Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm reálnými čísly je nekonečně mnoho čísel rcionálních i ircionálních Definice Reálné číslo se nzývá: kldné, pokud > ; záporné, pokud < ; nezáporné, pokud ; nekldné, pokud číselná os Definice Pro kždé, b R, < b, rozeznáváme tyto typy intervlů s krjními body, b:, b) { R : < < b} otevřený);, b { R : b} pro, b R uzvřený);, b { R : < b} pro b R polouzvřený);, b) { R : < b} pro R polouzvřený) Body intervlu, které nejsou krjní, nzýváme vnitřní body Definice Rozšířená množin reálných čísel je R R {, + }, kde + se nzývjí nevlstní čísl Pro kždé R pokládáme: ) < < + ) + + 3) +, +,,, { +, >,,, <, Nedefinujeme:,, Poznámk Nevlstní čísl využíváme při popisu intervlů, npříkld:, ) { R : < < } { R : < },, + ) R Definice Nechť M R Číslo k R se nzývá: horní mez množiny M, pokud k pro kždé M; dolní mez množiny M, pokud k pro kždé M Množin M se nzývá: shor omezená, pokud má horní mez; zdol omezená, pokud má dolní mez; omezená, pokud má horní i dolní mez Příkldy ) N je zdol omezená, není shor omezená ) Z není omezená ni zdol, ni shor 3), ) je omezená množin Definice Nechť M R je neprázdná Supremum množiny M sup M) je nejmenší horní mez množiny M + pro shor neomezenou), infimum množiny M inf M) je největší dolní mez množiny M pro zdol neomezenou) Příkldy Pro intervly,,, ) dostáváme: sup, min, + ), inf, m,, sup, ) min, + ), inf, ) m, Poznámk Jestliže eistuje mimum minimum) množiny, pk je zároveň supremem infimem) této množiny Vět Kždá neprázdná množin reálných čísel má supremum i infimum Vět princip vnořených intervlů) Jestliže pro uzvřené intervly I n n N) pltí I I I 3, pk n N I n Jestliže nvíc délky intervlů I n klesjí k nule, pk je tento průnik jednobodový Důkz: Oznčme I n n, b n pro kždé n N Z předpokldů vyplývá, že 3 b 3 b b Množin { n : n N} je neprázdná, shor omezená kždým číslem b n, má tedy v R supremum, oznčme ho Protože b n pro kždé n N, má množin {b n : n N} v R infimum, oznčme ho b Protože b, je n N I n { R : b} Jestliže délky intervlů I n klesjí k nule, pk b Poznámk Podmínk uzvřenosti intervlů ve výše uvedené větě je podsttná: je-li I n, n ) pro kždé n N, pk I I I 3 n N I n Funkce Definice Reálná) funkce reálné proměnné) je zobrzení A R, kde A R je neprázdná Množin A je definiční obor funkce f Df)), množin fa) {f) : A} je obor hodnot funkce f Rf)) Grf funkce f je množin {[, f)] : Df)} Poznámk Pokud není zdán definiční obor, bereme mimální možný Definice Funkce f : A B se nzývá prostá, pokud různým vzorům odpovídjí různé obrzy; n B, pokud její obor hodnot je B f : A n B); vzájemně jednoznčná, pokud je prostá n B Příkldy ) není prostá f) f )), je n, + ) ) 3 je prostá n R Poznámk Neostré uspořádání f g operce sčítání, odčítání, násobení dělení funkcí definujeme bodově Definice Složení funkcí f : A B g : B C je funkce g f : A C definovná předpisem g f)) g f) ) Příkld f), g) : g f)) g f) ) f) ) ) 4, f g)) f g) ) g) Definice Funkce g : Rf) A je inverzní k funkci f : A B, pokud g f)) pro kždé A Znčíme g f
Vět Funkce f má inverzní funkci právě tehdy, když je prostá Pk Rf ) Df) f je inverzní funkce k f Poznámk Grf f je symetrický s grfem f podle osy prvního třetího kvdrntu přímky o rovnici y ) Příkldy ) je prostá n, ), má inverzní ) f) e : R n, + ) je prostá, má inverzní g) ln :, + ) n R; g f f g Definice Funkce f je zdol, shor) omezená n A Df), pokud je zdol, shor) omezená množin fa) Poznámk Pokud neurčujeme A, myslíme Df) Příkldy ) je zdol omezená ), není shor omezená ) rctg je omezená 3) 3 není omezená zdol ni shor Definice Funkce f je rostoucí resp klesjící, neklesjící, nerostoucí ) n množině A Df), pokud f) < fy) resp f) > fy), f) fy), f) fy)) pro všechn, y A tková, že < y Všechny tkové funkce se nzývjí monotonní, rostoucí klesjící funkce se nzývjí ryze monotonní Příkldy ) je klesjící n,, rostoucí n, + ) ) sign je neklesjící Vět Rostoucí klesjící ) funkce je prostá má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí klesjící ) Definice Funkce f je ) sudá, pokud f ) f) pro kždé Df); ) lichá, pokud f ) f) pro kždé Df) Příkldy ) je sudá ) 3 je lichá Poznámk Grf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, grf liché funkce je středově symetrický podle počátku Definice Funkce f se nzývá periodická s periodou p >, pokud f + p) f p) f) pro kždé Df) Příkld Funkce sin je periodická s periodou π Poznámk Má-li funkce periodu p, má i periody np n N) Nejmenší period pokud eistuje) se nzývá zákldní Elementární funkce mocniny definiční obor pro rcionální p q, p Z, q N, p, q nesoudělné: q liché q sudé p R, + ) p < R \ {}, + ) pro R\Q pokládáme e ln, tedy Df), + ) eponenciální funkce o zákldu > : logritmus o zákldu > : log log pro zákld, ln pro zákld e) Pro kždé, y R kždé > pltí +y y, ) y y Pro kždé, ), + ) pltí log y) log + log y,, y >, log y y log, > goniometrické funkce: sin, cos, tg sin cos cos, tg sin inverzní funkce: rcsin, rccos, rctg, rccotg hyperbolické funkce: sin + cos sin + y) sin cos y + cos sin y cos + y) cos cos y sin sin y sin cos cos + cos sinh e e cosh e + e, tgh sinh cosh,, cotgh cosh sinh inverzní funkce rgsinh, rgcosh, rgtgh, rgcotgh cosh sinh sinh + y) sinh cosh y + cosh sinh y cosh + y) cosh cosh y + sinh sinh y Limity funkcí Definice Okolí bodu R o poloměru r > je U, r) { R : < r} r, + r) Prstencové okolí bodu R o poloměru r > je P, r) U, r) \ {} r, ), + r) Okolí bodů ± jsou r je reálné číslo): U, r) P, r) { R : < r}, r), U+, r) P +, r) { R : > r} r, + ) Definice Funkce f definovná v prstencovém okolí bodu R má v bodě itu b R f) b, f) b), jestliže pltí: Ke kždému okolí U bodu b eistuje prstencové okolí P bodu tk, že fp ) U Poznámk Obecněji se definuje it v hromdném bodě definičního oboru Tvrzení Pro kždé R pltí: ) c c pro kždé c R ) Důkz: ) f U) R pro kždé U, npř P P, ) ) f U) U pro kždé U, npř P U \ {} Příkld + sin neeistuje: pro b R eistuje U b,, f U b ) neobshuje prstencové okolí +
