5. Základy teorie ODR

5. Základ teorie ODR A. Diferenciální rovnice a související pojm Mnohé fzikální a jiné zákon lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vstupuje funkce, přičemž tto rovnice obsahují derivaci, příp. derivace neznámé funkce. Tto rovnice se nazývají diferenciální rovnice. Motivační příklad. Částka 1000 Kč se ročně úročí 10%. Na konci roku je pak na účtu částka 1100 Kč. Jestliže se úrok připisují půlročně, úročí se od polovin roku částka 1050 Kč a na konci roku je na účtu částka 1102,50 Kč. Výpočet lze teoretick stále zužovat: úročení probíhá čtvrtletně, měsíčně, týdně, denně atd. Vzniká ted otázka, kolik činí výše částk na účtu po roce spojitého úročení (tj. za předpokladu, že částka je úročena nepřetržitě). Nechť (t) vjadřuje výši částk v čase t, přičemž hodnota závisle proměnné je udávána v korunách a hodnota nezávisle proměnné t v rocích. Uvažujeme-li nejprve roční úročení, pak výše částk v libovolném čase t 1 lze určit jako řešení rovnice (t + 1) = (t) + (t) 10, t 1, přičemž hodnota (t) v čase t 0, 1 ) je dána počátečním vkladem, ted (t) = 1000 pro tato t. Odtud snadno ověříme, že (1) = (0) + 0.1(0) = 1100. Jsou-li úrok připisován půlročně, pak výši částk (t) v libovolném čase t 1 / 2 určíme jako řešení rovnice (t + 1 (t) ) = (t) + 2 20, t 1 2, přičemž (t) = 1000 pro t 0, 1 / 2 ). Odtud ted (1) = 1102, 50. Označme nní h délku časového úseku (v rocích), po jehož uplnutí dochází k opětnému připisování úroků (v předcházejících úvahách jsme volili h = 1 a h = 1 / 2). Pak hodnotu (t) v libovolném čase t h určíme jako řešení rovnice (t + h) = (t) + (t) (t + h) (t) h = 10 h = (t), t h. (5.1) 10 přičemž (t) = 1000 pro t 0, h ). Při spojitém úročení je nní třeba provést limitní přechod pro h 0 (formálně vzato, jedná se o limitu zprava; je ale snadné ověřit, že vztah (5.30) má smsl i pro záporná h). Tím podle definice derivace rovnice (5.30) nabývá tvar d dt (t) (t) =, t 0, (5.2) 10 přičemž (t) = 1000 pro t = 0. Rovnice (5.31) je rovnicí, v níž jako neznámá vstupuje funkce (t) a tato rovnice obsahuje derivaci funkce (t). Jedná se ted o rovnici diferenciální (na rozdíl od vztahu (5.30), který není diferenciální rovnicí pro žádné h > 0). Později uvidíme, že jediným řešením rovnice (5.31) vhovujícím podmínce (0) = 1000 je funkce (t) = 1000 e t/10. Odtud ted plne, že výše částk (v korunách) po roce spojitého úročení činí (1) = 1105, 17. Definice 5.1. a) Občejnou diferenciální rovnicí (ODR) nazýváme rovnici, v níž se vsktuje (či vsktují) derivace hledané funkce jedné proměnné. b) Parciální diferenciální rovnicí (PDR) nazýváme rovnici, v níž se vsktují parciální derivace hledané funkce dvou nebo více proměnných. c) Řádem diferenciální rovnice nazýváme největší řád derivace hledané funkce v uvažované diferenciální rovnici. d) Diferenciální rovnici (ODR či PDR) nazýváme lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci i její derivaci (případně derivacím). Zkratk: LODR, LPDR. e) Označení ODR1 (či LODR1) značí občejnou diferenciální rovnici prvního řádu (či LODR prvního řádu). Zkratk ODRn a LODRn značí ODR a LODRn-tého řádu. V podobném smslu užíváme zkratk PDR1, PDRn, LPDR1, LPDRn. ÚM FSI VUT v Brně 30

V další části se budeme výhradně zabývat občejnými diferenciálními rovnicemi (přívlastek občejné budeme zpravidla vnechávat). Výše odvozená diferenciální rovnice () = () (5.3) 10 (nezávisle proměnnou nní značíme ) je příkladem LODR1. Tuto rovnici budeme stručně zapisovat ve tvaru = /10 (proměnnou u neznámé funkce ted nebudeme vpisovat). Linearitu této rovnice porušíme, uvažujeme-li na pravé straně výraz, který není lineární vzhledem k ; příkladem nelineární ODR1 je ted např. rovnice Podobně rovnice = 2 10 +, příp. = sin 10 +. = je příkladem LODR2, zatímco podobná rovnice (druhého řádu) = již lineární není. Výše uvedené rovnice mají eplicitně vjádřenu derivaci nejvššího řádu; říkáme, že tto rovnice jsou dán v tzv. normálním tvaru. Užitím vztahu = d/d lze každou ODR1 v normálním tvaru přepsat pomocí diferenciálů; tento tvar pak nazýváme diferenciálním. Rovnice (5.3) v diferenciálním tvaru ted je d = d 10. Dále se budeme výhradně zabývat občejnými diferenciálními rovnicemi (přívlastek občejné zde budeme zpravidla vnechávat). Užití ODR. Diferenciální rovnice mají zásadní význam při řešení mnohých problémů fzikálních, technických a inženýrských. Bez diferenciálních rovnic b neblo možné provádět různé výpočt související s pružností a pevností materiálu, s řízením složitých jaderných reakcí, s let do vesmíru apod. V dalším tetu se omezíme pouze na modelové příklad, jejichž hlavním účelem bude ilustrovat probíranou látku a motivovat zavedení dalších pojmů. Rovnice (5.3) jako matematický model problému spojitého úročení je příkladem tzv. Malthusov rovnice = k, kde k 0 je reálná konstanta. K sestavení této rovnice vede následující úvaha: Nechť = (t) vjadřuje množství dané veličin v čase t. Za předpokladu, že okamžitá změna (přírůstek či úbtek) je v každém okamžiku úměrná hodnotě, pak dostáváme právě Malthusovu rovnici. Je snadné si rozmslet, že na tuto rovnici vede (po provedení potřebných zjednodušení) řada dalších problémů, jako např. populační problém. Všechn tto problém mají společné to, že k jejich jednoznačnému vřešení Malthusova rovnice nestačí. Je třeba ještě dodat informaci o hodnotě v některém pevném časovém okamžiku (nejčastěji se jedná o časový počátek; pak ted předepisujeme počáteční stav viz informace o počátečním stavu účtu v problému spojitého úročení). Jiným významným příkladem je rovnice mÿ = F (t,, ẏ) představující matematické vjádření druhého Newtonova zákona pro pohb hmotného bodu o hmotnosti m po ose. Je to ODR2 pro hledanou funkci = (t), která vjadřuje polohu hmotného bodu na ose. Druhá derivace d 2 / dt 2 má fzikální význam zrchlení hmotného bodu; daná funkce F vjadřuje výslednou vnější sílu, která působí na hmotný bod. Nechť na tento bod působí např. síla F úměrná výchlce z rovnovážné poloh a působící proti směru výchlk (ostatní síl jako je tření či gravitace neuvažujeme). Pak F = k, kde k > 0 je konstanta úměrnosti, a pohb hmotného bodu je ted popsán diferenciální rovnicí mÿ = k, nebo-li ÿ + ω 2 = 0, ω 2 = k > 0. (5.4) m ÚM FSI VUT v Brně 31

