Studijní tet pro obor G+K Katedra matematik Fakulta stavební České vsoké učení technické DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc., Doc. RNDr. Jaroslav Černý, CSc. Saba v programu AMSTEX: Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Obrák: Ing. Stanislav Olivík Tpografická úprava: Mgr. Milan Bořík, Ph.D. 4
Další vlastnosti euklidovského prostoru V následující kapitole se budeme abývat obraeními, která uspořádané dvojici, resp. trojici, resp. n-tici reálných čísel přiřadí reálné číslo. Proto nejdříve popíšeme t vlastnosti množin uspořádaných n-tic reálných čísel, které k tomu budeme potřebovat. V kapitole lineární algebr jsme euklidovskou rovinu E a její aměření V, resp. euklidovský prostor E 3 a jeho aměření V 3 totožňovali s dvojroměrným aritmetickým prostorem R, resp. trojroměrným prostorem R 3. Bod jsme načili A = [a, a, a 3 ] a vektor = (,, 3 ). Definovali jsme vdálenost dvou bodů A, B a velikost vektoru AB = (a b ) + (a b ) + (a 3 b 3 ) = + + 3. Ted euklidovskou rovinu, resp. euklidovský prostor, i jejich aměření, chápeme jako množinu uspořádaných dvojic, resp. trojic reálných čísel. Analogick můžeme chápat n-roměrný euklidovský prostor E n, resp. jeho aměření V n, jako množinu R n uspořádaných n-tic reálných čísel, které naýváme bod a načíme A = [a,..., a n ], resp. vektor = (,..., n ). Analogick definujeme vdálenost bodů A, B a velikost vektoru AB = (a b ) + + (a n b n ), = + + n. Okolí bodu A R n, n, o poloměru r, r >, je množina U(A) = {X R n ; XA < r}. Prstencové okolí bodu A je množina P(A) = U(A) {A}. Bod A M, M R n, se naývá vnitřní bod množin M, jestliže eistuje okolí bodu A, které je částí množin M. Bod A R n, k němuž eistuje okolí, ve kterém neleží žádný bod množin M R n, se naývá vnější bod množin M. Množina všech vnitřních bodů množin M se naývá vnitřek množin M. Můžeme ted říci, že v rovině R je okolí bodu A vnitřek kruhu o středu v bodě A a poloměru r, v prostoru R 3 je okolí bodu A vnitřek koule o středu v bodě A a poloměru r. Množina M se naývá otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. Bod A R n se naývá hraniční bod množin M, jestliže v každém jeho okolí leží jak bod množin M, tak bod, které do ní nepatří. Množina všech hraničních bodů množin M se naývá hranice množin M.
A 3 A A M Náorný výnam uvedených pojmů je na obráku. Bod A je vnitřním bodem, bod A je hraničním bodem a bod A 3 je vnějším bodem množin M. Obr. Množina M se naývá uavřená, obsahuje-li svoji hranici. Zdálo b se, že náorně můžeme říci, hranice množin je čára, která ji ohraničuje. Ale např. vememe-li a množinu M množinu těch bodů X = [, ], které mají obě souřadnice racionální, snadno se přesvědčíme, že hranicí je celá rovina. Množina M se naývá omeená, jestliže eistuje takové okolí jejího libovolného bodu, jehož částí je celá množina M. Množina, která není omeená, se naývá neomeená. Bod A R n se naývá hromadný bod množin M R n, jestliže každé jeho okolí obsahuje nekonečně mnoho bodů množin M. Funkce dvou proměnných Funkcí dvou proměnných naýváme každé obraení f množin M R do množin R reálných čísel. Funkce dvou proměnných bude ted pro nás dvojice množina M a předpis f, který každé dvojici [, ] M přiřadí právě jedno R. Často budeme funkci adávat jenom předpisem f a a M budeme brát množinu těch [, ] R, pro které má tento předpis smsl. Množinu M naýváme definiční obor funkce f, načíme D f. Souřadnice, bodu X D f naýváme neávisle proměnné funkce f. Množinu H f = {f(, ) R; [, ] D f } naýváme obor hodnot funkce f. Číslo f(, ) se naývá hodnota funkce f, také ávisle proměnná funkce f. Grafem funkce f naýváme množinu všech bodů [,, f(, )] prostoru R 3 (ve volené kartéské soustavě souřadnic), pro které [, ] D f. Graf funkce nám více přiblíží sstém vrstevnic. Vrstevnice funkce je množina těch bodů [, ] D f, pro které je f(, ) = c, kde c H f. Příklad. Lineární funkce, nebo její část, je dána rovnicí = a + b + c. Jejím grafem je rovina, nebo její část. 3
Funkce f : = obrauje množinu M = {[, ] R ;, } na interval H f =,. Graf funkce f je trojúhelník ABC, kde A = [,, ], B = [,, ], C = [,, ]. Vrstevnice jsou úsečk + = c, c H f rovnoběžné se stranou AB. C B A B A Funkce g : = obrauje množinu M = {[, ] R ;, } na interval H g =,. Grafem je část rovin rovnoběžné s osou v. oktantu. Vrstevnice jsou polopřímk, s počátečním bodem na ose v intervalu,, rovnoběžné s osou v. kvadrantu. Funkce{ h : = + obrauje rovinu R na interval H h =, + ). Grafem +, pro, R h(, ) = jsou dvě růnoběžné polorovin se společnou hraniční přímkou. Vrstevnice jsou přímk rovnoběžné s osou, pro, R. Funkce F : = + obrauje rovinu R na interval H F =, + ). Grafem +, pro,, pro, F (, ) = je plášť části pravidelného čtřbokého jehlanu., pro,, pro, Vrstevnice jsou čtverce se středem v O. 4
