DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání: 202 Vyprcovl: Petr Sušovský AME, II. ročník

Prohlášení Prohlšuji, že jsem vytvořil tuto diplomovou práci smosttně pod vedením doc. Mgr. Krl Pstor, Ph.D. že jsem v seznmu použité litertury uvedl všechny zdroje použité při zprcování práce. V Olomouci dne 29. 3. 202

Poděkování Rád bych n tomto místě poděkovl svému vedoucímu diplomové práce doc. Mgr. Krlu Pstorovi, Ph.D. z obětvou spolupráci i z čs, který mi věnovl při konzultcích. Tké bych rád poděkovl své rodině přátelům z podporu během studi.

Obsh Úvod 4 2 Konečné hry 5 3 Nekonečné hry 3 3. Úvodní pojmy............................. 3 3.2 Optimální strtegie.......................... 4 3.3 Skupiny nekonečných her....................... 6 3.3. Nekonečné hry definovné n jednotce čtverce....... 6 4 Hry nčsování 22 4. Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče............ 24 4.. Hlučný souboj......................... 25 4..2 Tichý souboj......................... 29 4..3 Tichý-hlučný souboj..................... 36 4..4 Souboj 4............................ 46 5 Nekonečné hry, jejíchž prostory strtegií jsou známé prostory funkcí 50 6 Závěr 52

Úvod Teorie nekonečných her je přibližně 70 let strá. Zákldem těchto her byl studie von Neumnn Morgenstern, kteří roku 944 vydli knihu, ve které se zbývli jk hrmi konečnými, tk nekonečnými. Smotná studie tktických soubojů zčl v roce 939, kdy ve světě probíhl II. světová válk. O tuto studii se nejvíce zsloužil korporce RAND, která se v té době snžil njít tým mtemtiků, sttistiků, ekonomů sociálních vědců, by nlyzovli význm strukturu tzv. nejistoty války. Měli z úkol vytvořit optimální plán pro budoucí fungování ekonomiky své země při útoku obrně. Právě při této příležitosti vznikl teorie her nčsování jko vedlejší produkt studie tktických soubojů. Název hry nčsování, jkožto tříd tktických soubojů, vznikl roku 950, kdy skupin mtemtiků rozpoznl široký rozsh jejich možných plikcí. Předložená diplomová nbízí čtenářům stručný náhled do teorie nekonečných her her nčsování zároveň uvádí i jejich využití n konkrétních příkldech. První kpitol je úvodem do témtu. Druhá kpitol obshuje úvodní pojmy, které se týkjí teorie konečných her. Vysvětlil jsem zde jednotlivé termíny, které byly pro tuto problemtiku nezbytné uvést, jko npříkld hr v normálním tvru, mticová hr, hr s konstntním součtem, optimální strtegie v neposlední řdě jsem tké ndefinovl smíšené rozšíření mticových her. Pro lepší pochopení jsem uváděl konkrétní příkldy. Kpitol třetí sloužil jko tkový přechod konečných her do nekonečných. Jednotlivé pojmy, které byly ndefinovné v kpitole první, jsem se snžil rozšířit pro hry nekonečné. Dále jsou uvedeny pojmy, které se týkjí pouze nekonečných her. N závěr této kpitoly jsou stručně uvedeny některé typy těchto her. Čtvrtá kpitol je stěžejním bodem této práce. Zde se zbývám právě hrmi nčsování. Uvedl jsem zde zákldní typy těchto her jko je hlučný souboj, tichý souboj tichý-hlučný souboj. Pro lepší názornost pochopení je kždý souboj doplněn konkrétním okomentovným příkldem. Doufám, že tto práce pomůže čtenáři orientovt se v oblsti teorie her. 4

2 Konečné hry Všichni se kždý den ocitáme v situcích, kdy musíme zvolit vhodný postup, bychom dospěli k co nejlepšímu výsledku. Jestliže tento výsledek závisí jenom n nás nebo n více dlších vlivech, které můžeme předvídt s určitou prvděpodobností, le které nejsou vzájemně závislé n rozhodnutí kohokoli jiného, pk je situce poměrné jsná. Když se všk do rozhodování vloží ještě nějká dlší osob, můžeme se obrátit k tzv. teorii her. Teorie her vytváří nlyzuje modely situcí, ve kterých dochází k interkci lespoň dvou rcionálních entit, čsto s protichůdnými zájmy. Této interkci se pk říká hr jejími hráči jsou ony entity. Hrou v tomto smyslu může být třeb prtie pokeru, studená válk, veřejná ukce nebo jednání nd podmínkmi smlouvy. V obecných přípdech her se uvžuje užitková (výpltní) funkce, která kždému možnému výsledku hry přiřdí n-tici reálných čísel vyjdřující užitek pro jednotlivé hráče. Trdičně se kldným číslem vyjdřuje zisk, záporným ztrát. Nyní si úvodní pojmy ndefinujeme n konečném prostoru strtegií jednotlivých hráčů. Jednotlivé definice tvrzení s důkzy uvedené v této kpitole byly převzty z litertury [5, 6, 7, 8] jsou ilustrovány vlstními příkldy. Definice 2.. Nechť je dán konečná neprázdná n-prvková množin Q = {, 2,..., n}, dále n neprázdných množin S, S 2,..., S n n reálných funkcí K, K 2,..., K n definovných n krtézském součinu S S 2... S n. Hrou n hráčů v normálním tvru budeme rozumět uspořádnou (2n+)-tici {Q; S, S 2,..., S n ; K (s, s 2,..., s n ), K 2 (s, s 2,..., s n ),..., K n (s, s 2,..., s n )}. () Množinu Q nzveme množinou hráčů, množinu S i nzveme prostorem strtegií hráče i, prvek s i S i nzveme strtegií hráče i funkci K i (s, s 2,..., s n ) nzveme výpltní funkcí hráče i. Klíčovým pojmem při nlýze her je optimální bod hry. Tento bod je definován jko tkový soubor strtegií jednotlivých hráčů, že žádný hráč nemůže získt změnou své strtegie, pokud ji změní jen on sám. 5

Definice 2.2. n-tice strtegií s = (s, s 2,...s n ) se nzývá optimálním bodem hry, jestliže pro kždé i {, 2,..., n} všechn s i S i pltí: K i (s,..., s i, s i, s i+, s n ) K i (s,..., s i, s i, s i+, s n ). (2) Strtegie s i se nzývá optimální strtegie hráče i. Optimální strtegie jsou strtegie, kterými se budou řídit rcionální hráči (hráči, kteří chtějí dosáhnout co největšího zisku). Definice 2.3. Hr v normálním tvru, v níž pro všechn s i S i, i =, 2,..., n, pltí n K i (s,..., s n ) = A, (3) i= kde A je konstnt nezávislá n volbě strtegií s,..., s n se nzývá hr s konstntním součtem. Poznámk 2.. Je-li A=0, jedná se o hru s nulovým součtem - hr s nulovým součtem je tková hr, při které je součet užitků všech n hráčů nulový pro kždý možný výsledek hry. To npř. u hry dvou hráčů znmená, že co jeden hráč získá, druhý trtí (npř. u pokeru). Jestliže součet výpltních funkcí závisí n zvolených strtegiích, jedná se o hru s nekonstntním součtem. V definici 2.2. jsme si definovli, jk vypočítt optimální bod hry pro n hráčů. V dlší části této práce se budeme zbývt hrmi se dvěm hráči. Proto si tuto definici uvedeme pro množinu Q = {, 2} uvedeme si ji rovněž pro hru s konstntním součtem (resp. nulovým součtem). Definice 2.4. Konečná hr s nulovým součtem dvou hráčů je definován jko kde {Q = {, 2}; X = {, 2,..., m}; Y = {, 2,..., n}; K(i, j) = ij ; i X, j Y }, A = 2... n 2 22... 2n............ m m2... mn 6 (4)

je mtice hry. Jk už bylo zmíněno v předchozím textu, cílem tkové hry je njít optimální strtegie, díky kterým ob dv hráči se snží mximlizovt svou výhru, resp. minimlizovt svou ztrátu, ve smyslu následující definice. Poznámk 2.2. Pro hru s nulovým součtem pltí, že K (x, y) = K 2 (x, y) pro všechn x X, y Y. Čsto píšeme, že K (x, y) = K(x, y). Definice 2.5. Nechť {Q = {, 2}; X; Y ; K (x, y); K 2 (x, y)} (5) je hr s konstntním součtem. Optimální strtegie hráče je tková strtegie x X, pro kterou existuje strtegie y Y tk, že pltí K (x, y) K (x, y) K 2 (x, y) K 2 (x, y) (6) pro všechn x X, y Y. Strtegie y Y se ekvivlentně nzývá optimální strtegie hráče 2. Tto definice vychází z definice 2.2. Je-li nvíc {Q = {, 2}; X; Y ; K (x, y); K 2 (x, y)} hr s nulovým součtem, sloučí se nám nerovnosti do následujícího tvru: K(x, y) K(x, y) K(x, y). (7) Vět 2.. Nechť (5) je hr s konstntním součtem, A 0. Potom x, ȳ jsou optimální strtegie ve hře (5) tehdy jen tehdy, jsou-li x, ȳ optimální strtegie ve hře s nulovým součtem, kde K(x, y) = K (x, y) K 2 (x, y). Důkz: Nechť x, ȳ jsou optimálními strtegiemi ve (5). Z první nerovnosti (6) dostneme K (x, ȳ) K 2 (x, ȳ) K ( x, ȳ) K 2 (x, ȳ). 7

