rtogrficé list 9 h cosϕ cos λ e si ϕ h cosϕ si λ e si ϕ e Miloš Vľo VÁJEMNÉ POROVNÁNÍ AGORITMŮ PRO TRANSFORMACI SOUŘADNIC MEI SOUŘADNICOVÝMI SSTÉM Vľo M: Mutul compriso of lgorithms for coordite trsformtio etwee coordite sstems rtogrficé list 9 3 figs 5 refs Astrct: I preset mutul sptil trsformtios etwee two closed coordite sstems re widel used i geodes d crtogrph Trsformtio etwee Crtesi d curvilier coordites two sptil coordite sstem d etwee two ellipsoidl sstems re discussed here ewords: sptil trsformtio miimum distce mppig procrustl procedure e h si ϕ si Úvod V součsé doě můžeme v odoré litertuře lét moho lgoritmů pro trsformci rtésých souřdic Něteré ich se ěžě používjí v moh plicích ěteré vůli své výpočetí áročosti ešli své upltěí O utosti čsté trsformce souřdic mei souřdicovými sstém sd eí i uto hovořit Použití roličých souřdicových sstémů jedom úemí v historicém průěhu eo ve světě je toho jsým důem Čláe má cíl přilížit půso trsformce souřdic mei dvěm líými souřdicovými sstém N áldě splěí tohoto poždvu le rodíl mei sstém poměrě lieriovt Trsformce rtésých souřdic elipsoidicé Při trsformci geocetricých prvoúhlých rtésých souřdic ísých př ěterou moderích prostorových techi ejčstěji GNSS přijímčem prvoúhlé řivočré souřdice φλh vthujíce se voleému referečímu elipsoidu ríme prolém s jejich lticým vjádřeím ejmé elipsoidicé šíř φ j je to ptré e vthů Pic 998: ϕ odud le přímo vjádřit jeom elipsoidicou délu λ pomocí podílu souřdic pro dý od Teto prolém s oretím vjádřeím elipsoidicé šíř φ se řeší ejčstěji pomocí itercí protože při pousu o lticé vjádřeí elipsoidicé šíř φ oecě dospějeme lgericé rovici vššího stupě terá má oecě hed ěoli reálých ořeů co vede ejedočosti určeí příslušé souřdice V litertuře se můžeme sett s lgoritm teré jsou speciálě uprvová pro Ig Miloš VAĽO PhD ápdočesá Uiverit v Pli Uiverití 34 Pleň e-mil: mvlo @mcuc 4
5 výšeí rchlostí overgece př Bowlig 976 terá pro určeí elipsoidicé šíř φ používá jeom jedu iterci přesost tového půsou je vš ávislá vdáleosti trsformového odu ploše dvojosého rotčího elipsoidu tj od elipsoidicé výš or Or Vth mei prvouhlými elipsoidicými souřdicemi ritérium miimálí vdáleosti V ásledujícím odstvci le lét jiý půso řešeí prolému terý vcháí odlišého pohledu prolém Teto přístup se v odoré litertuře očuje pojmem Miimum distce mppig je ložeý hledáí souřdic odpovídjícího odu cháejícího se povrchu dvojosého rotčího elipsoidu terý se cháí v ejližší vdáleosti od trsformového odu P Řešeí je p miimum vričí fuce Awge et l 5: de jsou dé souřdice odu jsou určová souřdice příslušého odu ploše elipsoidu Smol de čí osttu pro grgeův multipliátor Řešeí musí splňovt podmíu ulových hodot prciálích derivcí ve směrech všech souřdic grgeovho multipliátor: 3 O tom že leeé řešeí je sutečě miimem fuce se můžeme přesvědčit výpočtem druhých prciálích derivcí teré pro hodotu miim musí doshovt utě ldé hodot Rošířeá vere Newto-Rlphsoov metod Dlším e půsoů j se dívt prolém určeí poloh odu ploše elipsoidu je prostředíctvem Newto-Rlphsoov metod Nejdříve si de vedeme ové proměé αβγ sledově Awge et l 5: γ β α co jsou v podsttě slož vetoru P P v směru souřdicových os Pro od elipsoidu p pltí vth: 4 [ ] γ β α