Než uvedeme další příklad funkcí, míníme se stručně o některých jednoduchých plochách v prostoru. Graf mnohých funkcí dvou proměnných jsou totiž právě tto ploch, nebo jejich části. Rotační ploch Předpokládejme, že v souřadnicové rovině máme dánu křivku (čáru) k rovnicí k X ' X X " g(, ) =. Ze střední škol náme např. rovnici přímk a rovice kuželoseček. Budeme-li nní křivku k otáčet kolem os, budou její bod opisovat kružnice, v rovinách kolmých na osu, a celá křivka k opíše plochu. Určíme její rovnici. Bod X bude ležet na rotační ploše, právě kdž se při otočení kolem os otočí do bodu X, nebo do bodu X křivk k, obr.. Má-li bod X souřadnice [,, ], potom Obr. X = [ +,, ], X = [ +,, ]. Bod X tudíž leží na rotační ploše vtvořené křivkou k právě tehd, je-li g( +, ) =, nebo g( +, ) =. Toto jsou obecné rovnice rotační ploch. Speciálním případem rotačních ploch jsou rotační kvadratické ploch, neboli rotační kvadrik. Některé nich náme e střední škol, např. kulovou plochu (sféru), rotační válcovou nebo kuželovou plochu. V následujícím přehledu u každé ploch uvedeme rovnici vtvořující křivk k i upravenou rovnici rotační kvadrik K. 5
Rotační kvadrik Kulová plocha (sféra) Elipsoid ploštělý Elipsoid protáhlý k : + = r K : + + = r K : + k : a + b =, a > b a k : b + a =, a > b + b = K : + b + a = Jednodílný hperboloid Dvoudílný hperboloid Kuželová plocha k : a b = K : + a k : a + b = k : = a b = K : + a + b = K : a ( + ) = 6
Paraboloid Paraboloid Válcová plocha k : = a, a > k : = a, a < k : = r K : = a( + ) K : = a( + ) K : + = r Translační ploch Tak jako u ploch rotačních budeme předpokládat, že v souřadnicové rovině máme dánu křivku k rovnicí g(, ) =. Dále budeme předpokládat, že je dána funkce = h() s definičním oborem D h a její graf onačíme k. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že O D h a že křivk k a k mají společný bod A = [,, h()], vi. obráek 3. Budeme-li křivku k posouvat tak, ab bod A se pohboval po křivce k, vtvoří všechn poloh křivk k plochu P. k k ' A X Obr. 3 A '. k Takové ploch naýváme translační ploch. Určíme jejich rovnici. Ab bod X = [,, ] ležel na ploše P, musí být obraem nějakého bodu křivk k při posunutí (translaci), které bod A převede do bodu A = [,, h( )], tj. při posunutí o vektor u = (,, h( ) h()). Ted bod X je bodem ploch P, jestliže obra bodu X při pětném posunutí, tj. o opačný vektor u = (,, h() h( )), leží na křivce k. Ted bod [,, + h() h( )] vhovuje rovnici g(, ) =. Rovnice translační ploch potom je g(, + h() h()) =. Jestliže křivka k bude také grafem funkce = g(), bude g(, ) = g() a rovnice 7
translační ploch bude + h() h() g() =. Speciálním případem translačních ploch jsou opět kvadrik, válcové ploch a paraboloid. Obecná válcová plocha je taková translační plocha, pro kterou funkce h je lineární, ted jejím grafem k je přímka. Obecnou válcovou plochu dostaneme řejmě tak, že všemi bod křivk k vedeme rovnoběžné přímk s přímkou k. První tři následujících translačních ploch jsou ploch válcové, tudíž křivku k nemusíme uvádět. Translační kvadrik k : a + b = Válcová plocha eliptická hperbolická parabolická k : a b = k : = a P : ( k) + a b = P : ( k) a b = P : k = a Eliptický paraboloid Hperbolický paraboloid k : = a, k : = b k : = a, k : = b P : = a + b P : = a b pro a = b je P rotační paraboloid -4 4-4 - - - - -4-4 - 4 8
Příklad. Kvadratická funkce je dána rovnicí = a + b + c + d + e + f, kde aspoň jedno čísel a, b, e je růné od nul. Funkce f : = + obrauje rovinu R na interval, + ). Grafem funkce f je rotační paraboloid, vrstevnice jsou kružnice + = c, c. - - - - - - Funkce g : = + 3 obrauje rovinu R na interval, + ). Grafem funkce g je eliptický paraboloid, vrstevnice jsou elips + 3 = c, c. - - - - - - - Funkce h : = obrauje rovinu R na množinu R. Grafem funkce h je hperbolický paraboloid, vrstevnice jsou hperbol = c, c R. -.5 -.5.5 -.5 - - - -.5.5 - - - Funkce F : = obrauje rovinu R na množinu R. Grafem funkce F je hperbolický paraboloid, vrstevnice jsou hperbol = c, c R. 9
.5 -.5 -.5 -.5 - - - -.5.5 - - - Příklad 3. Iracionální funkce Funkce f : = obrauje množinu M = {[, ] R, + } na interval H f =,. Grafem funkce f je polosféra, vrstevnice jsou kružnice + = c, c H f..5.75.5.5 - -.5.5 - -.5.5 -.5 - - -.5.5 Funkce g : = + obrauje rovinu R na interval H g =, + ). Grafem funkce g je část rotační kuželové ploch, vrstevnice jsou kružnice + = c, c H g 3.5 - - -.5 - - -.5.5 Funkce F : = obrauje množinu M = {[, ] R ; } na interval H F =, + ). Grafem funkce F je část rotační kuželové ploch, vrstevnice jsou hperbol = c, c H F.
