Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin................. 6 3. Suprémum infimum................ 7 4 Posloupnosti 4. Limit posloupnosti................. 5 Řdy 3 5. Kritéri konvergence................ 33 5. Absolutně konvergentní lternující řdy..... 40 6 Funkce 4 6. Limity funkcí.................... 46 6. Spojité funkce n množině............. 53 7 Derivce 57 7. Zákldní věty diferenciálního počtu........ 63 7. Vyšší derivce Tylorov formule........ 66 7.3 Průběh funkce.................... 69 8 Integrály 77 8. Neurčité integrály.................. 77 8. Určité integrály................... 84 8.3 Zákldní věty integrálního počtu.......... 89 8.4 Integrální součet, Riemnnův integrál....... 9 8.5 Aplikce v geometrii fyzice............ 97
Mtemtická nlýz Přehled zkrtek znčení Znčky jsou v přehledu uvedeny v pořdí v jkém se vyskytují v textu s odkzem n strnu prvního použití nebo definice. Znčk Význm Strn V, non V, V negce výroku 6 pro kždé 6 existuje 6! existuje právě jeden 6 konjunkce ( zároveň) 6 disjunkce (nebo) 6 = implikce (jestliže, pk) 6 ekvivlence (právě tehdy, když) 6 k/n n je dělitelné k 8 k n n není dělitelné k 8 je prvkem není prvkem je podmnožinou sjednocení průnik A doplněk množiny prázdná množin X Y krtézský součin f : X Y, y = f(x) funkce z množiny X do množiny Y D(f) definiční obor zobrzení f H(f) obor hodnot zobrzení f f inverzní zobrzení 3
Mtemtická nlýz 3 N přirozená čísl 4 Z celá čísl 4 Q rcionální čísl 4 R reálná čísl 4 C komplexní čísl 4 <, je menší než, je menší než nebo se rovná 5 >, je větší než, je větší než nebo se rovná 5 = rovná se 5 << je mnohem menší ve srovnání 9 X Y X má stejnou mohutnost jko Y 6 nekonečno 7 sup, inf suprémum, infimum 7 mx, min mximum, minimum 7 R + 0 nezáporná reálná čísl 8 U(x 0 ) okolí bodu x 0 9 P (x 0 ) prstencové okolí bodu x 0 9, b uzvřený intervl {x ; x b} 7 (, b) otevřený intervl {x ; < x < b} 9 int A vnitřek množiny A 9 A hrnice množiny A 9 A uzávěr množiny A 9 A n nekonečné sjednocení množin (= A A ) 0 A n nekonečný průnik množin (= A A ) 0 { n } posloupnost reálných čísel lim n limit
4 Mtemtická nlýz e Eulerovo číslo (e =,78...) 5 π Ludolfovo číslo (π =3,4...) 5 n! n-fktoriál (n! = n) 9 n n-tá mocnin čísl ( n = } {{ } ) 9 n log n logritmus čísl n při zákldě 9 ln n přirozený logritmus čísl n 9 n n-tá odmocnin čísl 9 lim inf, lim limes inferior 30 lim sup, lim limes superior 30 n (nekonečná) řd (= + + ) 3 lim f(x) x x 0 limit funkce f v bodě x 0 46 lim f(x) = f(x 0 +) x x 0 limit funkce f v bodě x 0 zprv 46 lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 limit funkce f v bodě x 0 zlev 46 f = O(g) funkce f je omezená ve srovnání s funkcí g 5 f = o(g) funkce f je mlé o funkce g 5 f (x 0 ) = f x0 derivce funkce f v bodě x 0 57 f +(x 0 ) derivce funkce f v bodě x 0 zprv 57 f (x 0 ) derivce funkce f v bodě x 0 zlev 57 f derivce funkce f 57 C(, b ) množin spojitých funkcí n, b 57 C (, b ) množin spojitě diferencovtelných funkcí n 57, b C n (, b ) množin spojitě diferencovtelných funkcí ž 75 do řádu n df(x 0, h) diferenciál funkce f v bodě x 0 58 f druhá derivce funkce f 66 f (n) n-tá derivce funkce f 66 d n f(x 0, h) n-tý diferenciál funkce f v bodě x 0 66
Mtemtická nlýz 5 T n (x, x 0 ) Tylorův polynom v bodě x 0 68 R n+ (x, x 0 ) zbytek Tylorov polynomu 68 f(x) dx neurčitý integrál funkce f 77 f(x) dx určitý integrál funkce f 77 N (, b ) množin Newtonovsky integrovtelných funkcí 85 n, b S(D) horní součet funkce f 9 s(d) dolní součet funkce f 9 f(x) dx horní integrál funkce f 93 f(x) dx dolní integrál funkce f 93 R(, b ) dx množin Riemnnovsky integrovtelných funkcí n, b 93
6 Mtemtická nlýz Zákldy mtemtické logiky První prvidl pro hledání prvdivých úsudků nšel řecký věděc Aristoteles. (384-38 př.n.l.). Stromy v lese jsou ze dřev z gumy. To je divná vět, řeknete si, npůl prvd, npůl lež. Ukážeme si, že z hledisk mtemtické logiky je uvedená vět lživá. Pomocí symbolů budeme v této kpitole zpisovt nše myšlenkové postupy rozhodovt o jejich správnosti. Vycházíme přitom z předpokldu, že jsme schopni se dohodnout, co je co není prvd. Potom můžeme definovt zákldní pojem mtemtické logiky - výrok. Aristoteles využívl výroky s objekty predikáty (tzv. predikátovy počet). Jeho konstrukce správného důkzu se nzývjí sylogismy. Známý příkld sylogismu je: Všichni lidé jsou smrtelní. Sokrtes je člověk. Sokrtes je smrtelný. Aristoteles dokázl n zákldě podobných příkldů odvodit obecná prvidl dedukce. Definice. : Výrok je tvrzení (znčíme V ), o němž má smysl uvžovt, že je buď prvdivé nebo neprvdivé. Negce výroku (znčíme V, non V nebo V ) je prvdivá, jestliže výrok V je neprvdivý nopk. Příkld. : Petrovice u Krviné leží n hrnici s Polskem. (Výrok) Km jdeš? (Není výrok) Všechny hrušky jsou žluté. (Výrok) Existuje hrušk, která není žlutá. (Negce předchozího výroku) Definice. : Kvntifikovné výroky vytváříme použitím kvntifikátorů: - pro kždé ; - existuje ;! - existuje právě jeden. Příkld. : hrušku pltí, že je žlutá. Definice.3 : Složené výroky dostneme spojením výroků pomocí následujících logických spojek. Název konjunkce disjunkce implikce ekvivlence zkrtk = význm zároveň nebo jestliže, pk právě tehdy, když Příkld.3 : Prh je město zároveň Prh leží n Slovensku. (konjunkce) Číslo 3 je prvočíslo nebo číslo 3 je sudé. (disjunkce) Jestliže je trojúhelník rovnostrnný (předpokld implikce), pk je rovnormenný. (závěr implikce) Trojúhelník je rovnostrnný právě tehdy, když jeho úhly jsou shodné. (ekvivlence)
Mtemtická nlýz 7 Nyní si zvedeme prvidl, která určí, kdy jsou složené výroky prvdivé. Pro zkrácení zápisu zvádíme následující definici. Definice.4 : Výrokovou formuli rozumíme složený výrok, ve kterém nhrdíme výroky písmeny (npř. V V ). K zkldtelům mtemtické logiky ptří nglický mtemtik logik George Boole (85-864). Oznčíme-li číslem prvdu (výrok je prvdivý) číslem 0 neprvdu, pk dostneme následující tbulku prvdivostních hodnot výrokových formulí. V V V V V V V V V V V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cvičení. : Určete, který z výroků v předcházejícím příkldu (.3) je prvdivý. [ Konjunkce je neprvdivá, osttní výroky jsou prvdivé. ] Cvičení. : Doplňte tbulku prvdivostních hodnot pro následující výrokové formule: V V ; V V ; (V V ) ; (V V ) (V V ). Boole ukázl souvislosti mezi lgebrickými symboly symboly, které reprezentují logické formy. Algebru logiky zprcovl v dnešním pojetí n konci 9. století E. Schröder nzvl ji Booleov lgebr. Booleov lgebr nlezl široké upltnění v logických obvodech výpočetní technice. V V V V V V V V (V V ) (V V ) (V V ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Typy důkzů Z předchozího cvičení je vidět, že ekvivlenci V V lze nhrdit konjukcí dvou implikcí (V V ) (V V ). Podobně implikci V V můžeme nhrdit její obměnou V V, popřípdě negci implikce nhrdíme výrokem V V. Tyto výroky použijeme v následujících důkzech. N internetové drese http://logik.phl.univie. c.t/ chris/formulruk-zentrl.html lze interktivně vyhodnocovt prvdivost složených výroků.
