Plošný integrál funkce

Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho zavedení a studiu byla úloha stanovit celkové množství P (f, ) dané kvantity (hmotnost, elektrický náboj, apod.) na zadané ploše, známe-li její rozložení tedy hustotu popsanou nezápornou funkcí f. Podívejme se nejdříve na speciální případ, kdy je plocha rovinná: Nechť je základní oblast v rovině xy a nechť f(x, y) je spojitá funkce definovaná na. V tomto případě je celkové množství P (f, ) dáno dvojným integrálem (9.) P (f, ) = f. Výraz (9.) má i geometrický aspekt. Interpretujeme-li hodnotu f(x, y) jako výšku nad rovinou xy, pak je celkové množství P (f, ) rovno objemu tělesa omezeného grafem funkce f, viz Kapitola. Cílem dalšího výkladu bude vysvětlit jak je nutno změnit vztah (9.), změní-li se z rovinné plochy na obecnou. Nejdříve se pokusíme formulovat základní vlastnosti, které by měla hodnota P (f, ) splňovat, ať už je plocha jakákoliv. Vzhledem k tomu, že s matematickým popisem vlastností kvantitativních měr objektů máme již bohaté zkušenosti, jistě nepřekvapí, že si opět vybereme vlastnost aditivity a monotonie jako základní. A jako obvykle začneme s objektem s co možná nejjednodušším popisem s elementární plochou. Reprezentuje-li funkce f např. hustotu rozložení hmoty, je axiom aditivity vyjádřením samozřejmé skutečnosti, že celková hmotnost je součet hmotností částí plochy, které tvoří její rozklad a v podstatě se nepřekrývají. Tedy (A) P (f, ) = P (f, ) + P (f, ), kdykoliv elementární plochy, tvoří rozklad plochy takový, že K( ) K( ). Tato podmínka slovy vyjadřuje, že plochy a se protínají pouze v krajích a tedy nemají žádný společný vnitřní bod. Axiom () pak postuluje pozorování, že hmotnost 35

36 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE plochy se bude pohybovat v rozmezí mezi min (f) obsah() a max (f) obsah(), tedy mezi hmotnostmi homogenních ploch, jejichž hustota je dána extrémy funkce f. () min (f) obsah() P (f, ) max(f) obsah(). V následující větě ukážeme, že axiomům (A) a () je možno vyhovět a to pouze jedinou volbou hodnoty P (f, ). ůkaz této věty má strukturu, se kterou jsme se už setkali a jejíž vzor je v důkazu Věty.9. Věta 9.. Existuje pouze jediné zobrazení P, které každé elementární ploše dané funkcí g na základní oblasti a funkci f spojité na přiřadí číslo P (f, ) tak, že jsou splněny axiomy (A) a (). Navíc, (9.) P (f, ) = f(x, y, g(x, y)) + + x. y ůkaz. je elementární plocha daná grafem funkce g definované na základní oblasti. Nechť je dělení základní oblasti. Ke každému prvku R přiřadíme část plochy ležící nad R. Označme tuto část symbolem R : { } R = (x, y, z) R 3 (x, y) R, z = g(x, y). Nyní definujme následující variantu horních a dolních integrálních součtů S(f, ) = R max R (f) obsah( R ) S(f, ) = R min R (f) obsah( R ). onotonie a aditivita implikují zcela stejným způsobem jako při důkazu Tvrzení.8, že S(f, ) P (f, ) S(f, ). Tím rovněž (9.3) sup S(f, ) P (f, ) inf S(f, ), kde infima a suprema se uvažují vzhledem ke všem dělením oblasti. Pokusme se nyní dokázat, že dolní a horní odhady čísla P (f, ) v nerovnosti (9.3) splývají. Nerovnost sup S(f, ) inf S(f, ) platí automaticky díky (9.3). Budeme tedy dokazovat nerovnost obrácenou. K tomu opět využijeme vlastnost stejnoměrné spojitosti. Pomocná funkce h(x, y) = f (x, y, g(x, y)) je spojitá na. Podle Věty. je stejnoměrně spojitá. Znamená to, že pro každé ε > je možno nalézt δ > takové, že pro jakékoli dělení oblasti s normou < δ platí max(h) min (h) ε R R

