M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních" periodických funkcí? Konkrétněji: lze každou π-periodickou funkci napsat jako součet "sinů a kosinů"? Škálování: a k cos(kx, b k sin(kx = řada typu c + k I 1 N (a k cos(kx + b k sin(kx, c,a k,b k R. Využití komplexní exponenciály: cos(kx = eikx +e ikx, sin(kx = eikx e ikx i c k e ikx, c k C. k I Z p-periodicita místo π-periodicity: faktor π p. = řada typu Obr.: Aproximace spojité, po částech hladké funkce, pomocí trigonometrického polynomu řádu n. Obr.: Aproximace nespojité, po částech hladké funkce, pomocí trigonometrického polynomu řádu n.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 8 Definice. Reálným trigonometrickým (p-periodickým polynomem rozumíme funkci tvaru x a n ( π + a k cos p kx, kde n N, a k,b k R, (k =,...,n, p >. Komplexním trigonometrickým (p-periodickým polynomem rozumíme funkci tvaru x n k= n kde n N {}, c k C, (k = n,...,n, p >. c k e π p ikx, Definice. Reálnou trigonometrickou (p-periodickou řadou rozumíme řadu funkcí a + a k cos p kx, kde a k,b k R, k N, p >. Komplexní trigonometrickou (p-periodickou řadou rozumíme řadu funkcí kde c k C, k Z, p >. Cvičení. Ukažte, že pokud pro všechna x R platí a + n kde a k,b k R, c k C, p >, pak c k e π p ikx, a k cos p kx = a k = c k + c k, c k = a k ib k b k = i(c k c k, c k = a k + ib k a = c, c = a. Lemma 18.1. Pro všechna k,m N a p > platí: sin p kx dx = sin n k= n, k N,, k N, cos p kx dx =, p kx cos p mx dx =, c k e π p ikx, sin p kx sin p mx dx = p δ km, cos p kx k Z = cos p mx dx = p δ km, e π p ikx dx = pδ k.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 9 Věta 18.. Necht p > a necht pro všechna x R platí f(x = a + a k cos p kx, přičemž konvergence řady vpravo je stejnoměrná na R. Potom a = p a k = p b k = p f(x dx, Věta 18.3. Necht p > a necht pro všechna x R platí f(xcos p kx dx, k N, f(xsin p kx dx, k N. f(x = c k e π p ikx, přičemž konvergence řady vpravo je stejnoměrná na R. Potom c k = 1 p 18. Bodová konvergence Fourierových řad Označení. f(xe π p ikx dx, k Z. (i Bud te a < b a bud dále q 1. Množinu všech funkcí (s hodnotami v C, definovaných alespoň skoro všude na (a,b, pro které je označíme symbolem L q (a,b. ( b 1/q f q := f(x dx q <, a (ii Bud p >. Množinu všech p-periodických funkcí, definovaných na R, s hodnotami v C, které jsou navíc prvky prostoru L 1 (,p, budeme značit P p. Lemma 18.4. Necht f P p pro p > a necht α R. Potom f(x dx = α+p α f(x dx. Definice (reálná Fourierova řada. Necht f P p pro p >. Definujeme čísla a k,b k, k N, pomocí vztahů z Věty 18.. Tato čísla pak nazýváme ("reálnými" Fourierovými koeficienty funkce f a řadu a + a k cos p kx nazýváme "reálnou" (sinově-kosinovou Fourierovou řadou funkce f. Jejím n-tým částečným součtem rozumíme součet s f,n (x = a n ( π + a k cos p kx, n N.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 3 Definice (komplexní Fourierova řada. Necht f P p pro p >. Definujeme čísla c k, k Z, pomocí vztahů z Věty 18.3. Tato čísla pak nazýváme (komplexními Fourierovými koeficienty funkce f a řadu c ke π p ikx nazýváme komplexní Fourierovou řadou funkce f. Jejím n-tým částečným součtem rozumíme součet s f,n (x = n k= n c k e π p ikx, n N {}. Definice. Bud f P p pro p >, x R, a s f,n (x bud n-tý částečný součet (reálné resp. komplexní Fourierovy řady funkce f. Pokud existuje vlastní lim s f,n(x =: F f (x, n nazvu tuto hodnotu součtem (reálné resp. komplexní Fourierovy řady funkce f v bodě x R. Lemma 18.5. Bud f P p pro p >. Je-li f sudá funkce, je b k = pro všechna k = 1,,..., a a k = 4 p / f(xcos p kx dx, k N {}. Je-li f lichá funkce, je a k = pro všechna k =,1,,..., a Problém: b k = 4 p / f(xsin p kx dx, k N. Příklad: f P p F f F f (x? = f(x. f(x = π x na,π a dále π-periodicky (f P π F f (x = sin(kx k konverguje bodově x R f( = π, F f( =. Studované otázky: Vlastnosti Fourierových koeficientů v závislosti na vlastnostech f. Rovnost f a F f v závislosti na vlastnostech f. Věta 18.6 (Riemann-Lebesgueovo lemma. Necht f P p pro p >. Potom Fourierovy koeficienty a k,b k, resp. c k existují a jsou konečné k N resp. Z. Navíc platí lim a k = lim b k = lim c k =. k k k ± Věta 18.7. Necht f P p C s+1 (R pro p >, s {,1,... }. Potom řady k j ( a k + b k konvergují pro všechna j =,1,...,s. a k j c k