8 Mtemtická nlýz Při hledání odpovědi n otázku Co to je vlstně důkz? zjistíme, že je to vlstně způsob, jk se přesvědčit o správnosti mtemtických vět. Spolehlivost mtemtických tvrzení je důsledkem metody, kterou se dokzují. Vycházíme z jednoduchých sndno přijtelných tvrzení - xiomů pomocí dohodnutých prvidel mtemtické logiky ověřujeme prvdivost závěrů. Systémem, který je vybudován logicky n xiómech, se zbývl Kurt Gödel (906-978). Proslvil se zejmén důkzem vět o neúplnosti xiomtického systému. Ukázl, že v kždém systému lze zformulovt větu, kterou v rámci tohoto xiomtického systému nelze dokázt. Příkld.4 : Dokžte, že: n N pltí: 3/n 3/n. Tedy dokzujeme ekvivlenci V V, kde V : 3/n, V : 3/n. Důkz ekvivlence V V rozdělíme do důkzu dvou implikcí.. V V, (3/n 3/n ) (Implikce zlev doprv) Použijeme přímý důkz, který spočívá v sestvení řetězce konečného počtu prvdivých implikcí V V V. Konkrétně vyjdeme z předpokldu 3/n dokážeme závěr 3/n : 3/n k N tkové, že n = 3k n = 3 3k 3/n.. V V, (3/n 3/n) (Implikce zprv dolev) Použijeme nepřímý důkz, který spočívá v přímém důkzu obměny V V původní imlikce V V. Konkrétně dokzujeme přímo implikci 3 n 3 n. 3 n n = 3k + n = 3k + ; k N n = 3 (3k + k) + n = 3 (3k + 4k + ) + 3 n. V některých přípdech je výhodnější použít důkz sporem, ve kterém dokážeme, že nepltí negce imlikce. Tedy pltí původní imlikce. Podle cvičení (.) je negce implikce (V V ) ekvivlentní výroku V V (předpokld ponecháme v pltnosti znegujeme závěr implikce). Příkld.5 : Dokžte implikci 5/n 5 n +. Použijeme důkz sporem dokážeme, že nepltí negce implikce ve tvru 5/n 5/n +. Pro spor tedy předpokládáme, že 5/n +. Potom pltí 5/n+ k N : n+ = 5k n = (5k ) n = 5(5k k) + n = 5(5k k) 5 n, což je spor s předpokldem 5/n. Odtud vyplývá, že výrok 5/n 5/n + není prvdivý nopk původní implikce 5/n 5 n + je prvdivá.
Mtemtická nlýz 9 Cvičení.3 : ) Dokžte: n N, n > : 5/n + 3 5/n 4. [ Použijte přímý důkz. 5/n+3 k N : n+3 = 5k n = (5k 3) n = 5k 30k + 9 n 4 = 5(5k 6k + ) 5/n 4 ] b) Dokžte: n N, n > : 7/ n 7 n +. [ Použijte důkz sporem. Přímý důkz: 7/ n n = 7k n 4 = 7k (n )(n + ) = 7k 7 n + 7 n. ]. Mtemtická indukce Definice.5 : Pomocí mtemtické indukce dokzujeme tvrzení V (n) pro přirozená čísl n. Jestliže. V (n 0 ), n 0 N je prvdivé. z pltnosti V (k) vyplývá pltnost V (k + ), k N, pk tvrzení V (n) je prvdivé pro všechn n n 0. Příkld.6 : Dokážeme tvrzení V (n) : + + 3 + + n = n(n+) pro všechn n N.. Tvrzení V (): = (+) je prvdivé.. Předpokládáme, že pltí V (k): + + 3 + + k = k(k+). (Indukční předpokld) Ověříme, že pltí V (k + ): + + 3 + + k + (k + ) = (k+)(k+). (Cíl indukce) Důkz: ( + + 3 + + k) + (k + ) = (použijeme indukční předpokld) = (k)(k+) + (k + ) = k(k+)+(k+) = (k+)(k+). Ověřili jsme ob předpokldy, tudíž tvrzení V (n) je prvdivé pro všechn n N. Mtemtická indukce je zložen n předpokldu, že existuje jedno přirozené číslo (obvykle znčíme ) z kždým přirozeným číslem následuje dlší (následovník). U indukce přecházíme od jednotlivých znlostí k obecným závěrům. Mtemtické indukce dokzuje pltnost dného tvrzení pro všechn přirozená čísl. Poznmenejme, že počítč je schopen ověřit pltnost tvrzení pouze pro konečný počet přirozených čísel.
0 Mtemtická nlýz Příkld.7 : Bernoulliov nerovnost Důkz nerovnosti ( + x) n + nx pro x podl švýcrský mtemtik Jcob I. Bernoulli (654-705). Máme dokázt, že n N, x R, x pltí: ( + x) n + nx.. Pro n = nstne rovnost + x = + x.. Ukážeme, že pltí: (+x) n+ +(n+)x. Uprvíme uvedenou nerovnost dostneme ( + x) n ( + x) + nx + x, ( + x) n + ( + x) n x + nx + x. Podle indukčního předpokldu je ( + x) n + nx stčí tedy dokázt, že Zbývl se rovněž teorií řd dokázl divergenci hrmonické řdy. Vyřešil diferenciální rovnici y = p(x)y + q(x)y n, která nyní nese jeho jméno. ( + x) n x x. Pro x 0 nerovnost zřejmě pltí. Pokud x < 0, pk uvedenou nerovnost vydělíme x dostneme ( + x) n. Tto nerovnost pltí pro x < 0. Což jsme měli dokázt. Cvičení.4 : Dokžte následující vzthy. ) n N : + q + q + + q n = qn q. [ ) = ; ) + q + q + + q n + q n = b) n N, n > 4 : n > n. q n + q qn = qn +q n q n+ q = qn+ q. ] [ ) 5 > 5 ; ) n+ = n > n > (n + ). ] c) n N : + + 3 + + n = (n+)(n+)n 6. [ ) = ; ) + + 3 + + n + (n + ) = (n+)(n+)n 6 + (n + ) = ((n+)n+6(n+))(n+) 6 = (n+3)(n+)(n+) 6. ]
Mtemtická nlýz Množiny Definice. : Množin je soubor objektů, které nzýváme prvky množiny. Píšeme x A čteme x je prvkem množiny A, popř. y B čteme y není prvkem (neptří do) množiny B. Řekneme, že množin A je podmnožinou množiny B, píšeme A B, když pltí: Jestliže x je prvkem množiny A, pk x je tké prvkem množiny B. Zkráceně A B x A x B. Rostoucí mír zobecňování bstrkce v mtemtice vedl k zvedení pojmu množin. První ucelenou teorii množin vytvořil německý mtemtik Georg Cntor (845-98). Příkld. : Zdání množin A = {, 3, 9} - množin je zdán výčtem prvků. B = {x ; x je liché číslo} - množin prvků stejné vlstnosti. Pltí: 4 B A B. Definice. : Rovnost dvou množin je definován vzthem : A = B A B B A. Řekneme, že A je vlstní podmnožin B, jestliže A B A B. Sjednocení množin A, B, znčíme A B pltí A B = {x ; x A x B}. Průnik množin A, B : A B = {x ; x A x B}. Doplněk množiny A : A = {x ; x A}. Rozdíl množin A, B : A\B = {x ; x A x B}. Prázdná množin se znčí neobshuje žádný prvek. Cvičení. : ) Npište negci výroku A B [ x 0 A x 0 B. ] b) Dokžte tvrzení: ) A, b) A\B = A B. [ ) Sporem: Negce implikce x x A je neprvdivá, tedy implikce x x A je prvdivá. b) x A\B x A x B x A x B x A B. ]
Mtemtická nlýz X Y = {(, ), (, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, )} f = {(, ), (b, )}. Zobrzení množin Definice.3 : Krtézským součinem množin X, Y nzveme množinu X Y = {(x, y) ; x X, y Y }, dvojice (x, y) se nzývá uspořádná dvojice prvků množin X, Y. Libovolná podmnožin krtézského součinu se nzývá relce. Podmnožin f X Y se nzývá zobrzení z množiny X do množiny Y, jestliže pltí (x, y ) f (x, y ) f y = y. (Ke kždému x X existuje nejvýše jedno y Y tkové, že (x, y) f). Píšeme : f : X Y nebo y = f(x). Příkld. : Oznčíme-li čs t ujetou dráhu ut s(t), pk dvojice (t, s(t)) tvoří zobrzení. Dvojice (student, známk z mtemtiky) tvoří zobrzení. Dvojice (uto, státní poznávcí znčk) tvoří zobrzení. Cvičení. : Určete, kdy dvojice (známk, student) tvoří zobrzení kdy pouze relci. [ Dvojice tvoří zobrzení, když neexistují dv studenti se stejnou známkou. Jink se jedná o relci. ] D(f)={, b} H(f)={} Definice.4 : Definiční obor zobrzení f se nzývá množin D(f) = {x X ; y Y y = f(x)} (množin vzorů, rgumentů, nezávislé proměnných). Obor hodnot zobrzení f se nzývá množin H(f) = {y Y ; x X y = f(x)} (množin obrzů, závislé proměnných).