Později uvidíme, že každé řešení rovnice (5.4) lze psát ve tvaru (t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt, (5.5) kde C 1, C 2 jsou obecné konstant. Konkrétní volbou dvojic C 1, C 2 dostaneme jednotlivá řešení (5.4). O tom, že se jedná skutečně o řešení, se snadno přesvědčíme dosazením (5.5) do (5.4); v tomto smslu také zavedeme za chvíli pojem řešení ODR. V aplikacích nás vžd zajímá pohb za konkrétních podmínek. Např. bod vchýlíme do vzdálenosti 0 od klidové poloh ( 0 má zápornou hodnotu, vchýlíme-li bod dolů) a pustíme. V okamžiku puštění kuličk začneme odčítat čas. Realizovali jsme tak tto dvě počáteční podmínk: kde ẋ má fzikální význam rchlosti. Vpočteme hodnot konstant C 1, C 2 z (5.4) pro případ (5.6). Platí (0) = 0, ẋ(0) = 0, (5.6) 0 = (0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = C 1, 0 = ẋ(0) = C 1 ω sin 0 + C 2 ω cos 0 = C 2 ω ; ted C 1 = 0, C 2 = 0 a odtud (t) = 0 cos ωt. (5.7) Uvedené dvě počáteční podmínk ted již hledané řešení (a tím i pohb hmotného bodu) určili vztahem (5.5) jednoznačně. V souladu s uvedenými příklad budeme dále uvažovat ODRn v normálním tvaru (n) = f(,,,..., (n 1) ), (5.8) kde f je reálná funkce definovaná na (n + 1)-rozměrné oblasti Ω R n+1, a pro tuto rovnici zavedeme některé související pojm. Definice 5.2. (Pojem řešení ODR) a) Řešením rovnice (5.8) nazýváme každou n-krát spojitě derivovatelnou funkci na nějakém intervalu I, která vhovuje dané rovnici, takže po dosazení této funkce a jejích derivací do dané rovnice dostaneme na intervalu I identickou rovnost. b) ODR budeme považovat za vřešenou, budeme-li znát všechna její řešení. c) Křivku, která znázorňuje některé řešení dané ODR, nazýváme integrální křivkou diferenciální rovnice. Samotné řešení nazýváme také integrálem diferenciální rovnice. Poznamenejme, že pokud definiční obor řešení dané rovnice nebude dopředu stanoven, budeme obvkle hledat řešení definovaná na maimálním možném intervalu (tato řešení se nazývají maimální; m budeme tento přívlastek vnechávat). Definice 5.3. (Počáteční podmínk a počáteční problém) Mějme dán libovolný, ale pevně daný bod ( 0, 0, 1,..., n 1 ) Ω. Úloha určit řešení rovnice (5.8), které vhovuje n počátečním podmínkám ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 1,..., (n 1) ( 0 ) = n 1, (5.9) se nazývá počáteční problém (nebo také Cauchho úloha). Původ názvu počátečních podmínek (a ted i počátečního problému) plne z toho, že se nejčastěji předepisují v bodě, který reprezentuje časový počátek. Speciálně počáteční problém pro ODR1 je tvaru = f(, ), ( 0 ) = 0 a pro ODR2 pak = f(,, ), ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 1. ÚM FSI VUT v Brně 32

Definice 5.4. (Okrajové podmínk a okrajový problém) Tento problém se uvažuje zejména v případě ODR2, kd nezávisle proměnná má význam délk. Jde o úlohu určit řešení rovnice = f(,, ) splňující tzv. okrajové podmínk, které mohou být např. tvaru (a) = α, (b) = β nebo (a) = γ, (b) = δ, kde α, β, γ, δ jsou dané hodnot a a, b jsou koncové bod intervalu I, ve kterém hledáme řešení ODR2. Definice 5.5. (Druh řešení ODR) a) Obecným řešením rovnice (5.8) budeme rozumět každou funkci závisející na n obecných parametrech C 1,..., C n takových, že speciální (přípustnou) volbou C 1,..., C n lze získat řešení každého počátečního problému (5.8), (5.9). b) Partikulární řešení ODRn je takové řešení ODRn, které obdržíme z obecného řešení pevnou volbou konstant C 1,..., C n. c) Výjimečné (singulární) řešení je řešení ODRn, které nelze získat z obecného řešení žádnou volbou hodnot C 1,..., C n. Uvedené pojm ilustrujme na příkladu rovnice (5.4). Jejím obecným řešením je funkce (5.5). Dosazením počátečních podmínek (5.6) do obecného řešení jsme získali partikulární řešení (5.7). Výjimečné řešení rovnice (5.4) nemá. Geometrický význam ODR Diferenciální rovnice prvního řádu = f(, ) (5.10) přiřazuje každému bodu (, ) definičního oboru Ω funkce f směrnici příslušného řešení. Tím je v Ω dáno pole směrů, tzv. směrové pole. Toto směrové pole lze grafick znázornit tak, že zakreslíme dostatečně mnoho bodů (, ) Ω a tečn příslušných integrálních křivek o směrnicích f(, ) vznačíme krátkými úsečkami. Z geometrického hlediska řešit diferenciální rovnici (5.8) znamená vepsat do daného směrového pole křivk tak, ab jejich tečn dané směrové pole respektoval. U rovnice druhého řádu je každému bodu (, ) a směru přiřazena hodnota druhé derivace (tím je ted předepsána křivost hledané integrální křivk). Rovnice vššího řádu již nemají tak jednoduchou geometrickou interpretaci. Příklad 5.6. Sestrojme směrové pole diferenciální rovnice = /. Řešení. Funkce f(, ) = / je definována pro všechna reálná a s výjimkou bodů ležících na ose. Položíme-li = k, kde k R, obdržíme otevřené polopřímk = k ( 0). Jsou to křivk, v jejichž bodech je danou rovnicí předepsána táž hodnota směrnice = k; říká se jim izoklin. Pomocí izoklin pak snadno vidíme, že směrové pole dané rovnice má tvar znázorněný na obr. 5.1. Obr. 5.1: Izoklin a směrové pole rovnice = / ÚM FSI VUT v Brně 33