. EFINICE A VÝPOČET 37 pro všechna R. To je ale to samé, že oscilace funkce f na každém R je menší než ε, tj. max(f) min(f) ε R R pro všechna R. Pro rozdíl horního a dolního součtu pak máme S(f, ) S(f, ) = R (max R (f) min R (f)) obsah( R ) ε R obsah( R ) = ε obsah(). Odtud inf S(f, ) S(f, ) S(f, ) + ε obsah() sup S(f, ) + ε obsah(). Protože ε můžeme volit libovolně, získáváme obrácenou nerovnost. Celkově tak platí (9.4) sup S(f, ) = inf S(f, ). íky nerovnostem (9.3) může existovat pouze jediná hodnota P (f, ) vyhovující axiomům (A) a () a to P (f, ) = sup S(f, ) = inf S(f, ). V této chvíli máme dokázáno, že existuje-li zobrazení P (f, ) s požadovanými vlastnostmi, je jediné. V dalším kroku ověříme, že zobrazení P (f, ) skutečně existuje a zároveň dokážeme integrální vyjádření pro P (f, ). Položíme-li P (f, ) = f(x, y, g(x, y)) + + x, y tak vzhledem k aditivitě integrálu vůči integračnímu oboru tím jistě vyhovíme axiomu aditivity. Na základě monotonie dvojného integrálu pak máme P (f, ) max (f) = max (f) + + + x + x y = max y (f) obsah(), kde jsme v posledním kroku využili (8.6). Pro minimum se postupuje zcela analogicky. Tím jsme dokázali platnost axiomů (A) a () pro P (f, ) z (9.). Vidíme, že alespoň jedno zobrazení s vlastnostmi (A) a () existuje. Z první části důkazu už víme, že takových zobrazení nemůže být více. Proto P (f, ) existuje právě jediné a platí (9.)

38 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE efinice 9.. Nechť f je spojitá funkce na elementární ploše. Číslo P (f, ) z Věty 9. nazýváme plošný integrál funkce f vzhledem k ploše. K jeho označení používáme symbol f ds nebo stručnější vyjádření f. Tento integrál se někdy nazývá plošný integrál. druhu. Při výše zavedeném označení nám Věta 9. dává vzorec pro výpočet plošného integrálu ve tvaru (9.5) f ds = f(x, y, g(x, y)) + +. x y Speciálně pro f = má ds hodnotu obsahu plochy. Příklad 9.3. Určete hmotnost m části hyperbolického paraboloidu z = xy, x + y r, r >, je-li hustota f(x, y, z) = + x + y z. Vzhledem k tomu, že uvedená plocha je grafem funkce g(x, y) = xy definované na kruhu o poloměru r a středem v počátku máme + + x = + x y + y. Podle (9.5) je m = + x + y z ds = Přechodem k polárním souřadnicím tak dostaneme ( + x + y ) xy. m = π r ( + ϱ )ϱ 3 cos ϕ sin ϕ dϱ dϕ = r ( + ϱ )ϱ 3 dϱ [ ϱ 4 = 4 + ϱ6 6 ] r π/ π sin ϕ dϕ sin ϕ dϕ = r 4 ( r 3 + Podobně jako při výpočtu obsahu plochy je často při výpočtu plošného integrálu výhodné (ba mnohdy nutné) použít k popisu dané plochy jiné než kartézské souřadnice. Nechť je plocha v R 3 a nechť Φ: je její parametrizace. Rozložíme plochu na elementární plochy,..., n, které budou mít stejnou parametrizaci Φ uvažovanou na částech,..., n základní oblasti. Plošný integrál přes jednu elementární plochu i se pomocí parametrizace Φ: i i se vyjádří jako (9.6) f ds = f(φ) s t. i i ).

. EFINICE A VÝPOČET 39 (Zde opět f(φ) je zkrácený zápis výrazu f(φ) = f(φ, Φ, Φ 3 ), kde Φ = (Φ, Φ, Φ 3 )). Ke vztahu (9.6) se dojde zcela stejně jako v Tvrzení 8.6 použitím věty o substituci. Nebudeme toto odvození zde provádět detailně, neboť se téměř neliší od důkazu již zmíněného Tvrzení 8.6. Pokročíme ale dále k následující větě: Věta 9.4. Nechť R je základní oblast a Φ: R 3 je spojitá parametrizace plochy prostá a třídy C na vnitřku. Pak pro každou spojitou funkci f na platí (9.7) f ds = f(φ) s t. ůkaz. Plochu si rozložíme na elementární plochy,..., n tak, že pro ně můžeme už použít vzorec (9.6). Protože příslušné,... n tvoří rozklad oblasti, můžeme psát f ds = n i= i f ds = n i= i f(φ) s t = f(φ) s t. Příklad 9.5. Vypočtěte integrál (x + y + z) ds, kde je část rotačního paraboloidu z = a x y, x + y a 4, a >. Z hlediska plochy i integrované funkce je výhodné vyjádřit plochu v cylindrických souřadnicích x = ϱ cos ϕ (= Φ (ϱ, ϕ)) y = ϱ sin ϕ (= Φ (ϱ, ϕ)) z = a ϱ (= Φ 3 (ϱ, ϕ)), kde ϱ, a, ϕ, π. Vzhledem k tomu, že ϱ ϕ = ϱ + 4ϱ, máme (x + y + z) ds = = πa a/ π a/ (ϱ + a ϱ )ϱ + 4ϱ dϱ dϕ ϱ + 4ϱ dϱ = πa 6 [( + 4ϱ ) 3/] a/ = πa ( ( + a 6 ) 3 ).

