1 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 1 Výnačné bod a množin bodů v prostoru Souřadnicová soustava v prostoru Každému bodu v prostoru přiřaujeme v kartéské souřadnicové soustavě uspořádanou trojici reálných čísel, tv kartéských souřadnic,,,, Množinu všech uspořádaných trojic reálných čísel,, budeme naývat trojroměrným prostorem Je-li vdálenost bodů A,,, B,, definována vorcem A A A B B B ρ A, B = B A + B A + B A, naýváme trojroměrný metrický prostor trojroměrným euklidovským prostorem Značíme jej E Obdobně b se definoval víceroměrný euklidovský prostor E n Libovolná neprádná množina Ω bodů v prostoru E n se naývá n-roměrný obor Okolí bodu Množinu všech bodů X v prostoru v E n, jejichž vdálenost od daného bodu A je menší než volené číslo δ >, naýváme δ okolím bodu A Značíme jej U A, δ nebo U A ~ Redukované okolí : v okolí bodu A vnecháme bod A Značíme ho U A Například v rovině, ted v prostoru E, představuje okolí U A, δ kruhu se středem v bodě A a poloměrem δ : bodu A množinu všech bodů uvnitř A δ
Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v každém jeho okolí U B leží aspoň jeden bod oboru Ω a ároveň aspoň jeden bod, který do oboru Ω nepatří B A Ω Obor Ω En se naývá omeený nebo ohraničený, jsou-li všechn souřadnice k libovolného jeho bodu X konečná čísla V opačném případě se obor Ω naývá neohraničený 4 Obor Ω En se naývá otevřený, kdž každý jeho bod je vnitřní Obor Ω En se naývá uavřený, kdž obsahuje všechn své hraniční bod 5 Obor Ω En se naývá souvislý, kdž každé dva jeho bod můžeme spojit čarou, která celá leží v oblasti Ω 6 Otevřený a souvislý obor Ω se naývá oblast, uavřený a souvislý obor Ω se naývá uavřená oblast A Ω Ω B B A souvislý obor obor, který není souvislý
Definice funkce dvou proměnných Definice : Je-li každému bodu, oboru Ω E přiřaeno právě jedno reálné číslo, říkáme, že v oboru Ω je definována funkce dvou proměnných, a píšeme = f, nebo = f, jsou neávisle proměnné neboli argument, je ávisle proměnná nebo funkční hodnota Definičním oborem funkce = f, není-li pro danou funkci předepsán, roumíme množinu všech bodů, v rovině, pro něž výra f, nabývá reálné hodnot odmínk pro určování definičních oborů : Racionální lomené funkce m, R, = mají definiční obor celou rovinu mimo bodů, pro Q, n které je funkce ve jmenovateli rovna nule Iracionální funkce tvaru = n f, jsou definován pro bod,, pro které platí nerovnost f, Logaritmické funkce = log f, jsou definován pro bod,, pro které platí f, > a Cklometrické funkce tvaru = arcsin f,, = arccos f, jsou definován pro bod,, pro které platí 1 f, 1 Grafické náornění funkce dvou proměnných Znáorníme-li definiční obor Ω E v rovině, můžeme libovolnému bodu, oboru Ω přiřadit hodnotu tak, ab platilo = f, Trojice,, potom určuje bod v prostoru E Definice : Grafem funkce f,, kde, Ω E, naýváme množinu všech bodů,, v prostoru E, jejichž souřadnice,, vhovují rovnici = f, Takový graf naýváme plochou = f,
4 ři náornění funkce = f, je často užitečné sestrojit ře grafu rovinami Jsou to průsečnice grafu s výnačnými rovinami např souřadnicové rovin, rovin s nimi rovnoběžné nebo rovin procháející souřadnicovou osou Dosadíme-li do rovnice = f, a číslo, obdržíme funkci = f, = ϕ jedné proměnné Jejím grafem v rovině = je pak ta čára na ploše = f,, která leží v rovině = Naývá se ře ploch = f, rovinou = říklad řeů ploch : ψ ϕ D C Ω K výnamným řeům ploch = f, patří její ře rovinami = c, které jsou kolmé na osu Tto ře se naývají vrstevnice Znáornění vrstevnic funkce : Ttéž vrstevnice náorněné v rovině :