Odtud také plne, že v horní polorovině jsou integrálními křivkami půlkružnice = C 2, zatímco v dolní polorovině to jsou půlkružnice = C 2, kde C R +. B. Některé tp ODR1 V této kapitole uvedeme několik základních tpů ODR1, jejichž řešení lze nalézt v tzv. uzavřeném tvaru. Seznámíme se přitom s metodami umožňujícími vjádření přesného řešení dané rovnice, a to po konečném počtu kroků. Je tvaru kde g, h jsou funkce jedné proměnné. Platí B1. ODR1 se separovanými proměnnými = g()h(), (5.11) Věta 5.7. Nechť funkce g, resp. h je definovaná a spojitá na intervalu (a, b), resp. (c, d) a nechť pro každé (c, d) je h() 0. Dále nechť 0 (a, b), 0 (c, d) jsou libovolné bod. Pak má počáteční problém = g()h(), ( 0 ) = 0 (5.12) řešení definované na nějakém intervalu I. Toto řešení je určeno implicitně vzorcem () 0 dt h(t) = g(s) ds pro každé I. (5.13) 0 Praktický postup. Za předpokladů uvedených v předcházejícím tvrzení je řešení počátečního problému (5.12) dáno implicitně vztahem (5.12). Vztah d h() = g() d + C, C R (5.14) je ted obecným řešením rovnice (5.11). Mnemotechnick si vzorec (5.14) můžeme zapamatovat takto: V rovnici (5.11) místo napíšeme d / d a provedeme tzv. separaci proměnných. Výraz s proměnnými, resp. od sebe oddělíme na obou stranách rovnice. Tím obdržíme formální rovnost d = g() d. h() Obě stran rovnosti integrujeme a na pravou stranu připíšeme integrační konstantu, čímž obdržíme vzorec (5.14). Příklad 5.8. Určeme všechna řešení diferenciální rovnice = 1 (2 + 1). (5.15) Řešení. Zvolíme postup popsaný v předcházející poznámce. Předpoklad 0, 2 + 1 0 rozdělí rovinu na čtři oblasti: Ω 1 = (0, ) ( 1/2, ), Ω 2 = (, 0) ( 1/2, ), Ω 3 = (, 0) (, 1/2), Ω 4 = (0, ) (, 1/2). Ve všech těchto oblastech postupně dostáváme: ÚM FSI VUT v Brně 34

d d = 1 (2 + 1), d 2 + 1 = d, d d 2 + 1 =, 1 2 ln 2 + 1 = ln + C 1, C 1 R. Z tohoto tvaru lze hledanou funkci vjádřit eplicitně na levé straně, čímž se získaný výsledek značně zpřehlední. Než tak učiníme, zapíšeme obecnou konstantu C 1 ve tvaru (1/2) ln C, C 0, což nám umožní jednoduše upravit výsledek. Odlogaritmováním a úpravou vztahu dostáváme 1 2 ln 2 + 1 = ln + 1 ln C, C R {0} 2 2 + 1 = C 2, C R {0}. Nní přistoupíme k odstranění absolutních hodnot. V oblastech Ω 1 a Ω 2 platí 2 + 1 = C 2, C > 0 a v oblastech Ω 3, Ω 4 pak 2 + 1 = C 2, C < 0. Dohromad ted na uvedených oblastech platí 2 + 1 = C 2, C R {0}. (5.16) Nní posoudíme případ 2 + 1 = 0 (tj. = 1 / 2). Dosazením do rovnice (5.15) snadno vidíme, že tato konstantní funkce je také řešením. Protože toto řešení lze obdržet ze vztahu (5.16) volbou C = 0, všechna řešení rovnice (5.15) jsou tvaru = C 2 1 2, C R, kde místo C/2 píšeme C. Tato řešení, která tvoří současně obecné řešení dané rovnice, představují jednoparametrickou soustavu parabol znázorněnou na obr. 5.2. C > 0 1 2 C = 0 C < 0 Obr. 5.2: Obecné řešení tvoří jednoparametrická soustava parabol Všimněme si, že každým bodem rovin, s výjimkou bodů ležících na ose, prochází právě jedna integrální křivka obecného řešení. Jinak vjádřeno, předepíšeme-li těmito bod počáteční podmínku, bude mít odpovídající počáteční problém právě jedno řešení. ÚM FSI VUT v Brně 35

