Integrální počet funkcí jedné proměnné

Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin), resp. jejich změn. Užívá se v matematice, ekonomii, fyzice, ale i v jiných vědních oborech. Pokud funkce popisuje závislost proměnné y na proměnné x, poté její derivace představuje závislost rychlosti změn y na x. Stručně uživatelsky nyní uveďme teoretický přehled pro výpočet integrálů funkcí jedné proměnné včetně aplikací na jednoduchých příkladech. Stejně jako v diferenciálním počtu je důležitý proces derivování, tak v integrálním počtu je důležitý proces integrování pro studování zákonitostí dějů. Jeho cílem je najít k dané funkci f takovou funkci F, jejíž derivací je právě funkce f. Laicky tedy můžeme říct, že integrování je opačný proces k derivování a znázornit na schématu níže. derivování f f integrování Neurčitý integrál Jestliže pro funkce F a f definované na otevřeném intervalu I platí vztah: FF (xx) = ff(xx) pro každé xx II, říkáme, že F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I. Tato primitivní funkce na intervalu I existuje ke každé funkci f, která je na daném intervalu spojitá. Pro každou primitivní funkci F k funkci f na intervalu I platí: (FF(xx) + CC) = FF (xx) = ff(xx), kde C je libovolné reálné číslo. Z tohoto vztahu vyplývá mnohoznačnost primitivní funkce - jestliže k funkci f (x) existuje primitivní funkce F na intervalu I, je takových funkcí nekonečně mnoho a liší se pouze tzv. neurčitou konstantou C. Množina všech primitivních funkcí F+C k funkci f na intervalu I se nazývá neurčitý integrál funkce f. Píšeme: ff(xx)dddd = FF(xx) + CC, kde je integrační znak, ff(xx) integrand, xx integrační proměnná,

dddd diferenciál integrační proměnné, CC integrační konstanta (neurčitá konstanta). Proces integrování je na rozdíl od procesu derivování velmi složitý. Následující část tohoto textu je proto zaměřena pouze na základní integrační metody a způsoby integrace. Nejjednodušším způsobem výpočtu integrálu je přímá integrace pomocí vzorců převedených z derivování, vlastností integrálů, speciálních metod a pravidel či úprav integrandu. Základní vzorce platné pro integraci elementárních funkcí: ) AA dddd = AAAA + CC; 2) xx ss dddd = xx ss+ ss+ 3) dddd = ln xx + CC; xx 4) ee xx dddd = ee xx + CC; + CC, kde: ss RR, ss ; 5) xx dddd = xx + CC, kde: > 0, ; ln 6) sin xx dddd = cos xx + CC; 7) cos xx dddd = sin xx + CC; 8) dddd = cccctttt xx + CC; ssssss 2 xx 9) dddd = tttt xx + CC; cccccc 2 xx 0) dddd = arcsin xx + CC; AA 2 xx 2 AA ) dddd = xx + CC; AA 2 +xx 2 AA AA +xx 2 dddd = xx + CC; 2) ff (xx) dddd = ln ff(xx) + CC. ff(xx) Pravidla pro integraci součtu, rozdílu a součinu funkce s konstantou (za předpokladu, že existují příšlušné primitivní funkce): 3) ff(xx) ± gg(xx) dddd = ff(xx) dddd ± gg(xx) dddd; (Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů.) 4) cc ff(xx)dddd = cc ff(xx)dddd, kde cc RR. (Konstantu lze vytknout před integrál.)

