Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk
Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí oor fukcí ) ( ) log e) ( ) cos log ) log f) ( ) cos log c) ( ) log g) 7 d) cos Sestrojte grf fukcí ) ) c) d) e) π π π ; si f) cos g) si
h) si i) π si Určete vlstosti fukcí sestrojte jejich grf ) l f) log ) g) c) ( ) h) log i) log d) ( ) e) Určete iverzí fukci k fukci ; Z průěhu epoeciálí logritmické fukce hrďte zk zmékem erovosti tk výrok l prvdivý ) 7 ) c) m > 7 m d) log e) log f) log Určete všech R pro která je fukce která klesjící 7 Určete pro která s R je defiová fukce která s je fukce rostoucí pro která klesjící 8 7 log m < log 7 m s rostoucí pro Určete pro 8 r g Logritmujte výrz (dekdický logritmus) r t r 9 Určete jk dlouho z jké výšk pdá těleso volým pádem jestliže v posledí sekudě svého pádu urzí jedu třetiu celkové dráh Odvoďte si α cos α pomocí vhodých goiometrických vzthů cos π π Vpočtěte hodotu výrzu je-li cos cos Bez použití tulek klkulátorů určete hodot osttích goiometrických π fukcí je-li si ; π Rovice Řešte v R rovici: l l e e e log( ) log( ) log( ) log log si si cos tg cotg 7 si cos 8 cos cos cos 9 si si 7 si cos si cos si 7 8
7 8 9 Prík potřeovl plvu dlouhou 8 km proti proudu 8 km zpět dohromd hodi Jkou rchlostí jel prík po klidé vodě l-li rchlost proudu kmh -? Rovice s prmetrem Řešte v R rovici s ezámou prmetrem: m m m m m m k k ( m ) ( m ) ( m ) Soustv rovic Řešte v R soustvu z z 7 z z 9 z z 9 log log log log 8 Je dá soustv rovic o dvou ezámých R s prmetrem m R Určete hodot prmetru m tk průsečík grfů l ve III kvdrtu m 7 Po okruhu dlouhém m jezdí dv motockl tkovými rchlostmi že se potkávjí kždou miutu jezdí-li proti soě doháějí se kždých pět miut jezdí-li týmž směrem Určete jejich rchlosti 8 9 Vpočtěte I I I v elektrickém ovodu jeli dáo U V U V R Ω R Ω R 7Ω I R I R I Nerovice Řešte v R erovici eo soustvu R U U
Zorzte zpište itervl moži { R; < } M { R; } < < Řešte grfick si > cos tg 7 Zorzeí M 7 Sestrojte ABC je-li dáo v cm ::c :: Určete tp zorzeí který vužijete při řešeí 7 V rovormeém trojúhelíku o zákldě z 8 cm rmeech r 7 cm vpočtěte výšk 7 Sestrojte ABC je-li dáo ::c :: t c 7 cm 7 Jsou dá kružice k (S ; cm) k (S ; cm) S S 8 cm Njděte od z ichž jsou oě kružice vidět pod stejým zorým úhlem 7 Vpočtěte délku společé vitří teč kružic k (S ; cm) k (S ; cm) S S 8 cm 8 Rovié orzce 8 Sestrojte velikosti úsečk 7 pomocí Eukleidových vět Pthgorov vět 8 Určete velikosti těžic prvoúhlého trojúhelíku je-li odvěs cm α 8 Pomocí ) Pthgorov vět ) Eukleidov vět o výšce vpočítejte poloměr mostího kruhového olouku o rozpětí 8 m výšce v m 8 Sestrojte úsečku délk je-li > 8 Vpočítejte délk str prvoúhlého trojúhelíku ABC s přepoou c je-li t cm t cm 8 V trojúhelíku ABC pltí α : β : : : Určete jeho vitří úhl 87 Vpočtěte výšku kopce jehož vrcholu je rozhled vsoká cm Její vrchol ptu je vidět ze stoviště v údolí pod výškovými úhl α 9 β 7 88 Ze všech trojúhelíků s dou strou dým úhlem α ležícím proti í jděte trojúhelík s ejvětším ovodem 89 Sílu F N která půsoí hmotý od A rozložte složk F F tk úhel F 9 F 7 F F 8 Tři síl jejichž velikosti jsou v poměru 9::7 půsoí v roviě v jedom odě tk že jsou v rovováze Určete velikosti úhlů mezi jedotlivými silmi 8 Kružice je rozděle dv olouk jejichž délk jsou v poměru : V jkém poměru jsou osh oou úsečí? 