B2. Lineární ODR1 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu má obvkle tvar = a() + f(). (5.17) Je-li f() = 0 pro všechna uvažovaná, pak hovoříme o homogenní LODR1; v opačném případě se jedná o nehomogenní LODR1. Předpokládejme dále, že funkce a(), f() jsou spojité na intervalu I. Uvedeme nejobvklejší metodu řešení rovnice (5.17), tzv. metodu variace konstant. Řešení probíhá ve dvou krocích. I. Řešíme nejprve přidruženou homogenní LODR1 ve tvaru = a(), (5.18) v níž můžeme za předpokladu 0 separovat proměnné. Výše popsanou metodou separace proměnných lze určit obecné řešení h rovnice (5.18) ve tvaru h = Cv(), kde v() = e a() d, C R (volba C = 0 zahrnuje vloučený případ = 0, který je rovněž řešením (5.18)). II. Řešení původní nehomogenní rovnice (5.17) hledáme ve stejném tvaru, ale C již není číselná konstanta, nýbrž funkce proměnné (odtud je také název metod): = C()v() C() =? (5.19) Obecné řešení nehomogenní LODR1 se ted liší od obecného řešení homogenní LODR1 jen tím, že místo konstant C nastoupí vhodná (zatím neurčená) funkce C(). Tu určíme tak, že vztah (5.19) dosadíme do původní rovnice (5.17). Odtud po úpravě máme C ()v() = f(). (5.20) Protože v() > 0, lze rovnici (5.20) dělit v(), takže f() C() = u() d + C = f() e a() d d + C, kde C je obecná konstanta. Dosazením C() do vztahu (5.19) dostáváme obecné řešení lineární rovnice (5.17), zahrnující všechna řešení této rovnice. Toto řešení je přitom definováno na intervalu I, ted všude tam, kde jsou funkce a(), f() spojité. Příklad 5.9. Nalezněme řešení počátečního problému = 1 (2 + 1), (1) = 0. Řešení. Daná rovnice již bla rozřešena v oddíle B1 jako rovnice se separovanými proměnnými. Současně je však i rovnicí lineární, neboť lze psát ve tvaru = 2 + 1 tj. a() = 2, f() = 1. (5.21) Ilustrujme proto při řešení této rovnice také metodu variace konstant: I. Nejprve nalezneme obecné řešení přidružené homogenní rovnice = 2. Separací proměnných dostáváme pro 0 a 0 h = C 2, C R, ÚM FSI VUT v Brně 36

kde volba parametru C = 0 zahrnuje i nulové řešení h = 0. II. Metodou variace konstant hledejme obecné řešení rovnice (5.21) ve tvaru = C() 2, C() =? Neznámou funkci C() určíme dosazením tohoto vztahu do (5.21): C () 2 + C()2 = 2 C()2 + 1, tj. C () = 1 3. Odtud pak integrací dostáváme C() = 1 3 d = 3 d = 2 2 + C = 1 2 2 + C, kde C je obecná konstanta. Zpětným dosazením C() máme = ( 1 2 2 + C)2 = C 2 1 2, C R. Dosadíme-li nní počáteční podmínku do obecného řešení, máme C = 1 / 2, a řešení daného počátečního problému je ted tvaru = 1 2 (2 1), (0, ). Následující dva tp lze převést vhodnou substitucí na rovnici se separovanými proměnnými, resp. rovnici lineární. Rovnici B3. ODR1 tvaru =f(/) ( = f ) (5.22) lze snadno převést substitucí () = u() (stručně: = u) (5.23) na ODR1 se separovanými proměnnými. Vskutku, ze substituce (5.23) plne = u + u, takže rovnice (5.22) přejde v rovnici u + u = f(u), neboli u = 1 (f(u) u), což je ODR1 se separovanými proměnnými. Odtud ted dále pro 0 a f(u) u dostaneme rovnici v diferenciálním tvaru du f(u) u = d. Její obecný integrál vjadřuje vztah mezi proměnnými a u. Ze vztahu (5.23) plne u = /. Užitím tohoto vztahu v obecném integrálu dostaneme obecné řešení v a. Příklad 5.10. Nalezněme všechna řešení diferenciální rovnice = 2 2 2. (5.24) Řešení. Rovnici (5.24) nejprve převedeme na požadovaný tvar (předpokládáme přitom, 0). Úpravou pravé stran obdržíme rovnici = 1 ( 2 ) ( = 1 ( ) ) 1 2. ÚM FSI VUT v Brně 37

Položíme proto u = /, ted = u + u, a daná rovnice se transformuje na tvar u + u = 1 2 ( u 1 ) u nebo-li za uvedeného předpokladu 0 u = 1 u 2 + 1 2u. (5.25) Po provedení separace proměnných, integraci a následné úpravě dostáváme obecné řešení rovnice (5.25) ve tvaru u 2 = C 1, C R {0}. Zpětným dosazením substituce lze snadno určit obecné řešení rovnice (5.24) ve tvaru 2 + 2 = C, C R {0}. Obecné řešení ted opět zahrnuje všechna řešení dané rovnice, a tvoří jednoparametrickou soustavou kružnic se středem v bodě (C / 2, 0) a poloměrem C / 2. C < 0 C > 0 Obr. 5.3: Obecné řešení tvoří jednoparamterická soustava kružnic Z obr. 5.3 je rovněž patrné, že všemi bod rovin, s výjimkou bodů ležících na souřadnicových osách, prochází právě jedna funkce z obecného řešení. Bernoulliova rovnice je tvaru B4. Bernoulliova rovnice = a() + f() r, r R. (5.26) Poznamenejme, že v případě r = 0 nebo r = 1 je daná rovnice lineární, a proto budeme předpokládat r 0, r 1. Nechť dále funkce a(), f() jsou spojité v nějakém intervalu I. Ukážeme, že rovnici (5.26) lze substitucí u() = 1 r () (stručně: u = 1 r ) převést na LODR1. Vskutku, za předpokladu 0 položíme u = 1 r. Potom u = (1 r) r, takže Bernoulliova rovnice se transformuje na tvar u = (1 r)a()u + (1 r)f(), což je rovnice lineární. Tuto rovnici vřešíme (viz oddíl B2) a z jejího obecného řešení pak prostřednictvím dané substituce získáme obecné řešení původní rovnice (5.26). Kromě řešení, která dostaneme tímto postupem, má rovnice (5.26) pro r > 0 také řešení = 0. Příklad 5.11. Nalezněme řešení počátečního problému = 2 2 2, (1) = 1. ÚM FSI VUT v Brně 38

