Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce................... 4 Goniometrické funkce.................. 7 Hyperbolické funkce................... 88 Eponenciální funkce.................. 9 Integrce některých dlších funkcí.............. 95 II. RIEMANNŮV INTEGRÁL 99 Definice vlstnosti R-integrálu............... 99 R-integrál jko funkce horní meze.............. 5 Metody výpočtu R-integrálu................ 7 III. NEVLASTNÍ RIEMANNŮV INTEGRÁL 7 Nevlstní R-integrál n neomezeném intervlu.......... 7 Nevlstní R-integrál z neomezené funkce............ Nevlstní R-integrál z neomezené funkce n neomezeném intervlu... 4 IV. APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU 47 ObshmnožinvR................... 47 Délk křivky v R................... 58 Objem rotčního těles.................. 66 Obsh rotční plochy.................. 8 DODATEK 9 Vybrné vzthy mezi funkcemi............... 9 Shodné trnsformce krtézských souřdnic v rovině........ 9 Polární souřdnice................... 94 VÝSLEDKY...................... 95 LITERATURA...................... 5

I Primitivní funkce I.. Definice vlstnosti primitivní funkce I... Eistence jednoznčnost primitivní funkce Definice. Nechť funkce f() F () jsou definovány n intervlu I. Jestliže pro kždé Ipltí F () =f(), () nzývá se funkce F () primitivní funkce k funkci f() nintervlui. (V krjních bodech intervlu I, které do I ptří, jde o příslušné jednostrnné derivce.) Poznámk. Z rovnice () plyne, že funkce F () jespojitáni. Vět (nutná podmínk eistence). Nechť k funkci f() eistuje n I primitivní funkce, pk f() je drbouovská n I. Poznámk. Připomeňme, že funkce f se nzývá drbouovská n intervlu I D( f), jestliže pro kždé dv body, z I s vlstností f( ) <f( )kždé číslo y R, proněžf( ) <y <f( ), eistuje v intervlu o krjních bodech, bod tkový, že f( )=y. Vět (postčující podmínk eistence). Nechť funkce f() je spojitá n I, pk k funkci f() eistuje n I primitivní funkce. Vět. Nechť F () je primitivní funkce k f() n I, pk pro libovolné c R je F ()+c primitivní funkce k f() n I. Vět. Nechť F () G() jsou primitivní funkce k f() n I, pk eistuje c R tk, že F () G() =c pro kždé I. Důsledek. Nechť F () je primitivní funkce k f() n I, pk {F () +c; c R} je množin všech primitivních funkcí k f() n I. Oznčení. Množin všech primitivních funkcí k funkci f() nintervlui se znčí symbolem f(), () vzhledem k předchozím tvrzením můžeme psát f() = F ()+c, () kde F () je nějká primitivní funkce k f() ni c R je libovolná konstnt. 7

Symbol f() se čte integrál z funkce f() postup hledání primitivní funkce se nzývá integrování. I... Vlstnosti primitivní funkce Vět. Nechť funkce f() má primitivní funkci n I, pk ( f() ) = f() n I. Nechť funkce f() má derivci n I, pk f () = f()+c, c R, n I. Vět. Nechť funkce f() g() mjí primitivní funkce n I k R. Pk funkce f()+g() kf() mjí primitivní funkce n I pltí (f()+g() ) = f() + g(), (4) kf() = k f(). Poznámk. Nechť F je tříd elementárních funkcí, tj. množin všech funkcí, které vzniknou konečným počtem lgebrických opercí skládáním ze zákldních elementárních funkcí *), pk pltí: Je-li funkce f() F, pk její derivce f () F,le její primitivní funkce F () = f() nemusí ptřit do F. Npř. funkce e, sin,, ln e,sin, sin pod. mjí primitivní funkci n svém definičním oboru, protože jsou spojité, le tyto primitivní funkce nejsou elementární funkce. I... Vzorce Ze známých vzorců pro derivce funkcí plynou následující vzorce, které pltí n kždém intervlu, který ptří do definičního oboru integrovné funkce. I. II. α = α+ α + + c, =ln + c α R, α *) Z zákldní elementární funkce povžujeme mocninnou funkci, eponenciální funkci, logritmickou funkci, goniometrické funkce funkce k nim inverzní, hyperbolické funkce funkce k nim inverzní. 8

III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII. XIV. XV. XVI. e = e + c = ln + c, sin = cos + c cos =sin + c R, >, sin = cotg + c cos =tg + c = rctg + c = rccotg + c + =rcsin + c = rccos + c ± =ln + ± + c = ln + + c sinh =cosh + c cosh =sinh + c sinh = cotgh + c cosh =tgh + c I..4. Řešené příkldy. ( e ) =. ( ) = 4 e = e + c 6 +4 = 4 5 5 6 +6 + c 9

. 4. 5. cos = tg = +cos sin cos = = + cos cos =tg + c 5 = 75 = 75 ln 75 + c = cos = + sin cos = + c Použitím vzorců njděte primitivní funkce: 6. ( ) 7. (5 ) 4 ( ) 8. ( ) 9. + + 6. 7. 8. 9. + + + 4 ( + ).. + + 4.. + 5 ( + sin +cos).. ( ) ( ).. 4. sin, π cotg ( sinh + b cosh ) 4. 4 + 4 + 5. tgh 5. + 6. cotgh

7. Dokžte, že je-li f() = F ()+c, pk f( + b) = F ( + b)+c,. Použitím vzorců příkldu 7 njděte primitivní funkce: 8. 4. + + 9. ( ) e + 4. e +. (e 4. + e ). 5 4. (sin 5 sin 5α).. 4. 5. 5 + + 44. 45. 46. 47. sin ( + π 4 ) +cos cos +sin 6. 48. (sinh( +)+cosh( ) ) 7. 8. 9. + Návod: += =( ) + 7 [( ) 4 = ] 7 + = 7 4 49. 5. 5. 5. 5. cosh sin cos sinh cosh

54. sin 4 6. (sinh )sinh 55. cos 4 6. (cosh )cosh 56. 57. 58. (sin )cos Návod: = sin +cos (sinh )cosh (sin )sin( + α) 64. 65. 66. 67. (sin )sin ( + ) 59. (sin )sin 5 68. e 6. ( cos ) cos 69. m(, ) 6. (sin( π 6 )) cos( + π 4 ) 7. [] sin π, 7. Vypočtěte 7. Vypočtěte 7. Vypočtěte f(), kdef() = { pro pro > pro < f(), kdef() = + pro< pro <<+ f () 74. Njděte f(), je-li f ( )=,> 75. Njděte f(), je-li f (sin )=cos { pro < 76. Njděte f(), je-li f (ln ) = pro <<+ f() =.

I.. Metody výpočtu primitivních funkcí I... Substituce Vět (. vět o substituci). Nechť funkce ϕ() je definován n intervlu I, ϕ(i ) I, nechť eistuje ϕ () n I. Nechť funkce f(t) je definován n intervlu I. Má-li funkce f(t) primitivní funkci n I, pk funkce f(ϕ())ϕ () má primitivní funkci n I.Je-liF(t) primitivní funkce k funkci f(t) n intervlu I,jeF(ϕ()) primitivní funkce k funkci f(ϕ())ϕ () n intervlu I. Poznámk.. větu o substituci zpisujeme ve tvru f(ϕ())ϕ () = f(t) dt, (5) kde t = ϕ(), dt = ϕ (), I, t I. Vět (. vět o substituci). Nechť funkce ϕ(t) je definován n intervlu I, ϕ(i ) = I, nechť eistuje ϕ (t) n I. Nechť funkce f() je definován n intervlu I. Funkce f() má primitivní funkci n I, právě když má funkce f(ϕ(t))ϕ (t) primitivní funkci n I.. Je-li F () primitivní funkce k funkci f() n I,jeF(ϕ(t)) primitivní funkce k funkci f(ϕ(t))ϕ (t) n I.. Je-li Φ(t) primitivní funkce k funkci f(ϕ(t))ϕ (t) n I,jeΦ(ϕ ()) primitivní funkce k funkci f() n I. Poznámk. První část. věty o substituci je vlstně. vět o substituci s omezeným předpokldem ϕ. Druhou část. věty o substituci zpisujeme ve tvru f() = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, (6) kde = ϕ(t), = ϕ (t) dt, t I, I. I... Per prtes Vět (metod per prtes). Nechť funkce u(),v() mjí derivce u (),v () n intervlu I. Eistuje-li n I primitivní funkce k jedné z funkcí u ()v(), u()v (), eistuje i ke druhé z nich. Je-li F () primitivní funkce k u()v () n intervlu I, je u()v() F () primitivní funkce k u ()v() n intervlu I. Poznámk. Metodu per prtes zpisujeme ve tvru u()v () = u()v() u ()v(). (7)