3 - - - - - - Ponámka. V případě funkcí = + = + = jsou vrstevnice jejich grafů kružnice c = + c = + c = + Abchom vrstevnic určili odpovídající graf těchto funkcí, musíme také sledovat vtah volené konstant = c a proměnné, případně = = = + - - Limita a spojitost Pomocí limit jsme mohli u funkce jedné proměnné vjádřit chování funkčních hodnot a situace, kd se neávisle proměnná blížila k nějakému bodu a. Limita nám tak pomohla popsat spojitost, či nespojitost funkce v bodě. Hlavní úlohu přitom hrála vdálenost bodů jak v definičním oboru, tak v oboru hodnot funkce. Tuto vdálenost, nebo
stav, že se bod blíží k bodu, jsme u funkce jedné proměnné popisovali vžd v jednom směru, buď ve směru os, nebo ve směru os. U funkce dvou i více proměnných situaci blížení bodu X k bodu A můžeme také popisovat pomocí vdálenosti bodů, ale směrů, ve kterých se k bodu A můžeme blížit je de nekonečně mnoho. Situace je ted složitější a m se o ní míníme jenom okrajově. Připomeňme ještě, že R jsme onačili rošířenou množinu reálných čísel o dva smbol, a +. Říkáme, že funkce f má v bodě A R, který je hromadným bodem množin D f, limitu α R, jestliže ke každému okolí U(α) eistuje prstencové okolí P(A) takové, že pro každé X P(A) D f je f(x) U(α). Píšeme lim f(x) = α. X A Funkce f je spojitá v bodě A D f, jestliže lim f(x) = f(a). X A Je-li funkce f spojitá v každém bodě množin M, říkáme, že je spojitá na množině M. Limit funkcí dvou proměnných mají vlastnosti analogické k vlastnostem limit funkcí jedné proměnné. Uveďme si několik příkladů, na kterých uvidíme, že určování limit funkcí více proměnných není vůbec snadné. Situaci sledujme na obrácích. Příklad 4. Na obráku 4 je část grafu funkce = +, - 4 3 - - - Obr. 4 která je definovaná na celé rovině R kromě počátku O = [, ] a obor hodnot má (, + ). Vrstevnicemi jsou kružnice + = c, c >. Jejich poloměr se s neomeeně rostoucím c neomeeně menšuje. Zřejmě funkce v bodě O není spojitá, její limita de je lim X O Na obráku 5 je část ploch, na které leží graf funkce = +. + = +. Funkce je definovaná na celé rovině R kromě počátku O = [, ] a obor hodnot má interval, ( + ). Vrstevnicemi jsou přímk, a to pro c = osa, pro
c = osa a pro c (, ) rovnici c ( c) = přepíšeme na součin lineárních dvojčlenů: ( c c)( c + c) =. Nní je řejmé, že vrstevnicemi jsou růnoběžné přímk..75.5.5 - -.5.5 Obr. 5 - -.5.5 Funkce v bodě O nemá limitu, neboť blížíme-li se k počátku po ose, má de hodnotu, blížíme-li se po ose, má de hodnotu, tj. lim lim ( lim ( lim ) + = ) + =. Na obráku 6 je část grafu funkce = 4 +. Funkce je definovaná na celé rovině R kromě počátku O = [, ]. Určíme obor hodnot. Vrstevnice jsou dán rovnicí c + c 4 =. Zvolíme-li v ní c, můžeme volit i a řešit kvadratickou rovnici pro. Její diskriminant je 4 4c 4 = 4 ( 4c ). Tudíž rovnice má řešení právě kdž c,. Pro c = jsou vrstevnicemi os,. Tudíž blížíme-li se k počátku po těchto osách, bude limita funkce rovna nule. To bude dokonce platit i tehd, budeme-li se k O blížit po jakékoliv přímce = k, např..5.5 -.5 -.5 - -.5.5 Obr. 6 - -.5.5 lim X O 4 + = lim k 3 ( + k ) =. Avšak budeme-li se k bodu O blížit po parabole =, bude limita lim 4 4 + 4 =. Vidíme, že funkce nemá v bodě O limitu. 3
Parciální derivace Derivací funkce jedné proměnné v bodě a jsme měřili rchlost měn funkční hodnot při přechodu od bodu a k bodu. Pro funkci f dvou proměnných budeme muset nejdříve volit směr, kterým se v rovině R vdáme bodu A do bodu X, tj. směr, ve kterém budeme funkci f derivovat. Dříve než nadefinujeme derivaci funkce v libovolném směru, vjděme náorné představ derivace podle proměnných,. Nechť funkce = f(, ) je definována v okolí U(A) bodu A = [a, b]. Množina bodů [, b] U(A) určuje funkci g() = f(, b) jedné proměnné, obr. 7. Její vlastní derivaci v bodě a g g(a + h ) g(a) f(a + h, b) f(a, b) (a) = lim = lim h h h h říkáme parciální derivace funkce f v bodě A podle proměnné a načíme f(a) ji, nebo krátce f (A). Analogick definujeme parciální derivaci funkce f v bodě A podle proměnné f(a) f(a, b + h ) f(a, b) = lim. h h Obr. 7 Vhledem k tomu, že jsme parciální derivace definovali pomocí derivace funkce jedné proměnné, platí pro ně všechna pravidla pro derivace funkcí jedné proměnné. Příklad 5. Počítejme parciální derivace funkce = arctg v bodě A = [, ]. Podle definice můžeme do funkčního předpisu dosadit = a derivovat funkci proměnné. Do ískané derivace potom dosadíme =. (, ) = + = + 4, (, ) = 5. 4 Nebo můžeme derivovat podle jedné proměnné, přitom na druhou proměnnou pohlížet jako na konstantu, a do výsledné derivace dosadit bod A. V našem případě derivujeme podle s tím, že je konstanta. (, ) = + = +, (, ) = 5. 4
