idktický test idktický test obshuje úloh; u kždé z nich je uvedeno, kolik bodů z ni lze získt. elkové mimální bodové hodnocení testu je 0 bodů, přičemž hrnice úspěšnosti je %. N vyřešení testu máte celkem 0 minut. Používt můžete jen povolené pomůcky (viz s. ). Odpovědi vpisujte přímo do testu, přípdně i do záznmového rchu (ke stžení n www.didktis.cz; pokyny k vyplňování njdete n s. 0 ). Komentovné řešení testu njdete n www.didktis.cz, klíč k úlohám je uveden n s.. Výchozí tet obrázek k úloze 0 Jsou dány množiny M { R; > }, M { R; < }. M M M 0 Úloh 0 Vyznčte n číselné ose množinu M M M. bod M ( ; ) ( ; ) M ; ) M M M ; ) bsolutní hodnot reálného čísl udává n číselné ose vzdálenost obrzu čísl od obrzu čísl 0. Množin M je množin všech reálných čísel, jejichž obrzy n číselné ose mjí od obrzu čísl 0 vzdálenost větší než. Množinu M zpíšeme intervlem. Určíme průnik množin M M. (Můžeme využít grfické znázornění množin M M n číselné ose.) Úloh 0 Určete výrz, který musíme přičíst k výrzu + + 0, bychom dostli trojnásobek výrzu + +. bod ( ) + + ( ) + + 0 + + + 0 + 7 Hledným výrzem je mnohočlen + 7. Hledný výrz dostneme tk, že od trojnásobku výrzu + + odečteme výrz + + 0. Úloh 0 Zjednodušte výrz pro všechny hodnoty reálné proměnné y z definičního oboru výrzu. bod ( y + y ) y + + y y y y y + Pro všechn R { 0 } pro všechn k Z pltí: k k Úloh 0 Ktlogová cen krosového kol je 0 000 Kč. I když obchodník nbízí kolo se slevou %, je prodejní cen o 0 % vyšší než nákupní cen, z kterou kolo koupil od výrobce. Určete nákupní cenu kol. bod Výpočet prodejní ceny kol: 00 %.......................... 0 000 Kč %............................... 00 Kč 7 %............... 7 00 Kč 7 00 Kč Výpočet nákupní ceny kol: 0 %........................... 7 00 Kč %................ 7 00 Kč : 0 Kč 00 %.............. Kč 00 00 Kč Nákupní cen krosového kol je 00 Kč. Prodejní cen kol je 7 % ktlogové ceny, která činí 0 000 Kč. Prodejní cen kol je 0 % nákupní ceny, tj. ceny, z kterou obchodník kolo koupil od výrobce. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 7
Úloh 0 Jehln má vrcholů. Určete počet jeho hrn. bod Stnovení počtu vrcholů podstvy jehlnu: - Určení počtu hrn jehlnu: + Jehln s vrcholy má hrn. Podstvou jehlnu je úhelník. Jehln má podstvných bočních hrn, tj. celkem hrn. Úloh 0 Řešte rovnici v oboru R. Uveďte celý postup řešení. + m. body Stnovení definičního oboru rovnice: + 0 0 0 R { ; } Řešení rovnice: + + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) + + 0 0 K R { ; } ( + ) ( ) Jmenovtel kždého zlomku v rovnici musí být různý od nuly. V rovnici odstrníme zlomky vynásobením obou strn rovnice společným jmenovtelem všech zlomků. Při řešení rovnice využijeme ekvivlentní úprvy. Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Řešením je celý definiční obor rovnice. Zpíšeme množinu K všech řešení rovnice. Výchozí tet obrázek k úloze 07 o kružnice k( S; cm) je vepsán čtyřúhelník tk, že jeho úhlopříčk je průměrem kružnice k cm. cm α S cm k Úloh 07 Určete velikost úhlu, který svírá úhlopříčk se strnou. bod Výpočet velikosti úhlu : : 90, cm, r cm sin α sin α sin α α 0 Úhlopříčk svírá se strnou úhel. Kružnice k kromě bodů je Thletov kružnice sestrojená nd průměrem. Trojúhelník je prvoúhlý s prvým úhlem při vrcholu. K výpočtu velikosti úhlu použijeme funkci sinus v prvoúhlém trojúhelníku. Úhlopříčk svírá se strnou úhel o velikosti 0. