.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval, kde je unkce kladná resp. záporná, 5 interval, kde unkce roste resp. klesá, 6 etrém, 7 interval, kde je unkce konvení resp. konkávní, 8 inlení bod, 9 asmptot, it unkce v krajních bodech deiničního oboru a v bodech nespojitosti a nakreslit gra unkce se všemi jeho podstatnými rs. einiční obor; sudost, lichost; periodičnost - viz. kapitol.. a.. Př. Urči a zjisti, je-li unkce sudá, lichá nebo periodická. 5 log 5 >. 5 >,,,,5 5, unkce není sudá ani lichá podle.sin ; není periodická R.sin[. ].sin unkce je -periodická Interval spojitosti a bod nespojitosti - u elementárních unkcí určíme z deiničního oboru 5 6 Př. ln 7 6 7 > je lichá
7 > 7 7,,, 7 interval spojitosti:,,, bod nespojitosti: { } Průsečík grau unkce s osami - s osou : [?, ] - s osou : [,? ] P... řešíme rovnici P... řešíme rovnici Př. P : P : 9, ± P P [,] [,] 6 9 P, 6 9 Interval, na kterých je unkce kladná resp. záporná - řešíme nerovnici > resp. < Př. 6 R 6 > > > řešení můžeme vznačit na číselné ose, kde si na množině unkce mezi nimi unkce zachovává znaménko > na, a na, vznačíme nulové bod
< na, a na, 5 Interval, na kterých unkce roste resp. klesá VĚTA: Nechť unkce má na intervalu a b ; a, b R > pro každé a, b, pak je rostoucí na a, b < pro každé a, b, pak je klesající na a, b pro každé a, b, pak je nerostoucí na a, b pro každé a, b, pak je neklesající na a, b pro každé a, b, pak je konstantní na a, b, ; derivaci. Je-li Poz. Je-li unkce spojitá v některém z krajních bodů intervalu b do příslušného intervalu monotónnosti. Př. Urči interval monotónnosti unkce :. e R. e. e. e R. e, řešení můžeme vznačit na číselné ose, kde si na množině unkce mezi nimi unkce zachovává znaménko : : roste na, a na, klesá na, R { } R, : : { } roste na, a na, a,, lze tento bod zahrnout vznačíme nulové bod
6 Etrém klesá na, a na, EF: lokální etrém unkce Řekneme, že unkce má v bodě Př. jestliže eistuje okolí O bodu lokální minimum resp. lokální maimum, takové, že pro všechna O. Bod [ ] platí: resp., se pak nazývá bod lokálního minima unkce resp. bod lokálního maima unkce Řekneme, že unkce má v bodě ostré lokální minimum resp. ostré lokální maimum, jestliže eistuje prstencové okolí P bodu takové, že pro všechna P platí: > resp. <. Souhrnně hovoříme o lokálních etrémech unkce. [, ] [, ] [, ] [, ] [, 5 5 ] na celém 5... bod ostrého lokálního minima... bod ostrého lokálního maima... bod lokálního minima... bod lokálního maima... bod ostrého lokálního minima, eistuje lokální minimum i maimum unkce VĚTA : nutná podmínka eistence etrému Má-li unkce v bodě R lokální etrém, pak je buď nebo neeistuje. EF: Bod R, ve kterém platí, že, se nazývá stacionární bod SB unkce. VĚTA : postačující podmínka eistence etrému Nechť a nechť > resp. <. Pak má unkce v bodě ostré lokální minimum resp. ostré lokální maimum. VĚTA : zobecněná postačující podmínka eistence etrému n n Nechť R :.... Potom platí: je-li n N liché, nemá unkce v bodě etrém, je-li n N sudé a n >, má unkce v bodě ostré lokální minimum,