Derivace složené funkce Nejdříve si připomeneme pravidlo pro derivaci složené funkce pro funkce jedné proměnné: Jestliže = f() a = g(t) jsou funkce jedné proměnné a H g D f, můžeme sestrojit složenou funkci F takovou, že F (t) = f(g(t)). Potom její derivace v bodě t D g bude F f(g(t)) f(g(t )) (t ) = lim = lim t t t t f(g(t)) f(g(t )) t t g(t) g(t ) Eistují-li derivace f (g(t )) a g (t ), plne rovnosti () námý vorec F (t ) = df d (g(t )) g (t ). g(t) g(t ) t t. () Nechť f : = f(, ) je funkcí dvou proměnných a = ϕ(t), = ψ(t) jsou funkce jedné proměnné, D ϕ = D ψ a H ϕ H ψ D f. Potom můžeme opět sestrojit složenou funkci F takovou, že F (t) = f(ϕ(t), ψ(t)). Pro t D ϕ eistuje okolí U(t ) D ϕ takové, že pro každé t U(t ) je X = [ϕ(t), ψ(t)] D f. Podle (), abchom určili derivaci složené funkce F, počítáme limitu F (t ) = lim t t f(ϕ(t), ψ(t)) f(ϕ(t ), ψ(t )) t t. () Pokud b např. ϕ bla konstantní, blížili bchom se s bodem X k bodu A = [ϕ(t ), ψ(t )] po rovnoběžce s osou a mohli bchom vužít parciální derivace funkce f. To v obecném případě neplatí. Proto přírůstek funkce f ve () upravíme na tvar f(ϕ(t), ψ(t)) f(ϕ(t), ψ(t )) + f(ϕ(t), ψ(t )) f(ϕ(t ), ψ(t )). Vorec () pak bude mít tvar F (t ) = lim t t ( f(ϕ(t), ψ(t )) f(ϕ(t ), ψ(t )) t t + f(ϕ(t), ψ(t)) f(ϕ(t), ψ(t )) t t Jestliže derivace funkcí ϕ a ψ jsou spojité v bodě t a parciální derivace funkce f jsou spojité v bodě A, můžeme limitu součtu dvou lomků nahradit součtem limit a každou nich upravit podle vorce (). Derivace složené funkce F (t) = f(ϕ(t), ψ(t)) v bodě t je rovna F (t ) = f(a) ϕ (t ) + f(a) Tento vorec bude platit i a obecnějších předpokladů. ). ψ (t ). (3) Jsou-li funkce ϕ a ψ funkce dvou proměnných u, v, potom pro výpočet derivací složené funkce F (u, v) = f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) 5
v bodě [u, v ], ve kterém mají funkce ϕ, ψ spojité derivace a funkce f má spojité derivace v bodě A = [ϕ(u, v ), ψ(u, v )], použijeme vorec (3) F (u, v ) u F (u, v ) v = f(a) ϕ(u, v ) u = f(a) ϕ(u, v ) v + f(a) + f(a) ψ(u, v ), u ψ(u, v ). (4) v Geometrický výnam parciálních derivací Gradient Nechť funkce f má v bodě A = [a, b] spojité parciální derivace podle obou proměnných. Obr. 8 Parciální derivace f (A), určuje směrnici tečn řeu grafu funkce f v bodě T = [a, b, f(a, b)] rovinou = b. Analogick parciální derivace f (A) určuje směrnici tečn řeu grafu funkce f v bodě T rovinou = a, vi obráek 8. Směrové vektor těchto tečen jsou t = t = (,, f(a) (,, f(a) ), ). Každou křivku v rovině můžeme vjádřit parametrickými rovnicemi = ϕ(t), = ψ(t). Nechť k je taková křivka definičního oboru funkce f, obr. 9. 6
Té odpovídá na grafu funkce f křivka k s parametrickým vjádřením P (t) = [ϕ(t), ψ(t), f(ϕ(t), ψ(t))]. Její tečný vektor v bodě t je ( ) P (t ) = ϕ (t ), ψ df(ϕ(t), ψ(t)) (t ), (t ). dt Je-li ϕ(t ) = a, ψ(t ) = b, vplývá e vorce (3) Obr. 9 P (t ) = ϕ (t ) t + ψ (t ) t. Tudíž tečné vektor všech křivek, procháejících bodem [a, b, f(ϕ(t ), ψ(t ))], vplní rovinu τ. Rovina τ se naývá tečná rovina grafu funkce f. Vektor t, t určují její aměření. Rovnice tečné rovin τ je Vektor f(a) ( a) + f(a) ( b) ( f(a)) =. (5) ( f(a) n =, f(a) ), je normálový vektor grafu funkce f v bodě T. Kolmý průmět n vektoru n do souřadnicové rovin, obr. 8, je vektor ( f(a) grad f(a) =, f(a) ), (6) který naýváme gradient funkce f v bodě A. Pro = f(a) je množina bodů {[, ] D f ; f(, ) = f(a)} vrstevnice grafu funkce f v bodě A. Dosadíme-li též do rovnice (5) tečné rovin, dostáváme f(a) ( a) + f(a) ( b) = tečnu této vrstevnice. Ted gradient funkce f v bodě A je normálovým vektorem vrstevnice v bodě A. Příklad 6. Geometrický výnam derivace složené funkce dvou proměnných si ukážeme na polárních souřadnicích. Funkce = (ϱ, ϕ) = ϱ cos ϕ, = (ϱ, ϕ) = ϱ sin ϕ, 7
jsou definované na rovině R. Jejich derivace určují tečné vektor souřadnicových křivek, kružnic a polopřímek, obr., t ϕ = ( ϕ, ) ϕ, t ϱ = ( ϱ, ). ϱ Obr. Nechť funkce = f(, ) je definována v okolí bodu A = [(ϱ, ϕ ), (ϱ, ϕ )] a má v něm spojité parciální derivace. Potom parciální derivace složené funkce F (ϱ, ϕ) = f((ϱ, ϕ), (ϱ, ϕ)) podle (4) jsou F (ϱ, ϕ ) ϱ F (ϱ, ϕ ) ϕ = f(a) cos ϕ + f(a) sin ϕ, = f(a) ( ϱ sin ϕ ) + f(a) ϱ cos ϕ. (7) Příklad 7. V mnohých úlohách je výhodnější pracovat právě s polárními souřadnicemi než se souřadnicemi kartéskými. Např. rovnice f f = transformovaná do polárních souřadnic bude mít jednodušší tvar. O tom se přesvědčíme, jestliže soustavu rovnic (7) vřešíme pro nenámé parciální derivace f a f. Soustava rovnic (7) přepsaná do maticového tvaru v obecném bodě je ( ) ( ) ( ) Fϱ cos ϕ, sin ϕ f =. ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ F ϕ Vnásobením inverní maticí leva dostaneme nenámé parciální derivace ( ) f = ( ) ( ) ϱ cos ϕ, sin ϕ Fϱ. ϱ ϱ sin ϕ, cos ϕ f Dosaením se přesvědčíme, že daná rovnice transformovaná do polárních souřadnic má tvar F ϕ =. Derivace v jednotkovém směru a gradient funkce Vorec (3) můžeme přepsat na tvar ( f(a) F (t ) =, f(a) f F ϕ ) (ϕ (t ), ψ (t )) = grad f(a) t, 8