5 Limita a spojitost funkcí dvou proměnných ojem limit funkce dvou proměnných se avádí analogick jako u funkce jedné proměnné Ted říkáme, že funkce f, má v bodě, limitu L, jestliže se funkční hodnot f, neomeeně blíží číslu L, blíží-li se bod, bodu, roblém limit funkce dvou proměnných a jejího výpočtu je však mnohem složitější Zatímco u funkce jedné proměnné se při limitním přechodu bod blížil k bodu vžd jen po ose, u funkce dvou proměnných se může bod, blížit k bodu, po libovolné křivce Definice : Říkáme, že funkce f, má v bodě, limitu L, kdž k libovolnému čísluε > eistuje čísloδ > tak, že pro všechn bod X, U ~, δ platí f, L < ε íšeme lim,, f, = L nebo lim X f X = L Vlastnosti limit: 1 Funkce f, má v bodě, nejvýše jednu limitu Jestliže lim f, = L, lim g, = L, f,,,, g platí a lim [ f, k g, ] = hl kl,,, h + + f g kde h, k jsou konstant, b lim [ f, g, ] = L L,,, f g c lim f,,, g, = L L f g pro L g Výše definovanou limitu lim f,,, naýváme dvojnou limitou Jestliže eistuje, můžeme se k bodu, blížit po růných cestách, aniž b se její hodnota měnila Eistují-li však dvě růné cest vedoucí k růným hodnotám limit, potom dvojná limita lim f,,, neeistuje obr1 a A b Ω obr1 Ω obr V praktických výpočtech se nejčastěji setkáváme s případem, kd bod A a, b se k bodu, přibližuje po pravoúhlé cestě dvěma působ Nejprve po přímkách = b, = a pak po přímkách = a, = obr Mluvíme o dvojnásobné nebo postupné limitě
6 Tto limit apisujeme takto : L1 = lim lim f,, resp L = lim lim f, očítáme je postupným limitním přechodem vžd funkce jedné proměnné, přičemž druhou proměnnou považujeme a konstantu Z předešlého vplývá, že rovnost L 1= L dvojnásobných limit pokud eistují je nutnou podmínkou pro eistenci dvojné limit L ak platí L = L 1 = L Rovnost L 1= L však není dostatečnou podmínkou pro eistenci dvojné limit L ři výpočtu dvojnásobných limit používáme postup, námé výpočtů limit funkce jedné proměnné + říklad : oužitím postupných limit ukažte, že limita L= lim neeistuje,, + + Řešení: + L = lim lim = lim = lim1 = 1, 1 + + + L = lim lim = lim = lim 1= 1 rotože L1 L, dvojná limita L neeistuje + + Jak je řejmé je výpočet dvojné limit obtížnější než výpočet limit funkce jedné proměnné K počítání limit neurčitých výraů tpu a nemáme totiž u funkcí více proměnných k dispoici žádnou analogii L Hospitalova pravidla V některých případech je však možné použít postupů, analogických těm, které jsme používali při výpočtu limit funkce jedné proměnné okud po dosaení obdržíme neurčitý výra, snažíme se funkci upravit například tak, ab se dala krácením jednodušit Spojitost funkcí více proměnných Definice : 1 Funkce f, se naývá spojitá v bodě, svého definičního oboru Ω, platí-li lim f, = f,,, Funkce f, se naývá spojitá v oboru Ω, je-li spojitá v každém bodě tohoto oboru Jestliže funkce není v bodě, spojitá, říkáme, že tento bod je bodem nespojitosti 1 říklad : Určete bod nespojitosti funkce = Řešení: Funkce je spojitá všude kromě bodů, E, pro které platí =, neboli + = Jsou to všechn bod přímek = a = Věta o vlastnostech spojité funkce : Věta : Nechť funkce f, je spojitá v uavřené a ohraničené oblasti Ω ak platí : 1 funkce f, je v dané oblasti omeená tn eistuje číslo K tak, že pro všechn bod, Ω platí f, < K, funkce f, nabývá v některém bodě, Ω maimální hodnot a v některém bodě, Ω minimální hodnot 1 1