eo α β γ α β γ 5 Jestli si ve vthu 5 vedeme ormličí prmetr terým vdělíme celý vth p le vth 5 předpoldu eulové hodot prmetru uprvit do tvru vhodějšího pro umericé výpočt: α β γ α β γ Jestliže m 4 což ste v přípdě že od se souřdicemi leží povrchu elipsoidu p je řešeím α β γ m Dostli jsme ted jedu rovici pro tři eámé prmetr α β γ Pro ísáí jediého řešeí této poturčeé úloh je uto vést dodtečé podmí co je de podmí miim čtverce vdáleosti d α β γ odu od elipsoidu Sd ejvětší výhodou tohoto lgoritmu je sutečost že při trsformci líých odů udou prmetr α β γ mít téměř stejé hodot co se dá použit jo počátečí hodot eámých prmetrů pro trsformci vájemě líých odů 3 Výpočet elipsoidicých souřdic Po výpočtě poloh odu ploše elipsoidu tj po určeí hodot α β γ elipsoidicé souřdice ϕ λ h ísme pomocí vthů: tϕ γ α β β t λ α h α β γ 6 eo hodot de se s výhodou používá sutečost že vetor urče ocovými od P P je ároveň vetorem vější ormál ploše elipsoidu Ted veliost vetoru přímo určuje délu vější ormál ploše od odu elipsoidu po dý od což je v podsttě lsicá defiice elipsoidicé výš e směrováí vetoru le jistit hodot osttích elipsoidicých souřdic ϕ λ Prostorová trsformce mei dvěm sstém dž se používjí souřdice růých drojů je dost čstým prolémem že můžou ýt vtáhut růým souřdicovým sstémům ted růým elipsoidům eo rodílým čsovým epochám stejého geodeticého sstému Ted pro dlší použití těchto dt je etá trsformce všech souřdic do stejého sstému V odorí litertuře se dává předost oformím trsformcím u ichž edocháí e měě tvru trsformového ojetu tj může při trsformcí dojít posuu ojetu může se měit orietce ojetu vůči souřdicovým osám le esmí dojít e měě vitřích úhlů ojetu Burš-Wolfův model pro trsformci prostorových souřdic U tohoto modelu terému se ttéž říá sedmiprvová trsformce jsou iformce mei dvěm prvoúhlými rtésými sstém dá pomocí sedmi prmetrů: vetorem mě počátu souřdicových sstémů 3 prmetr prmetr reltiví mě měřít mei sstém prmetr rotčí prmetr teré určují vth mei směr souřdicových os oou souřdicových sstémů 3 prmetr or Vetorově le prolém pst v tvru Heft Husár 3: R U 7 T δ 8 6
T je vetor mě počátu souřdicových os vetor trslce δ je eroměrá hodot reltiví mě měřít mei o sstém R předstvuje rotčí mtici popisující měu orietcí os souřdicového sstémů U předstvuje vetor původích souřdic Rotčí mtice R je mtice terá vie slárím součiem tří rotčích mtic terých ždá je rotčí mticí epečující rotcí souřdicového sstému olem jedé e souřdicových os tj R R ε ψ ω R ω R ψ R vlstostí částových rotčích mtic de předstvuje trsformový vetor T 3 ε R R R 3 tj rotčích mtic jeom olem jedé e souřdicových os je ámo že jsou to mtice ortogoálí proto i celová rotčí mtice R musí ýt mticí ortogoálí tj musí pro í pltit: det R Reltiví mě měřít δ je veličiou e teré le jistit j se měí délové poměr po trsformci Při ldé hodotě tohoto prmetru docháí árůstu dél op u áporé hodot tohoto prmetru se hodot dél op meší Nulová hodot prmetru ám epečí že trsformcí se orec vůec edeformuje co cháí své vužití v moh plicích