je-li n N sudé a n <, má unkce v bodě ostré lokální maimum. VĚTA : Nechť unkce je spojitá v bodě bodu. Potom platí: je-li < P a > pro každé a má derivaci v nějakém prstencové okolí P unkce v bodě ostré lokální minimum, je-li > P a < pro každé unkce v bodě ostré lokální maimum. pro každé P pro každé P Stručně řečeno, mění-li unkce v bodě znaménko, má unkce v bodě etrém. Jedná- -li se o změnu z na, pak se v bodě mění unkce z klesající na rostoucí a jedná se o minimum, jedná-li se o změnu z na, pak se v bodě mění unkce z rostoucí na klesající a jedná se o maimum. Postup při hledání lokálních etrémů:. určíme tzv. bod podezřelé z etrému BPE, což jsou bod, kde je rovna nule nebo neeistuje. rozhodneme, zda v bodě podezřelém z etrému je či není etrém Př. Urči lokální etrém unkce : 5 R 8, R SB: 8,, BPE:,, 8, R 8 > podle vět unkce má v bodě ostré lokální minimum o velikosti 5 < podle vět unkce má v bodě ostré lokální maimum o velikosti 6 8 > podle vět unkce má v bodě ostré lokální minimum o velikosti 5 R 6 5 6, R SB: 5 6 BPE:, R podle vět nelze rozhodnout, má, má 5
máme dvě možnosti: α hledat řešení pomocí vět :, R, 6, R, 5 7, R, 6 7, R, 6 5 5 6 ostré lokální minimum o velikosti β hledat řešení pomocí vět : : : 7 > podle vět unkce má v bodě unkce má v bodě ostré lokální minimum o velikosti EF: globální etrém unkce Nechť M a M. Řekneme, že unkce nabývá na množině M globálního minima resp. globálního maima v bodě, jestliže pro všechna M platí: resp.. Poz. Globální etrém unkce na množině M nemusí eistovat Funkce, která je spojitá na uzavřeném intervalu, nabývá na tomto intervalu svého globálního minima i maima Při hledání globálních etrémů unkce na intervalu a, b postupujeme takto: a, najdeme bod podezřelé z lokálních etrémů bod, kde je rovna nule nebo neeistuje. Vpočteme unkční hodnot v bodech podezřelých z etrému a v krajních bodech a, b intervalu a, b. V intervalu b. V bodě, kde je unkční hodnota nejmenší resp. největší, nabývá unkce svého globálního minima resp. maima 7 Interval, na kterých je unkce konvení resp. konkávní EF: Řekneme, že unkce je konvení resp. konkávní na intervalu I, jestliže pro každé dva bod, I takové, že <, a pro každá čísla α,α R taková, že α, α, α α, platí: α α α α resp. α α α α. Jestliže je tato nerovnost v případě α >, α > ostrá, nazýváme unkci rze konvení resp. rze konkávní na I. 6
Obr. gra unkce leží pod sečnou unkce je rze konvení gra unkce leží nad sečnou unkce je rze konkávní VĚTA: postačující podmínka konveit Nechť unkce má na intervalu I vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. Platí- li resp. > na intervalu I, je unkce konvení resp. rze konvení na intervalu I, platí-li resp. < na intervalu I, je unkce konkávní resp. rze konkávní na intervalu I. Př. Urči interval konveit unkce : 5 6 R 6 5, R 6 6, R 6 6 6 řešení můžeme vznačit na číselné ose, kde si na množině vznačíme nulové bod unkce mezi nimi unkce zachovává znaménko : : je rze konvení na, je rze konkávní na, ln 9 : 9 > >,, 9,,, 7
9. 8 9 9,, 8 >, 8 Inlení bod 9 EF: Řekneme, že unkce má v bodě takové >, je rze konvení na, a na, R inlei průhb, jestliže eistuje R a δ, že unkce je rze konvení na P,δ a rze konkávní na P,δ nebo naopak. Bod [ ] se pak nazývá inlení bod unkce., Poz. V inlením bodě musí eistovat tečna vplývá to z eistence R a charakter unkce se zde mění z rze konvení na rze konkávní nebo naopak, viz. obrázek. Obr. VĚTA: nutná podmínka eistence inleního bodu Má-li unkce v bodě inlei, pak nebo neeistuje. VĚTA: postačující podmínka eistence inleního bodu Nechť a. Pak má unkce v bodě inlei. Postup při hledání inleních bodů:. určíme tzv. bod podezřelé z inlee BPI, což jsou bod, kde je rovna nule nebo neeistuje. rozhodneme, zda v bodě podezřelém z inlee je či není inlee Př. Urči inlení bod unkce : R., R.., R BPI: 8