Mtemtická nlýz 3 Definice.5 : Zobrzení f: X Y se nzývá prosté (injektivní), jestliže x, x X : x x f(x ) f(x ), n množinu (surjektivní), jestliže y Y x X tkové, že y = f(x), f = {(, ), (b, )} je prosté n. vzájemně jednoznčné (bijektivní), jestliže je prosté, n množinu X = D(f). Příkld.3 : Zobrzení f : číslo losu los je vzájemně jednoznčné zobrzení. Definice.6 : Nechť f X Y je zobrzení. Jestliže množin f = {(y, x) Y X ; (x, y) f} je zobrzení, pk říkáme, že f je inverzní zobrzení k zobrzení f ( nopk). Příkld.4 : Zobrzení f : los číslo losu je inverzní zobrzení k zobrzení f z předchozího příkldu (.3). Vět. : Zobrzení f : X Y je prosté právě tehdy, když existuje inverzní zobrzení f. Důkz : Důkz povedeme sporem. Budeme předpokládt, že množin f = {(y, x) Y X ; (x, y) f} není zobrzení, tedy y Y, x x X tkové, že (y, x ) f (y, x ) f. Potom (x, y) f (x, y) f, což je spor s předpokldem, že f je prosté zobrzení. Nyní pro spor předpokládáme, že f není prosté zobrzení, tedy y Y, x x X tkové, že (x, y) f (x, y) f (y, x ) f (y, x ) f, což je spor s předpokldem, že f je zobrzení. f = {(, ), (b, )} je vzájemně jednoznčné. f = {(, ), (, b)} je inverzní zobrzení k zobrzení f.
4 Mtemtická nlýz 3 Reálná čísl Potřeb počítt dny, úrodu, měřit dělit pozemky p. vedl k vytvoření pojmu číslo. Teprve v 6.století se v Evropě rodí předstv o ircionálních číslech jko o desetinných číslech s neukončeným neperiodickým zápisem. Německý mtemtik Richrd Dedekind (83-96) přišel n myšlenku, že je-li množin rcionálních čísel rozdělen n dvě neprázdné podmnožiny Q, Q tkové, že q Q, q Q : q < q, pk existuje tkové reálné číslo r, že q Q : q r, q Q : q > r. Dnes se tto myšlenk oznčuje jko Dedekindovy řezy. Definice 3. : Přirozená N = {,, 3,...} Zákldní množiny čísel tvoří čísl: Celá Z = {...,,, 0,,,...} Rcionální Q = { p q ; p Z, q Z, q 0} Reálná R (budeme definovt) Komplexní C = { + ib ;, b R, i = } Použijeme-li desítkovou soustvu pro zápis zlomku 3, dostneme výrz 3 = 0,333... = 0, 3. Zobecnění tohoto zápisu vede k následující definici. Definice 3. : Výrz = ± 0, 3..., kde 0 Z, i {0,,,..., 9}, i N nzýváme desetinným rozvojem. Jestliže existuje k N tkové, že i > k je i = 0, pk hovoříme o konečném desetinném rozvoji, jink o nekonečném desetinném rozvoji. V přípdě, kdy se v nekonečném desetinném rozvoji číslice nebo skupiny číslic neustále opkují, pk hovoříme o periodickém desetinném rozvoji, v opčném přípdě o neperiodickém desetinném rozvoji. Příkld 3. : Číslo 3 4 = 0,75 má konečný desetinný rozvoj. Číslo, =, má (nekonečný) periodický desetinný rozvoj předstvuje npříkld dobu t, po kterou skáče míč, jehož první skok trvá sekundu kždý dlší skok je desetkrát krtší. Zároveň 9 t = 0 t t =,, = 0, tedy t = 0 9. Definice 3.3 : Říkáme, že kždý desetinný rozvoj reprezentuje reálné číslo. Konečný nebo periodický desetinný rozvoj reprezentuje rcionání číslo. Neperiodický rozvoj reprezentuje ircionání číslo. Cvičení 3. : Dokžte, že zlomek p q, kde p Z, q Z, q 0 lze zpst jko konečný nebo periodický desetinný rozvoj.
Mtemtická nlýz 5 [ Nznčíme dělení p : q = ± 0, 3..., pk existuje nejvýše q různých zbytků dělení z, z,..., z k, k q tkových, že (0 z i ) : q = i + z i+, i =,,..., k. Pokud existuje i tkové, že zbytek dělení z i = 0, pk dostneme konečný desetinný rozvoj, v opčném přípdě se po nejvýše q krocích zčnou zbytky z i i čísl i prvidelně opkovt. ] Pro důkz sporem předpokládáme, že Q, neboli = p q, p, q N p, q jsou nesoudělná čísl, potom q = p /p /p k N : p = k q = 4k /q. Odtud vyplývá, že p, q jsou sudá čísl, což je spor s předpokldem jejich nesoudělnosti. Příkld 3. : Číslo je ircionální. má neperiodický de- Skutečnost, že pře- setinný rozvoj. pon čtverce o strně jedn se nedá vyjádřit jko podíl dvou přirozených čísel, byl objeven v Pythgorejské škole. Pythgors ze Smu (569?- 475? př.n.l.). Cvičení 3. : Dokžte Q, kde je prvočíslo. [ Důkz je podobný jko pro. ] Definice 3.4 : (Uspořádání n R.) N množině celých čísel Z definujeme uspořádání < (čteme: je menší než) následovně: < < < 0 < < <. Podobně definujeme uspořádání < pro čísl s konečným desetinným rozvojem (npř. 3, < 0,5 ; 3,57 < 3,6 p.). Pro n N nekonečné desetinné číslo = ± 0, 3... definujeme n místnou dolní n = ± 0,... n n místnou horní n = ± 0,... n + (0,) n desetinnou proximci čísl. Pro, b R definujeme -3, -0,5-3 - - 0 3 < b n N: n < b n. Jestliže b, pk píšeme b. Rovnost čísel, b R je dán vzthem = b b b. Příkld 3.3 : K číslu π = 3,4596... je π = 3, π 3 = 3,4.
6 Mtemtická nlýz Možná vás rovnost 0,9 = překvpil. Zkusíme proto následující výpočet 3 = 0,33... 3 = 0,9 =. Cvičení 3.3 : ) Dokžte π < 7 0,9 =. [ π 4 = 3, 46 < 3, 48 = 7 4 ; 0,9 n = = n, n N. ] b) Dokžte < b b > 0. [ < b n N : n < b n b b n n > 0. ] 3. Mohutnost množin V roce 878 publikovl Georg Cntor článek, ve kterém vyslovil hypotézu kontinu, neboli tvrzení, že všechny nekonečné množiny mjí buď mohutnost množiny přirozených čísel nebo mohutnost intervlu. V roce 963 merický mtemtik Pul Cohen (934- ) dokázl, že hypotéz kontinu je nerozhodnutelná. To znmená, že se nedá dokázt, ni vyvrátit. 0, 0 0... 0, 0 0 0 0... 0, 0 0 0 0... 0, 0 0 0... 0, 0 0 0... 0, 0 0 0 0... 0, 0 0 0... 0, 0 0... b = 0, 0 0... Definice 3.5 : Řekneme, že množiny X, Y mjí stejnou mohutnost, jestliže existuje vzájemně jednoznčné zobrzení F : X Y. Píšeme m(x) = m(y ) nebo X Y. Definice 3.6 : Množin X se nzývá konečná, jestliže n N tk, že X {,,..., n}. Říkáme, že X má n prvků. Množin X se nzývá spočetná, jestliže X N. Množin X se nzývá nespočetná, jestliže není konečná ni spočetná. Příkld 3.4 : Oznčíme N s = {n N ; n je sudé}, pk f(n) = n je bijekce N N s N N s. Zobrzení f(n) = ( ) n n+( ) n 4 je bijekce N Z N Z. Nechť (i, j) N N, pk f(i, j) = i + i+j k je bijekce N N N N N N. Cvičení 3.4 : k= Dokžte, že Q je spočetná množin. [ Ukžte, že Q Z N. ] Příkld 3.5 : Množin reálných čísel je nespočetná. Pro jednoduchost uvžujeme pouze podmnožinu M R tvru M = { 0, 3... ; n {0, }}. Předpokládáme, že existuje bijekce f : N M. Nyní vytvoříme číslo b = 0,b b b 3..., kde b i = i, pk b M, le b H(f), tedy f není bijekce množin M je nespočetná.