kde vektor t určuje aměření společné tečn všech křivek definičního oboru funkce f procháejících bodem A. Ted násobek vektoru t určuje násobek derivace. Mei těmito derivacemi volíme tu, která je určena jednotkovým vektorem u = t/ t a naveme ji derivace funkce f v bodě A ve směru u a píšeme d f(a) d u = u grad f(a). (8) Bude-li vektor u jednotkovým vektorem souřadnicových os,, dostaneme e vorce (8) parciální derivace funkce f podle proměnných,. Ptejme se, da eistuje směr, ve kterém je derivace (8) maimální, resp. minimální. Upravme proto vorec (8) na tvar df(a) du = u grad f(a) cos ϕ, kde ϕ je úhel obou vektorů. Derivace funkce f v bodě A ve směru u bude maimální, resp. minimální, jestliže ϕ =, resp. ϕ = π. Ted derivace funkce je maimální, resp. minimální, jestliže derivujeme ve směru u = grad f(a) grad f(a) gradientu, tj. ve směru kolmém na vrstevnici. Toto maimum, resp. minimum je rovno grad f(a), resp. grad f(a). Tak v bodě T grafu funkce f dostáváme tři ortogonální vektor: ) vektor největšího spádu, tj. vektor tečn spád- ( f(a) n = ( v = f(a) ( f(a) s = nice., f(a) ), nomálový vektor, ), f(a),, f(a), grad f(a) vektor tečn vrstevnice, Příklad 8. Funkce = 4 má definiční obor D f = {[, ] R ; + 4} a obor hodnot H f =,. Parciální derivace v bodě A = [, ] jsou 9
n = Obr. = = 4, (A) 4, (A) grad f(a) = = 4 = 4 4, ), 4 ( grad f(a) = 4. Potom trojice ortogonálních vektorů v bodě T = [,, ], obr., je ( ) ( ) ( ) 4, 4,, v = 4, 4,, s = 4, 4,. 4 Parciální a totální diferenciál funkce Diferencovatelná funkce Vlastní parciální derivace podle, resp. určuje směrnici tečn řeu grafu funkce f rovinou rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou, resp.. Lineární funkce d,a f(h ) = f(a) h, resp. d,a f(h ) = f(a) h jsou parciální diferenciál funkce f v bodě A vhledem k ose, resp.. Ted stejně jako pro funkci jedné proměnné můžeme přírůstk funkce f v okolí bodu A ve směrech souřadnicových os aproimovat parciálními diferenciál, tj. f(a + h, b) f(a, b). = d,a f(h ), resp. f(a, b + h ) f(a, b). = d,a f(h ). Říkáme, že funkce f je v bodě A = [a, b] diferencovatelná, jestliže eistuje okolí U(A) D f, ve kterém le její přírůstek vjádřit ve tvaru f(x) f(a) = K ( a) + K ( b) + ω (X)( a) + ω (X)( b), (9) kde K, K R a funkce ω, ω jsou v bodě A spojité a mají v něm hodnotu nula. Nechť platí (9), potom funkce f je v bodě A spojitá, neboť lim f(x) = f(a). X A
Upravíme-li (9) tak, že dosadíme = b, resp. = a, tj. f(, b) f(a, b) a = K + ω (, b), resp. f(a, ) f(a, b) b = K + ω (a, ), potom limitním přechodem pro a, resp. b, vhledem k tomu, že funkce ω, ω mají v bodě A limitu nula, dostáváme K = f(a), K = f(a). Ted nutná podmínka diferencovatelnosti funkce je Je-li funkce f v bodě A diferencovatelná, potom má v bodě A parciální derivace. Výra d A f(, ) = f(a) f(a) ( a) + ( b) () naýváme totální diferenciál funkce f v bodě A. Postačující podmínka diferencovatelnosti je spojitost parciálních derivací funkce f v bodě A. Vektor h = (h, h ), který má umístění X A = ( a, b), je vektorem diferenciálních ( dostečně malých ) přírůstků d, d neávisle proměnných,. Potom přírůstek (diferenci) ávisle proměnné můžeme aproimovat totálním diferenciálem d = f(, ) f(a, b). = d A f(x). () Vorec () se naývá obecný ákon hromadění skutečných chb. Maimální chba aproimace () je d f(a) d + f(a) d. Obr.
Geometrický výnam totálního diferenciálu je řejmý, obr.. Totální diferenciál () je lineární funkce. Jejím grafem je rovina = f (A)( a) + f (A)( b). Porovnáním této rovnice s rovnicí (5) je řejmé, že je rovnoběžná s tečnou rovinou grafu funkce f v bodě T = [a, b, f(a)]. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě A, je tečná rovina jejího grafu v bodě T dána rovnicí (5). Graf funkce f v okolí bodu A = [a, b] aproimujeme jeho tečnou rovinou v bodě T, tj. f(, ) =. f(a, b) + f(a) ( a) + f(a) ( b). Příklad 9. Určeme chbu při výpočtu délk úhlopříčk obdélníka, jehož stran a = 8m, b = 6m bl měřen s chbou da = 5mm, db = mm. Pro přírůstek délk úhlopříčk podle () je du = u(8, 6) a da + u(8, 6) b db = 64 + 36 ( 8.5 + 6.) =.8m. Chba výpočtu délk úhlopříčk je menší než 3mm. Implicitní funkce jedné proměnné Hledejme odpověď na otáku, kd le rovnicí F (, ) = určit funkci = (), nebo funkci = (), jedné reálné proměnné. To jest, kd le této rovnice některou proměnných vpočítat jednonačně v ávislosti na druhé proměnné. Z některých rovnic umíme takovou funkci vpočítat i nakreslit množinu bodů [, ] R, které jsou takovou rovnicí určen. Např. rovnice 3 = vpočítáme = 3. U následujících tří rovnic se nám to nepodaří. + 4 = + = 4 4 8 + 4 + 3 = A B,5
