7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B F - - S A x - - Z orázku je vidět, že mohou nstv dvě možnosti: přímk má s hperolou společné dvod (je její sečn) plné čár přímk nemá s hperolou společný žádný od (je její vnější přímk) čárkovné čár O tom, do které skupin přímk ptří rozhoduje její směrnice. Pokud zčneme s přímkou = zvětšujeme její směrnici ke kldným neo záporným číslům prvními přímkmi, které neudou mít s hperolou žádný průsečík, jsou smptot hperol pro k ; je přímk kx = sečnou pro k ; ; je přímk = kx vnější přímkou hperol Pedgogická poznámk: Žádný z orázků není příliš přehledný. Při výuce ve třídě rozhodně doporučuji nkreslit hperolu n tuli jezdit po ní tčkou.
Př. : Je dán hperol = od T [ x; ], který n ní leží. Jké mohou nstt vzájemné poloh hperol přímk procházející odem T? X - E - S F x - - Všechn nkreslené přímk s výjimkou tří mjí s hperolou dv společné od (n orázku zelené čárkovné čár). Tři přímk procházející odem X mjí s hperolou jeden společný od: přímk nkreslená plnou červenou črou = tečn přímk nkreslené čárkovnou červenou črou = rovnoěžk s smptotmi hperol pokud zjistím, že přímk má s hperolou jediný společný od, neznmená to, že je její tečnou Jk npíšu rovnici tečn hperol v jejím odě [ ; ] Stejně jko u elips: Rovnice hperol: ( x m ) ( n ) X? =. ( x m)( x m) ( n)( n) Rozložím závork n součin: =. Jednu z neznámých v kždém zlomku změním z souřdnici odu X x; : ( x m)( x m) ( n)( n) = Má-li hperol rovnici ( x m ) ( n ) rovnici: = má její tečn s odem dotku X x; x m x m n n =. ( )( ) ( )( )
Má-li hperol rovnici ( n ) ( x m ) rovnici: = má její tečn s odem dotku X x; n n x m x m =. ( )( ) ( )( ) Př. : Npiš rovnici tečn hperol v jejím dném odě: ( ) + ) ( x ) =, T [ ;] ) 5 =, T ; 5 6 ( ) + ) ( x ) =, T [ ;] Dosdím do rovnice tečn: ( + )( + ) ( x )( x ) = ( + )( + ) ( )( x ) = ( + ) ( x ) = x + = ( ) x 6 = 5 ) =, T ; 5 6 Dosdím do rovnice tečn: xx = 5 6 5 x ( ) = 5 6 x + = / 6 6 x + 6 = Př. : Urči vzájemnou polohu přímk 5x + 9 = hperol x =. 5 6 Budeme postupovt jko ovkle njdeme počet průsečíků přímk s hperolou podle něj se rozhodneme. 5x + 9 = 5 x + = 9
V rovnici hperol se zvím zlomků: x = / 6 5 5 6 5 9 6 5x = dosdím z : 6 x + 5x = 5x + 9x + 8 6 5x = 6 5x + 9x + 8 5x = 9x = 9 9 5x + 9 8 x =, dopočtu, i kdž je to ztečné = = 9 7 Přímk se protíná s hperolou v jediném odě dvě možnosti: tečn neo rovnoěžk s smptotou. x x x Určíme rovnice smptot: = + = 5 5 5 x = + 5x = 5 x = 5x = tto smptot je rovnoěžná se zdnou přímkou. 