7 4 arciální derivace Mějme funkci = f, definovanou v oblasti Ω ovažujeme-li např proměnnou a konstantní veličinu, pak funkci = f, můžeme chápat jako funkci jedné proměnné Má-li tato funkce v nějakém bodě oblasti Ω derivaci, naýváme ji parciální derivací funkce = f, v tomto bodě podle proměnné Analogick bchom určili parciální derivaci pro druhou proměnnou Definice : Nechť funkce = f, je definovaná v okolí bodu, 1 Má-li funkce g = f, proměnné v bodě = derivaci g, naýváme ji parciální derivací podle funkce = f, v bodě, a načíme ji f, f, f, latí ted f, = lim odobně parciální derivaci podle funkce = f, v bodě, definujeme vtahem f, f, f, = lim f arciální derivace načíme i růnými jinými smbol, např f,,, Z definice vplývá, že při výpočtu parciální derivace f, považujeme a proměnnou, kdežto a konstantu Obdobně při výpočtu f, považujeme a proměnnou a a konstantu racujeme ted s funkcí f, jako s funkcí jedné proměnné oužíváme přitom pravidla, která platí pro derivování funkce jedné proměnné Geometrický výnam parciální derivace odobně jako v případě funkce jedné proměnné má i parciální derivace funkce dvou proměnných v bodě, geometrický výnam arciální derivace f,, definovaná jako derivace funkce g = f, v bodě = geometrick představuje směrnici tečn t 1, sestrojené v bodě,,, k řeu ploch = f, rovinou = Je ted f, = tg, kde α načí úhel, který svírá příslušná tečna s kladnou částí os α t 1 t f, = β α
8 odobně parciální derivace f, představuje směrnici tečn t sestrojené v bodě na ploše = f, rovinou = Je ted f, = tg, kdeβ načí úhel, který svírá příslušná tečna β s kladnou částí os Tečná rovina a normála ploch Rovina ρ, která je určená tečnami t, se naývá tečná rovina ploch = f, v bodě,, 1, t Její rovnice má tvar ρ = f + f římka kolmá na tečnou rovinu ploch v jejím bodě dotku se naývá normála ploch v tomto bodě Její parametrické rovnice mají tvar = + f t, = + f t, = t, kde t, říklad : Určete tečnou rovinu a normálu ploch o rovnici f, = + v bodě,4,? Řešení: Nejprve určíme hodnotu funkce v bodě,4 Dále vpočítáme parciální derivace v bodě : Rovnice tečné rovin má ted tvar f f = f,4 = 9+ 16 1= 7 =, f = + + 17 4 11 f 4, = = f = = 5 5 5 5 17 11 + 7= 4 a po úpravě 17 + 11+ 5 6= 5 5 arciální derivace všších řádů Definice : Nechť funkce = f, má v každém bodě oboru Ω parciální derivace f f Mají-li tto, nové funkce f,, f, v oboru Ω 1 Ω parciální derivaci podle, případně podle, naýváme je parciálními derivacemi řádu a načíme je a f,, b f,, c f,, d f, f, f, arciální derivaci druhého řádu načíme i jinak, např,,, atd arciálním derivováním podle nebo podle parciálních derivací řádu dostaneme parciální derivace řádu neboli třetí parciální derivace Analogick se definují parciální derivace funkce = f, řádu n> řitom pořadí smbolů a v indeu případně ve jmenovateli načí pořadí, v jakém jsme derivovali Obecně parciální derivace řádu k funkce f, dostaneme parciálních derivací řádu k 1 opětovným derivováním podle, popř podle