Mtemtická nlýz 7 Cvičení 3.5 : Uvžujeme množinu Cntorovo diskontinuum. C = 0, \ n k= ( 3k 3 n, 3k 3 n ). (Z intervlu 0, vyjmeme prostřední třetinu, ze zbylých dvou třetin vyjmeme opět prostřední třetiny td.). Sečtěte délku intervlů vyjmutých z intervlu 0, dokžte, že Cntorovo diskontinuum C je nespočetná množin. [ ) n 3 n =, b) Pokud číslo C zpíšeme ve tvru = 3 + + 3 3 +, pk 3 3 i {0, } podle předchozího příkldu (3.5) je C množin nespočetná. ] 7 8 0 9 9 3 3 9 9 3. Suprémum infimum Definice 3.7 : Řekneme, že množin A je shor omezená, jestliže K R x A : x < K, zdol omezená, jestliže L R x A : L < x, omezená, jestliže je zároveň shor zdol omezená, neomezená, jestliže není omezená. Příkld 3.6 : Množin přirozených čísel N je zdol omezená neomezená. Definice 3.8 : Nechť A R. Číslo sup A R nzýváme suprémem množiny A, jestliže pltí:. x A : x sup A, (horní závor),. ε > 0 x A : sup A ε < x, (nejmenší horní závor). Číslo inf A R nzýváme infimem množiny A, jestliže pltí:. x A : inf A x, (dolní závor),. ε > 0 x A : inf A + ε > x, (největší dolní závor). Je-li sup A A, pk se nzývá mximem množiny A znčí se mx A. Je-li inf A A, pk se nzývá minimem množiny A znčí se min A. L ( ) A K A x ( ) sup A-ε sup A
8 Mtemtická nlýz Příkld 3.7 : Pro A =, 5) je inf A = min A = sup A = 5. Pro A = {,, 4, 8,...} je inf A = 0 sup A = mx A =. A ( ) 0 0 + Pro neomezené množiny npř. A = (, ) dodefinujeme inf A =, pro A = {,, 3,...} je sup A =. Vět 3. : (o existenci suprém) Nechť A R, A je shor omezená. Pk existuje sup A. Důkz : Protože množin A je shor omezená neprázdná, tk existuje 0 Z tkové, že má následující dvě vlstnosti: i) x A : x < 0 +, ii) x A : x 0. Dále, existuje {0,,,..., 9} tk, že i) x A : x < 0, + 0,, ii) x A : x 0,. Podobně existuje {0,,,..., 9} tk, že i) x A : x < 0, + (0,), ii) x A : x 0, tk dále. O čísle = 0, 3... lze dokázt, že splňuje podmínky suprém množiny A. Cvičení 3.6 : Dokončete důkz předchozí věty. [ Důkz povedeme sporem. ) Nejdříve dokážeme, že číslo = 0, 3... je horní závor množiny A. Pro spor předpokládáme, že x 0 A x 0 > n N x 0 x 0n > n = 0, + + n + (0,) n, což je spor s první vlstností čísl. Tedy číslo splňuje první vlstnost suprém. ) Nyní dokážeme, že je nejmenší horní závor. Opět pro spor předpokládáme, že ε > 0 tk, že x A pltí x ε x < n N : x 0n < n = 0, + + n, což je spor s druhou vlstností čísl. Tedy splňuje i druhou vlstnost suprém. ] -3 {}}{{}}{ 3 0 Definice 3.9 : Zobrzení f : R R + 0 = {x R ; x 0} dné předpisem f(x) = mx{x, x} nzveme bsolutní hodnotou. Absolutní hodnotu čísl x znčíme x. { x x 0 Cvičení 3.7 : Dokžte: x = x x 0. [ x 0 mx{x, x} = x, x 0 mx{x, x} = x. ]
Mtemtická nlýz 9 Vět 3. : (vlstnosti bsolutní hodnoty) Nechť, b R, pk i) 0, b = b, = b b =, b 0, ii) + b + b trojúhelníková nerovnost, iii) b b vzdálenost bodů, b. číslo b nzýváme Cvičení 3.8 : ) Dokžte trojúhelníkovou nerovnost. [ Zřejmě ±x x, pk pro x + y 0 je x + y = x + y x + y pro x + y 0 je x + y = x y x + y. ] b) Dokžte, že množin A je omezená právě tehdy, když c > 0 x A : x c. [ Zřejmě x c c x c množin A je omezená zdol i shor. Množin A je omezená zdol L x, shor x K. Tedy x c = mx{ L, K }. ] Definice 3.0 : Množinu U(x 0 ) = {x R ; x x 0 < ε} nzveme okolím bodu x 0. Množinu P (x 0 ) = U(x 0 )\{x 0 } nzveme prstencovým okolím bodu x 0. Cvičení 3.9 : Dokžte: (b ε, b+ε) = {x R ; x b < ε}, [ x b < ε ε < x b < ε b ε << b + ε. ] Definice 3. : Bod A R se nzývá vnitřním bodem množiny A, jestliže U() tkové, že U() A. Množin všech vnitřních bodů množiny A se nzývá vnitřek množiny A znčí se inta. Množin A se nzývá otevřená, jestliže A = inta. Bod b R se nzývá hrničním bodem množiny A, jestliže U(b) : U(b) A U(b) (R\A). Množin všech hrničních bodů množiny A se nzývá hrnice množiny A znčí se A. Množin Ā = A A se nzývá uzávěr množiny A. Množin A se nzývá uzvřená, jestliže A = Ā. U(x 0 ) ( ) x 0
0 Mtemtická nlýz Definice 3. : Bod c R se nzývá hromdným bodem množiny A, jestliže v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů množiny A, v opčném přípdě se nzývá izolovným bodem množiny A. Množin, jejíž všechny body jsou izolovné, se nzývá diskrétní. Příkld 3.8 :. Nechť A = (0, ), pk A je otevřená množin, A = {0, }, Ā = 0,, kždý bod uzávěru Ā je hromdným bodem množiny A.. Nechť A = {,, 3, 4...}, pk A = A {0}, A není uzvřená ni otevřená, jediným hromdným bodem množiny A je bod 0 A je diskrétní množin. Cvičení 3.0 : ) Dokžte: Množin A R je otevřená množin R\A je uzvřená. [ A je otevřená A U() : U() A A = (R\A) (R\A) R\A R\A = R\A. ] b) Oveřte, zd pltí: Množiny A n, n N jsou otevřené, pk je otevřená množin, je otevřená A n množin. A n n N A n U() : U() A n otevřená množin. Nopk npř. pro A n = ( n, n ) je {0} je uzvřená. ] [ A n A n A n je A n nemusí být otevřená množin, A n = {0}. Jednobodová množin
Mtemtická nlýz 4 Posloupnosti Definice 4. : Zobrzení f : N R se nzývá posloupnost reálných čísel. Místo f píšeme { n }, zkráceně { n } číslo n se nzývá n-tý člen posloupnosti { n }. Příkld 4. : (speciální typy posloupnosti) ) Aritmetická posloupnost je definován předpisem n = + (n ) d,, d R, číslo d se nzývá diference. ) Geometrická posloupnost je definován předpisem n = q (n ),, q R, číslo q se nzývá kvocient. 3) Fiboncciov posloupnost je definován předpisem n+ = n+ + n s počátečními hodnotmi =, =. V tomto přípdě, kdy následující prvek posloupnosti je definován pomocí několik předchozích prvků, říkáme, že posloupnost je definován rekurentně. Definice 4. : (vlstnosti posloupnosti) Posloupnost { n } se nzývá shor omezená, jestliže K R n N: n K, zdol omezená, jestliže K R n N: n K, omezená, jestliže je omezená shor i zdol, neklesjící, jestliže n N: n n+, nerostoucí, jestliže n N: n n+, monotónní, jestliže je neklesjící nebo nerostoucí, rostoucí, jestliže n N: n < n+, klesjící, jestliže n N: n > n+, ostře monotónní, jestliže je rostoucí nebo klesjící. Poznámk 4.: (ekvivlentní definice omezenosti) Z cvičení (3.8 b)) vyplývá, že posloupnost { n } je omezená právě tehdy, když K R n N: n K. Příkld 4. :. Hrmonická posloupnost definovná předpisem n = n je omezená klesjící.. Geometrická posloupnost {q n } je omezená pro q, rostoucí neomezená pro q >, neomezená pro q <. Vložíme do bnky počáteční vkld. Při ročním úroku u máme n účtu n konci roku zůsttek = +u = ( + u). Po dvou letech je zůsttek 3 = ( + u) = ( + u). Po n letech spoření je náš zůsttek roven n+ = ( + u) n. Spoření je tedy popsáno geometrickou posloupností n s kvocientem q = + u. Leonrdo Pisno Fiboncci (70-50) popsl následovně problém rozmnožování králíků. Do dosttečně velké klece umístíme jeden pár měsíc strých králíků. Ptáme se, kolik párů králíků bude v kleci n konci jednoho roku, když kždý pár má kždý měsíc opět jeden pár potomků králíci mjí první potomky ve dvou měsících?