Protože K K (x, ȳ) = K 2 (x, ȳ) K 2 ( x, ȳ) = K K ( x, ȳ) dostáváme z předchozí nerovnosti K (x, ȳ) K 2 (x, ȳ) K ( x, ȳ) K 2 ( x, ȳ). což je levá nerovnost v (7) pro K(x, y) = K (x, y) K 2 (x, y). Prvou nerovnost v (7) dostneme zcel obdobně. Nechť obráceně pro x, ȳ pltí předchozí nerovnost. Tento vzth můžeme přepst jko K (x, ȳ) [K K (x, ȳ)] K ( x, ȳ) [K K ( x, ȳ)], odkud dostneme první nerovnost z (6). Obdobně dostneme i druhou nerovnost z (6). Tímto je vět dokázán. Nyní si uvedeme konkrétní příkld, jk vypdá hr s nulovým součtem dvou hráčů. Příkld 2.. Máme hru dvou hráčů (A B), jejíž výpltní funkce vypdjí následovně 4 6 A 5 5 6 9 B 4 2 2 3 Jedná se o hru s konstntním součtem, protože pokud budeme sčítt příslušné výhry z obou mtic hráčů při stejných strtegiích, budeme dostávt jedno to smé číslo. V tomto přípdě získáme vždy 3. Nšim úkolem bude njít optimální strtegie. Abychom tyto strtegie nšli, musíme k jejím zjištěním využít vzth (7). Jelikož se jedná o hru s konstntním součtem, převedeme si tuto hru n hru s nulovým součtem tím, že nhrdíme jednotlivé mtice jednou mticí (buď hráče A nebo B) dle věty 2.. V nšem přípdě mticí hráče A. Získáme tímto mtici 5 5 5 7 7 9 8

Nyní využijeme vzth (7) njdeme optimální strtegie. Hledáme číslo, které bude nejmenší v řádku (hráči A zručí minimální výhru) zároveň největší v dném sloupci (mximlizuje svou minimální výhru). Je jsné, že tyto dvě podmínky splňuje dvojice strtegií (x 3, y ). Výhr hráče A bude tudíž 5, kdežto výhr hráče B bude -2. Jk už jsme se zmínili dříve, teorie her se snží nlézt v kždé hře optimální bod (ve smyslu definice 2.5), v němž hráči volí tkové strtegie, že žádný z nich nemá důvod svou strtegii změnit z předpokldu, že druhý hráč svou strtegii nezmění. Ne vždy le optimální bod ve smyslu definice 2.5 existuje. Z tohoto důvodu byly zvedeny tzv. smíšené strtegie, které udávjí, s jkou prvděpodobností mjí hráči volit jednotlivé strtegie, by dosáhli co největšího zisku. N konkrétním příkldě si ukážeme, kdy bude optimální bod dán smíšenými strtegiemi. Příkld 2.2. Budeme uvžovt ntgonistický konflikt dvou hráčů, kde výpltní funkce obou hráčů budou obsženy v následující mtici ( ) 3 3 Abychom nšli optimální bod v tzv. ryzích strtegiích (řešení hry), musí zde existovt prvek dle definice 2.5, který je nejmenší v řádku zároveň největší v tom dném sloupci. Z uvedené mtice vidíme, že žádný prvek tyto dvě podmínky nesplňuje. Proto budeme řešení hledt ve smíšených strtegiích. Tento příkld budeme řešit pomocí tzv. simplexové metody. Poznámk 2.3. Simplexovou metodou se řeší úlohy lineárního progrmování je to metod, která slouží mimo jiné i pro ruční výpočty, protože její lgoritmus je jednoduchý neustále se opkuje. Výpočty se provádějí přes jednotlivé iterce. V jednotlivých krocích se vypočte nové řešení, které je z hledisk mximlizce 9

účelové funkce lepší nebo lespoň stejné než řešení v předchozím kroku. Smotný výpočet se skládá ze dvou části:. Nlezení výchozího zákldního řešení 2. Iterční postup vedoucí k optimlizci účelové funkce Poznámk 2.4. Podrobnější lgoritmus výpočtu simplexové metody je uveden v litertuře [4]. Nyní se vrátíme k řešení předchozího příkldu. Nejdříve si tuto mtici přepíšeme do následující tbulky Anlogicky z pohledu. hráče nám zse vznikne tto soustv rovnic nerovnic y y 2 x 3 x 2 3 Z pohledu 2. hráče nám vznikne tto soustv nerovnice rovnic 3y + y 2 u y + 3y 2 u y + y 2 =, y 0, y 2 0. 3x + x 2 v x + 3x 2 v x + x 2 =, x 0, x 2 0. V dlších krocích je jedno, zd budeme v nšem výpočtu používt soustvu. nebo 2. hráče. Zvolme si npříkld soustvu 2. hráče. Zvedeme si nové proměnné q q 2, které lze získt tkto q = y u, q 2 = y 2 u. 0

Pk pltí tto soustv 3q + q 2 q + 3q 2 q + q 2 = u q + q 2 mx Musíme dostt soustvu rovnic. K tomu dojdeme tk, že do kždé nerovnice dodáme dlší proměnnou. V nšem přípdě tj. e e 2. Dlší kroky se řeší přes simplexovou metodu jednotlivé iterce jsou uvedeny v následujících tbulkách. Iterce 2. Iterce q q 2 e e 2 e 3 0 e 2 3 0 - -* 0 0 0 q q 2 e e 2 8 e 3 0 3 q 2 0 3 3 2 3 0 0 3 2 3 3 3 3. Iterce q q 2 e e 2 3 q 0 8 8 q 2 0 3 8 8 0 0 4 4 Vyšel nám vektor (q, q 2, e, e 2 ) = (,, 0, 0). Tzn., že (y 4 4, y 2 ) = (, ). 2. hráč 2 2 bude tudíž hrát první strtegii s prvděpodobností druhou strtegií s prvděpodobností tké. Anlogicky by se vypočítly i jednotlivé prvděpodobnosti 2 2. hráče. 4 4 2

Definice 2.6. Nechť je dán mticová hr (4). Hru dvou hráčů s nulovým součtem jejíž prostory strtegií jsou (X) = {x T = (x,..., x m ); (Y ) = {y T = (y,..., y n ); m x i = ; x i 0}, (8) i= n y i = ; y i 0} (9) i= výpltní funkce K(x, y) = m n x i ij y j = x T Ay, (0) i= j= nzveme smíšeným rozšířením mticové hry (4). Vět 2.2. Smíšené rozšíření kždé mticové hry má řešení. Důkz: Důkz této věty se provádí přes tzv. simplexovou metodu je uveden v litertuře [5]. Poznámk 2.5. Větě 2.2 se tky říká zákldní vět teorie mticových her. Až doposud jsme se bvili o teorie her s konečným prostorem strtegií. Nyní se budeme zbývt prostorem strtegií, který bude nekonečný. 2

