POUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH PEDAGOGICKÁ FAKULTA Ktedr mtemtik POUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH Ondřej MAREČEK České Budějovice, duen 8

PROHLÁŠENÍ Prohlšuji, že svoji diplomovou práci jsem vprcovl smosttně pouze s použitím prmenů litertur uvedených v seznmu citovné litertur Prohlšuji, že v souldu s 47 zákon č /998 S v pltném znění souhlsím se zveřejněním své diplomové práce, to v nezkrácené podoě elektronickou cestou ve veřejně přístupné části dtáze STAG provozovné Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích n jejích internetových stránkách V Českých Budějovicích, dne 5 dun 8 Ondřej Mreček

ANOTACE Teoretická část diplomové práce se skládá ze zvedení Riemnnov integrálu, jeho vlstností, zvedení funkce více proměnných, ze zvedení dvojného trojného Riemnnov integrálu fzikálních plikcí integrálu Prktická část oshuje odvození oecných vzorců pro osh různých geometrických útvrů ojem různých těles, n některých příkldech jsou ukázán různé postup vedoucí k jejich vřešení Je zde tké osženo vužití Riemnnov integrálu k určení těžiště těles, sttických momentů momentů setrvčnosti těles ABSTRACT The theoreticl prt of the thesis includes introduction of Riemnn integrl nd its qulities, introduction of function of more vriles, introduction of doule nd triple Riemnn integrl nd phsicl pplictions of integrl The prcticl prt includes derivtion of generl re formuls for different shpes nd volume formuls for different solids, in some emples there re shown different ws of solution The prcticl prt lso includes the use of Riemnn integrl for the determintion of centre of mss, of stticl moments nd moments of inerti of ojects

PODĚKOVÁNÍ Chtěl ch touto cestou poděkovt Mgr Petru Chládkovi, PhD z jeho odornou pomoc, cenné rd, připomínk námět, kterými mně při vprcování diplomové práce velmi pomohl Děkuji tké své rodině přátelům z podporu, které se mi dostávlo po celou dou vsokoškolského studi 4

OBSAH Úvod8 Teoretická část 9 Diferenciální počet9 Pojem funkce9 Vět o supremu infimu9 Funkce omezené 4 Spojitost 5 Derivce Teorie určitého Riemnnov integrálu Součtová definice určitého integrálu Integrce součtu 6 Integrál od do c, vjádřený integrál od do od do c7 4 Funkce spojitá v, má určitý integrál od do 8 5 Funkce primitivní její souvislost s určitým integrálem8 6 Definice integrálu f ( ) d pro 8 7 Výpočet oshu rovinných útvrů pomocí Riemnnov integrálu9 8 Výpočet ojemu rotčních těles pomocí Riemnnov integrálu9 Funkce více proměnných Reálné funkce více reálných proměnných Metrické prostor Spojitost funkce 4 Dvojný Riemnnův integrál 4 Dvojný Riemnnův integrál n kompktním intervlu 4 Dvojný Riemnnův integrál n množině M 6 4 Eistence dvojného Riemnnov integrálu spojité funkce 6 44 Vlstnosti dvojného Riemnnov integrálu 7 45 Fuiniov vět pro přípustnou olst7 46 Výpočet ojemu těles pomocí dvojného Riemnnov integrálu8 5 Trojný Riemnnův integrál 8 5

5 Trojný Riemnnův integrál n kompktním intervlu8 5 Trojný Riemnnův integrál n množině M 5 Vlstnosti trojného Riemnnov integrálu 54 Fuiniov vět pro přípustnou olst 55 Výpočet ojemu těles pomocí trojného Riemnnov integrálu 6 Fzikální plikce integrálu 6 Hmotnost těles 6 Sttické moment těles 6 Moment setrvčnosti těles5 64 Souřdnice těžiště těles 6 Prktická část 8 Osh 8 Trojúhelník8 Elips4 Kruh 4 4 Strofoid4 Ojem rotčních těles46 Rotční kužel46 Komolý rotční kužel47 Rotční proloid 49 4 Koule5 5 Anuloid5 Dlší způso výpočtu oshů geometrických útvrů ojemů těles5 Osh geometrického útvru 5 Ojem elipsoidu 58 Ojem kvrtoidu6 4 Ojem prvidelného čtřokého jehlnu 68 4 Těžiště těles, sttické moment7 4 Elipsoid 7 4 Osmin koule 7 5 Moment setrvčnosti těles74 5 Kvádr74 6

5 Koule75 5 Válec 77 4 Závěr 8 Použitá litertur 8 7

ÚVOD Ve své diplomové práci ch se chtěl věnovt vužitelnosti Riemnnov určitého integrálu pro výpočet fzikálních veličin, jko jsou osh rovinných útvrů, ojem těles, sttické moment, moment setrvčnosti těles těžiště těles Práce je rozdělen n dvě části teoretickou prktickou V teoretické části uvedu důležité vět definice integrálního počtu, dále ude práce oshovt teorii z diferenciálního počtu funkcí více proměnných, dvojný trojný Riemnnův integrál Hlvním důvodem zvedení integrálního počtu funkcí více proměnných je fkt, že jednoduchý Riemnnův integrál nelze vužít k výpočtu ojemu liovolného těles, le jen těles rotčních Potom v práci nemohl ýt osžen npř výpočet ojemu jehlnu Tké vzth pro výpočet různých fzikálních veličin, osžené v kpitole Fzikální plikce integrálu, vužívjí vícerozměrnou integrci Předpokládám znlost integrčních metod (sustituce, per-prtes, ), proto je v teoretické části neuvádím Prktická část ude oshovt odvození vzorců pro osh rovinných útvrů ojem těles N některých příkldech ukážu různé možnosti řešení postupů při výpočtech oshů ojemů pomocí Riemnnov integrálu Tké zde odvodím vzorce pro výpočet některých fzikálních vlstností těles (těžiště těles, sttické moment moment setrvčnosti těles) Součástí kždého příkldu ude srozumitelný postup odvození vzorce v oecném tvru většin příkldů ude doplněn názorným orázkem Prolemtiku integrálního počtu jsem si zvolil, protože mě ěhem studi mtemtické nlýz zujl oceňuji zejmén to, že vzorce, které jsme se v průěhu studi n zákldní střední škole museli učit nzpměť, se djí pomocí integrálního počtu odvodit 8

TEORETICKÁ ČÁST DIFERENCIÁLNÍ POČET Pojem funkce Definice Nechť M je nějká podmnožin množin reálných čísel Jestliže kždému číslu množin M je přiřzeno určité číslo, říkáme, že je funkcí ; množinu M nzýváme oorem této funkce Funkci f můžeme tké definovt přímo jko množinu dvojic, proto uvádím i následující definici Definice Funkcí f rozumíme množinu uspořádných dvojic reálných čísel [, ], jež má tuto vlstnost: Ke kždému číslu eistuje nejvýše jedno (tj uďto žádné neo právě jedno) číslo tkové, že dvojice [, ] hodnotou funkce f v odě ptří do množin f Toto číslo nzýváme pk znčíme jej znkem f ( ) Čísl, k nimž eistuje číslo tk, že dvojice [, ] ptří do množin f, tvoří jistou podmnožinu M množin reálných čísel, kterou nzýváme oorem funkce f Vět o supremu infimu Definice Eistuje-li tkové číslo K, že pro všechn čísl množin N pltí K, pk množinu N oznčíme jko omezenou shor Vět Je-li N neprázdná shor omezená množin, eistuje právě jedno číslo G mjící tto dvě vlstnosti: I Žádné číslo z N není větší než G II Je-li G liovolné číslo menší než G, eistuje v N spoň jedno číslo, jež je větší než G Toto číslo G se nzývá supremum množin N znčíme jej znkem sup N 9