Mtemtická nlýz 4. Limit posloupnosti Pojmy konvergentní divergentní jko první použil v souvislosti se sčítáním řd čísel Jmes Gregory (638-375). Definice 4.3 : Řekneme, že posloupnost { n } je konvergentní, jestliže R ε > 0 n 0 N n N : n > n 0 n < ε. Říkáme, že je limit posloupnosti { n } píšeme lim n =. n Jestliže posloupnost { n } není konvergentní, pk říkáme, že je divergentní. Speciálně, jestliže K R n 0 N n N : n > n 0 n > K ( n < K), pk řekneme, že posloupnost { n } diverguje k + ( ). y { } n ε 0 3 n 0 5 6 7 x Příkld 4.3 :. Pro hrmonickou posloupnost pltí lim n n = 0. K dnému ε > 0 hledáme n 0 tkové, by pro n > n 0 pltilo n 0 < ε. Volíme tedy n 0 ε, potom pro n > n 0 ε pltí n < ε.. Geometrická posloupnost {q n } je konvergentní k 0 pro < q <, je konvergentní k pro q =, diverguje k + pro q > diverguje pro q. b y b ε + ε { n } x Vět 4. : (jednoznčnost limity) Kždá konvergentní posloupnost má právě jednu limitu. (Kždá posloupnost má nejvýše jednu limitu.) Důkz : Budeme pro spor předpokládt, že posloupnost { n } má lespoň dvě limity b. Nechť < b, pk volíme ε > 0 tk, že + ε b ε. Z definice limity dostneme n 0 N n N : n > n 0 n < ε ε < n < +ε zároveň n N n N : n > n n b < ε b ε < n < b+ε. Tedy pro n mx{n 0, n } je n < + ε b ε < n, což je spor.
Mtemtická nlýz 3 Cvičení 4. : Změňte kvntifikátory v definici limity pokuste se njít posloupnosti, které splňují tyto nové vlstnosti. [ Npř. vlstnost R ε > 0 n 0 n N : n > n 0 n < ε nespňuje žádná posloupnost, protože podle věty (4.) kždá posloupnost má nejvýše jednu limitu, zde by se všk měl blížit ke všem reálným číslům ( R). Vlstnost R ε > 0 n 0 n N : n > n 0 n < ε splňuje posloupnost, která obshuje všechn rcionální čísl, protože ke kždému reálnému číslu njdeme rcionální číslo n, které je libovolně blízko ( n < ε). Říkáme, že množin rcionálních čísel je hustá podmnožin reálných čísel. Vlstnost R ε > 0 n 0 n N : n > n 0 n < ε splňuje kždá posloupnost. Stčí volit =. Vlstnost R ε > 0 n 0 n N : n > n 0 n < ε splňuje kždá omezená posloupnost, protože n N n > n 0 je ε < n < ε konečná množin {,,..., n0 } je tké omezená. ] Úzkou souvislost mezi pojmy limit posloupnosti uzvřená množin popisují následující dvě věty. Vět 4. : Nechť I R je uzvřená množin konvergentní posloupnost { n } I, pk lim n = I. n Důkz : Větu dokážeme sporem. Předpokládáme, že { n } I, lim n = 0 0 I. n Tedy 0 {R \ I}. Protože množin I je uzvřená, je její doplněk {R \ I} podle cvičení (3.0) množin otevřená. Odtud vyplývá, že existuje okolí U( 0 ) {R \ I}. Zároveň z konvergence lim n = 0 plyne, že n 0 N n > n 0 : n n U( 0 ) {R\I}, což je spor s předpokldem { n } I. Odtud plyne 0 I. Pro otevřený intervl tvrzení věty (4.) ne- Příkld 4.4 : pltí. Posloupnost { n } (0, ), le lim n n = 0 (0, ). Úvhy opřené o veličiny velké nebo mlé jk je libo můžeme njít již v třinácti knihách Zákldů řeckého mtemtik Eukleid (35?-65? př.n.l.). Pomocí tzv. exhustivní metody (t je zložen n nekonečném dělení) dokázl npříkld odvodit tvrzení, že objem kužele je třetin objemu válce, který má stejnou podstvu výšku. U( 0 ) I ( ) 0 { n } Vět 4.3 : Nechť I n, n N jsou uzvřené intervly I I I 3 (tzv. systém do sebe vložených uzvřených intervlů), potom I n.
4 Mtemtická nlýz 3 b 3 b b Příkld: Pro I n =, n n I n = 0. je Důkz : Oznčíme I i = i, b i, i N, potom... b b. Tedy posloupnost { n } je neklesjící, posloupnost {b n } je nerostoucí obě posloupnosti jsou omezené. Oznčíme = sup{ n } dokážeme, že lim n =. n Z definice suprém vyplývá, že i) n N : n, ii) ε > 0 n0 { n } : ε < n0. Odtud vyplývá n > n 0 : ε < n0 n < + ε, neboli lim n =. Podobně pltí lim b n = inf{b n } = b. n n (Dokázli jsme, že omezená monotónní posloupnost má limitu.) Nyní dokážeme b, tedy I n =, b. Pro spor předpokládáme > b volíme ε tkové, že ε > b + ε. Z vlstnosti suprém infim dostneme n0 { n } : ε < n0, b n {b n } : b n < b + ε pro n mx{n 0, n } je b n b n < b + ε < ε < n0 n, což je spor s předpokldeme n b n. y 6 5 4 3 y 3 4 5 6 3 4 5 6 - x x Definice 4.4 : Nechť { n } je posloupnost {k n } N je rostoucí posloupnost přirozených čísel, potom posloupnost { kn } nzveme vybrnou posloupností z posloupnosti { n }. Příkld 4.5 : Uvžujeme posloupnost {,, 3, 4,...}, pk vybrnou posloupností je npříkld posloupnost {, 4, 6,...}. Z posloupnosti {( ) n }, je vybrnou posloupností npříkld posloupnost {( ) n }. Následující vět popisuje vzth omezené konvergentní posloupnosti. Vět 4.4 : i) Kždá konvergetní posloupnost je omezená. ii) Monotónní omezená posloupnost je konvergentní. iii) (Bolzno-Weierstrss) Z kždé omezené posloupnosti lze vybrt konvergentní posloupnost.
Mtemtická nlýz 5 Důkz : i) Jestliže posloupnost { n } je konvergetní, potom R ε > 0 n 0 n > n 0 : n < ε ε < n < + ε n < + ε. Položíme-li K = mx{,,..., n0, + ε}, pk pltí n N : K n K. Tedy { n } je omezená posloupnost. ii) Tento bod jsme dokázli v důkzu věty (4.3). iii) Jestliže { n } je omezená posloupnost, potom α, β R, n N : α n β. Rozdělíme intervl I = α, β n dvě poloviny oznčíme I = α, β tu polovinu, která obshuje nekonečně mnoho prvků posloupnosti { n } opět ji rozdělíme n poloviny td. Dostneme systém do sebe vložených uzvřených intervlů I I, pro který pltí I k = α k, β k lim β k α k = 0. Z věty (4.3) k vyplývá, že R : I k =. Z kždého intervlu k= I k vybereme jeden člen posloupnosti { n } oznčíme jej { nk }, potom pltí lim nk =. n Příkld 4.6 : Definice čísl e. Budeme vyšetřovt posloupnost n = ( + n )n. Dokážeme, že uvedená posloupnost je neklesjící: n+ n = (+ n+) n+ (+ n) n = ( n+ = ( (n+) ) n+ n+ n ( (n + ) (n+) ) n+ n n+) n+ ( n+ n ) n+ n n+ = ( (n+)n (n+)(n+) )n+ n+ n (Podle Bernoulliovy nerovnosti), příkld (.7) = n+ n+ n+ n =. Podobně dokžte, že posloupnost b n = ( + n )n+ je nerostoucí. i) y + ε ε ii) y n x 0 4 5 K 0 3 4 5 6 7 x iii) y b = b x N účtu úročeném úrokem u s počátečním vkldem máme po k letech zůsttek k+ = ( + u) k. Pokud budeme mít účet s měsíčním úročením, pk náš zůsttek bude k+ = ( + u )k. Podobně při denním úročení dostneme k+ = ( + u 365 )365k. V roce 683 Jcob Bernoulli zkouml tento problém složeného úročení hledl limitu výrzu (+ n )n. Číslo e se proto tké nzývá bnkovní nebo růstová konstnt.
