8. cvičení http://web.natur.cuni.cz/ kunck6am/ Teorie Příklady. Spočtěte ity a) + ) vnitřní funkce: + ) e ln+ ) ln + ) ln + ), nebot další vnitřní funkce b) c) a ln + y) 0 y 0. podmínka P, g) 0 pro 0, ).) Zpět k funkci e ln+ ) e, tady podmínka P, e z je spojitá funkce v bodě. analogicky. e ), + ) + ) ) ln + e
vnitřní funkce: ln + ) ln ) + ln + ) V OAL 0 0 Použita vnitřní funkce na logaritmus, podmínka P, / 0 na 0, ). Celkem tedy + ) e 0, podmínka P, e z spojitá v 0.). a) b) c) 0, ita se určí dosazením. ) + ) ) + ) + )/ ) + Použijeme jednoduché úpravy na eponent a dostaneme + + ) )/ ) a nyní zkrácením a dosazením dostaneme + + ) )/ )+ ) d) + 3 / 3. ) + ) ) + Použijeme klasický trik převedení do eponentu za použití vzorce y e ln y. ) + )/ ) ) + + + ep ln + + Symbolem epy míníme totéž co e y. Podle věty o itě složené funkce varianta S)) lze přehodit pořadí ep a to je velmi užitečná vlastnost spojité) eponenciální funkce. ep ln + + +
Limitu v závorce je jednoduché spočítat vytknutím v čitateli a jmenovateli obou zlomků a vyjde, že ep ln 0 ep0 e 0. e) ) + + Upravujeme. ) + ) + ep ln Podle věty o itě složené funkce lze přehodit pořadí a ep. ) + ep ln Nyní zlomek konverguje k jedné polovině a logaritmus jedné poloviny je záporné číslo. Proto se od jistého velkého se bude logaritmus lišit od ln jen o velmi málo, zatímco poroste nade všechny meze. ep ln + e 0. f) + 3 ) 3 + + + Upravujeme. g) 3 ) 3 + + + ep ln 3 ) + + + ep ln tg π 4 + 3 ) + + + 3 3 ep ln 3 e 0. π 8 + ) tg 3
Uvědomme si, že zkoumáme jednostrannou itu. Proto jde eponent do to plyne z vlastností funkce tangens). Pokud si zároveň uvědomíme, že tg 3 8 π tg π 4 a že logaritmus čísla většího než jedna je kladný, je skoro vše hotovo. { } π ) tg π ) { tg π 8 + ep ln tg π 8 + tg ep ln tg 38 ) } π e 4 4 h) + ) + + i) j) Stále stejně. ) + + ep ln ) + + ) ep ln ep ln e 0. + + Klasický trik s eponencielou dává ) / + + 3 ) / + ) ep 3 ln + ep ln 3 0 e 0. V té vhodně rozšíříme. + ) sin 0 + ) sin + ) 0 0 Nyní použijeme triku eponenciály. ep 0 sin ln + ) + ) sin 0 ) sin 4
k) Protože logaritmus je spojitá funkce, je ep ln 0 + ) ) 0 sin První itu nyní spočteme substitucí y, druhou známe. ep ln y + + y )y ) 0 sin ep ln e ep e e. + ) cotg 0 Samotný eponenciální trik příliš nepomůže. Počítejme zhruba podle našeho odvozeného schématu některé kroky si ušetříme). 0 + ) cotg + ) cos sin 0 + ) sin sin 0 0 + ) První itu spočteme snadno dosazením, vyjde + 0). Zbyde tedy pouze druhá ita. V té vhodně rozšíříme. 0 + ) sin + ) sin + ) 0 0 sin + ) sin 0 Nyní použijeme triku eponenciály. ep 0 ln + ) Protože logaritmus je spojitá funkce, je ep ln 0 + ) ) sin ) 0 sin První itu nyní spočteme substitucí y, druhou známe. ep ln y + + y )y ) 0 sin ep ln e ep e e. l) + tg ) sin 0 5
m) řešíme pomocí chytrého rozšíření eponentu a eponenciálního triku: využíváme též větu o itě součinu a spojitost logaritmu tj. možnost přehození ity a logaritmu). + tg ) tg sin tg 0 ) ep ln + tg ) tg tg 0 0 sin Nyní první ita je po substituci y tg rovna e a druhá je zřejmě rovna jedné, jak plyne z faktu tg sin cos. ep ln e e e. Pokud dáme oba výsledky dohromady a využijeme větu o itě podílu, plyne odtud ) + tg sin e 0 + sin e. 0 ) + tg / sin + sin Je zřejmé pomocí substituce y sin, že + sin ) sin 0 y 0 + y) y e. Úplně lze důkaz provést počítáním jednostranných it a substitucí z y.) Problematická je tedy pouze ita + tg ) sin 0 Tu řešíme pomocí chytrého rozšíření eponentu a eponenciálního triku: využíváme též větu o itě součinu a spojitost logaritmu tj. možnost přehození ity a logaritmu). + tg ) tg ) sin tg ep ln + tg ) tg tg 0 0 0 sin Nyní první ita je po substituci y tg rovna e a druhá je zřejmě rovna jedné, jak plyne z faktu tg sin cos. ep ln e e e. Pokud dáme oba výsledky dohromady a využijeme větu o itě podílu, plyne odtud ) + tg sin e 0 + sin e. 6
n) a ) sin / a) Obdobnou metodou jako v minulém příkladě. + a ep ln a ) sin a a ) sin a a a + ) sin + sin ) a ) sin sin + sin a a sin a sin ) o) sin Substituce y na první itu. Pro druhou využijte příklad VI.3. Jde vlastně o derivaci funkce sinus. ) ) ep ln + y) y sin y 0 a a ep lne) cos a e cos a e cotg a. sin ) tg π Obdobnou metodou jako v příkladu XXII.C.4. Rozšíření je v tomto případě velmi nenápadné. π sin ) tg π +sin )) tg π sin )tg π sin )tg + sin )) sin Přechod pomocí eponenciálního triku k následující rovnosti by pro vás měla být již rutinní záležitost. sin ep ep cos π Nyní je možné použít pro lepší vhled třeba substituci y π/, přičemž se snadno ukáže ze součtových vzorců, že siny + π/) cos y a cosy + π/) sin y. ep y 0 cos y ep sin y y 0 cos y y sin y y y ep 0 e 0. 7
3. a) 8