Poznámk. Pro volbu funkcí u() v () ve vzorci (7) neeistuje žádné prvidlo. Ze zkušenosti zjistíme, že ve většině přípdů volíme jko u() funkce ln, rcsin, rccos, rctg, rccotg, n jkov () funkce e,sin,cos, n,. V přípdě, že integrál u ()v() je složitější než původní, je vhodné zkusit volit u() v () obráceně nebo jiným způsobem tehdy, když u()v () je součin spoň tří funkcí. Metodu per prtes tedy používáme tk, že volíme funkce u() v () počítáme u () v(), přitom v() je libovolná primitivní funkce k v (), zprvidl volíme integrční konstntu rovnu nule. Poznámk. Při hledání primitivních funkcí používáme tké kombinci substituční metody metody per prtes dále smozřejmě vzthy (4) vzorce I... Většinou eistuje více způsobů nlezení primitivní funkce k dné funkci, npř. různé substituce i metod per prtes primitivní funkci lze nlézt metodou per prtes nebo Eulerovými substitucemi (I.4..) nebo Ostrogrdského metodou (I.4..) nebo goniometrickými substitucemi (I.4..6). Nlezené primitivní funkce se přitom mohou lišit pouze o konstntu. I... Řešené příkldy 77. Použitím. věty o substituci njděte primitivní funkce: ) + Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() =+, pk dt =. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=(, ) =I. + = tdt= 4 t4 + c = 4 ( + ) 4 + c. b) ( + ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() =,pk dt =. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=(, ) I. ( + ) = dt +t =rctgt + c =rctg + c. c) + Primitivní funkci hledáme n intervlech (, )(, + ), volíme t = ϕ() = = +,pkdt =. + Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů (, ) (, ) t (, + ) =Df,tedy 4

) I =(, ), ϕ(i )=(, + ) Df. ) I =(, + ), ϕ(i )=(, + ) Df. + = + = dt = t = ln t t + + c = ln + ++ + c. d) ( ) Primitivní funkci hledáme n intervlech (, )(, + ), volíme t = ϕ() = =, pkdt =. Funkce f(t) = ( t) je definován n (, ) (, + ) =Df,tedy t ) I =(, ), ϕ(i )=(, + ) Df. ) I =(, + ), ϕ(i )=(, ) Df. = ( t) ( ) = dt = t dt dt dt t + t 99 t = 98 99t 99 49t + 98 97t + c = 97 99( ) 99 49( ) + + c. 98 97( ) 97 = 78. Použitím. věty o substituci njděte primitivní funkce: e ) +e Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() =+e, pk dt = e. Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů (, ) (, + ) =Df, t tedy I =(, + ), ϕ(i )=(, + ) Df. e dt +e = t =ln t + c =ln(+e )+c. ln b) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme t = ϕ() = ln, pk dt =. I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=(, + ) =I. ln = t dt = t + c = ln 5 + c

c) sin cos Primitivní funkci hledáme n intervlech ( π +kπ, π +kπ), k Z, volíme t = ϕ() =cos, pkdt = sin. I k = ( π +kπ, π +kπ), k Z, ϕ(i k )=(, pro kždé k Z, I = =(, + ), ϕ(i k ) I. sin cos = dt t = t + c = cos + c. d) sin Primitivní funkci hledáme n intervlech (kπ, (k + )π), k Z. ) Volíme t = ϕ() =cos, pkdt = sin. Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů t (, ) (, ) (, + ) =Df ϕ((kπ, (k +)π)) = (, ) pro kždé k Z, tedyϕ((kπ, (k +)π)) Df sin sin = sin = sin cos = dt t = = ln t t + + c = ln cos cos + + c. ) Volíme t = ϕ() =tg,pkdt =. cos Funkce f(t) = je definován n sjednocení intervlů t (, ) (, + ) = Df ϕ((kπ, (k +)π)) = (, + ) prok Z sudé, ϕ((kπ, (k +)π)) = (, ) pro k Z liché, tedy ϕ((kπ, (k +)π)) Df. sin = (sin )cos = =ln t + c =ln tg + c. (tg ) cos 79. Použitím. věty o substituci njděte primitivní funkce: ) +e = dt t = Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), položíme t = +e (t >), vypočítáme volíme = ϕ(t) =ln(t ), pk = tdt t. 6

I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). = +e t t t dt = dt t = t =ln t + + c =ln +e +e + + c. b) Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, ), volíme = ϕ(t) = =sint, pk =costdt. ) I =(, ), I =( π, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n( π, ), ) I =(, ), I =(, π ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, π ). = cos tdt (sin t)cost = dt sin t = = cotg t + c = cos t sin sin t = t + c = + c. sin t (Poznámk: Primitivní funkci lze též vyjádřit ve tvru cotg rcsin + c.) c) + Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), položíme t = (t >), vypočítáme volíme = ϕ(t) =t,pk =tdt. I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). + = t t + +t dt = dt dt = dt 4 +t +t = =t 4ln(+t)+c = 4ln(+ )+c. 8. Použitím metody per prtes njděte primitivní funkce: ) ln [ u =ln u ln = ] v = ln = = v = = ln + c = (ln ) + c b) sin [ u = u sin ] = v = cos + cos = =sin v = cos = cos +sin + c 7

8. Použitím metody per prtes njděte primitivní funkce: ) e [ u = e u ] [ = u = u v = e v = e = e e ] = v = e v = e = e e + e = e e +e + c = e ( +)+c b) rccos [ u = rccos rccos u = rccos ] v = = v = [ rccos u = rccos u = rccos + = ] v = v = = = rccos rccos = = rccos rccos + c 8. Použitím metody per prtes njděte primitivní funkce: ) + + I = + = + = = + + [ u = u ] = + v = v = + = + = ln( + + )+ + + = = ln( + + )+ + I. Máme tedy I = ln( + + )+ + odsud dostáváme + = ln( + + )+ + + c b) e cos b,,b [ u =cosb u I = e cos b ] = b sin b v = e v = = e = e cos b + b [ u =sinb u e sin b ] = b cos b v = e v = = e 8

= e cos b + b e sin b b e cos b. Tedy I = e cos b + b e sin b b I Dále řešíme tuto rovnici dostáváme e cos b = e ( cos b + b sin b)+c + b 8. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály: ) I n = sin n, n N, n > [ u =sin I n = sin n n u =(n )(sin n ] )cos v = =sin v = cos = (sin n )cos +(n ) (sin n )cos = = (sin n )cos +(n ) (sin n )( sin ) = = (sin n )cos +(n ) (sin n ) (n ) sin n. Máme tedy I n = (sin n )cos +(n )I n (n )I n. Dále řešíme tuto rovnici dostneme rekurentní vzorec I n = n (sinn )cos + n n I n b),,n N, n> ( + ) n Integrál uprvíme I n = + ( + ) = n Druhý integrál řešíme per prtes [ u = u ( + ) = n v = = ( n)( + ) + n (n ) ( + ) n v = ( + ) n ( n)( + ) n ( + ) n. Po doszení pk dostneme rekurentní vzorec I n = n + (n )( + ) n (n ) I n 9 ] = ( + ) n.

