VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0. Projekt je spolufinancován z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky.
Obsah Hodnost matice 3 Soustavy lineárních rovnic úpravami matic 5 Determinanty 7 Kvadratické rovnice a nerovnice 9 Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 0 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Rovnice s parametrem Reciproké rovnice 3 Eponenciální rovnice a nerovnice Logaritmické rovnice a nerovnice 5 Limita funkce 6 Užití limit výpočet asymptot 7 Derivování základních elementárních funkcí 9 Derivování goniometrických funkcí 0 Derivování eponenciálních a logaritmických funkcí Derivování cyklometrických funkcí Derivování hyperbolických funkcí 3 Logaritmické derivování Průběh funkce 5 Využití derivací ve fyzice 7 Úlohy z kinematiky 30
Hodnost matice Hodnost matice je číslo, které udává maimální počet jejích lineárně nezávislých řádků (sloupců). Má-li matice M hodnost h, píšeme h(m) h. Určování hodnosti matice podle uvedené definice je pracné, proto se používá jiný způsob ekvivalentních úprav na matici v tzv. schodovitém tvaru: Říkáme, že matice A typu (m, n) má schodovitý tvar, právě když každý nenulový řádek matice začíná větším počtem nul než řádek předcházející. Příklad: S 3 6 0 0 5 0 0 3 8 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 7 Ekvivalentní úpravy matice hodnost matice se nezmění těmito úpravami:. Záměna pořadí řádků matice.. Libovolný řádek matice se vynásobí nenulovým číslem. 3. K libovolnému řádku matice se přičte lineární kombinace jiných řádků.. Vynechá se nebo připojí řádek, který je lineární kombinací jiných řádků. Hodnost matice se nezmění ani analogickými úpravami se sloupci matice. Příklad : Určete hodnost matice A. A 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 7 6 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 7 5 Závěr: Hodnost matice h(a) (výsledkem jsou lineárně nezávislé řádky). 3
Příklad : Určete hodnost matice B. 9 8 7 6 7 5 3 6 7 5 3 9 8 7 3 5 3 5 6 0 33 39 3 0 6 0 3 Vynecháním. i 3. řádku (každý je násobkem. řádku) získáme matici ( 6 ) 0 3 o dvou lineárně nezávislých řádcích. Závěr: Hodnost matice h(b). Úlohy hodnost matice. Bez výpočtu určete hodnost matic: A ( 3 3 ), B. Určete hodnost matic: ( ) A, B 0 ( 0 ) ( 3 5, C ), C 3 3 3 3. Určete hodnost matic: 3 0 3 5 5 K 3 7 5, L 7 8 3 6 0 3 5 7. Čtvercová matice A n se nazývá regulární, jestliže hodnost h(a n ) n. Není-li čtvercová matice A n regulární, nazývá se singulární. Určete, které z následujících matic jsou regulární a které singulární. C A ( 3 5 0 0 0 ), B, D 3 3 3 0 0 3 0 3 3 0
Soustavy lineárních rovnic úpravami matic V soustavě m lineárních rovnic o n neznámých (,,..., n ): a + a +... + a n n b a + a +... + a n n b.................................... a m + a m +... + a mn n b m představují a ik koeficienty a čísla b, b,..., b m absolutní členy soustavy. U každé soustavy rozlišujeme dvě matice: matici soustavy A, která je typu (m, n), a rozšířenou matici soustavy B, která je typu (m, n + ): a a... a n a a... a n A....., B. a m a m... a mn Věta řešitelnost soustavy lineárních rovnic. h(a) < h(b) soustava nemá řešení. a a... a n a a... a n...... a m a m... a mn. h(a) h(b) n soustava má právě jedno řešení. 3. h(a) h(b) < n řešení některé neznámé volíme (parametry). Příklad : Řešte soustavu rovnic: + 3y z + y 3z + w 3 + y + z w 3 + y z + w Sestavíme rozšířenou matici soustavy a převedeme ji do schodovitého tvaru: 3 0 3 3 3 0 3 3 6 0 7 5 0 5 3 9 0 3 3 6 0 0 5 8 3 0 3 3 6 0 0 5 8 3 0 0 9 3 0 0 0 7 08. řádek: w 08 ;. řádek: y (6 3w + z) ; 7 3 3. řádek: z 75 (3 + 8w) 3;. řádek: ( w + z y) 5 5 Řešení: [, y, z, w] [,, 3, ] 5 b b. b n
