KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1 Derivace Definice 1.1 (Derivace funkce v bodě). Necht funkce f je definovaná na nějakém okolí bodu c R. Jestliže eistuje vlastní ita h 0 f(c + h) f() h pak se nazývá derivací funkce f v bodě c. Značíme f (c). Věta 1.2. Má-li funkce f v bodě c derivaci pak je v tomto bodě spojitá. Definice 1.3 (Derivace funkce jako funkce). Funkci která každému bodu D(f) přiřazuje f () (pokud derivace v tomto bodě eistuje) nazýváme derivací funkce f. 1.1 Přehled derivací základních elementárních funkcí (a) (c) = 0 (b) ( n ) = n n 1 n R speciálně (ln ) = 1 (e) (sin ) = cos (c) (a ) = a ln a a (0 1) (1 + ) speciálně (e ) = e (d) (log a ) = 1 ln a a (0 1) (1 + ) (f) (cos ) = sin (g) (tg ) = 1 (h) (cotg ) = 1 sin 2 (i) (arctg ) = 1 1 + 2 Věta 1.4 (o derivaci součtu rozdílu součinu a podílu dvou funkcí). Necht f g jsou funkce mající derivaci v bodě c a necht k R. Potom také funkce k f f + g f g f g f (je-li g(c) 0) mají derivaci v bodě c a platí g 1
(a) (k f) (c) = k f (c) (b) (f + g) (c) = f (c) + g (c) (c) (f g) (c) = f (c) g (c) (d) (f g) (c) = f (c) g(c) + f(c) g (c) (e) ( ) f (c) = f (c) g(c) f(c) g (c) g g 2 (c) Věta 1.5 (o derivaci složené funkce). Necht funkce g má derivaci v bodě c a necht funkce f má derivaci v bodě g(c). Potom složená funkce h = f g (tj. funkce h() = f(g()) má derivaci v bodě c a platí h () = f (g()) g (c). Úloha 1 (Př. 7.15). Vypočtěte f je-li f dána předpisem: a) f() = 3 + 2 sin + 2 c) f() = e d) f() = 2 cos e) f() = 3 2 2 + 1 Definice 1.6. Necht funkce f je definovaná na intervalu c c + ε) pro nějaké ε > 0. Jestliže eistuje vlastní ita f(c + h) f(c) h 0 + h ( ) f(c + h) f(c) h 0 h ( ) (c ε c pak ji nazýváme derivací funkce f zprava (zleva) v bodě c a označujeme je f (c+) (f (c )). Věta 1.7. Funkce f má v bodě c derivaci právě tehdy když má v tomto bodě obě jednostranné derivace a ty se navzájem sobě rovnají. Definice 1.8. Uvažujme derivaci f funkce f. Derivaci funkce f budeme označovat f a nazývat druhou derivací funkce f. Obdobně pro n 2 je n-tá derivace (značíme f (n) ) derivací funkce f (n 1). Většinou značíme: f f f f (4) f (5).... 2
Příklady Úloha 2 (Př. 7.15). Vypočtěte f je-li f dána předpisem: b) f() = 2 cos + 4e + 1 3 7. Řešení. f () = ( 2 cos + 4e + 1 3 7 ) = 2( sin ) + 4e + 1 3 76 = 2 sin + 4e + 7 3 6 D(f ) = D(f) = R. Úloha 3. Vypočtěte f je-li f dána předpisem: a) f() = tg 2 b) f() = sin2. Řešení. a) b) f () = ( tg 2 ) = 2 tg (tg ) = 2 tg 1 = 2 sin cos 1 = 2 sin { } π cos 3 D(f ) = D(f) = R \ 2 + kπ k Z. f () = ( sin 2 ) = (sin2 ) sin 2 () () 2 = (2 sin cos ) cos2 sin 2 (2 cos ( sin ) cos 4 = 2 sin cos3 + 2 sin 3 cos cos 4 = 2 sin cos2 + 2 sin 3 cos 3 = 2 sin (cos2 + sin 2 ) = 2 sin cos 3 cos 3 { } π D(f ) = D(f) = R \ 2 + kπ k Z. 3
Úloha 4. Vypočtěte všechny derivace funkcí a) f : y = 4 b) g : y = sin. Zde speciálně určete g (99) (). Řešení. a) f() = 4 f () = 4 3 f () = (4 3 ) = 12 2 f () = (12 2 ) = 24 f (4) () = (24) = 24 f (5) () = (24) = 0 = f (n) n 5. b) g() = sin g () = cos g () = sin g () = cos g (4) () = sin. Derivace se periodicky opakují. Pro každé celé k 0 platí: g (4k) = sin g (4k+1) = cos g (4k+2) = sin g (4k+3) = cos. Odtud g (99) = g (96+3) = g (4 24+3) = cos. 4
1.2 L Hospitalovo pravidlo Věta 1.9. Necht funkce f a g mají derivaci v prstencovém okolí bodu c R a necht platí ( [ 0 f() = g() = 0 typ c c 0]) nebo Jestliže eistuje potom platí ( f() = g() = typ c c Toto platí i pro jednostranné ity. f () c g () = λ R f() c g() = λ. [ ]). Příklady Limity typu [ [ 0 0] ] Úloha 5 (Př. 8.15). Vypočtěte následující ity: sin a) 0 b) 2 2 4 2 2 c) + 2 + 1 e 1 d) 0 Úloha 6 (Př. 8.16). Vypočtěte následující ity: 1 cos a) 0 sin 2 3 + 2 b) + 3 3 2 2 + Úloha 7 (Př. 8.18 zacyklení). Vypočtěte + 2 + 1. a 1 e) 0 a (0 ). Úloha 8 (Př. 8.19 nepoužitelnost LP eistence ity). Vypočtěte Limity typu [ ] a [0 (± )] Úloha 9 (Př. 8.20). c) ln. 0 + a) 0 + ( 1 1 sin ) cos(π) + 1 c). 1 ( 1) 2 + + sin. 5