Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 1/ 13
Definice. Množinu všech uspořádaných n-tic čísel se nazývá n-rozměrný prostor a každá z n-tic se prohlásí za bod n-rozměrného prostoru (čísla x 1,..., x n zajehosouřadnice). značíme: X=[x 1,..., x n ] Definice. (Vzdálenost bodů) Každédvojicibodů X, Y přiřadímečíslo d(x,y)předpisem d(x,y)= (x 1 y 1 ) 2 + +(x n y n ) 2. Číslo d(x,y)nazývámevzdálenostbodů X, Y. n=2, n=3. Definice. (n-rozměrný euklidovský prostor) n-rozměrný prostor spolu se vzdáleností d se nazývá n-rozměrný euklidovský prostor a značíse E n. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 2/ 13
Věta. (základní vlastnosti vzdálenosti) Vzdálenost d má tyto vlastnosti: 1) d(x,y)=0,právěkdyž X= Y. 2) d(x,y)=d(y,x)prolibovolné X, Y E n. 3) d(x,z) d(x,y)+d(y,z)prolibovolné X, Y, Z E n. (trojúhelníková nerovnost). Definice. (Funkce n-proměnných) Předpokládáme,že n Na M E n.funkcí n-proměnnýchserozumízobrazení f množiny Mdomnožiny R,tj.předpis,kterýkaždémubodu X Mpřiřazujejediné reálné číslo y. Označení D(f)značídefiničníoborfunkce f.(tj.množina M). H(f)značíoborhodnotfunkce f.(tj. H(f) R). Prolibovolnýbod X=[x 1,...,x n ] D(f),nazýváme x k hodnotou k-ténezávislé proměnnépro k=1,...,n. Libovolné y H(f)nazývámehodnotouzávisleproměnnéfunkce f. Hodnotufunkce f nproměnnýchvbodě X=[x 1,...,x n ] D(f)značíme f(x) nebo f(x 1,...,x n ). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 3/ 13
Funkce ftříproměnných,kterákaždému[x,y,z] E 3 přiřazuječíslo x+y+3z. D(f)=E 3, H(f)=R,funkčnípředpis f(x,y,z)=x+y+3z. Poznámka Není-li pro funkci f n proměnných danou výrazem zadán definiční obor, tak za definičníoborpovažujememnožinuvšechbodů X E n,proněžmávýraz f(x) smysl. Určetedefiničníoborfunkce f(x,y,z)=lnx+ y+3z 2. Definice. (Graf funkce) Graf funkce f n proměnných je definován jako množina všech bodů [x 1,...,x n,y] E n+1 takových,že[x 1,...,x n ] D(f)ay= f(x 1,...,x n ). n=2 Grafjemnožina[x,y,z] E 3 takových,že[x,y] D(f)az= f(x,y). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 4/ 13
Poznámka. Protožekaždému[x,y] D(f)příslušíjediné z H(f),nemůžemítgraffunkce f dvou proměnných se žádnou přímkou rovnoběžnou s osou z dva nebo více společných bodů. (tj. např. kulová plocha není grafem žádné funkce dvou proměnných). Sestrojte graf funkce definovanénamnožině E 2. f(x,y)=x 2 +y 2 h(f)=<0, ). (rotační paraboloid s vrcholem v počátku) G(f)={[x,y,z] E 3 ; z= x 2 +y 2 } Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 5/ 13
Poznámka. Provytvořenínázornépředstavyzavádímepro α Rtzv.hladinufunkce fjako množinu H α = {[X,α] E n+1 ; f(x)=α}. Tím je také tomuto číslu α přiřazena podmnožina definičního oboru V α = {X D(f); f(x)=α}tzv.vrstevnicefunkce f. Pro funkci f(x,y)=x 2 +y 2 α=1 H 1 = {[x,y,1] E 3 ; x 2 +y 2 =1} V 1 = {[x,y] E 2 ; x 2 +y 2 =1}. α=4 H 4 = {[x,y,4] E 3 ; x 2 +y 2 =4} V 4 = {[x,y] E 2 ; x 2 +y 2 =4}. Poznámka. V praxi se často setkáváme se situací, že funkční přiřazení není zadáno výrazem(nebo několika výrazy), nýbrž tabulkou funkčních hodnot. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 6/ 13