3 Nekonečné hry 3. Úvodní pojmy V předchozí kpitole jsme si vysvětlili zákldní pojmy teorie her, kdy prostor strtegií obou hráčů byl konečný. Model, který nám zobrzovl dný konflikt, byl mticová hr. V příkldě n simplexovou metodu jsme si ukázli, že i když jsme měli hráče, u kterých byl prostor strtegií konečný, museli jsme použít právě simplexovou metodu tím jsme jko kdyby popisovli nekonečnou hru. Ve světě všk neexistují pouze konečné ntgonistické konflikty, le existují i ntgonistické konflikty, kde prostor strtegií obou hráčů může být nekonečný. Součástí této kpitoly bude zobecnit si tyto pojmy n nekonečném prostoru strtegií, kdy budeme brát v úvhu dv hráče, opět si tyto pojmy plikujeme n hru s konstntním součtem. Opět jednotlivé definice tvrzení byl převzt z [3, 5]. Nejdříve se budeme zbývt hrmi v normálním tvru, které stojí n rozhrní mezi hrmi mticovými hrmi nekonečnými. Jedná se o hry, kde prostor strtegií obou hráčů X Y jsou nekonečné spočetné množiny. Cílem bude opět njít optimální strtegie obou dvou hráčů, by ob dv mximlizovli svůj zisk (resp. minimlizovli ztrátu). Bude pltit, že X = Y =, 2,.... Dále zde bude pltit, že optimální strtegie budeme hledt spíše ve smíšených strtegiích než v ryzích strtegiích. Proto si ndefinujeme smíšené rozšíření hry pro tyto množiny. Definice 3.. Množin všech rozložení prvděpodobností (X) n X je množin všech nekonečných posloupností x = (x, x 2,... ), pro které pltí: x i =, x i 0, i =, 2,.... () i= Anlogicky množin všech rozložení prvděpodobností (Y ) n Y je množin všech nekonečných posloupností y = (y, y 2,... ), pro které pltí: y j =, y j 0, j =, 2,.... (2) j= 3

Potom výpltní funkce vypdá: K(x, y) = x i ij y j, (3) i= j= kde ij jsou prvky z mtice A, kde ovšem indexy i i jdou do nekonečn. Poznámk 3.. Smíšené rozšíření nekonečného ntgonistického konfliktu nemusí mít vždy řešení pro hry, kde prostor strtegií je nekonečná spočetná množin. Důkz pro toto tvrzení je uveden v [5]. Že smíšené rozšíření nekonečného ntgonistického konfliktu nemusí mít vždy řešení, je ptrné z toho, že střední hodnot (3) nebude definován pro všechn x (X) y (Y ). Podrobnější problemtik je uveden v [5]. 3.2 Optimální strtegie N zčátek si uvedeme větu, která nám určuje tkové postčující podmínky, by existovly optimální strtegie v nekonečné hře s nulovým součtem. Jenom pro připomenutí, symbolem R budeme znčit množinu reálných čísel symbolem R k budeme znčit k-rozměrný vektorový prostor reálných čísel, kde k =,..., n. Vět 3.. Budiž {Q =, 2; (X), (Y ); K(x, y)} hr v normálním tvru s nulovým součtem. Nechť (X) R m (Y ) R n jsou kompktní konvexní množiny nechť K(x, y) je spojitá funkce n (X) (Y ), která je konkávní v x (pro kždé y (Y )) konvexní v y (pro kždé x (X)). Potom tto hr v normálním tvru má řešení. Důkz: Důkz této věty je uveden v [5]. Poznámk 3.2. Ze zjištěných pozntků plyne, že vět 2.2 je speciálním přípdem předchozí věty. hráče: Postup pro hledání optimálních strtegií je následující: Hráč se snží nlézt svou minimální výhru přes množinu strtegií druhého min K(x, y), (4) y Y 4

tuto svou minimální výhru se snží mximlizovt: mx min x X y Y K(x, y). (5) Druhý hráč se chová opčně. Snží se njít mximální výhru prvního hráče: tuto mximální výhru se snží minimlizovt: mx K(x, y), (6) x X min mx y Y x X K(x, y). (7) Musíme si všk dokázt, že dvojice x, y z věty 2.. je t smá, která splňuje vzthy (5) (7). Proto si nyní uvedeme větu, která nám tuto myšlenku potvrdí. Vět 3.2. Budiž {Q={,2};X,Y;K(x,y)} hr s nulovým součtem. Nechť existují hodnoty (5) (7). Potom rovnost min mx y Y x X K(x, y) = mx min x X y Y K(x, y) (8) pltí jenom tehdy, jestliže existují optimální strtegie x, y vyhovující definičnímu vzthu K(x, y) K(x, y) K(x, y), (9) pro všechn x X, y Y. Společná hodnot (9) je potom rovn ceně hry K(x, y). Důkz: Důkz věty je uveden v [5]. Poznámk 3.3. Postup při řešení nekonečných her je znčně složitý, většinou se řeší přes tzv. diferenciální integrální rovnice. V různých typech těchto her existuje postup, jk stnovit optimální strtegie. Tento postup není formální jk u řešení konečných her. Jestliže to je nutné, výpočty mohou být řešeny přes numerické metody. V dlší podkpitole si uvedeme příkldy nekonečných her nstíníme si postup, jk budou řešeny. 5

3.3 Skupiny nekonečných her Rozeznáváme několik typů nekonečných her. Prvním typem her, jsou tzv. hry definovné n jednotce čtverce (kde se budeme hlvně podrobněji zbývt hrmi nčsování). V závěru si pk uvedeme dlší typy. 3.3. Nekonečné hry definovné n jednotce čtverce Tento typ her je jeden z nejjednodušších verzí nekonečných her užívá se zde obdobná definice hry, jko jsme si uváděli v úvodních kpitolách této práce. Definice 3.2. Hr je definován jko trojice {X, Y, K}, kde X Y jsou prostory strtegií hráče hráče 2, K(ξ, η) je výpltní funkce, která se skládá ze dvou proměnných ξ η, jejíž hodnoty nbývjí hodnot n intervlu < 0, >. Prostory strtegií X, Y se skládjí z distribučních funkcí x(ξ) y(η). Výpltní funkce při volbě x hráče volbě y hráče 2 vypdá tkto: K(x, y) = 0 0 K(ξ, η)dx(ξ)dy(η). (20) Více o distribučních funkcí se dozvíme dále v textu. Definice 3.3. Ryzí strtegie jsou speciální strtegie následujícího tvru x ξ0 (ξ) = { 0 ξ < ξ0, ξ ξ 0. (2) Obecně strtegie x(ξ) v X jsou prvděpodobnostním smíšením ryzích strtegií. K(x, y) předstvuje očekávný výnos hráče pro ryzí strtegie ξ η. Poznámk 3.4. Pro zjednodušení budeme v nšem textu používt tento zápis: K(x, η) pro K(x, y η ); K(ξ, y) pro K(x ξ, y) K(ξ, η) pro K(x ξ, y η ). Slovní interpretce npříkld pro K(x, η) zní následovně: K(x, η) je očekávný výnos hráče, jestliže volí strtegii x jestliže hráč 2 volí ryzí strtegii y η. 6

Vzth (9) nám ukzuje, jk máme vypočítt optimální strtegie u nekonečných her. Pokud le hru n jednotkovém čtverci povžujeme z speciální přípd nekonečné hry, lze u ní tké dokázt, že pokud K(x, y) je spojitá, tk k určení optimálních strtegií můžeme opět využít vzth (9). Abychom mohli stnovit optimální strtegie těchto her, musíme si nejdříve ndefinovt určité pojmy. Definice 3.4. Množin všech bodů, které ptří (náleží) nějkému členu posloupnosti {S n } je sjednocení množin všech bodů, které náleží všem členům posloupnosti se nzývá průnik. Tyto dvě množiny znčíme n= S n S n (22) n= respektivě. Poznámk 3.5. Množin bodů ptřících do množiny S zároveň neptřící do množiny S 2 se nzývá rozdíl znčí se S S 2. Definice 3.5. Kždá tříd S, která je podmnožinou R k, se nzývá ditivní podmnožin, jestliže splňuje následující podmínky: ) R k S, 2) P okud S,..., S n S, potom S n S, n= 3) P okud S,..., S n S, potom S S 2 S. Definice 3.6. Nejmenší tříd množin, která obshuje obdélníky v R k se nzývá tříd borelovských množin. Definice 3.7. Nezáporná množinová funkce P je funkce, která je definován n třídě borelovských množin S splňuje následující podmínky ) P (S) 0 S S, 2) P ( S n ) = P (S n ), pokud S n S m = φ, pro n m, n= n= 3) P (S) <, je li soubor S omezen. 7