9 říklad : Vpočtěte všechn parciální derivace druhého řádu funkce = 1 Řešení: Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu =, = 1 1 Jejich derivováním pak dostaneme = 1 1 1 4 1+ = 1, 6 6 =, = = 1 1 Všší parciální derivace, vniklé derivováním podle růných argumentů, se naývají smíšené V uvedené příkladě jsou smíšené parciální derivace, stejné Následující věta však ukauje, že nejde o náhodný jev, protože u smíšených parciálních derivací a jistého předpokladu neáleží na pořadí proměnných, podle kterých derivujeme Věta : Schwarova Jestliže smíšené parciální derivace U bodu, a jsou v tomto bodě spojité, pak platí f = f f, f funkce = f, eistují v okolí Derivace implicitních funkcí V diferenciálním počtu funkce jedné proměnné jste se senámili s funkcí danou implicitně, která bla definovaná takto : Definice 16: Je-li rovnicí F, = určena na nějakém intervalu I funkce = f tak, že je F, f = pro všechna I, naývá se funkce = f implicitní funkcí určenou rovnicí F, = ro derivaci implicitní funkce platí f = Vorec můžeme snadno dostat derivováním rovnosti F, f = podle, kde složená funkce F, má složk =, = f Dostaneme d d + = neboli + F = ro je odsud = d d říklad : Vpočtěte derivaci funkce dané implicitně rovnicí ln + = arctg Řešení: Dané funkci odpovídá rovnice ln + arctg = 1 1 + ak F =, = + + + 1+
1 1 1 1 + F =, = a ted = = + + + 1+ Funkce dvou proměnných daná implicitně Definice : Je-li rovnicí F,, = určena na oblasti Ω E funkce = f, tak, že pro všechna platí [,, f, ] =,, Ω F,, = F naývá se funkce = f, implicitní funkcí určenou rovnicí ro její derivaci platí: f =, f = říklad : Vpočtěte parciální derivace, funkce dané implicitně rovnicí + + + = Řešení: Nejprve určíme parciální derivace F,, F =, F 6 =, = F ak = =, 6 = 5 Totální diferenciál Definice 1: Má-li funkce = f, v bodě, a v jeho okolí U spojité parciální derivace f a f, naýváme totálním nebo úplným diferenciálem funkce f, v bodě výra df = f h+ f k, kde h =, k = jsou přírůstk argumentů,, přičemž bod, = + h, + k U Uvažujeme-li funkci f, =, pak pro její totální diferenciál platí d = 1 h+ k = h odobně pro funkci f, = dostáváme totální diferenciál d = h+ 1 k = k řírůstk h, k můžeme ted považovat a diferenciál argumentů,, takže vtah pro totální diferenciál le psát ve tvaru d = f, d+ f, d, případně ve tvaru d= d+ d Výra f d, f d naýváme parciální diferenciál říklad : Vpočítejte totální diferenciál funkce = sin Řešení: Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu = cos, = cos Totální diferenciál má pak tvar d = cos d+ cos d
11 říklad : Vpočtěte hodnotu totálního diferenciálu funkce d =, f, = arctg v bodě 1,1 pro d =, 1 a Řešení: arciální derivace prvního řádu po úpravě mají tvar f =, + f = + Hodnota totálního diferenciálu v bodě 1,1 pro dané přírůstk je 1 1 df 1,1 =,1+,= 1 Geometrický výnam totálního diferenciálu orovnáme-li rovnici tečné rovin funkce = f, v bodě,, se vorcem totálního diferenciálu v bodě, df = f + f = f h+ f, kde h= k =, k, vidíme, že platí = df Ted totální diferenciál funkce = f, v bodě představuje přírůstek souřadnice bodu D na tečné rovině, přejdeme-li bodu, do bodu A + h, + Na obráku je totální diferenciál d náorněn úsečkou CD k = f, t 1 D d t C +k +h A Vtah mei diferenciálem a přírůstkem funkce Uvažujme funkci = f,, která je v okolí U diferenciabilní Onačíme-li smbolem f = f, f, přírůstek funkce a df její totální diferenciál f df v bodě, pro h=, k =, dá se ukáat, že platí lim = h, k, h + k