Definice Eistuje-li tkové číslo K, že pro všechn čísl množin N pltí pk množinu N oznčíme jko omezenou zdol K, Vět Je-li N neprázdná zdol omezená množin, eistuje právě jedno číslo g mjící tto dvě vlstnosti: I Žádné číslo z N není menší než g II Je-li g liovolné číslo větší než g, eistuje v množině N spoň jedno číslo, jež je menší než g Toto číslo g se nzývá infimum množin N znčíme jej znkem inf N Funkce omezené Definice Nechť funkce f je shor omezená v neprázdné číselné množině M Potom eistuje právě jedno číslo G mjící tto dvě vlstnosti: I Pro všechn M je ( ) G f II Je-li G liovolné číslo menší než G, eistuje v množině M spoň jedno číslo f > tk, že je ( ) G Toto číslo znčíme znkem f ( ) sup říkáme mu supremum funkce f v množině M M Definice Nechť funkce f je zdol omezená v neprázdné číselné množině M Potom eistuje právě jedno číslo g mjící tto dvě vlstnosti: I Pro všechn M je ( ) g f II Je-li g liovolné číslo větší než g, eistuje v množině M spoň jedno číslo f < tk, že je ( ) g Toto číslo znčíme znkem f ( ) inf říkáme mu infimum funkce f v množině M M

4 Spojitost Definice Říkáme, že funkce f ( ) je spojitá v odě c, jestliže ke kždému kldnému číslu ε eistuje kldné číslo δ tk, že nerovnost ( ) ( ) ε všechn hodnot, pro něž je c < δ f f c < je splněn pro Vět Nechť funkce f ( ), g( ) jsou spojité v odě c Potom tké funkce ( ) f ( ) g( ), f ( ) g( ), f ( ) g( ) jsou spojité v odě c A v přípdě, že g ( c) tké funkce f g ( ) ( ) spojitá v odě c f,, je Definice Říkáme, že funkce f ( ) je spojitá v otevřeném intervlu ( ) v kždém vnitřním odě tohoto intervlu,, je-li spojitá Definice Říkáme, že funkce f ( ) je spojitá v odě c zprv (popř zlev), jestliže ke kždému kldnému číslu ε eistuje tkové kldné číslo δ, že nerovnost ( ) f ( c) < ε f je splněn pro všechn hodnot z intervlu c, c δ ) (popř ( c δ, c ) Definice Říkáme, že funkce f ( ) je spojitá v uzvřeném intervlu,, je-li spojitá v otevřeném intervlu (, ) v odě je spojitá zprv v odě je spojitá zlev Vět o spojitosti složených funkcí: Vět Nechť funkce ϕ ( t) je spojitá v odě c nechť funkce ( ) ϕ ( c) Potom funkce ( ( t) ) f ϕ je spojitá v odě c f je spojitá v odě Vět Nechť funkce ϕ ( t) je spojitá v otevřeném intervlu ( α, β ); nechť funkce ( ) f je spojitá v otevřeném intervlu (, ) Pro kždé t z intervlu ( α, β ) nechť hodnot ϕ ( t) leží v intervlu (, ) Potom funkce f ( ϕ ( t) ) je spojitá v intervlu ( β ) α,

Vět Nechť funkce ϕ ( t) je spojitá v uzvřeném intervlu α, β ; nechť funkce ( ) f je spojitá v uzvřeném intervlu, Pro kždé t z intervlu β α, nechť hodnot ϕ ( t) leží v intervlu, Potom funkce f ( ϕ ( t) ) je spojitá v intervlu α, β 5 Derivce Vět (o přírůstku funkce) Nechť funkce f je spojitá v uzvřeném intervlu, má derivci v kždém vnitřním odě tohoto intervlu Potom eistuje číslo ξ tk, že pltí < ξ, f ( ) f ( ) ( ) f ( ξ ) < Vět Nechť funkce f je spojitá v intervlu J v kždém vnitřním odě intervlu J má derivci rovnou nule Potom je funkce f konstntní v J Vět Nechť f, g jsou dvě funkce spojité v intervlu J, které mjí v kždém vnitřním odě intervlu J touž derivci f ( ) g ( ) Potom jejich rozdíl je konstntní v J, tj eistuje číslo C tk, že pro všechn J je g ( ) f ( ) C Vět Nechť funkce ϕ ( t) má derivci ϕ ( t) v jistém odě t; nechť funkce ( ) derivci f ( ) v příslušném odě ϕ( t) ; potom funkce F( t) f ( ϕ( t) ) derivci f ( ϕ ( t) ) ϕ ( t) f má má v odě t Vět Nechť funkce ϕ ( t) má derivci v intervlu ( α, β ); nechť funkce ( ) f má derivci v intervlu (, ) ; nechť pro kždé t z intervlu ( α, β ) hodnot funkce ϕ ( t) leží v intervlu (, ) Potom funkce f ( ϕ ( t) ) má v intervlu ( β ) ( ϕ ( t) ) ϕ ( t) f α, derivci

TEORIE URČITÉHO RIEMANNOVA INTEGRÁLU Součtová definice určitého integrálu Budiž dán intervl, udiž dán funkce f ( ) omezená v intervlu, Je-li dáno celé kldné číslo n je-li dáno n odů,,,, n, jež splňují vzth < < < < n < n, říkáme, že tto od definují určité dělení intervlu, Bod,,,, n udeme nzývt dělícími od tohoto dělení; tto od dělí intervl, n n částečných intervlů,,,,, n, n f() 4 or : Horní součet

f() 4 Toto dělení definovné dělícími od or : Dolní součet,,,, n oznčme písmenem D Znkem, i oznčme délku i-tého částečného intervlu i i ; i i i Dnému dělení D přiřdíme nní dvě čísl: číslo S n i i, i ( D) f ( ) i sup, jež udeme nzývt horním součtem příslušným k dělení D (viz or), číslo s n i, i i ( D) f ( ) i inf, jež udeme nzývt dolním součtem příslušným k dělení D (viz or) Definice Nechť D D jsou dvě dělení intervlu, Dělení D je zjemněním dělení D, jestliže kždý dělící od dělení D je tké dělícím odem dělení D, D D 4

Vět I Dolní součet, příslušný k dělení D, je nejvýše roven hornímu součtu příslušnému k témuž dělení,tzn ( D) S( D) s II Je-li dělení D zjemněním dělení D, pltí s( D) s( D ) S( D ) S( D) III Jsou-li D, D dvě liovolná dělení intervlu,, pltí ( D ) s( ) S D Vět Je-li f ( ) funkce omezená v intervlu,, je nejvšší možná hodnot horního součtu rovn číslu sup f ( ) ( ) ( ) ( ) inf f,,, nejnižší možná hodnot dolního součtu rovn číslu Je-li ted D liovolné dělení intervlu,, pltí nerovnosti ( ) ( ) s( D) S( D) sup f ( ) ( ) inf f,, Oznčme V množinu všech možných dělení D intervlu, Definice I Infimum množin horních součtů pro všechn možná dělení D intervlu, oznčíme znkem ( ) f ( ) od do f d udeme je nzývt horním integrálem funkce ( ) d inf ( ) { } f S D D V II Supremum množin dolních součtů pro všechn možná dělení D intervlu, oznčíme znkem f ( ) d udeme je nzývt dolním integrálem funkce f ( ) od do 5

( ) d sup ( ) { } f s D D V Čísl, nzýváme mezemi horního (dolního) integrálu; číslo nzýváme dolní mezí, číslo horní mezí Písmeno nzýváme integrční proměnnou Vět Nechť <, funkce f ( ) je omezená v intervlu,, pk pltí inf f f d f d sup f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, Definice Riemnnov součtová definice určitého integrálu Řekneme, že funkce f ( ) omezená n intervlu, má Riemnnův určitý integrál od f f d (funkce f ( ) je integrovtelná v intervlu do, pltí-li ( ) d ( ), ) Společnou hodnotu nzveme Riemnnovým určitým integrálem funkce f ( ) od do oznčujeme ji znkem f ( )d Vět Nutná postčující podmínk pro eistenci Riemnnov integrálu Riemnnův určitý integrál od do eistuje, právě tehd kdž pltí ( ε > )( D ): S( D) s( D) < ε Integrce součtu Vět Nechť < funkce ( ) f, ( ) f jsou omezené n intervlu, ; eistují-li integrál f ( ) d, f ( ) d, eistuje i integrál ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) f f d pltí f f d f d f d 6