Úlohy soustavy rovnic Řešte následující soustavy lineárních rovnic:. + y 8 t. y 6 y + z 8 y + t z y 0 z + u z t z u 6 nemá u + 8 u t u řešení 3. + + 3 3 + 7 + + 3 + 3 6 3 + + 3 + 7 3 5 + 3 + 3 + 8 3. + 3 3 + 5 5 7α + 9β + 3 3 3 + + 0α 7β 3 + 5 + 3 5 3 α + 3 + 3 7 β 5. + 3 3 + 3 3 + 3 8 + 3 3 0 nemá + 6 3 + 3 řešení 6. p + q + 3r p q + r + 3s 7 q r + s + 3t r 3 s + t + 3p 8 s 3 t + p + 3q 9 t 7. 3 + 8 3 + 5 5 + 9 + 3 + 5 0 + 5 + + 5 3 7 + 9 3 + + 3 5 3 + 3 + 3 + 3 + 5 5 5 6 6
Determinanty Determinant je číslo, které lze podle určitých pravidel přiřadit čtvercové matici A řádu n. Formálně jej značíme svislými závorkami: det A A a a... a n a a... a n...... a n a n... a nn a Determinant. stupně: A a a a a a a a např. 7 6 0 6 7 Determinant 3. stupně: a a a 3 a A a a a 3 a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 + a 3 a 3 a 33 a 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a 3 9 3 ( ) + ( 3) 3 + 9 5 ( 3) 5 9 ( ) 3 00 3 5 Determinanty od. stupně výše se počítají rozvojem podle prvků některého řádku/sloupce: 8 6 9 3 9 3 9 3 ( ) 7 9 + 7 9 + ( ) + 8 9 + 5 7 0 7 0 5 0 3 9 +( ) +3 7 9 + ( ) + ( 6) 7 5 7 0 5 7 68 8 0 + 6 + 6 6 Úlohy vypočtěte determinanty: 5 8 3 A 6 7 B 3 0 5 6 C 3 0 3 5 6 8 7 Řešení: A 5, B 0, C 00 7
Využití determinantů soustavy lineárních rovnic Cramerovo pravidlo Nechť A je matice systému n lineárních rovnic o n neznámých: a + a +... + a n n b a + a +... + a n n b ().................................... a n + a n +... + a nn n b n Nechť A k je determinant matice, která vznikne z matice A nahrazením k-tého sloupce sloupcem absolutních členů. Pak platí:. Systém () má právě jedno řešení A 0 a k A k, k,..., n. A. Jestliže A 0, pak systém () má buď řešení nebo žádné řešení. Příklady řešte soustavu rovnic:. 3 + 3 3 7 3 + 3 8 + 7 3 A A 3 3 3 7 3 7 3 8 7 5 A 0 A 3 7 3 8 3 7 3 7 3 8 5 0 Kořeny rovnice: 5 5 3, 0 5, 3 0 5. 7 5 + 3 3 0 3 + 9 + 6 3 9 [Řešení: 5,, 3 ] 8
Kvadratické rovnice a nerovnice A. V množině R řešte rovnice:. ( 3) 3 ( ) (5+ 3) 0. + 0 3. ( ) [ (+)] 3[( ) ( ) ]. + + 9 5. + 6. + 6 + 0 + 6 7. 3 3 + + ( + ) B. V množině R řešte nerovnice: 8. 5 0 9. 6 + 8 + > 0 0. ( + 6)( + ) ( + 5). 5 + 5 50 > 0. + 3 < + 3. + >. 3 C. Slovní úlohy 5. Ze stanice má být vypraveno vlaků, z nichž každý má po 35 vagónech. Aby se ušetřilo několik lokomotiv, zmenší se počet vlaků tím, že ke každému vlaku bude přidáno tolikrát po pěti vagónech, kolik lokomotiv bude ušetřeno. Tak budou vypraveny všechny vagóny. Kolik lokomotiv bude uvolněno k provedení údržby? 6. Obrázek znázorňuje průřez komínem. Obsah vnitřního obdélníku je pětkrát menší než obsah vnějšího obdélníku. Určete šířku zdiva označenou z. z 3 m m 7. Kupec koupil koně a po nějakém čase ho prodal za pistolí. Přitom ztratil tolik procent, kolik pistolí jej kůň stál. Za kolik pistolí koně koupil? (Bézoutova úloha, 8. století) 8. Určete všechna dvojciferná přirozená čísla, která mají tu vlastnost, že číslice na místě jednotek je o menší než číslice na místě desítek a přitom součin tohoto čísla a součtu jeho číslic je přirozené číslo menší než 0. 