Řešení. Daná rovnice již bla řešena v oddíle B3 pomocí substituce u = /. Lze ji však také upravit na tvar = 1 2 ( 1) (tj. a() = 1 2, f() =, r = 1) (5.27) 2 a řešit ji jako Bernoulliovu rovnici substitucí u = 1 r = 2. Při dosazování substituce budeme postupovat tak, že rovnici (5.27) nejprve vdělíme faktorem r = 1 (ted vnásobíme ) a poté do ní dosadíme u = 2, resp. u = 2. Dostáváme = 1 ( ) 2 2, ted u = u. (5.28) Tuto lineární rovnici vřešíme metodou variace konstant. I. Přidruženou homogenní rovnici u = u lze řešit separací proměnných, nebo další substitucí v = u /. Oběma způsob snadno zjistíme, že II. Nechť Dosazením do řešené lineární rovnice (5.28) máme C () + C() = C() u h = C, C R. u = C(), C() =?, tj. C () = 1. Odtud C() = + C, a obecné řešení rovnice (5.28) je ted tvaru Zpětným dosazením substituce pak dostáváme u = C 2, C R. 2 = C 2, C R. Dosazením počátečního bodu (1, 1) do obecného řešení dostáváme C = 2. Protože znaménko funkce je stejné jako znaménko -ové souřadnice počátečního bodu, hledané partikulární řešení je funkce tvaru znázorněná na obr. 5.4. = 2 2, (0, 2) C = 2 1 2 Obr. 5.4: Partikulární řešení Rozmslete si přitom, proč je uvedený interval otevřený, ačkoliv krajní bod tohoto intervalu náleží do definičního oboru funkce. B5. Eaktní rovnice Předpokládejme, že jsou dán funkce P (, ), Q(, ), které jsou spojité i se svými prvními parciálními derivacemi v nějaké oblasti Ω. Eaktní rovnicí potom nazveme rovnici, kterou lze napsat ve tvaru P (, ) d + Q(, ) d = 0, ÚM FSI VUT v Brně 39

přičemž platí tzv. podmínka eaktnosti P (, ) = Q (, ). Věta 5.12. Podmínka eaktnosti je ekvivalentní s eistencí kmenové funkce Φ(, ) (potenciálu), jejíž totální diferenciál je levá strana rovnice P (, ) d + Q(, ) d (Pfaffova forma). Řešení eaktní rovnice je dáno implicitně rovnicí Φ(, ) = C. Praktický postup při určení potenciálu. Protože levá strana rovnice je totálním diferenciálem hledané funkce Φ, platí P = Φ a Q = Φ. Odtud naopak Φ(, ) = P (, ) d + C(). (5.29) Zbývá určit funkci C(). Derivujme proto vztah (5.29) podle proměnné, tj. [ Φ (, ) = Protože Φ = Q, dostáváme rovnost [ ] [ P (, ) d + C() = ] P (, ) d + C (). ] [ P (, ) d + C () = Q(, ) = C () = Q(, ) ( [ ] ) = C() = Q(, ) P (, ) d d + K, ] P (, ) d kde integrační konstantu K obvkle nepíšeme, protože ji lze zahrnout do konstant C na pravé straně rovnice Φ(, ) = C. Poznamenejme ještě, že při určení kmenové funkce Φ jsme podobně mohli začít integrací funkce Q podle proměnné a následně vzniklý výraz derivovat podle. Příklad 5.13. Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice = e 2 e. Řešení. Diferenciální tvar rovnice je }{{} e d + (e 2) d = 0. }{{} P Q Ověřme nejprve podmínku eaktnosti. Platí P = e a Q = e, tj. P = Q v celé rovině R 2. Hledejme nní kmenovou funkci Φ(, ). Φ = P d = e d = e + C() = Φ = e + C = e 2. }{{} Q Odtud a obecné řešení je dáno implicitně rovnicí C () = 2 = C() = 2 e 2 = C. ÚM FSI VUT v Brně 40

C. Eistence a jednoznačnost řešení počátečního problému pro ODR1 Zabývejme se nní otázkou, za jakých podmínek vůbec má daný počáteční problém řešení, případně, zda je toto řešení jediné. Uvažujme počáteční problém pro ODR1 = f(, ()) (5.30) ( 0 ) = 0. (5.31) Věta 5.14. (Peanova) Nechť funkce f(, ) je spojitá v dvojrozměrné oblasti Ω obsahující ve svém vnitřku bod ( 0, 0 ). Potom eistuje alespoň jedno řešení počátečního problému (5.30), (5.31), které je definované a spojité v nějakém okolí bodu 0. Interpretujme volně základní mšlenku důkazu, neboť dává současně geometrický náhled, jak konstruovat alespoň přibližné řešení daného problému. Uvažujme diferenciální rovnici (5.30) a počáteční podmínku (5.31). Z bodu ( 0, 0 ) veďme přímku o směrnici f( 0, 0 ). Na této přímce zvolme bod ( 1, 1 ), kde 0 < 1 (viz obr. 1) a proložme jím přímku o směrnici f( 1, 1 ). Na ní opět zvolme bod ( 2, 2 ), kde 1 < 2, a celý postup opakujme. Získáme tak lomenou čáru, kterou bchom mohli analogick prodloužit také nalevo od bodu ( 0, 0 ). Budeme ji nazývat Eulerovou lomenou čarou. Ω ( 1, 1 ) ( 0, 0 ) ( 3, 3 ) ( 2, 2 ) Obr. 5.5: Eulerova lomenná čára Z obrázku je zřejmé, že jsou-li úsečk obsažené v Eulerově lomené čáře dostatečně krátké, může tato čára být rozumnou aproimací hledané integrální křivk procházející bodem ( 0, 0 ). Navíc lze sestrojit posloupnost Eulerových lomených čar, která konverguje k hledané integrální křivce (pokud tato eistuje). Následující příklad nám ukáže, že předpoklad Peanov vět sice zaručuje eistenci řešení daného problému, nikoliv však jeho jednoznačnost. Příklad 5.15. Dosazením se můžeme přesvědčit, že počáteční problém = 3 2 3, (0) = 0 má řešení = 0 a = 3 (řešení vhovujících danému problému je ve skutečnosti nekonečně mnoho; k prokázání nejednoznačnosti stačí znát dvě různá řešení). Věta 5.16. (Picardova) Nechť funkce f(, ) je spojitá v dvojrozměrné oblasti Ω obsahující ve svém vnitřku bod ( 0, 0 ). Dále nechť má f(, ) v každém bodě Ω parciální derivaci f/, která je na Ω ohraničená. Potom eistuje jediné řešení počátečního problému (5.30), (5.31), které je definované a spojité v nějakém okolí bodu 0. Rovněž důkaz Picardov vět je konstruktivní v tom smslu, že udává konstrukci přibližného (v limitě přesného) řešení daného problému. Idea spočívá v zavedení posloupnosti funkcí (zvané posloupnost Picardových aproimací) tvaru 0 () = 0, ÚM FSI VUT v Brně 41