V prvním případě rovnice popisuje kružnici se středem v počátku a s poloměrem. Z rovnice umíme vpočítat = 4, tj. rovnicí je dána funkce = 4 na intervalu, (nebo na jeho podintervalu). Ale také funkce = 4 na intervalu, (nebo na jeho podintervalu). Je ale řejmé, že tuto dvojnačnost le odstranit, jestliže přidáme podmínku na množinu bodů [, ], ve které příslušnou rovnici řešíme, např. >. Vidíme také, že v okolí bodů A = [, ] a B = [, ] neeistuje funkce = (), která b bla danou rovnicí určena. Je ale řejmé, že v okolí těchto bodů bchom mohli vjádřit jako funkci. Druhá rovnice určuje rovnoosou hperbolu a třetí rovnice dvě růnoběžné přímk. Sami určete jak vpadají funkce těmito rovnicemi určené a da tto funkce vůbec eistují. Najděte též bod, v jejichž okolí funkce jedné proměnné určena není. Jak jsme viděli eistují rovnice, popisující křivk v rovině, kterých se nám nepodaří vpočítat, ani, a přesto bchom chtěli o nich vědět více. Např. jak vpadají tečn, či normál, v jejich bodech a v kterých bodech funkce jedné proměnné neeistuje. V uvedených příkladech to bla křivka tvořená dvěma růnoběžkami. V žádném okolí jejich průsečíku se nám nepodaří vjádřit jako funkci, nebo jako funkci. Na dalších obrácích vidíme další křivk, které mají tuto vlastnost. První je Bernoulliova lemniskata a druhá Helmertova křivka. ( + ) a ( ) = ( + ) a b = b -a a -a a -b U obou křivek je tímto kritickým, nebo také singulárním bodem počátek O. U Helmertov křivk navíc platí, že eistuje prstencové okolí počátku, na kterém vůbec žádný bod křivk neleží. Bod O je tv. iolovaný bod křivk. Z uvedených příkladů můžeme usoudit, že rovnicí F (, ) = bude určena funkce = () v okolí těch bodů A = [a, b], F (a, b) =, ve kterých tečna není rovnoběžná s osou, tj. v bodech A, ve kterých vektor grad F (A) a e = (, ) nejsou lineárně ávislé. Rovnice tečn v bodě A, neboť F (, ) = je nulová vrstevnice funkce = F (, ), je F (A) ( a) + F (A) ( b) =. Derivováním složené funkce = F (, ()) podle proměnné dojdeme ke stejné rovnici a navíc uvidíme, že požadavek na to, ab gradient nebl kolmý na osu je nutný. Pro 3
derivaci funkce F podle podle vorce (3) platí F (A) + F (A) (a) =. Potom rovnice tečn grafu funkce = () v bodě A je = F (A) ( a) + b, F (A) kde řejmě F (A). Snadno ověříme, že obě rovnice určují stejnou přímku. Rovnice F (A) F (A) ( a) ( b) = určuje přímku v bodě A, která je kolmá na tečnu. Taková přímka se naývá normála křivk v bodě A. Můžeme ted říci, jestliže pro funkci F platí F (a, b) =, v okolí U(A) bodu A = [a, b] má spojité parciální derivace a F (A), potom eistuje právě jedna funkce f : = (), pro kterou platí. f je definovaná v U(a) a (a) = b,. F (, ()) = pro každé U(a), 3. f má v okolí U(a) spojitou derivaci, která je rovna () = F (, ) F (, ). Příklad. Určíme množinu všech pat kolmic e středu elips a + b = na její tečn. Gradient funkce F (, ) = b + a a b v jejím bodě X = [, ] je vektor grad F (, ) = (b, a ). Potom tečna v bodě X a kolmice bodu O na ni je b + a = a b, a b =. Z obou rovnic vpočítáme souřadnice, bodu X elips = a +, = b +. Dosaením do rovnice elips dostaneme rovnici Helmertov křivk a + b = ( + ). 4
Parciální derivace všších řádů Nechť funkce = f(, ) má parciální derivace f (, ) = f(, ), f (, ) = f(, ), v každém bodě množin M D f. T jsou opět funkcemi dvou proměnných. Eistují-li parciální derivace funkcí f a f v bodě A M f (A) = f(, ) f (A) = f(, ) f (A) = f(, ) f (A) = (A) = f(a), (A) = f(a), (A) = f(a), f(, ) (A) = f(a), naýváme je parciální derivace. řádu funkce f v bodě A, nebo jenom druhé parciální derivace. Přitom f a f se naývají smíšené parciální derivace. řádu. Analogick bchom definovali derivace 3. až n-tého řádu. Příklad. Parciální derivace funkce f(, ) = e cos v každém bodě R jsou f (, ) = e cos, f (, ) = e sin. Parciální derivace. řádu funkce f v libovolném bodě X R jsou f (X) = e cos, f (X) = e sin = f (X), f (X) = e cos. Rovnost smíšených parciálních derivací Pro smíšené parciální derivace platí: Má-li funkce f v okolí bodu A parciální derivace, které jsou v bodě A diferencovatelné, potom platí f(a) = f(a). Jsou-li parciální derivace. řádu funkce f v bodě A spojité, potom parciální derivace. řádu funkce f jsou diferencovatelné a platí rovnost smíšených parciálních derivací. řádu. 5
Diferenciál všších řádů Nechť funkce = f(, ) má v okolí bodu A = [a, b] spojité parciální derivace do n-tého řádu. Onačíme h = (h, h ) = ( a, b) vektor přírůstků neávisle proměnných. Složená funkce F (t) = f(a+th, b+th ) definovaná na intervalu, má podle vorce (3) derivaci F (t) = f(, ) h + f(, ) h. Druhá derivace funkce F je opět podle vorce (3) F (t) = ( ) f(, ) f(, ) h + h h + ( f(, ) h + Druhá derivace F funkce F v bodě t = ) f(, ) h h. d f A (h) = f(a) h + f(a) h h + f(a) h. () se naývá totální diferenciál. řádu funkce f v bodě A. Analogick bchom mohli definovat diferenciál dalších řádů. Výpočet je ale složitý vhledem k množství derivací, nebudeme se tím dále abývat. Přepišme si rovnost (), a předpokladu f, na tvar ( d f A (h) = f h + f ) h + f f f h f f. Zřejmě platí:. d f A (h) > pro každé h o, právě kdž f > a f. d f A (h) < pro každé h o, právě kdž f < a f f f f f f f >, >, 3. eistuje h o takové, že d f A (h) > a eistuje h o takové, že d f A (h ) <, právě kdž f f <. f f V. případě naýváme funkci d f A (h) poitivně definitní, v. případě naýváme funkci d f A (h) negativně definitní a ve 3. případě naýváme funkci d f A (h) indefinitní. 6