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet obrázek k úloze 0 revná část čtvercového vitrážového okn (v obrázku vyznčená šedě) je ohrničená čtyřmi shodnými čtvrtkružnicemi se středy ve vrcholech čtverce. Obvod brevné části je p metrů. Úloh 0 Vypočítejte obsh celého okn. bod Výpočet délky strny okn: o p m p d p : p d m d m Výpočet obshu okn: S S m m Obsh okn je m. Obvod brevné části okn je roven obvodu kruhu o průměru d, kde je délk strny čtverce. élku strny čtverce dosdíme do vzorce pro obsh S čtverce. Výchozí tet obrázek k úloze 09 Nádrž n solární ohřev vody má tvr rotčního válce. Pokud je nádrž ve vodorovné poloze, smáčí vod v nádrži kždé podstvy nádrže. Umístíme-li nádrž se stejným množstvím vody do svislé polohy, bude vod v nádrži sht do výšky, m. Sp, m l Úloh 09 Určete délku l nádrže. Uveďte celý postup řešení. m. body Oznčíme: l.......................................... délk nádrže v......... výšk vody v nádrži ve svislé poloze, v, m S p.............................. obsh podstvy nádrže Vyjádření objemu V vody, pokud je nádrž ve vodorovné poloze: V Spl Vyjádření objemu V vody, pokud je nádrž ve svislé poloze: V S p v Porovnání objemů V V výpočet délky l nádrže: V V SPl SPv l v l (, ) m, m élk nádrže je, m. V obou přípdech je objem vody stejný. Sestvíme rovnici vyjádříme l. o vyjdření délky l nádrže dosdíme v, m. Protože jsme řešili slovní úlohu, zpíšeme slovní odpověď. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 9
Výchozí tet obrázek k úloze 0 V krtézské soustvě souřdnic Oy jsou silnice p q znázorněny přímkmi p: + y 0 0; q: + t, y + t ; t R, křižovtk jejich průsečíkem K. p q K Úloh 0 Npište souřdnice bodu K. m. body Výpočet souřdnic průsečíku K přímek p q: ( + t)+ ( + t) 0 0 + t + + t 0 0 9t 9 t + t + y + t y + K [ ; ] Křižovtk je vyznčen bodem K [ ; ]. od K oznčující křižovtku je průsečíkem přímek p q. Souřdnice bodu K určíme řešením soustvy rovnic těchto přímek. Prmetrické vyjádření přímky q dosdíme do obecné rovnice přímky p. ostneme rovnici o neznámé t. Řešením rovnice je hodnot prmetru t pro průsečík K. Hodnotu prmetru t dosdíme do prmetrického vyjádření přímky q dopočítáme souřdnice bodu K. Jiný způsob řešení: Prmetrické vyjádření přímky q převedeme vyloučením prmetru t n obecnou rovnici. Obecné rovnice přímek p q tvoří soustvu dvou rovnic o dvou neznámých y. Vyřešením soustvy dostneme souřdnice průsečíku K. Výchozí tet obrázek k úloze N obrázku je grf lineární funkce f, (f) R. Průsečíky grfu funkce f se souřdnicovými osmi mjí celočíselné souřdnice. y O f Úloh oplňte tbulku funkce f. - 00 y - m. body Určení předpisu funkce f : f: y + b; R { 0}, b R 0 + b 0 ( )+ b b f: y oplnění tbulky: y y ( ) + y 0 ( ) y 00 Npíšeme obecný předpis lineární funkce. Z obrázku zjistíme, že grf funkce f prochází body [ 0; ] [ ; 0]. Souřdnice těchto bodů dosdíme do předpisu lineární funkce. ostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých b, kterou vyřešíme. Zpíšeme předpis funkce f. o předpisu funkce f: y dosdíme zdnou hodnotu jedné proměnné dopočítáme zbývjící proměnnou. 