Or Vth mei prostorovými sstém Molodesého-Bdesov úprv modelu Použití Burš-Wolfov modelu má esporě své výhod: model je čě jedoduchý jedotlivé prmetr mjí svou geometricou iterpretci e čým omplicím může docháet při se o určeí hodot trsformčích prmetrů trsformčího líče trsformce Při tvorě tv loálího trsformčího líče tj líče u terého jsou ideticé od rolohou útvru mlé ploše docháí umeric velice šptě podmíěé mtici soustv ormálích rovic co má přímý důslede umericou stilitu prolému určeí eámých prmetrů etrémí citlivost řešeí vrici vstupých prmetrů Proto se čsto vth 8 ještě před smotím použitím mírě modifiuje volí se vhodě vrý vtžý od U e terému se p vtáhou všech hodot souřdic čím se 8 měí tvr Heft Husár 3: T U δ R U U 9 umericého hledis je výhodé volit vtžý od v těžišti ideticých odů co výší počet ulových prvů v soustvě ormálích rovic ulehčí t výpočet iverí mtice Je uto ještě podotout sutečost že vth 8 9 ejsou úplě omptiilí tj použitím prvího eo druhého vthu dosteme lišící se hodot eámých trslčích prmetrů v ávislosti jejich veliosti Tto mě emá vliv hodotu měřítového ftoru rotčí úhl Pro přímý odhd eámých prmetrů pomocí MNČ se vth 9 ještě mírě uprví vhodější tvr: U T R U U 7
de mtice R má tvr: de se předpoládjí velmi mlé hodot rotčích úhlů mlá hodot reltivého měřít čím le rovojů pro trigoometricé fuce rotčích úhlů vít jeom prví čle rovoje edt čle všších řádů čímž se výrě jedoduší mtice Je uto ještě podotout že tto úprv mjí ásdí vliv vlstost ortogolit jedodušeé mtice eoť mtice už emá jedotový determit 3 Postup ložeý miimlici rotčích úhlů Teto postup v litertuře očový jo Procrustes lgorithm je ložeý ásledující mšlece: mějme dv líé sstém A B hledáme tovou rotčí mtici T terá v mimálí možé míře tto dv sstém totoží Mír totožěí je vjádřeá hodotou orm Awge et l 5: A BT tr[ A T B A BT ] terá má ýt miimálí Úprvou dosteme: A BT tr [ A T B A BT ] tr A A A BT B B e vthu le vvodit ávěr že úloh miimlice výru A BT je totožá s úlohou mimlice výru tr ABT protože stop mtic tr AA tr BB ejsou ávislé hodotě rotčí mtice T Dále se udeme ývt plicí této mšle sedmiprvovú trsformci defiové v podpitole Pro trsformci pltí Awge et l 5: de mtice vstupých origiálích souřdic mtice ových souřdic mjí tvr: veliči R předstvuje měřítový prmetr sloupcový vetor R je vetor trslce 33 3 3 mtice 3 R je rotčí mtice mtice l R je jedotovou mtici mtice E R je mtice áhodých ch Cílem je miimliovt semiormu Froeiov chové mtice: 3 E 3 l W W 3 3 mi 5 tr l W l Pro derivci vričí fuce podle vetoru trslce pltí: l Wl 3 Wl 6 8 Můžeme ted pst: δ R ω ψ W ω δ ε E tr E WE ψ ε δ l E 3 3 3 4
Odud le vjádřit trslčí vetor áldě losti měřítového prmetru Vth 5 p můžeme uprvit tvr: 3 tr [ 3 l Wl ll W 3 ] W 7 co le po vedeí mtice I l Wl ll W [ l Wl ll W ]} C 3 pst ve tvru: { 3 3 } tr [ ] C WC [ ] 3 odud le měřítový ftor vjádřit ve tvru: tr [ C WC 3 ] tr[ C C ] 8 9 Doseím 9 do 6 le vjádřit vetor trslce Rotčí mtici 3 le íst pomocí lgoritmu deompoice sigulárích vlstích čísel vlitu trsformce popisuje: E tr E WE / l W l l 3 de je počet odů pro trsformci E l je empiricá chová mtice dá vthem: [ I