá. Má ostré maimum [-/a;c- /4a] Je spojitá v R. 15
.1 GRAFY KVARATICKÝCH FUNKCÍ paraola, která je souměrná podle os orovnoěžné s osou. a Gra unkce 1 a 1 paraola s vrcholem v počátku [0,0] Gra unkce a c paraola, která vznikne z paraol unkce 1 a posunutímjejího vrcholu z odu [0,0]do odu [0,c]. c Gra unkce 3 a- 0 paraola, která vznikne z paraol unkce 1 a posunutímjejího vrcholu z odu [0,0]do odu [ 0,0]. d Gra unkce 4 a c 0 paraola, kterou opět získáme z grau unkce 1 a 1. oplníme na úplný čtverec. Posuneme gra unkce 1 z odu [0,0]do odu [ 0, 0 ] a a c a a c a a 0 0, kde 0, 0 c a 4a c 4a 16
Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkcí 3; ; a 1 ; 1 c 9 8 3 e d 17
3 MOCNINNÁ FUNKCE S PŘIROZENÝM MOCNITELEM n, n N, Pro n 1 lineární unkce n kvadratická unkce n 3 kuická unkce 3 R Gra n 1 přímka n >1 paraola n-téhostupně n liché n sudé R, H R Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je rostoucí, ted prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá v R. R, H <0, Je sudá. Je zdola omezená, není shora omezená. Je rostoucí pro ϵ <0,. Je klesající pro ϵ-, 0>. Není prostá. Nemá maimum, má minimum [0,0]. Je spojitá v R. 18
Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkcí a c d e 3 1 1 5 4 3 0,5 5 6 19
4 MOCNINNÁ FUNKCE SE ZÁPORNÝM CELÝM MOCNITELEM unkce Gra n, n N, R hperola stupně n1 n liché n sudé R {0}, H R {0} Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Klesá pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Je prostá. R {0}, H 0,. Je sudá. Je omezená zdola, není shora omezená. Je rostoucí pro ϵ-, 0. Je klesající pro ϵ0,. Není prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ0,. 0
Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkce -1 Řešení Bod grau unkce -1 1/ získáme tak, že sestrojíme gra unkce a pro zvolené hodnot proměnné hledáme k hodnotám této unkce v téže soustavě souřadnic jejich převrácené hodnot. Př. Načrtněte gra unkcí a 3 1
5 LOMENÁ RACIONÁLNÍ FUNKCE P, Q 0 Q Nepřímá úměrnost k, k 0, R { 0} Gra rovnoosá hperola asmptot k <0 hperol k >0 střed hperol R {0}, H R {0} Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je rostoucí pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Je prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. R {0}, H R {0}. Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je klesající pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Je prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ0,.
Lineární lomená unkce a, c 0, ad c d c Gra rovnoosá hperola se středem v odě d a S ; c c Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkce 5 1 3
Literatura Bušek, I. a kol. Základní poznatk z matematik. Matematika pro gmnázia, Praha Prometheus, 199. elventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematik. Praha Euromedia Group k. s., 003. Odvárko, O. a kol. Funkce. Matematika pro gmnázia, Praha Prometheus, 1996. Polák, J. Přehled středoškolské matematik. Praha Prometheus, 1998. Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední škol. Havlíčkův Brod Fragment, 003. 4