I..4. Pro n =je Příkldy + = rctg. 84. Nechť funkce ϕ() má spojitou derivci n intervlu I. Dokžte, že pltí 86. 87. 88. 89. 9. 9. 9. 9. ( + ) ( ) (8 + 7) 4 ( 5 +) 4 4+ 4 8 e (ϕ()) α+ + c (ϕ()) α ϕ α+ je-li α R, α () = ln ϕ() + c je-li α = Substituční metodou njděte primitivní funkce: 85. 97. 98. 99..... 4. ( + ) e (sin ) + 4 + Návod: volte t = 4 + α + α+, + + ( ) α R ( + ) 94. 95. 96. (sin ) ( ) 5. 6. 7. + + +

8. 9..... 4. 5. 6. 7. 8. 9. ( + ) + ( ) 5 + ++ 5 + + + 4 + ( 5 ) 5. 6. 7. 8. 9..... 4. 5. 6. 9 4 4 +e ( ln )lnln ln +ln ( ln + ) ln( + + ) + (sin 5 )cos sin +cos tg cotg (cos 5 ) sin. 5 7. sin cos. 5 ( 5 ) 8. sin +cos.. e + e e 4 e 9. 4. sin +cos sin cos sin cos 4. e 4 +e 4. cos cos

4. 4. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 5. 5. 5. 5. 54. 55. 56. 57. cos +cos sinh cosh sin cos sin + b cos sin sin cos (sin ) 4 cotg (cosh ) tgh sin +cos +cos sin cos tg cotg cos sinh cosh sin cos 58. 59. 6. sin cos cos sin sin cos +cos 6. cos 4 Návod: = sin +cos 6. 6. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 7. 7. 7. sin cos 6 cos ln ln tg sin e tg +cotg cos cos e sin (rcsin ) rccos 4 ln rccos rccos rctg + rctg rctg e cosh +

Metodou per prtes njděte primitivní funkce: 7. α ln, α R, α 75. ( ) ln 74. 76. 77. ln 9. 78. 79. 8. 8. 8. 8. 84. 85. 86. ln ln ln e e sin sin sin cos sinh cosh 9. 94. 95. 96. 97. 98. 99... ( ) ln ln rccos rctg rcsin rccos rcsin ln( + + ) ln + ln + ln + ln( ) + 87. 88. 89. cos ln sin sin rctg.. 4. ln( + + ) + ln + (sin )lntg 9. rcsin 5. 5 e 9. rctg 6. rcsin

7. rctg. sin ln 8. ln ( + + ). e sin b 9..... 4. 5. 6. 7. ( + ) ( + ) e e sin rctg rccotg e e, +,.. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. e rccos e sin ( ) cos e (e cos ) e sin e sin e ( +) e ( +) ln( + ) + ( + b) +b ( + )( + b) 8. sin ln. ( ) e 9. cos ln. f (). Nechť f() je ryze monotónní spojitá funkce n intervlu I f () jejejí inverzní funkce n intervlu f(i). Dokžte, že je-li f() = F ()+c, pk f () = f () F ( f () ) + c. Uvžujte přípdy: ) f() = n (n>); b) f() =e ;c)f() =rcsin; d) f() = rgtgh. Odvoďte rekurentní vzorce pro integrály I n (n N): 4

4. I n = n e, 9. I n = cos n, n> 5. I n = ln n 4. I n = sinh n, n> 6. I n = α ln n, α 4. I n = cosh n, n> 7. I n = 8. I n = n, n> + sin n, n> 4. I n = 4. I n = sin n, n> cosh n, n> Njděte primitivní funkce: 44. 8 e 48. cos 5 45. ln 4 49. sin 6 46. 47. ln 6 +9 5. 5. sin 5 cosh 7 5. Dokžte následující vzorce I. + = rctg + c, II. III. IV. = ln + + c, ± = ± ln ± + c =rcsin + c, > V. VI. ± =ln + ± + c, > ± = ± ± + c, > 5

VII. VIII. = + rcsin + c, > ± = ± ± ln + ± + c, > Uprvením kvdrtického trojčlenu n tvr y ±,resp. y,kdey je lineární funkce proměnné, použitím příkldu 5 njděte primitivní funkce: 5. 54. 55. 56. 57. 58. + b, b 7 +5 5 +7 5 9 5 4 +5 4 65. Dokžte, že je-li pk pltí y = 59. 6. 6. 6. 6. 64. y = + b + c,, + + + cos α + 4 + 5 6 sin 8sincos +5cos sin cos sin 4 +cos 4 y ln + y + c pro > y rcsin b 4c + c pro < 66. + b, b 69. +5 67. + 7. 7 4 68. + 7. 4 6

7. cos +sin +cos 76. 4 7. (sinh )cosh sinh 4 +cosh 4 77. + + 4 74. 5+ 78. + 75. + + + 79. + + 8. 4 + I.. Rcionální funkce I... Rozkld n prciální zlomky Definice. Rcionální funkcí se nzývá funkce f() tvru f() = P () Q(), (8) kde P () Q() jsou polynomy s reálnými koeficienty. Vět. Nechť n N {} Q() je polynom s reálnými koeficienty stupně n, tj. Q() = n n + n n + + +, kde i R, i =,...,n, n. Pk pltí Q() = n ( α ) k ( α ) k...( α i ) k i ( + p + q ) l ( + p + q ) l...( + p j + q j ) l j, (9) kde α,α,...,α i jsou reálné různé kořeny polynomu Q k,k,...,k i jejich násobnosti kvdrtické členy ( +p +q ), ( +p +q ),...,( +p j +q j ) jsou reálné, nvzájem různé mjí kompleně sdružené kořeny (komplení kořeny polynomu Q), jejichž násobnosti jsou l,l,...,l j. Poznámk. Vzth (9) se nzývá rozkld polynomu Q n součin kořenových činitelů. V rozkldu (9) může být i =neboj =, pk rozkld neobshuje lineární nebo kvdrtické členy. Pltí ovšem k + k + + k i +l +l + +l j = n. 7

Vět (o rozkldu rcionální funkce n prciální zlomky). Nechť P () je reálný polynom stupně m Q() je reálný polynom stupně n (9) je rozkld polynomu Q() n součin kořenových činitelů. Pk eistuje polynom R() stupně m n (je-li m<n je R() ) n reálných čísel tk, že pro kždé R, pro které Q(),pltí A,A,...,A k, A,A,...,A k,..., A i,a i,...,a iki, B,C,B,C,...,B l,c l, B,C,B,C,...,B l,c l,..., B j,c j,b j,c j,...,b jlj,c jlj () P () Q() = R()+ + A A + α ( α ) + + A k ( α ) + k + A A + α ( α ) + + A k ( α ) + k... + A i A i + α i ( α i ) + + A iki + ( α i ) k i + B + C + p + q + B + C ( + p + q ) + + B l + C l ( + p + q ) l + + B + C + B + C + p + q ( + p + q ) + + B l + C l ( + p + q ) + l... + B j + C j + B j + C j + p j + q j ( + p j + q j ) + + B jl j + C jlj ( + p j + q j ) l j. () Poznámk. Hledání primitivní funkce k rcionální funkci (8) se tedy skládá ze dvou částí. Nejprve nlezneme rozkld () pk nlezneme primitivní funkce k prciálním zlomkům. Nlézt rozkld () znmená nlézt n konstnt (). 8

Je-li m n, vydělíme polynomy P () :Q() dostneme P () Q() = R()+P () Q(), kde stupeň P () jemenšínežstupeňq(). Zbytek, tj. rcionální funkci P () Q(),pk rozkládáme n prciální zlomky. Je-li m<n, je R() rcionální funkci rozkládáme přímo n prciální zlomky. P () Q() = P () Q() Důležité! Rozkládt n prciální zlomky můžeme jen rcionální funkci P () Q(),kde stupeň P () je menší než stupeň Q(). Nechť tedy rcionální funkce P () Q(), kde stupeň P () <n, je součtem prciálních zlomků z rovnosti (), tj. zkráceně P () Q() = A + + B jl j + C jlj α ( + p j + q j ), () l j potom při hledání konstnt () postupujeme následujícím způsobem: Sečteme zlomky n prvé strně rovnosti () porovnáme polynomy v čitteli rcionálních funkcí n obou strnách rovnosti (). Dostneme tk rovnost dvou polynomů, kterou můžeme k nlezení konstnt () využít dvěm způsoby: *) ) Dv polynomy se sobě rovnjí, mjí-li u stejných mocnin proměnné stejné koeficienty. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné dostneme soustvu n lineárních rovnic o n neznámých konstntách. ) Dv polynomy (funkce) se sobě rovnjí, rovnjí-li se funkční hodnoty v kždém bodě. Doszováním různých vhodně zvolených čísel, nejlépe kořenů polynomu Q, dostneme tké soustvu n lineárních rovnic o n neznámých konstntách, která má v přípdě doszování kořenů polynomu Q jednodušší tvr. Tto metod je výhodná zejmén v přípdě, kdy má polynom Q jednoduché kořeny. Obě metody lze vzájemně kombinovt, npř. postupným doszením i reálných různých kořenů získáme přímo i konstnt dlších n i konstnt získáme ze soustvy n i rovnic, které dostneme buď porovnáním koeficientů u vybrných n i mocnin proměnné (npř. nejvyšších nebo nejnižšších) nebo doszením dlších n i různých čísel. *) Poznámk. Má-li polynom Q pouze násobné reálné kořeny, můžeme k nlezení konstnt () použít metodu derivování. Postupným doszováním všech různých j-násobných kořenů (j = =,,...,k,kdek N je největší násobnost) do (j ). derivce rovnosti dvou polynomů v čitteli rovnosti () získáme všechny konstnty (), viz [4]. 9