ll W l Wl ]{ V } E l U 3 Trsformce elipsoidicých souřdic Jestli je potře vot trsformci jeom elipsoidicých souřdic e použití iformce o elipsoidicé výšce eo elipsoidicé výš ejsou dispoici p je dispoici mtemticý prát trsformce souřdic terý je vhodý ejmé v mlých lolitách or 3 3 Or 3 Trsformce elipsoidicých souřdic Nechť ϕ λ je vetor trsformových souřdic ϕ λ je vetor origiálích souřdic Mei těmito sstém le pst mtemticý vth: mr de vetor předstvuje vetor posuu počátu souřdicového sstému slárí prmetr m předstvuje měřítový ftor mtice R je ortogoálí rotčí mtice Jestli se jedá o dv vájemě líé sstém le vot proimci ve formě ortogoálí projece odů povrchu dvojosého rotčího elipsoidu do tgeciálí rovi elipsoidu ve vhodě voleém odě de se doporučuje použít těžiště orce origiálích souřdic Prolém p přejde do tvru: M ϕr M ϕ N cosϕt λr N cosϕt λ cosα si α r m siα cosα N cosϕ T λr Mϕ 9
de M M N N jsou meridiáové příčé poloměr řivosti defiové př v Cimálí Mervrt 997 počíté pro těžiště útvru ϕ T dále ϕ r ϕr λr λr jsou reduová hodot elipsoidicých souřdic v oou sstémech m je měřítový ftor α je úhel pootočeí sstému defiový ldě v ldém smslu předpoldu líosti souřdicových sstémů le položit M M N N ϕ ϕ čím se prolém jedoduší tvr: cosα siα m e e siα cosα e Vth le předpoldu mlé hodot měřítového ftoru m mlé hodot rotčího úhlu α po roviutí trigoometricých fucí eámých veliči do Tlorov rdu e terého se použije jeom prví čle edjí se čle všších řádů uprvit tvr: Po trsformci se hodot 3 m e e α 3 e vrátí pát elipsoidicé souřdice pomocí pětého převodu: e ϕ ϕt λ λt M N cosϕ 4 ávěr Výěr vhodého lgoritmu pro trsformci prvoúhlých souřdic řivočré elipsoidicé souřdice terý je rchlý v rámci poždové vlit přesý výěr vhodého půsou prostorové trsformce souřdic jo i vájemé trsformce elipsoidicých souřdic jsou prolém se terými se potáváme při své práci téměř ždý de Cílem čláu lo porováí filoofie trsformcí vájemé porováí jedotlivých přístupů Nele jedočě stovit ejvhodější trsformci v ždé tegorii toto rohoduti musí udělt ždý uživtel áldě svých poždvů přesost rchlost trsformce itertur AWANGE J GRAFAREND E W PAÁNC B AETNI P 5 Algeric geodes d geoiformtic Berli Spriger Verlg BOWRING B R 976 Trsformtio from sptil to geogrphicl coordites Surve review III 3 8 s 33-37 CIMBÁÍ M MERVART 997 Všší geodéie Prh Vdvtelství ČVUT HEFT J HUSÁR 3 Družicová geodéi Gloál polohový sstém Brtislv Vdvteľstvo STU PIC M 998 Geodéie Souřdicové sstém oreí Brtislv Vdvteľstvo STU S u m m r Mutul compriso of lgorithms for coordite trsformtio etwee coordite sstems Choice of the est optiml w to trsform coordites from Crtesi to ellipsoidl coordites sptil coordites etwee two close coordite sstems or trsformtio of coordites etwee two close coordite sstems o ellipsoid is compromise etwee chieved ccurc of trsformtio d speed of trsformtio process This decisio must do ever user se o his eeds Fig Reltio etwee sptil d curvilier coordites Fig Reltio etwee sptil coordite sstems Fig 3 Trsformtio of ellipsoidl coordites Receovl: prof Ig Bohuslv VEVERA DrSc Česé vsoé učeí techicé v Pre Fult stveí Prh Česá repuli α m e T