8 Vpočtěte osh prvidelého dváctiúhelíku je-li délk jeho ejkrtší úhlopříčk u cm 8 Určete celá čísl udávjící velikosti str prvoúhlého trojúhelíku jehož ovod i osh jsou vjádře týmž číslem 8 Výšk rovoěžé str lichoěžíku jsou v poměru :: osh je cm Určete velikost výšk záklde 8 V prvidelém -úhelíku je velikost vitřího úhlu α 8 poloměr kružice vepsé je r cm Určete teto -úhelík vpočítejte jeho osh velikost jeho str 9 Těles 9 Podstvou kosého hrolu je trojúhelík v ěmž poloměr kružice opsé je r cm úhl α β Poočá hr h cm svírá s roviou podstv úhel ϕ 7 Vpočtěte ojem hrolu 9 Kvádr má ojem 7 dm jeho rozměr jsou v poměru : : jeho povrch tělesovou úhlopříčku Vpočtěte 9 Kolmý trojoký hrol jehož podstv je prvoúhlý trojúhelík má ojem cm osh ejvětší stě S cm tělesová výšk cm Vpočtěte délk podstvých hr
9 Ojem prvidelého -tiokého hrolu je V [ j ] Délk podstvé hr k délce výšk v je v poměru : Vpočtěte povrch hrolu 9 Prvidelý čtřoký jehl jehož podstvé očí hr mjí tutéž délku má ojem V určete délk hr povrch těles 9 Prvidelý čtřstě má hru Vpočtěte jeho výšku ojem povrch odchlku hr od rovi stě v íž eleží 97 V erotčím kuželi je ejdelší str s cm ejkrtší s cm 98 Podstvou kosého čtřokého jehlu ABCDV je čtverec o strě cm výškou je poočá hr VD cm Vpočtěte povrch jehlu 99 Rotčí kužel válec mjí shodé podstv o poloměru o poloměru r stejé velikosti výšek i plášťů Jk jsou vsoké? (Poz vjádřete výšku v jko fukci poloměru r ) 9 Je dá ojem V 9π [ j ] rovostrého kužele V jké vzdáleosti od vrcholu kužele je tře vést řez roviou rovoěžou s podstvou která rozdělí dý kužel dvě těles se stejými ojem? 9 Tvrdost mteriálu se zjišťuje zkouškmi Jedou z ich je Briellov zkoušk Při í se do testového mteriálu tvru rovié desk tlčí kosttí silou po určitou dou ocelová kuličk o průměru d Tím se v mteriálu vtlčí prostor tvru kolové úseče o průměru podstv d ) Určete do jké hlouk l kuličk vtlče je-li d mm d mm? ) Vpočtěte osh kulového vrchlíku který je částí hrice vtlčeé kulové úseče 9 Vpočtěte ojem kulové vrstv poloměr koule je-li dáo ρ 7 cm ρ cm v cm 9 Vpočtěte ojem povrch kulové úseče která vzike vedeím sečé rovi v kouli o poloměru r cm cm od jejího středu 9 Polokulovitá ádo je zcel plěá vodou Nkloíme-li ji o vteče z í l vod Kolik litrů v ádoě zývá? 9 Kouli je opsá rotčí kužel jehož výšk se rová šestiásoku poloměru koulev jkém poměru jsou povrch oou těles? 9 Určete ojem kulové vrstv která vzike z polokoule o poloměru r cm odřízutím úseče o výšce v cm Altická geometrie přímk rovi Určete úhel vektorů u v je-li u v 8 u v 7 Určete tk vektor c l lieárě závislé vpočtěte úhel vektorů c ; ( 9) ( ) c ( ) u má Určete v dé roviě vektor v který je kolmý k vektoru ( ) velikost v Jsou dá od A [ ] B [ ] C [ ] Určete pomocí vektorů zd od tvoří trojúhelík určete délk str zjistěte zd trojúhelík eí prvoúhlý Určete vektor kolmý k vektorům ( ) ( ) Vjádřete vzth mezi m q tk rovice přímek ( m) q l: ) vjádřeím téže přímk ) vjádřeím dvou rovoěžých přímek c) vjádřeím růzoěžých přímek 7 Vpočtěte osh čtverce jehož rovoěžé str leží přímkách: : :