Příklad: Pomocí základních vzorců a úprav integrandu vypočtěte zadané integrály: ) xx 6 xx 6+ xx 7 dddd = + CC = + CC 6+ 7 2) dddd = dddd = arcsin xx + CC 25 xx 2 5 2 xx 2 5 3) dddd = xx 5 xx 5 xx 5+ xx 4 dddd = + CC = + CC = + CC 5+ 4 4xx 4 4) ( 2xx)dddd = dddd 2xxxxxx = xx + CC 2xx 2 +CC 2 5) xx + xx + xx dddd = xx dddd + xx dddd + xx 2 dddd = xx 2 +CC 3 = xx 2 + ln xx + 2 2 3 xx3 + CC, kde CC = CC + CC 2 + CC 3 6) 0xx 5xx 2 +0 dddd = ln 5xx2 + 0 + CC 7) 30xx 2 dddd = 30 5xx 2 dddd = 2 5xx 3 +0 5 5xx 3 +0 ln 5xx3 + 0 + CC sin xx sin xx 8) tg xx dddd = dddd = dddd = ln cos xx + CC cos xx cos xx 9) 2 xx dddd = 2xx ln 2 + CC 2 + CC 2 = xx xx 2 + CC, kde CC = CC + 2 + CC + ln xx + CC 2 + xx 3 2 3 2 + Integrace metodou po částech Metoda integrace po částech (nazývaná též jako per partes) umožňuje integrovat především některé součiny funkcí (například součin polynomu a logaritmické, goniometrické, cyklometrické nebo exponenciální funkce). Jestliže funkce uu(xx) a vv(xx) mají na intervalu II spojité derivace, pak na daném intervalu platí: uu(xx) vv (xx)dddd = uu(xx) vv(xx) uu (xx) vv(xx) dddd. Ve stručném vyjádření: uuvv dddd = uuuu uu vv dddd. Tato metoda má smysl pouze v případě, pokud umíme řešit nově vzniklý integrál na pravé straně rovnosti. Je důležitá správná volba funkcí uu a vv. Za nederivovanou funkci (u) volíme činitele, který neumíme integrovat. Pokud umíme integrovat oba činitele, volíme toho činitele, který se derivací více zjednoduší.

Příklad: metodou po částech vypočtěte zadané integrály: ) xxee xx dddd = uu = xx uu = vv = ee xx vv = ee xx =x*eexx ee xx dddd = x ee xx ee xx = ee xx (xx ) + CC (Umíme integrovat oba činitele, ovšem funkce uu = xx se derivací zjednoduší.) ln xx 2) dddd = ln xx xx 2 xx 2 dddd = uu = ln xx uu = vv = xx 2 xx vv = xx = ln xx dddd = xx xx xx = ( ln xx) + xx xx 2 dddd = ( ln xx) + xx + CC = ( ln xx) + CC = xx xx xx xx (ln xx + ) + CC (Funkci ln xx neumíme integrovat, proto jsme ji zvolili za nederivovanou.) Integrace metodou substituce Další metodou, která je jednou z nejdůležitějších a nejpoužívanějších integračních metod pro složitější integrál je metoda substituce. Substituce typu tt = gg(xx) Jestliže funkce tt = gg(xx) má derivaci na intervalu J, zobrazuje ho na interval I a funkce ff(tt) je spojitá na intervalu I, pak na intervalu J platí: ff gg(xx) gg (xx)dddd = ff(tt)dddd, dosadíme-li do primitivní funkce na pravé straně tt = gg(xx). Výpočet probíhá podle schématu: tt = gg(xx) ff gg(xx) gg (xx)dddd = = ff(tt)dddd = FF(tt) + CC = FF gg(xx) + CC. dddd = gg (xx)dddd Postupujeme následovně: ) vnitřní složku gg(xx) funkce ff nahradíme proměnou t (provedeme substituci tt = gg(xx)), 2) diferencujeme pravou a levou stranu substituční rovnice podle příslušné proměnné, 3) dosadíme tt = gg(xx) a dddd = dddd do původního integrálu, gg (xx) 4) po nalezení primitivní funkce F k funkci f vrátíme do výsledku původní proměnou dosazením tt = gg(xx). Pozor: nesmí se mísit obě proměnné za jediným integračním znakem.