1 Tento vtah nám umožňuje pro malé hodnot h, k nahradit přírůstek funkce diferenciálem, ted psát f df Můžeme pak pomocí totálního diferenciálu počítat přibližně funkční hodnot v okolí bodu, v němž náme hodnotu funkce a parciálních derivací, následujícím působem f + h, + k = f, + f f, + df říklad : Vpočtěte totální diferenciál df a přírůstek f funkce f, =, jestliže je dán bod 1, a přírůstk d = d=, Řešení: Totální diferenciál df, = d d, ted pro daný bod a dané přírůstk je df 1, = 8, 16,= 4,8 1, 1 řírůstek funkce má hodnotu f 1, = f 1,;,8 f 1; = 5,,8,1 říklad : Vpočtěte přibližně hodnotu čísla 1, Řešení: Uvažujme funkci f, = Hledané číslo pak můžeme přibližně vjádřit výraem + df, pro =, =, d=,, d,1 Vhledem k tomu, že totální diferenciál 1 = df, = 1 d+ ln d a df 1, = 1, + 1, 1=, 6, je přibližná hodnota daného čísla 1,,1 1 +,6= 1,6 říklad : ři deformaci válce se jeho poloměr r většil e na,5 dm a výška v se menšila 1 na 9,8 dm Určete přibližně měnu objemu V Řešení: Na ákladě vorce pro objem válce V ro tuto funkci hledáme totální diferenciál neboť platí = π r v uvažujeme funkci dvou proměnných V = f r, v ůvodní roměr bl V dv = V r dr+ V v dv r= dm, v= 1 dm, přírůstk jsou dr =,5, dv=, Vpočítáme nejprve par- ciální derivace funkce V : V = π rv, V = π r, r takže totální diferenciál dv = π rvdr+ π r dv o dosaení V dv = π rvdr+ π r dv= π,5+, = 1,π,768 dm v Vtah mei totálním diferenciálem a přírůstkem funkce se vužívá v teorii chb Jestliže určitý výpočet je prováděn s veličinami, které bl ískán měřením, můžeme výslednou chbu určit pomocí diferenciálu V teorii chb se místo slova měna nebo přírůstek používá návu chba V praktických výpočtech, kde d a d jsou chb jednotlivých měření, je absolutní chba f f df a relativní chba δ = nejčastěji f v procentech
1 6 Etrém funkcí dvou proměnných Lokální etrém Definice : Říkáme, že v bodě, má funkce = f, 1 lokální maimum, jestliže eistuje okolí bodu, tak, že pro všechn bod, tohoto okolí platí f, f, lokální minimum, jestliže eistuje okolí bodu, tak, že pro všechn bod, tohoto okolí platí f, f, Lokální maima a minima naýváme lokální etrém někd se používá termín relativní etrém odobně jako u funkce jedné proměnné budeme při všetřování lokálních etrémů vužívat ponatků diferenciálního počtu Věta : Fermatova Nutnou podmínkou pro eistenci lokálního etrému funkce f, v bodě,, v němž jsou spojité parciální derivace f, f, je platnost rovnic f =, f = Definice : Bod,, v jehož okolí má funkce = f, parciální derivace 1řádu, a který vhovuje rovnicím f, = f =, se naývá stacionárním bodem dané funkce Nutná podmínka pro eistenci lokálního etrému však není postačující podmínkou Stacionárnímu bodu, ve kterém etrém neeistuje, odpovídá na ploše bod, v jehož okolí má plocha např tvar sedla obr 1 Jde o jistou analogii s inflením bodem funkce jedné proměnné To, da ve stacionárním bodě nastává lokální etrém, je možné v některých příkladech jistit všetřením chování funkce v okolí tohoto bodu obr 1
14 ostačující podmínk pro eistenci etrému je možné formulovat pomocí následující vět, která se obvkle používá při všetřování lokálních etrémů Věta : o postačujících podmínkách pro etrém Nechť, je stacionárním bodem funkce = f,, která má v okolí U spojité parciální derivace druhého řádu Onačme D = f f f f Je-li D >, pak v bodě nastane lokální etrém, a to : 1 lokální minimum, je-li >, f lokální maimum, je-li < f Je-li D <, lokální etrém v bodě nenastane Je-li D =, nemůžeme tímto působem o eistenci lokálního etrému rohodnout Funkce = f, může mít lokální etrém nejen ve stacionárních bodech, ale i v bodech, v nichž obě parciální derivace f, f neeistují, nebo v bodech, v nichž jedna nich neeistuje a druhá je rovna nule Funkce sama nemusí být