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 31 Věta 18.8 (o lokalizaci. Necht ε R,ε >, p >, x R, f,g P p a f(t = g(t pro každé t (x ε,x + ε. Potom lim n (s f,n (x s g,n (x =. Věta 18.9. Necht f,g P p, p >, přičemž všechny odpovídající si Fourierovy koeficienty funkcí f a g jsou stejné. Potom f = g s.v. na R. Věta 18.1 (Carleson. Necht p >, f P p a necht navíc platí f L (,p. Potom F f = f s.v. na R. Úmluva: až do konce kapitoly bude p > mít význam délky periody. Definice. Řekneme, že funkce f P p je po částech hladká, pokud existují body = x < x 1 < < x n = p tak, že f je spojitá na každém intervalu (x i,x i+1, v krajních bodech těchto intervalů má vlastní limity zprava i zleva (označme je f(x i + a f(x i+1 a má uvnitř těchto intervalů omezenou derivaci, pro všechna i =,... n 1. Věta 18.11. Necht f P p je po částech hladká ve smyslu předchozí definice. Potom f(x+ + f(x F f (x = Speciálně F f (x = f(x v bodech spojitosti f. x R. Je-li navíc f spojitá na nějakém otevřeném intervalu I R, pak s f,n loc f na intervalu I. Věta 18.1 (Diniho kritérium. Necht f P p, x R, s C a necht existuje δ > takové, že integrál δ konverguje. Potom lim n s f,n (x = s. f(x + t + f(x t s t Věta 18.13 (Parsevalova rovnost. Necht f P p a necht navíc platí f L (,p. Bud te a k,b k resp. c k reálné resp. komplexní Fourierovy koeficienty funkce f. Potom platí dt resp. p f(x dx = a + ( a k + b k, 1 p f(x dx = c k. Cvičení. 1. Modifikujte funkci x tak, aby Fourierova řada výsledné funkce obsahovala pouze členy tvaru cos(kx. Dosazením vhodných bodů sečtěte řady 1 k a ( 1 k+1 k. Pomocí Parsevalovy rovnosti sečtěte řadu 1 k. 4. Rozmyslete si, jakou funkci by bylo potřeba rozvinout do Fourierovy řady, abyste sečetli číselnou řadu 1. Na jaké problémy narazíte, pokusíte-li se touto metodou sečíst číselnou řadu k 6 1? k 3 3. Modifikujte funkci cos x tak, aby Fourierova řada výsledné funkce obsahovala pouze členy tvaru sin(kx (tj. tzv. "rozviňte kosinus do sinové řady".
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 3 Výsledky a komentáře 1. Uvažte x na π,π a dále dodefinovanou π-periodicky. Výsledná funkce f je sudá, po částech hladká a spojitá na R. Tedy F f (x = f(x x R. Spočtěte F f (x = 4 cos(kx. Dosazení bodů x = π resp. x = dá 1 = π4 k 4 9. π 6 14 π 6 945. 1 k = π 6 resp. ( 1 k+1 k ( 1 k k = π 1. Konečně,. Uvažte např. x 3 na π,π a dále dodefinovanou π-periodicky. Z Parsevalovy rovnosti dostanete (k π 6. Umocněním v čitateli a s využitím výsledků předchozího bodu je k 6 1 = k 6 3. Uvážíme cos x na (, π, rozšířenou liše na ( π, a dále dodefinovanou π-periodicky. Výsledek: 8 π k sin(kx 4k 1. 18.3 Derivování a integrování Fourierových řad Věta 18.14 (o derivování. Bud f P p taková, že řady k s ( a k + b k resp. k s c k (1 konvergují. Potom a tedy f P p C s (R. s (j f,n f(j na R, j =,1,...,s, Poznámka. Podle věty 18.7 je podmínka (1 splněna například pro f P p C s+1 (R. Věta 18.15 (o integrování. Bud f P p a bud te a k,b k její Fourierovy koeficienty. Potom x kde (integrační konstanta f(t dt = A + a x + A = a k k sin p kx b k k cos p kx, b k k. Pozn. Tato věta platí bez ohledu na to, jestli Fourierova řada pro f konverguje či ne. 18.4 Aplikace: rovnice vedení tepla Uvažujme rovnici vedení tepla u t = u x. ( Hledáme funkci u : R, R, která řeší ( a navíc splňuje počáteční podmínku u(x, = f(x, kde f je daná π-periodická funkce. Hledejme nejprve řešení ( ve tvaru u(x, t = A(xB(t, kde A, B jsou nenulové dostatečně hladké funkce. Po dosazení dostáváme na A, B podmínku B (t B(t = A (x A(x.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 33 Levá strana závisí pouze na t a pravá pouze na x. Proto musí být oba výrazy nezávislé na t, resp. x, a tedy konstatní. Označme odpovídající konstantu λ. Funkce A musí být π-periodická, a proto (spočtěte přesně λ = n, kde n Z. Funkce A je tedy lineární kombinací funkcí e inx a e inx. Funkce B (spočtěte je pak násobkem e nt. Tyto úvahy nás vedou k hledání řešení ve tvaru Pro t = má platit u(x,t = n= f(x = u(x, = a n e nt e inx. (3 n= a n e inx, Koeficienty a n ve (3 jsou tedy Fourierovými koeficienty zadané funkce f.