Vět Nechť <, funkce f ( ) má určitý integrál od do je-li c liovolné číslo, c f c f d má i funkce c f ( ) určitý integrál od do pltí ( ) d ( ) Vět Nechť < funkce f ( ), f ( ),, f n ( ) mjí určitý integrál od do jsou-li c,,, c c n liovolná čísl, má i funkce c f ( ) c f ( ) c n f n ( ) integrál od do pltí ( ( ) ( ) n n ( )) c f c f c f d určitý ( ) ( ) ( ) c f d c f d c f d n Této vlstnosti se říká linerit integrálu n Vět Nechť <, funkce ( ) f má určitý integrál od do ; ( ) f pro všechn z intervlu, Pk pltí f ( )d Vět Nechť <, funkce ( ) f, f ( ) mjí určitý integrál od do ; ( ) f ( ) f pro všechn z intervlu monotonie integrálu, Pk pltí f ( ) d f ( ) d Této vlstnosti se říká Integrál od do c, vjádřený integrál od do od do c Vět Nechť < < c nechť eistuje integrál f ( )d c eistuje i integrál f ( )d c c i integrál ( )d pltí ( ) ( ) ( ) c f Potom f d f d f d Této vlstnosti se říká konečná ditivit integrálu vzhledem k intervlu 7

Vět Nechť <, funkce f ( ) má určitý integrál od do Nechť c, d je částečný intervl intervlu, Potom funkce f ( ) má tké určitý integrál od c do d 4 Funkce spojitá v, má určitý integrál od do Vět Nechť < ; nechť funkce f ( ) je spojitá v uzvřeném intervlu, ; potom f ( )d eistuje Vět Nechť < ; nechť funkce f ( ) je omezená v intervlu, má v intervlu ( ), konečný počet odů nespojitosti; potom f ( )d eistuje 5 Funkce primitivní její souvislost s určitým integrálem Vět Nechť v uzvřeném intervlu < eistuje integrál ( ) f d Nechť ( ) F je funkce spojitá, v kždém odě otevřeného intervlu (, ) má derivci ( ) f ( ) Potom pltí f ( ) d F ( ) F ( ) F 6 Definice integrálu f ( ) d pro První dodtek k definici integrálu Je-li funkce ( ) ( ) ( ) ( ) f d f d f d f definován pro, definujeme Druhý dodtek k definici integrálu Nechť >, potom definujeme určitý integrál f ( ) d rovnicí f ( ) d f ( ) d, jestliže ovšem integrál f ( ) d eistuje 8

7 Výpočet oshu rovinných útvrů pomocí Riemnnov integrálu Budeme všetřovt rovinné útvr (tj množin odů v rovině) tohoto tvru: Jsou dán dvě čísl, ( < ) funkce f ( ), spojitá nezáporná v intervlu, Tím je v rovině definován určitá množin odů [ ] Tuto množinu oznčme znkem M (, f ( ) ),,, pro které pltí, f ( ) Definice Oshem P (,, f ( ) ) rovinného útvru M (, f ( ) ) které pltí: P (,, f ( ) ) Je-li c < < je-li funkce ( ) (,, f ( ) ) P(, c, f ( ) ) P( c, f ( ) ) P, Nechť M ( α, β, ϕ( ) ), M (, f ( ) ), nzveme číslo, pro f spojitá nezáporná v intervlu,, pltí, jsou dvě množin všetřovného tpu nechť M ( α, β, ϕ( ) ) M (,, f ( ) ) Potom pltí P (, β, ϕ( ) ) P(,, f ( ) ) 4 Je-li M (,, f ( ) ) odélník o strnách z, v, je P(, f ( ) ) z v α, Vět Nechť f ( ) je spojitá nezáporná v intervlu,, potom pltí P,, f f d ( ( )) ( ) 8 Výpočet ojemu rotčních těles pomocí Riemnnov integrálu Jsou dán dvě čísl, ( < ) funkce f ( ), spojitá nezáporná v intervlu, Uvžujeme rotční těleso, které vznikne rotcí rovinného útvru M (, f ( ) ) os Pro množinu odů rotčního těles [, z] Tuto množinu oznčíme znkem K (, f ( ) ),, pltí:, kolem, z f ( ) 9

( ) Definice Ojemem V,, f ( ) rotčního těles K (, f ( ) ) které pltí: ( ) V,, f ( ) Je-li c < < je-li funkce ( ) ( ( )) ( ), nzveme číslo, pro f spojitá nezáporná v intervlu,, pltí ( ) ( ( )) V,, f V, c, f V c,, f Nechť K( α, β, ϕ( ) ), K (, f ( ) ), jsou dvě množin všetřovného tpu nechť K ( α, β, ϕ( ) ) K(,, f ( ) ) Pk pltí V (,, ( ) ) V (,, f ( ) ) α β ϕ 4 Je-li M (,, f ( ) ) odélník o strnách z, v, je (,, ( )) V f v z Vět Nechť f ( ) je spojitá nezáporná v intervlu,, potom pltí ( ( )) ( ) V,, f f d Vět Nechť f ( ) má spojitou nenulovou derivci n intervlu, Ojem těles vzniklého rotcí ploch M (,, f ( ) ) kolem os je ( ( )) ( ) V,, f f d FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Reálné funkce více reálných proměnných V diferenciálním počtu reálných funkcí jedné reálné proměnné jsme se zývli zorzeními z R do R, tj zorzeními, která reálným číslům přiřzují reálná čísl Nní se udeme zývt zorzeními, která odům prostoru nějkého prostoru n R přiřzují od p R I těmto zorzením udeme říkt funkce Pro p udeme tké mluvit o sklární funkci n reálných proměnných, neo tké o reálné funkci Pro p > udeme mluvit o vektorové funkci n reálných proměnných

Nejvíce nás udou zjímt přípd n, resp n p, tj reálné funkce dvou, resp tří reálných proměnných V těchto přípdech používáme ovkle oznčení f (, ), resp (,, ) f z Definice Je-li : ( ) R n f D f R reálná funkce n reálných proměnných, pk grfem { } funkce f nzýváme množinu grf f [, ] n f ( ), D( f ) R R Metrické prostor Definice Nechť je dán množin P zorzení ρ : P P R Říkáme že ρ je metrik v P právě tehd, kdž ρ má následující vlstnosti: ρ, pro všechn, P, I ( ) ρ, právě tehd, kdž, II ( ) III ρ (, ) ρ (, ) pro všechn, P, IV ρ (, z) ρ (, ) ρ (, z) pro všechn,, z P Je-li ρ je metrik v P, nzýváme dvojici ( P, ρ ) metrickým prostorem Je-li ( P, ρ ) metrický prostor, pk prvk množin P nzýváme od pro kždé dv od, P číslo ρ (, ) nzýváme vzdáleností odů, Vlstnost I II se ovkle nzývá pozitivní definitnost metrik ρ, vlstnost III smetričnost metrik ρ, vlstnost IV trojúhelníková nerovnost Definice Nechť (, ) P ρ je metrický prostor, P Sférickým okolím odu o poloměru ε >, neo stručně ε okolím odu P nzýváme množinu { } ( ) P ( ) U, ε ρ, < ε Definice Nechť (, ) o poloměru P ρ je metrický prostor, P Prstencovým okolím odu { } P, ε < ρ, < ε ε > nzýváme množinu ( ) P ( )

Spojitost funkce Definice Nechť n N R, N Říkáme, že od je izolovným odem množin N právě tehd, kdž eistuje okolí U( ) odu tk, že ( ) N { } U n p Definice Nechť je dán funkce f : D( f ) R R, množin N D( ) N f od Říkáme, že funkce f je spojitá v odě vzhledem k množině N právě tehd, kdž uď je izolovný od množin N neo je lim ( ) ( ) Je-li N D( ) N f, říkáme, že funkce f je spojitá v odě f f Říkáme, že funkce f je spojitá n množině N právě tehd, kdž je spojitá v kždém odě množin N vzhledem k množině N Je-li N D( ) spojitá f, říkáme, že funkce f je 4 DVOJNÝ RIEMANNŮV INTEGRÁL 4 Dvojný Riemnnův integrál n kompktním intervlu d l I kl l- c k- k or