Poznámk Jednostrnné ity pro levá/prvá prstencová okolí body prstencového okolí nlevo/nprvo od ) Příkld sign, + sign + Vět Pro funkci f definovnou v prstencovém okolí bodu R je f) b právě tehdy, když f) + f) b Poznámk Následující věty lze formulovt i pro jednostrnné ity Vět o jednoznčnosti) Kždá funkce má v kždém bodě nejvýše jednu itu Důkz: Pokud má v itu b, tk jiné číslo c R není itou: eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c, f U c ) je disjunktní s f U b ) neobshuje tedy prstencové okolí Vět o monotonii) Je-li f) b, g) c f g n prstencovém okolí bodu, pk b c Důkz sporem): Pro b > c eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c prstencová okolí P b, P c bodu A tk, že fp b ) U b, fp g ) U c, pro P f P g je f) > g) spor Příkld Ne pro <: < n, + ), v + stejná it Vět Funkce s vlstní itou v je omezená n prstencovém okolí Vět Funkce s kldnou zápornou) itou v je n prstencovém okolí kldná záporná) Vět právě tehdy, když f) Důkz: f) U, ε) právě tehdy, když f) U, ε) Vět Monotonní funkce n intervlu má v jeho krjních bodech příslušné jednostrnné ity supremum infimum funkčních hodnot) Důkz pro f neklesjící n I, b)): c sup fi), okolí U bodu c má levý krjní bod d, eistuje e d, c) fi), f U) f e), b) levé prstencové okolí b Příkld e : R n, + ) je rostoucí, tedy e inf, + ), + e sup, + ) + Příkld + +, >,,,, <, +, >,,, +, < Vět it součtu, rozdílu, součinu podílu funkcí) Limit součtu rozdílu, součinu, podílu) funkcí je součet rozdíl, součin, podíl) it, pokud je definován včetně opercí s nevlstními čísly) Důkz pro součet vlstních it): Pro Ub+c, ε) uvžujme fp f ) Ub, ε ) fp g) Uc, ε ), pk f + g)p f P g ) Ub + c, ε) Příkldy ) + 3 + ) + nedefinováno + 3 + ) + ) +, + ) + nedefinováno 3) + +, nedefinováno ) + ) + Tvrzení Je-li f) >, g) g > n prstencovém okolí bodu, pk f)/g) + Poznámk ± ± Příkldy ) ) 3) ± ) ln ) 4 ± ± + + Tvrzení Je-li f) b {± } g je omezená n prstencovém okolí, pk f) + g) ) b Poznámk ± + omez ± Příkld + cos ) + + omez + Vět o sevření) Je-li f) g) b f h g n prstencovém okolí, pk h) b Vět Je-li f), g je omezená n prstencovém okolí, pk f) g) Poznámk omez omez ± Příkld sin omez Tvrzení Jestliže f) neeistuje, pk pltí: ) Je-li g) vlstní, pk f) ± g) ) neeistuje ) Je-li g) vlstní nenulová, pk neeistují f) g) ) f)/g) ) Příkld + sin nee neeistuje Poznámk Druhou itu lze brát z definici čísl e) sin, e
Vět it složené funkce) Nechť pro R pltí: ) f) b R, ) y b gy) c R 3) gb) c nebo f) b n prstencovém okolí Pk g f)) c Důkz: U c ): eistuje P b : P b g Uc f ): eistuje P : P Pb {b} 3): pro gb) c je P b {b} g g f U c, P U c, jink eistuje P : P f P b, P g f U c Příkld + e / y e y Příkld f) sin, f) gy) pro y, g) ; y gy) g f)) pro { kπ : k Z}, jink g f)) neeistuje Poznámk Podmínk gb) c ve větě o itě složené funkce znmená spojitost funkce g v bodě b Spojitost funkcí Definice Funkce f je spojitá v bodě Df), pokud ke kždému okolí U bodu f) eistuje okolí V bodu tk, že f V Df) ) U Funkce je spojitá, pokud je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru Vět Funkce f definovná v okolí bodu je v bodě spojitá právě tehdy, když f) f) Poznámk Podobně spojitosti zlev/zprv Příkldy ) je spojitá ) sign je spojitá v bodech R \ {}, není spojitá v bodě 3) Dirichletov funkce {, Q, d), / Q není spojitá v žádném bodě Vět Jsou-li funkce f, g spojité v bodě, pk pltí: ) Funkce f ± g, f g, f jsou spojité v ; je-li g), pk i funkce f/g je spojitá v bodě ) Eistuje okolí bodu, n kterém je funkce f omezená 3) Je-li f) >, pk f > n některém okolí bodu 4) Je-li funkce f spojitá v bodě funkce g spojitá v bodě f), pk funkce g f je spojitá v bodě Vět Polynomy rcionální funkce jsou spojité funkce Vět Mocniny, eponenciální, goniometrické hyperbolické funkce funkce k nim inverzní jsou spojité Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá největší nejmenší hodnoty Vět o mezihodnotě) Je-li funkce f spojitá n intervlu I nbývá-li v něm hodnot m M, m < M, pk v tomto intervlu nbývá všech hodnot z intervlu m, M Důsledky ) Pro spojitou nekonstntní funkci je obrzem intervlu intervl uzvřeného uzvřený) ) Spojitá funkce n intervlu je prostá má inverzní funkci) právě tehdy, když je ryze monotonní Inverzní funkce pk je spojitá Posloupnosti Definice Nekonečná) posloupnost reálných čísel) je zobrzení N R Znčíme n ) n, n je n-tý člen Příkldy ) n ) n, 4, 8, ) n ) n n q n geometrická s kvocientem q ), 3, 5, 7, ) + n )) n n + n )d ritmetická s diferencí d 3), n+ n + n+ :,,, 3, 5, 8,, ) Fiboncciho) Definice Vybrná posloupnost podposloupnost) z posloupnosti n ) n je posloupnost kn ) n, kde k n ) n je rostoucí posloupnost přirozených čísel Poznámk n fn), k n gn): kn f g)n) Poznámk n n + f) pro f) n n n n, n + ) Znčíme též n Vět Posloupnost n ) n má itu R, pokud pro kždé okolí U bodu eistuje n N tk, že pro všechn n > n je n U Definice Posloupnost s vlstní itou je konvergentní Vět Je-li + f), pk n fn) Vět f) b právě tehdy, když n f n ) b pro kždou posloupnost n ) n čísel z Df) \ {} s n n Příkld + sin neeistuje: n sin πn, n πn +, n sin π + πn), n π + πn) + Definice Číslo R je hromdná hodnot posloupnosti, pokud v kždém okolí leží nekonečně mnoho jejích členů Příkld Posl ) n) má hromdné hodnoty ± n Tvrzení Limit posloupnosti je hromdnou hodnotou posloupnosti Hromdná hodnot posloupnosti je itou některé vybrné posloupnosti Vět Kždá posloupnost má v R lespoň jednu hromdnou hodnotu omezená posloupnost vlstní ) Tvrzení Supremum infimum množiny hromdných hodnot posloupnosti jsou hromdné hodnoty této posloupnosti, znčíme je sup n n es superior) inf n n es inferior)
Vět Pro posloupnost je ekvivlentní: ) Má itu ) Má jedinou hromdnou hodnotu 3) Limes inferior es superior posloupnosti jsou stejné 4) Kždá vybrná posloupnost má stejnou itu Derivce funkce Okmžitá změn funkce jko it průměrných změn Definice Derivce funkce f v bodě je Poznámky ) df d ) f f + h) f) ) h h f f) f) ) ) Derivce funkce v bodě může být vlstní nebo nevlstní 3) Podobně jednostrnné derivce Příkld Pro funkci f) 3 je f ) h 3 h 3 h h 3 h + + Definice Funkce f má derivci n intervlu I, pokud má derivci v kždém vnitřním bodě I příslušné jednostrnné v přípdných krjních bodech I Derivce je opět funkce, znčíme ji f Tvrzení ) ) 3) 4) 5) Důkz: c) R c R je konstnt) ) R pro N), e ) e R sin ) cos R cos ) sin R pro Z), > pro R) ) c) h c c h h h h ) pro N: n ) h h [ + h)n n ] h h n + n n h + + h n n ) h n n + + h n ) n n 3) e ) h h e+h e ) h e e h h e e 4) sin ) sin+h) sin h h cos+h/) sin h/ h h sin h/ h cos + h/) h/ cos cos cos ) cos+h) cos h h sin+h/) sin h/ h h h sin + h/) sin h/ h/ sin sin Příkldy ) 3 ) 3 3 3, R ) 3 ) /3 ) 3 /3 / 3 3 ), Vět Funkce je spojitá v kždém bodě, ve kterém má vlstní derivci Důkz: f) f) + f) f) f) + f ) f) Příkldy ) ) sign je nespojitá v, sign sign h sign ) h h h h + + ) f) je spojitá v, f ) neeistuje: f ±) h h ± h h ± ± ± 3) f) 3 je spojitá v, f ) + Vět o derivci součtu, rozdílu, součinu podílu) Jsou-li f, g funkce, které mjí vlstní derivce v bodě, pk: ) f ± g) ) f ) ± g ); ) f g) ) f ) g) + f) g ); 3) je-li g), pk Důkz: ) f ) f ) g) f) g ) g g) f ± g)) f ± g)) f ) ± g ) ; f) f) f g)) f g)) f) f) g) + f) f g ± g) g) f ) g) + f) g ) ; ) ) f ) g ) [ f) f) g) f) g) g) [ f g) ) g) f) g ) ] g) g) ] g) g) Poznámky ) Podobně pro derivci funkci) ) Pro c R je cf) c) f +cf cf derivce násobku je násobek derivce ) 3) Zobrzení : f f je lineární 4) f + f + + f n ) f + f + + f n, f f f n ) f f f n + f f f n + + f f f n Příkldy ) 3 + + 7) 6 + ) e sin ) e sin + e sin + e cos 3) tg ) ) sin cos sin ) cos sin cos ) cos cos +sin cos cos Vět o derivci složené funkce) Má-li f vlstní derivci v, g vlstní derivci v f) b, pk g f má v derivci g f) ) g b) f )