I... Integrce prciálních zlomků. druhu A ln α + c A pro k = ( α) = k A ( k)( α) + c k pro k>. druhu Nechť B, pk uprvíme B + C ( + p + q) k = B = B B + C ( + p + q) k + C B ( + p + q) k = B ( + p ( + p + q) + C Bp ) k + p + C p B ( + p + q) = k ( + p + q) k. První integrál njdeme podle. věty o substituci, kde t = ϕ() = + p + q. + p ln( + p + q)+c pro k = ( + p + q) = k ( k)( + p + q) + c k pro k> Druhý integrál je vlstně tké prciální zlomek. druhu pro přípd B =. Uprvíme kvdrtický trojčlen ( ) + p ) ( ( ) + p + q = + (q p + p = +), 4 kde oznčíme = q p, což lze vzkledem k tomu, že 4 + p + q nemá reálné kořeny. Dále substitucí t = ϕ() = +p dostváme ( + p + q) = k ( ) ) k +p k = dt k (t +). k + Pro k =je dt t + = rctg t, prok>oznčme dt I k = (t +) k metodou per prtes odvodíme rekurentní vzorec (viz př. 8b) I k = t k + (k )(t +) k (k ) I k. ()

Uprvíme-li kvdrtický trojčlen n tvr + p + q = ( + p ) +, kde = q p,oznčíme-li 4 I k = ( ) ( + p k ) + dostneme rekurentní vzorec ve tvru (viz př. 8b) I k = + p (k ) ( ( + p ) + ) k + k (k ) I k (4) pro k>, ( + p ) + = rctg + p. Poznámk. Z popsné metody integrce prciálních zlomků vyplývá, že primitivní funkcí ke kždé rcionální funkci je elementární funkce. Poznámk. Uvedená metod integrce rcionální funkce je obecná. S její pomocí lze nlézt primitivní funkci ke kždé rcionální funkci z podmínky, že jsou známy nebo mohou být vypočítány všechny kořeny polynomu ve jmenovteli. V některých přípdech vidíme, že není nezbytně nutné použít tuto obecnou metodu, le použití jiného způsobu (lgebrické úprvy integrovné funkce n jiný tvr, substituční metod, metod per prtes) vede rychleji k cíli. (viz př. 49 66). I... Ostrogrdského metod V přípdě násobných kořenů polynomu Q() je rozkld rcionální funkce P () n Q() prciální zlomky spojen s náročným výpočtem konstnt () dále pk integrce prciálních zlomků zvláště v přípdě násobných kompleních kořenů vede n opkovné používání rekurentního vzorce () resp. (4), tedy ke zdlouhvým výpočtům. Tyto problémy řeší lgebrická metod výpočtu rcionální části primitivní funkce k rcionální funkci, která se nzývá Ostrogrdského metod. Jk víme z integrce prciálních zlomků, má-li polynom Q() násobné kořeny, reálné nebo komplení, je primitivní funkce vždy součtem rcionální funkce funkcí ln rctg (přípdně jen jedné z nich).

Vět. Nechť P () Q() jsou reálné polynomy, stupeň P<stupeň Q, polynom Q() má násobné kořeny. Pk eistují dv polynomy P () P () tk, že pltí P () Q() = P () Q () + P (), (5) Q () kde Q () Q () =Q() polynom Q () má jen jednoduché kořeny, stupeň P stupeň Q, stupeňp stupeň Q. Poznámk. Vzth (5) se nzývá Ostrogrdského vzorec, P () Q se nzývá rcionální () část P () trnscendentní část primitivní funkce P (). Q () Q() Poznámk. Metod spočívá v nlezení polynomů P ()P () integrci trnscendentní části P () metodou rozkldu n prciální zlomky. Polynomy P Q () () P () vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty. Derivováním rovnosti (5) dostneme P () Q() = P ()Q () P ()Q () + P () Q () Q () poúprvě P () Q() = P ()Q Q () P () () Q Q () ()+P ()Q (). (6) Q ()Q () Porovnání polynomů v čitteli zlomků n obou strnách rovnosti (6) vede k rovnosti dvou polynomů npř. porovnáním koeficientů u mocnin proměnné, je-li stupeň Q = n, dostneme soustvu n lineárních rovnic pro n neznámých koeficientů polynomů P () P (). Tto soustv rovnic je většinou jednodušší než soustv rovnic pro koeficienty při rozkldu funkce P () Q() že rcionální část P () Q () n prciální zlomky. Dále je výhodné, získáme pouze lgebrickou cestou bez použití integrce. I..4. Řešené příkldy 8. Njděte primitivní funkci Rozkldem n prciální zlomky odkud ( +)( +)( ) ( +)( +)( ) = A + + B + + C = A( +)( ) + B( +)( ) + C( +)( +).

Doszením = : = 4A A = 4 = : =5B B = 5 =: =C C = ( +)( +)( ) = 4 + 5 + + = = 4 ln + 5 ln + + ln + c. 4 +5 8. Njděte primitivní funkci Vydělením rozkldem jmenovtele dostneme 4 +5 = + 6 + = + 6 + ( )( + +) Rozkldem n prciální zlomky 6 + ( )( + +) = A + B + C + + odkud 6 + =A( + +)+(B + C)( ). Doszením =: 5=5A A = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : 6 = A + B B =4 : =A C C =. Je tedy 4 +5 = + = +ln + + 4 + + + + 4 + + + = ( +) + = = +ln +ln( + +)+rctg( +)+c.

+ +5 + 8. Njděte primitivní funkci ( +)( +) Rozkldem n prciální zlomky odkud + +5 + ( +)( +) = A + B + + C + D + + +5 +=(A + B)( +)+(C + D)( +) porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : = A + C : = A + B + D : 5 = A B +C : = B +D dostneme A =,B =,C =,D =. Uprvíme += ( ) + 4 = 4 ( ) + vypočteme + +5 + ( +)( +) = = rctg + + + + + 4 = rctg +ln( +)+ + = ) + = ( rctg + c. 84. Njděte primitivní funkci Úprvou jmenovtele 4 + 5 + 4 5 + 4 = ( + ) = ( +)( ) = ( +) ( ) rozkldem n prciální zlomky dostneme 4 + 5 + 4 = A + B + 4 C + + D ( +) + E.

Máme 4 +=A( +) ( ) + B( +) ( ) + + C ( ) + D ( ) + E ( +), odkud doszením =: = B B = = : = D D = =: =4E E = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 4 : : = A + C + E = A B dostneme A =,B =, C =, D =, E =. Je tedy = 85. Vypočtěte =ln + 4 8 ( ) ( +) 4 + 5 + 4 = + Rozkldem n prciální zlomky dostneme Máme ( +) + = ln + + + + ln + c. 4 8 ( ) ( +) = A + B ( ) + C + D + + E + F ( +). 4 8 = A( )( +) + B( +) + +(C + D)( ) ( +)+(E + F )( ), odkud doszením =: 4 =4B = i : 4 8i =(Ei + F )(i ) =E if 5

porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 5 : 4 : : = A + C = A + B C + D = A + B + D + F dostneme A =,B =, C =, D =, E =, F =4. Je tedy = 4 8 ( ) ( +) = + ( ) + 4 ( +) = =ln + ln( +) rctg + + +4 ( +). Podle rekurentního vzorce () je ( +) = ( +) + rctg. Máme tedy 4 8 ) =ln( ( ) ( +) + + rctg + + + + + c. 86. Ostrogrdského metodou vypočtěte (příkld 85) 4 8 ( ) ( +) Protože Q() =( ) ( +) je Q () =( )( +),Q () =( )( +)P () =A + B + C, P () = + b + c. Tedy 4 8 ( ) ( +) = A + B + C ( )( +) + + b + c ( )( +). Derivováním 4 8 ( ) ( +) = = (A + B)( )( +) ( +)(A + B + C) ( ) ( +) + + b + c ( )( +) 6

po úprvě 4 8 =(A + B)( + ) (A + B+ C)( +)+ +( + b + c)( + ). Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 5 : 4 : : : : : = = A + b = B + c b 4 = A + B C + b c 8 = A +C + c b = B C c dostneme A =,B =, C =, =,b =,c =. Rozložíme n prciální zlomky + ( )( +) = D + E + F +, tedy +=D( +)+(E + F )( ), odkud doszením =: 4=D D = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : = D + E E = : = D F F =. Je tedy 4 8 ( ) ( +) = ( )( +) + = + = ( )( +) +ln ln( +)+rctg + c = = ) +ln( + rctg + c. ( )( +) + 7