Nechť, je kompktní (tj omezený uzvřený) intervl Dělením D, intervlu, udeme nzývt konečnou posloupnost čísel,,,, n tkovou, že píšeme tké D {,, } < < < < n < n ;,, n Bod,, n částečných intervlů,,,,, n, n,, dělí intervl, n n Nechť c, d je dlší kompktní intervl Dělením D c, intervlu c, d udeme d nzývt konečnou posloupnost čísel,,,, m tkovou, že píšeme tké D {,, } c < < < < m < m d ; c d,, m Bod,, m částečných intervlů,,,,, m, m,, dělí intervl c, d n m Uvžujme dvourozměrný intervl I, c, d Množinu všech odélníků tvru Ikl k, k l, l pro k,,, n, l,,, m oznčíme D udeme nzývt dělením intervlu I (vzniklým z dělení Budeme tké psát D { I kl } D,, c d D, ) Oznčme µ ( I ) velikost plošného oshu odélník I, tj ( I ) ( )( d c) µ Podoně ( I ) ( )( ) kl k k l l µ Definice Dimetrem (průměrem) množin předpisem dimm sup{, M } M R nzveme číslo dimm, definovné Definice Je-li D { I kl } liovolné dělení intervlu jko číslo D m{ dimi kl I kl D} I R, definujeme normu dělení D

Definice Nechť f je funkce dvou proměnných omezená n I D je dělení intervlu I určené děleními D,, c d D, Horním součtem příslušným k dělení D nzveme číslo S n m ( D) f (, ) ( )( ) sup f (, ) µ ( I ) k l I kl k k l l n m sup k l I kl kl Dolním součtem příslušným k dělení D nzveme číslo s n m ( D) f (, ) ( )( ) inf f (, ) µ ( I ) k l I kl k k l l n m inf k l I kl kl Vět Nechť f je funkce dvou proměnných omezená n I D je dělení intervlu I určené děleními D,, D c, d Potom pltí, že dolní součet, příslušný k dělení D, je nejvýše roven hornímu součtu příslušnému k témuž dělení,tzn ( D) S( D) s Definice Nechť D { I kl } D { I rs } jsou dvě dělení intervlu I Dělení D je zjemněním dělení D, jestliže ke kždému I rs D eistuje intervl Ikl D tk, že I I rs kl Definice Nechť D je dělení intervlu I určené děleními D,, c d D, Nechť D je, zjemněním dělení D, D c, d je zjemněním dělení D c, d Potom dělení D intervlu I určené děleními, D nzveme zjemněním dělení D c, d D, Vět Nechť f je funkce dvou proměnných omezená n I D je dělení intervlu I, D je zjemnění dělení D Potom pltí s( D) s( D ) S( D ) S( D) Vět Nechť f je funkce dvou proměnných omezená n I D, D jsou liovolná dělení intervlu I D je společné zjemnění D, D Potom pltí s( D ) S( ), s( D ) s( D ) S( D ) S( ) D D 4

Oznčme V množinu všech možných dělení D intervlu I, c, d Definice I Infimum množin horních součtů S ( D) pro všechn možná dělení D intervlu I oznčíme znkem (, ) funkce ( ) f, n intervlu I I f dd udeme je nzývt horním integrálem I (, ) d d in ( ) { } f f S D D V II Supremum množin dolních součtů s ( D) pro všechn možná dělení D intervlu I oznčíme znkem (, ) integrálem funkce ( ) f, n intervlu I I f dd udeme je nzývt dolním I (, ) d d su ( ) { } f p s D D V Vět Nechť f je funkce dvou proměnných omezená n I, pk pltí ( ) ( ) f, dd f, dd I I f, dd f, dd, nzýváme společnou hodnotu Definice Jestliže ( ) ( ) I dvojným Riemnnovým integrálem funkce ( ) ( ) I f, n intervlu I Říkáme, že funkce f, je riemnnovsk integrovtelná n intervlu I Pro dvojný Riemnnův integrál udeme používt stručné oznčení f ( ) I, dd f I 5

4 Dvojný Riemnnův integrál n množině M Definice Nechť funkci definovnou n M R nechť χ M znčí chrkteristickou funkci množin M, tj R předpisem χm (, ) [ ] [ ] R pro, M pro, M Definice Nechť I R nechť M I Říkáme, že M má Jordn-Penův ojem µ ( M ) právě tehd, kdž eistuje Riemnnův integrál funkce χ M přes intervl I ( ) ( ) µ M χm, dd I Definice Nechť I R je intervl nechť M I má Jordn-Penův ojem Je-li f (, ) funkce definovná lespoň n M, definujeme ( ) ( ) χ ( ) f, dd f, M, dd, pokud integrál vprvo eistuje Přitom M I kldeme f (, ) χ (, ) i v těch odech [, ] M, v nichž funkce f (, ) M přípdně definován není 4 Eistence dvojného Riemnnov integrálu spojité funkce Vět Nutná postčující podmínk pro eistenci dvojného Riemnnov integrálu Dvojný Riemnnův integrál n kompktním intervlu kdž pltí ( ε > )( D ): S( D) s( D) < ε I R eistuje, právě tehd Vět Postčující podmínk pro eistenci dvojného Riemnnov integrálu Nechť funkce ( ) integrál ( ) f, je spojitá n kompktním intervlu f, dd eistuje I I R Potom Riemnnův Vět Nechť funkce ( ) f, je spojitá n kompktním intervlu I R Je-li { D n } liovolná posloupnost dělení intervlu I tková, že Dn pro n, pk 6

(, ) d d lim (, ) lim (, ) f n s f Dn n S f Dn I 44 Vlstnosti dvojného Riemnnov integrálu Množinu M R udeme nzývt přípustnou olstí právě tehd, kdž je omezená její hrnici tvoří konečně mnoho prostých křivek Vět Nechť M je přípustná olst nechť f, f jsou funkce integrovtelné n množině M Jsou-li c, c liovolná čísl, pk tké lineární komince c f c f je integrovtelná n množině M pltí rovnost ( ) vlstnosti se říká linerit integrálu c f c f c f c f Této M M M 45 Fuiniov vět pro přípustnou olst () c() d() () or 4 Vět Nechť M je přípustná olst, nechť,,, jsou čísl ( ), ( ), c( ), d ( ) jsou funkce popisující tuto přípustnou olst nechť eistuje f, dd dvojný integrál ( ) M 7

Eistuje-li jeden z integrálů ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), g f, d,,, h f, d,, pk eistuje i druhý pltí d c ( ) M ( ) f, dd ( ) ( ) ( ) g d f, d d, ( ) d( ) h( ) d f (, ) d d c( ) 46 Výpočet ojemu těles pomocí dvojného Riemnnov integrálu Vět Nechť (, ) M R je přípustná olst Mějme n množině M definovánu funkci z f předpokládejme, že z Ojem V těles, jehož dolní podstvou je průmět množin M do rovin shor jej omezuje funkce z f (, ) V f, dd výpočtem dvojného integrálu ( ) M získáme 5 TROJNÝ RIEMANNŮV INTEGRÁL 5 Trojný Riemnnův integrál n kompktním intervlu Definice trojného integrálu je nlogická definici dvojného integrálu V prostoru R máme třírozměrný intervl I, c, d e, f Zvedeme dělení D intervlu I Rozdělíme intervl, od, i,,, m, intervl c, d od, j,,, n i j intervl e, f od z, k,,, p tk, že pltí k < < < < < m c < < < < < d n e z < z < z < < z < z f p p m n 8

Množinu všech kvádrů tvru Iijk i, i j, j zk, zk pro i,,, m, j,,, n, k,,, p oznčíme D udeme nzývt dělením intervlu I (vzniklým z dělení D,, c d D,,, D ) Budeme tké psát e f D { I ijk } Definice Nechť je dán funkce f tří proměnných definovná omezená n I D je dělení intervlu I určené děleními D,, c d D,, D e, f Horním součtem příslušným k dělení D nzveme číslo i i j j k k i, j, k Iijk ( ) sup (,, )( )( )( ) S D f z z z Dolním součtem příslušným k dělení D nzveme číslo i i j j k k Iijk i, j, k ( ) inf (,, )( )( )( ) s D f z z z Vět Nechť f je funkce tří proměnných omezená n I D je dělení intervlu I určené děleními D,, c d D,, D Potom pltí, že dolní součet, příslušný k dělení D, e, f je nejvýše roven hornímu součtu příslušnému k témuž dělení,tzn ( D) S( D) s Definice Nechť D { I ijk } { } D I rst jsou dvě dělení intervlu I, c, d e, f Dělení D je zjemněním dělení D, jestliže ke kždému I rst D eistuje intervl Iijk D tk, že I rst Iijk Definice Nechť D je dělení intervlu I určené děleními D,, c d D,, D, e f Nechť je zjemněním dělení D,, D zjemněním dělení c, D d c, D je zjemněním d e, f D, dělení D Potom dělení e, f D intervlu I určené děleními D,, D c, D d, nzveme zjemněním dělení D e f Vět Nechť f je funkce tří proměnných omezená n I D je dělení intervlu I, D je zjemnění dělení D Potom pltí s( D) s( D ) S( D ) S( D) 9

