POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti polyomů Polyom stupě má právě kořeů (reálých ebo kompleích Je-li číslo c kořeem polyomu P (, můžeme teto polyom pst ve tvru součiu P ( ( c Q (, kde Q ( je vhodý polyom stupě ( (polyom Q ( budeme v dlším tetu zývt zbytkový polyom Má-li polyom P ( kořey,,,, lze jej rozložit souči kořeových čiitelů P ( ( ( ( Jsou-li v rozkldu polyomu ěkteré kořey stejé, mluvíme o víceásobých kořeech Vyskytuje-li se koře v rozkldu pouze jedou, jde o jedoduchý koře Při rozkldu polyomu souči kořeových čiitelů v reálém oboru se v součiu vyskytují tyto typy čiitelů : ( i jde-li o jedoduchý koře i,, k ( j jde-li o k-ásobý koře j ( + b+ c jde-li o polyom stupě, který má kompleí kořey ( D b c<
Operce s polyomy Součet, rozdíl souči polyomů počítáme s využitím prvidel pro počítáí s reálými čísly vět o mociách Příkld : Jsou dáy polyomy P ( + Q ( + Vypočtěte jejich součet, rozdíl souči P ( + Q( ( + + ( + + b P ( Q( ( + ( + + 6 c P ( Q( ( + ( + 6 + + 6 + + 8 + + 6 + + + + 9 Děleí polyomů K libovolým polyomům P ( Q (, kde Q (, eistují polyomy R ( T ( tk, že pltí P( T ( R( +, kde stupeň polyomu T ( je meší ež stupeň polyomu Q( Q( Q ( Polyom T ( se zývá zbytek po děleí polyomu P ( polyomem Q ( T (, jde o děleí beze zbytku V přípdě, že Příkld : Jsou dáy polyomy P ( 6 + + 7 Q ( jejich podíl P Q ( ( Vypočítejte Řešeí : Při děleí musí být ob polyomy uspořádáy sestupě podle klesjících moci proměé Postup děleí popíšeme ve třech krocích Prví čle dělece dělíme prvím čleem dělitele (tj 6 : Získým podílem ( ásobíme všechy čley dělitele ( výsledek odečteme od dělece (tj ( 6 Teto dílčí
Zpíšeme : ( 6 + + 7 : ( (6 6 + 7 Postup opkujeme, to tk, že prvím čleem dělitele dělíme prví čle zbytku ( : 8 6 Získým podílem ( 8 opět ásobíme dělitele ( teto dlší dílčí výsledek odečteme od zbytku ( 8 6 8 Zpíšeme: ( 6 + + 7 : ( + 8 (6 6 + 7 (6 8 7 Teto postup opkujeme, dokud eí zbytek ( po děleí ižšího stupě ež je dělitel ( Zpíšeme: ( 6 + + 7 : ( + 8 (6 6 + 7 (6 8 7 ( 6 Děleí má smysl z podmíky, že dělitel je růzý od uly, tj + 6 O správosti děleí se můžeme přesvědčit zkouškou Souči podílu dělitele se musí rovt děleci
Horerovo schém Je to lgoritmus, který umožňuje vypočítt hodotu P (c, tj hodotu polyomu P ( v reálém čísle c, pouze užitím ásobeí sčítáí b je vhodý hledáí celočíselých kořeů polyomu s celočíselými koeficiety c je možé využít děleí polyomu P ( polyomem stupě ( c d se používá při rozkldu polyomu souči kořeových čiitelů Je-li zdý polyom schém tvr tbulky P + ( + + + číslo, má Horerovo b b + b b + b P (, kde prvím řádku jsou koeficiety polyomu čísl druhém řádku se počítjí pomocí rovic : b, b i i + bi, pro i,,, Fukčí hodot P ( je pk rov číslu b Příkld: Určete hodotu polyomu ( P + 6 v bodech Řešeí : Použijeme Horerovo schém Do horího řádku tbulky zpíšeme všechy (pokud by polyom měl i ulové koeficiety P ( 6 Nejdříve budeme počítt P (, proto do tbulky vlevo zpíšeme (, potom sepíšeme prví koeficiet dál budeme postupovt podle zčeého schémtu ( ( ( + 6 6 ( 6 6 Posledí hodot ve druhém řádku je hodot dého polyomu v bodě, tedy ( P
