Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Podobné dokumenty
11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

5. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivka a její orientace Z kapitoly 4.1 víme, že vektorovou funkcí jedné nezávisle proměnné t

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

12. Křivkové integrály

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

II. 5. Aplikace integrálního počtu

11. cvičení z Matematické analýzy 2

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

Parametrické rovnice křivky

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

Teorie. Hinty. kunck6am

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].

10. cvičení z Matematické analýzy 2

Analytická geometrie lineárních útvarů

1 Topologie roviny a prostoru

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Teorie. Hinty. kunck6am

11. cvičení z Matematické analýzy 2

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

14. cvičení z Matematické analýzy 2

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

7. Integrál přes n-rozměrný interval

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

III. Dvojný a trojný integrál

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Opakování k maturitě matematika 4. roč. STR 2 <

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

Bakalářská matematika I

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).

26. listopadu a 10.prosince 2016

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

VEKTOROVÁ POLE Otázky

Pavel Burda Jarmila Doležalová

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Plošný integrál funkce

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

13. cvičení z Matematické analýzy 2

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

II. 3. Speciální integrační metody

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

Derivace a monotónnost funkce

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Transkript:

Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ t) + ψ t) dt, de regulární řiva je parametric vjádřena rovnicemi x ϕt), ψt), t α, β. Parametricé vjádření úseč AB je x + 4t, + t, t,. Křivu můžeme ted parametric vjádřit rovnicemi ϕt) + 4t, ψt) + t, t,. Odtud ds x 4 + 4t + t) dt 5 t + dt 5 [ln t + ] 5 ln. Přílad. x + ) ds, de je obvod trojúhelnía ABC, A[, ], B[, ], C[, 3] Řešení: Platí 3, de,, 3 jsou stran trojúhelnía ABC. Je : x + t, + t, t,, : x t, + t, t,, 3 : x + t, + t, t,.

x + ) ds t + ) dt + t) + + t)) 8 dt + t + ) dt 8 + 3 8. Přílad 3. x ds, de { x, ) R : x, ln x }. Řešení: Křivu můžeme parametric vjádřit pomocí rovnic x ds x t, ln t, t,. t + t dt Označme u t + a dále du t dt. t t + dt 5 t t + dt. u du 5 5 ). 3 Přílad 4. x + ds, de je ružnice x + x. Řešení: Doplněním na čtverec a úpravou převedeme rovnici ružnice na tvar x ) +. Její parametricé vjádření je x + ds π x + cos t, sin t, t, π. π + cos t + cos t dt dt π π cos t π cos t π cos t π [ dt + cos t dt sin t ] π [ sin t Přílad 5. x + ) ds, de je řiva daná parametricými rovnicemi x acos t + t sin t), asin t t cos t), t, π, a >. Řešení: Nejdříve určíme ϕ t) a sin t + sin t + t cos t) at cos t, ψ t) acos t cos t + t sin t) at sin t. π x + ) ds a cos t + t sin t) + sin t t cos t) ) at dt a 3 π + π ). ] π π ) 8

Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R 3. Přílad 6. rovnicemi ds x + +z, de je řiva jeden závit šroubovice) daná parametricými x a cos t, a sin t, z bt, t, π, a >, b >. Řešení: ds x + + z π a + b t a + b dt a + b b [ b arctg bt ] π a a a + b ab arctg bπ a. Přílad 7. ) x + z ds, de je řiva jeden závit uželové šroubovice) daná parametricými rovnicemi Řešení: Nejdříve určíme x t cos t, t sin t, z t, t, π. ϕ t) cos t t sin t, ψ t) sin t + t cos t, χ t) a ds ϕ t) + ψ t) + χ t) dt + t dt. ) x + z ds π t cos t + sin t) t) + t dt π t + t dt + 4π ) 3 3 ). Apliace řivového integrálu prvního druhu. Přílad 8. Vpočítejte délu asteroid 3 x + 3 3 a, a >, jejíž parametricé rovnice jsou x a cos 3 t, x a sin 3 t, t, π. Řešení: Asteroida není regulární řiva. Víme, že funce F x, ) 3 x + 3 3 a je sudá v proměnné x i v proměnné a řiva je souměrná podle os i podle os x.