Tříd všech nezáporných funkcí definovných n třídě borelovských množin reálných čísel je ekvivlentní s třídou všech rostoucích funkcí (opět definovných n množině reálných čísel), které jsou spojité zprv. Tto ekvivlence je jednoznčná, pokud ztotožníme dvě rostoucí funkce, které se všude od sebe liší o fixní konstntu. Ekvivlence je zkonstruován následovně. Vezmeme P libovolnou reálnou hodnotu α tk, že: P {ξ α < ξ x} x > α, F (x, α) = 0 x = α, P {ξ x < ξ α} x < α. F (x, α) je rostoucí funkce pro kždé α spojitá zprv. Dále pltí, že jestliže α < α 2, potom F (x, α ) F (x, α 2 ) = P {ξ α < ξ α 2 }. To znmená, že F (x, α ) F (x, α 2 ) se liší o konstntu, nezávisle n x. N druhou strnu můžeme říct, že pokud F (x) bude nějká rostoucí funkce, která bude spojitá zprv, můžeme definovt P {ξ < ξ b} = F (b) F (). Definice 3.8. Jestliže P {ξ < ξ } =, pk se množinová funkce nzývá prvděpodobností mírou. Definice 3.9. Pokud pltí, že F ( ) = 0 F ( ) =, nzývá se funkce F distribuční. Definice 3.0. Ryzí strtegii ξ se říká zákldní, jestliže existuje optimální strtegie x, v jejímž spektru leží ξ. Definice 3.. Pro jkoukoliv distribuční funkci f n reálné ose je spektrum (nosič) definován jko doplněk největší otevřené množiny, ve které se funkce f nevyskytuje. 8

Definice 3.2. Strtegie x je strtegie konečného typu, jestliže x je konečnou konvexní kombincí ryzích strtegií, tzn. že spektrum x se skládá z konečného počtu bodů x se reprezentuje jko x = n λ i x ξi, λ i > 0, i= n λ i =. (23) i= Ryzím strtegiím ξ, ξ 2,..., ξ n, které jsou obsžené v x, se říká zákldní s váhmi λ, λ 2,..., λ n. Poznámk 3.6. Z předchozí definice je ptrné, že konečné strtegie jsou ovlivněny jednk volbou jediné hodnoty j z do n dle svých prvděpodobností λ j (j =,..., m) jednk volbou ryzí strtegie ξ j. Vět 3.3. Nechť x 0 y 0 jsou optimální strtegie η 0 je obsženo v nosiči y 0, potom K(x 0, η 0 ) = v, kde v je cen hry. Důkz: Víme, že v = K(x 0, y 0 ) je cen hry že funkce K(ξ, η) je spojitá. Protože x 0 je optimální, tk pltí, že K(x 0, η) v pro 0 η. Budeme předpokládt, že K(x 0, η 0 ) je ostře větší než v, tudíž nerovnost bude pltit pro intervl okolo η 0. Dále pltí, že η 0 je obsžen v nosiči y 0, což znmená, že i příslušný intervl bude kldný pro y 0 míru. Proto pokud budeme integrovt funkci K(x 0, η) vzhledem k dy 0, dostneme že K(x 0, y 0 ) > v, což je ve sporu s tím, že y 0 je optimální. Definice 3.3. Strtegie x se nzývá ekvlizér, jestliže K( x, η) = c, pro 0 η pro nějkou konstntu c. Důsledek 3.. Jestliže x 0 je zcel smíšená optimální strtegie, potom kždá optimální strtegie pro hráče 2 je ekvlizér strtegie. Důsledek 3.2. Jestliže kždé ξ v jednotkovém intervlu je zákldní pro hráče, potom kždá optimální strtegie pro hráče 2 je ekvlizér. Poznámk 3.7. Hr s výpltní funkcí K(ξ, η) je symetrická, jestliže K(η, ξ) = K(ξ, η). 9

Definice 3.4. Dvojice ryzích strtegií {ξ 0, η 0 } je sedlový bod pro hru, jestliže K(ξ 0, η) K(ξ 0, η 0 ) K(ξ, η 0 ), pro 0 ξ, η. (24) Nyní si ukážeme konkrétní příkldy nekonečných definovných n jednotce čtverce. Zvonovité hry Předstvme si válku, kde se ponork S snží uniknout ponorným bombám, které jsou zhzovány z letdl A. Ponork se nchází v moři, jejíž polohu lze njít v intervlu η, kde je fixní konstnt. Letdlo A si je vědomo různých poloh, kde by se dná ponork mohl ncházet. Jestliže poloh ponorky bude (η) letdlo shodí bombu v poloze (ξ), můžeme předpokládt, že škody, které jsou npáchné, jsou proporční tzv. chybové (škodové) funkce: e b(ξ η)2. Pltí, že výpltní funkce je tvru: K(ξ, η) = e λ(ξ η)2, kde λ je prmetr závislý n konstntách, b. Jedná se o tzv. zvonovité hry, jestliže jádro K(ξ, η) = φ(ξ η), kde φ má následující vlstnosti:. φ(u) je nlytická funkce definovná pro všechn reálná u, 2. pro kždé n pro kždý soubor hodnot ξ i η j, tkové že: ξ ξ 2... ξ n η, η 2... η n je determinnt mtice φ(ξ i η j ) kldný, 3. + φ(u)du <. Pokud jsou splněny následující podmínky, existují optimální strtegie. V tomto přípdě φ(u) = e λu2 mohou být tyto optimální strtegie počítány rekursivně s proměnnou λ. Dlší postup řešení je uveden v litertuře [3]. Více informcí o nekonečných hrách se lze dočíst v litertuře [, 3, 5]. Dlším typem nekonečných her definovných n jednotce čtverce jsou hry nčsování. 20

Protože tto problemtik bude tvořit podsttnou část diplomové práce, rozhodl jsem se ji uvést smosttně do 4. kpitoly. Jednotlivé modely, definice tvrzení následující kpitoly jsou převzty z litertury [3] jsou doplněny vlstními ilustrtivními příkldy. Dále je ještě nutné podotknout, že podsttnou část následující kpitoly tvoří různá odvozování. Výsledky těchto odvozování jsou uvedeny v litertuře [3], smotný postup odvození le ne. 2

4 Hry nčsování Hry nčsování jsou hry, ve kterých výběr ryzích strtegií reprezentují volby doby k provedení určité kce. Předpokládejme, že máme dvě velké zásilkové společnosti obchodující se zbožím. Obě dvě hodljí vydt své roční ktlogy, kde zveřejní nbídku nového zboží. Než dný ktlog zveřejní, musí si tyto společnosti dobře uvědomit, kdy nstne t nejvhodnější dob pro jejich vydání. T společnost, která ktlog uvede dříve, může mít oproti konkurentovi velkou výhodu, neboť si potencionální zákzník nejdříve přečte její nbídku nového zboží n zákldě toho se může rozhodnout o koupi zboží právě z její nbídky. N druhou strnu může nstt situce, že konkurent bude schválně vyčkávt, ž první společnost vydá svůj ktlog, by mohl později využít jeho slbin. Jko druhý příkld se může vyskytnou v oblsti politiky, kdy budeme mít dvě politické strny s různými názory cíly, to těsně před volbmi. Kždá politická strn se snží získt co nejvíce příznivců, kteří ji budou volit. Aby veřejnost přesvědčily o svých záměrech cílech, budou muset v rámci kmpně posílt letáky se svým politickým progrmem. Opět zde vzniká otázk, kdy zhájit dnou kmpň. N některé lidi jejich letáková kmpň nemusí způsobit z toho důvodu, protože jsou již dávno přesvědčeni o tom koho volit. Ale osttní, což může být většin, se rozhodnou právě ž n zákldě zveřejněného politického progrmu. V tkovém přípdě může opět rozhodovt dob zčátku letákové kmpně. Jko poslední příkld her nčsování si uvedeme ze svět cestování. Předstvme si dvě cestovní gentury, které připrvují zájezd pro vysoce postvené osoby ve společnosti (npř. se může jednt o mjitele několik význmných firem v zemi). T gentur, která poskytne zájezd dné osobě, si zjistí finnční odměnu, jeho přízeň možnost doporučení jeho obchodních prtnerů. Mjitel firem se může rozhodnout n zákldě kvlity dného zájezdu, le rovněž může záležet n době, kdy mu rychlejší cestovní společnost dný zájezd nbídne. Pokud první gentur bude ihned zreguje druhá bude vyčkávt, může se stát, že se mjitel firem rozhodne podle nbídky první společnosti. N druhou strnu, příliš rychlá 22