Důkz: Oznčme f) y Funkce { gy) gb) y b, y b, ty) g b), y b, je spojitá v b, v okolí b je gy) gb) ty) y b), pltí g f)) g f)) g f) ) g f) ) gy) gb) ty) y b) f) f) y b) ty) g b) f ) Poznámky ) Schemticky pro f) y, gy) z: dz d dz dy dy d ) f n f f ) f n f f Příkldy ) sin ) cos ) cosh ) e + e ) ) e e ) sinh 3) e cos ) e cos sin ) Poznámk e ) e, sin ) cos, cos ) sin Derivcí f f)) dostneme f f) ) f ) Vět o derivci inverzní funkce) Je-li funkce f spojitá ryze monotonní n otevřeném intervlu I eistuje-li nenulová derivce funkce f v I, pk f ) f) f ) Důkz: Oznčme y f), b f) fi) je otevřený intervl, eistuje spojitá f n fi) f y) f b) y b f) f) y b ) f ) Poznámk Obvykle vycházíme z funkce, jejíž derivci chceme spočítt, tkže podmínky monotonie nenulovosti derivce ověřujeme pro inverzní funkci Příkld ln je inverzní k e y, která je spojitá, rostoucí má nenulovou derivci Pro > Dln)) je Tvrzení ln ) e y ) e y e ln rctg ) +, rccotg ) +, R rcsin ), rccos ),, ) Definice Derivci řádu n n-tou derivci) funkce f znčíme f n) nebo dn f d definujeme rekurentně f ) f, f n) f n )) Příkld Pro f) / dostáváme f ) ), f ) ) ) ) ) 3, pro n N f ) ) ) 3) ) ) 3) 4, f n) ) ) n n! n+ Poznámky ) Derivce řádu n je lineární zobrzení, tkže f + f + + f k ) n) f n) + f n) + + f n) k ) Derivce součinu dvou funkcí se počítjí následovně: f) f) fg) f g + fg, fg) f g + fg ) f g + f g + fg, fg) f g + 3f g + 3f g + fg, fg) n) n k ) n f n k) g k) k Aplikce derivcí Geometrické plikce směrnice sečny body [, f)], [, f)] f ) směrnice tečny v [, f)] tečn: y f) f ) ) y f) + f ) ) T ) směrový vektor tečny kolmý k normále):, f ) ) normál: + f ) y + f ) f), pro f ), y f) f ) ) pro f ) Příkld Určete tečnu normálu grfu funkce f) e v bodě [,?] f) e, f ) e, f ) e tečn: y f) + f ) ) e + e ) e normál: y e + e ) e + e + e ) Příkldy ) ) e ln ) e ln ) ) e ln ) e ln ln ln
Věty o střední hodnotě Vět Rolleov) Nechť pro funkci f pltí ) f je spojitá n intervlu, b, ) f má derivci v kždém bodě intervlu, b), 3) f) fb) Pk f c) pro některý bod c, b) Důkz: pro konstntní je f n, b); nekonstntní nbývá minim nebo mim uvnitř, b ; npříkld pro mimum v bodě c, b): f c) f c) c f) fc) c, f c) f +c) c+ f) fc) c Příkldy ) Funkce f) n, ), f) nesplňuje ) ) Funkce f) n, nesplňuje ) 3) Funkce f) n, nesplňuje 3) Vět Lgrngeov, o přírůstku funkce) Nechť f je spojitá n, b má derivci v kždém bodě, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) f c) b ) Důkz: funkce g) f) f) fb) f) b ) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): g c) f c) fb) f) b Tvrzení Je-li funkce f spojitá v bodě zprv eistuje-li f +), pk f +) f +) Důkz: podle Lgrngeovy věty pro > tková, že, ) Df), eistuje c, ); pro + je c +; f +) f) f) + + f c ) f +) Poznámk Podobně pro derivci zlev, oboustrnnou Vět Cuchyov) Nechť funkce f, g jsou spojité n intervlu, b, mjí vlstní derivci n, b) g n, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) gb) g) f c) g c) Důkz: funkce h) fb) f) ) g) gb) g) ) f) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): h c) fb) f) ) g c) gb) g) ) f c), protože g n intervlu, b), je g c) tké gb) g) l Hospitlovo prvidlo Vět l Hospitlovo prvidlo) Nechť pro funkce f, g pltí: ) + f) + g) nebo + g) +, f ) eistuje ) + g ) R Pk f) + g) f ) + g ) Důkz: pro + f) + g) : uvžujme > tkové, by f, g eistovly n, ) g, položme f) g) ; podle Cuchyovy věty pro intervl, eistují c, ), tj pro + je c +: f) g) f) f) g) g) f c ) + f g c ) ) + g ) Poznámky ) Podobně pro itu zlev či oboustrnnou ) L Hospitlovo prvidlo lze použít opkovně Příkldy ln+) ) l H + e ) + + + l H e + + e 3) + + + l H e + + + l H e + + ln 4) + ln ) + / + l H / + / + ) 5) + + /) ep[ + ln + /)] ep [ ln+/) ] + / l H ep [ + /+/) )/ / ] ep[ + +/ ] ep e Poznámk Pokud it podílu derivcí neeistuje, nelze l Hospitlovo prvidlo použít, le neznmená to, že it sin podílu funkcí neeistuje: + omez +, le cos it podílu derivcí + neeistuje Poznámk L Hospitlovo prvidlo lze použít i pro výpočet it posloupností, pokud njdeme vhodnou funkci Npříkld n e n /n + e / Tylorův polynom Vět Tylorov) Nechť funkce f má spojité derivce ž do řádu n v,, f n+) eistuje v, ) Pk eistuje c, ) tk, že f) f) + f )! ) + f ) ) + +! + f n) ) ) n + f n+) c) n! n + )! )n+ Tylorův polynom funkce f v bodě řádu n T n ), zbytek v Lgrngeově tvru Poznámky ) Podobně pro, ) n : f) f) + f c) ) Lgrnge) 3) + h: f + h) f) + f )! h + 4) f n+) spojitá, blízko c blízko f n+) c) blízko f n+) ) T n+ přesnější
Důkz: T n ) f) T n) f ) T n n) ) f n) ) f) T n ) + M ) n+ gt) ft) T n t) Mt ) n+, t, Rolle n + )-krát: Příkld g) g) c, ): g c ) g ) c, c ): g c ) g ) c n, c n ): g n) c n ) g n) ) c, c n ): g n+) c) f n+) c) M n + )! M f n+) c) n + )! cos! + 4 4! 6 6! + sin 3 3! + 5 5! 7 7! + Poznámk Tylorův polynom sudé liché) funkce v bodě je funkce sudá lichá) Příkld Spočtěte číslo e s přesností 3, víte-li, že e < 3 f) e,, f k) ) e, f k) ) T n ) +! +! + + n n! e chyb c n+)! n+ 3 n+)! < 3 pro n 6 e f) T 6 ) +! +! + + 6!,78 5 chyb, 6, odhd chyby, 595 Průběh funkce Monotonie etrémy Vět o monotonii) Je-li funkce f spojitá v intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I derivci, pk: ) Je-li f > uvnitř I, pk f je rostoucí v I ) Je-li f < uvnitř I, pk f je klesjící v I 3) Je-li f uvnitř I, pk f je neklesjící v I 4) Je-li f uvnitř I, pk f je nerostoucí v I Důkz:, y I, < y Lgrnge: f) fy) f c) y), c, y) ) f) fy) < f) < fy) rostoucí ) 4) podobně Poznámky ) Je-li f n intervlu, pk f je konstntní ) Je-li f g n intervlu, pk f, g se liší o konstntu Příkld f) 3 3 + f ) 3 3 3 ) + ) f > n, ), + ) f rostoucí n,,, + ) f < n, ) f klesjící n, Příkld f) 3 f ) 3 f > n, ),, + ) f rostoucí n,,, + ) rostoucí n R Tvrzení Je-li f ) >, pk eistuje okolí U bodu tk, že pro, y U, < < y, je f) < f) < fy) f je rostoucí v bodě ) Důkz: < f ) { + f) f), f) > f) vprvo f) f), f) < f) vlevo Poznámky ) f ) < f je klesjící v