Příklad: Substituční metodou vypočtěte zadaný integrál: tt = 5xx + 7 cos(5xx + 7) dddd = dddd = 5dddd = cos t dddd = sin t + C = sin(5x + 7) + C. dddd = dddd 5 5 5 5 Substituce typu xx = gg(tt) Jestliže funkce ff(xx) je spojitá na intervalu I, funkce xx = gg(tt) má nenulovou derivaci na intervalu J a zobrazuje ho na interval I, pak na intervalu I platí: ff(xx)dddd = ff gg(tt) gg (tt)dddd, Dosadíme-li do primitivní funkce na pravé straně tt = gg (xx), kde gg je inverzní funkce k funkci g. Výpočet probíhá podle schématu: xx = gg(tt) ff(xx)dddd = dddd = gg (tt)dddd = ff gg(tt) gg (tt)dddd = FF(tt) + CC = FF gg (xx) + CC. Postupujeme analogicky jako u substituce typu tt = gg(xx). Příklad: substituční metodou vypočtěte zadaný integrál. xx = tt 2 dddd = (xx+6) xx xx = tt = 2tt dddd = 2 dddd == 2 (tt 2 +6)tt (tt 2 +4 2 ) 4 tt + CC = 4 dddd = 2tt dddd 2 xx + CC. 2 Integrace racionálních funkcí Jedná se o integrály typu PP nn (xx) dddd, kde PP(xx) a QQ(xx) jsou polynomy a nn, mm jsou QQ mm (xx) stupně polynomu. V případě, že stupeň polynomu PP stupeň polynomu QQ (nn mm), jedná se o tzv. neryzí racionální funkci, kterou lze vždy vyjádřit dělením příslušných polynomů jako součet polynomu a tzv. ryzí racionální funkce. Ryzí racionální funkci, kterou nelze ihned integrovat užitím vzorců pro integraci elementárních funkcí, rozložíme na součet tzv. parciálních zlomků. Jejich tvar a počet je dán polynomem QQ(xx) rozloženým na součin kořenových činitelů: QQ(xx) = (xx xx ) (xx xx ) kk (xx 2 + pppp + qq) (xx 2 + pppp + qq) ll, kde: pp, qq, xx jsou reálné konstanty, kk a ll jsou přirozená čísla, kk >, ll >.

Poznámka: U nejvyšší mocniny xx je koeficient, kvadratické polynomy mají jako kořeny komplexně sdruženou dvojici hodnot (diskriminant je menší než 0). Naopak lineární polynomy mají reálný kořen. Výskyt v součinu kořenových činitelů (xx xx ) (xx xx ) kk (xx 2 + pppp + qq) (xx 2 + pppp + qq) ll Do rozkladu na parciální zlomky přibude AA xx xx AA (xx xx ) + AA 2 (xx xx ) 2 + + AA kk (xx xx ) kk AAAA + BB xx 2 + pppp + qq AA xx + BB (xx 2 + pppp + qq) + AA 2xx + BB 2 (xx 2 + pppp + qq) 2 + + AA ll xx + BB ll (xx 2 + pppp + qq) ll Koeficienty AA xx, BB xx určíme takzvanou metodou neurčitých koeficientů takto: ) rovnici, kde na levé straně je daná racionální funkce a na pravé straně součet příslušných parciálních zlomků, vynásobíme jmenovatelem racionální funkce (polynomem QQ(xx)), 2) pravou stranu rovnice upravíme, 3) porovnáním koeficientů polynomu (u stejných mocnin x) na obou stranách rovnice obdržíme soustavu lineárních rovnic, jejich řešením jsou hledané koeficienty. Příklad: Rozložte zadanou funkci na součet parciálních zlomků: RR(xx) = PP(xx) QQ(xx) = xx + 2 xx 3 xx QQ(xx) rozložíme na součin kořenových činitelů: QQ(xx) = xx 3 xx = xx (xx 2 ) = xx (xx ) (xx + ) RR(xx) rozložíme na součet parciálních zlomků: xx + 2 xx 3 xx = AA xx + Rovnici vynásobíme společným jmenovatelem: BB xx + CC xx + xx + 2 = AA(xx )(xx + ) + BBBB (xx + ) + CCCC (xx ) Pravou stranu upravíme (roznásobíme): xx + 2 = AAxx 2 AA + BBxx 2 + BBBB + CCxx 2 CCCC