87. Njděte rcionální část primitivní funkce ( +) Použijeme Ostrogrdského metodu. Protože Q() =( +),jeq () =( + +), Q () = +P () =A + B + C + D, P () = + b. Tedy ( +) = A + B + C + D + ( +) + b +. Derivováním ( +) = = (A +B+ C)( +) ( + )()(A + B + C+ D) ( +) 4 + + b + po úprvě =(A +B + C)( +) 4(A + B + C + D)+( + b)( +). Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné 5 : = 4 : = A + b : = B : = A C +b : = 4D : = C + b dostneme A = 8, B =,C = 5 8, D =, =,b = 8. Rcionální část primitivní funkce je 8 +5 ( +). I..5. Příkldy Rozkldem n prciální zlomky njděte primitivní funkce: 88. 9. ( )( +) ( +)( +) 89. + 9. + ( )( +5) 8

9. 9. 94. 95. 96. 97. 98. 99..... 4. 5. 6. 7. + 5 +9 5 +6 + 5 +6 + 5 +8 4 + +6 + 6 + 4 4 +5 +4 +4 9 ( )( +)( 4) 4 +4 ( )( + )( 5) 5 ( )( + ) + ( +) ( ) ( ) + 6 7 5 4 4 +4 8. 9..... 4. 5. 6. 7. 8. 9..... 5 + 4 8 4 + ( )( 4) ( +)( +) ( +) 5 + 4 + + 4 +6 +5 +4 4 +5 +4 6 4 + 9 +4 5 5 +4 ( +)( +) ( )( +) ( 4 +4)( 4 +5) ( ) ( + +) ( + )( + + ) + 6 4 9

4. ( +)( +) 9. 8 + 5. 6. 7. 8. 4 + 8 4 + + 6 +... ( + )( + )( + ) 5 4 + + 4 + + 9 + +. Při jké podmínce je primitivní funkce rcionální funkce? + b + c ( ) Ostrogrdského metodou njděte primitivní funkce: 4. 9. ( ) ( +) ( 4 +) 5. 6. 7. 8. ( +) ( +) 4 + + + + ( + +) 4. 4. 4. 4. + ( )( + +) ( 4 ) 4 +4 ( +) ( + ) ( ) ( + +) 44. 6 5 + 4 + + + + ( +) ( + +) Njděte rcionální část primitivní funkce: ( +) 45. 46. ( 4 + +) ( + +) 47. (4 5 ) ( 5 + +) 4

48. Při jké podmínce je primitivní funkce α +β + γ ( + b + c),b 4c, rcionální funkce? Použitím vhodných postupů (lgebrických úprv, substituce, rozkldu n prciální zlomky pod.) njděte primitivní funkce: 49. 5. 5. 5. 5. 54. 55. 56. 57. 58. 59. ( ) 8 8 + + 6 + 4 ( 8 + 4 +) 4 ( ) 8 + 4 + 9 ( + 5 +) n n + n ( n +) ( +) 6. 6. 6. 6. 64. 65. 66. 67. 68. 69. ( +) 7 ( + 7 ) 4 ( 4 5)( 5 5 +) 4 + + + + 5 8 + + 4 + + + 6 + 4 + 6 + 6 ( + ) 8 + 4 + 4

I.4. Ircionální funkce Při hledání primitivních funkcí některých funkcí (trnscendentních) lze integrovné funkce vhodnou substitucí (nebo více substitucemi) převést n integrci rcionálních funkcí. V této části uvedeme nejvíce používné substituce pro některé význmné třídy ircionálních funkcí. Úmluv. Oznčme R(,..., n ) rcionální funkci n proměnných, tj. podíl dvou polynomů s reálnými koeficienty n proměnných, kde z proměnné doszujeme funkce, npř. + + + = R (,, ) +. ( ( + b ) s,..., ( + b ) ) sn I.4.. R, c + d c + d Předpokldy: n N, s,...,s n Q,,b,c R, d bc. I.4... Substituce Položíme t s = + b c + d, kde s je společný jmenovtel zlomků s,...,s n (jsou z Q), vypočítáme, volíme substituci = ϕ(t) = b dts ct s podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. I.4... Řešené příkldy 7. Njděte primitivní funkci +, > Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ), položíme t = + vypočítáme volíme = ϕ(t) = t + t,pk = 4t (t ) dt. 4

) I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ), ) I =(, + ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, ). + = t 4t (t ) dt =4 t (t ) dt. Rozkldem n prciální zlomky tkže t (t ) = A t + B (t ) + C t + + D (t +), t = A(t +) (t ) + B(t +) + C(t ) (t +)+D(t ). Doszením t = : =4D D = 4 t =: =4B B = 4 porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t : t : = A + C = A + B + C + D dostneme A =, C =. Můžeme tedy dopočítt náš integrál 4 4 = + =4 ( dt t + dt (t ) t = ln t + t t + c = ln t (t ) dt = dt t + + + + + ) dt = (t +) + + =ln + +( + ) + + k, + c = kde k = c ln. 4

7. Njděte primitivní funkci + + 6 ( + ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ) =I, protože s =, s =, 6 s = je s = 6, volíme = ϕ(t) =t6, =6t 5 dt. I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). + + 6 ( + = ) =6 7. Njděte primitivní funkci t 6 + t 4 + t t 5 + t + t 6 ( + t ) t5 dt =6 dt =6 +t = t4 +6rctgt + c = ( + )( ) 5 t dt +6 +6rctg 6 + c. dt +t = Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ), (, ), (, + ). Uprvíme ( + )( ) = 5 +( ), položíme t = +, vypočítáme volíme = ϕ(t) = t +t, pk = ( + t ) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ) I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ), ) I =(, + ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ). t ( + )( ) = 5 +( ) = = (t +) t 6t 6 (t +) dt = 4 dt t = 8 t + c = (+ ) + c. 8 44

I.4... Příkldy Vypočítejte: 7. + 74. + 75. + 76. 77. 78. ( + ) ( + + ) ( + 4 ) ++ + 8. 8. 84. + ++ +, > +4 85. 5 86. + 87. ( ), > 79. 88. ( +) + ( ) 4 8. + + 89. + 8. + + > 9. ( + )( + b), >, b>, b 4 ( )(b ), >, b > 9. 9., >, b>, b, n N n ( ) n+ ( b) n + + + 9. Dokžte, že primitivní funkce ) R (, ( n ) p ( b) q, kde R(, y) je rcionální funkce proměnných y = n ( ) p ( b) q, p, q Z,, b R, je elementární funkce, jestliže p+q n Z. 45

I.4.. ( ) R, + b + c Předpokldy:, b, c R,,b 4c. I.4... Eulerovy substituce. Eulerov substituce: Je-li >, položíme + b + c = ± + t, vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = t c b t podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t.. Eulerov substituce: Je-li c>, položíme + b + c = t ± c, z předpokldu vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = ± ct b t podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t. Jestliže bod ptří do definičniho oboru integrovné funkce, pk pro > pro<volíme integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce byl spojitá n celém definičním oboru integrovné funkce.. Eulerov substituce: Má-li polynom + b + c reálné kořeny (různé), pk + b + c = ( α )( α ) + b + c = α α = α α, α α čímž se dostneme k přípdu funkce, který je řešen v sekci I.4. (str. 4). Poznámk. Znménko u v. Eulerově substituci u c ve. Eulerově substituci volíme většinou s přihlédnutím k tvru funkce R(, + b + c), le v podsttě lze volit libovolně. Poznámk. Z uvedených substitucí je zřejmé, že bychom vystčili s.. Eulerovou substitucí, protože pro < musí mít polynom + b + c reálné kořeny, by 46

integrovná funkce neměl definiční obor roven prázdné množině. Nejsou-li kořeny polynomu +b+c celočíselné, vede čsto. Eulerov substituce ke složitým lgebrickým úprvám integrovné funkce proměnné t, proto, pokud to jde, používáme v těchto přípdech. Eulerovu substituci. Jestliže polynom + b + c splňuje podmínky dvou nebo všech tří Eulerových substitucí, lze použít kteroukoliv z těchto substitucí (s přihlédnutím k předešlé poznámce). I.4... R () + b + c Eulerovými substitucemi lze převést integrci kždé funkce R(, + b + c) n integrci rcionální funkce P (t) proměnné t. V některých přípdech le může být Q(t) polynom Q(t) dosti vysokého stupně nebo nelze lgebrickými metodmi nlézt jeho kořeny, tkže nedokážeme polynom Q(t) rozložit n součin kořenových činitelů, tedy nenlezneme rozkld (). V tkových přípdech lze použít při integrci jiné metody nebo substituce. Kždou rcionální funkci R(, + b + c) lze lgebrickými úprvmi vyjádřit ve tvru součtu R () + b + c + R (), kde R () R () jsou rcionální funkce. Jestliže nyní nlezneme rozkld () rcionální funkce R () n součet polynomu P k () prciálních zlomků, dostneme se k integrálům následujících tří typů: I. III. III. P k () + b + c ( α) k + b + c A + B ( + p + q) k + b + c, p 4q <. I.4... P k () + b + c Primitivní funkci tohoto typu nlezneme tzv. metodou Ostrogrdského; podobně jko při integrci rcionálních funkcí nlezneme část výsledku lgebrickými opercemi. 47