9. Aby byla zajištěna návaznost na několik dalších spojů, je třeba, aby rychlík zvýšil svou průměrnou rychlost o 9 km, neboť tak ujede svou trať 80 km o 0 minut dříve než při h původní rychlosti. Za jak dlouho projel rychlík trať původní rychlostí? 0. Třída na brigádě byla rozdělena na dvě skupiny. První skupina nasbírala za den 60 kg brambor, druhá, v níž bylo o žáky více, 356 kg. Výkon druhé skupiny byl o 6 kg na žáka větší. Určete počet žáků ve třídě.. Po kružnici se v opačných směrech pohybují dvě tělesa: jedno rovnoměrně rychlostí v, druhé rovnoměrně zrychleně se zrychlením a. V okamžiku t 0 se obě tělesa nacházela v témže bodě A a rychlost druhého tělesa byla rovna nule. Za jakou dobu dojde k prvnímu setkání, když ke druhému setkání dojde opět v bodě A? Řešení:. { 3± }. { ; } 3. {; }. {±3} 5. {±} 6. { 5 ; } 7. { 3 ; } 8. (, 3) (5, ) 9. R { } 0. 3; 3. (, 0) (, ). (, ) (, ) 3. ( 3, ) (, 3). (, 3 (, ) 5. lokomotivy 6.,3 m 7. 0 nebo 60 pistolí 8. 0, 3,, 53, 6, 75 9. h 0. 3 žáků (5 neodpovídá reálné situaci). ( 5 ) v a 9
Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou A. V množině R řešte rovnice:. + 3 + 8 3. + + 3. + 3. + 5. 3 + 5 ( ) 6. 3 + + 0 B. V množině R řešte rovnice: 7. + 9 8. 5 9. 3 0. + 3.. + 3 7 C. V množině R řešte nerovnice: 3. 3 + 5. + 3 + 6 5 8 5. + > 3 + 3 5 6. > 6 + 7. > 3 9 8. 5 3 D. Řešte v R; neznámá, k parametr: 9. k 0. + 3 k E. V množině R řešte rovnice:. + 6 7 0. + 3 0 + 3 3. + 7 3. + 3 3 3 F. V množině R řešte nerovnice: 5. 6,5 6. + 0 > 6 7. 3 + 0 8. + 3 + < + { } { Řešení:. 3,., 3 3.. } { { } { }, 5 5. 3 } 6., 7. { } 8. 0 { } { 3, 0 9. 0. 7, 3. ± }. {0} 3. (, 7 3, ). (, 0 5. (, 0) ( ) ( ) (6, ) 6. (, 9) 7.,, 5 8. ; ) (8; 5 + 3 { }. {±}.,, 3± 7 { } 3. 5+ 97, 3± ( 05. {±6} 5. 33, 7 7, 33 6., ) ( ) 3 3, 7. 7, + 7 8. (, ) 0
Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou A. V množině R řešte rovnice:. 5 3 7 6 5 8. + 0 + 50 0 + 3. + 9. 8 + 5 + 5. 5 3 5 + 6 0 6. + 5 + 8 7. + + + + + 8. + +,5 9. 3 + + 0. + 6 6 C. V množině R řešte nerovnice: 5. < 6. 6 5 0 7. > D. Řešte v R soustavy: 8. y y 3 + y + y 9 y + y 9. y y + 3 + y + y 7 0. 5 + y 8 + y 7 y 5 + y B. Řešte v R pomocí vhodné substituce:. 3 + 3 0. + + + + 6 3. + 5 7 ( + ) + 6 + + 3 5. + 8 + + + 7 7 + 0 } 3. { 75 7 } { } }. 5. {} 6. {0} 7. {± 5 Řešení:. {}. { 3 8. { { } 5 3} 9. 0. 6. { ; }. { ; 0} 3. {5}. {} 5. (, ) 6. (, 6 6, ) 7., ) ( 5 5, 8. { [; ], [ { } 9; ]} 9 9. [ 5; 3], [3; ], [ + 0, + 5 0], [ 0, 5 0] 0. {[6; 0]}
Rovnice s parametrem Poznámka: V následujících úlohách představuje neznámou, další písmena reálné parametry. A. V množině R řešte rovnice:. (p ) 6 p. k + k + 3. 5 p +. p p p + p p t 5. + 3t + u a( + ) 3( ) 6. + B. V množině R řešte soustavy rovnic: 7. a ay 9 3 y a 8. ay a y 9. a + y a + ay a 3 0. V rovnici 3 9 + c 0 je jeden kořen 37. Určete parametr c a druhý kořen.. V rovnici 3 + b + 3 0 je jeden kořen ( ). Určete parametr b a druhý kořen. 9. Je dána kvadratická rovnice + 00 96 0. Její různé kořeny označme r, s. Zapište všechny kvadratické rovnice s kořeny R, S, které splňují tuto podmínku: a) R r, S s b) R 3r, S 3s c) R r, S s 3. Rovnice cos α + cos α 0 má kořeny r, s. Vyjádřete výraz A pomocí goniometrických funkcí reálného parametru α. rs r + rs + s. Je dána rovnice + b 3 + b + 0, kde b je reálný parametr, je neznámá. a) Pro která b má rovnice nejvýše jeden kořen? b) Pro která b má rovnice dvojnásobný kořen? c) Pro která b má rovnice dva kladné kořeny? d) Pro která b má rovnice dva záporné kořeny?
