VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-08-4 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.046, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklady... 4 POUŽITÁ LITERATURA... 9 CZ..07/..00/5.046
Cvičení č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočet integrálů substitucí typu Výpočet integrálů substitucí typu ϕ ( ) t ϕ(t) Výpočet integrálů pomocí metody per partes MOTIVACE: Derivování je mechanický proces, integrování je již složitější. Ne všechny integrály lze řešit pomocí základních vzorců (např. integrace součinu, podílu a složených funkcí). Tyto integrály lze často řešit substituční metodou nebo metodou per partes tak, abychom dostali jednodušší integrál. CÍL: Pochopit princip substituční metody a metody per partes a dokázat poznat základní typy integrálů, které lze těmito metodami řešit. Umět aplikovat zmíněné metody při výpočtech integrálů. CZ..07/..00/5.046
Cvičení č. 4. PŘÍKLADY Příklad : Vypočtěte následující integrál d. + arctan ( ) Řešení: Nejedná se o tabulkový integrál a ani žádné úpravy nepovedou k tabulkovému integrálu, takže musíme při řešení zvolit jednu z využívaných metod při řešení integrálů. Vidíme, že integrand je složen ze součinu funkcí: arctan ( + ) d. Ze znalosti derivací hned víme, že ( arctan ), což je přesně to, co potřebujeme v substituční metodě prvního typu - + součin složené funkce a derivace vnitřní funkce. Rozhodli jsme se tedy pro arctan +. substituční metodu a zkusíme ji aplikovat a integrál vypočítat. arctan t d ( + ) dt arctan d dt t dostali jsme nový integrál proměnné t, + který již spočítat umíme (použití substituce bylo správné) t dt t dt t původního integrálu: + c. Teď už musíme jen vrátit substituci arctan t a dostáváme řešení ( + ) d arctan arctan + c. Derivací nalezené primitivní funkce můžeme ověřit správnost výsledku: ( arctan + c) ( arctan ) + arctan ( + ) Příklad : Vypočtěte následující integrál d ( ). Řešení: Opět se nejedná se o tabulkový integrál. Budeme zjišťovat, kterou metodu použít. Nejde o žádný ze základních typů pro využití per partes, proto první zkusíme substituční metodu. typu. Napadne nás tato substituce t, ověříme, zda máme v integrandu potřebný CZ..07/..00/5.046
Cvičení č. 5 součin. Po diferencování zvolené substituci máme d dt, což znamená, že potřebujeme v čitateli, to tam není a z toho důvodu tato substituce není možná. Zkusíme substituci. typu - pod odmocninou je tomu se zbavíme odmocniny. d costdt dt ( ) ( ) ( sin t) ( cos t ), víme, že sin cos a díky sin t d cost cost cost dt cos t cos t t arcsin dt dt dostali jsme nový integrál proměnné t, který již spočítat umíme (použití substituce bylo správné) dt tan t + c.vrátíme substituci t arcsin a dostaneme řešení původního integrálu: cos t d ( ) tan ( arcsin ) + c. Příklad : ln Vypočtěte následující integrál d. Řešení: Opět se nejedná o tabulkový integrál. Opět jako první zkusíme substituční metodu. V integrandu je součin funkcí ln a. Ze znalosti derivací víme, že ( ) ln, ale ne, kterou máme v integrálu substituce použít nelze. Jedná se o součin dvou odlišných funkcí, takže vyzkoušíme metodu per partes. Funkci umíme jednoduše integrovat i derivovat, funkci ln umíme derivovat za funkci, kterou budeme derivovat, zvolíme ln a za funkci, kterou budeme integrovat, zvolíme ln u ln u d v d ln d ln + po použití metody per partes jsme dostali jednodušší integrál (tabulkový) ln d ln + c CZ..07/..00/5.046
Cvičení č. 6 Příklad 4: Vypočtěte následující neurčité integrály: tan a) d cos (uvědomíme si, že ( ) t t dt + c tan + c b) ( ) e + d tan cos tan t ) tan d cos d dt cos u + u součin polynom a ep.fce per partes e v e u u e v e ( + ) e ( e ) d ( + ) e + e d ( ) ( ) ( + ) e + e ( e ) d + e ( + ) e e e + c e ( ) + c e + e d t sin d lineární sub. a, b- d dt sin tdt cos( ) + c d dt c) ( ) d) cos(ln ) d u sin(ln ) u cos(ln ) u sin(ln ) v u cos(ln ) v cos(ln ) + cos(ln ) + sin(ln ) sin(ln ) d cos(ln ) d dostali jsme stejný integrál vynásobený konstantou různou od, použijeme obratu e cos(ln ) d cos(ln ) + sin(ln ) cos(ln ) d cos(ln ) + sin(ln ) cos(ln ) d t ( cos(ln ) + sin(ln ) ) + c e) e cos ( e ) d tdt t + c ( e ) + c cos sin sin e d dt cos(ln ) d CZ..07/..00/5.046
Cvičení č. 7 t dt f) d d d dt ln arcsin ( ) ln 4 t ln d dt ln + c + t cost sin t u ( ) g) cot + d d dt cot tdt dt du sin t costdt du u d dt ln ( + ) c u + c ln sin t + c ln sin + t 4 h) + 7d 4d dt tdt + c ( + 7) + c d Další řešené příklady: + 7 t 4 dt 4 http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/video/perpartes/inde.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/video/integralgona/inde.h tml Neřešené příklady: 6 Vypočtěte následující neurčité integrály: d a) + arctan ( ) cos b) e sin d [ arctan + c] cos [ e c] + c) ( ) ln ( ) ln + c d cos [ ( sin + cos ) + c] d) d e) e d e + c CZ..07/..00/5.046
Cvičení č. 8 g) d cos arctan h) d + [ tan + ln cos + c] 4 4 arctan + c cos i) + sin ( ) d + c + sin Další příklady najdete v kapitole 5. a 5. ve sbírce úloh: http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/5.pdf CZ..07/..00/5.046
Použitá Literatura 9 POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matematika II.. Učební tety VŠB-TUO, Ostrava, 007, ISBN 978-80-48-6-5. [] JARNÍK V.: Integrální počet I. Praha, 974. [] VRBENSKÁ H.: Základy matematiky pro bakaláře II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN 80-7078-545-4 [4] elektronický učební tet: www.studopory.vsb.cz CZ..07/..00/5.046