Platí 3 4, de,, 3, 4 jsou čtři regulární řiv stejné dél. Pro délu asteroid platí s ds 4 ds. Nejdříve určíme ϕ t) 3a cos t sin t, ψ t) 3a sin t cos t a ds 3a cos 4 t sin t + sin 4 t cos t dt 3a cos t sin t dt. Odtud s 4 ds 4 π/ [ sin t 3a cos t sin t a ] π/ 6a. Přílad 9. ploch Pomocí řivového integrálu prvního druhu vpočítejte obsah válcové Ω {x,, z) R 3 : x + 4 z 4 x }. Řešení: Z geometricého významu řivového integrálu prvního druhu víme, že obsah části válcové ploch je roven číslu σ fx, ) ds, de je řiva v rovině z, do teré se válcová plocha promítne a plocha je zdola omezena rovinou z a shora grafem funce z fx, ). V našem případě je ružnice x + 4 s parametricými rovnicemi x cos t, sin t, t, π ) a fx, ) 4 x. σ π x ds 4 4 cos dt 4 π 4 sin t dt + 4 π π π sin t dt 4 sin t dt 4 π [ cos t] π sin t dt + [cos t]π π ) 6. Přílad. Pomocí řivového integrálu prvního druhu vpočítejte obsah válcové ploch Ω { x,, z) R 3 : x + ax x + + z a } a > ). Řešení: Plocha je souměrná podle rovin z a podle rovin x a je sjednocením čtř ploch o stejném obsahu. Pro obsah ploch Ω platí σ 4 a x ds,

de je půlružnice x a cos t), a sin t, t, π a graf funce fx, ) a x je horní část zadané ulové ploch x + + z a. Ted σ 4 a x ds 4 π a a + cos t) a dt a a π π sin t dt a [ cos t ] π cos t 4a. dt Přílad. Najděte souřadnice těžiště homogenní řiv dané parametricými rovnicemi x t sin t), cos t), t, π část cloid). Řešení: Pro souřadnice těžiště T [x t, t ] platí ) x t S m, t S m, de m je hmotnost řiv a S x, resp. S je staticý moment řiv vzhledem ose x, resp. vzhledem ose. Platí m fx, ) ds, S x fx, ) ds S xfx, ) ds, de fx, ) je hustota řiv v bodě x, ). V našem případě je řiva homogenní, tj. fx, ) onst. a souřadnice těžiště jsou na této onstantě nezávislé ve vzorcích ) se tato onstanta vrátí) a proto položím fx, ). Je ϕ t) cos t, ψ t) sin t a ds Dále cos t) + sin t dt cos t cos t dt S x ds π 4 π m ds π cos t) sin t π dt 4 sin t sin t dt 4 π sin t [ dt 4 cos t ] π 4. cos t sin t dt cos t ) sin t dt 8 sin t dt, t, π. u ) du 6 3 při výpočtu integrálu volíme substituci u cos t ) a π S x ds t sin t) sin t π dt t sin t π dt sin t sin t dt 6 3.

První integrál počítáme metodou per partes a ve druhém po úpravě sin t sin t cos t volíme substituci u sin t.) Je ted x t 6 3 4 4 3, t 6 3 4 4 3. Křivové integrál druhého druhu Přílad. Vpočítejte řivový integrál ) z ) dx + z d x dz, de ) je ladně orientovaný oblou daný parametricými rovnicemi x t, t, z t 3, t,. Řešení: Pro řivový integrál druhého druhu fx,, z) dx + gx,, z) d + hx,, z) dz, ) de ) je ladně ve směru rostoucího parametru) orientovaný hladý oblou daný parametricými rovnicemi x ϕt), ψt), z χt), t α, β, platí fx,, z) dx + gx,, z) d + hx,, z) dz ) β fϕt), ψt), χt))ϕ t) + gϕt), ψt), χt))ψ t) + hϕt), ψt), χt))χ t)) dt α Je ted ) z ) dx + z d x dz Přílad 3. Vpočítejte řivový integrál t 4 t 6 + t t 3 t t 3t ) dt 35. ) x x ) dx + x ) d, de ) je orientovaný oblou s trajetorií { x, ) R : x, x }, přičemž pb), ), b), ). Řešení: Oblou budeme parametrizovat rovnicemi ϕt) t, ψt) t, t,. Protože pb), ) je počátečním bodem oblouu, znamená to, že je při zvolené parametrizaci orientován ladně. ) x x ) dx + x ) d t t 3 ) + t 4 t 3 ) t ) dt 4 5.