Vět. Nechť P k () je reálný polynom stupně k. Pk eistuje polynom Q(), stupeň Q() k, konstnt λ tk, že pltí P k () + b + c = Q() + b + c + λ + b + c. (7) Poznámk. Metod spočívá v nlezení polynomu Q() konstntyλ dálevn- lezení primitivní funkce k funkci. Polynom Q() vyjádříme obecně s neurčitými koeficienty derivováním rovnosti (7) +b+c dostáváme P k () + b + c = Q () + b + b + c + Q() + b + c + λ + b + c, odkud po vynásobení výrzem + b + c dostneme rovnost dvou polynomů P k () =Q ()( + b + c)+ Q()( + b)+λ. (8) Porovnáním koeficientů u mocnin proměnné n obou strnách rovnosti (8) dostneme soustvu k + lineárních rovnic pro k neznámých koeficientů polynomu Q() konstntu λ. Primitivní funkci + b + c nlezneme úprvou kvdrtického trojčlenu + b + c podlevzorcůx.xi.uvedených v sekci I.. Vzorce (str. 9). I.4..4. ( α) k + b + c Primitivní funkci tohoto typu převedeme substitucí n typ I. Položíme t = α, vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = + α podle. věty o substituci t přejdeme k integrálu sgn t t k dt (α + bα + c)t +(α + b)t +, který je řešen v sekci I.4.. (str. 47). 48

I.4..5. (A + B) ( + p + q) k + b + c, p 4q <, k N. Je-li + p + q = + b + c, pk uprvíme (A + B) ( + p + q) k+ = A ( + p) ( + p + q) k+ ( + B Ap První integrál nlezneme podle. věty o substituci. Substitucí t = ϕ() = + p + q, ) ( + p + q) k+ druhý integrál nejprve uprvíme ( + p + q) k+ = dt (t + γ ) k+, kde t = + p γ = q p. Dále položíme 4 u = vypočítáme t volíme substituci (Abelovu) t = ϕ(u) = t t + γ, konečně podle. věty o substituci dostáváme dt (t + γ ) k+ γu u = ( u ) k du. γ k. Je-li + p + q + b + c, pk hledáme substituci = ϕ(t) tkovou, by v obou kvdrtických trojčlenech vymizely lineární členy. V přípdě p = b jde o substituci = t p. V přípdě p b položíme = αt + β t +, kde α, β R. Dosdíme z do obou kvdrtických trojčlenů zjistíme, že čísl α, β jsou řešením soustvy rovnic αβ + p(α + β)+q = αβ + b(α + β)+c =, 49

tedy α + β = q c p b, bq pc αβ = p b, což znmená, že α, β jsou kořeny kvdrtické rovnice (p b)z +(q c)z +(bq pc) =. Substituce = t p αt+β,resp. =, převádí hledný integrál n integrál tvru t+ P (t) dt (t + λ) k st + r, kde P (t) je polynom stupně k λ>. Pro k> rozložíme rcionální funkci P (t) (t + λ) k n prciální zlomky dostneme součet integrálů typu tdt (t + λ) l st + r, dt (t + λ) l, l =,,...,k. st + r První integrál nlezneme podle. věty o substituci substitucí u = ϕ(t) = st + r druhý integrál podle. věty o substituci Abelovou substitucí: položíme v = st st + r, vypočítáme t volíme substituci (Abelovu) r v t = ϕ(v) = s, s v které převádí hledný integrál n integrál tvru s l (s v ) l ((r sλ)v + λs ) l dv. I.4..6. Goniometrické hyperbolické substituce Primitivní funkci R(, + b + c) lze vždy lgebrickými úprvmi kvdrtického trojčlenu odpovídjící lineární substitucí uprvit n jeden z následujících typů R(t, α t ) dt, R(t, t α ) dt, R(t, α + t ) dt. 5

Substitucemi v přípdech α t : t = α sin u, t = α cos u, t = α tgh u, t α : t = α,t= ± α cosh u, t = α cotgh u, cos u t + α : t = α sinh u, t = α tg u, t = α cotg u, podle. věty o substituci přejdeme k primitivní funkci R (sin u, cos u) du, resp. R (sinh u, cosh u) du, kterou nlezneme buď použitím vzorců nebo dlšími substitucemi (viz I.5, I.6). I.4..7. Řešené příkldy 94. Vypočtěte + + + Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ). Použijeme. Eulerovu substituci. Položíme + += + t, vypočítáme volíme pk = ϕ(t) = t +t, = t + t + ( + t) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, ), ) I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). I = + + + = t + t + t ( + t) dt. Rozkldem n prciální zlomky t + t + t( + t) = A t + B +t + C ( + t), tkže t + t +=A( + t) + Bt( + t)+ct. 5

Doszením Je tedy I = 95. Vypočtěte t =: =A t = : = C C = 4 t =: =9A +B + C B = dt t dt +t =ln t ln +t + dt ( + t) = +t + c = =ln( + + +) ln( + + + +)+ + + + + + + c. + Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ) = I.Použijeme. Eulerovu substituci: položíme = t pro vypočítáme volíme = ϕ(t) = t t +, pk +t t = dt. (t +) ) <: I =( ( + ), ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n (, ), ) >: I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). I = + = +t t t t t dt = t (t t + +) t(t )(t +) dt. Rozkldem n prciální zlomky tkže t t t(t )(t +) = A t + B t + Ct + D t +, t t =A(t )(t +)+Bt(t +)+(Ct + D)t(t ). 5

Doszením t =: = A A = t =: =B B = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t : = A + B + C C = t : = A + D D =. Je tedy dt I = t + dt t dt t + =ln t t +rctgt + c = + + =ln rctg + c. + Závěr: Protože lim ln + = + lim rctg + = π, lim rctg + = π +, volíme pro >pro< integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce F () = + byl spojitá n intervlu ( ( + ), + ). Oznčme pk F () =ln + + + rctg, F () π + c pro ( ( + ), ) F () = c pro = F ()+π + c pro (, + ) 96. Vypočtěte + + + + + Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ), (, )(, + ), přičemž jsou kořeny polynomu + +. Použijeme. Eulerovu substituci. Uprvíme + + += ( +)( +)= + +, 5

položíme vypočítáme volíme pk t = + +, = ϕ(t) = t t, = t (t ) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ) I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ). ) I =(, + ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ). ) > + = + ( +) + + t t ( t t +)t = t t +( t +)t t Rozkldem n prciální zlomky tkže t +t (t +) (t )(t ) = A t + + +( +) + + t (t ) dt = = t(t +) (t +) (t )(t ) dt. B (t +) + C (t +) + D t + E t t +t = A(t +) (t )(t ) + B(t +)(t )(t ) + + C(t )(t ) + D(t +) (t ) + E(t +) (t ). Doszením t = : C = 6 t =: D = 8 t =: E = 8 7 porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t t 4 : = A + D + E A = 7 6 t : = A +B +C D E B = 5 6. 54