Talorův polnom. stupně Kvadratická aproimace Připomeňme, že má-li funkce F jedné proměnné t derivace až do řádu n+ na intervalu,, můžeme ji vjádřit pomocí Talorova polnomu např. v bodě t = ve tvaru F (t) = F () + F ()t + F ()t + + n! F (n) ()t n + R n, (3) kde R n je btek, např. v Lagrangeově tvaru R n = F (n+) (Θt) t n+, Θ (, ). (n + )! Je-li f funkce dvou proměnných, která je v bodě A = [a, b] diferencovatelná a má v okolí U(A) spojité parciální derivace do 3. řádu, můžeme definovat funkci F jedné proměnné t předpisem F (t) = f(a + t( a), b + t( b)). Potom f(, ) = F (). Na funkci F nní použijeme vorec (3) pro n =. Onačíme-li h = a, h = b, je f(a + h) = f(a) + df A (h) + d f A (h) + R, (4) kde df A (h) je totální diferenciál a d f A (h) je totální diferenciál. řádu, Kvadratický polnom d A (h) = f(a) h + f(a) h d A(h) = f(a) h + f(a) h h + f(a) h. T (h) = f(a) + df A (h) + d f A (h) naýváme Talorův polnom. stupně funkce f v bodě A. Chbu aproimace přírůstku funkce f, při použití Talorova polnomu. stupně f(a + h) f(a). = df A (h) + d f A (h), můžeme vjádřit pomocí diferenciálu 3. řádu funkce f R (h) = 3! d3 f C (h), 7
kde C je nějaký bod okolí bodu A. Pro n = dostáváme e (4) Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro funkci dvou proměnných f(a + h) f(a) = f(c) h + f(c) h, Obr. 3 kde C = [c, d] je nějaký bod okolí bodu A, obr. 3. Ted eistuje v intervalu a, a+h bod c takový, že tečna řeu grafu funkce f rovinou = b v bodě [c, b] je rovnoběžná s přímkou [a+h, b, f(a+h, b)], [a, b, f(a)]. Analogick pro ře rovinou = a. Příklad. Talorův polnom. stupně pro funkci f(, ) = e cos ( příkladu ) v počátku O je T (h) = + h + (h h ), kde h = X O. Po dosaení a h, h má polnom tvar = ( + ) +. Jeho grafem je hperbolický paraboloid vi. druhý obráek na obr. 4. Na prvním obráku je graf dané funkce a na třetím graf dané funkce a její Talorův polnom. - - - - - - - - - 7.5 - - - 4 4 5.5 - -.5 Obr.4 Příklad 3. Určíme Talorův polnom. stupně funkce F (, ) = ( + ) a ( ) v počátku O. Ten bude tvaru T (h) = F (O) + d O F (h) + d OF (h). 8
. F (O) =.. F = 4( + ) a, F = 4( + ) + a, d O F (h) =. 3. F = 4(3 + ) a, F = 8, F = 4( + 3 ) + a, d O (h) = a h + a h. Pro h = X O je Talorův polnom = a ( ). Nulová vrstevnice funkce F je Bernoulliova lemniskata ( + ) a ( ) = a nulová vrstevnice Talorova polnomu T jsou dvě růnoběžné přímk =, + =, které jsou tečnami lemniskat v jejím bodě O, obr. 5. -a a Obr. 5 Etrém funkcí dvou proměnných Výnamnou úlohou jak pro funkce jedné proměnné, tak i pro funkce více proměnných, je hledání největší a nejmenší funkční hodnot. Funkce f má v bodě A D f ostré lokální minimum, resp. ostré lokální maimum, jestliže eistuje prstencové okolí P(A) bodu A takové, že pro každé X P(A) D f je f(x) > f(a), resp. f(x) < f(a). 9
Funkce f má v bodě A D f lokální minimum, resp. lokální maimum, jestliže eistuje prstencové okolí P(A) takové, že pro každé X P(A) D f je f(x) f(a), resp. f(x) f(a). Eistuje-li tečná rovina v bodě [a, b, f(a)] grafu funkce f, ve kterém má funkce f etrém, je kolmá na osu, tj. gradient funkce f je nulový vektor. To ale k eistenci etrému nebude stačit. Např. hperbolický paraboloid = má v bodě O tečnou rovinu kolmou na osu a nemá de etrém. Zatímco kužel nemá ve vrcholu O tečnou rovinu a má v něm etrém. Nutná podmínka pro eistenci lokálního etrému Nechť funkce f má spojité parciální derivace v bodě A D f, ve kterém má etrém. Parciální derivaci funkce f podle proměnné, resp. jsme definovali jako derivaci funkce jedné proměnné, resp. f(a) = (f(, b)) =a, resp. f(a) = (f(a, )) =b. Má-li funkce f v bodě A etrém, mají etrém i ře rovinami = b, resp. = a, a ted f(a) =, f(a) =. Ted funkce může mít lokální etrém v bodě, ve kterém je gradient nulový vektor. Jak jsme viděli na obráku, funkce může mít etrém také v bodě, ve kterém neeistují parciální derivace. 3
Takové bod podeřelé eistence etrému se naývají stacionární bod funkce f. Postačující podmínka pro eistenci lokálního etrému Nechť funkce f má spojité parciální derivace. i. řádu v bodě A D f a grad f(a) = o. Vjádříme ji v okolí bodu A pomocí Talorova polnomu. stupně Potom platí: Funkce f má v bodě A f(x) = f(a) + d f A (h) + R (h).. ostré lokální maimum, jestliže d f A (h) je negativně definitní,. ostré lokální minimum, jestliže d f A (h) je poitivně definitní. 3. Funkce f nemá lokální etrém v bodě A, je-li d f A (h) indefinitní. Příklad 4. Funkce f(, ) = 3 3 + + má gradient grad f(, ) = (, + ) roven nulovému vektoru v bodech, pro které = a =. Ted stacionární bod funkce f jsou A = [, ], B = [, ]. Druhé parciální derivace funkce f jsou f =, f =, f =. V bodě A je d f A (h) = h +h indefinitní, tudíž funkce f nemá v bodě A etrém. V bodě B je d f B (h) = h + h poitivně definitní, tudíž funkce f má v bodě B lokální minimum rovné 8 3, obr. 6. 3
