Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4% r 1000 800 700 700 3% 5% r 3% 10% r
Grafická interpretace derivace Jak stanovit velikost změny? velká, malá, kladná, záporná Potřebujeme zjistit velikost této změny v určitém bodě (malou změnu) trojúhelníčkování Když najdeme tečnu v daném bodě (A) Zjistíme úhel, který svírá s osou Získáme POMĚRNĚ přesný závěr o velikosti změny funkce v daném bodě Derivování je hledání směrnice tečny k dané 400 funkci Výsledná hodnota směrnice má značnou vypovídací schopnost (+,-,malé/velké číslo,0) 100 y 4 6 f() f( ) 6 4 10 3 = 0,2857 7 4 5 3 = 1,5 A 7 4 B f() f( ) f f( ) 5 3 α 3 10
Jak zjistíme směrnici tečny v daném bodě aneb definice derivace Spojíme body A,B sečna tgφ směrnice SEČNY v bodě A odhad derivace funkce Sestrojíme tečnu v bodě A Zpřesníme odhad se bude blížit k f() se blíží f( )- pohyb po křivce směrnice fialová sečna se blíží ke směrnici tečny tgφ = f f() y f() B f() f( ) A φ f() f( ) α
Definice: Řekněme, že funkce f() má v bodě derivaci právě tehdy když Je definovaná v nějakém okolí O( ) a eistuje ita f f( ) Tuto itu označme f ( ) a nazveme ji derivací funkce f() v bodě y f = 0 f f( ) tgφ = f f() f() B f( ) A φ f() f( ) α
tgφ = f f() tgφ = 6 4 10 3 = 0,2857 φ = 16 y 6 B 4 A φ 6 4 3 10 10 3
Tvar se kterým se setkáme častěji se blíží k ( ) h se zmenšuje a zmenšuje h se blíží k nule h 0 malinká změna f f y = 2 f? = 0 f f( ) y f 4? 2 2 = 0 0 f = h = 0. ( + ) = 0 f f( ) = + h = h 0 f + h f( ) h h = = 0 = 2 f 4 = 2.4 = 8 B f + f() h f( ) A φ f() f( ) = h = h +
Definice: Nechť funkce f je definována na intervalu I, I. Eistuje-li f f( ) = f + 0 + 0 resp. f f( ) = f 0 0 Pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě zprava, resp. zleva Věta: Funkce f má v bodě derivaci (vlastní/nevlastní), právě tehdy, má-li v bodě obě jednostranné derivace a platí f + = f Společná hodnota těchto derivací je rovna f ( )
Rovnice tečny a co nám řekne její směrnice Derivace v bodě f ( ) - udává směrnici tečny v bodě Tečna je přímka y f = f. ( ) Absolutní člen y = a ± b Směrnice y f = 0 jak mám rád pivo a rum užitek z piva = 4. pivo 2 f u. p = 8. pivo f ( ) < 0 f ( ) > 0 užitek z rumu = 1 rum f u. r = 1 rum 2
y f = f. ( ) y = 2 = 4 f = 2 y 4 2 = f. ( 4) y = a ± b y 4 2 = 2.4. ( 4) y = 16 32 + 8 y = 16 + 8 20 15 30 20 10 10 5 1 1 2 3 4 5 6 4 2 2 4 10 20
Pokud má funkce v daném bodě derivaci je zde spojitá ALE Spojitost funkce automaticky neznamená, že na celém D(f) eistují derivace Funkce nemá derivaci v bodech, ve kterých neeistuje tečna ke grafu funkce Pokud je funkce v intervalu (a,b) spojitá a HLADKÁ Eistuje v každém bodě intervalu (a,b) její derivace