1 () = 0 + f(t, 0 ) dt, 0 2 () = 0 + f(t, 1 (t)) dt, 0... n () = 0 + 0 f(t, n 1 (t)) dt,... O této posloupnosti je pak třeba dokázat, že pro n stejnoměrně konverguje k hledanému řešení, přičemž toto řešení je určeno jednoznačně. Funkce f(, ) = 3 2 3 z předcházejícího příkladu je spojitá v jakékoliv oblasti obsahující bod (0, 0), a proto řešení daného problému eistuje. V žádném okolí tohoto bodu však není derivace f/ = 2/ 1/3 ohraničená, a proto také není zaručena (a v našem příkladě ani splněna) jednoznačnost řešení. Poznámka 5.17. Picardova věta i Peanova věta mají lokální charakter. Eistence řešení je totiž zaručena pouze v nějakém okolí bodu 0. Pro ilustraci této skutečnosti uvažujme počáteční problém = 1 + 2, (0) = 0. Tento problém má podle Picardov vět jednoznačně určené řešení, neboť f(, ) = 1 + 2, f (, ) = 2 jsou spojité funkce pro všechna reálná a všechna reálná. Neplne však odtud, že toto řešení eistuje také pro všechna reálná. Separací proměnných se lze snadno přesvědčit, že jediným řešením tohoto problému je funkce = tg, ( π/2, π/2). Ke stanovení odhadu velikosti intervalu, na němž je řešení definováno, lze užít následujícího vztahu: Nechť obě podmínk Picardov vět (f spojitá, f ohraničená) jsou splněn v obdélníku D = {(, ) : 0 a 0 + a, 0 b 0 + b} a označme M := ma{ f(, ), (, ) D}. Pak hledané řešení je definované a spojité alespoň v intervalu < 0 δ, 0 + δ >, kde ( ) b δ = min a,. M D. Základ numerického řešení počátečních problémů pro ODR1 V inženýrské prai se často setkáváme s diferenciálními rovnicemi, které nelze řešit analtick. Jedním z nejjednodušších tpů takové rovnice je tzv. Riccatiova diferenciální rovnice = a() 2 + b() + f() (ted rovnice, jejíž pravá strana je kvadratickou funkcí ). V této souvislosti nabývají na významu numerické metod řešení. V tomto oddíle se stručně seznámíme se základní mšlenkou numerického řešení počátečního problému (5.30), (5.31). Při numerickém řešení tohoto problému hledáme přibližné hodnot neznámé funkce ve zvolených bodech nějakého konečného intervalu 0, a. Tento interval rozdělíme na n stejně velkých dílků délk h = a / n bod 0 = 0, 1 = 0 + h,..., i = 0 + ih,..., n = a. Bod i budeme nazývat uzl a vzdálenost h dvou sousedních uzlů nazveme krokem. Hodnotu přesného řešení v uzlu i vjadřuje smbol ( i ) a hodnotu přibližného řešení v uzlu i označíme Y i. Jestliže se nám podaří ÚM FSI VUT v Brně 42

najít přibližné řešení Y i, kde i = 0, 1,..., n, pak lze vpočítat přibližnou hodnotu řešení () v libovolném bodě 0, a např. interpolací. Odvození jednotlivých numerických formulí spočívá nejčastěji buď v přibližné náhradě derivace () v jednotlivých uzlech i (např. pomocí diferenčního podílu), nebo v integraci rovnice (5.30) a následné přibližné náhradě vzniklého integrálu. Další možný přístup je založen na rozvoji hledaného řešení () v mocninnou (Talorovu) řadu se středem v bodě 0 a následném výpočtu příslušných koeficientů a k = (k) ( 0 )/k!. V dalším vužijeme postup založený na integraci řešené rovnice a přibližné náhradě integrálu. D1. Jednokrokové metod Jestliže rovnici (5.30) zintegrujeme v intervalu i, i+1, dostaneme takže i+1 i () d = i+1 i f(, ()) d, i+1 ( i+1 ) = ( i ) + f(, ()) d. (5.32) i Jednotlivé numerické metod se nní liší způsobem přibližného výpočtu integrálu na pravé straně (5.32). Eplicitní Eulerova metoda. Provedeme náhradu i+1 i f(, ()) d hf( i, ( i )) (v numerické matematice se tento tp náhrad nazývá obdélníková formule s uzlovým levým krajním bodem). Dosadíme-li tento vztah do (5.32), obdržíme vjádření ( i+1 ) ( i ) + hf( i, ( i )). (5.33) Tento vztah je však nepoužitelný, protože neznáme hodnotu ( i ). Proto zaměníme výraz ( i ), ( i+1 ) ve formuli (5.33) jejich přibližnými hodnotami Y i, Y i+1 a znaménko přibližné rovnosti nahradíme definitorick znaménkem rovnosti. Vztah (5.33) pak nabude tvaru Y i+1 = Y i + hf( i, Y i ). (5.34) Tento vztah je jednokroková numerická formule pro výpočet Y i+1 (neboť k výpočtu Y i+1 potřebujeme znát pouze hodnotu jedné předcházející aproimace Y i ). Protože známe Y 0 (můžeme totiž položit Y 0 = 0 ), lze postupně pomocí (5.34) vpočítat hodnot Y 1, Y 2,..., Y n. V této souvislosti ještě zdůrazněme, že aproimace Y i+1 je vjádřena na levé straně formule (5.34) eplicitně (není již obsažena na pravé straně), což usnadňuje výpočet. Metod s touto vlastností se nazývají eplicitní. Protože právě uvedený postup je spojován se jménem L. Eulera (z geometrického hlediska je metoda založena na konstrukci Eulerových lomených čar), tvoří předpis (5.34) základ tzv. eplicitní Eulerov metod. Vztah (5.34) jsme získali heuristick; je nutno zdůvodnit, že přibližné hodnot Y 1,..., Y n jsou rozumnou aproimací přesných hodnot ( 1 ),..., ( n ). Bez důkazu uveďme, že řešíme-li pomocí formule (5.34) s dostatečně malým krokem h konkrétní počáteční problém (5.30), (5.31), pak eistuje konstanta K > 0, nezávislá na h, taková, že ( i ) Y i Kh, i = 1,..., n. (5.35) Výraz ( i ) Y i představuje tzv. globální chbu aproimace Y i. Přívlastek globální zde znamená, že do této chb se promítají nepřesnosti způsobené přibližným výpočtem všech předcházejících hodnot Y 1,..., Y i 1. Numerické metod s odhadem globální chb tvaru (5.35) se nazývají metod 1. řádu přesnosti, a to podle první mocnin kroku h uvedené ve vztahu (5.35). Z tohoto vztahu rovněž plne, že blíží-li se délka kroku k nule, pak se přibližné hodnot řešení v uzlech i blíží k přesným hodnotám; jinak vjádřeno, uvedená metoda konverguje. Implicitní Eulerova metoda. Nní se vrátíme zpět ke vztahu (5.32), z něhož jsme pomocí náhrad integrálu obdélníkovou formulí s uzlovým levým koncovým bodem odvodili eplicitní Eulerovu metodu. Provedeme-li náhradu obdélníkovou formulí s pravým koncovým bodem, tj. i+1 i f(, ()) d hf( i+1, ( i+1 )), ÚM FSI VUT v Brně 43