Reciproké rovnice A. V množině C řešte reciproké rovnice sudého stupně:. 6 5 3 38 5 + 6 0. + 3 3 + 5 + 3 + 0 3. 8 5 3 + 0 5 + 8 0. 6 + 0 5. 6 6 + 3 5 5 3 + 3 + 6 0 6. 6 + 8 5 7 3 + 8 + 0 7. 8 7 + 7 6 3 5 + 50 3 3 + 7 + 0 8. 5 6 + 6 5 + 5 5 6 5 0 9. 0 6 + 9 5 + 9 0 0 0. 8 7 7 + 9 6 7 5 + 7 3 9 + 7 0 B. V množině C řešte reciproké rovnice lichého stupně:. 5 + + 3 + + + 0. 5 3 + 0 3. 6 5 + 3 3 3 + + 6 0. 8 5 55 3 + 55 + 8 0 5. 0 7 37 6 73 5 + 6 6 3 + 73 + 37 0 0 6. 7 9 6 + 8 5 5 + 5 3 8 + 9 0 Řešení část A:. { ; ; 3 ; 3}. { ± 3 i ; ± 5 i } 3. { ; ; ; }. { ± + ; ± } } { 7. ±i; ; ; ; ; ± } 3 i 5. { 3; 3 ; ; ; ; } 6. { ; ; 3 ; 3 ; ; 8. { ±; ±i; 5 ; 5} 9. { { ±; 5; 5 ; ; } 0. ±; ; ; ±i; ± } 3 { } { i } část B:. ; ; ; ± 5 i. ; ; ; ± 3 i 3. { ; ; ; 3 ; 3}. { ; ; ; ; } 5. { { } ; ±i; ; ; 5 ; 5} 6. ; ±i; ; ; ± 3 i 3
Eponenciální rovnice a nerovnice A. V množině R řešte eponenciální rovnice a nerovnice:. 6,5 6. + 6 + 3. ( 5 ) 3 9,5 3 5. 3 3 3 5. 3 3 7 3 8 3 5 B. V množině Q řešte eponenciální rovnice: 8. ( 9 5 ) ( ) 5 log 8 7 log 3 9. +3 3 + 9 6 7 8 3 0. 9 +0,5 +3,5 3. 3 + 9 3 3 6 + 0,5 9 +. 3 + 3 + 3 3 3 6. 0,5 56 3 7. (0,75) 3 < 9 6 3.. + 8+ 6 8 3 7 3 8 3 3 C. Řešte soustavy eponenciálních rovnic: 5. 8 + 3 y 5 5 y 5 y+ 7. y + y 3 ( + y) y 3 6. 6 + 6 y 8. y 3 8 y 6 +y 0 y 3 3 y 9 y Řešení. {, 7}. {35} 3. { 0,5}. { } 0; 5. 7, 3 ) 6. 3, ) 7. ( 3 3, 0 ) ( 3+ 3, ) { } { { } [ 8. { } 9. { } 0. 3. }. {3} 3. {3}. 5 3 5. 3, ] 6. [, ] [ 6,, ] [ 6 7. [7; 5] 8. [ ; ], 3, ]
Logaritmické rovnice a nerovnice A. V množině R řešte logaritmické rovnice a nerovnice: B. V množině R řešte logaritmické rovnice:. log ( + 3) log ( 3) log ( + 9). log 0 3. log + log. ( + ) log(+) 3 0,0 5. log ( + 7) log ( + 7) 6. 0,5 log ( + 0) log ( + ) 7. log ( ) < 0,5 (log 5 log ) 8. + log 7 3 0 (log 7 ) 9. 3+ log 00 +log 0. log a + log a ( a). 5 log + + log. log (9 + 7) + log (3 + ) 3. log ( + + ) log 3 0 3 C. Řešte soustavy logaritmických rovnic:. log 5 + 3 log 3 y 7 y 5 5. log ( + y) log 3 ( y) y 6. 3 y 576 log (y ) 7. log + 3 log y 0 3 y 0 D. Upravte výrazy obsahující logaritmy: 8. Dokažte, že platí: log log a log ab + log b log b a a b 9. Zjednodušte výraz a log b a 0. Dokažte, že za předpokladů a + b c, a > 0, b > 0, c > 0, c b, c + b platí: log c+b a + log c b a log c+b a log c b a Řešení { } {. 5+ 5. {00; 0,0} 3. {}. {9,5} 5. 3, ) 6. (, 3 7. (, ) 8. 9, 3 } 7 5 9. {0; 0,0} 0. { [ a }. {; 8}. {; } 3. {8}. [65; 3], [5; ] 5. 3 ], 6. [ ] [; 6] 7. 3, 8. obě strany lze upravit na log a ab 9. log b a 5
Limita funkce Říkáme, že funkce y f() má v bodě a R (v němž nemusí být definována) limitu L R, právě když ke každému kladnému číslu ε eistuje takové kladné číslo δ, že pro všechna z δ-okolí bodu a leží funkční hodnoty f() v ε-okolí bodu L. Zápis lim f() L čteme: limita f() pro jdoucí k a je rovna L. a Poznámka: δ-okolí bodu a je otevřený interval (a δ, a + δ) neboli množina všech R, pro která platí: (a δ, a + δ) resp. a < δ. Limita funkce ve vlastním bodě Při výpočtu následujících limit upravíme lomený výraz vhodným rozšířením nebo krácením: lim 0 + lim 0 + + + + lim + + 0 ( + + ) lim 0 + + +. lim + 7 6 + 8 9. lim 3 3 3 ( 3. lim ). lim 0 5. 3 + 0,5 lim 6 6. lim 6 + + 7. lim 3 8 8. + 5 lim 5 6 + + 9. lim a a a a a 0. lim 0 ( + 3) ( + ) 3 Výsledky. 5. 3.. 5. 5 96 6. 7. 8. 9 9. 3a 0. 6 6