Je tedy = 7 8 dt t + + 5 8 ( +) + + +( +) + + dt (t +) + = dt (t +) + 4 = 5 8 t + 6 (t +) 7 8 ln t + + 4 dt t 6 7 dt t = ln t 6 ln t + c, 7 kde t = + +, resp. t = + +. + b) < + = ( +) +( +) + + ( +) + + = t(t ) (t ) (t +)(t +) dt, substitucí t = y převedeme n tvr, který je řešen v části ), kde + y = +, resp. y = + +, + tzn., že pro > i pro < dostáváme stejný výsledek. 97. Vypočtěte +6 +9 + 4 +4 + Použijeme Ostrogrdského metodu (7); protože stupeň P k () =,jestupeň Q(), tedy Q() = + b + c, pk +6 +9 + 4 +4 + derivcí získáme =( +b+c) 4 +4 ++λ 4 +4 +, +6 +9 + 4 +4 + = =( + b) 4 +4 ++( 4 + + b + c) 4 +4 + + λ 4 +4 +, dále násobíme výrzem 4 +4 + dostneme rovnost dvou polynomů +6 +9 +=( + b)(4 +4 +)+( + b + c)(4 +)+λ, 55

porovnáním koeficientů u mocnin proměnné : = 8 +4 = : 6 = 8 +4b +4b + b = 4 4 +4 + = : 9 = 4 +4b +4c +b c = 8 : = b +c + λ λ = 4, ( +) + = ln( ++ 4 +4 + ). Výsledkem tedy je = 98. Vypočtěte +6 +9 + = 4 +4 + ( + 8) 4 + 4 +4 ++ 8 ln( ++ 4 +4 + ) + c. ( +) + 5 Primitivní funkci hledáme n intervlech (, 6) ( + 6, + ). Položíme t = +, vypočítáme volíme = ϕ(t) = t, = t dt. ) I =(, 6), I = (, 6 ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n (, 6 ), ) I =( + 6, + ), I = ( ), + 6, ϕ(i )=I, ϕ (t) < n ( ), + 6. = uprvíme t ( t ) +( t ) 5 ( +) + 5 = ( t ) 5t +t = 5 (5t +t + 6) = 6 5 dt = t dt t 5t ; ( (5t + 6 ) ). 56

) t (, 6 ) t dt = t 5t b) t ( ), + 6 = = 5 tdt = t 5t t dt 5 t 5t 5 6 t 5t 5 5 t + t 5t dt = dt ( 5t+ 6 ) = rcsin 5t + 6 + c = = 5 + 5 ( +) 5 5 5 rcsin + + + c = 6 = + 5 5 + 5 5 rcsin +7 + c = 6( +) = + 5 = 5 5( +) t dt = t 5t t 5t + 5 5 rcsin +7 6( +) + c, 5 5 tdt t 5t = rcsin 5t + 6 + c = = + 5 5( +) + 5 5 rcsin +7 6( +) + c, Výsledkem pro (, 6) ( + 6, + ) je 99. Vypočtěte ( +) + 5 = + 5 + 5( +) 5 5 rcsin +7 + c. 6 + ( + +) + ) ( + 5, + ) ;pro- Primitivní funkci hledáme n intervlech (, 5 tože koeficienty u jsou v obou kvdrtických trojčlenech stejné, volíme substituci = ϕ(t) =t, pk = dt. 57

) I = (, ) 5, I = (, ) 5, ϕ(i )=I, ϕ (t) > n (, ) 5, ) I = ( + 5, + ), I = ( 5, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n ( 5, + ). = ( + +) + = dt ( (t ) +(t )+) (t ) +(t ) = ( t + 4 dt ) t 5 4 dále použijeme Abelovu substituci. Položíme vypočítáme t volíme v = t = ϕ(v) = t t 5 4 5 4 v v, pk dt = 5 4 (v ) v dv. ) I = (, ) 5, I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (v) < n(, ), ) I = ( 5, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (v) < n(, + ). = 4 ( t + 4 dt ) = t 5 4 dv 8v = ln 6 ( 5 v + ) 5 4 v 4 4 v 5 4 dv (v ) v = + 8v + c = t 5 ln + 8t 4 8v 6 t 5 8t + c = 4 = ( + ln ) 5 + 8( + ) 4 6 ( + ) 5 8( + ) + c = 4 = + + ( +) ln 6 + ( +) + c. 58

4. Vypočtěte ( +) +5 Primitivní funkci hledáme n intervlu (, ), protože koeficienty u v kvdrtických trojčlenech jsou různé, položíme = αt + β t + dosdíme ( ) αt + β += += (α +)t +(αβ +4)t + β + t + (t +) +5= ( ) αt + β t + ( ) αt + β +5= t + = (α α +5)t +(4αβ α β + )t +β β +5 (t +). Protože chceme, by v kvdrtických trojčlenech vymizely lineární členy, musí pltit αβ +4=, 4αβ α β +=, tedy α + β =, αβ =, čísl α, β jsou kořeny kvdrtické rovnice z z =. Řešením této rovnice jsou čísl, volíme-li tedy npř. α =, β =, pk = ϕ(t) = t t + = (t +) dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ) I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ). = (t +) t + (t +6) 9t +9 ( +) +5 = dt (t +) = ) t (, ), tedy (, ) t + dt (t +) t + = tdt (t +) t + + 59 t + (t +) t + dt. dt (t +) t +.

Integrál (t +) t + nlezneme podle. věty o substituci substitucí u = ϕ(t) = t +,pk du = tdt t t + dt, I =(, ), I = R, ϕ(i )=(, + ) I, ϕ (t) < n(, ), tdt (t +) t + = du u + = rctg u + c = = rctg t ++c = rctg +5 + c ( +) = +5 +5 = rctg + c = rctg + c. + + Integrál dt (t +) t + nlezneme Abelovou substitucí: položíme v = t t +, vypočítáme t volíme t = ϕ(v) = v v, pk I =(, ), I = (, dt (t +) t + = dv dt = ( v ) v. ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n (, ( v + ) v v dv ( v ) v = ), dv v = = ln +v + c = v ln t ++t t + t + c = = ln +5 + (+) + +5 + c = ( +5) ln + + + + c = (+) + 6 ( +5) + +

= ln ( +5)+ ( +5) + + c = = ln ( +5)+ ( +5) + + c. Výsledkem pro (, ) je rctg +5 + 6 ln ( +5)+ ( +5) + + c b) t (, ), tedy (, + ) t + dt (t +) t + = tdt (t +) t + = rctg +5 + dt (t +) t + = 6 ln ( +5)+ ( +5) + + c 4. Závěr: Protože lim rctg +5 = π + +, lim rctg +5 = π +, lim ln ( +5)+ 8 + ( +5) + =ln, 8 zvolíme n intervlech (, ) (, + ) integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce F () = ( +) +5 byl spojitá n intervlu (, ). Oznčme pro F () = rctg +5 + 6 ln ( +5)+ ( +5) +, pk { F ()+c pro < F () =, F ()+ π + c pro > F ( ) = π 6 8 + 6 ln + c. 8 6

4. Vypočtěte ( ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, ), volíme substituci = ϕ(t) =sint, pk =costdt. I =(, ), I = ( π, ) π, ϕ(i )=I, ϕ (t) > n ( π, ) π. ( ) = =tgt + c = sin t cos t + c = cos tdt ( sin t) = sin t sin t + c = dt cos t = + c. 4. Vypočtěte Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ). ) (, ), volíme substituci = ϕ(t) = cosht, pk = sinhtdt. I =(, ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ), = cosh t sinhtdt= cosh tdt= cosh t = (cosh t +)dt = sinh t t + c = sinh t cosh t t + c = = (cosh t) cosh t t + c = ( rgcosh ) + c = = ln ( + ) + c = = +ln ln ( ) + c = = +ln + +ln +c = = +ln ( ( + ) ) ln + ln +c = = +ln ( ( + ) ) + c. 6

b) (, ), volíme substituci = ϕ(t) = cosht, pk = sinhtdt. I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ), = cosh t sinhtdt= cosh tdt= cosh t = =(cosht) cosh t +t + c = + rgcosh + c = = +ln( + +ln ( + ) ln +c = ) + c = +ln ( + ) +c. Výsledkem pro (, ) (, + ) je = +ln + + c. 4. Vypočtěte +, > Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ), volíme substituci = = ϕ(t) = tg t, pk = dt. cos t I =(, + ), I = ( π, ) π, ϕ(i )=I, ϕ (t) > n ( π, ) π, + = dt sin t + cos t cos t = dt cos t = ln +sint + c sin t (viz příkld 78 d)). Dále uprvujeme ln +sint sin t + c +sint =ln cos t + c =ln cos t +tgt + c = sin =ln t +cos t +tgt cos t + c =ln tg + + tg t + c = =ln ++ + c =ln ( + ) + + c ln = =ln ( + + ) + c. 6