,, inlení bod unkce : [ ] R 5, 5 5, R,, a 5, R { } 9 BPI: bod, kde neeistuje, ale i ano... nemá řešení 9 inlení bod unkce : [,] 9 Asmptot : : : : EF: asmptota svislá - bez směrnice Řekneme, že přímka je svislou asmptotou unkce, je-li aspoň jedna jednostranná ita unkce v bodě nevlastní tzn. je rovna nebo., Př., přímka osa je svislá asmptota unkce 9
Poz. Svislou asmptotu může mít unkce pouze v bodě R, ve kterém není spojitá, ale musí být deinována aspoň na nějakém levém nebo pravém prstencovém okolí tohoto bodu. EF: asmptota šikmá - se směrnicí Řekneme, že přímka a b; a, b R, je asmptotou unkce v resp. v -, platí-li [ a b ] resp. [ a b ]. Př. arctg přímka přímka je asmptota unkce v je asmptota unkce v VĚTA: Přímka a b je asmptotou unkce v resp. v a R [ a] b R resp. a R [ a] b R. Př. Urči všechn asmptot unkce :. Svislé asmptot: R ± { } bod nespojitosti: ±... přímka je asmptota unkce... přímka je asmptota unkce. Šikmé asmptot: a v :
a [ ] a b přímka je asmptota unkce v b v : a [ ] a b přímka je asmptota unkce v Limit unkce v krajních bodech deiničního oboru a v bodech nespojitosti Př. 9 6 log : > 9 6 > { },,, 9 6 log log log 9 6 log log log 9 6 log
log ' L H ln 6 9 6 6 ln Př. Urči průběh unkce: R je lichá není periodická je spojitá na R, nemá bod nespojitosti P?, průsečík s osami: [ ] P, P [ ]., R.. NB:... BPE:..., BPI:...,,,, R,,,,, na, na, < > unkce - je rostoucí na, - je klesající na, a na, - má bod ostrého lokálního maima,
- má bod ostrého lokálního minima unkce - je rze konvení na, - je rze konkávní na,,, a na a na,,,,,, asmptot: a bez směrnice: neeistují unkce je spojitá na R b se směrnicí: v v : : - má inlení bod: [ ] a H a L '. přímka je asmptota unkce v a H a L '. přímka je asmptota unkce v [ ] b [ ] b it v krajních bodech : viz. předchozí bod viz. předchozí bod gra unkce: / / / /
. ln, není sudá ani lichá není periodická je spojitá na, nemá bod nespojitosti?, P,? průsečík s osami: P [ ] [ ] ln. ln,,,, NB:. ln... BPE: ln... e e BPI:... nemá řešení, e e,,. ln P neeistuje P [,]! e na, na, < > e unkce - je rostoucí na e, - je klesající na, e - má bod ostrého lokálního minima [ e ], e unkce - je rze konvení na, - nemá inlení bod asmptot: a bez směrnice: ln ' L H.ln asmptota bez směrnice neeistuje b se směrnicí:.
.ln v : ln asmptota se směrnicí neeistuje it v krajních bodech : viz. předchozí bod.ln gra unkce:. e e cos. cos R je spojitá na R, nemá bod nespojitosti cos.cos cos.cos je sudá k cos k.cos k cos.cos, k Z je - periodická stačí zkoumat průběh unkce na libovolném intervalu délk, ten se pak periodick opakuje. Zvolme pro tento účel např. interval, : průsečík s osami: P [?, ] P [,? ] cos.cos cos cos cos.cos P [, ] P, P, cos. sin. sin.sin cos.sin, R.sin.cos 9.sin. cos, R 5
NB: cos.cos cos cos..., BPE:.sin...,, BPI: 9.sin. cos...,,, 5,,,, - - < na, a na, > na, unkce - je rostoucí na, - je klesající na, - má bod ostrého lokálního maima [,] - má bod ostrého lokálního minima [, ], [, ] unkce - je rze konvení na, a na, - je rze konkávní na, - má inlení bod:,,, asmptot: a bez směrnice: neeistují unkce je spojitá na R b se směrnicí: cos.cos v :... neeistuje asmptota unkce v neeistuje cos.cos v :... neeistuje asmptota unkce v neeistuje it v krajních bodech :... neeistuje ± gra unkce: 6
7