0 idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet obrázek k úloze Grf funkce f dostneme posunutím grfu funkce g: y ; R { 0 }, o jednu jednotku ve směru záporné poloosy o tři jednotky ve směru kldné poloosy y. y f S g 7 O 7 Úloh m. body ) Sestrojte grf funkce f. b) Zpište definiční obor obor hodnot funkce f. c) Určete předpis funkce f. ) Grf funkce g : y ; R { 0} (viz obrázek): Grfem funkce g je rovnoosá hyperbol se středem v počátku O. symptotmi hyperboly jsou souřdnicové osy y. - - - - y - - - - Funkce f g jsou lineární lomené funkce, jejichž grfy jsou rovnoosé hyperboly s symptotmi rovnoběžnými se souřdnicovými osmi. Sestvíme tbulku pro funkci g nčrtneme grf funkce g v krtézské soustvě souřdnic Oy. Grf funkce f (viz obrázek): Grfem funkce f je rovnoosá hyperbol, jejímž středem je bod S[ ; ]. symptoty hyperboly mjí rovnice, y. b) ( f ) R { }, H( f ) R { } c) Určení předpisu funkce f: f: y k + y k y 0 ;, 0, 0 0 f: y ( ) + f: y + + + ( + ) + + + Grf funkce f dostneme posunutím grfu funkce g o jednu jednotku ve směru záporné poloosy o tři jednotky ve směru kldné poloosy y. efiniční obor obor hodnot funkce f stnovíme z jejího grfu. efiniční obor funkce zjišťujeme n ose, obor hodnot n ose y. Předpis funkce f určíme z posunutí grfu funkce g podél osy podél osy y. Předpis funkce f uprvíme n tvr: y + b c + d idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet k úloze Z jeden vstup do posilovny zpltí návštěvník 0 Kč. Fitness centrum nbízí svým stálým klientům věrnostní krtu, jejíž cen je 000 Kč která oprvňuje k šedesáti vstupům z sníženou cenu. Klient, který vlstní věrnostní krtu, zpltí při kždém vstupu Kč. Úloh m. body ) Oznčíme počet vstupů y celkovou finnční částku (v Kč), kterou zpltí klient z ( 0) vstupů, jestliže si pořídí věrnostní krtu. Npište předpis funkce f, která vyjdřuje závislost zplcené částky y n počtu vstupů. b) Určete, při jkém minimálním počtu vstupů se klientu vypltí věrnostní krt. ) počet vstupů, 0 y celková částk, kterou zpltí klient z vstupů, jestliže si pořídí věrnostní krtu Předpis funkce f: f: y 000 + ; { 0; ; ; ; 0} b) Výpočet minimálního počtu N vstupů, při kterém se vypltí věrnostní krt: 000 + < 0 000 < : > 0 N Věrnostní krt se vypltí při minimálním počtu vstupů. Oznčíme proměnné podle zdání úlohy. elková částk y je rovn součtu ceny věrnostní krty částky zplcené z vstupů po Kč. elková finnční částk, kterou zpltí klient s věrnostní krtou z vstupů, musí být menší než částk, kterou zpltí z vstupů klient bez věrnostní krty. Pokud klient nemá věrnostní krtu, zpltí z vstupů 0 Kč. Sestvíme nerovnici, kterou vyřešíme. Nejmenší číslo N { 0; ; ; ; 0}, které vyhovuje nerovnici, je. Úloh Uprvte výrz stnovte, pro která 0; p ) je výrz definován. Uveďte celý postup řešení. m. body sin sin sin sin + sin sin sin cos sin tg cos ( ) Stnovení definičního oboru výrzu: sin 0 + sin 0 sin sin y Násobení výrzů ve jmenovtelích zlomků provedeme podle vzorce: ( + ) ( ) Při úprvě zdného výrzu dále využijeme: sin + cos ; tg sin cos Jmenovtelé zlomků se nesmějí rovnt nule. Zpíšeme podmínky pro. Pomocí jednotkové kružnice (viz obrázek) nebo grfu funkce sinus určíme, pro která 0; p ) obě podmínky pltí. O p p Výrz je definován pro všechn 0; p ), pro která pltí p p. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet k úloze Pánové dm, edřich yril zložili firmu. Pn dm vložil částku 00 000 Kč, pn edřich 00 000 Kč pn yril 00 000 Kč. omluvili se, že pn dm dostne z řízení firmy 0 % z ročního zisku. Zbývjící část zisku si rozdělí všichni tři v poměru vloženého kpitálu. N konci roku dostl pn dm o 0 000 Kč více než pn edřich pn yril dohromdy. Úloh Vypočítejte roční zisk firmy. Uveďte celý postup řešení. m. body roční zisk firmy............................................... Kč částk, kterou dostl pn dm z řízení firmy.............. 0, Kč poměr vložených kpitálů.... 00 000 : 00 000 : 00 000 : : celková částk, kterou dostl pn dm...... 0 (, + 0, 7 ) Kč částk, kterou dostl pn edřich.................... částk, kterou dostl pn yril....................... 0, + 0, 7 0, 7 + 0, 7 + 0 000, +,, +, + 0 000 0 000 Roční zisk firmy byl 0 000 Kč. ( ) ( ) 0, 7 Kč 0, 7 Kč Oznčíme neznámou provedeme zápis slovní úlohy. Pn dm dostl z řízení firmy 0 % zisku, tj. 0, Kč. Zbývjící část zisku (tj. 0,7 Kč) byl rozdělen mezi spoluvlstníky v poměru : :. Pn dm dostl, pn edřich pn yril z této částky. Sestvíme rovnici. Pn dm dostl o 0 000 Kč více než pn edřich pn yril dohromdy. Rovnici vyřešíme pomocí ekvivlentních úprv. Řešili jsme slovní úlohu, proto zpíšeme slovní odpověď. Úloh Je dán výrz V ( m) m. Rozhodněte o kždém z následujících tvrzení (..), m + m zd je prvdivé (NO), či nikoli (NE). m. body. efiničním oborem výrzu je množin R { ; }. NO NE. Nulovým bodem výrzu je m. NO NE. Pro všechn m z definičního oboru výrzu lze výrz uprvit n tvr. NO NE m +. Hodnot výrzu pro m 0 je menší než hodnot výrzu pro m -. NO NE. NO Stnovení definičního oboru výrzu: m + m 0 ( m ) ( m + ) 0 m 0 m + 0 m m efiničním oborem výrzu je množin R { ; }.. NE Určení nulového bodu výrzu: V ( m) 0 m m m m m m + m ( + 0 ) ; + 0 m 0 m R { ; }. NO Úprv výrzu: m + ( + m ) ( ) ( + ) m m m m m +. NE Porovnání hodnot výrzu pro m 0 m -: V ( 0) 0 + V ( ) + > V ( 0)> V ( ) Jmenovtel výrzu musí být různý od nuly. Kvdrtický trojčlen rozložíme n součin. Součin je různý od nuly, právě když kždý z činitelů je různý od nuly. Nulový bod je hodnot proměnné z definičního oboru výrzu, pro kterou se hodnot výrzu rovná nule. Vyřešíme rovnici. Číslo m neptří do definičního oboru výrzu. Výrz V(m) nemá nulový bod. Čittele jmenovtele výrzu rozložíme n součin výrz zkrátíme. Určíme hodnoty výrzu pro m 0 m -. o zdného nebo uprveného výrzu postupně dosdíme m 0 m -. Hodnoty výrzu porovnáme. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet k úloze 7 Jsou dány čtyři nerovnice s neznámou R. I: II: > 0 III: > 0 IV: 0 0 > Úloh 7 Která z dných nerovnic nemá v oboru R řešení? body ) pouze IV ) pouze III IV ) pouze II, III IV ) pouze I, III IV E) jiné nerovnice Řešení nerovnice I: 0 : 0 K I ( ; 0 Řešení nerovnice II: > 0 < 0 < 0 K II ( ; 0) Řešení nerovnice III: > 0 < 0 K III 0 ( ) Řešení nerovnice IV: 0 0 > ; ( + ) > 0 > 0 K IV 0 Správná odpověď je ). V nerovnici odstrníme zlomek nerovnici vyřešíme. Nerovnice má v oboru R nekonečně mnoho řešení. Vyřešíme nerovnici v podílovém tvru. Nerovnice má v oboru R nekonečně mnoho řešení. V nerovnici odstrníme zlomek. Při