obdržíme analogickým postupem implicitní Eulerovu metodu Y i+1 = Y i + hf( i+1, Y i+1 ), (5.36) kde i = 0, 1,..., n 1. Hledaná aproimace Y i+1 se ted vsktuje i na pravé straně (5.36), a k jejímu určení je třeba řešit obecně nelineární rovnici pro Y i+1. Lze ukázat, že tato metoda je opět prvního řádu přesnosti, tj. platí vztah (5.35). Komplikace, způsobená obtížemi při určování Y i+1 ze vztahu (5.36) je vvážena několika přednostmi. V následující poznámce zmíníme nejvýznamnější z nich. Stabilita implicitní formule. Uvažujme počáteční problém Jeho přesné řešení je tvaru () = e λ. Je proto přirozené požadovat Eplicitní Eulerova formule aplikovaná na (5.37) dává = λ (λ < 0), (0) = 1. (5.37) Y i > 0, i = 1, 2,.... (5.38) Y i+1 = Y i + hλy i = Y i (1 λ h). Z požadavku (5.38) v tomto případě plne (je totiž Y 0 = 1 > 0) 1 λ h > 0, tj. h < 1 λ. (5.39) Jestliže λ 1, je podmínka (5.39) značným omezením na délku kroku h. V případě implicitní Eulerov formule platí takže Y i+1 = Y i + hλy i+1 = Y i h λ Y i+1, Y i+1 = Y i 1 + λ h. Protože Y 0 = 1, je požadavek (5.38) splněn bez jakéhokoliv omezení na délku kroku h. Na řešení modelové úloh (5.37) jsme ukázali, že eplicitní Eulerova metoda je podmíněně stabilní, neboť v některých případech dává rozumné výsledk jen pro velmi malá h. Naopak implicitní Eulerova metoda je bezpodmínečně stabilní, tj. umožňuje řešit modelovou úlohu (5.37) bez omezení délk kroku h. Obecněji lze ukázat, že všechn bezpodmínečně stabilní metod jsou metod implicitní. Modifikace Eulerov metod. Eulerova metoda, popsaná v předcházející části, je metoda jednoduchá, avšak málo efektivní. Pro dosažení rozumné přesnosti je nutné volit (a to u eplicitní i implicitní formule) malý krok, ted velký objem výpočtů. Naznačíme proto způsob, jak lze např. eplicitní Eulerovu metodu zpřesnit. Vjděme opět ze vztahu (5.32). Jestliže integrál na pravé straně nahradíme vztahem i+1 i f(, () d h 2 [f( i, ( i )) + f( i+1, ( i+1 ))] (nazývaným lichoběžníková formule) a tuto náhradu dosadíme do (5.32), pak je tato úvaha základem tzv. lichoběžníkové metod Y i+1 = Y i + h 2 [f( i, Y i ) + f( i+1, Y i+1 )]. (5.40) Tuto implicitní metodu lze zapsat v eplicitním tvaru, nahradíme-li hodnotu Y i+1 na pravé straně (5.40) pomocí eplicitní Eulerov metod (5.34). Tímto dosazením dostáváme tzv. modifikaci Eulerov metod. Obě formule jsou metod 2. řádu přesnosti. Jinak vjádřeno, pro daný počáteční problém (5.30), (5.31) eistuje konstanta K > 0, nezávislá na h, taková, že volíme-li v uvedených formulích krok h dostatečně malý, pak platí ( i ) Y i Kh 2, i = 1,..., n. ÚM FSI VUT v Brně 44