6 Mtemtická nlýz y e 0 3 4 5 6 x ( + (n+)n b [ n b n+ = (+ )n+ n (+ )n+ n n+ )n+ = ( n+ n n+ )n+ ( ) n+ n+ ( n + (n + ) n+ n(n+) ( = (n+)(n+) n+ (n+)n ) n =. ] n+ Zároveň n N pltí: = n < b n b = 4. ) n+ n n+ = Posloupnost { n } je tedy i omezená podle věty (4.4) má limitu. Píšeme ( n lim + n n) = e. Číslo e se nzývá Eulerov konstnt. Cvičení 4. : ) Dokžte, že lim n ( n )n = e. [ ( n )n =( n n )n = ( n + n ) n = ( + n )( )(n ) ( + n ) e. ] b) Dokžte, že lim n ( + u n )n = e u, u 0. [ ( + u n )n = (n = u m m ) = ( + m )(u m) e u. ] Příkld 4.7 : Výpočet druhé odmocniny čísl 0. Definujeme rekurentní posloupnost předpisem n+ = ( n + n )/, > 0. Zřejmě n N je n > 0. Porovnáme n+ n+ zároveň porovnáme n+. n+ n+ (?) n+ (?) ( ) ( ) n+ + n+ / + n / n+ n ( n+ ) + ( n+ ) + ( n ) n ( n+ ) n + (n ) 0 n+ ( n ) 0 Vidíme, že posloupnost { n } je nerostoucí zdol omezená, tedy existuje b = lim n. Přejdeme k limitě v rovnosti n n+ = ( n + n )/ dostneme b = ( b + b)/, odtud b = + b b =.
Mtemtická nlýz 7 Cvičení 4.3 : ) Njděte lim n n, jestliže = 5 n+ = 6 + n. [ Zřejmě n N je n > 0. Porovnáme n+ n+ mtemtickou indukcí dokážeme, že n N je n > 3. n+ > n+ (?) n+ > 3 (?) n+ > 6 + n+ ) = 5 > 3 ( n+ ) n+ 6 > 0 ) Nechť n > 3, pk ( n+ 3)( n+ + ) > 0 n+ = 6 + n > 6 + 3 = 3 n+ > 3 Vidíme, že posloupnost { n } je zdol omezená klesjící, tedy existuje b = lim n n. Přejdeme k limitě v rovnosti n+ = 6 + n dostneme b = 6 + b, odtud b = 3. ] b) Prvděpodobnost přežití buněk. Předpokládáme, že k rozdělení buňky n dvě dochází s prvděpodobností p > 0. Oznčíme p n prvděpodobnost, že existuje n genercí potomků první buňky, tedy p = p. Potom pro prvděpodobnost existence n+ genercí potomků pltí p n+ = p( ( p n )( p n )). Njděte limitu lim n p n. [ p n+ > p n+ p( ( p n+ )( p n+ )) > p( ( p n )( p n )) ( p n+ )( p n+ ) > ( p n )( p n ) p n+ > p n Posloupnost p n je monotónní zřejmě 0 p n. Tedy existuje b = lim p n, která splňuje b = p( ( b)( b)), odtud n b =. ] p Definice 4.5 : (Fundmentální posloupnost) Řekneme, že posloupnost { n } je fundmentální (cuchyovská), jestliže ε > 0 n 0 m, n N : m > n 0, n > n 0 m n < ε. Vět 4.5 : (Bolznov-Cuchyov; nutná postčující podmínk konvergence) Posloupnost { n } je konvergentní právě tehdy, když je fundmentální.
8 Mtemtická nlýz Louis Augustin Cuchy (789-857) vyprcovl zákldy ritmetizce nlýzy, zpřesnil pojmy limit, spojitost p. Důkz : Pro konvergentní posloupnost { n } pltí s R ε > 0 n n N : n > n n < ε. Tedy m N, m > n je m n = m + n m + n < ε = ε. Tedy { n } je fundmentální. Jestliže { n } je fundmentální, pk položíme K = mx{,,..., n0, n0 + + ε}. Zřejmě n N : n K. Tedy posloupnost { n } je omezená podle věty (4.4) lze z ní vybrt konvergentní posloupnost { nk }. Nechť lim nk =, potom ε > 0 n n N n k N : n k > n nk < ε pro n k, n > n 0 nk n < ε ( { n } je fundmentální). Odtud pro n k, n > mx{n 0, n } dostneme n = n nk + nk n nk + nk < ε + ε. Tedy n. Vět 4.6 : (lgebr limit) Nechť lim n = lim b n = b, pk pltí: n n i) lim n ( n + b n ) = + b, ii) lim n ( n b n ) = b, iii) lim n ( n b n ) = b, iv) lim n n bn = b b n 0, b 0. Důkz : Dokážeme bod iv), osttní důkzy jsou podobné. Budme předpokládát, že b > 0 (pro b < 0 je důkz obdobný). Potom z předpokldu lim b n = b vyplývá, že n n 0 N n > n 0 : b n > b/ > 0. Chceme dokázt, že lim n n bn b = 0. Uprvíme proto rozdíl n bn b = nb b n b n b = nb b+b b n b n b = ( n )b+(b b n ) b n b b ( n b + b b n ). Odtud z konvergence n, b n b vyplývá konvergence n bn b 0.
Mtemtická nlýz 9 Příkld 4.8 : (n )(n ) lim n 3n + = lim n ( n)( n) n n (3+ n ) = ( 0)( 0) (3+0) = 3. Vět 4.7 : (Vět o sevření) Nechť pro posloupnosti { n }, {b n }, {c n } pltí n 0 N n N : n > n 0 n b n c n lim n = lim c n =, potom i lim b n =. n n n Důkz : Z předpokldů lim n = lim c n = vyplývá, že n n ε > 0 n 0 N n N : n > n 0 n < ε ε < n n N n N : n > n c n < ε c n < + ε. Odtud dostneme pro n > mx{n 0, n } : ε < n b n c n < + ε neboli lim n b n =. Příkld 4.9 : Pomocí věty o sevření ukážeme, že pltí: n!. lim n n = 0, n. lim n n n! = 0 pro >. neboť 0 < n! n n = Volíme n 0 N tk, že n 0, potom 0 < n n! = n 0 n < n 0 n 0! n n n n < n 0. n 0. n 3. lim k n = 0 pro >, k N. n Položíme = + h, h > 0 použijeme binomickou větu, pk 0 < nk n = nk n k n(n ) (n k) (k+)! h k+ = n 4. lim n log n n k = 0 pro >, k N. 5. lim n n n =. n (+h) = k n +n h+ +( < k+)h n k+ + +h n (k+)! ( n ) ( k n )hk+ 0. Substitucí log n = m dostneme log n m = m mk n k =. Tvrzení tedy vyplývá z předchozího ( k ) m příkldu. V příkldu 3 jsme ukázli, že pro kždé n h > 0 je lim n (+h) = 0. Odtud vyplývá n n 0 N n N : n > n 0 n < ( + h) n < n n < + h n n. Jestliže pltí n, b n lim n n bn = 0, pk říkáme že posloupnost b n roste v nekonečnu mnohem rychleji než posloupnost n píšeme n << b n u. Tedy ln n << n << e n << n! << n n.
30 Mtemtická nlýz Cvičení 4.4 : monotónní. Dokžte, že posloupnost n n je omezená [ Zřejmě < n n. Omezenost shor, npř. n n <, můžeme dokázt pomocí mtemtické indukce (n < n n + < n + < n + n = n+ ). ( Monotónnost plyne z nerovnosti n k) = n(n ) (n (k )) n k binomické věty. (Pro n > pltí: (n + ) n = n ( n k! k) n n k = n ) n n k + (n + ) < (n ) n k n n k + n n = n n+ n+ n + < n n.) ] Cvičení 4.5 : Dokžte, že pro > 0 je lim n n =. [ Pro > využijeme nerovnosti < n < n n, pro < nerovnosti < n < n n. ] k=0 k=0 ( n k y 0 3 x {β n } {α n } { ( )n n } Nyní předpokládáme, že posloupnost { n } je omezená budeme zkoumt její chování v. Pro n N položíme α n = inf{ n, n+, n+,...} β n = sup{ n, n+, n+,...}. Npříkld pro posloupnost n = ( )n n dostneme α =, α = 3, α 3 = 3,... β =, β =, β 3 = 4,.... Z definic posloupností α n, β n vyplývá α n n β n, posloupnost {α n } je neklesjí posloupnost {β n } je nerostoucí. Z omezenosti posloupnosti { n } zároveň plyne i omezenost posloupností {α n } {β n }. Tedy podle věty (4.4) mjí obě posloupnosti limity má smysl následující definice. Definice 4.6 : Nechť posloupnost { n } je omezená, pk existuje limit lim α n = lim inf n, kterou nzýváme dolní n n limit (limes inferior) poslounosti { n }. Zároveň existuje limit lim β n = lim sup n, kterou nzýváme horní limit n n (limes superior) poslounosti { n }. Pro zkrácení zápisu se používá znčení lim sup n = lim n. n lim inf n n = lim n Příkld 4.0 : Uvžujeme posloupnost {( ) n }, potom lim ( ) n = lim ( ) n =.