bodě ) Pro f ) se nic netvrdí Definice Funkce f má v bodě ostré lokální minimum ostré lokální mimum), jestliže pro některé prstencové okolí P bodu pltí f) > f) f) < f)) pro kždé P Poznámky ) Ostrý lokální etrém: ostré lok minimum nebo ostré lok mimum ) Neostré) lokální etrémy: neostré nerovnosti Vět Má-li funkce f v bodě lokální etrém, pk buď f ) neeistuje nebo f ) Důkz: f ) > rostoucí v není lokální etrém f ) < klesjící v není lokální etrém Příkld f) 3 3 + viz dříve) f ) 3 3, eistuje všude, nulová v ± f ) 3 ostré lokální mimum f) ostré lokální minimum Příkld f) f ) sign pro, f ) neeistuje f) ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3 eistuje všude, nulová v f) není lokální etrém Vět Nechť f ) ) Je-li f ) >, pk f má v ostré lokální minimum ) Je-li f ) <, pk f má v ostré lokální mimum Důkz: ) f ) > f rostoucí v f ) < f ) < f y) pro < < y v některém okolí f klesjící vlevo, rostoucí vprvo v ostré lok minimum ) podobně nebo přechodem k f Příkld f) 3 3 + viz dříve) f ) 3 3,, ±, f ) 6 f ) 6 < ostré lokální mimum f ) 6 > ostré lokální minimum
Příkld f) 3 f ) 3,,, f ) 6 f ) kritérium nerozhodne, l e není Příkld f) 4 f ) 4 3,,,3, f) ostré lok minimum f ), f ) kritérium nerozhodne f 3) ) 4, f 3) ) f 4) ) 4, f 4) ) 4 > Poznámk Pro f ) f n ) ) : ) f n) ) > ostré lokální minimum, ) f n) ) < ostré lokální mimum Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá mim minim) buď v bodě, ve kterém má lokální mimum minimum), nebo v některém krjním bodě intervlu Důkz: etrém ve vnitřním bodě je lokální Poznámk Porovnáváme hodnoty v bodech, kde derivce není nebo je nulová, v krjních bodech intervlu, které do něj ptří Ověříme ity v neptřících krjních bodech Příkld f) + n, + ) f ) +, nemá derivci:, stcionární body:, f ), ptřící krjní body:, f ), neptřící krjní body: +, + f) +, min f f ), m f neeistuje Konveit, konkvit, inflení body Konveit: ) spojnice grfu nd grfem, ) grf nd tečnou, 3) směrnice sečen roste: Definice Funkce f je konvení n intervlu I, jestliže pro kždé, y, z I, < y < z, pltí fy) f) y fz) fy) z y konkávní pro, ryze konv pro <, ryze konk pro >) Vět Je-li f spojitá n intervlu I má-li vlstní druhou derivci všude uvnitř I, pk: ) Je-li f uvnitř I, pk f je konvení ) Je-li f uvnitř I, pk f je konkávní Důkz: ) < y < z: f je neklesjící, Lgrnge eistují c, y), d y, z): fy) f) y f c) f d) fz) fy) z y Poznámk Podobně pro ostré nerovnosti s ryze Poznámk Je-li f rostoucí klesjící, nerostoucí, neklesjící), pk f je ryze konvení ryze konkávní, konkávní, konvení) Definice Bod [, f)] je inflením bodem grfu funkce f funkce f má v bodě inflei), pokud je funkce f spojitá v bodě, eistuje f ) funkce f je n některém jednostrnném okolí ryze konvení n některém jednostrnném okolí ryze konkávní Vět ) Má-li f v inflei, pk f ) neeistuje nebo f ) ) Je-li f ), f ), pk f má v inflei Poznámk f ) f n) ), f n+) ) inflee v Příkld f) 3 3 + f ) 3 3, f ) 6, f ) 6, f ) je inflení bod nebo: f < pro <, f > pro > f) p + q Asymptoty Definice Asymptot grfu funkce f v bodě {± } je přímk o rovnici y p + q tková, že: ) f) p q Má-li funkce f v bodě R lespoň jednu jednostrnnou itu nevlstní, nzýváme přímku o rovnici symptotou grfu funkce f v bodě Příkld f) + Df) R \ {} ± f) ± je symptot v ± f) ) y je symptot v ± Tvrzení Funkce f má v {± } symptotu o rovnici y p + q právě tehdy, když f) p, ) f) p q Příkld f) sin f)/ sin nee s v + nee Příkld f) f)/ + s v + nee Příkld f) ln ln )/ l H) ln ) + s v + nee Příkld f) + + + ± ± symptot f) + ) + f) symptot y + v + f) f) symptot y + v Poznámk p ± f ) l Hospitl), pokud e Příkld f) sin f) symptot y v + f ) cos sin cos nee
Shrnutí vyšetřování průběhu funkce ) f: definiční obor, spojitost, ity v krjních bodech Df), v bodech nespojitosti, symptoty, sudost, lichost, period ) f : monotonie, lokální) etrémy, obor hodnot, tečny grfu v krjních bodech Df), Df ), v bodech nespojitosti 3) f : konveit/konkvit, inflení body včetně tečen) 4) Grf Příkld f) 3 3 + 3 Příkld f) +) Neurčitý integrál Definice Funkce F se nzývá primitivní funkce k funkci f n otevřeném intervlu I, jestliže F f n I Poznámky ) V krjních bodech lze jednostrnné derivce ) Lze zobecnit: n sjednocení intervlů; F f ž n konečnou či jinou) množinu 3) Ne všechny funkce mjí primitivní Vět vlstnost mezihodnoty pro derivci) Nechť f je derivcí F n intervlu I,, b I, f) < d < fb) Pk eistuje c mezi, b) tk, že fc) d Důkz: G) F ) d má vlstní derivci je spojitá nbývá minim v c G ) < < G b), tj c mezi, b) G c) fc) d Příkld sign není derivcí žádné funkce Vět Spojitá funkce n intervlu má primitivní funkci Poznámk Primitivní funkce k e eistuje, le nelze ji vyjádřit pomocí elementárních funkcí Vět ) Je-li F primitivní funkce k f n I, c R, pk F + c je primitivní funkce k f n I ) Jsou-li F, F primitivní funkce k f n I, pk F F je konstntní n I Důkz: ) F + c) F + F f ) F F ) F F f f F F je konstntní n I Poznámk N disjunktních intervlech mohou být konstnty různé Příkld f) sign, { + c, < F ) + c, > Definice Množinu všech primitivních funkcí k funkci f n I pokud lespoň jedn eistuje) nzýváme neurčitým integrálem f f f) d {F + c : c R} F + c Tvrzení d + + c, R pro N {} + > < ), Z \ { } d > pro R \ { } ln + c, >, < e d e + c, R sin d cos + c, R cos d sin + c, R d + rctg + c, R Vět linerit) Jsou-li F,, F n primitivní funkce k f,, f n n I, c,, c n R, pk c F + + c n F n je primitivní funkce k c f + + c n f n n I Důkz: c F + + c n F n ) c F + + c n F n c f + + c n f n Vět integrce per prtes) Nechť n intervlu I eistují u, v, u v Pk n I) uv uv u v Důkz: uv u v) u v + uv u v uv Příkld + ) sin d u + v sin u v cos + ) cos cos d + ) cos + sin + c, R Poznámk Podobně P ) e, P ) sin, P ) cos P polynom, ) Příkld I e sin d u e u e e cos + e cos d u e u e e cos + e sin I I e sin cos ) + c, R Poznámk Podobně e sin b, e cos b v sin v cos v cos v sin Příkld ln d ln d u ln v u v ln d ln ) + c,, ) Poznámk Podobně ln )