8 Pro které hodot prmetrů m r R vjdřují rovice: m r ( m) ( ) r tutéž přímku? 9 V oecé rovici přímk 8 určete prmetr tk tto přímk pocházel průsečíkem přímek 7 t t Npište rovici přímk která prochází odem [ 7] M s přímkou π svírá úhelα Dokžte že přímk p q jsou rovoěžé určete jejich vzdáleost: p : t t z t t R q : r r z r r R Zjistěte vzájemou polohu přímk rovi Podle poloh pk určete uď vzdáleost eo průsečík úhel: p : q : AB : A [ ] B [ ] 7 z 7 Určete průsečík přímk určeé od [ ] B [ ] souřdicovými osmi A se Určete rovici rovi která je urče od A [ ] [ ] C [ 78 9] B Npište rovici rovi (prmetrick i oecě) ve které leží přímk t t z t která je kolmá k roviě dé rovicí z Určete vzájemou polohu přímek v prostoru : p : t 7 t z t t R q : r r z 8 r r R 7 Určete vzdáleost odu [ ] A od rovi ρ : z M od přímk p : t t z t 9 Určete grfick i početě vzájemou polohu rovi dých rovicemi z z 8 Jká je vzdáleost odu [ 797] Npište prmetrické vjádřeí rovi oecou rovici rovi α procházející odem M [ ] kolmé k roviám ρ : z σ : z Průsečicí rovi α β veďte roviu γ kolmou k σ : α : z β: z γ : cz d σ : z Altická geometrie kuželoseček Určete odchlku teče vedeých z počátku ke kružici 8 Určete ejmeší vzdáleost odu [ 8 ] P od kružice Určete rovici kružice která prochází od A [ ] [ ] přímce B střed Npište rovici kružice se středem přímce p o rovici B jestliže kružice prochází od A [ ] [ ] Npište rovici kružice procházející od A [ ] [ ] C [ ] Nejprve všk ověřte zd dé od určují kružici Njděte rovici elips která prochází odem [ ] B M dotýká se přímk t : (os osách souřdic)
7 Určete střed poloos ecetricitu elips o rovici 8 Určete osovou rovici elips která se dotýká přímk v odě T 9 [ ] 9 Ohisk elips leží přímce jejich vzájemá vzdáleost je E je vrcholem vedlejší os Npište rovici této elips od [ ] Zjistěte jkou kuželosečku předstvuje rovice 9 8 7 Určete rovice teče k této kuželosečce v jejích průsečících s osou N prole 9 jděte od který má od přímk 8 ejmeší vzdáleost Do prol o rovici je vepsá rovostrý trojúhelík jehož jede vrchol leží ve vrcholu prol protější str je kolmá k ose prol Vpočtete osh tohoto trojúhelíku Jk dlouhou tětivu utíá prol 9 přímce 7 Prolický olouk má rozpětí l m výšku v 9 m Vjádřete rovici prolického olouku Npište rovici přímk která svírá s osou úhel π prochází vrcholem prol 7 Npište osovou rovici hperol víte-li že její smptot mjí rovici ± její teč rovici 7 Npište osovou rovici hperol která má souřdice ohisek F [ ] F [ ] prochází odem M [ ] 8 Zjistěte zd rovice 9 9 9 9 je rovicí hperol Je-li tomu tk určete její střed ohisk poloos Proveďte grfické zorzeí 9 Npište rovici hperol která má vrchol v ohiscích ohisk ve vrcholech elips 9 Určete vzdáleost středu hperol h od přímk p : h : 8 p : Určete odchlku křivek 9 9 k prole 9 veďte teču rovoěžou s přímkou q : 8 Určete osovou rovici hperol která má smptotu teču Políž železičí trtě která opisuje prolický olouk o rovici vede přímá silice o rovici Který od trtě leží ejlíže k silici? Npište rovici kružice se středem přímce p : 7 8 která se dotýká přímek : : Mticový počet Určete souči mtic 8 Njděte mtici X pro kterou pltí: X X
Určete mtici X její hodost je-li dá mticová rovice: X 8 7 Ukžte že pro dé mtice B A pltí: B E A A kde E je jedotková mtice stejého stupě jko A 8 B A Řešte rovici A B A X B A Určete hodost mtice její determit: 7 A 7 Řešte rovici: 9 8 Rozhoděte pomocí determitu pro které hodot je mtice sigulárí 9 Určete číslo tk soustv měl řešeí pk soustvu řešte: 7 Rozhoděte zd dá soustv má řešeí 7 z z z z Difereciálí počet Vpočítejte limitu ) lim g) si lim ) si lim h) tg si cos lim π c) 9 lim i) lim d) lim j) 7 lim e) lim k) si lim f) lim l) cos cos si lim π Podle defiice vpočítejte derivci fukce