nbídk, může vypdt uspěchně nekvlitně. Z mtemtického hledisk jsou hry nčsování popsány jko hry definovné n jednotkovém čtverci jejich výpltní funkce splňuje tři poždvky to:. L(ξ, η) pro ξ < η, K(ξ, η) = φ(ξ) pro ξ = η, M(ξ, η) pro ξ > η. (25) 2. Dále pltí, že kždá z funkcí L(ξ, η) M(ξ, η) jsou spojité v proměnných ξ η. 3. L(ξ, η) je neklesjící funkce v ξ pro kždé η, M(ξ, η) je neklesjící funkce v ξ pro kždé η, L(ξ, η) je nerostoucí funkce v η pro kždé ξ, M(ξ, η) je nerostoucí funkce v η pro kždé ξ. Proměnné ξ η oznčují dobu obou soupeřů, kdy propukne kce - npříkld, kdy proběhne volební kmpň. Monotónnost funkcí L(ξ, η) M(ξ, η) nespojitost výpltní funkce, když ξ = η, se může vysvětlit tkto: Jestliže hráč 2 provede kci v pevném (fixním) čse η, hráč si zvyšuje svou šnci n úspěch tím, že čeká tk dlouho, jk to jde, z předpokldu, že hráč jedná před tím než hráč 2. Pokud hráč jedná ž poté, co zčne jednt hráč 2, může ztrtit, pokud hráč 2 bude úspěšný; odsud vyplývá nespojitost v ξ = η. Jkmile hráč 2 jednl, tk potom postupem čsu se šnce n úspěch hráče zvyšují; to je vyjádřeno monotónní funkci M(ξ, η) jko funkci ξ. Obdobné prohlášení pltí i pro hráče 2, protože výhody. hráče způsobují nevýhody 2. hráče. Existují 2 skupiny her nčsování:. První skupinou se nzývjí hry s kompletními informcemi, kdy funkce L(ξ, η) je funkci pouze ξ M(ξ, η) je funkci pouze η. Myšlenku kompletních informcí je třeb chápt v tom smyslu, že když hráč zčne, jeho 23

kce následky jsou soupeři známy. Jedná se npříkld o konkurenci dvou cestovních knceláří, která byl popsán v úvodu (vědělo se, že mohou přijít o odměnu). 2. Druhá skupin se skládá ze všech her nčsování mimo třídu. Jedná se o hry, ve kterých L(ξ, η) nebo M(ξ, η) nebo obě explicitně závisí n obou proměnných ξ η. V těchto hrách pltí prvidlo, že ob soupeři nvzájem neznjí dobu kce její následky. Optimální strtegie zde zhrnují skutečnou náhodnost ryzích strtegií. V dlších kpitolách nrzíme n hry jk s kompletními informcemi, tk i hry s nekompletními informcemi. 4. Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče, jk už bylo zmíněno v předchozí kpitole, jsou důležitou třídou her, které jsou definovány n jednotkovém čtverci. Už ze smotného názvu poznáme, že se bude jednt o duely, při kterých ob hráči budou mít pouze jednu možnost pro provedení své kce. Hodnoty 0 ξ pro hráče 0 η pro hráče 2 předstvují možné čsy, během kterých mohou být provedeny určité kce (dob výstřelu, podpis smlouvy, td.). Pro lehké nstínění této problemtiky si můžeme předstvit následující ideální model. Máme dvě nepřátelské osoby, které budou mít k dispozici jednu jednotku plebné síly. To znmená, že kždý hráč má jednu možnost zsáhnout svého protihráče, s vědomím, že jeho přesnost - tzn. jeho šnce n úspěšnou střelbu - se zvyšuje s čsem. Ve hře tohoto typu záleží úspěch hlvně n pořdí, ve kterém hráči hrjí n jejich příslušném stupni úspěchu. Kždý hráč si zjevně přeje odložit kci n tk dlouho jk je to možné, by zvýšil svou možnost úspěchu, le zároveň si nepřeje opozdit se n tk dlouho, že ho jeho soupeř může předejít s efektivností. Optimální strtegie zde vyjdřují správnou rovnováhu mezi touhou po zpoždění nebezpečím prodlevy. Četné verze válečných her nčsování mohou být vyjádřeny z hledisk toho, jké informce má hráč o činnosti svého protihráče. V úvodu jsme zmínili, že se 24

jedná o hru definovnou n jednotkovém čtverci, proto i tto hr bude spojen s výpltní funkcí K(ξ, η), která musí opět splňovt nám už známé tři vlstnosti, které jsou uvedeny v souvislosti se vzthem (25). Nyní si ukážeme několik typů her nčsování, které mohou nstt. 4.. Hlučný souboj Tento souboj je chrkterizován tím, že oběm dvěm protihráčům je dovoleno vystřelit pouze jednou (nutná podmínk), nvíc budeme předpokládt, že mjí tzv. hlučné zbrně. Jinými slovy to znmená, že ob dv soupeři ví, jestli už protihráč vystřelil nebo ne. Termín hlučný bude obecně používán k oznčení stvu kompletní informce, tzn. situce, kdy kždý hráč ví, kdy osttní hrjí. Předpokládá se, že funkce přesnosti P (ξ) (prvděpodobnost úspěchu) pro hráče je spojitá neklesjící v ξ, s P (0) = 0 P () =. Přesnost hráče 2 je popsán podobně, jedná se zde opět o spojitou neklesjící funkci P 2 (η), s hodnotmi P 2 (0) = 0 P 2 () =. Jestliže hráč zsáhne hráče 2, předpokládá se, že hodnot výhry pro hráče bude +, jestli tomu bude nopk, bude jeho hodnot opčná (-). Výpltní funkce K(ξ, η) bude očekávná hodnot pro hráče, když ob dv hráči použijí ryzí strtegie ξ η. Jestliže ξ < η, prvděpodobnost hráče že zsáhne hráče 2 je P (ξ) hodnot bude P (ξ). Nopk když mine, bude to znment prvděpodobnost s hodnotou P (ξ). Skutečnost, že obě dvě zbrně jsou hlučné, nám ovlivní strukturu výpltní funkce. Můžou zde nstt některé situce, které mohou šnce n úspěch ještě zvýšit. Npříkld, když hráč 2 ještě nevystřelí, le ví, že hráč už nemůže vystřelit znovu, může zvýšit své šnce n úspěch čekáním. Dokud η =. Proto, jestliže hráč mine v ξ, je si jistý tím, že bude zsžen hráčem 2, pokud ξ < η. Tyto zákldní pozntky si můžeme shrnout do následujícího vzthu: L(ξ, η) = P (ξ) + ( )[ P (ξ)] (ξ < η). Obdobně pltí M(ξ, η) = P 2 (η)( ) + [ P 2 (η)]() (ξ > η) 25