Výpočet limity funkce s využitím substituce lim 3 t 6 t 3 t6 lim t t6 lim t (t + ) (t + t + ) + + + 3 lim t t t 3 lim (t )(t + ) t (t )(t + t + ) Limita funkce v nevlastním bodě Při výpočtu těchto limit dělíme před provedením limitního procesu čitatele i jmenovatele lomené funkce nejvyšší mocninou proměnné : lim + 3 3 + 3 3 lim + + 3 3 + + 3 3 3 3 lim + 3 3 + + 3 0 + 0 3 0 + 0 + 3 3 U funkcí se součtem (rozdílem) odmocnin nejprve výraz vhodně upravíme: ( lim + ) ( lim + ) + + + + lim lim + + lim + + 0 0 + 0 + + + +. lim 0. lim 0 3. lim 3 + m + ( 3 ) +. lim + 5. lim 6. lim + 3 + ( 3 + ) 7. lim ( + 3 ) 8. lim ( ) 9. lim ( + ) 0. lim ( + + ) ( ). lim ( + a)( + b). lim ( 3 3 + ) Výsledky m. 3 ; subst.: + m t3. ; subst.: + t 3. 0. 5. 0 3 a+b 6. 7. 8. 0 9. 0... 0 7
Užití limit výpočet asymptot Asymptota bez směrnice Jestliže lim f() ±, pak přímka a je její asymptotou bez směrnice. Tyto a přímky jsou rovnoběžné s osou y a procházejí takovými body, v nichž funkce není definována. Asymptota se směrnicí Přímka y k + q je asymptotou se směrnicí grafu funkce y f(), právě když eistují limity f() k lim +, q lim f() [f() k ] resp. k lim +, q lim [f() k ] Příklad Určete asymptoty ke grafu funkce y +. a) D(f) R {} lim + 0 Asymptotou bez směrnice je přímka. b) lim lim ( + ) lim [ + ] + lim + lim + Asymptotou se směrnicí je přímka y. k lim + lim + q Úlohy určete asymptoty ke grafům následujících funkcí:. y +. y 3. y ( ). y 3 Výsledky.,, y.,, y 3. 0, y.,, y 8
Derivování základních elementárních funkcí Určete první derivaci eplicitně zadaných funkcí. y 5 7 7 5 5 + 3 3 5. y 0 7 0,8 3. y ( ) +. y 8 3 3 5. y 3 3 6 5 6. y 3 7. y 3 3 5 3 + 7 3 + 8. y 3 3 9. y 8 6 3 0. y. y. y + ( ) ( + ) 3 3. y (5 ) 0. y (7 ) 6 + 6 5. y 5 33 5 (8 3) 6. y 8 7. y + 8. y + Geometrické úlohy 9. Pod jakým úhlem se protíná parabola y s přímkou 3 y 0? 0. Ve kterém bodě je tečna paraboly y a) rovnoběžná s přímkou y 5; b) kolmá k přímce 6y + 5 0; c) svírá s přímkou 3 y + 0 úhel 5? Výsledky. 5 6 + 5., 0,6 3.. 5. 3 3 6. 8 8 7. 9 0 8 5 3 ( ) 3 3 3 8 8. 9. 3 (+ 0. ). ( ) ( +. 3. 00 (5 +) ( ) 3 (+) ) 9 (7. 3 +)(7 3 +6 ) 5 5. 7 5 (8 3) 6 6. 3 ( +) 7. + 8. (8+9 ) ( 8 ) 3 + + 9. ϕ [ ] [ ] arctg 7 8 7 8 ; ϕ arctg 3 3 55 0. a) [; ] b) 3 ; 9 c) [ ; ], ; 6 9