Vět substituce) Nechť α, β) ϕ, b) f R, ϕ eistuje n α, β), f má primitivní funkci F n, b) ) f ϕt) ) ϕ t) dt F ϕt) ) + c ) Je-li ϕ : α, β) n, b) ryze monotonní eistuje-li primitivní funkce G k f ϕt) ) ϕ t) n α, β), pk f) d G ϕ ) ) + c Důkz: ) d dt F ϕt) ) F ϕt) ) ϕ t) f ϕt) ) ϕ t) ) F ϕt) ) je primitivní k f ϕt) ) ϕ t), eistuje c R tk, že Gt) + c F ϕt) ) Eistuje ϕ ), G ϕ ) ) + c F ϕ) ϕ ) ) F ) je primitivní k f Používáme v obou směrech) zápis: f) d ϕt) d ϕ t) dt f ϕt) ) ϕ t) dt Příkldy ) sin 3 t cos t dt sin t cos t dt d 3 d 4 4 +c 4 sin4 t + c, R ) sin t d cos t dt dt t + c rcsin + c,, ), t π, π ) Poznámky ) f+b) d + b t d dt F +b)+c ) ) f ) f) d f) t f ) d dt ln f) + c Integrce rcionálních funkcí Rozkld rcionální funkce Definice Rcionální lomená) funkce je podíl dvou polynomů Prciální částečné) zlomky jsou funkce ve tvru A ) n, A + B, A, B,, p, q R, n N, + p + q) n kde + p + q) nemá reálný kořen, tj p 4q < Poznámk V C jen první typ Vět Kždý nenulový polynom lze npst ve tvru ) k r ) kr +p +q ) l +p s +q s ) ls, kde r, s N {}, k,, k r, l,, l s N,,,, r, p,, p s, q,, q s R,,, r jsou různé reálné kořeny, +p i +q i i,, s) jsou různé nemjí reálné kořeny Vět Kždá rcionální funkce se dá jednoznčně) rozložit n součet polynomu prciálních zlomků Jmenovtelé těchto zlomků dělí jmenovtel dné rcionální funkce Postup: ) Částečné dělení polynom + ryze lomená funkce) ) Rozkld jmenovtele n součin kořenových činitelů ireducibilních kvdrtických polynomů 3) Rozepsání n prciální zlomky s neurčitými koeficienty 4) Určení koeficientů metod neurčitých koeficientů, zkrývcí prvidlo) Integrce prciálních zlomků ) kořenový činitel ve jmenovteli: d ) n t dt d dt t n ) ireducibilní polynom ve jmenovteli: A + B + p + q) n d A + p) + B Ap ) + p + q) n d ) v čitteli derivce ireducibilního polynomu: + p + p + q) n d + p + q t dt + p) d dt t n b) v čitteli konstnt: d + p + q) n d [ + p/) + q p /4)] n d q p /4) n ) ] n + pro n > uprvíme dt t + ) n +p/ t q p /4 d dt q p /4 q p /4) n / t dt + + ) n [ +p/ q p /4 dt t + ) n t t + ) n dt poslední integrál uprvíme per prtes u t v t t +) n u v n )t +) n t n)t + ) n dt n )t + ) n postupně snižujme mocninu Poznámk Dostneme rekurentní vzorec I n t n 3 n )t + + ) n n I n, n N \ {}, I rctg t + c
) Re ) d ): Integrce dlších typů funkcí e t Re ) d ln t d t dt Rt) t dt R, t, + ) 4) R ), n +b c+d d, d bc : ) n +b R, n + b c+d t d c + d R t) d R t) dt R R t), t ) R t) dt ) Rln ) d ln t d dt Rt) dt 5) R, + b + c) d, : vytknutím, doplněním n čtverec lineární substitucí uprvíme n integrál ve tvru R, ± ± ), > Lze použít goniometrické, Eulerovy nebo hyperbolické substituce 3) Rsin, cos ) d: sin sin cos sin cos sin + cos tg tg + 5) R, ) d,, ): sin t, d cos t dt, π, π ); cos t, t cos cos sin cos sin sin + cos tg tg + tg Rsin, cos ) d t rctg t d t + dt t R t +, ) t t + t + dt π, π), t R 3) sudé mocniny : Rsin, cos, sin cos ) d R sin, cos ) Rsin, cos )) sin sin sin + cos tg tg + cos cos sin + cos tg + sin cos sin cos sin + cos tg tg + tg y Rsin, cos, sin cos ) d rctg t d t + dt π, π ), t R lichá v sin nebo v cos: cos t 3b) Rsin, cos ) sin d sin d dt sin t sin t 3c) Rsin, cos ) cos d cos d dt cos t 3d) sin n cos m d: pro liché m či n viz 3b), 3c); pro sudá m, n přechod k dvojnásobnému rgumentu cos t, d sin t dt, sin t, t, π); uprvíme + ) )/ + použijeme substituci pro typ 3) Eulerov substituce) 5b) R, ) d,, ),, + ): /sin t), d cos t)/sin t) dt, cos t)/ sin t, t π, ), t, π ); /cos t), d sin t)/cos t) dt, sin t)/ cos t, t π, π), t, π ); + t, R t), d R t) dt Eulerov substituce) cosh t, d sinh t dt, + sinh t, t, ), t, + ) 5c) R, + ) d, R: tg t, d /cos t dt, + /cos t, t π, π ); tg t, d /sin t dt, + /sin t, t, π); + + t, R t), d R t) dt Eulerov substituce) sinh t, d cosh t dt, + cosh t, t R Určitý integrál Definice Dělení intervlu, b je konečná množin D, b obshující, b Znčíme D {,, n }, < < < n b sin cos ), cos + cos )
Definice Pro omezenou funkci f n, b dělení D intervlu, b zvádíme dolní horní integrální součet: Sf, D) Sf, D) n inf f i, i i i ) i n sup f i, i i i ) i Definice D je zjemnění D, jestliže D D Sf, D) Sf, D ) Sf, D ) Sf, D) Tvrzení Jsou-li D, D dělení intervlu, b, f omezená funkce n, b, pk b ) inf f Sf, D ) Sf, D ) b ) sup f Důkz: D {, b} b ) inf f Sf, D ) Sf, D ) Sf, D D ) Sf, D D ) Sf, D ) Sf, D ) b ) sup f Definice Je-li supremum dolních součtů rovno infimu horních součtů pro funkci f n, b, nzýváme tuto hodnotu určitým Riemnnovým) integrálem funkce f n, b Oznčení: b f, b f) d, R) b f) d dolní mez, b horní mez, f integrnd Poznámk D D {c, c,, c n }, c i i, i ) Sf, D ) n i fc i) i i ) σd ) m{ i i : i,, n} b f) d σd ) Sf, D ) Vět Pro omezenou funkci f n, b eistuje b f) d právě tehdy, když eistuje posloupnost D n ) n dělení intervlu, b tková, že Sf, D n) Sf, D n) n n V tkovém přípdě je integrál roven těmto itám Důkz: : eistuje D n) n: Sf, D n) n b f) d, eistuje D n) n: Sf, D n) n b f) d, Sf, D n) Sf, D n D n) Sf, D n D n) Sf, D n), D n D n) n je hledná posloupnost dělení; : sup D Sf, D) n Sf, D n ) n Sf, D n ) inf D Sf, D) sup D Sf, D), všude rovnosti Příkld b c d cb ) Sc, D n ) Sc, D n ) c n i i i ) cb ) Příkld d : D n {, n, n,, } Sf, D n ) n i i n n n n n Sf, D n ) n i i n n n +n n Příkld sign d : D n {, n, } Sf, D n ) n n n n n, Sf, D n ) Příkld d) d nee d) pro Q, jink ): Sf, D), Sf, D) Poznámk Hodnot Riemnnov integrálu nezáleží n hodnotách funkce v konečně mnoh bodech Hodnot obecnějšího Lebesgueov integrálu dělení v oboru hodnot) nezáleží n hodnotách ve spočetně mnoh bodech: L) d) d d Vět b f eistuje, pokud pltí některá z podmínek: ) f je spojitá funkce n, b ) f je monotonní funkce n, b Důkz: ) D n {, + b n,, b} Sf, D n ) n i f i ) b n Sf, D n ) n i f i) b n Sf, D n ) Sf, D n ) b n fb) f) n Vět Nechť b f, b g eistují, c R Pk: ) b f + g) b f + b g, ) b cf c b f, 3) je-li f g n, b, pk b f b g, 4) b f b f Důkz: ) inf{f) + g) : I} inf fi) + inf gi), Sf + g, D) Sf, D) + Sg, D), sup D Sf + g, D) b f + b g, podobně inf D Sf + g, D) b f + b g protože sup D Sf + g, D) inf D Sf + g, D), dostneme rovnosti; ) c : Scf, D) csf, D), Scf, d) csf, D), sup S f, D) sup Sf, D) inf Sf, d) b f, inf S f, D) inf Sf, D) sup Sf, d) b f; 3) Sf, D) Sg, D) sup{sf, D)} sup{sg, D)}; 4) f f f b f b f b f bez e) Poznámk Určitý integrál je lineární zobrzení n množině integrovtelných funkcí, b : R, b) R Vět Nechť < b < c Pk c f eistuje právě tehdy, když eistují b f c f V tkovém přípdě pltí b c f b f + c b f Důkz: D dělení, b, D dělení b, c, D D D je dělení, c obshující b, Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), suprem infim dostneme jko vhodné ity: sup D Sf, D ) + sup D Sf, D ) sup D Sf, D), inf D Sf, D ) + inf D Sf, D ) inf D Sf, D) Poznámk Definujeme f, b f b f pro < b, formule ve výše uvedené větě pro všechn, b, c Poznámk Lze integrovt i funkce po částech spojité, tj které mjí jen konečně mnoho bodů nespojitosti v nich konečné jednostrnné ity Podobně pro po částech monotonní funkce)