4 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE V závěru této kapitoly uvedeme větu o střední hodnotě pro spojité funkce na ploše. Věta 9.6. Nechť f je spojitá funkce na ploše R 3. Pak existuje bod (x, y, z) takový, že f ds = f(x, y, z) obsah(). Poznámka 9.7. Hodnotu výrazu na ploše. obsah() f ds nazýváme střední hodnota funkce f ůkaz. Podobně jako v důkazu Věty 6.6 platí min (f) obsah() f ds max (f). Vzhledem k tomu, že f je spojitá funkce na souvislé množině, je jejím oborem hodnot interval min (f), max (f). Tedy existuje alespoň jeden bod, řekněme (x, y, z), realizující střední hodnotu ve smyslu rovnosti obsah() f ds = f(x, y, z). Příklad 9.8. Určete jakou průměrnou teplotu by měla Země za předpokladu, že průměrná teplota je stejná ve všech místech se stejnou zeměpisnou šířkou a lineárně klesající v závislosti na zeměpisné šířce a to od 5 o C na rovníku k 3 o C na pólu. V matematické formulaci je průměrná teplota dána střední hodnotou funkce T, která bodům o sférických souřadnicích (ϕ, ϑ) přiřadí hodnotu T (ϕ, ϑ) = 5 ϑ π. Pro průměrnou teplotu T pak dostaneme podle Poznámky 9.7 T = T ds, S() kde je povrch sféry o poloměru r( =. 6378 km) a S() = 4πr. Provedením výpočtu ve sférických souřadnicích (viz (8.6)) dostaneme T ds = π π/ π/ ( 5 ϑ ) r cos ϑ dϑ dϕ π = 5S() π π/ ( π r ϑ cos ϑ dϑ = 5S() 44r π ).

. CVIČENÍ 4 Tedy T = 5S() 44r ( π ) S() = 5 π ( π ).= 5, ( o C). Cvičení Úloha. Určete (x + y + z) ds, kde je průnik kulové plochy a válce daný podmínkami x + y + z = r, z a x + y r /4. Řešení. Plocha je reprezentována grafem funkce Pak g(x, y) = r x y, kde x + y r 4. + + x = y r r x y. Označíme-li = {(x, y) x + y r 4 }, máme (x + y + z) ds = (x + y + r x y r ) r x y = r Vzhledem k symetrii integrované funkce na oblasti je x + y r x y =. x + y r x y + r. Závěrem tedy máme (x + y + z) ds = r = rπ r 4 = π 4 r3. Úloha. Určete x + y ds, kde je povrch koule se středem v počátku a poloměrem r. Řešení. Podobně jako v předchozích příkladech použijeme sférických souřadnic (ϕ, ϑ). Pak dle (9.7) x + y ds = π π/ π/ = πr 3 π/ r cos ϑ r cos ϑ dϑ dϕ = πr 3 π/ π/ + cos ϑ dϑ = π r 3. π/ cos ϑ dϑ