v takových bodech definovaná a tto bod musí být vnitřními bod definičního oboru Zda má funkce v těchto bodech lokální etrém, jistíme všetřením jejího chování v jejich okolí ostup při všetřování lokálních etrémů funkce = f, : - vpočítáme parciální derivace f, f, - určíme stacionární bod i a ověříme, da patří do definičního oboru funkce f, - vpočítáme parciální derivace f, f, f a hodnot těchto derivací ve stacionárních bodech i, - určíme hodnot determinantů D i ve stacionárních bodech i a pro D i rohodneme o ei- stenci lokálních etrémů, - podle naménka výrau f určíme druh etrému, i - všetříme chování funkce v okolí stacionárních bodů, ve kterých je příslušný determinant roven nule, a v okolí bodů, v nichž parciální derivace f, f nejsou definován
15 Váané etrém Kromě lokálních etrémů je v prai často potřeba určit etrém funkce f,, váané podmínkou g, = Takové etrém budeme naývat váanými etrém Definice : Říkáme, že funkce = f, má v bodě, 1 váané maimum, jestliže nerovnost f, f, platí v okolí bodu pro všechn bod, ležící na křivce g, = váané minimum, jestliže nerovnost f, f, platí v okolí bodu pro všechn bod, ležící na křivce g, = Váanému maimu a váanému minimu stručně říkáme váaný etrém Geometrická interpretace váaného etrému : Bodům, které leží v definičním oboru funkce = f, a vhovují rovnici g, =, odpovídají na ploše = f, bod, tvořící křivku k Bod váaných etrémů jsou pak takové bod, v nichž funkce = f, nabývá svého lokálního etrému na křivce k na obr je takovým bodem bod = f, k g, = obr Rodíl mei lokálními a váanými etrém ted spočívá v tom, že při lokálních etrémech všetřujeme funkci v jejím celém definičním oboru, kdežto při váaných etrémech všetřujeme jen t hodnot funkce f,, kterých nabývá v bodech křivk g, = ři všetřování váaných etrémů mohou nastat dva případ : a okud rovnice g, = určuje implicitně funkci = ϕ, převede se úloha váaného etrému na úlohu určení etrému funkce = f, ϕ funkce jedné proměnné b Uvedený postup však není možný, pokud žádnou proměnných, nele podmínk g, = vjádřit V tom případě používáme tv Lagrangeovu metodu neurčitých multiplikátorů nebude probírána
16 Absolutní etrém Hledáme-li největší a nejmenší hodnotu funkce v dané oblasti, hledáme tv absolutní etrém funkce někd se používá termín globální etrém Definice : Říkáme, že funkce = f, má v bodě, Ω absolutní maimum minimum na oblasti Ω, jestliže nerovnost f, f, f, f, platí pro každý bod, Ω Věta : Funkce = f, spojitá na uavřené a omeené oblasti Ω nabývá svých absolutních etrémů buď v bodech lokálních etrémů ležících uvnitř oblasti Ω nebo v některém hraničním bodě ostup při všetřování absolutních etrémů funkce = f, spojité v uavřené a omeené oblasti Ω : - určíme lokální etrém funkce f a ověříme, da leží uvnitř oblasti Ω, - všetříme váané etrém funkce f na hranicích oblasti, - určíme průsečík křivek, které tvoří hranici oblasti, - porovnáním funkčních hodnot v bodech, ískaných popsaným postupem, určíme ve kterých nich nabývá daná funkce svých absolutních etrémů onámka : 1 ři všetřování absolutních etrémů není nutné jišťovat tp lokálních a váaných etrémů ted da se jedná o maimum nebo minimum, ale stačí poue najít takové bod, ve kterých tto etrém mohou nastat Charakter absolutního etrému určíme na ávěr na ákladě porovnání funkčních hodnot Není-li oblast Ω uavřená, nemusí mít funkce f žádný absolutní etrém okud eistuje, nastává v bodě lokálního etrému