Obr. 6 Váané etrém Lagrangeov multiplikátor V mnohých praktických problémech (např. podmínkové vrovnání v teorii chb) nehledáme etrémální hodnot funkce f na celém definičním oboru D f, ale na nějaké jeho podmnožině M = {[, ] R ; g(, ) = }. Funkce g se naývá vaba. Etrém funkce f na množině M se naývají váané etrém. Předpokládejme, že funkce f i g jsou spojité a mají spojité parciální derivace do. řádu na množině M. Budeme-li koumat, je-li A M stacionární bod funkce f, budeme jišťovat jen signaturu (naménko) čísla d f A (t), kde t je tečný vektor křivk g(, ) = v bodě A (etrém hledáme na množině M). Vektor t je kolmý na vektor grad g(a) (g(, ) = je vrstevnice funkce g). Vektor grad f(a) bude násobkem vektoru grad g(a), tj. grad f(a) = λ grad g(a). Roepsáno do souřadnic f(a) λ g(a) =, f(a) λ g(a) Na levé straně obou rovností jsou parciální derivace funkce =. L(,, λ) = f(, ) λ g(, ) 3
v bodě A, ávislé na parametru λ. Funkci L naýváme Lagrangeova funkce a číslo λ naýváme Lagrangeův multiplikátor. To nás přivádí k ekvivalenci: Funkce f má v bodě A váaný etrém na množině M, právě kdž eistuje λ, pro které má funkce L v bodě A lokální etrém. Příklad 5. Určit etrém funkce = na množině M = {[, ] R ; + = 4} namená, určit lokální etrém Lagrangeov funkce Pro stacionární bod funkce L platí L(,, λ) = λ( + 4). L = λ =, L = λ =, + 4 =. Z první rovnice vpočítáme λ =, druhé rovnice λ =. Odtud =, které po dosaení do třetí rovnice dávají čtři bod λ = = A = [, ], B = [, ] λ = = C = [, ], D = [, ]. Gradient funkce g(, ) = + 4 je grad g(, ) = (, ). V naleených stacionárních bodech jsou gradient a vektor t na něj kolmý grad g(a) = (, ), grad g(b) = (, ), t = (, ), grad g(c) = (, ), grad g(d) = (, ), t = (, ). Druhý diferenciál funkce L je d L(h) = λh + h h λh a v bodech A, B (h = t) je áporný, funkce f má v bodech A, B maimum. V bodech C, D je kladný, funkce f má v bodech C, D minimum vi obráek 7. Obr. 7 33
Absolutní etrém funkce Funkce dvou (i více) proměnných, která je spojitá na uavřené a omeené množině M, má podobné vlastnosti jako spojitá funkce jedné proměnné na uavřeném intervalu. Eistují bod A, B M takové, že f(a) je minimum funkce na množině M a f(b) je maimum funkce f na množině M. Zřejmě funkce může mít etrém (minimum, resp. maimum) ve stacionárních bodech, které jsou vnitřními bod množin M, nebo na hranici této množin. Abchom je odlišili od lokálních a váaných etrémů, naýváme je absolutní, nebo globální etrém funkce f na uavřené a omeené množině M. Příklad 6. Abchom určili etrém funkce f(, ) = + + na množině M = {[, ] R ;, }, určíme. stacionární bod funkce f na vnitřku množin M. Anulováním parciálních derivací funkce f dostáváme jediný bod O a funkční hodnotu f(o) =.. stacionární bod na hranici množin M. Hranice množin M je čtverec MNP Q. Na hranici = je derivace funkcí f(±, ) = + rovna f (±, ) = 4. Stacionární bod jsou dva, A = [, ], B = [, ] a funkční hodnot v nich jsou f(a) = f(b) =. Analogick pro hranici = dostáváme dva bod C = [, ], D = [, ] a funkční hodnot v nich f(c) = f(d) = 3. Stacionárními bod hranice jsou vrchol čtverce, neeistují v nich derivace. Jsou to bod M = [, ], N = [, ], P = [, ], Q = [, ] a funkční hodnota v nich je 4. Absolutní maimum funkce f je rovno čtřem ve vrcholech M, N, P, Q hranice množin M a absolutní minimum je v bodě O, obr. 8. Obr. 8 34
Funkce tří proměnných Vše co jsme řekli o funkci dvou proměnných můžeme opakovat pro funkci tří i více proměnných. Problémem b ovšem bl praktick ve všech případech geometrický výnam pojmů. Funkcí tří proměnných naýváme každé obraení f množin M R 3 do množin R. Množina těch bodů [,, ] M, pro které je f(,, ) = c, naýváme hladina (nebo hladinová plocha) funkce f. Jestliže pro bod T = [a, b, c] platí f(a, b, c) = a funkce f má spojité parciální derivace podle všech tří proměnných a f (T ), potom eistuje právě jedna funkce = (, ), pro kterou platí. je definována v okolí U(A) bodu A = [a, b] a c = (a, b),. f(,, (, )) = pro každé [, ] U(A), 3. parciální derivace (, ) = f (,, ) f (,, ), (, ) = f (,, ) f (,, ) jsou spojité v okolí U(A). Říkáme, že funkce = (, ) je definována v okolí bodu T implicitně rovnicí f(,, ) =. Tečná rovina hladin f(,, ) = v bodě T je dána rovnicí Po úpravě f (T ) f (T ) ( a) f (T ) ( b) = c. f (T ) f (T )( a) + f (T )( b) + f (T )( c) =. Ted gradient funkce f v bodě T je kolmý na hladinu, určuje normálu hladin. Ab rovnicí f(,, ) = bla určena funkce = (, ), tento gradient nemůže být kolmý na osu. Příklad 7. Geodetická šířka bodu T na referenčním elipsoidu, tj. rotačním ploštělém elipsoidu, je odchlka jeho normál od rovin rovníku. Geodetická délka bodu T je odchlka rovin nultého poledníku od rovin místního poledníku bodu T, obr. 9. 35
Obr. 9 Určeme geodetickou severní šířku a geodetickou délku bodu T = [,,?] elipsoidu daného rovnicí ( + ) + =. 3 Třetí souřadnice bodu T je = 8. Gradient funkce f(,, ) = ( + ) + v bodě T je n = (,, ) T = ( ) 3,,. Jeho kolmý průmět do rovin je n = (,, ). Pro úhel ϕ vektorů n a n je cos ϕ = nn n n = 5. Geodetická šířka bodu T je ϕ = 47, 6. Při volbě nultého poledníku v rovině bude geodetická délka λ rovna úhlu vektorů (, ), T O = (, ) (nebo jejich násobků), tj. cos λ = (, )(, ) 5 = 5. Ted geodetická délka bodu T je λ = 63, 4. 36