Mtemtická nlýz 3 Vět 4.8 : Omezená posloupnost { n } je konvergentní právě tehdy, když lim inf n = lim sup n = ( lim n ). n n n Důkz : Nechť { n } je konvergentní, potom R ε > 0 n 0 N n N : n > n 0 n < ε. Zároveň α n = inf{ n, n+,...}. Chceme dokázt, že lim inf n =, neboli n ε > 0 n N n N : n > n α n < ε. Z definice infim vyplývá, že k ε existuje k n tkové, že α n k < α n + ε α n k < ε. Položíme ε = ε, pk pro k n > n 0 pltí: α n = α n + k α n k + k < ε + ε = ε α n. Podobně dokážeme β n, kde β n = sup{ n, n+,...}. Příkldy n posloupnosti lze nlézt n internetové drese http://tril.km.zcu.cz/ Tdb/min.php?T0=& T=0&T=0&T3=0& T0b=&C=./4/ Nyní lim inf n = lim α n = lim β n = lim sup n =. n n n n Dále víme, že α n n β n. Z věty o sevření (4.7) pk vyplývá, že lim n =. n
3 Mtemtická nlýz 5 Řdy Problém sčítání nekonečně mnoh kldných čísel se objevil npříkld v Zénonově prdoxu o Achilovi želvě. Achiles závodí se želvou dá ji náskok. Po hodině, kdy je želv v bodě P vyběhne z bodu P 0. Doběhne do bodu P, le mezitím želv dojde do bodu P, Achiles běží do P, le želv do P 3 tk dále. Tedy Achiles želvu nikdy nedoběhne. Uvědomíme-li si všk, že n pohyb mezi body P 0 P potřebuje Achiles npříkld desetkrát méně čsu než želv, pk lze ukázt, že k doběhnutí želvy Achiles potřebuje dobu t = 0, + 0,0 + = 0, = 9 hodiny. P 0 P P 0 hod 00 hod Definice 5. : Symbol n = + + 3 +... se nzývá (nekonečná) řd odpovídjící posloupnosti { n }. Čísl n, n N se nzývjí členy řdy. Součet s n = + +... + n se nzývá částečný součet řdy n. Jestliže posloupnost {s n } konverguje k číslu s R, pk říkáme, že řd n je konvergentní má součet s. Píšeme n = s. Rozdíl s s n = k nzýváme zbytek řdy příslušný členu n. k=n+ Jestliže posloupnost {s n } diverguje, pk říkáme, že řd n je divergentní. Příkld 5. : Geometrická řd q n. (viz cvi- q Částečný součet geometrické řdy je s n = n q čení (.4 )). Pro q < je součet řdy q (řd konverguje). Pro q je geometrická řd divergentní. Poznámk 5.: Protože součty konvergentních řd jsou definovány pomocí limit částečných součtů, pltí pro ně stejná prvidl jko pro limity posloupnosti ve větě (4.6). Příkld 5. : (3 + 4 ( 3) n ) = n = 3 + 4 3 + 3 = 6 = 5. 3 n + 4 ( 3) n = Aby součet nekonečně mnoh čísel byl konečný, tk n konci sčítání musí být velmi mlá čísl. Správnost této úvhy dokzuje následující vět.
Mtemtická nlýz 33 Vět 5. : (nutná podmínk konvergence řdy) Jestliže řd n je konvergentní, pk lim n = 0. n Důkz : Připomeňme si, že konvergentní posloupnost {s n } je podle věty (4.5) zároveň fundmentální. Neboli ε > 0 n 0 N m, n N : m > n 0, n > n 0 s m s n < ε. Konkrétně pro m = n + dostneme n+ < ε odtud n 0. Příkld 5.3 : (hrmonická řd) Podmínk lim n = 0 všk není postčující pro konvergenci n řdy. Npříkld hrmonická řd splňuje nutnou pod- mínku lim n n Pltí totiž n = 0, le její součet diverguje k +. n = + + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ) + + + +( 4 + 4 )+( 8 + 8 + 8 + 8 )+ + + + +. Hrmonická řd diverguje k velice pomlu. Sečteme-li první milion členů dostneme součet si 4,35, součet prvního bilionu členů je přibližně 8. 5. Kritéri konvergence Dále budeme uvžovt řdy s kldnými členy ( n > 0). Vět 5. : Řd n s kldnými členy je konvergentní právě tehdy, když její posloupnost částečných součtů {s n } je omezená. Důkz : Pltí s n+ s n = n+ > 0 {s n } je rostoucí. Zároveň podle předpoldu je posloupnost {s n } omezená, tedy je kon- podle věty (4.4) s R : lim s n = s řd n vergentní. Příkld 5.4 : n Rozhodněte o konvergenci řdy 3 n +. Pro částečný součet této řdy pltí s n = 4 + 0 + + 3 n + < 3 + 9 + + 3 = n 3 n 3 <. 3 Posloupnost {s n } je tedy omezená řd je podle předchozí věty konvergentní. 3 n +
34 Mtemtická nlýz Vět 5.3 : (srovnávcí kritérium) Nechť n 0 N n N, n > n 0 : 0 < b n n, potom jestliže i) n konverguje, pk b n konverguje, ii) diverguje, pk diverguje. b n n Řd n se nzývá mjornt řdy b n. Řd se nzývá minornt řdy n. Důkz : i) Oznčíme s n () částečné součty řdy s n (b) částečné součty řdy plyne s n (b) s n () n=n 0 + n n=n 0 + b n n, b n. Z předpokldu b n n =. Posloupnost s n (b) je tedy omezená podle předchozí věty (5.) i konvergentní. Z rovnosti b n = n 0 b n + vyplývá i konvergence řdy b n. b n n=n 0 + Bod ii) věty je ekvivlentní bodu i), jedná se o obměnu implikce. Příkld 5.5 : Pro členy řdy víme, že hrmonická řd (minornt) tedy i (mjornt) řd n n pltí n > n diverguje. Důsledkem věty (5.3) je následující vět. n diverguje, Vět 5.4 : (limitní srovnávcí kritérium) Nechť n N : n > 0, b n > 0 c R, c > 0 tkové, že lim = c, potom b n i) n konverguje ii) n diverguje n n b n b n konverguje. diverguje.
Mtemtická nlýz 35 Důkz : Z předpokldu lim n n bn = c vyplývá, že ε > 0 n 0 n : n > n 0 n bn c < ε (c ε) b n < n < (c + ε) b n. Zvolíme ε tk, by c ε > 0. Potom podle věty (5.3) z konvergence řdy b n plyne konvergence řdy n nopk. Příkld 5.6 : Rozhodněte o kovergenci řdy Tedy n = n +( ) n. Volíme b n = Pk pltí lim n n = > 0. Protože geometrická řd n +( ) n n = lim + ( )n n n. tk konverguje podle věty (5.4) i řd Poznámk 5.: řdy n n +( ) n. n s kvocientem q = < konverguje, n +( ) n. Ztím umíme rozhodnout o konvergenci pouze pomocí jejího srovnání s geometrickou řdou q n s q <. Z podobného chování obou řd vyplývjí přibližné rovnosti n+.. n = q nebo n = q n odtud následující kritéri. Vět 5.5 : (Obecné d Alembertovo (podílové), obecné Cuchyovo (odmocninové) kritérium) Nechť je řd s kldnými členy. Jestliže q < n n 0 N tkové, že n N, n > n 0 pltí i) n+ n q < nebo n n q <, pk řd konverguje, ii) n+ n nebo n n, pk řd n diverguje. n O chování posloupnosti v nekonečnu rozhoduje její nejrychleji rostoucí složk. Pro velké n je ( ) n znedbtelé vzhledem k n, proto porovnáváme ( ) n + n s n. Frncouzský mtemtik fyzik Jen Le Rond d Alembert (77-783) se v mtemtice především věnovl prciálním diferenciálním rovnicím, npříkld nlezl (z jistých podmínek) obecné řešení pro rovnici chvění struny. k= Důkz : i) Z předpokldu n+ n q < pro n > n 0 plyne n0 + q n0 +,, n0 +k q k n0 +, k N. Z předpokldu q < plyne konvergence geometrické řdy q k n0 + odtud i konvergence minornty n. Podobně n n < q n < q n pro q < konverguje mjornt q n, tedy konverguje i řd n.