Provedeme totéž pro 6 dého polyomu Z výpočtu plye, že ( P to zmeá, že je kořeem Příkld: Vypočtěte ( + + :( Řešeí : Zvolíme-li klsické děleí, dosteme ( + + :( ( ( + + + ( + + + Použijeme-li Horerovo schém Víme, že posledí hodot ve druhém řádku je P (, což je zbytek po děleí osttí čísl jsou koeficiety polyomu, který vzikl po vyděleí Je to polyom stupě tvru + + + + Dostáváme tedy stejý výsledek, přitom výpočet byl výrzě krtší Závěr: ( + + :( + + + Postup při rozkldu polyomu souči kořeových čiitelů Využíváme vlstost polyomů, podle které mohou být celočíselými kořey polyomu P ( + + + +, který má koeficiet, pouze dělitelé bsolutího čleu Budeme počítt pro tyto dělitele dokud erzíme koře Koeficiety tomto řádku Horerov schémtu ám součsě vyjádří zbytkový polyom Q ( (viz vlstosti polyomů z rovosti P ( ( c Q ( Protože lezeý koře c může být
víceásobý, je třeb postup zopkovt pro polyom Q ( pk i dlší zbytkové polyomy ižších stupňů, dokud je číslo c jejich kořeem V opčém přípdě počítáme Horerovo schém pro dlšího dělitele bsolutího čleu Tk postupujeme, dokud zbytkový polyom eí stupě Kořey tohoto polyomu určíme pomocí vzorce pro výpočet kořeů kvdrtické rovice Příkld: Určete celočíselé kořey polyomu P( + 9 + 6 + pište rozkld tohoto polyomu souči kořeových čiitelů v R Řešeí : Celočíselými kořey dého polyomu mohou být dělitelé čísl, tedy čísl : ±, ±, ±, ± 8, ± 6, ± Pomocí Horerov schémtu budeme zjišťovt, zd ěkteré z ich je skutečě kořeem Postupujeme obvykle od meších čísel k větším : 9 6 6 7 6 tedy číslo je kořeem Z tbulky vyplývá, že číslo je jedoduchým kořeem polyom lze rozložit souči ( ( + + 6 + 6 + + 9 + 6 + Dál budeme hledt kořey polyomu + + 6 + 6+, přičemž víme, že číslo už to být emůže Dlšími možými kořey jsou zbývjící celočíselí dělitelé čísl 9 8 6 7 6 6 9 76 6 8 Dlším kořeem je tedy číslo dý polyom lze psát ve tvru součiu : + 9 + 6 + ( ( + ( + 8 + + 6 Dále hledáme kořey polyomu + 8 + + 6 Možými kořey jsou opět celočíselí dělitelé čísl 6 : ±, ±, ±, ± 8, ± 6 Čísl ±, už emohou být kořey, u čísl je uto prověřit, zd eí kořeem víceásobým : 8 6 8 6
Tedy číslo je lespoň dvojásobým kořeem Polyom + 6+ 8 již rozložíme pomocí kořeů kvdrtické rovice Vzhledem k tomu, že jsou to čísl,, je rozkld ( + ( + Tedy celkem můžeme dý polyom vyjádřit ve tvru součiu kořeových čiitelů : ( ( + ( + P( + 9 + 6 + RACIONÁLNÍ LOMENÁ FUNKCE (RLF P ( Je to fukce tvru y, kde P (, Qm ( jsou esoudělé polyomy, Q m ( Q ( Je-li < m, zývá se ryzí, je-li m m, zývá se eryzí Kždá eryze lomeá rcioálí fukce se dá děleím rozložit součet polyomu fukce ryze lomeé Pozámk: Kždá ryze lomeá rcioálí fukce se dá rozložit součet tzv prciálích zlomků (eí-li už sm prciálím zlomkem Příkld: Vyjádřete rcioálí lomeou fukci ( ryze lomeé rcioálí fukce + 8 + 6 f jko součet polyomu + Řešeí : Fukce ( Tedy pro R{, } + 8 + 6 f je defiová pokud je jmeovtel zlomku eulový + Děleím polyomů ( + 8 + 6 : ( + dosteme polyom P ( + 9 fukci G ( 6 + 6, jko zbytek po děleí Zdou fukci můžeme tedy vyjádřit jko součet polyomu ryze lomeé rcioálí fukce 6+ 6 ve tvru f ( + 9+ + Pozámk: Pozor zmék ve zbytku, pokud vytkete míus před zlomek, bude 66 f ( + 9 +