Metodou porovnání koeficientů polynomu u stejných mocnin x na levé a pravé straně rovnice určíme koeficienty parciálních zlomků: xx 2 : 0 = AA + BB + CC xx : = BB CC xx 0 : 2 = AA Řešíme tuto soustavu tří rovnic o tří neznámých A, B, C: AA = 2 BB = + CC CC = 0 AA BB BB = + 0,5 =,5 CC = 0 + 2 CC 2CC = CC = 0,5 Nyní je vidět, že rozklad funkce RR(xx) na parciální zlomky lze vyjádřit takto: xx + 2 xx 3 xx = 2 xx +,5 xx + 0,5 xx + Integrace parciálních zlomků ) parciální zlomek typu řešíme: vzorce, substituce 2) parciální zlomek typu řešíme: vzorce, substituce 3) parciální zlomek typu AA xx xx AA (xx xx ) kk AAAA+BB xx 22 ++cc AAAA + BB xx 2 + + cc dddd = AA 2 2xx + xx 2 + + cc dddd + KK xx 2 + + cc dddd Upravíme na součet dvou integrálů tak, aby první z nich měl v čitateli derivaci jmenovatele a druhý konstantu. Konstantu K určíme z rovnice: AAAA + BB = AA (2xx + ) + KK. 2 4) parciální zlomek typu AA xx +BB (xx 22 ++cc) ll

Analogickým postupem jako u předchozího parciálního zlomku dojdeme ke dvěma integrálům. Z nichž jeden se vypočte substitucí, pro výpočet druhého integrálu se využívají tzv. rekurentní vzorce. Podrobný návod je možno najít například v knize K. Rektorys: Přehled užité matematiky, 995.

Určitý integrál Předpokládejme, že pro funkci ff(xx) definovanou na uzavřeném intervalu <, >, která je spojitá a ohraničená platí: ff(xx)dddd = FF(xx) + CC. Určitý integrál funkce ff od do je poté číslo: a je tzv. dolní integrační mez, b je tzv. horní integrační mez a ff(xx)dddd = [FF(xx)] = FF() FF(), kde: ff(xx)dddd čteme určitý integrál od do funkce ff(xx) dddd. V případě že: = platí vztah: ff(xx)dddd = 0;. >, > platí vztah: ff(xx)dddd = ff(xx)dddd Dále pro integrovatelné funkce na intervalu <a, b> platí: ; ) [ff(xx) ± gg(xx)]dddd = ff(xx)dddd ± gg(xx)dddd 2) kkkk(xx)dddd = kk ff(xx)dddd, kde kk RR; cc 3) ff(xx)dddd = ff(xx)dddd + ff(xx)dddd, kde cc (, ) ; cc 4) je-li f lichá funkce, pak: ff(xx)dddd = 0; 5) je-li f sudá funkce, pak: ff(xx)dddd = 2 ff(xx)dddd. 0 Příklad: Vypočtěte zadaný určitý integrál. xx 2 dddd = xx3 3 3 3 6 6 = 63 3 33 3 = 72 9 = 63 (Funkce xx 2 je na intervalu < 3, 6 > spojitá, je tedy integrovatelná.)

Metoda po částech v určitém integrálu Mají-li funkce u a v spojité derivace na intervalu <, >, pak platí:. uu vv dddd = [uuuu] uuvv dddd Příklad: Vypočtěte pomocí metody po částech zadaný určitý integrál: xxee xx dddd = uu = xx uu = 0 vv = ee xx vv = ee xx = [x ee xx ] 0 ee xx dddd = [x ee xx ] 0 0 [ee xx ] 0 = ee (ee ) = = Metoda substituce v určitém integrálu Jsou-li splněny následující předpoklady: ) funkce g má na intervalu <, > nenulovou derivaci, 2) funkce f je spojitá na intervalu < αα, ββ >, kde αα = gg(), ββ = h(), 3) funkce g zobrazuje interval <, > na interval < αα, ββ >, poté platí: ββ. αα ff gg(xx) gg (xx)dddd = ff(tt)dddd Využití substituční metody je analogické jako u neurčitého integrálu. S tím rozdílem, že musíme stejnou substitucí transformovat (přepočítat) integrační meze. To provedeme tak, že původní meze dosadíme do substituční rovnice. Použití ilustrujeme na příkladu. Příklad: Metodou substituce vypočtěte zadaný určitý integrál: ln xx = tt ee ln xx xx dddd = dddd = dddd xx = tttttt = tt2 αα = ln(ee) = 2 = 2 0 0 ββ = ln() = 0 Druhou možností výpočtu určitého integrálu substituční metodou (i per partes) je samostatné vyřešení neurčitého integrálu, kdy obdržíme výsledek v proměnné x, s následným výpočtem určitého integrálu s původními mezemi.