Derivace goniometrických funkcí Příklad derivujte následující funkce: A) y + sin B) y tg + 3 tg3 + 5 tg5 A) y + cos + sin ( + cos ) + sin sin + cos cos cos sin (sin + cos + cos sin ) + sin cos + sin B) y cos + 3 3 tg (+ tg ) cos cos + 5 5 tg + tg cos cos + tg + tg cos ( ) cos cos cos 6 sec6 Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y sin 3. y sin + cos 3. r cos ( π ϕ ) 6. y sin 7. y sin cos cos + sin 8. y ( + tg ) 0. y 3 cotg + cotg 3 9. y sin 3 3 5. y sin cos 0. y sin + cos sin Výsledky. 3 sin 3. sin 3. sin( π ϕ) cos ϕ. 3 sin 5. cos 6. sin 7. 0 sin 8. 9. 3 3 (cos + sin ) cos sin 3 cos 3 0. sin 3 cos 3 sin 0 sin
Derivace eponenciálních a logaritmických funkcí Příklad derivujte následující funkce: A) y e e e + e + B) y ln A) y (e + e )(e + e ) (e e )(e e ) (e + e ) (e + e ) (e e ) (e + e ) e + + e (e + e ) (e + e ) (e + e ) B) y + + ( ) ( + )( ) ( ) ( + + ) + ( ) + ( ) Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y + e e. y 0 + 0 3. y e ln. y 0 5. y cos e 6. y (e a e a ) 7. y log 3 8. y + ln 9. y ln( + ) 0. y ln ( + ) a. y ln + ln. y ln e + Výsledky e. 0. ln 0 3. e ln ( e ) (+0 ) ln 6. a(e a e a ) 7. ln 6 log ln ln 0 8.. 0 ( ln 0) 5. e (sin + cos ) +ln 9. + 0... a (+ln ) ( ) +
Derivace cyklometrických funkcí Příklad derivujte následující funkce: A) y arcsin + B) y arctg cos + sin A) y (+ ) ( ) ( ) ( + ) + + + ( + ) (+ ) ( + ) + ( + ) + B) y + ( ) cos +sin sin ( + sin ) cos cos ( + sin ) ( + sin ) ( + sin ) + cos sin sin cos ( + sin ) (sin + sin + cos ) + sin + sin + cos (sin + ) ( + sin ) Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y arcsin (ln ). y 3 arctg 3 3. y arcsin +. y arccotg 5. y arctg ( ln ) 6. y arccotg 7. y arccos + 8. y arctg + 9. y arccos 3 0. y e e + arcsin e Výsledky. arcsin(ln ) + 6. + 7. ln. 3 arctg 3 + 35 + 6 3. arcsin. (+ln ) 5. 8. + 9. 3 5+ 3 0. e e
Derivace hyperbolických funkcí f() sinh e e cosh e + e tgh e e e + e cotgh e + e e e f () (sinh ) cosh (cosh ) sinh (tgh ) cosh (cotgh ) sinh vztahy cosh sinh cosh cosh + sinh sinh sinh cosh Příklad derivujte následující funkce: A) y cosh B) y tgh + cotgh A) y sinh cosh sinh cosh cosh cosh cosh + B) y cosh sinh cosh + sinh cosh sinh sinh cosh ( sinh cosh ) sinh cosh sinh Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y sinh cosh. y sinh + cosh 3. y + sinh. y cotgh 5. y arcsin(tgh ) 6. y ln(cosh ) + cosh 7. y cosh (cotgh sinh ln ) 8. y + tgh tgh Výsledky. cosh. sinh 3. sinh. cotgh 5. cosh 7. sinh 3 8. cosh sinh 6. tgh 3 3
Logaritmické derivování Funkce tvořené výrazem, který lze logaritmovat, můžeme derivovat metodou tzv. logaritmické derivace. Podstatou této metody je derivace složené logaritmické funkce: [ln f()] f() f () f () f() [ln f()] Kromě funkcí ve tvaru součinu a podílu mocnin funkcí derivujeme metodou logaritmické derivace funkce ve tvaru y [u()] v() (stručně y u v ) takto: y u v ln y v ln u y y [v ln u] y [v ln u] y Příklad Derivujte:. y sin. y e y (tg ) cos ln y y y y y y y Úlohy ln tg cos sin cos ln tg + cos 3 tg sin ln tg + sin cos sin ln tg + sin cos y sin ln tg + sin cos (tg ) cos Derivujte následující funkce: 3. y 9 3. y ( ) a 5. y, a 0 6. y (sin ) cos 7. y 3 ( + ) 8. y ( + ) + 3 3 + 3 9. y (3 ) + ( + ) 5 Výsledky. (cos ln + sin ) sin. e e (ln + ) 3. 7 3 ( + ln ). (ln + ) 5. ( a ) ( ln a ) 6. (cos sin ln sin )(sin ) cos 7. 3 ( +) 8. 6+3+8 3 ( ) + 3 + +3 5 + 3 (3+ 3 ) 9. ( 3 73)(3 ) 3 (+) 6 +