Přílad 4. Vpočítejte řivový integrál ) ) dx + + x) d, de ) je obvod trojúhelnía ABC, A[, ], B[, ], C[, ] a orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů. Řešení: Oblou ) není hladý oblou. Platí ) ) ) 3 ), de ), ), 3 ) jsou hladé oblou stran trojúhelnía ABC). Je : x t, t, t,, ladně orientovaná, : x t, t, t,, záporně orientovaná, 3 : x, t, t,, záporně orientovaná. ) ) dx + + x) d t + + t) dt + t t) dt ) dt. Přílad 5. Užitím Greenov vět vpočtěte řivový integrál de ) je ladně orientovaná elipsa x /a ) + /b ), a >, b > ). Řešení: Podle Greenov vět platí ) fx, ) dx + gx, ) d M gx, ) ) x+) dx x ) d, ) fx, ) dx d, de ) je ladně orientovaná hranice uzavřené oblasti M. V našem případě je fx, ) x+, gx, ) x ) a M je oblast omezená elipsou x /a ) + /b ). Ted a dále fx, ), gx, ) x + ) dx x ) d ) dx d abπ. ) M Dvojný integrál jsme vpočítali substitucí pomocí zobecněných polárních souřadnic.) Přílad 6. Užitím Greenov vět vpočtěte řivový integrál e x cos ) dx e x sin ) d, de ) je ladně orientovaná hranice uzavřené ) { oblasti M x, ) R : x, π } sin x. Řešení: Je a odtud fx, ) e x cos ), fx, ) e x sin, gx, ) e x sin ), gx, ) e x sin )

a dále e x cos ) dx e x sin ) d e x + e x sin e x sin ) dx d ) M π e x dx d sin x M e x d dx π e x sin x dx 4 eπ + ). Přílad 7. Uažte, že řivový integrál druhého druhu vetorového pole fx, ) x x ), x ) ) nezávisí v oblasti G R na cestě, a vpočtěte,3) integrál fx, ) ds.,) Řešení: Křivový integrál druhého druhu nezávisí na cestě, je-li pro vetorové pole fx, ) fx, ), gx, )) splněna podmína vetorové pole je potenciální) V našem případě je fx, ) fx, ) 4x, gx, ). gx, ) 4x a to znamená, že vetorové pole je potenciální a řivový integrál druhého druhu,3) x x ) dx + x ) d nazávisí na cestě a můžeme volit libovolnou,) cestu ), terá spojí bod, ) s bodem, 3), přičemž bod, ) je počáteční bod cest. Zvolme cestu ) ) ), de ) je úseča spojující bod, ) a, ) a ) je úseča spojující bod, ) a, 3) cestu volíme ta, abchom postupovali rovnoběžně se souřadnicovými osami). Je : x t,, t,, ladně orientovaná, : x, t, t, 3, ladně orientovaná.,3) x x ) dx + x ) d x x ) dx + x ) d+,) + ) ) 3 x x ) dx + x ) d t t ) dt + t4 t ) dt 6. Přílad 8. Uažte, že řivový integrál druhého druhu vetorového pole fx, ) { x, x) nezávisí v oblasti G x, ) R : x > } na cestě, a vpočtěte,) integrál fx, ) ds.,)

Řešení: Protože fx, ) gx, ) x je vetorové pole potenciální a řivový integrál,),) x dx x d nezávisí na cestě. Zvolme opět cestu ) ) ), de ) je úseča spojující bod, ) a, ) a ) je úseča spojující bod, ) a, ). Ted : x t,, t,, záporně orientovaná, : x, t, t,, ladně orientovaná.,),) x dx x d ) t dt + x dx x d + dt 3. ) x dx x d