Vět Nechť b ft) dt eistuje Pk funkce F ) ft) dt,, b má následující vlstnosti: ) je spojitá ) F ) f) pro kždý bod spojitosti funkce f Důkz: F je definován ditivit n definičním oboru) F +h) F ) +h ft) dt ft) dt +h ft) dt, ) f M n, b F +h) F ) +h ft) dt +h sign h ft) dt sign h +h M dt M h h ±), h ±) F + h) F ) ) ) h F + h) F ) f) +h h ft) dt +h h f) dt +h ) h ft) f) dt +h h ft) f) dt f spoj v : pro ε > je ft) f) < ε n okolí ) +h h ε dt h hε ε ) F ) h ±) h F + h) F ) f) Důsledek Funkce spojitá n intervlu má n tomto intervlu primitivní funkci Důkz: I, F ) ft) dt F ) F ) + ft) dt, d d ft) dt f) Poznámk Pro funkce po částech spojité jsou v bodech nespojitosti) jednostrnné derivce F rovny příslušným jednostrnným itám f Příkld f) sign F ) ft) dt F ) f) f ) F +) + f) f+) { dt, dt, } Vět Newtonov Leibnizov formule) Jestliže b f eistuje F je primitivní funkce k f n, b), pk b f) d F b ) F +) Důkz: eistují F +), F b ) R důkz viz skript) D {,,, n }, F b+) F ) n i F i ) F i ) ) F spoj, vlstní der, Lgrnge e c i i, i )) n i F c i ) i i ) n i fc i) i i ) Sf, D) F b) F ) Sf, D) sup Sf, D) F b) F ) inf Sf, D) Píšeme b f) d [F )]b Příkld d [ ] Příkld per prtes, průběžné doszování) π sin d u v sin u v cos [ cos ] π + π sin d π [ sin ] π π + ) π Příkldy substituce, přepočet mezí někdy stejné) ) + d + t d dt t dt 8 3, ) π sin cos d sin t cos d dt t dt Poznámk Newtonův integrál: N) b f) d F b ) F +) Eistuje-li Riemnnův i Newtonův integrál, jsou stejné Příkldy ) f) sign R) f) d, N) f) d nee ) f) e, R) f) d e, N) f) d e, F nelze dobře vyjádřit 3) f) / R) f) d nee, N) f) d [ ] 4) f) R) f) d nee, N) f) d [ ] Nevlstní integrál Definice Nechť f :, b) R < b + ) není omezená nebo, b) není omezený, d f eistuje pro kždý c c, d, b) Definujeme nevlstní integrál: b f) d c + e c f) d + d b d e f) d, pokud je výrz vprvo definován pro některé e, b) Je-li konečný, řekneme, že integrál konverguje Poznámk Výběr e není podsttný, pro e je: e c + c f e c + c f + e e f, d d d b f e d b e f e e f Příkldy ) d + [rctg ] π π ) π, konverguje ) 3) d [ln ], eistuje d + [ ln + ) ], neeistuje Příkld per prtes) e d u v e u v e [ e ) ] e ) + Příkld substituce) e / d / t d dt et dt [ e t] e
Vět ) Jestliže f g n, b), f je po částech spojitá b g konverguje, pk konverguje i b f ) Jestliže f g n, b) b f +, pk b g + Příkldy [ln ] { ), d [ ] + + + +, < + +, > [ln ] {, d [ ] + + +, > + +, < Tvrzení Nechť P, Q jsou polynomy, Q nemá v, + ) kořeny Pk P ) Q) d konverguje právě tehdy, když st Q st P + Důkz: n st P st Q P ) Q) n A R \ {}, BÚNO A > eistuje b >, tk, že An < P ) Q) < 3 An 3 b b An konv pro n <, b P ) Q) P ) Q) Příkld +4+5 4 + P ) Q) n A, 3 A) pro > b An pro n konv právě pro n <, tj n d konv, +4+5 3 + d + Příkld Lplceov trnsformce) Nechť funkce f :, + ) R je po částech spojitá má omezený eponenciální růst, tj eistují konstnty K, R tk, že ft) K e t Lplceovým obrzem funkce f je funkce F dná předpisem F p) Definován pro p > Re p > ): ft) e pt K e p)t ft) e pt dt K e p)t dt [ K p e p)t] K p Příkld funkce gm) Γ) t e t dt K p ) Integrál konverguje pro > : t e t t t dt konverguje pro >, tj > zvolme n, t e t t n e t t n e t dt per prtes) [P n t) e t ] P n ) e konverguje ) Γ) e t dt [ e t ] ) 3) Γ + ) t e t dt u t v e t u t v e t [ t e t] + t e t dt Γ) 4) Γn) n )Γn ) n )! Γ) n )! Aplikce určitého integrálu Definice Střední hodnot funkce f n intervlu, b je b pokud integrál konverguje b f) d, Příkld Střídvé npětí ut) U sin πt T okmžitý výkon pt) R u t) U R sin πt T má n odporu R Jeho střední hodnot npříkld n intervlu, T ) je U R což pro stejnosměrný proud odpovídá npětí U e U efektivní npětí střídvého proudu) Vět o střední hodnotě) Spojitá spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá své střední hodnoty Důkz: b ) min f, b b f) d b ) m f, b min f, b b f) d m f, b b f nbývá všech hodnot mezi min f, b m f, b Vět Nechť funkce f g jsou po částech spojité n, b Obsh plochy {[, y] : < < b, f) y g)} je b g) f) ) d Důkz pro spojitou f n uzvřeném intervlu): Eistují D f,n ) n: Sf, D f,n ), Sf, D f,n ) n b f, D g,n ) n: Sg, D g,n ), Sg, D g,n ) n b g, pro dělení D n D f,n D g,n : Sg, D n ) Sf, D n ) P Sg, D n ) Sf, D n ) b g f) P b g f) Příkld Obsh plochy omezené elipsou /) +y/b) je 4 b /) d πb Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Délk grfu funkce f je b + [f )] d Důkz pro uzvřený intervl, pk ity): supremum it) lineárních lomených proimcí ld) n i i i ) + [f i ) f i )] n i i i ) + [f c i ) i i )] n i + [f c i )] i i ), c i i, i ) S + f ), D) ld) S + f ), D) b + f ) sup ld) b + f ) Příkld Délk stroidy /r) /3 + y/r) /3 je 4 r + [r /3 /3 ) 3/ ) ] d 6r
Vět Nechť funkce f je po částech spojitá n, b) Objem těles {[, y, z] : < b <, y + z f )} je π b f ) d Důkz pro uzvřený intervl, pk ity): Sπf, D) V Sπf, D) π b f V π b f Příkld Objem kužele f) r v n, v ) je π v r /v d 3 πr v Příkld Objem koule f) r n r, r ) je π r r ) d 4 3 πr3 Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Obsh plochy vzniklé rotcí grfu f kolem osy je π b f) + [f )] d Důkz náznk pro uzvřený intervl): supremum proimcí komolými kuželi plášť kužele: πs πr/s π πrs π sin α r komolý kužel: π sin α r r ) π r+r s SD) n i π fc i) i i ) + [f i ) f i )] n i π fc i) + [f c i )] i i ) π b f + f ) Příkld Obsh sféry f) r n r, r ) je π r r r + ) r d 4πr Souřdnice těžiště v rovině: Fyzikální plikce I Numerická integrce b f) d,, b R Použijeme vhodný odhd střední hodnoty vážený průměr funkčních hodnot) w f ) + + w k f k ), kde i, b jsou uzly w i jsou váhy w + + w k ) Dostneme I b ) w f ) + + w k f k ) ) Uzly volíme vhodně kde známe funkční hodnoty, ekvidistntně, ), váhy volíme tk, by byl co největší řád metody přsná integrce polynomiální interpolce), budou se pk integrovt přesně všechny polynomy menšího stupně V odhdech vystupují M n m,b f n) ) Gussov metod Optimální volb uzlů, rozmístěny symetricky podle středu intervlu, b, váhy v symetrických uzlech jsou stejné Konkrétní hodnoty lze njít v litertuře obvykle pro,, n který se, b dá převést lineární substitucí) Řád metody je dvojnásobek počtu uzlů Příkldy: k řád uzly váhy odhd chyby M b ) 3 /4 +b 4 ± b 3 M 4 b ) 5 /43 Newtonovy Cotesovy metody Uzly ekvidistntně, buď včetně krjních bodů, b uzvřená metod) nebo bez nich otevřená metod) Váhy jsou pěkná rcionální čísl, v uzlech symetrických podle středu stejné Řád metody je nejmenší sudé číslo, které je větší nebo rovno počtu uzlů Poznámk Newtonov Cotesov metod pro jeden uzel tedy otevřená) je Gussov metod pro jeden uzel T M y m y T M m Složené metody Vět Momenty lineárních útvrů: M y λ M λ b b + [f )] d, f) + [f )] d Vět Momenty plošných útvrů f ): M y σ M σ b b f) d, f ) d Poznámk Pro plochu o obshu P pltí y T V πp, kde V je objem těles vzniklého rotcí dné plochy kolem osy Při zvětšování počtu uzlů nemusí Newtonov Cotesov metod konvergovt k hodnotě integrálu Chyb závisí n hodnotách derivce příslušného řádu integrovné funkce, t se může zvětšovt Konvergenci zjistí složené metody: intervl, b rozdělíme n n podintervlů délek b )/n h s krjními body < < < n b n kždém z nich použijeme zvolenou metodu Výpočty zlepšujeme zvětšováním n Obdélníková metod používá otevřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro jeden uzel váh je ) Součtem přes všechny podintervly dostneme Rh) h [ f + ) + + f n + n )] Vět Nechť f má n, b spojitou druhou derivci Pk I Rh) M 4 b )h, M m,b f )