Průběh funkce. Určete průběh funkce f() 3 ( + ) Postup. Definiční obor funkce: D(f) R { } (, ) (, ). Sudost lichost, perioda: f() f( ) a f( ) f()... f-ce není S ani L 3. Nulové body: z rovnice f() 0 jediný nulový bod: 0. První derivace f (): f () ( 3 )...... ( + 3) ( + ) ( + ), 3 5. Stacionární body: řešením rovnice f () 0 obdržíme stacionární body: 3, 0 ( 6. Druhá derivace f (): f ) ( + 3) ()...... ( + ) 3 3 ( + ), dosazením stacionárních bodů do f () určíme etrémy: f ( 3) 9 < 0... lokální maimum 6 f (0) 0............ inflení bod 7. Asymptoty: a) bez směrnice:...... f( ) nedefinována b) se směrnicí: y k + q f() k lim q lim [f() k] 3 lim ( + )... [ ] lim asymptota se směrnicí: y 3 ( + ) 5
8. Souhrnná tabulka: (, 3) 3 ( 3, ) (, 0) 0 (0, ) f () + 0 nedef. + 0 + f () 9 6 nedef. 0 + f() monotónnost f() průběh 7 8 ma. nedef. 0 asympt. inflení bod Graf funkce f() 3 ( + ) 6
Využití derivací ve fyzice Příklad výpočet okamžité rychlosti Maják je vzdálen od břehu 5 km a jeho reflektor se za každou minutu otočí ve vodorovné rovině o 360. Vypočtěte rychlost světelné stopy pohybující se po břehu v okamžiku, kdy světelný paprsek svírá s pobřežím úhel 60. Předpokládáme, že břeh je přímočarý. Řešení f min 60 s α 60 r 5 km 5000 m v s? m s A s P 60 r 5 km ϕ M Bod M na obrázku představuje maják; předpokládejme, že světelná stopa se pohybuje na břehu od bodu P k bodu A. Z pravoúhlého trojúhelníka MPA je dráha s uražená světelnou stopou: s r tg ϕ r tg ω t r tg πft () Okamžitou rychlost v s světelné stopy určíme jako. derivaci dráhy s podle času t: v s ṡ ds dt d dt (r tg ω t) ω r cos ωt () kde ω r πf r a v okamžiku, kdy světelný paprsek svírá s pobřežím úhel 60, je úhel ωt ϕ 90 60 30. Po dosazení uvedených hodnot do () je v s π 60 5000 698, m s 93,9 km h. cos 30 Závěr Rychlost světelné stopy pohybující se v daném okamžiku po břehu je 93,9 km h. 7
Příklad výpočet okamžité rychlosti Během otáčení s frekvencí 80 otáček za minutu se rozpadlo kolo setrvačníku. Jeho poloměr je 90 cm a střed se nachází m nad zemí. Jakou rychlost bude mít úlomek označený na obrázku písmenem A při dopadu na zem? Řešení f 80 min 3 s r 90 cm 0,9 m ϕ 5, h m v D? m s A B 5 m h B D Velikost okamžité rychlosti úlomku v bodě A určíme jako obvodovou rychlost: v A ω r πf r π 3 0,9 5 π m s. 7,5 m s. Pohyb úlomku je vrhem šikmým vzhůru pod elevačním úhlem 5. Rozložíme-li rychlost v A na vodorovnou a svislou složku ( v A, v Ay ), pak jejich velikosti jsou stené: v A v Ay v A sin 5 v A cos 5 5 π. 5,33 m s. Na trajektorii v bodě B (ve stejné výšce nad zemí jako bod A) jsou velikosti obou složek v A, v Ay stejné jako v A, ale svislá složka rychlosti míří dolů. Abychom získali velikost svislé složky rychlosti (v Dy ) úlomku při dopadu na zem, vyčíslíme nejprve výškový rozdíl h B : h B h + r sin 5 + 0,9.,636 m. Dále určíme čas dopadu úlomku vyřešením kvadratické rovnice h B v Ay t + g t g t + v Ay t h B 0 t, v A y ± v A y gh B g. 5,33 ± 7,78., t 0,5 s, t < 0 9,8 Pro svislou složku rychlosti úlomku při dopadu na zem platí: v Dy h B dh B d (v Ay t + ) dt dt g t v Ay + g t a po dosazení číselných hodnot je v Dy 5,33 + 9,8 0,5. 