36 Mtemtická nlýz ii) V opčném přípdě, pokud n0 +k n0 + > 0 nebo n, pk řd n zřejmě nesplňuje nutnou podmínku konvergence ( n 0) diverguje. Důsledkem obecných kritérii jsou opět kritéri limitní. Vět 5.6 : (limitní d Alembertovo, Cuchyovo kritérium) Nechť n je řd s kldnými členy. Jestliže < nebo lim n n n <, pk dná řd kon- i) lim n+ n n verguje, > nebo lim n n n >, pk dná řd diver- ii) lim guje, n+ n n iii) lim n+ n n = zároveň lim n n =, pk neumíme n podle těchto kritérií rozhodnout o kovergenci řdy. Pokud řd obshuje n! je vhodné použít podílové kritérium, pro řdu obshující n-tou mocninu je vhodné odmocninové kritérium, řdy s polynomy nelze pomocí těchto kritérii vyšetřovt. Příkld 5.7 : ) Rozhodněte o konvergenci řdy Použijeme limitní podílové kritérium lim n+ n n = lim n n+ (n+)! n+ n! Odtud vyplývá, že řd n+ = lim n (n+) = 0 <. n+ n! konverguje. ) Rozhodněte o konvergenci řdy ( 3 n+ n n 3n ). Nyní použijeme odmocninové kritérium lim ( n = n 3 n+ n n n 3n ) = lim 3 n+ n n n 3n = 3 <. Tedy řd ( 3 n+ n n 3n ) konverguje. 3) Rozhodněte o konvergenci řdy n. n+ n!. Pomocí limitního odmocninové kritéri lim n =, ni n n (n+) limitního podílového kritéri lim n = = n n n (+ n + n ) nelze rozhodnout o chování této řdy.
Mtemtická nlýz 37 Cvičení 5. : n+ Uvžujeme hrmonickou řdu n = = n n+ n+ Pk pltí <, tedy podle obecného n podílového kritéri dná řd konverguje. Dříve jsme všk dokázli, že hrmonická řd diverguje. Kde je chyb? (Vzth podílového odmocninového krité- Příkld 5.8 : ri) n. [ Předpokld podílového kritéri n+ n q < není splněn! ] Rozhodněte o konvergenci řdy pomocí podílového i odmocninového kritéri. Podílové kritérium: n+ n = (3+( )n ) n (3+( ) n+ ) n+ = Odmocninové kritérium: n n = (3+( ) n ) (3+( ) n ) n { n 4 n+ < n je liché, 4 n n+ > n je sudé. < pro všechn n N. Závěr: Pomocí podílového kritéri nelze rozhodnout, le podle odmocninového kritéri uvedená řd konverguje. Říkáme, že odmocninové kritérium je obecnější (silnější) než podílové kritérium. Cvičení 5. : Jestliže řd Dokžte následující tvrzení: n konverguje podle podílového kritéri, pk konverguje i podle odmocninového kritéri. [ n > n 0 : n+ n q n0 + q n0 + n0 +k q k n0 + (n = n 0 + k) n n n q n n 0 n n0 + n n q n q n 0 n0 + ˆq < ( n q n 0 n0 + ). ] N následujícím příkldu si ukážeme, že se djí sečíst i řdy, které nejsou geometrické. Příkld 5.9 : Njděte součet řdy n(n+). Použijeme rovnost n(n+) = n n+ pro částečný součet této řdy dostneme s n = + 3 + + n Odtud lim n s n = n(n+) =. n+.
38 Mtemtická nlýz Poznámk 5.3: ) Rozložení zlomku n součet více zlomků se nzývá rozkld n prciální zlomky. V předchozím příkldě hledáme konstnty A, B tkové, by pltilo n(n + ) = A n + B n + = A(n + ) + Bn n(n + ) Čittel prvního posledního zlomku se musí rovnt, tedy =A(n + ) + Bn = (A + B)n + A A = A + B = 0 B =. Odtud n(n+) = n + n+. ) Uvedený rozkld lgebricky uprvíme do tvru n(n+) = (n ) (n )n n n(n+), n >. Položíme k = n k = k(k+). Obecně píšeme 0 < k+ = k k (k + ) k+, k N. Vidíme, že posloupnost {k k } je klesjící zdol omezená, tedy podle věty (4.4) konvergentní, nechť k k. Zároveň pltí s n = n k k (k + ) k+ = + k= 3 3 + + n n (n + ) n+. Odtud vyplývá, že konverguje i (minornt) řd součet pltí n. n. zároveň pro její Tento postup lze zopkovt i v přípdě, kdy existuje δ > 0 tkové, že 0 < δ n+ n n (n + ) n+. Řd n pk konverguje, protože má konvergentní mjorntu δ n n (n + ) n+. Tto úvh vede k následující větě. Vět 5.7 : (Rbeovo kritérium) Nechť n > 0 δ > 0 n 0 N n N, n > n 0 : i) n( n n+ ) + δ, potom řd n konverguje, ii) n( n n+ ), potom řd n diverguje.
Mtemtická nlýz 39 Důkz : i) Uprvíme předpokld n( n n+ ) + δ do tvru n( n n+ ) n+ ( + δ) δ n+ n n (n + ) n+. Konvergence řdy n tedy plyne z předchozí poznámky. ii) Opět uprvíme předpokld n ( n n+ ) n ( n n+ ) n+ n n (n + ) n+. Indukcí dostneme (n 0 + ) n0 + (n 0 + ) n0 + (n + ) n+ n+ n+ (n 0 + ) n0 + z divergence hrmonické řdy (zde minornty) plyne i divergence řdy n. Rbeovo kritérium má tké svou limitní podobu. Vět 5.8 : Nechť n > 0 (limitní Rbeovo kritérium) i) lim n n( n n+ ) >, ii) lim n n( n n+ ) <, potom řd potom řd n n konverguje, diverguje. Důležitým důsledkem Rbeov kritéri je následující vět. Vět 5.9 : Řd Důkz : n α konverguje pro α >, diverguje pro α. i) K důkzu použijeme limitní Rbeovo kritérium. ( lim n ) ( ) n α = lim n (n+) α n (n+) α n n = α lim n (+ n) α n = lim n ) e α ln(+ n ln(+ n) Podle věty (5.9) řd } {{ } α n α ln(+ n) n = α. }{{} konverguje pro α > diverguje pro α <. Pro α = dostneme hrmonickou řdu, o které již víme, že diverguje.
40 Mtemtická nlýz 5. Absolutně konvergentní lternující řdy Definice 5. : Nechť,,... je posloupnost kldných čísel. Řd ( ) n+ n = + 3 4 +... se nzývá lternující řd. 4 0 s s 4 s s 3 s = + 3 Vět 5.0 : (Leibnizovo kritérium) Jestliže pro lternující řdu ( ) n+ n pltí i) lim n n = 0 (nutná podmínk konvergence) ii) n 0 n N : n n 0 n n+ (nerostoucí od n 0 ), pk lternující řd ( ) n+ n konverguje. Důkz : Bez újmy n obecnosti budem předpokládt, že v předpokldu ii) je n 0 = (o konvergenci či divergenci řdy nerozhoduje konečný počet členů). Oznčíme s n n tý částečný součet řdy, potom pltí 0 ( ) + ( 3 4 ) + + ( n n ) = s n < s n + n+ = s n+ = ( 3 ) ( n+ n ). Odtud vyplývá, že posloupnosti s n, s n+ jsou omezené. Dále posloupnost s n je rostoucí, posloupnost s n+ je klesjící, tedy podle věty (4.4) obě poslopnosti jsou konvergentní. Z rovnosti s n + n+ = s n+ předpokldu lim n = 0 n vyplývá, že existuje s R tkové, že lim s n n = s (s s n + n+ = s n+ s). Cvičení 5.3 : Dokžte, že pro lternující řdu pltí odhd s s n n+. (Jsme tedy schopni odhdnout chybu, které se dopustíme, když součet s lternující řdy nhrdíme částečným součtem s n.) [ Z předchozího důkzu je zřejmé, že s n s s n+ s s n s n+ s n = n+. Podobně s n+ s s n+ s s n+ s n+ s n+ = n+. ] Příkld 5.0 : Podle Leibnizov kritéri (5.0) řd konverguje. Přerovnáním jejich členů, všk ( ) n+ n můžeme dostt jiný součet (dokonce libovolný).