násobení obou strn nerovnice zporným číslem změníme znk nerovnosti. Pro všechn R je 0. Nerovnice nemá v oboru R řešení. Levou strnu nerovnice uprvíme vytknutím následným krácením pro všechn R { }. Pro všechn R { } dostáváme neprvdivý výrok. Nerovnice nemá v oboru R řešení. Úloh Je dán výrz log + ; R +. Který z následujících výrzů je pro všechn R + ekvivlentní s dným výrzem? ) ( log + log ) : log ( ) ) log ( + ) : ( log ) ) log ( + ) log + log ) + log ( + ) log E) žádný z uvedených výrzů Úprv výrzu: log + log log ( + ) ( ) log ( + ) ( log + log ) log ( + ) ( log + log ) log ( + ) log log log ( + ) log Správná odpověď je ). Využijeme věty o logritmech definici logritmu. Pro všechn u, v R +, kždé z R kždé R { } pltí: log ( u v) log u + log v log u log u log v v z log u z log u Pro všechn s R + +, kždé v R kždé R { } pltí: v log s v s Odtud dostneme: log + body idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet grfy k úloze 9 Grfy poskytují informce o počtu žáků průměrném počtu zmeškných hodin n jednoho žák z druhé pololetí ve všech třídách třetího ročníku střední školy. Počet žáků v jednotlivých třídách III. žáků III. žáků III. žáků Zmeškné hodiny 70 0 0 0 0 0 0 Průměrný počet zmeškných hodin n žák v jednotlivých třídách,,, III. III. Tříd III. Úloh 9 Kolik hodin (zokrouhleno n desetiny) průměrně zmeškl jeden žák třetího ročníku? body ),9 ), ),7 ), E),9 Určení průměrného počtu zmeškných hodin jednoho žák. ročníku:, +, +,, 9 + + Jeden žák. ročníku zmeškl průměrně,9 hodin. Správná odpověď je E). elkový počet zmeškných hodin všech žáků. ročníku vydělíme počtem žáků. Výchozí tet k úloze 0 Kretní hr kvrteto se hrje s různými krtmi. Všech kret lze rozdělit do skupin po čtyřech krtách, do tzv. kvrtet. Kždá krt náleží pouze do jednoho kvrtet. Z promíchného blíčku dostne hráč osm kret. Úloh 0 Jká je prvděpodobnost, že hráč dostne dvě kvrtet? body ) )!!! ) 7 ) ( ) ( ) ( ) E) jiná hodnot Jev : Hráč dostne dvě kvrtet. P( ) m n n ( ) m ( ) ( ) P( ) ( ) Prvděpodobnost, že hráč dostne dvě kvrtet, je Správná odpověď je ). ( ) ( ). Prvděpodobnost P() jevu určíme jko podíl počtu m všech výsledků příznivých jevu počtu n všech možných výsledků náhodného pokusu. Počet n všech možných výsledků náhodného pokusu je roven počtu všech způsobů, kterými lze z blíčku kret vybrt skupinu kret, tj. počtu všech členných kombincí z prvků. Počet m všech výsledků příznivých jevu je roven počtu všech způsobů, kterými lze z blíčku kret vybrt skupinu osmi kret obshující dvě kvrtet. Počet těchto výběrů je roven počtu všech způsobů, kterými lze vybrt právě dvě kvrtet z osmi kvrtet, tj. počtu všech členných kombincí z osmi prvků. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet obrázek k úloze Vstupní brán do zámeckého prku je vytvořen z železných tyčí zkončen půlkružnicovým obloukem o poloměru, m. Vzdálenosti mezi sousedními tyčemi jsou stejné, délk nejkrtší tyče je m., m P S l v m s Úloh ), m ),90 m ),9 m ),00 m E) jiná délk Jká je délk druhé (v obrázku silně vyznčené) tyče? Tloušťku železných prutů, z nichž je brán vytvořen, znedbejte. body Oznčíme: s........................................ šířk brány v................ vzdálenost mezi sousedními tyčemi l................................... délk druhé tyče Určení vzdálenosti mezi sousedními tyčemi: s, m m v ( : 0) m 0, m Výpočet P v prvoúhlém trojúhelníku SP: S r, m SP v 0, m, m P S SP P S SP Šířk brány je rovn průměru kružnice, jejíž částí je kružnicový oblouk, je rozdělen tyčemi n 0 stejných dílů. V obrázku vyznčíme prvoúhlý trojúhelník SP s prvým úhlem při vrcholu P. od S je středem kružnice, jejíž částí je kružnicový oblouk. od leží n kružnicovém oblouku oznčuje vrchol druhé tyče. K výpočtu P využijeme Pythgorovu větu pro trojúhelník SP. P P,, 0, 9 m m Stnovení délky druhé tyče: l m + 0, 9 m,9 m ruhá tyč je dlouhá,9 m. Správná odpověď je ). opočítáme délku druhé tyče. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet obrázek k úloze Z ppíru tvru rovnostrnného trojúhelníku o délce strny 0 cm odstřihneme tři menší trojúhelníky podle obrázku. ostneme rovnormenný lichoběžník. 0 cm 0 cm 0 0 cm 0 0 70 0 0 0 70 0 cm cm cm cm Úloh ),7 cm ), cm ), cm ), cm E),7 cm Jká je délk (zokrouhlená n desetiny centimetru) rmene lichoběžníku? body V trojúhelníku pltí (viz obrázek): cm 0 0 70 0 0 ( 70 + 0 ) 0 Výpočet délky strny : sin 0 sin 0 sin 0 sin 0 sin 0, cm Jeden ze shodných odstřižených trojúhelníků oznčíme. élk rmene lichoběžníku je rovn délce strny trojúhelníku. Ke stnovení velikosti úhlu využijeme vlstnosti vedlejších úhlů. Velikost úhlu je rovn velikosti vnitřního úhlu rovnostrnného trojúhelníku. Velikost úhlu dopočítáme ze součtu velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku. Trojúhelník je určen podle věty usu. K výpočtu délky strny využijeme sinovou větu. élk rmene lichoběžníku je, cm. Správná odpověď je ). idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 7
Úloh ) 0 7 ) 0 ) 07 ) 07 E) jiná hodnot 0 0 Součin lze zpst ve tvru k. Jká je hodnot eponentu k? 0 0 Úprv součinu vyjádření eponentu k: 0 0 k + + + + + 0+ 0 k k + + + + + 0+ 0 Stnovení počtu n sčítnců (počtu členů ritmetické posloupnosti):, n 0, d n + ( n ) d 0 + ( n ) 0 + n 00 n n 0 Výpočet eponentu k: s n n ( + n) k s 0 ( + ) ( + ) 0 0 0 0 07 Správná odpověď je ). body Sestvíme eponenciální rovnici. Levou strnu rovnice vyjádříme jko mocninu o zákldu. Porovnáme eponenty mocnin n obou strnách rovnice vyjádříme k. Jednotlivé sčítnce jsou členy ritmetické posloupnosti s diferencí d. Ke stnovení počtu sčítnců eponentu k využijeme vzorec pro vyjádření n-tého členu ritmetické posloupnosti pomocí prvního členu. Eponent k je roven součtu 0 členů posloupnosti. o vzorce pro součet prvních n členů ritmetické posloupnosti dosdíme známé hodnoty n,, n dopočítáme s 0. Výchozí tet obrázek k úloze Z drátu určité délky bylo zhotoveno šest čtverců. Podíl délek strn kždých dvou sousedních čtverců je stejný. N vytvoření nejmenšího čtverce se spotřebovlo cm drátu, n vytvoření největšího čtverce 0 cm drátu. Úloh ) 9 cm ) 90 cm ) 9 cm ) 90 cm E) 9 cm Kolik centimetrů drátu se spotřebovlo n vytvoření všech čtverců? Spotřebu mteriálu n spoje ohyb neuvžujte. Určení prvního šestého členu geometrické posloupnosti: o cm o 0 cm Výpočet kvocientu q geometrické posloupnosti: n on o q o o q 0 q q q Určení součtu prvních šesti členů geometrické posloupnosti: s q n n ; o cm; q q s cm s 9 cm N vytvoření všech čtverců se