7,78 m s. Celková výsledná rychlost úlomku v bodě D je pak vektorový součet v D v Dy + v A a pro její velikost tedy platí: v D v Dy + v A 7,78 + 5,33. 9,3 m s. Závěr: Úlomek dopadne na zem rychlostí 9,3 m s. 8
Příklad 3 výpočet okamžitého zrychlení Vlečná nákladní loď je ke břehu přitahována silnými lany, které se navíjejí rychlostí m s. Paluba lodi je o m níže než přístavní molo s navijáky. S jakým zrychlením se pohybuje loď v okamžiku, kdy je její horizontální vzdálenost od přístaviště 8 metrů? Řešení v n m s h m z 0 8 m a z0? m s s v n t h m z 0 8 m Horizontální vzdálenost z je dána vztahem (viz obrázek): z v n t h () Určíme okamžitou rychlost nákladní lodi (. derivace z podle času): ż dz dt d dt v n t h v n t v n t h v n t v n t h Okamžité zrychlení lodi (. derivace z podle času) je z d z d vn t dt dt v n t h v n v n t h v n t v n t v n t h v n t h vn(v n t h ) vn t vn t h v n t vn h vn t vn t h (vn t h ) vn t h v n h (v n t h ) 3 () Ze vztahu () vyjádříme t a vyčíslíme: t z 0 + h v n 8 + 6 + 6 0 a dosadíme do (): a z0 z 6 ( 0 6) 3 8 m s 0,5 m s. Závěr V daném okamžiku se loď pohybuje se zrychlením 0,5 m s (pohyb je zpomalený). 9
Úlohy z kinematiky Výpočet okamžité rychlosti. Člověk vysoký,7 m se vzdaluje rychlostí 6,3 km h od zdroje světla, který se nachází ve výšce 3 m. Jakou rychlostí se pohybuje stín jeho hlavy?. Žebřík délky 0 m se horním koncem dotýká svislé stěny, dolním koncem je opřen o podlahu. Dolní konec žebříku je uveden do pohybu rychlostí m min směrem od stěny. Jakou rychlost má horní konec žebříku v okamžiku, kdy jeho dolní konec je vzdálen 6 m od stěny? Kam míří vektor rychlosti? 3. Kůň běží po okruhu rychlostí 0 km h. Ve středu okruhu se nachází světelný zdroj a podél tečny k okruhu v bodě, z něhož startuje kůň, je postavena zeď. Jakou rychlostí se pohybuje stín koně po zdi v okamžiku, kdy se kůň nachází v jedné osmině okruhu? Výpočet okamžitého zrychlení. Hmotný bod se pohybuje přímočaře podle vztahu s 3 t3 t+5. Určete zrychlení a na konci. sekundy (s v metrech, t v sekundách). 5. Hmotný bod se pohybuje přímočaře, přičemž s πt sin + s 9 0. Určete zrychlení na konci. sekundy (s v centimetrech, t v sekundách). 6. Těžká kláda délky l 3 m se spouští na zem tak, že její dolní konec je připevněn k vagónku a horní konec opírající se o zeď je připevněn provazem navinutým na kolo rumpálu. Provaz se odvíjí rychlostí m min. Určete zrychlení vagónku v okamžiku, kdy se nachází ve vzdálenosti s 5 m od bodu O (viz obrázek). Výsledky.,63 km h.,5 m min 3. 0 km h. 6 m s 5. π 8 cm s 6. 0,005 m s 30