Důkz: Uvžujme intervl,, + )/ Podle Tylorovy věty je f) f ) + f ) ) + f c ) ) pro některý bod c, ) Chyb integrce je f) d h f ) f) f ) ) d f ) ) d + f c ) } ) d {{ } f c ) ) d M ) d t d dt M h/ [ ] t t 3 h/ dt M 3 M 4 h3 h/ Stejný odhd je n osttních podintervlech, je tedy I Rh) M 4 h3 n M 4 b )h Lichoběžníková metod používá uzvřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro uzly váhy jsou /) Součtem přes všechny podintervly dostneme T h) h [ f) + f ) + f ) + + f n ) + fb)] Tvrzení Nechť P je lineární interpolce funkce f se spojitou druhou derivcí n intervlu, tj P je lineární funkce, P ) f ), P ) f )) Pk pro kždé, je M m, f ) ) f) P ) M ) ) Důkz: Pro {, } dokzovná nerovnost pltí Pro {, } uvžujme funkci F t) ft) P t) f) P ) ) t )t ) ) ) Funkce F má tři nulové body,, Podle Rolleovy věty má F dv nulové body v, ) opět podle Rolleovy věty má F nulový bod c, ) Je tedy F c ) f c ) f) P ) ) ) ) f) P ) f c ) ) ), f) P ) M ) ) Poznámk Nechť f má spojitou derivci řádu n + n intervlu, b, P je její polynomiální interpolce stupně nejvýše n v různých bodech,, n, b Pk pro kždé, b je M n+ m,b f n+) ) ) f) P ) M n+ n + )! ) n ) Vět Nechť f má n, b spojitou druhou derivci Pk I T h) M b )h, M m,b f ) Důkz: Uvžujme intervl,, + )/ Podle předcházejícího tvrzení je ) f) P ) d f) P ) d M ) ) d t d dt M h/ ) [ h h h/ 4 t dt M 4 t ] h/ 3 t3 ) h 3 M 8 h3 M 4 h3 Stejný odhd je n osttních podintervlech, je tedy I T h) M h3 n M b )h Poznámk Odhd chyby obdélníkové metody je dvkrát menší než u lichoběžníkové metody, přestože se používjí horší polynomy Využívá se totiž střed intervlu, což odpovídá proimci tečnou Při použití třeb levého) krjního bodu intervlu bychom dostli horší metodu řádu Simpsonov metod používá uzvřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro 3 uzly, rozděluje tedy kždý podintervl n dv Pro lepší srovnání oznčme n sudý) počet všech tkto vzniklých podintervlů délek b )/n h s krjními body <, < n b Hodnoty vh dostneme integrcí kvdrtické interpolce Interpolční polynom uzly, k se dá vyjádřit jko kombince Lgrngeových polynomů právě v jednom uzlu hodnot, v osttních ): t ) t k ) P t) f ) ) k ) + t )t ) t k ) + f ) ) ) k ) + + + f k ) t ) t k ) k ) k k ) Pro kvdrtickou interpolci n, dostneme P ) d ) ht d h dt h P t) dt [ tt ) h f ) ) ) dt + f ) + f ) t + )t ) dt ) ] t + )t dt h[ 3 f ) + 4 3 f ) + 3 f )] Sečtením přes dvojice podintervlů dostneme Sh) h 3 [f )+4 f )+ f )+ +4 f n )+f n )]
Vět Nechť f má n, b spojitou čtvrtou derivci Pk I Sh) M 4 8 b )h4, M 4 m,b f 4) ) Poznámk Simpsonov metod je řádu 4 je tedy přesná i pro polynomy stupně 3 Richrdsonov etrpolce Pro metodu F řádu p konvergující k F ) je F h) F ) + h p + Oh q ), kde R, q N, q > p Symbol Oh q ) oznčuje funkci, která se v okolí chová nejhůře jko násobek h q, tdy zhrnuje chyby řádu většího než p) Uvžujme h >, k > proložme body [h p, F h)] [kh) p, F kh)] přímku: P ) F h) + Richrdsonov etrpolce je F ) P ) F h) + F kh) F h) k p )h p h p ) F h) F kh) k p F h) Vět Nechť F h) F ) + h p + Oh q ), p, g N, p < q Pk F h) F ) + Oh q ) Důkz: Využijeme Ok p h q ) Oh q ), Oh q ) ± Oh q ) Oh q ), Oh q )/k p ) Oh q ): F kh) F ) + k p h p + Oh q ) F h) F ) + h p + Oh q ) + kp )h p + Oh q ) k p F ) + Oh q ) Příkldy Pro k dostáváme chyby jsou právě sudých řádů) ) R h) Rh) + 3 Rh) Rh) řádu 4, ) T h) T h) + 3 T h) T h) Sh) řádu 4, ) S h) Sh) + 5 Sh) Sh) řádu 6 Protože potřebujeme hodnotu metody v h, potřebujeme pro obdélníkovou lichoběžníkovou metodu sudá n, pro Simpsonovu metodu n dělitelná 4 Poznámky ) Odstrníme chybu nejnižšího řádu ) Přičítná hodnot dobře odhduje chybu, což můžeme použít v iterčním postupu: spočteme pro n pro Simpsonovu metodu pro n ); opkovně zdvojnásobujeme počet podintervlů n pro obdélníkovou Simpsonovu metodu stčí počítt hodnoty jen v nových bodech) odhdujeme chybu, dokud nedosáhneme poždovné přesnosti Rombergov metod Zčínáme s lichoběžníkovou metodou, při zdvojnásobování počtu podintervlů dopočítáme všechny dostupné Richrdsonovy etrpolce v trojúhelníkovém schemtu T h) T h ) T h ) T h 4 ) T h 4 ) T h 4 ) T h 8 ) T h 8 ) T h 8 ) T 3 h 8 ) sledujeme výsledky n digonále V k-tém sloupci je metod řádu k Příkld Spočtěte e / / π d s přesností ε 6 Pro obdélníkovou, lichoběžníkovou Simpsonovu metodu můžeme využít odhdy chyb, ve kterých přepíšeme h b )/n M m, M 4 m ε > M b ) 3 4n R ε > M b ) 3 n T ε > M 4b ) 5 8n 4 S, e / ) π π, e / 4 6 + 3) π 3 π M b ) n R > 3 4ε M b ) n T > 3 ε n S > 4 M4 b ) 5 8ε Skutečné chyby jsou zbytečně mlé: metod R T S n 9 83 8 9 chyb 66 6 66 8,9 n R 9 8,3 n T 83 7, n S 8 Iterční postupy s využitím Richrdsonovy etrpolce k odhdu chyby poměrně přesný): lichoběžníková metod n hodnot odhd chyby chyb,3 456 5, 888 44,336 6 95,5 68 37,5 83 83 4,34 8 845, 73 643, 6 9 8,34 9 56, 35 89, 35 3 6,34 65 969, 78 88, 78 777 3,34 35 54, 9 695, 9 69 64,34 339 83, 4 93, 4 93 8,34 343 55, 3, 3 56,34 344 438, 38, 38 Simpsonov metod n hodnot odhd chyby chyb,34 59 5, 84 36 4,34 355 488, 57, 74 8,34 345 46, 67, 66 Porovnání metod podle počtu nutných hodnot funkce: metod R T S Rombergov Gussov dělení 43 8 4 hodnot 44 9 5 3