Pravidla pro výpočet derivací k = 0, k R a = a. a 1, a R a = a lna, a > 0, a 1 1 = 1 = 1 2 1 a = a = a 1 a+1 = 1/2 = 1 2 e = e e a = ae a log a = 1, a > 0, a 1. lna ln sin = cos = 1 cos = sin c tg = 1 cos 2 cotg = 1 sin 2 arcsin = 1 arccos = 1 1 2 1 2 arctg = 1 1 + 2 arccotg = 1 1 + 2
Derivace výpočetní metody (i) k. f = k. f, k R ii f ± g = f ± g () iii f. g = f. g + f. g () iv f() g() f. g f. g () = (g ) 2 v f g = f g. g ()
Derivace složené funkce Věta: Předpokládejme, že má funkce φ() v bodě a derivaci. Dále předpokládejme, že funkce f() má derivaci v bodě b= φ(a) Pak platí, že složená funkce f(φ()) má v bodě a derivaci rovnou a = 2 φ = (5 + 2 ) f b φ a = f (φ a )φ (a) 9 14 = 9 14 f = ln φ = 5 + 2. ln = 1 φ 2 = 5 + 2.2 = 9 φ 2 = 5.2 + 2 2 = 14 ln 5 + 2 = 1 5 + 2. (5 + 2) 1 5.2 + 2 2. 5 + 2.2 = 9 14 f (14) = 1 14 1 14. 9 = 9 14
f g h = f g h. g h. h () Je to jako striptýz ln (cos 2 ) ln (cos 2 ) = 1 cos 2. sin2. 2. f = lng g = cosh h = 2
Derivace vyšších řádů Derivace (f )funkce (f) je opět funkcí Tuto funkci můžeme znovu derivovat (f ) ln = 1 Pojem n-tá derivace funkce f n=4 f 4 = f Využití například u průběhu funkce (konkávní/konvení) funkce ln =? ln = 1 2 ln = 1 1 = 1 2 2 =? 2 = 2 2 = 2 2 = 0
Věta (Rollova) Nechť je dána funkce f splňující tyto vlastnosti Je spojitá na intervalu < a, b > V intervalu (a,b) má derivaci (pro každé ) f a = f(b) y f(b) Pak eistuje bod c Takový, že f (c)=0 a, b f(a) Tečna ke grafu v bodě c je rovnoběžná s osou Využití při určování etrémů c a c b Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (Lagrangeova věta o střední hodnotě) Mějme funkci f, spojitou na intervalu < a, b >, která má derivaci na a, b Pak na otevřeném intervalu (a,b) eistuje alespoň jeden bod c a, b V němž platí f c = f b f(a) b a Česky na grafu musí eistovat alespoň jeden bod C[c,f(c)] V němž tečna sestrojená ke grafu f je rovnoběžná s přímkou protínající body A[a,f(a)] a B[b,f(b)] Tečna ke grafu v bodě C[c,f(c)] je rovnoběžná se sečnou dané funkce f b f a = f c. (b a)
y f(b) f(a) c a c b f c = f b f(a) b a f b f a = f c. (b a) Česky na grafu musí eistovat alespoň jeden bod C[c.f(c)] V němž tečna sestrojená ke grafu f je rovnoběžná s přímkou protínající body A[a,f(a)] a B[b,f(b)] Tečna ke grafu v bodě C[c,f(c)] je rovnoběžná se sečnou dané funkce
L Hospitalovo pravidlo Využití věty o střední hodnotě U it problém s neurčitými výrazy Věta: Nechť pro funkce f(), g(), platí jedna z následujících podmínek 0 0 2 1 1 1 2 + 1 0 + 4 2 1 1 = 2 (i) f = g = 0 a a (ii) g() = f() = a a f () Nechť eistuje vlastní či nevlastní ita a g () f() Pak eistuje také ita a g() A tyto ity se sobě rovnají f() a g() = f () a g () Nederivovat jako podíl Někdy nám vyjde neurčitý výraz i po derivacích Derivujeme znovu a může být a a a+ Česky Při splnění určitých předpokladů Je ita podílu dvou funkcí Rovna itě podílu derivací, těchto funkcí