Vět Nechť f je funkce tří proměnných omezená n I D, D jsou liovolná dělení intervlu I D je společné zjemnění D, D Potom pltí s( D ) S( ), s( D ) s( D ) S( D ) S( ) D D Oznčme V množinu všech možných dělení D intervlu I, c, d e, f Definice I Infimum množin horních součtů S ( D) pro všechn možná dělení D intervlu I oznčíme znkem ( ) integrálem funkce f (,, z ) n intervlu I I f,, z dddz udeme je nzývt horním I (,, ) d d d in ( ) { } f z z f S D D V II Supremum množin dolních součtů s ( D) pro všechn možná dělení D intervlu I oznčíme znkem ( ) dolním integrálem funkce f (,, z ) n intervlu I I f,, z dddz udeme je nzývt (,, ) d d d su ( ) I { } f z z p s D D V Vět Nechť f je funkce tří proměnných omezená n I, pk pltí (,, ) d d d (,, ) f z z f z dddz I I f z z f z dddz, nzýváme společnou Definice Jestliže (,, ) d d d (,, ) I hodnotu trojným Riemnnovým integrálem funkce f (,, z ) n intervlu I I

Říkáme, že funkce f (,, ) z je riemnnovsk integrovtelná n intervlu I Pro trojný Riemnnův integrál udeme používt stručné oznčení f (, z) dddz I, f I 5 Trojný Riemnnův integrál n množině M Definovli jsme Riemnnův integrál přes intervl, c, d e, f Nní tuto definici rozšíříme n integrci přes liovolnou přípustnou olst Množinu M R udeme nzývt přípustnou olstí právě tehd, kdž je omezená její hrnici tvoří konečný počet prostých po částech hldkých ploch Definice Nechť M R je přípustná olst nechť f je funkce definovná omezená n množině M nechť I je intervl v funkci g předpisem g (,, z) R tkový, že M (,, ) [,, ] [ ] f z pro z M pro,, z I M I Definujeme Definice Je-li funkce g integrovtelná n I, pk definujeme ( ) ( ) f,, z ddd z g,, z dddz Říkáme pk tké, že funkce f je M integrovtelná n množině M I 5 Vlstnosti trojného Riemnnov integrálu Vět Nechť M je přípustná olst nechť f, f jsou funkce integrovtelné n množině M Jsou-li c, c liovolná čísl, pk tké lineární komince c f c f je integrovtelná n množině M pltí rovnost ( ) vlstnosti se říká linerit integrálu Této c f c f c f c f M M M

54 Fuiniov vět pro přípustnou olst Vět Nechť M je přípustná olst v R, nechť, ( ), ( ), c(, ), d (, ) popisují hrnici olsti M Nechť tj množin tj {(, ) ( ) ( ( ) ( ))} M, jsou čísl funkce M je průmět množin M do rovin Nechť pro kždé ɶ, je {(, ) ( ( ) ( )) ( (, ) (, ))} Mɶ z ɶ ɶ c ɶ z d ɶ, M ɶ je průmět řezu množin M rovinou rovnoěžnou s rovinou z procházející dným odem ɶ do rovin z Konečně nechť eistuje trojný integrál ( ) f,, z dddz M Eistuje-li pro kždé, pk eistuje i integrál g ( ), dvojný integrál ( ) ( ) d pltí M M ( ) (, ) d ( ) (, ) c g f,, z ddz f (,, z) dddz g ( ) d f (,, z) ddz d ( ) M f,, z dzdd Eistuje-li pro kždé [ ] M integrál ( ) ( ), pk eistuje i integrál h( ), dd pltí M ( ) (, ) d ( ) (, ) c (, ) d h, f,, z dz, ( ) (, ) c d(, ) f (,, z) ddd z h(, ) dd f (,, z) dz dd (, ) M M M c f,, z dzdd

55 Výpočet ojemu těles pomocí trojného Riemnnov integrálu Vět Nechť M R je přípustná olst, pk pro ojem V množin M pltí V dddz M 6 FYZIKÁLNÍ APLIKACE INTEGRÁLU 6 Hmotnost těles Hmotnost je vlstnost hmot, která vjdřuje míru setrvčných účinků hmot či míru grvitčních účinků Uvžujeme-li s rovnoměrným rozložením látk v prostoru, lze pro výpočet hmotnosti těles použít vzth dm σ dv ( dm je diferenciál hmotnosti v dném ojemu dv,σ je hustot těles) Pro hmotnost ted pltí m σ dv V Vět Je-li (,, z) σ hustot těles M R přípustná olst, pk pro celkovou hmotnost těles M pltí ( ) σ ( ) m M,, z ddd z M 6 Sttické moment těles Sttický moment těles (hmotného odu) vzhledem k odu, přímce neo rovině, je součin hmotnosti těles (hmotného odu) jeho kolmé vzdálenosti k dnému odu, přímce neo rovině Odvodíme si vzth pro sttické moment těles vzhledem k rovinám, z z

Diskrétní rozložení hmot Pro sttické moment hmotného odu vzhledem k již zmíněným rovinám pltí S m z, S m, S m z z Pro n hmotných odů určíme celkový sttický moment jko součet sttických momentů jednotlivých hmotných odů Všechn sttické moment jednotlivých hmotných odů se určují ke společné rovině Můžeme pk psát n n n S m z, S m, S m i i z i i z i i i i i Spojité rozložení hmot Uvžujeme-li hmotu jko spojitě rozloženou, lze celkový sttický moment získt integrcí přes celý ojem V prostoru (popř přes ojem prostoru oshující hmotu) dm Pokud nvíc použijeme vzth σ, kde σ je hustot, dostneme dv S zdm σ zd V, S dm σ d V, S dm σ d V z z M V M V M V Vět Je-li M R přípustná olst s hustotou σ (,, z), pk pro výpočet sttického momentu S ( M ) vzhledem k rovině, sttického momentu ( M ) S z vzhledem k rovině z sttického momentu S z ( M ) vzhledem k rovině z pltí vzth ( ) σ ( ) S M z,, z dddz M ( ) σ ( ) S M,, z dddz z M ( ) σ ( ) S M,, z ddd z z M 4

6 Moment setrvčnosti těles Moment setrvčnosti je fzikální veličin, která vjdřuje míru setrvčnosti těles při otáčivém pohu Její velikost závisí n rozložení hmot v tělese vzhledem k ose otáčení Bod (části) těles s větší hmotností umístěné dál od os mjí větší moment setrvčnosti Diskrétní rozložení hmot Při otáčivém pohu soustv hmotných odů kolem nehné os opisují jednotlivé hmotné od kružnice, jejichž střed leží n ose otáčení Úhlová rchlost ω všech odů je stejná Celkovou kinetickou energii určíme jko součet kinetických energií všech n hmotných odů soustv, tzn E, n k mivi i kde m i je hmotnost i-tého hmotného odu, v i je velikost jeho rchlosti Kdž vužijeme toho, že rchlost odu při kruhovém pohu je přímo úměrná vzdálenosti odu od os otáčení ( v ωr) ve tvru, můžeme vzth pro kinetickou energii npst E m r m r I n n k i i ω ω i i ω i i kde r i je (kolmá) vzdálenost i-tého hmotného odu od os otáčení veličin I předstvuje moment setrvčnosti těles vzhledem k ose otáčení Moment setrvčnosti soustv hmotných odů je tk definován vzthem n n n i i i I m r m r m r m r 5