Derivujte fukci ) l f) ) g) c) d) l si l si h) e si tg i) e) 9 8 98 Je dá fukce si si log e cos Urči rovici teč v jejím odě T [ T ] V roviě jsou dá od A [ ] B [ ] tk součet vzdáleostí AM BM l co ejmeší N ose jděte od M Lichoěžíkové korto hoře otevřeé má zákldu i rme dlouhé dm Při jkém sklou α rme pojme co ejvíce vod jká ude jeho horí šířk? 7 Jké rozměr musí mít uzvřeá litrová válcová ádo má-li ýt spotře plechu její výrou včetě odpdu co ejmeší (předpokládejte že plech spotřeový podstvu má tvr čtverce opsého podstvě) 8 Určete lokálí etrém fukce její solutí etrém itervlu 9 Určete itervl ve kterých je fukce Všetřete průěh grf fukcí: ) koveí eo kokáví d) ( 9 7) ) c) e) f) l Těleso lo vržeo svisle vzhůru počátečí rchlostí v m s Z předpokldu že g m s vpočtěte okmžitou rchlost v čse t s dou výšku výstupu okmžité zrchleí v čse t Npište rovici teč ormál v oecém tvru k prole v odě T kde Hmotý od M se pohuje přímočře tk že jeho vzdáleost od výchozího odu O (počátek soustv souřdic) je kuickou fukcí čsu Vjádřete teto poh víte-li že v čse t s se zčl od pohovt z odu O v čse t s se do tohoto odu opět vrátil kdž předtím v čse t s dosáhl mimálí vzdáleosti d 8cm od výchozího odu Ve které odě má křivk teču: ) se směrovým úhlem ) rovoěžou s přímkou c) kolmou přímku Npište rovici teč ormál e cos T v odě T [ ] Akumulátor má elektromotorické pětí U e vitří odpor R i Jký vější odpor je uto zpojit chceme-li ve vějším proudovém okruhu získt ejvětší výko? Určete jej Itegrálí počet Užitím vhodé metod itegrujte ) si l d d) tg d ) tg d e) e si d c) cos si d f) si cos d T
Itegrujte: ) přímou metodou si cos d tg ) sustitucí d cos c) metodou per prtes si d jsou si cos jděte kosttu o kterou se Ukžte že fukce F ( ) cos G( ) si si primitiví k fukci f ( ) liší Určete k f ( ) primitiví fukci ( ) procházel odem B [ ] Vpočítejte osh roviého orzce ohričeého grf fukcí: ) ) c) e e d) f ( ) ( ) g F tk její grf Vpočítejte ojem těles které vzike rotcí ploch ohričeé prolmi okolo os Komitorik prvděpodoost Kolik jedo ž čtřciferých čísel je možo sestvit z cifer jestliže ) kždá cifr se smí vsktovt ejvýše jedou ) kždé číslo je dělitelé šesti? Kolik prvků má moži z jejichž prvků je vricí třetí tříd -krát víc ež vricí druhé tříd? Kolik je možo utvořit součiů dělitelých třemi oshujících liovolé tři čiitele z čísel : 79? Kolik prvků je dých kdž počet vricí třetí tříd z ich utvořeých je pětkrát větší ež vricí druhé tříd? Zvýši-li se počet prvků o jedu zvýší se počet komicí třetí tříd o Kolik je dáo prvků? V roviě je liovolě položeých odů Kolik jimi lze určit kružic jestliže ) žádé od eleží kružici ) odů leží jedé kružici? 7 Kolik zček Morseov eced lze vtvořit mimálě ze prvků? 8 Řešte iomickou rovici stovte její defiičí oor: ) N ) c) ( ) C ( ) ( ) C d) 7 e) f) 9 8 9 Určete solutí čle v rozvoji výrzu: ( ) Určete v rozvoji výrzu ( ) 9 rove 8 tk sedmý čle l
V iomickém rozvoji výrzu mjí stejý epoet lezěte čle v ěmž Určete hodotu třetího reálého čleu iomického rozvoje ( ) R { } l rove ( ) i kde V témž rozvoji vpočtěte R tk sedmý čle rozvoje V rozvoji výrzu ( ) Určete je součet prvích tří koeficietů 7 Určete prvděpodoost že áhodě vré dvojciferé číslo ude: ) sudé ) sudé eo moci c) prvočíslo eo dělitelé Test oshuje otázek u kždé z ich jsou čtři odpovědi z ichž je je jed správá Jká je prvděpodoost že studet zodpoví lespoň otázek správě jestliže látku vůec ezá odpovědi volí áhodě? Jká je prvděpodoost že při hodu dvěmi kostkmi pde součet 7 eo 8? 