Modifikace Eulerov metod představuje oproti eplicitní Eulerově metodě (5.34) ještě jeden rozdíl. Pro výpočet Y i+1 je nutné určit hodnotu funkce f(, ) ve dvou různých bodech. Metod s touto vlastností se nazývají dvoubodové. Eplicitní Eulerova metoda ted bla metoda jednobodová (při určování Y i+1 počítáme hodnotu f(, ) pouze v jednom bodě). Poznamenejme, že počet bodů, v nichž je nutné při výpočtu Y i+1 včíslit hodnotu funkce f(, ), je jednou z nejvýznamnějších charakteristik efektivnosti výpočtu. Zmíněné modifikace Eulerov metod patří mezi tzv. Rungov-Kuttov metod. Bez odvození uvedeme pouze nejznámější z nich, která je čtvrtého řádu přesnosti. Její schéma je tvaru kde Y i+1 = Y i + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), k 1 = f( i, Y i ), k 2 = f( i + h/2, Y i + hk 1 /2), k 3 = f( i + h/2, Y i + hk 2 /2), k 4 = f( i + h, Y i + hk 3 ). Výhodou jednokrokových metod tohoto tpu je mimo jiné skutečnost, že po výpočtu každého Y i+1 lze změnit délku kroku. Velkou nevýhodou této formule je, že se jedná o metodu čtřbodovou, přičemž vpočtené veličin k 1,..., k 4 není možno v dalším kroku vužít. Tato metoda je náročná na čas a užívá se zejména v kombinaci s tzv. vícekrokovými metodami, o nichž pojednáme v následujícím oddíle. D2. Vícekrokové metod Vícekrokovými metodami rozumíme metod, jejichž předpis pro výpočet aproimace Y i+1 závisí na více předcházejících aproimacích (nikoliv ted pouze na Y i ). Mezi nejužívanější vícekrokové metod patří metod Adamsov. Adamsov eplicitní metod. Při jejich odvození opět vjdeme z rovnosti ( i+1 ) ( i ) = i+1 i f(, ()) d (viz vztah (5.32)). Nahradíme-li funkci f(, ()) polnomem 1. stupně procházejícím dvěma bod ( i 1, f( i 1, ( i 1 ))) a ( i, f( i, ( i ))), pak po úpravě dostáváme ( i+1 ) ( i ) h 2 [3f( i, ( i )) f( i 1, ( i 1 )]. Odpovídající numerická formule je ted dána vztahem Y i+1 = Y i + h 2 [3f( i, Y i ) f( i 1, Y i 1 )]. (5.41) Tato formule je eplicitní dvoukroková metoda (k výpočtu Y i+1 je třeba znát dvě předcházející aproimace Y i, Y i 1 ). Známe-li ted Y 0, Y 1, můžeme z (5.41) určit Y 2, Y 3,..., Y n. Při stanovení Y 0, Y 1 položíme jako obvkle Y 0 = 0 a Y 1 vpočteme vhodnou jednokrokovou metodou (tj. jednokrokovou metodou téhož řádu). Lze ukázat, že metoda (5.41) je metoda druhého řádu přesnosti, a proto k určení Y 1 můžeme užít např. modifikaci Eulerov metod. Všimněme si, že při každém použití formule (5.41) se počítá jen jedna hodnota f( i, Y i ), neboť hodnota f( i 1, Y i 1 ) již bla vpočtena při předcházejícím použití této formule. Metoda (5.41) je ted jednobodová. Jestliže funkci f(, ()) nahradíme polnomem vššího stupně, obdržíme další vícekrokové formule z tříd Adamsových metod. Proložíme-li např. čtřmi bod ( i, f( i, ( i ))), ( i 1, f( i 1, ( i 1 ))),..., ( i 3, f( i 3, ( i 3 ))) interpolační polnom 3. stupně, pak lze analogickou úvahou jako v předcházejícím případě odvodit příslušnou čtřkrokovou eplicitní formuli. Adamsov implicitní metod. Zcela analogick lze odvodit Adamsov vícekrokové implicitní metod. Jediný rozdíl spočívá v tom, že mezi interpolační bod zahrneme také bod ( i+1, f( i+1, ( i+1 ))). Proložímeli ted např. čtřmi bod ( i+1, f( i+1, ( i+1 ))), ( i, f( i, ( i ))),..., ( i 2, f( i 2, ( i 2 ))) ÚM FSI VUT v Brně 45

polnom 3. stupně, odvodíme po obvklých úpravách tříkrokovou implicitní formuli. D3. Metod tpu prediktor-korektor V tomto odstavci se ještě jednou vrátíme k otázce implicitních metod. Připomeňme, že při jejich užití je nutné řešit v každém kroku výpočtu (obecně nelineární) rovnici pro Y i+1. Nejobvklejší způsob řešení tohoto problému spočívá v tom, že implicitní formule sdružujeme s vhodnými eplicitními formulemi do dvojic, které současně užíváme v tzv. metodách prediktor korektor (česk: předpověď oprava). Danou eplicitní formulí se předpoví hodnota Y i+1, která se pak koriguje implicitní formulí. Jako prediktor a korektor je vhodné volit formule stejného řádu přesnosti. Například pomocí (5.41) a (5.40) obdržíme algoritmus P: Yi+1 = Y i + h 2 [3f( i, Y i ) f( i 1, Y i 1 )], K: Y i+1 = Y i + h 2 [f( i+1, Yi+1 ) + f( i, Y i )], který je tvořen eplicitní a implicitní formulí druhého řádu přesnosti. Smbol Yi+1 zde značí předpovězenou hodnotu a smbol Y i+1 hodnotu korigovanou. Shrnutí poznatků Občejná diferenciální rovnice je rovnice, jejíž neznámá je funkce (jedné proměnné), a která obsahuje derivaci (příp. derivace) této neznámé funkce. Řád nejvšší derivaci pak nazveme řádem rovnice. Rovnice tohoto tpu hrají zásadní roli při modelování mnoha technických a přírodovědných problémů. Ab tto model měl řešení určeno jednoznačně, je třeba s danou rovnicí uvažovat i doplňující podmínk, jejichž počet je roven řádu rovnice. Jsou-li tto podmínk předepsán pouze v jednom (nejčastěji počátečním) bodě, nazývají se podmínkami počátečními. Jsou-li předepsán v různých (nejčastěji okrajových) bodech, nazývají se podmínkami okrajovými. Pro několik speciálních tpů diferenciálních rovnic prvního řadu (a později uvidíme, že nejen prvního řádu) jsou znám metod vedoucí k nalezení přesného řešení. V obecném případě musíme přistoupit k numerickému (tj. přibližnému) řešení. Při jeho použití je vhodné mít k dispozici informaci, že daný počáteční problém má právě jedno řešení; z matematického hlediska tuto informaci dává Picardova věta. Numerické řešení je pak obvkle založeno na přibližné náhradě derivace hledané funkce, příp. na integraci diferenciální rovnice a následné přibližné náhradě integrálu. Právě způsob a přesnost této náhrad je rozhodující při odvozování jednotlivých numerických metod. Tto metod se klasifikují z několika hledisek. Mezi nejdůležitější hlediska patří konvergence metod, stabilita, objem výpočtů a odhad chb. ÚM FSI VUT v Brně 46