Historickou motivací pro vznik určitého integrálu byl výpočet obsahu SS MM křivočarého lichoběžníka. Nazývá se tak rovinný útvar MM, jehož příklad je zachycen na obrázku č.. Je vymezen grafem funkce yy = ff(xx), osou xx a přímkami xx = a xx =. Obrázek Jestliže funkce ff(xx) je na uzavřeném intervale <, > spojitá a nezáporná (ff(xx) 0), vyjadřuje určitý integrál SS MM = ff(xx)dddd = [FF(xx)] = FF() FF() Obsah SS MM rovinného útvaru MM, který je omezen křivkou yy = ff(xx), osou x a přímkami xx =, xx =. Jestliže v intervalu <, > je ff(xx) 0, je určitý integrál záporný a obsah SS MM příslušného rovinného útvaru MM je roven:. SS MM = ff(xx)dddd = ff(xx)dddd Příklad: Vypočtěte obsah rovinného útvaru M vymezeného grafem funkce yy = ff(xx) = xx 2 a osou x. Nejprve načrtneme rovinný útvar M. Jedná se o parabolu, která má vrchol v bodě [0,-] a osu x protíná v bodech xx = a xx = (viz obrázek 2). Obrázek 2

Protože na intervalu <, > je funkce yy = xx 2 spojitá, ale záporná, použijeme pro výpočet SS MM vztahu s absolutní hodnotou. SS MM = ( (xx 2 ))dddd = xx 3 = = 2. 3 3 3 Obsah SS MM rovinného útvaru M, která je ohraničená křivkou yy = xx 2 a osou x je tedy roven 2 3 jednotek obsahu. 3 Obsah plochy ohraničené dvěma křivkami yy = ff(xx) a yy = gg(xx), spojitými na intervalu <, >, pro které platí ff(xx) > gg(xx), a dále přímkami xx =, xx = se vypočítá pomocí vzorce: SS MM = [ff(xx) gg(xx)] dddd. Příklad: Vypočtěte obsah SS MM rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí yy = ff(xx) = xx 2, yy = gg(xx) = xx: Nejprve načrtneme rovinný útvar M. Nakreslíme zadané funkce a získáme rovinný útvar, jehož obsah budeme určovat. Obrázek 3 Meze příslušného integrálu získáme řešením soustavy rovnic (jako x-ovou souřadnici průsečíků příslušných křivek) yy = xx 2, yy = xx. xx 2 = xx xx 2 xx = 0 xx (xx ) = 0 Tedy xx = 0 = a xx 2 = =. Obsah SS MM rovinného útvaru ohraničené danými křivkami je poté roven: SS MM = (xx xx 2 )dddd = xx 2 xx 3 = jednotek obsahu. 0 2 2 3 6 3 0 =

Použitá literatura: JIRÁSEK, František a Josef BENDA. Matematika pro bakalářské studium. Vyd.. Praha: Ekopress, 2006, 506 s. ISBN 80-869-2902-7. MEZNÍK, Ivan. Matematika II. Vyd.., přeprac. /. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2009, 05 s. ISBN 978-80-24-386-3. MOUČKA, Jiří a Petr RÁDL. Matematika pro studenty ekonomie.. vyd. Praha: Grada, 200, 272 s. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3260-2. NAVRÁTIL, Miroslav. Matematika I.: pro distanční studium vysokých škol. Vyd.. Ostrava: Key Publishing, 2008, 98 s. ISBN 978-80-87255-06-3.