7 Fotlist střílí rku z pokutového kopu s prvděpodoostí p 8 Vpočtěte prvděpodoost jevu že z desíti pokutových kopů proměí lespoň osm 8 Elektrotechický závod používá k motáži fiálího výroku součástk které kupuje od tří dodvtelů Prví z ich podílí dodáváí možstvím % le má 8% zmetků Druhý z ich se podílí % má % zmetků Třetí se podílí % má % zmetků S jkou prvděpodoostí je tře počítt že áhodě vrá součástk k motáži je vdá? 9 Při zkoušce doste kždý studet růzých otázek z ichž si áhodě vere tři K úspěšému solvováí zkoušk je tře dvě z ich dovedl správě zodpovědět Jká je prvděpodoost že určitý studet který přistupuje ke zkoušce zvládl před zkouškou je 7% otázek si vtáhe otázk ěž dovede odpovědět? Blo zjištěo že ze rodi v jedom domě má % uto i chtu Přitom uto vlstí o rodi ež chtu eí rodi která eměl chtu eo uto Kolik rodi z domu má uto? Kolik rodi má pouze uto? Určete prvděpodoost že mátkou vrá rodi z domu ude vlstit je chtu Poslouposti řd Určete ritmetickou posloupost o čleech jejíž součet všech čleů je 8 součet prostředích dvou čleů je Délk str prvoúhlého trojúhelíku tvoří ritmetickou posloupost Určete odvěs má-li přepo délku c cm Určete čísl tvořící část ritmetické poslouposti víte-li že součet prvích čtř je 8 součet posledích čtř je součet všech je 8 Str prvoúhlého trojúhelíku tvoří ritmetickou posloupost Delší odvěs je Vpočtěte ovod trojúhelíku Určete čtři čísl která jsou po soě jdoucí čle geometrické poslouposti jejichž dekdické logritm jsou po soě jdoucí čle ritmetické poslouposti s d součtem Určete počet čleů geometrické poslouposti kvociet záte-li 8 s 97 7 V lese je m stojtého dříví Kolik v ěm ude z let je-li ročí přírůstek % kácí-li se ročě m dříví? Stv se ere k 8 V geometrické poslouposti je součet prvího čtvrtého čleu 8 součet druhého třetího čleu Vpočtěte součet prvích osmi čleů 9 V lese je 9 m stojtého dříví Ročě v lese přiývá % dříví kácí se m dřívíkolik dříví ude v lese po letech Po kolik letech se zdvojásoí původí vkld při % úrokováí ročě? Vpočítejte ) ( 8) ( )
) c) Řešte rovici: ) ) 7 Kompleí čísl 7 Řešte v C: ( i ) z iz i 7 Vpočtěte ( i ) ( i ) i určete A A i 7 Pro která reálá je splě rovost: ) ( i) ( i ) 7 ( i ) ( i ) 9i ) ( i) i i i 7 Zjedodušte: i i 7 Převeďte lgerický tvr zorzte v Gussově roviě zpište zorzte π π číslo kompleě sdružeé k číslu z cos i si i i 7 Je dáo kompleí číslo ( i )( i ) i i Vpočítejte 77 Určete ) z z je-li z ( i ) S je-li 9 ) i 78 Vpočítejte ( ) i 79 Užitím Moivreov iomické vět určete si α cos α pro si α 7 Užitím Moivreov vět vpočtěte kompleí mociu D pro D i 7 Řešte iomickou rovici v C koře zpište v lgerickém tvru zorzte v Gussově roviě: ) z d) 8 ) 7 e) c) 7 Určete iomickou rovici jestliže všech její koře jsou urče grfick (koře tvoří vrchol šestiúhelíku jemuž je opsá kružice r ) 8 Výrok výroková logik 8 Verte z dých formulí všech dvojice -i které dohromd dávjí ekvivlece výroků A B : A B A B B A B A A B A B A B A B 8 Dokžte že výroková formule je kotrdikcí: p q p q p q ( ) [( ) ( )] 8 Přesvědčete se že pltí výroková formule ( A B) ( A B) plikujte pltost této výrokové formule pro tvrzeí: Neí prvd že je-li trojúhelík rovormeý pk je rovostrý 8 Utvořte kojukci egcí těchto tvrzeí: > < Které číslo splňuje tuto kojukci? 8 Formulujte v logické smolice: Jestliže C ple z A jestliže z B ple C pk C ple z A eo B Dokžte že se jedá o tutologii 8 Zjistěte zd dá výroková formule je tutologií: ( A B) A B 9 Důkz I m i R e
9 Dokžte mtemtickou idukcí ) /[ ( ) ] )!!!! ( )! c) 9 Dokžte ( ) ) pltost iomické vět ) je ircioálí číslo c) pro kždé N je číslo dělitelé číslem d) k k k