Definice. (Operace s funkcemi) Řekneme,žefunkce fa g nproměnnýchjsousirovny,jestliže D(f)=D(g)apro každýbod X D(f)je f(x)=g(x). Jsou-li f a g funkce n proměnných, definujeme: Součet f+gjefunkce h nproměnnýchdefinovanávztahem h(x)=f(x)+g(x), rozdíl f gjefunkce h nproměnnýchdefinovanávztahem h(x)=f(x) g(x), součin f.gjefunkce h nproměnnýchdefinovanávztahem h(x)=f(x).g(x), podíl f f(x) g jefunkce h nproměnnýchdefinovanávztahem h(x)= g(x), ve všech čtyřech případech je funkce h definována pro každý X, pro nějž příslušný výraz existuje. Nulovýmbodem(kořenem)funkce f nproměnnýchnazvemekaždýbodzd(f),v němž funkce f nabývá hodnoty nula. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 7/ 13
Definice. (Složená funkce) Nechť hjefunkce pproměnnýchag 1,...,g p je pfunkcí nproměnných.složená funkce fsvnitřnímisložkami g 1,...,g p asvnějšísložkou hmápakdefiničníobor D(f)={X D(g 1 ) D(g p );[g 1 (X),...,g p (X)] D(h)} a funkční předpis f(x)=h(g 1 (X),g 2 (X),...,g p (X)). Poznámka. Složená funkce f je funkcí n proměnných(tedy tolika proměnných, kolik jich mají vnitřní složky). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 8/ 13
Jedánafunkce h(x,y,z)=e xy arcsinz sdefiničnímoborem D(h)={[x,y,z] E 3 ; 1 z 1}afunkce g 1 (x,y)= 1 x y s D(g 1 )={[x,y] E 2 ; y 1 x} g 2 (x,y)= y+1 s D(g 2 )={[x,y] E 2 ; y 1} g 3 (x,y)= 1+x y s D(g 3 )={[x,y] E 2 ; y 1+x} Sestrojte funkci f= h(g 1,g 2,g 3 ). D(f)={[x,y] E 2 ;y 1 x, y 1, y 1+x, y x} f(x,y)=h(g 1 (x,y),g 2 (x,y),g 3 (x,y))= = e 1 x y y+1 arcsin 1+x y. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 9/ 13
Definice. Řekneme, že funkce f n proměnných je omezená, jestliže její obor hodnot je omezená množina. tj. M >0 X D(f) f(x) M Řekneme, že funkce f n proměnných je shora omezená, resp. zdola omezená, jestliže její obor hodnot je shora omezená, resp. zdola omezená, množina. tj. M >0 X D(f) f(x) M, resp. tj. M >0 X D(f) f(x) M. f(x 1,...,x n )=x 2 1 + +x2 n, D(f)=E n. jezdolaomezená M=0 neni shora omezená. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 10/ 13
Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Nechť A E n, δ >0.Okolímbodu Aspoloměrem δ(nebo δ-okolímbodu A)se rozumí množina {X E n ; d(a,x) < δ} (tj.do δ-okolíbodu ApatříprávěvšechnybodyzE n,jejichžvzdálenostodbodu A jemenšínež δ.) n=1,pak δ-okolímbodu Ajeinterval(A δ,a+δ). n=2,pak δ-okolímbodu Ajemnožinavšechbodůležícíchuvnitřkruhusestředem v Aapoloměrem δ. n=3,pak δ-okolímbodu Ajemnožinavšechbodůležícíchuvnitřkoulesestředemv Aapoloměrem δ. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 11/ 13
Limita a spojitost funkce n proměnných Definice. Je-li M E n,a E n,řekneme,že Ajevnitřníbodmnožiny M,jestližeexistuje okolíbodu A,kteréjepodmnožinou M. Množina, jejíž každý bod je vnitřní, se nazývá otevřená. M= {[x,y] E 2 ;0 x <1, 0 y <1nebo x=y=2} vnitřníbody {[x,y] E 2 ;0 < x <1,0 < y <1}. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 12/ 13
Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Je-li M E n,a E n aobsahuje-likaždéokolíbodu Anějakýbodmnožiny Ma nějakýbodnepatřícído M,řekneme,že Ajehraničníbodmnožiny M. Množina M E n senazýváuzavřená,jestližeobsahujevšechnysvéhraničníbody. M= {[x,y] E 2 ;0 x <1, 0 y <1nebo x=y=2} hraničníbody {[x,y] E 2 ; (x=0 x=1) 0 y 1 (y=0 y=1) 0 x 1 x=y=2}. uzavřenámnožina M= {[x,y] E 2 ;0 x 1,0 y 1nebo x=y=2}. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2016-2017 13/ 13