4 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE Úloha. Vypočtěte z ds, kde = {(t cos s, t sin s, s) (s, t), π, a }. Řešení. Plocha, tzv. helikoid, je sjednocením částí šroubovic, jejichž poloměr se pohybuje od do a. Z geometrického názoru vidíme, že je grafem funkce. K výpočtu však použijeme původně zadanou parametrizaci Φ(s, t) = (t cos s, t sin s, s) (s, t), π, a. Pak Jelikož platí = ( t sin s, t cos s, ), = (cos s, sin s, ). s t s = + t, t =, s t =, s t = ( + t ) = + t. Nyní již můžeme přistoupit k výpočtu zadaného integrálu z ds = a π = 4π s + t ds dt = π s ds a [ t + t + ln t + a + t ] + t dt ( = π a + a + ln(a + ) + a ). Úloha. Vypočtěte těžiště homogenní plochy (tj. plochy s konstantní hustotou), je-li = {(x, y, z) x + y = z, z }. Řešení. Souřadnice těžiště plochy homogenního tělesa jsou střední hodnoty vzdáleností od souřadných rovin. Pro složky T = (x t, y t, z t ) tedy platí, x t = ds x ds, y t = ds y ds, z t = ds z ds. V našem případě se jedná o část rotačního paraboloidu, takže v důsledku symetrie vůči ose z platí x t = y t =. Stačí tedy určit souřadnici z t. Plocha je grafem funkce g(x, y) = (x + y ), definované na kruhu se středem v počátku a poloměrem. Platí tedy ds = + x + y.

. CVIČENÍ 43 Přechodem k polárním souřadnicím pak máme π ds = ϱ + ϱ dϱ dϕ = π 3 (5 5 ). Analogickým výpočtem dostaneme z ds = (x + y ) + x + y = π = π ϱ 3 + ϱ dϱ dϕ ϱ 3 + ϱ dϱ = π ( ) 5 +. 3 5 Pro hledanou souřadnici těžiště proto platí z t = 5 5 + 5 5. Úloha. Vypočtěte hydrostatickou sílu, která působí na stěnu nádoby tvaru rotačního paraboloidu z = x + y, z, je-li nádoba naplněna kapalinou o hustotě ρ. Řešení. Podle Pascalova zákona jsou složky hydrostatické síly F = (F, F, F 3 ) působící na obecnou plochu dány plošnými integrály (9.8) F i = ρg hn i ds, i =,, 3, kde h(x, y, z) je funkce udávající hloubku v bodě (x, y, z) a a n i (x, y, z) (i =,, 3) jsou složky vnější jednotkové normály k ploše v bodě (x, y, z). V našem případě je plocha grafem funkce g(x, y) = x + y, x + y. Funkce h určující hloubku je funkce h(x, y, z) = z. Vnější jednotková normála je v bodě (x, y, z) dána vztahem ( g x, g ) y, n(x, y, z) = ( g x, g y, ) = (x, y, ) 4x + 4y +.

44 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE Označíme-li symbolem jednotkový kruh, dostaneme pro složku F 3 hledané síly vztah F 3 = ρg ( z)n 3 (x, y, z) ds = ρg ( x y ) 4x 4x + 4y + + 4y + = ρg ( x y ). Přechodem k polárním souřadnicím pak dostaneme π F 3 = ρg dϕ ( ϱ )ϱ dϱ = πρg. Vzhledem k symetrii uvažovaného tělesa je zřejmé, že F = F =. (Tuto intuici si můžete ověřit výpočtem.) Celková hydrostatická síla je tedy F = (,, πϱg ). K tomuto výsledku jsme mohli dospět i jinak. Archimédův zákon nám říká, že velikost síly F 3 se rovná tíze kapaliny uvnitř paraboloidu. Tedy F 3 = ρgv, kde V je objem paraboloidu. Výpočtem zjistíme, že V = π/. Úloha. Určete potenciál V gravitačního pole F v bodě (x, y, z ), které je dáno homogenní kulovou plochou s rovnicí jejíž plošná (konstantní) hustota je ϱ. x + y + z = r, r >, Řešení. Gravitační potenciál v bodě (x, y, z ) vytvořený plochou s plošnou hustotou ρ(x, y, z) je definován jako plošný integrál (9.9) U(x, y, z ) = κρ(x, y, z) (x x ) + (y y ) + (z z ) ds. (Tento vzorec bezprostředně vyplývá z Newtonova gravitačního zákona, κ je gravitační konstanta.) V našem specifickém příkladě je kulová plocha a ρ je konstantní funkce. Vzhledem k symetrii se navíc můžeme omezit na případ x = y =, z >. (Volíme nový systém souřadnic tak aby kladná část osy z procházela daným bodem). Hledaný potenciál je tedy dán integrálem (9.) U = κρ x + y + (z z ) ds.