5 x Přímk 5x + 9 = má hperolou = jediný společný od, není všk její 5 6 tečnou, le je přímkou rovnoěžnou s její smptotou. Pedgogická poznámk: V předchozím příkldě smozřejmě někteří ojeví jediný průsečík ihned prohlásí přímku z tečnu. Př. : Njdi přímku rovnoěžnou s přímkou x + + =, která je tečnou hperol x =. Rovnice hperol ve středovém tvru: x = = =, = přímk x + + = není rovnoěžná ni s jednou smptotou. Všechn přímk rovnoěžné s přímkou x + + = : x + + c =. Určím hodnotu prmetru c tk, přímk měl s prolou jediný průsečík: x + + c = = x c dosdím do rovnice hperol: x = ( ) = x x c ( ) + + = x 6x 8cx c x 6x 8cx c = x + 8cx + c + = O počtu průsečíků rozhoduje diskriminnt: ( ) ( ) D = c = 8c c + = 6c 8c = 6c = / :6
c = 6 c 6 c + 6 = dv kořen c = 6, c = 6 ( )( ) Tečnmi hperol x = rovnoěžnými s přímkou x + + = jsou přímk x + + 6 = x + 6 =. Př. 5: Je dán hperol = od M [ x; ], který n ní neleží. Jké mohou nstt vzájemné poloh hperol přímk procházející odem M? M E F - - S x - - Vznikl správný chos. Přesto jsou z orázku uvidět čtři možnosti: modré přímk, které nemjí hperolou žádný společný od zelené přímk, které mjí s hperolou dv společné od červené čárkovné přímk, které mjí s hperolou jediný společný od, nejsou všk jejími tečnmi, jsou rovnoěžné z jednou z smptot červené plné přímk, které mjí s hperolou jediný společný od jsou jejími tečnmi Př. 6: Njdi všechn tečn hperol =, které procházejí odem M [ ; 6]. 9 9 Nejdřív si prohlídneme rovnici hperol: = = hperol je rovnoosá smptot mjí rovnice = ± x. Použijeme klsickou metodu hledání pomocí prmetru: ; 6 = k x x po doszení: Všechn přímk procházející odem M [ ]: ( ) ( ) ( + 6) = k ( x ) po úprvě: = kx k 6 5
Dosdíme do rovnice hperol: x = 9 ( ) 6 = 9 x kx k = / 9 9 9 x k x k x 6kx k x + 9k + 8k 6kx + 8k + 6 = 9 x k x + k x + 6kx + k x 9k 8k + 6kx 8k 6 = 9 x k + 6k x + kx 9k 6k 5 = ( ) ( ) ( ) + 6 + 9 6 5 = x k k k x k k Důležitý je koeficient = k, kdž se rovná nule jde o lineární rovnici s jediným řešením: = k = k = ± Určím rovnice přímek v těchto přípdech: + 6 = x = x 9 - rovnoěžk s smptotou k = : ( ) ( ) k = : ( 6) ( x ) + = = x - rovnoěžk s smptotou Tečn jsem ztím nenšel Předpokládám, že pltí k ± kvdrtická rovnice, o počtu řešení rozhoduje diskriminnt: D c ( k ) ( k )( k k ) 6( k + k ) + 9( k )( k + k + 5) = / : 6 ( k + k ) + ( k )( k + k + 5) = = = 6 + 9 6 5 = k + k + k + k + k + 5 k k 5k = k + k + k + k + k + 5 k k 5k = k + 5 = 5 k = - pouze jediné řešení, což je trochu překvpení 5 dopočítáme tečnu: ( + 6) = ( x ) / + = 5x + 5 5x + + 9 = Zývá vřešit, proč jsme nenšli dvě tečn (musí existovt vžd, pro od jko je M) M ; 6, chí nám přímk x = Nenpsli jsme všechn přímk, které prochází odem [ ] (nejde npst ve směrnicovém tvru) Dosdíme přímku x = do rovnice hperol zjistíme počet průsečíků: x = = 9 = přímk x = se dotýká prol v jejím vrcholu Hperol = má dvě tečn, které procházejí odem M [ ; 6] 9 9 x = 5x + + 9 =. 6
Př. 7: Petáková: strn 8/cvičení 7 ) d) e) f) Shrnutí: Jediný průsečík mjí s hperolou kromě tečen i přímk rovnoěžné s smptotmi. 7