φ(ξ) = P (ξ)[ P 2 (ξ)]() + P 2 (ξ)[ P (ξ)]( ) (ξ = η). V posledním vzorci se předpokládá, že ob protihráči vypálí zároveň úspěšně nebo neúspěšně, popř. jeden z nich se trefí druhý ne. Hodnot je tudíž 0. Předchozí vzthy si můžeme zjednodušit vyjádříme si je jko: 2P (ξ) pro ξ < η, K(ξ, η) = P (ξ) P 2 (ξ) pro ξ = η, (26) 2P 2 (η) pro ξ > η. Výpltní funkce K(ξ, η) nám určuje hru nčsování třídy (hlučný souboj). Z (26) lze usoudit, že hodnot u η = ξ je průměr hodnot dosžených funkcemi L M. Nyní si tuto problemtiku ukážeme n konkrétním příkldě. Příkld 4.. Máme obchodník s nemovitostmi, který nyní prodává luxusní vilu. Tuto vilu chce nutně prodt, poněvdž nemá peníze n jeho zbylý mjetek mu hrozí exekuce. O tuto vilu projevili zájem dv zhrniční mgnáti. Obchodník si ob dv mgnáty pozve do této vily poskytne jim určitý čs n prohlídku budovy. Ob mgnáti (dále hráči) mohou během této doby učinit nbídku ke koupi tohoto objektu. Pokud nstne situce, že některý z hráčů vysloví nbídku ke koupi vily, le smotný prodej se nevydří, nemá již dný hráč nárok svou nbídku opkovt. V tomto přípdě se o neúspěchu prvního hráče dozví hráč druhý, který z logického hledisk se svou nbídkou počká ž uplyne určená dob n prohlídku objektu. Vzniká zde otázk, v jkém čsovém okmžiku bude nejlepší vyslovit nbídku n tuto koupi. Smotné řešení příkldů spočívá v některých předpokldech. Zájem o prodej jednotlivým hráčům bude zde popsán pro kždého hráče neklesjícími funkcemi. Pro hráče to bude funkce P (ξ) pro hráče 2 to bude funkce P 2 (η). Obě dvě tyto funkce popisují prvděpodobnost prodeje vily určitému hráči v určitém čse - pro hráče je okmžik prodeje popsán proměnnou ξ, pro hráče 2 η. Dále ze zdání vyplývá, že funkce P (ξ) P 2 (η) jsou definovány n intervlu 0, to z 26

tkového důvodu, že v čse 0 zčíná prohlídk vily v čse končí prohlídk. Z toho důvodu zde pltí P (0) = P 2 (0) = 0 P () = P 2 () =. Už ze smotného zdání je ptrné, že se jedná o tzv. hlučný souboj. Jelikož se pohybujeme čsově n intervlu 0,, jsou prostory strtegií jednotlivých hráčů definovány jko množiny G = {ξ; ξ 0, }, H = {η; η 0, }. (27) Mohou zde nstt 3 přípdy situcí:. Pro čsový okmžik ξ < η to znmená, že hráč uskutečnil nbídku dříve než hráč 2. 2. Pro čsový okmžik ξ = η to znmená, že ob dv hráči uskuteční nbídku ve stejný čs. 3. Pro čsový okmžik ξ > η to znmená, že hráč 2 uskutečnil nbídku dříve než hráč. Víme, že výpltní funkce má chování náhodné veličiny, tudíž bude střední hodnot závislá n proměnných ξ η. Jedná se o hru s prostory strtegií (27) s výpltními funkcemi (26). Pro tuto hru pltí, že má řešení v ryzích strtegií nvíc pro optimální strtegie pltí: ξ 0 = η 0 = z. (28) Hodnotu z jsme schopni vypočítt z rovnice: P (z) + P 2 (z) =. (29) Jinými slovy pltí, že optimální by bylo, kdyby ob dv mgnáti vyslovili svou nbídku ke koupi součsně. Hodnot z v tomto přípdě reprezentuje určitý čs prohlídky budovy cen hry má tudíž tvr P (z) P 2 (z). Abychom mohli říci, že vzthy (28) (29) splňují podmínku optimálních strtegií, čili musíme dokázt, že pltí: K(ξ, z) P (z) P 2 (z) K(z, η). (30) 27

Tento vzth musí pltit pro všechn ξ η, kde ξ 0, η 0,. V této práci si ověříme prvou nerovnost, protože obě dvě nerovnosti se dokzují nlogicky nvíc, důkz n levou nerovnost je uveden v litertuře [5]. Abychom správně ověřili prvou nerovnost, musíme nejdříve rozlišit tři přípdy, které mohou nstt pro proměnnou z. Pro z < η pltí, že K(z, η) = 2P (z). Po využití vzthu (26) lze následně uprvovt: P (z) P 2 (z) 2P (z) P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z) + 2P (z) P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z). Zde jsme si dokázli, že prvá nerovnost (30) pltí jko rovnost. 2. Když z = ξ, pk je zřejmé, že i v tomto přípdě nerovnost pltí jko rovnost: P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z). 3. Pro z > η pltí, že K(z, η) = 2P 2 (η). Opět využijeme vzth (26) dostneme: P (z) P 2 (z) 2P 2 (η) P (z) P 2 (z) P (z) + P 2 (z) 2P 2 (η) 2P 2 (z) 2P 2 (η) P 2 (z) P 2 (η). I pro tento přípd nerovnost pltí, protože v zdání jsme si uváděli několik předpokldů mezi ně ptřilo npř. to, že funkce P 2 (η) je neklesjící. Zkusíme si vypočítt řešení pro konkrétní funkce P (ξ) P 2 (η). Nechť P (ξ) = ξ 2 pro ξ 0,, P 2 (η) = η 2 pro η 0,. 28

Pokud tyto funkce dosdíme do (29), vyjde nám, že z = 2. = 0, 7. Znmená to, že nejoptimálnější bude pro ob dv mgnáty, by svou nbídku řekli součsně. A to v době, jkmile uplyne 0, 7 čsu od zhájení prohlídky. Myslí se to tk, že pokud budou mít n prohlídku vily jednu hodinu, měli by se ozvt, jkmile uplyne 43 minut (0, 7 60). 4..2 Tichý souboj U tohoto souboje je opět hráčům dovoleno vystřelit pouze jednou. Je zde ovšem změn to tková, že obě dvě zbrně jsou vybveny tlumiči. Čili žádný soupeř nemůže určit, zd jeho protihráč vypálil nebo ne. Předpokládejme situci, že přesnost (prvděpodobnost úspěchu) je dán P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ, tudíž výpltní funkce je popsán následovně: ξ ( ξ)η pro ξ < η, K(ξ, η) = 0 pro ξ = η, ξ( η) η pro ξ > η. (3) Odvozování této výpltní funkce je podobné jko u předchozího hlučného souboje. Nejdříve budeme brát situci, že hráč vystřelil dříve než hráč 2 (ξ < η). Pokud hráč zsáhne hráče 2, hodnot jeho výhry bude. Výpltní funkce K(ξ, η) bude očekávná hodnot výhry hráče opět bude mít chrkter náhodné veličiny. Střední hodnot tudíž bude ξ ( ξ)η. Opčná situce nstne, pokud hráč vystřelí později než hráč 2 (η < ξ). Pokud hráč 2 zsáhne hráče, hodnot jeho výhry bude. Výpltní funkce K(ξ, η) bude mít opět chrkter náhodné veličiny střední hodnot bude ξ( η) η. Pokud se stne, že ob dv hráči vystřelí njednou (ξ = η), mohou nstt 4 situce. Buď se ob dv trefí nebo minou, nebo jeden z nich se trefí druhý mine. V tomto přípdě očekávná hodnot výhry bude vždy 0. Výpltní funkce tohoto tichého souboje má jednu důležitou vlstnost to tkovou, že zde pltí: K(ξ, η) = K(η, ξ). Jinými slovy to znmená, že tichý 29

souboj (když P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ) je hr symetrická. Hodnot hry je proto 0 jkákoliv strtegie, která je optimální pro jednoho hráče, tk je optimální i pro hráče druhého. Tichý souboj ptří mezi hry nčsování druhé třídy (funkce L(ξ, η) M(ξ, η) závisí n obou proměnných ξ η). Její form je stejná jko v přípdě (25), kde L(ξ, η) = ξ η + ξη, M(ξ, η) = ξ η ξη, dále pro jednotlivá ξ η pltí L ξ (ξ, η) = + η > 0, L 0 ξ, η < = η (ξ, η) = + ξ < 0, M ξ (ξ, η) = η > 0, M η (ξ, η) = ξ < 0. Funkce L ξ M ξ oznčují prciální derivci podle ξ; L η M η mjí podobný význm. Z toho důvodu jsou funkce L(ξ, η), M(ξ, η) rostoucí v ξ klesjící v η n jednotce intervlu 0,. Protože ob dv hráči neví, kdy soupeř provede dnou kci, může kždý z nich čekt n úspěch plný čsový intervl. A proto, rozumný první odhd má optimální strtegii tvořenou hustotou n intervlu ; (přípdně v bodě ). Ukážeme si následující možný příkld z prxe uvedeme jeho řešení. Příkld 4.2. V České republice se n dvoudenním veletrhu objevil nový typ mobilního telefonu, o který projevili zájem dv zákzníci () (2). Česká firm, která tento telefon vyrobil, se bude snžit tento produkt během těchto dvou dnů prodt. Firm není nijk zujtá vůči zhrničí, proto je jí jedno, zd prodá tento telefon právě tm nebo do tuzemsk. O jednotlivých zákznících víme, že zákzník () je z tuzemsk zákzník (2) je ze zhrničí. Ob dv zákzníci mjí dv dny n to, by učinili nbídku. Opět zde může nstt situce, při které když dný zákzník učiní nbídku t se z nějkého důvodu nevydří, ztrácí tímto nárok n opětovné učinění dlší nbídky. Protože dný telefon vyrobil firm, které je 30