Spojité rozložení hmot Je-li těleso složeno z jednotlivých částic, lze jeho moment setrvčnosti sndno určit pomocí součtu Je-li všk hmot rozložen spojitě, je tře tento součet nhrdit integrálem, kde se integrce provádí přes celé těleso o hmotnosti m I r dm M m n mi i Je-li σ hustot, pk dm σ dv, kde V je ojem těles moment setrvčnosti lze vjádřit ve tvru I r σ dv V V přípdě, že těleso je homogenní ( σ konst ), je možné předchozí vzth zjednodušit I σ r dv V Vět Je-li M R přípustná olst s hustotou σ (,, z), pk pro její moment setrvčnosti I ( M ) vzhledem k ose, I ( M ) vzhledem k ose I z ( ) k ose z pltí ( ) ( ) σ ( ) I M z,, z dddz M ( ) ( ) σ ( ) I M z,, z dddz M ( ) ( ) σ ( ) I M,, z ddd z z M M vzhledem 64 Souřdnice těžiště těles Těžiště (hmotný střed) je půsoiště grvitční síl půsoící n těleso Těžiště je tkový od, že půsoení grvitční síl n něj má stejný účinek jko půsoení n celé těleso Má-li ýt těleso podepřeno (neo zvěšeno) v jednom odě tk, grvitční síl l vrovnán, pk svislá těžnice musí procházet odem podepření neo závěsu 6

Diskrétní rozložení hmot Mějme soustvu n částic umístěných n ose, jejich celková hmotnost je m n mi i m m m n nn Jejich těžiště je v odě o souřdnici t mi i m m i Jsou-li částice soustv umístěn v trojrozměrném prostoru, je poloh jejich těžiště určen trojicí rovnic n n n m, m, z m z t i i t i i t i i m i m i m i Spojité rozložení hmot Jestliže předpokládáme spojité rozložení hmot, musíme nhrdit součt v rovnicích integrálem těžiště definovt vzthem t d m, t d m, t dm m m m M M M A kdž vjádříme hmotnost pomocí hustot, dostneme pro všechn tři souřdnice těžiště těles vzth t d V, t d V, zt z dv m σ σ σ m m V V V jednotlivé integrál můžeme nkonec nhrdit sttickými moment těles vzhledem k příslušným rovinám Vět Pro souřdnice [ ( M ) ( M ) z ( M )], těžiště těles M pltí t t, ( ) ( ) t ( M ) ( ) ( ) ( ) S z M S S M z t ( M ), t ( M ), zt ( M ) m M m M m M 7

PRAKTICKÁ ČÁST OBSAHY Trojúhelník A f () v f () P P B C or 5 Při odvozování oecného vzorce pro osh trojúhelník o strnách,, c povžuji z nejvýhodnější umístit trojúhelník do krtézské soustv souřdnic jko n orázku Je n něm doře vidět, že trojúhelník je shor ohrničen dvěm různými funkcemi f ( ), f ( ) Tu část vlevo od os ohrničuje funkce f ( ) tu vprvo funkce ( ) f Povžuji proto z vhodné spočítt osh levé části P prvé části P zvlášť potom sečíst jednotlivé osh Při zjišťování předpisu funkce f ( ) můžeme vcházet npříkld z toho, že prochází od B[ ;] [ ] hledáme, je A ;v Potom už jednoduše dojdeme k tomu, že funkce, kterou 8

v f ( ) v Stejně udeme postupovt i u f ( ), která prochází od C [ ;] [ ] A ;v Její předpis je v f ( ) v Při výpočtu oshu P udou integrční meze, v d v P v v Při výpočtu oshu P udou integrční meze, v d v P v v Výsledný osh P je součtem oshů P P v v v v P P P ( ) Oecný vzorec pro osh trojúhelník je v P 9

Elips or 6 Funkci f ( ) v tomto přípdě odvodíme z nltického předpisu pro elipsu V nltické geometrii jsme pro elipsu používli vzorec Z něj si vjádříme udeme znát funkce, které popisují elipsu f ( ) ± Elips je osově smetrická podle hlvní i vedlejší os při umístění n orázku to znmená, že je tké souměrná podle os Toho můžeme vužít vpočítt osh P, který ude jen oshem části elips ncházející se v prvním kvdrntu Funkci udeme psát ve tvru f ( ) čtřikrát větší Celkový osh P elips ude pochopitelně Při výpočtu oshu P udeme integrovt v mezích od do 4

P d - d použijeme sustituci sin t t t sin P cos tdt 4 4 Pro celkový osh P elips pltí: P 4P 4 4 Oecný vzorec pro osh elips je P Kruh r r r or 7 Při odvozování vzorce pro osh kruhu udu postupovt velmi podoně jko r f ± r u elips ( ) 4

Kruh je osově smetrický podle všech přímek procházejících jeho středem, proto tké podle os Opět ted odvodím jen vzorec pro osh P části kruhu ncházející se v prvním kvdrntu pro doszení do vzorce P(, f ( ) ) f ( ) f ( ) r Celkový osh P ude čtřikrát větší, d použiji funkci Při výpočtu oshu P udou integrční meze, r r r P r d r d r použijeme sustituci r sin t t sin t r P r cos tdt r 4 4 r P 4P 4 r 4 Oecný vzorec pro osh kruhu je P r 4

4 Strofoid - or 8 V přípdě strofoid udeme hledt vzorec pro výpočet oshu smčk této křivk Funkci f ( ), kterou použijeme ve vzorci P(, f ( ) ) f ( ), d, odvodíme z nltického předpisu pro strofoidu Vjádříme si ze vzthu ( ) ( ) f ( ) ± Protože strofoid není funkce, le křivk popsná dvěm funkcemi f ( ), f ( ), musíme zjistit, která z těchto funkcí popisuje část křivk omezující intervl, shor Kdž si zkusíme dosdit z liovolnou hodnotu z intervlu,, vidíme, že funkce ( ) f nývá záporných hodnot funkce ( ) f hodnot kldných Z toho vplývá, že udeme prcovt s funkčním předpisem f Protože je strofoid souměrná podle os, můžeme pro ( ) f ( ) zjednodušení integrovt jen horní polovinu strofoid osh násoit dvěm 4

44 Z dolní mez doszujeme číslo ( ), horní mez je rovn d P použijeme sustituci ( ) d 4 d ( ) ( ) 4 4 d 8 d P Výrz v integrálu převedeme n prciální zlomk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F D B E C A D B C A B A F E D C B A 4 5 4 4 F D B E C A D B C A B A : : : : : : 4 5 F E D C B A ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) M L K P d 6 d 4 d 8

Jednotlivé integrál si můžeme oznčit K, L, M spočítt je kždý zvlášť K 8 d 8 ( ) [ rctg] Pro L, M použijeme rekurentní vzorec, který nám umožňuje mocninu ve jmenovteli postupně snižovt o jedničku n d n n ( ) ( ) n n ( ) n d ( ) ( ) L 4 d rctg 6 M 6 d rctg ( ) ( ) ( ) 4 4 rctg 4 4 ( ) 8 ( ) 8 P K L M 6 4 Oecný vzorec pro osh smčk strofoid je P 45

OBJEMY ROTAČNÍCH TĚLES Rotční kužel f()k r v or 9 d Pro odvození ojemu použijeme vzorec pro ojem rotčních těles V f ( ) Rotční kužel vznikne rotcí trojúhelník n orázku kolem os Potřeujeme znát konkrétní tvr funkce f ( ) k q ohrničující trojúhelník n orázku shor Vidíme, že grfem funkce je přímk procházející počátkem soustv souřdnic V tomto přípdě k můžeme odvodit npříkld následovně: q hledná funkce ude ve tvru ( ) k v r r v k Předpis funkce, která popisuje přímku n orázku, je ( ) f r v r v f Směrnici 46

Nní musíme integrovt odvozenou funkci podle vzorce V f ( ) d ; r, v jsou konstnt Pro meze pltí, v v v r r V d r v v v Oecný vzorec pro ojem rotčního kužele je V r v Komolý rotční kužel f()kq r r v or Pro odvození ojemu můžeme vužít vzorce pro ojem rotčních těles V f ( ) orázku omezuje shor d K tomu potřeujeme předpis funkce pro přímku, která čtřúhelník n Odvodíme ho následovně: Oecně lze lineární funkci zpst tkto: f ( ) k q 47

q je posunutí grfu funkce f ( ) ve směru os V tomto přípdě to znmená vzdálenost r to je poloměr horní podstv komolého rotčního kužele Směrnici k chceme tké vjádřit pomocí poloměrů výšk kužele M víme, že r r k tgϕ v Tkže nní už můžeme npst funkci popisující přímku r r f v ( ) r Protože r, r, v jsou konstnt pro meze pltí, v, tk výpočet ojemu je už sndný ( r r r r ) v ( r r ) r ( r r ) v v r r v d [ ] v v v V r r v 6 v Oecný vzorec pro ojem komolého rotčního kužele je V ( r r r r ) 6 48