Diferenciální rovnice řádu Obyčejná) diferenciální rovnice řádu : F t,, ) Řešitelná pro derivci: ft, ) Řešení n intervlu I: funkce : I R tková, že pro kždé t I je t) f t, t)) Mimální řešení : neeistuje řešení n větším intervlu Cuchyov úloh: nvíc počáteční podmínk t ) ft, ), t ) Vět Je-li f spojitá funkce n I J I, J otevřené intervly), t I, J, pk ft, ), t ), má řešení n intervlu I I obshujícím t Je-li nvíc f y lokálně omezená n I J, pk je toto řešení jednoznčné Poznámk Postčují podmínky pro vybrné přípdy: ft, ) f spojitá f f lok om gt) h) g, h spojité gt) h ) g, h spojité t) + bt), b spojité t) spojitá Poznámk I je mimální tkový, že grf řešení se zství o hrnici I J nebo o svislou symptotu Seprovtelné diferenciální rovnice řádu gt) h) Vět Nechť g je spojitá funkce n intervlu I t, h je spojitá funkce n intervlu J Pk gt) h), t ), má řešení n intervlu I I obshujícím t Je-li nvíc h spojitá n J, pk je toto řešení jednoznčné Předpokldy: g spojitá n intervlu I, h spojitá n intervlu J ) h ) t), t I je stcionární řešení ) h) t) gt) h t) ) t) h t) ) dt gt) dt d h) gt) dt H ) Gt) + c t) 3) počáteční podmínk: dopočítt c nebo t) dy t hy) gu) du t Obecný postup: ) Mimální intervly spojitosti g I) ) Stcionární řešení t), t I pro h ) 3) Mimální intervly spojitosti nenulovosti h J) 4) Pro t, ) I J, eistuje řešení uvnitř I J Příkld λ, ) gt) λ, h), h ) spoj n R e jedn; stcionární řešení: t), t R nevyhovuje); nestcionární řešení: d dt λ d λ dt ln λt + ln c c ) c e λt t) c e λt pro počáteční podmínku: c e λ, tj c, t) e λt, t R Příkld t, ) ), b) ) 3 gt) t, spojitá n, ),, + ), h), h ) spojité n R, eistence jednoznčnost; stcionární řešení:,3 t) ±, t, ),,4 t) ±, t, + ) nevyhovují); nestcionární řešení: d dt t dt d t ln + ln t + ln c c ) + ct + ct t) + ct ct pro počáteční podmínky: ) +c c b) 3 c/ +c/, tj c, t) t +t, tj c, t) t +t, t, + );, t, ) Příkld 3 /3 gt), h) 3 /3 spojité n R eistence, nvíc h ) /3 spojitá n R \ {} jedn pro ; stcionární řešení: t), t R; nestcionární řešení: d dt 3/3 3 /3 d dt /3 t c t) t c) 3, t, c), t c, + ) Řešení se v bodech nejednoznčnosti djí spojovt, obecné řešení je t c) 3, t c, c,d t), t c, d), c d + t d) 3, t d,
Příkld seprce: ln e d dt ln e e d ln t dt integrály nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí Příkld t +, ) gt) + t, spojitá n, ),, + ), h), h ) ) spojité, ),, + ), e jedn; stcionární řešení:, t), t, ), t, + ) nevyhovují); nestcionární řešení: d dt t + dt + d t ln + ln t + c pro poč podmínku: + c, tj c t >, < ), t) ln t) + ) ln t, je dán implicitně; lze počítt derivce v : t) t t) + t) ) t) t t) + t) + t t) ) t) ) 3 Lineární diferenciální rovnice řádu t) + bt) Vět Nechť, b jsou spojité funkce n intervlu I t, R Pk t) + bt), t ), má právě jedno řešení n intervlu I Předpokldy:, b spojité n intervlu I Přidružená) homogenní rovnice: t) Vět ) Jsou-li, řešení LDR, pk je řešení přidružené homogenní DR ) Je-li ˆ řešení LDR řešení přidružené homogenní DR, pk ˆ + je řešení dné LDR 3) Jsou-li, řešení pro funkce b, b, pk + je řešení pro funkci b + b princip superpozice) Důkz: t) t) ) t) t) t) t) + bt) t) t) + bt) ) t) t) t) ) ˆt) + t) ) ˆ t) + t) t) ˆt) + bt) + t) t) t) ˆt) + t) ) + bt) t) + t) ) t) + t) t) t) + b t) + t) t) + b t) ) t) t) + t) ) + b t) + b t) ) Obecné řešení: t) t) + ˆt), kde je obecné řešení přidružené homogenní rovnice ˆ je jedno prtikulární ) řešení původní rovnice Poznámk Předcházející vět je důsledkem linerity zobrzení D : t) t) t) t) LDR lze pk přepst do tvru D) b Speciálně množin řešení homogenní rovnice je jádro tohoto zobrzení, tkže tvoří lineární prostor Vět Množin řešení homogenní lineární diferenciální rovnice řádu tvoří lineární prostor dimenze Homogenní rovnice je seprovtelná Stcionární řešení je t), t I Nestcionární řešení njdeme seprcí: t) t) t) t) t) dt t) dt Oznčme A primitivní funkci k, integrční konstntu vyjádříme ve tvru ln c pro c : ln t) At) + ln c t) c e At) t) nemění znménko jednoznčnost stcionárního řešení), znménko může být zhrnuto v konstntě c: t) c e At) Stcionární řešení dostneme, pokud připustíme c Obecné řešení je t) c e At), t I, c R) Množin řešení tedy tvoří lineární prostor dimenze Příkld t, ) t) t spojitá n, ), + ) e jedn; t) t) dt dt t ln t) ln t + ln c t) c t t) c t pro počáteční podmínku: c, tj c, t) t, t, + ) Prtikulární řešení nehomogenní rovnice njdeme metodou vrice konstnty: obecné řešení přidružené homogenní rovnice má tvr t) c e At), prtikulární řešení hledáme ve tvru ˆt) ct) e At) Dosdíme do LDR vyjádříme ct): c t) e At) + ct) e At) t) t) ct) e At) + bt) c t) bt) e At)
Stčí spočítt jednu primitivní funkci, npříkld tu, která ná v t hodnotu : ct) t ˆt) e At) t t) e At) t t bu) e Au) du t bu) e Au) du t bu) e Au) du + c e At) pro počáteční podmínku t ) : e At) + c e At) c e At) t) e At) t t bu) e Au) du } {{ } pro bt), t ) + e At) At) } {{ } pro bt), t ) Sndno ověříme, že to je řešení n celém intervlu I Poznámk Řešení LDR řádu lze vyjádřit ve tvru součtu prtikulárního řešení pro nulovou počáteční podmínku řešení přidružené homogenní DR pro dnou počáteční podmínku Příkld t +, ) t) t spojitá n, ), + ), bt) spojitá n R eistence jednoznčnost n, ), + ); řešení přidružené homogenní rovnice: t) c t viz výše); prtikulární řešení ve tvru ˆt) ct) t : c t) t + ct) t ) ct) t + c t) t ct) t Příkld t + t, ) t) t, bt) t spojité n R e jedn n R; řešení přidružené homogenní rovnice: t) t t) t) t) dt t dt ln t) t + ln c t) c e t / t) c e t / prtikulární řešení ve tvru ˆt) ct) e t / : c t) e t / + ct) e t /, t t ct) e t / + t c t) t e t / ct) e t / ˆt) ct) e t / t) ˆt) + t) + c e t / pro počáteční podmínku: + ce, tj c, t) + e t /, t R Poznámk Výše uvedená rovnice je tké seprovtelná: t +) Řešení seprcí by bylo jednodušší nemuseli bychom počítt primitivní funkci k funkci t e t / tu jsme mohli spočítt pomocí substituce z t /) Příkld t t+ + t t+ t t+ ), ) je diferenciální rovnice řádu, která je lineární i seprovtelná Pokud ji budeme řešit jko LDR, dostneme ve vrici konstnty integrál z funkce t t+) e t, který bychom hledli dost komplikovně Řešení seprcí je podsttně jednodušší ˆt) ct) t t t) ˆt) + t) t + c t pro počáteční podmínku: + c, tj c 3, t) t + 3, t, + ) t Obecný postup: ) Obecné řešení přidružené homogenní rovnice seprcí proměnných: t) c t) ) Prtikulární řešení metodou vrice konstnty: ˆt) ct) t), obecné řešení je pk t) ˆt) + t) 3) Určení konstnty doszením přípdné) počáteční podmínky Numerické řešení diferenciálních rovnic řádu ft, ), ), t, b n N h b )/n krok diskretizce t i t + ih, i {,,, n} i numerické řešení v t i, i {,,, n} k-kroková metod: i se spočte z k předcházejících hodnot zčíná od výpočtu k, předcházející hodnoty i se spočtou vhodnou nejvýše i-krokovou metodou) globální diskretizční ) chyb v t i : t i ) i lokální diskretizční chyb v t i : i t i ) i, kde i je řešení pro počáteční podmínku t i ) i i > ) Metod je řádu lespoň) p: chyb je Oh p ) pro jednokrokové metody to znmená, že lokální diskretizční chyb je Oh p+ )) Poznámk Zokrouhlovcí chyby mohou pro velmi mlá h výsledek znehodnotit