I.4..8. Příkldy Vypočítejte: 44. ( + ( + ) ) 45. 46. 47. 48. 49. 4. 4. 4. 4. 44. 45. 46. 47. + + + + + + + + + + + + ( + + ) + +, + + + + ( +) ( +) ( +) + + ( +) + ( +) +5 + + + + 48. 49. 4. 4. 4. 4. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 4. 4. 4. ( + ) ( +) + + + + + + 4, 6 + 6 +4 + + + + 4 +4 + + +4 + + + + 4 + 64

4. + + 449. ( ) + +4 44. ( +) + + 45. ( +4 +7) 45. ( + ) 45. ( + +) 5 46. ( +) + 45. ( +) 7 47. 48. 49. 44. 44. 44. 44. 444. ( ) ( ) ( +) + 5 + 4 ( ) + + ( +) 5 + ( ) + 45. 454. 455. 456. 457. 458. 459. 46. ( +) ( + +) ( +) ( + +) + +4 ( +) ( +) + + ( +) + + ( + +) + ( + +) + (4 + ) +, 445. 446. ( ) ( + ) + 46. 46. ( + ) +,, 447. ( +) 4 + 46. +, 448. ( + ) + + 464. +, > 65

465. +, > 47. ( ) 466. ( )(b ),,b > 47. + + + 467. 468. Návod: =(b )sin t ( )(b ),, b > ( + )( + b),,b > Návod: + =(b )sinh t 47. 474. 475. ( +) + + ( +) 4 + + ( ) 4 + 469. ( + )( + b),, b > 476. 4 + 47. + 477. + 4 + + I.4.. m ( + b n ) p Předpokldy:, b R, m,n,p Q. Poznámk. Jsou-li, b, n, p, nzývá se primitivní funkce tohoto tvru binomický integrál. Primitivní funkce tohoto typu ptří do množiny elementárních funkcí pouze ve třech přípdech: p je celé číslo, m + je celé číslo, n m + + p je celé číslo, n I.4... Substituce p je celé číslo. Jde o přípd funkce, který je řešen v sekci I.4.. Volíme substituci = ϕ(t) =t s, kde s N je společný jmenovtel zlomků m n, podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. 66

m+ n m+ n je celé číslo. Položíme + b n = t s, kde s N je jmenovtel zlomku p, vypočítáme volíme substituci ts = ϕ(t) = n b podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. + p je celé číslo. Z předpokldu položíme n + b = t s, kde s N je jmenovtel zlomku p, vypočítáme volíme substituci = ϕ(t) = n t s b podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce. Ptří-li bod do definičního oboru integrovné funkce, pk pro >pro< volíme integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce byl spojitá n celém definičním oboru integrovné funkce. I.4... Řešené příkldy 478. Vypočtěte ( + ) Primitivní funkci hledáme n intervlu (, + ). Protože p je celé číslo, volíme = ϕ(t) =t 6,pk =6t 5 dt. I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, + ). Je tedy kde t = 6. ( + ) = t ( + t ) 6t5 dt =6 ( ) =6 t 4 t + 4t + dt = ( + t ) t 8 ( + t ) dt = ( ) =6 t 4 t + 4t +4 ( + t ) + dt = (t +) = 6 5 t5 4t +8t + t rctg t + c, t + 67

479. Vypočtěte 5 Primitivní funkci hledáme n intervlu (, ). Protože m =5,n =, m+ n = = je celé číslo, položíme t =, vypočítáme = t pro> volíme ϕ(t) = t pro< volíme ϕ(t) = t. Funkce ϕ(t) je definován n intervlu,, le protože není prostá, ϕ () =, vybereme si jeden z intervlů (, ) nebo (, ), n kterém je ϕ (t) eistujetedy ϕ () tím jsou splněny předpokldy. věty o substituci. ) >: Volíme substituci = ϕ(t) = t,pk = t t dt. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), ( 5 t = t ) 5 tdt t = ( t ) dt = t+ t 5 t5 +c, kde t =. b) <: Volíme substituci = ϕ(t) = t,pk = t t dt. I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) > n(, ), ( 5 = t t ) 5 tdt t = ( t ) dt = t+ t 5 t5 +c, kde t =. Závěr: Protože lim =,dostávámepro (, ) 48. Vypočtěte 5 = + ( ) ( ) 5 + c. 5 + Primitivní funkci hledáme n intervlech (, ) (, + ). Protože m = =,n =,p =, m+ + p = je celé číslo, položíme t =+,, n vypočítáme volíme = ϕ(t) = t, pk t = (t ) 4 dt. ) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ), 68

) I =(, ), I =(, ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, ). ) I =(, + ), I =(, + ), ϕ(i )=I, ϕ (t) < n(, + ). I = = + Rozkldem n prciální zlomky t t = t t A t + t ( t ) 4 dt = Bt + C t + t + t = A(t + t +)+(Bt + C)(t ) porovnáním koeficientů u mocnin proměnné t Uprvíme kvdrtický trojčlen t : A + B = t : A B + C = t : A C = A =,B=, C =. t + t += 4 (4t +4t ++)= 4 t t dt. ( (t + ) + ) pokrčujeme dále ve výpočtu integrálu I = dt t + = dt t + 6 t t + t + dt = t + t + t + dt = ln t + 6 ln(t + t +) dt t + t + = dt ( ) = t+ + = 6 ln t + t + t + rctg + c (t ) = ( ) = + 6 ln + + + ( + ) ( = + ) + 6 ln + + ( ) + + + 69 rctg + + + c = rctg + + + c.

Závěr: Protože lim rctg + + + lim ln = π, lim rctg + + ( + ) + + + ( ) =, + + + = π, zvolíme n intervlech (, ) (, + ) integrční konstnty dodefinujeme integrcí získnou funkci v bodě tk, by primitivní funkce F () = + byl spojitá n intervlu (, + ). Oznčme pro ( F () = + ) + 6 ln + + ( ) + + + rctg + +, pk F ()+c pro < F () = F ()+, π + c pro > π F () = + c. I.4... Příkldy Vypočítejte: 48. ( 6 ) 485. 6 + 6 48. 48. ( + ) ( + 4 ) 486. 487. 5 + ( +) 484. + 488. + 4 7

489. 49. 49. 49. + 4 + ( + ) ( + ) 5 49. 494. 495. 496. 497. 4 + 4 + 4 498. V jkém přípdě je primitivní funkce +m, m Q, elementární funkcí? I.5. Goniometrické funkce I.5.. R(sin, cos ) I.5... Substituce I. Univerzální substituce. Z předpokldu ( π, π) položíme vypočítáme volíme substituci tg = t, = ϕ(t) = rctg t podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin cos pomocí funkce tg sin = sin cos sin +cos cos = cos sin sin +cos 7 = tg tg + = t t +, = tg t tg = + t +.

Poznámk. Pro ( π +kπ, π +kπ), k Z, plynezrovnicetg = t = ϕ k (t) = rctg t +kπ. Protože pro kždé k Z pltí ϕ k (t) = t +, ϕ k (( π +kπ, π +kπ)) = (, + ), i vyjádření funkcí sin cos pomocí funkce tg je stejné n kždém intervlu ( π+kπ, π+kπ), dostneme pro ( π+kπ, π+kπ) substitucí =rctgt+ + kπ stejnou rcionální funkci proměnné t pro kždé k Z. Formálně tedy stčí nlézt primitivní funkci n intervlu ( π, π) substitucí = ϕ(t) = rctg t, pkn intervlech ( π + kπ, π + kπ) zvolit integrční konstnty dodefinovt integrcí získnou funkci v bodech π + kπ tk, by primitivní funkce byl spojitá n celém definičním oboru integrovné funkce. Univerzální substituci je možné použít při integrci funkce R(sin, cos ) v kždém přípdě, někdy se le dostneme k rcionální funkci proměnné t, která obshuje polynomy dosti vysokých stupňů obtížně se hledá rozkld polynomu ve jmenovteli n kořenové činitele (pokud ho lze vůbec njít). Proto při speciálním tvru funkce R(sin, cos ) používáme následující substituce: II. ) R( sin, cos ) =R(sin, cos ). Z předpokldu ( π, ) π položíme vypočítáme volíme substituci tg = t, = ϕ(t) =rctgt podle. věty o substituci přejdeme k integrálu z rcionální funkce proměnné t. Vyjádříme funkce sin cos pomocí funkce tg sin = sin cos cos cos = cos = = sin cos sin +cos cos sin +cos cos = = tg tg + = t t +, tg + = t +. Poznámk. U substituce tg = t nstává nlogická situce jko u univerzální substituce tg = t. Pro ( π + kπ, π + kπ), k Z, plyne z rovnice tg = t = ϕ k (t) =rctgt + kπ 7