Rotční proloid r v or Při odvozování vzorce pro ojem rotčního proloidu (těles omezeného rotčním proloidem rovinou kolmou k jeho ose ve vzdálenosti v od vrcholu proloidu) můžeme opět vužít vzorce pro ojem rotčních těles V f ( ) d Rotční proloid vznikne rotcí červeně ohrničeného útvru n orázku kolem os Výšk rotčního proloidu je ted v poloměr podstv si můžeme oznčit r Funkční předpis pro prolu, umístěnou v krtézské soustvě souřdnic jko n orázku, je p Protože chceme, ve vzorci figurovl výšk v poloměr r, vužijeme toho, že n prole leží od o souřdnicích [ v, r ] r r p r pv p f ( ) v v d ; Tkto uprvený funkční předpis udeme integrovt podle vzorce V f ( ) r, v jsou konstnt Pro meze pltí, v 49

v v r r V d r v v v Oecný vzorec pro ojem rotčního proloidu je V r v 4 Koule r r or Pro odvození vzorce ojemu koule můžeme opět vužít vzorce pro ojem rotčních těles V tomto přípdě nám ude kolem os rotovt půlkružnice omezená osou Půlkružnice je le smetrická (osově souměrná s osou ), tk se můžeme změřit pouze n první kvdrnt Funkci, kterou udeme integrovt, si odvodíme z nltického předpisu pro kružnici r tk, že si vjádříme f ( ) ± r Protože nás ude zjímt jen první kvdrnt, můžeme použít funkci ve tvru f ( ) r 5

Nní udeme integrovt odvozenou funkci podle vzorce V f ( ) d ; r jsou konstnt Pro meze pltí, r r r r 4 d ( ) [ ] V r r r r Oecný vzorec pro ojem koule je V 4 r 5 Anuloid r (-) r or Protože se jedná o rotční těleso, tk pro odvození ojemu můžeme opět vužít vzorce pro ojem rotčních těles V f ( ) vznčené n orázku kolem os d Anuloid vznikne rotcí kružnice 5

Vzdálenost středu kružnice od počátku soustv souřdnic (jedná se vlstně o poloměr nuloidu) jsem oznčil, poloměr kružnice je r Anltický předpis pro tkto umístěnou kružnici je ( ) r Kružnici můžeme popst dvěm funkcemi, horní polovinu kružnice funkcí f ( ) r f ( ) r dolní polovinu funkcí Při výpočtu ojemu se ude vlstně jednt o rozdíl dvou těles, která vzniknou rotcí kolem os První těleso ude shor ohrničeno funkcí f ( ) druhé těleso ude shor ohrničeno funkcí f ( ) Protože je tkto umístěný nuloid souměrný i podle os, můžeme počítt s mezemi, r Kdž le použijeme tto meze, musíme ojem zdvojnásoit, protože jink chom dostli jen ojem části nuloidu nprvo od os V tomto přípdě jsou konstnt, r k Pro meze pltí, r r r ( ) ( ) V r d r d r ( ) ( ) r r r d 4 r d r 8 r d r použijeme sustituci r sin t [ ] [ ] V 8 r cos tdt 4 r t r sin t r Oecný vzorec pro ojem nuloidu je V r 5

DALŠÍ ZPŮSOBY VÝPOČTU OBSAHŮ GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ A OBJEMŮ TĚLES Osh geometrického útvru Chtěl ch ukázt různé přístup vužití jednoduchého dvojného integrálu n příkldu, kde máme njít plošný osh útvru, pro který pltí podmínk 4 4 k k or 4 Jedná se o množinu ohrničenou dvěm kružnicemi První kružnice, oznčíme si ji k, má nltický tvr ( ), což znmená, že má poloměr střed v odě [ ] Druhá kružnice k má předpis ( ) 4, střed v odě [ ], poloměr, 5

Výpočet pomocí jednoduchého Riemnnov integrálu Při výpočtu pomocí jednoduchého Riemnnov integrálu používáme vzorec P,, f f d ( ( )) ( ) Pro náš přípd se le vzorec moc nehodí, protože si neumíme jednoduše vjádřit z dných předpisů pro kružnice Jk můžeme příkld vřešit? ) Útvr zorzíme v osové souměrnosti podle os kvdrntu ( ) Tvr orzce ude zchován, v nltickém vjádření to ude znment záměnu proměnných k k 4 or 5 Teď pltí pro kružnice: ( ) k : ±, k : ± 4 ( ) Osh útvru je roven rozdílu oshů kruhů vmezených kružnicemi k, k 4 ( ) ( ) ( ) ( ) P P k P k 4 d d O integrál si vřešíme zvlášť 54

( ) ( ) P k d Použijeme sustituci sin t cos d sin t P ( k ) t t t Druhý integrál spočítáme podoně 4 4 P ( k ) 4 ( ) d 4 d Použijeme sustituci sin t ( ) sin t 8 cos d 4 4 P k t t t ( ) ( ) P P k P k 4 Osh orzce ohrničeného kružnicemi je ) Oě kružnice posuneme tk, střed kždé z nich l ve středu krtézské soustv souřdnic Tím se změní tvr útvru nltické vjádření kružnic, nicméně osh mezi kružnicemi zůstne zchován udeme schopni jej vřešit Pro kružnice pltí: ( ) k : ±, k : 4 ± 4 ( ) 55

Stejně jko v předchozím přípdě ude osh útvru roven rozdílu oshů kruhů vmezených kružnicemi k, k le nrozdíl od předchozího příkldu udeme sustituovt trošku jednodušší výrz, jink je řešení velmi podoné ( ) ( ) P P k P k 4 4 d 4 d 4 Výpočet pomocí dvojného Riemnnov integrálu 4 P P or 6 Osh útvru mezi kružnicemi při výpočtu pomocí dvojného integrálu ude roven dvojnásoku součtu oshů P P n orázku P ( P P ) Osh jednotlivých útvrů si spočítáme opět zvlášť 4 4 ( ) 4 P d d d 56

Použijeme sustituci sin t 4 cos d sin t P t t t Nní spočítáme osh P 4 ( ) P d d 4 ( ) d ( ) d ( ) sin t sin t t t P ( P P ) Osh orzce ohrničeného kružnicemi je 57

Ojem elipsoidu z c or 7 Odvození vzorce pomocí jednoduchého Riemnnov integrálu Jednoduchým Riemnnovým integrálem lze odvodit vzorec pro ojem rotčního elipsoidu můžeme rozlišovt přípd ) Rotční elipsoid vznikne rotcí elips kolem os (poloos ) 4 d [ ] V Pro poloosu c pltí: c 58

) Rotční elipsoid vznikne rotcí elips kolem os (poloos ) ( ) d d V f použijeme sustituci t V 4 tdt tdt použijeme sustituci u t 4 ( ) V udu u du Pro poloosu c pltí: c Odvození vzorce pomocí dvojného Riemnnov integrálu Rovnice, kterou je elipsoid s poloosmi,, c, popsán v krtézských souřdnicích, má tvr z c Pro zjednodušení udeme integrovt jen horní půlelipsoid, který je omezen rovinou z plochou z c, jejíž rovnici dostneme z rovnice elipsoidu Nesmíme le potom zpomenout, že ojem celého elipsoidu ude dvojnásoný Při určování mezí integrálů udeme vcházet z toho, že podstv půlelipsoidu je omezen elipsou 59