. CVIČENÍ 45 K jeho výpočtu použijeme sférických souřadnic (ϕ, ϑ). Podle Věty 9.4 dostaneme κρ U = ds = κρ x + y + z zz + z r + z zz ds π = κρ π/ π/ r cos ϑ r + z rz sin ϑ dϑ dϕ = πr κρ Substitucí u = sin ϑ v daném integrálu pak dostaneme π/ π/ [ U = πr du r κρ r + z rz u = πr κρ + z rz u rz = π rκρ z ( r + z + rz r + z rz ) cos ϑ r + z rz sin ϑ dϑ. ] u= u= = π rκρ z ( r + z r z ). 4πκrρ, z r Závěrem tedy získáváme U = 4π r κρ z z r. Vypočtěte následující plošné integrály:. x + y ds, je celý povrch kužele daného nerovností x + y z.. ds, kde je povrch čtyřstěnu daného nerovnostmi x, y, z, ( + x + y) x + y + z. 3. x y ds, kde je část povrchu koule daná podmínkami x +y +z = r, z. 4. x + y + z ds, kde je válcová plocha o rovnici x + y = r omezená rovinami s rovnicemi z = a z = h >. 5. y ds, kde je část plochy o rovnici x +z = az (a > ), vyříznutá kuželovou plochou o rovnici z = x + y. 6. xy + yz + zx ds, kde je část povrchu kužele z = x + y vyříznutá válcem o rovnici x + y = ax.

46 KAPITOLA 9. PLOŠNÝ INTEGRÁL FUNKCE 7. Nechť je plocha daná vztahem = C,, kde C R je rovinná křivka. okažte, že je-li f(x, y, z) = g(x, y), kde g je spojitá funkce na křivce C, pak f = g. 8. Vypočtěte hmotnost kulové skořepiny, x + y + z = r, z, je-li plošná hustota rovna a) vzdálenosti od osy z; b) druhé mocnině vzdálenosti od osy z. 9. Nalezněte množství náboje rozloženého na ploše dané podmínkami z = (x + y ) z, je-li plošná hustota f(x, y, z) = z.. Nalezněte těžiště homogenní části kuželové plochy o rovnici z = x + y, jež se nachází ve válci o rovnici x + y = ax;. Najděte těžiště kuželové plochy z = x +y, z, je-li hustota v každém bodě úměrná vzdálenosti od osy z.. Nechť je plocha s hustotou ρ(x, y, z). Na základě axiomatického přístupu odvoďte, že pro moment setrvačnosti I p plochy vzhledem k ose p platí I p = v ρ, kde hodnota funkce v(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, x) od přímky p. V následujících příkladech vypočtěte momenty setrvačnosti uvedených ploch vzhledem k ose z. Předpokládáme, že hustota je konstantní funkce ρ. 3. povrch koule o poloměru a se středem v počátku; 4. povrch kulového vrchlíku zadaného podmínkami x + y + z = r, < h z r; 5. plochy určené vztahy h (x + y ) = a z, < z < h; 6. plochy určené podmínkami x + y + z =, x, y, z. 7. Ukažte, že pro moment setrvačnosti I z vůči ose z homogenní rotační plochy s hustotou ρ, která vznikne rotací grafu funkce z = f(x), x a, b, kolem osy z, platí I z = πρ b a x3 + f (x) dx. 8. Na základě axiomatických požadavků odvoďte integrální vyjádření hydrostatické síly působící na danou plochou (viz řešená úloha výše). 9. Pomocí vztahu (9.8) najděte sílu, kterou působí kapalina s konstantní ( hustotou) ρ na dno nádoby ve tvaru eliptického paraboloidu o rovnici z = h x + y, a b h z.. Z Newtonova zákona určete jakou silou přitahuje useknutá kuželová plocha daná parametrizací x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = ϱ; ϕ π, < b ϱ a o konstantní hustotě ρ hmotný bod o hmotnosti m umístěný v bodě (,, ). C

. CVIČENÍ 47. Pomocí vztahu (9.) najděte gravitační potenciál části pláště válce o rovnici x + y = r, z h v bodech na ose z. Výsledky.. π ( + );. 5 3 + ( 3 ) ln ; 3. πr6 5 ; 4. π arctg h r ; 5. a3 (π + 4); 6. 64 5 a 4 ; 8. a) π r 3 4πr4, b) 3 ; 9. π(+6 3) 5 ;. ( a 6,, 9π a) ;. (,, 3/4); 3. 8πa4 ρ 3 ; 4. 3 πrρ(r3 3r h + h 3 ); 5. π a3 ρ a + h ; 6. ρ 3 6 ; 9. F = πρabh k;. F = (πκmρ ln a b ) k;. V (,, z ) = κρπr ln h z + (h z ) +r. z + z +r