spotřebovlo 9 cm drátu. Správná odpověď je ). body élky strn tedy i obvody čtverců tvoří geometrickou posloupnost. Obvod o nejmenšího čtverce je prvním členem posloupnosti, obvod o největšího čtverce je šestým členem posloupnosti. Vyjádříme šestý člen posloupnosti pomocí prvního členu dopočítáme kvocient q. élk drátu potřebného k vytvoření všech čtverců je rovn součtu prvních šesti členů posloupnosti. o vzorce pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dosdíme známé hodnoty q dopočítáme s. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0
Výchozí tet k úloze Je dán prvidelný šestiboký hrnol EFGHIJKL. Střed dolní podstvy je oznčen S. Všechny hrny hrnolu mjí stejnou délku. Úloh Přiřďte ke kždé odchylce (..) odpovídjící velikost úhlu () F)). m. body. odchylk přímek F E L K élku hrny hrnolu oznčíme. Podstvmi prvidelného šestibokého hrnolu jsou dv shodné prvidelné šestiúhelníky. Prvidelný šestiúhelník je tvořen šesti shodnými rovnostrnnými trojúhelníky. G H p F S α S I E J q. F) Oznčíme: p F, q E Odchylk přímek p q: pq S S 90 Odchylk dvou různoběžných přímek je rovn velikosti kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky svírjí. Odchylk přímek F E je rovn velikosti úhlu, který svírjí úhlopříčky kosočtverce SEF. Protože úhlopříčky kosočtverce jsou k sobě kolmé, je odchylk přímek 90.. odchylk přímek F HK L G H I p F β S K E r J r. ) Oznčíme: p F, r HK, r E Odchylk přímek p r : b pr pr ESF 0 Odchylk mimoběžných přímek je rovn odchylce různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžných s dnými mimoběžkmi. Odchylk mimoběžných přímek F HK je tedy rovn odchylce různoběžných přímek F E, tj. velikosti vnitřního úhlu rovnostrnného trojúhelníku.. odchylk přímky KS roviny L K G H I F E J. ) Oznčíme: k KS, r, k ES Odchylk přímky k roviny r: g k ρ kk ESK 0 90 Odchylk přímky KS roviny je rovn odchylce přímky KS jejího kolmého průmětu ES do roviny, tedy velikosti úhlu ESK. Trojúhelník KSE je prvoúhlý s prvým úhlem při vrcholu E rovnormenný. opočítáme velikost úhlu při zákldně trojúhelníku. k ρ k S γ. odchylk rovin JI JH L G o s ) ) 0 ) ) 0 E) 7 F) 90 H ω F S 0 I σ δ K E J. ) Oznčíme: s JI, w JH, s JI, o JH Odchylk rovin s w: d σω so IJH 0 0 0 Odchylk rovin JI JH je rovn odchylce průsečnic JI JH těchto rovin s rovinou HIJ kolmou k oběm rovinám. Odchylk přímek JI JH je rovn velikosti úhlu IJH. Trojúhelník HIJ je rovnormenný se zákldnou HJ. Úhel při hlvním vrcholu má velikost 0. opočítáme velikost úhlu při zákldně trojúhelníku. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 9
Úloh. strn. úhlopříčk. úhlopříčk V rovnoběžníku pltí ( ; ) b ( ; ). Přiřďte ke kždé úsečce (..) její délku () E)). m. body ) 0 ) 9 ) ) 7 E) jiná délk. ) Výpočet délky strny : élk strny je rovn velikosti vektoru. + 0. ) Výpočet souřdnic vektoru u : Velikost vektoru ( ; ) určíme podle vzorce + Vektor u je součtem vektorů b.. u b u + b u ( + ( ) ; + ) ( ; ) Výpočet délky úhlopříčky : u + 9. ) Výpočet souřdnic vektoru v : élk úhlopříčky je rovn velikosti vektoru u. Vektor v je rozdílem vektorů b. v b v b v ( ; ) ( ; ) Výpočet délky úhlopříčky : v ( ) + 7 élk úhlopříčky je rovn velikosti vektoru v. 0 idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0