- - or 8 Víme, že může nývt hodnot, Hodnot, kterých ude nývt ová složk již udou závislé n tuto závislost si vjádříme z rovnice ± udeme integrovt v mezích, udeme integrovt v mezích, V c d d Nejdříve si spočítáme integrál v závorce, můžeme si ho oznčit A Můžeme tké provést sustituci konstnt m, protože výrz se při integrci podle chová jko 6

m m A d m d m d m m m použijeme sustituci m sin t cost sin t A m cos tdt m dt t m Teď dosdíme z m zse zpět odmocninu, protože udeme integrovt podle 4 V c ( A) d c d c c Oecný vzorec pro ojem elipsoidu je V 4 c Odvození vzorce pomocí trojného Riemnnov integrálu z Opět udeme vcházet z rovnice, kterou je elipsoid popsán c v krtézských souřdnicích udeme integrovt v mezích, udeme integrovt v mezích, z udeme integrovt v mezích c, c 6

Trojný integrál sestvíme následovně: c V dz d d c Pro zjednodušení výpočtu vužijeme toho, že elipsoid je osově smetrický podle všech souřdnicových os c V dz d d 8 c d d Výrz v tomto tvru je stejný jko u dvojného integrálu, tkže dále chom už postupovli stejně V 4 c Ojem kvrtoidu Ploch kvrtoidu je dán předpisem z ( ), kde je prmetr Máme-li n msli ojem kvrtoidu, je to ojem těles ohrničeného touto plochou rovinou kolmou k ose souměrnosti kvrtoidu v liovolné výšce v (vzdálenosti od vrcholu) Vrchol kvrtoidu je v počátku soustv souřdnic 6

z v V V or 9 Odvození vzorce pomocí jednoduchého Riemnnov integrálu Při odvozování vzorce pro ojem kvrtoidu můžeme postupovt následovně Njdeme jeho průsečnici s rovinou z, tkže volíme dostáváme rovnici z 4 Jedná se o předpis mocninné funkce, grfem je křivk podoná prole Jko nejjednodušší řešení při odvozování se nízí vužití vzorců pro ojem rotčních těles V f d ) Uvžujme přípd, že těleso rotuje kolem os z, potom ( ) Protože vzorec můžeme použít při výpočtu ojemu rotčního těles, které je omezeno ve směru os z funkcí ( ) rozdíl ojemu V válce o výšce v poloměru orázek) f funkcí z, musíme výsledný ojem počítt jko 4 v rotčního těles o ojemu V (viz 4 4 v 4 v V d ; V vd 6

4 v 4 v 4 6 V V V v d v v v 6 Oecný vzorec pro ojem kvrtoidu je V v v ) Kdž pootočíme soustvu souřdnic o 9, dostneme nlogickou situci jko v přípdech, kdž jsme počítli ojem rotčních těles rotujících kolem os pomocí V f d jednoduchého Riemnnov integrálu ( ) v z or Pro tento náš přípd si vzorec pozměníme ( ) 4 integrovt, vjádříme si f ( z), tj ( ) V f z dz Achom mohli f z z Protože z ude nývt hodnot od do v, kde v je výšk kvrtoidu, můžeme do vzorce dosdit dostáváme: 64

( ) v 4 V z dz z v v v Odvození vzorce pomocí trojného Riemnnov integrálu Nejdůležitější je správně zvolit meze, ve kterých udeme integrovt ová složk nývá hodnot v, v 4 4 Při určování mezí ové složk vcházíme z toho, že řezem kvrtoidu rovinou z v ude kružnice ( ) 4 v, tkže pltí v v ; Hodnot z ové souřdnice jsou omezen zespod plochou kvrtoidu shor rovinou z v z ( ) ; v 4 v v v V dz d d 4 v v ( ) Ještě než se pustíme do integrování, ude vhodné si integrci trošku zjednodušit, zvedeme sustituci v m tké vužijeme smetrie kvrtoidu 65

m m v m m V 4 dz d d 4 v ( ) d d ( ) m 5 m 4 5 4 v d m 4 d ( ) ( ) m m m m m 4 4 v m m d 5 4 6m 4m v m m d m d m d 5 5 5 6m 4m 4v A B C A 5 5 5 m m m Jednotlivé integrál jsem oznčil A, B, C Bude jednodušší, kdž si vřeším kždý zvlášť m A m d Použijeme sustituci m sin t m m m A m t t t t 4 4 4 cos d [ ] [ sin ] m 4 B m d použijeme stejnou sustituci jko v předchozím přípdě m 4 4 m ( ) B m d m sin t cos tdt cos t dt m m ( cos t cos t ) dt ( cos t cos t cos t ) dt 8 m m m m d cos d cos 4 d cos ( sin ) d 6 t t t t t t t t 8 6 8 66

První tři integrál jsou jednoduché, při integrci čtvrtého použijeme sustituci sin t k [ ] [ sin ] [ sin 4 ] B m t m t m t m k k m 6 6 64 6 m m m m C m d m sin t cos tdt t sin 4t 8 6 [ ] [ ] Nní můžeme dosdit A, B, C pokrčovt ve výpočtu ojemu m m 6m m 4m m m V 4v mv 4 5 5 6 5 4 Vrátíme se k původní sustituci dosdíme ( v ) V v v v v m v I touto cestou jsme dospěli k tomu, že oecný vzorec pro výpočet ojemu kvrtoidu je V v v, le vidíme, že pomocí vzorce pro ojem rotčních těles l integrce podsttně jednodušší 67

4 Ojem prvidelného čtřokého jehlnu z M v K L or Pro odvození vzorce ojemu jehlnu vužijeme trojného integrálu, jko nejvýhodnější se jeví umístění jehlnu do soustv souřdnic jko n orázku Vidíme, že u smetrického jehlnu stčí vpočítt ojem části jehlnu v prvním oktntu, výsledný ojem ude čtřikrát větší Budeme počítt ojem V čtřstěnu, jehož vrchol jsou od K, L, M počátek soustv souřdnic Čtřstěn je omezen rovinmi,, z rovinou ρ, která je určen od K, L, M Anltické vjádření rovin ρ můžeme zjistit následujícím způsoem Nejdříve si vjádříme souřdnice odů K, L, M pomocí výšk jehlnu v délk strn [ α,, ]; [, α, ]; [,, ] K L M v, kde α Po doszení do oecné rovnice rovin cz d dostáváme d d d ; ; c α α v 68

Ted oecná rovnice rovin ρ je v v z v Ojem V udeme počítt pomocí trojného integrálu, kde udeme integrovt v mezích udeme integrovt v mezích ; ; z udeme integrovt v mezích v v ; v v v v v v V dz d d v d d v v v v d v v d 4 v z v v 4 6 v v V V v 4 4 Oecný vzorec pro výpočet ojemu prvidelného čtřokého jehlnu je V v 69

4 TĚŽIŠTĚ TĚLESA, STATICKÉ MOMENTY 4 Elipsoid Pomocí uvedených vzorců můžeme npříkld ověřit, že těžiště elipsoidu s jednotkovou hustotou je ve středu elipsoidu Při umístění středu elipsoidu do středu krtézské soustv i těžiště mělo ýt ve středu krtézské soustv souřdnic σ (,, z) Ve vzorci pro souřdnice těles figurují sttické moment hmotnost těles, která je pro jednotkovou hustotu těles rovn ojemu těles m 4 ( M ) c Spočítáme jednotlivé sttické moment těles Zčneme momentem S z ( M ) vzhledem k rovině z, kde můžeme použít některé části z odvozování ojemu elipsoidu c S z ( M ) σ (,, z) dddz ( ) dz d d M c Protože integrce podle nás čeká ž nkonec, můžeme vtknout jko konstntu, použít stejný postup jko u integrce smotného elipsoidu nvázt v místě, kde integrujeme podle 4 S z ( M ) c d c 4 Sttický moment S z ( M ) vzhledem k rovině z je roven 7

Protože při určování mezí elipsoidu můžeme zčít od liovolné souřdnice, umíme si integrál připrvit tk, integrce podle proměnné, která je osžen ve vzorci, následovl ž nkonec, potom nlogick celý integrál spočítáme Pro sttické moment ted pltí S ( M ), S ( M ), ( M ) z S z 4 Teď už jen dosdíme do vzorců pro souřdnice [ ( M ) ( M ) z ( M )] M pltí: t, těžiště těles t t, S z ( M ) ( M ) m( M ) 4, ( ) Sz ( M ) t M, zt ( M ) m( M ) c t ( M ) ( ) S m M Souřdnice těžiště elipsoidu v krtézské soustvě souřdnic jsou [,,], z čehož vplývá, že těžiště elipsoidu leží v jeho středu 7