jedno, kdo bude kupcem, nebude mít žádný zákzník výhodu. Aby jednotlivé nbídky probíhly v nonymitě, rozhodl se tto firm, že pokud nějký zákzník vysloví nbídku dříve, druhá strn se nic nedozví. Vzniká zde otázk, kdy ob dv zákzníci mjí učinit nbídku, by jejich šnce n koupi tohoto telefonu byl co největší. Nyní si ukážeme postup, jk lze njít optimální strtegie tohoto souboje: Budeme hledt optimální strtegie, které jsou v následujících tvrech: x 0 (ξ) = ξ f(t)dt, y 0 (η) = η g(t)dt. Poždvek konstntního výnosu v může být splněn pouze v intervlu ;. Vět 3.2. nám udává podmínku pro optimlitu tudíž podle této věty pltí K(ξ, η)dx 0 (ξ) = K(ξ, η)f(ξ)dξ = v = 0 (32) pro všechn η ;. Z důvodu symetričnosti, je konstntní výnos roven 0. Pokud si funkci K(ξ, η) vyjádříme v explicitním tvru (využijeme vzth (3)), bude předcházející rovnice vypdt následovně η (ξ η + ξη)f(ξ)dξ + η (ξ η ξη)f(ξ)dξ 0. (33) Pltí vzth f(ξ)dξ =. (34) Při využití předchozího vzthu, můžeme vzth (33) přepst následovně η ξf(ξ)dξ + η ξf(ξ)dξ η 3 η ξf(ξ)dξ η f(ξ)dξ 0

η ξf(ξ)dξ η + η ξf(ξ)dξ η η ξf(ξ)dξ 0. (35) Abychom mohli dále uprvit dnou integrální rovnici n diferenciální rovnici, bylo by dobré si uvést 2 věty, dle kterých budeme postupovt. Jedná se o věty, které nám říkjí, jk derivovt integrál jko funkci horní meze. Vět 4.. Nechť < b, existuje b f(t)dt nechť c je libovolné číslo z intervlu ; b. Potom pltí tto tvrzení: ) Funkce x f(t)dt je spojitá v intervlu, b. c 2) Je-li < x < b je-li funkce f(t) spojitá v bodě x, existuje v tomto bodě derivce Důkz: Důkz této věty je uveden v [2]. ( d x ) f(t)dt = f(x). (36) dx c Vět 4.2. Nechť < b, existuje b f(t)dt nechť c je libovolné číslo z intervlu ; b. Potom pltí tto tvrzení: ) Funkce c f(t)dt je spojitá v intervlu, b. x 2) Je-li < x < b je-li funkce f(t) spojitá v bodě x, existuje v tomto bodě derivce Důkz: Důkz této věty je uveden v [2]. ( d c ) f(t)dt = f(x). (37) dx x V dlším kroku využijeme předchozí věty převedeme si integrální rovnici (35) n diferenciální rovnici. Pro zjednodušení použijeme substituci r(ξ) = ξf(ξ). Výpočet je následující: d η dη : + r(ξ)dξ + ηr(η) + η r(ξ)dξ + 2ηr(η) 32 η η r(ξ)dξ + ηr(η) = 0 r(ξ)dξ = 0.

V dlším kroku opět využijeme předchozí věty budeme derivovt podruhé d dη : r(η) + 2r(η) + 2ηr (η) + r(η) = 0. Získáme tk tuto lineární diferenciální rovnici Postup výpočtu této rovnice si opět ukážeme 2ηr (η) + 4r(η) = 0. (38) 2ηr (η) + 4r(η) = 0 / : 2η r (η) + 2 η r(η) = 0 ln r(η) = 2ln η + ln k r(η) = e ln η 2 k r(η) = kη 2. (39) Získli jsme tudíž obecné řešení. Po doszení zpět do substituce dostneme, že f(ξ) = kξ 3. Pokud dosdíme f(ξ) = kξ 3 do (35), získáme následující rovnici ( k ) ( η kη η ) η ( + k ) + k ( + kη ) 0 η ( + k 3 + ) 0, η. (40) Tto identit pltí pouze tehdy, jestliže = k =. Dále musíme ověřit, že 3 4 hodnoty k splňují omezení (34). f(ξ)dξ = ( k 2 ) 2 2 33 =. (4)

A po doszení konkrétních hodnot vidíme, že tto rovnice (popř. toto omezení) pltí. Můžeme pk npst, že hustot optimální strtegie x 0 vypdá tkto pokud se prokáže, že { 0 0 ξ < f(ξ) =, 3 4 ξ 3 ξ, (42) 3 K(ξ, η)f(ξ)dξ > 0 pro všechn η <. Tto skutečnost vyplývá ovšem jko důsledek monotónních vlstností výpltní funkce. Skutečně, pro η <, přičemž d dη K(ξ, η)f(ξ)dξ = M η f(ξ)dξ 0, K(ξ, η)f(ξ)dξ je spojitý pro všechny η je nulový v η =. Proto tvrdíme, že integrál K(ξ, η)f(ξ)dξ je kldný. Jk už bylo zmíněno v úvodu, jedná se o hru symetrickou, tudíž stejná strtegie je optimální i pro hráče 2. Důležitým ukztelem hustoty optimální strtegie je spektrum. Toto spektrum nám udává, kdy nejdříve propukne dná kce, npříkld, kdy dný hráč vystřelí. Intervl spektr se mění v závislosti n prvděpodobnostní funkci úspěchu. Doposud jsme se bvili o situci, kdy P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Nyní si ukážeme ještě dv typy těchto funkcí zjistíme hodnotu spektr. Protože se jedná o různé typy prvděpodobnostních funkcí úspěchu, bude se kždý přípd řešit pomocí příslušného modelu, n jehož zákldě se vytvoří příslušné integrální rovnice Vezmeme přípd, kdy P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Příslušné integrální rovnice vy- 2 ξ 34

pdjí K(ξ, η)f(ξ)dξ v ( η ), K(ξ, η)g(η)dη v ( ξ ). V druhém přípdě bude pltit, že P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ 2. Příslušné integrální rovnice budou vypdt K(ξ, η)f(ξ)dξ + αk(, η) v ( η ), K(ξ, η)g(η)dη + βk(ξ, ) v ( ξ ). Hodnot α resp. β předstvuje váhu (neboli prvděpodobnost), že hráč resp. hráč 2 bude čekt se svým výstřelem ž do konce. Jelikož jsou prvděpodobnostní funkce úspěchu složitější, bude jejich postup řešení dleko obtížnější než doposud, uvedeme si zde jenom výsledky řešení. Dnou tbulku jsem použil z [3]. P (ξ) ξ 3 ξ 0,44 2 ξ ξ 2 0,48 Nejdříve se musíme přesvědčit, zd dné funkce splňují podmínku to tkovou, že P (0) = 0 P () =, což lze jednoduše ověřit, že pltí. Dále lze zjistit, že ξ > ξ 2 ξ > ξ2 pro ξ (0; ). N druhou strnu o jednotlivých spektrech se dá říct, že < 0, 44 < 0, 48. Tento fkt si můžeme okomentovt následovně. 3 Čím je hodnot prvděpodobnostní funkce úspěchu vyšší v určitém čsovém okmžiku, tím zčíná intervl spektr optimální strtegie dříve. Znmená to tedy, že čím vyšší prvděpodobnost záshu v dnou dobu u hráče existuje, tím dřívější výstřel můžeme od něho čekt. 35

4..3 Tichý-hlučný souboj Tto situce je kombince obou dvou předchozích soubojů. Budeme předpokládt, že hráč má tichou zbrň hráč 2 má zbrň hlučnou. Jinými slovy to znmená, že první hráč ví, kdy druhý hráč vystřelil, le ne nopk. Tudíž hráč bude ve výhodě. Opět si tuto situci znázorníme v přípdě, kdy funkce přesnosti budou P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Jk už bylo zmíněno n zčátku, že se jedná o kombinci tichého hlučného souboje, tk tké výpltní funkce bude touto kombincí ovlivněn. Výpltní funkce L(ξ, η) bude reprezentovt tichý souboj výpltní funkce M(ξ, η) hlučný souboj. Dále zde opět pltí t situce, že pokud ob dv hráči vystřelí njednou, je hodnot výpltní funkce 0. A to v přípdě záshu či minutí. Dohromdy bude výpltní funkce vypdt následovně ξ η + ξη pro ξ < η, K(ξ, η) = 0 pro ξ = η, 2η pro ξ > η. (43) Když jsme hledli optimální strtegie u tichého souboje, ukázli jsme si určitý postup. Tento postup budeme tké plikovt n hledání optimálních strtegií u tohoto souboje. Budeme hledt strtegie x 0 (ξ), která se skládá z části hustoty f(ξ) n intervlu ; s váhou α v ξ =, y 0 (η) skládjící se z části hustoty g(η) n tom smém intervlu s váhou β v η =. Nyní se opět vrátíme k příkldu 4.2, u kterého pozměníme zdání tímto ho převedeme do ticho-hlučného souboje. N závěr si zjištěné informce okomentujeme. Příkld 4.3. V České republice se n dvoudenním veletrhu objevil nový typ mobilního telefonu, o který projevili zájem dv zákzníci () (2). Česká firm, která tento telefon vyrobil, se bude snžit tento produkt během následujících dvou dnů prodt. O jednotlivých zákznících víme, že zákzník () je z tuzemsk, kdežto zákzník (2) je ze zhrničí. Ob dv zákzníci mjí dv dny n to, by učinili nbídku. Opět zde může nstt situce, při které když dný zákzník učiní nbídku t se z nějkého důvodu nevydří, ztrácí tímto nárok n opětovné učinění 36

dlší nbídky. Zákzník z tuzemsk má u zhrničního zákzník špión. Kvůli němu bude mít zhrniční zákzník vůči tuzemskému hndicp spočívjící v podsttné věci. Pokud nbídku učiní zákzník z tuzemsk, zhrniční zákzník se o ní nedozví, le pokud nstne opčná situce to, že nbídku učiní zhrniční zákzník, tuzemský odběrtel se tuto informci vždy od svého špión dozví. Vzniká zde otázk, v jkou dobu mjí ob dv zákzníci učinit nbídku, by jejich šnce n koupi tohoto telefonu byl co největší. Při nlezení optimálních strtegií budeme postupovt stejně jko to bylo u tichého souboje. Postup Nejdříve si opět npíšeme, jk budou vypdt příslušné integrální rovnice. K(ξ, η)f(ξ)dξ + αk(, η) v ( η ), (44) K(ξ, η)g(η)dη + βk(ξ, ) v ( ξ ). (45) Pokud z K(ξ, η) dosdíme konkrétní výpltní funkce, dostneme t (ξ t + ξt)f(ξ)dξ + t ( 2t)f(ξ)dξ + α( 2t) v ( t < ), (46) t ( 2η)g(η)dη + t (t η + tη)g(η)dη + β(2t ) v ( t < ). (47) S využitím vět (4.) (4.2) převedeme tyto integrální rovnice n diferenciální rovnice. Protože se jedná o složitější převod než v přípdě tichého souboje, ukážeme si ještě jednu větu, která nám tento převod usndní. Vět 4.3. Předpokládejme, že funkce f : P R je spojitá má spojité prciální derivce f y n obdélníku P = {(x, y) R2 ; x b c y d}. Dále 37

předpokládejme, že α(y) β(y) mjí spojitě diferencovtelné funkce n c, d, jejichž hodnoty leží v, b pro kždé y c, d, potom integrál F (y) = β(y) α(y) f(x, y)dx je definován pro kždé y c, d funkce F (y) je spojitě diferencovtelnou funkcí, přičemž pltí F (y) = f(β(y), y)β (y) f(α(y), y)α (y) + Důkz: Důkz této věty je uveden v [9]. β(y) α(y) f (x, y)dx. (48) y Nyní převedeme rovnice (46) (47) pomocí věty 4.3 n rovnice diferenciální. Jednotlivé převody těchto rovnic jsou nlogické, proto si zde uvedeme postup pro první rovnici. Rovnici (46) si nchystáme, bychom pk mohli použít větu 4.3. Pltí, že F (t) = t (ξ t + ξt)f(ξ)dξ + t Využitím vzthu (48) dostneme ( 2t)f(ξ)dξ + α( 2t) v. F (t) = [(ξ t+ξt)f(ξ)] ξ=t + 2α 0, t ( +ξ)f(ξ)dξ [( 2t)f(ξ)] ξ=t + t 2f(ξ)dξ použijeme druhou derivci dle t získáme d dt : 2tf(t) + t2 f (t) + ( + t)f(t) [ 2f(t) + ( 2t)f (t)] + 2f(t) 0. 38

Po vytknutí nvrácení se zpět k proměnné ξ dostneme 3( + ξ)f(ξ) + (ξ 2 + 2ξ )f (ξ) = 0. (49) Po totožných úprvách vzthu (47) obdržíme ( 2η η 2 )g (η) 3( + η)g(η) = 0. (50) Dlším krokem bude opět stnovit obecné řešení těchto diferenciálních rovnic, které nám budou chrkterizovt hustoty funkcí pro optimální strtegie. Jelikož mjí podobnou strukturu, ukážeme postup výpočtu (49). Rovnice je lineární homogenní. f (ξ) = 3ξ + 3 ξ 2 + 2ξ f(ξ) 3ξ + 3 df(ξ) = f(ξ) ξ 2 + 2ξ dξ f(ξ) df(ξ) = 3ξ + 3 ξ 2 + 2ξ dξ f(ξ) = k (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 (5) Vzth (50) se počítá nlogicky, proto si uvedeme pouze výsledek g(η) = k 2 (η 2 + 2η ) 3/2 (52) Abychom mohli zjistit úplné (konečné) řešení, musíme vypočítt neznámé konstnty, v, α, β, k k 2. Rovnice (46) (47) nám reprezentují rovnosti pro ξ η. Nyní si uvedeme 2 integrály, které využijeme v dlším odvozováním. ξ + dξ (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 39

Tento integrál řešíme pomocí tzv. substituce ξ 2 + 2ξ = t 2 (2ξ + 2)dξ = 2tdt t = ξ 2 + 2ξ. Po využití této substituce dostneme integrál t 2 dt. Pk po zintegrování nvrácení se k původní proměnné dostneme, že ξ + (ξ 2 + 2ξ ) dξ = + c. (53) 3/2 ξ2 + 2ξ Druhý integrál je o trochu složitější řeší se přes tři substituce. Opět si ukážeme stručný postup dξ (ξ 2 + 2ξ ) = 3/2 dξ ((ξ + ) 2 2) 3/2 Nejdříve si zvedeme první substituci získáme zvedeme si druhou substituci x = ξ + dx = dξ, dξ (x 2 2) 3/2 x = t dx = t 2 dt, 40

přičemž získáme dt t 2 (( t )2 2) = 3/2 tdt ( 2t 2 ) 3/2. Nkonec si zvedeme třetí substituci 2t 2 = u 4tdt = du tdt = 4 du. Obdržíme integrál, ve kterém už nemusíme zvádět substituci, doszením z 2. 3. substituci se doprcujeme k výsledku 4 du u = 3/2 2 ( 2t 2 ) + c = x /2 2 x2 2 + c. Po doszení z první substituci dostneme, že dξ (ξ 2 + 2ξ ) = ξ + 3/2 2 ξ2 + 2ξ. (54) Jestliže nhrdíme hodnoty f(ξ) g(η) vzthy (5) (52) dosdíme je do (46) (47) získáme dvě rovnice. V jednotlivých postupech využijeme právě pomocné integrály, které jsme odvodili. Opět v obou dvou rovnicích se objevuje nlogický postup, proto si podrobněji odvodíme jen rovnici vycházející ze vzthu (46). Pro zjednodušení jsme si zvedli substituci, ve které P () = 2 + 2. Postup odvození je následující: Po doszení získáme výrz t (ξ t+ξt)k dξ+ (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 t ( 2t)k dξ+α( 2t) v. (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 4