VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Doc. Ing. Eduard Malenovský, DrSc.

Transkript

1 YSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ BNĚ Fakulta stroního nženýrství Doc. Ing. Eduard Malenovský, DrSc. APLIKACE MODÁLNÍ METODY E ÝPOČTOÉM MODELOÁNÍ DYNAMICKÝCH LASTNOSTÍ OTOOÝCH SOUSTA APPLICATION OF MODAL METHOD IN THE COMPUTATIONAL MODELLING OF DYNAMIC BEHAIO OF OTO SYSTEMS TEZE PŘEDNÁŠKY K POFESOSKÉMU JMENOACÍMU ŘÍZENÍ OBOU: APLIKOANÁ MECHANIKA BNO 2004

2 KLÍČOÁ SLOA dynamka rotorových soustav, výpočtové modelování, modální metoda KEY WODS dynamcs of rotor systems, computatonal modellng, modal method Eduard Malenovský, 2004 ISBN ISSN 23-48X

3 Obsah Úvod 5 2 Aplkace modální metody v rotorových soustavách 7 2. Řešení problému vlastních hodnot ýpočet odezvy př přechodovém kmtání ýpočet odezvy př vynuceném ustáleném kmtání Metoda trgonometrcké kolokace 2 3 Dynamcké vlastnost čerpadla BETA Frekvenčně modální vlastnost Sezmcká odezva 20 4 Závěr 22 5 Seznam lteratury 23 6 Poděkování 25 7 Abstract 25 3

4 Eduard Malenovský se narodl ve Zlíně. létech studoval střední průmyslovou školu stroní a železnční v Břeclav. Studum zakončl maturtou v roce 970. létech sudoval ysoké učení techncké v Brně, fakultu stroní obor Tepelně energetcká zařízení a specalzac turbny. Studum zakončl s vyznamenáním obhaobou dplomové práce na téma Matematcký model kondenzační turbny s edním a dvěma regulovaným odběry. Po ukončení studí nastoupl do ýzkumného ústavu energetckého stroírenství v Brně, který byl po několka organzačních změnách začleněn do První brněnské stroírny v Brně. Zde v roce 982 zahál externí aspranturu v oboru Stavba energetckých stroů a zařízení. roce 984 nastoupl na základě konkurzu na katedru techncké mechanky, pružnost a pevnost do funkce odborného asstenta. roce 985 obhál kanddátskou dsertační prác na téma Teoretcko expermentální analýza dynamky lopatkování koncových stupňů parních rychloběžných turbn a získal ttul kanddáta technckých věd. roce 994 obhál habltační prác na téma Dynamka rotorových soustav a byl menován docentem pro obor mechanka. Od roku 995 pracue ako docent na ústavu mechanky těles UT FSI v Brně. roce 200 obhál doktorskou dsertační prác na téma Příspěvek k dynamce rotorových soustav v oboru Mechanka tuhých a poddaných těles a prostředí a obdržel vědeckou hodnost doktora technckých věd. Jeho vědeckou a odbornou čnnost lze rozdělt do několka oblastí, kterým se zabýval od ukončení vysokoškolských studí. Nedříve se zabýval expermentální a výpočtovou analýzou dynamckých vlastností lopatek turbn a kompresorů. Po nástupu na vysokou školu se začal zabývat problematkou dynamckých vlastností vázaných mechanckých soustav. Posléze se začal zabývat expermentální výpočtovou analýzou dynamckých vlastostí rotorových soustav a obecně analýzou vbrací a vbrodagnostkou. současné době se věnue problematce dynamckých vlastností tenkých tekutnových flmů. Podílel se na řešení 4 proektů, z nchž u 4 byl hlavní řeštel ědecká a odborná čnnost vyústla ve 24 článcích ve vědeckých meznárodních národních časopsech, a dále ve 26 konferenčních příspěvcích na meznárodních a národních konferencích. Dále e autorem 4 oponovaných výzkumných zpráv. eškerá vědecká odborná čnnost byla rovněž zaměřena na řešení problémů techncké praxe, které vyústlo ve spoluprác s 20 průmyslovým podnky, pro které byl hlavním autorem 57 výzkumných zpráv a technckých protokolů. Je autorem celé řady výpočtových systémů a programů pro řešení dynamckých vlastností z oblast mechanky rotorových soustav, mechanky tenkých tekutnových vrstev a vázaných mechanckých soustav. Jeho pedagogcká čnnost e spata s UT FSI v Brně. Za své téměř dvacetleté působení e autorem, nebo spoluautorem 3 ttulů skrpt, zavedl tř nové předměty a vypracoval celou řadu výukových programů. Na ústavu mechanky těles se věnue přípravě doktorandů. Dva z eho doktorandů úspěšně dokončl studa a v současné době vede 4 další doktorandy. Je členem světového výboru IFToMM otor Dynamcs Commttee a členem světového výboru stálé komse pro výuku a vzdělání Educaton Commttee př IFToMM. 4

5 Úvod Problematce dynamky rotorových soustav e u nás v zahrančí věnována dlouhodobě stálá pozornost. ývo moderní výpočtové technky rozšířl prostor ve výpočtovém modelování a umožnl vznk řady nových algortmů a metod řešení. Přtom se nezapomíná an na expermentální analýzu, buď na modelových zkušebních zařízeních, na kterých sou prováděny expermentální práce většnou úzce zaměřené na vybraný okruh problémů, nebo se prováděí expermenty na reálných stroních zařízeních v provozních podmínkách. Zeména zde, vzhledem ke své fnanční náročnost, sou zpravdla prováděny až na základě poruch, nebo problémů za provozu. Predkce chování na základě výpočtového modelování patří mez základní přístupy v analýze dynamckých vlastností rotorových soustav. Počátky výpočtového modelování dynamckých vlastností nelneárních rotorových soustav sou u nás spoeny zeména s A. Tondlem, kde za zmínku stoí zeména publkace [6], nebo z oblast nelneárních rotorových soustav [23]. Další vývo byl spoen zeména s aplkací metody přenosových matc. Snadná algortmzovatelnost a zeména malé nároky na výpočetní technku byly hlavním výhodam pro aplkac této metody. Známé sou programové systémy M. Baldy, které sou eště v současné době používány v podnku Škoda, zeména k výpočtu krtckých otáček. Tato metoda byla dále E. Malenovským [3] rozpracována ako kombnovaná metoda konečných prvků (MKP) a přenosových matc. znkl tak programový systém pro analýzu dynamky rotorových soustav zahrnuící modální vlastnost a řešení odezvy vynuceného ustáleného přechodového kmtání. S dalším rozvoem výpočetní technky bylo J. Zapomělem [2] započato s tvorbou programového systému využívaícího klasckou MKP. Tento výpočtový systém byl dále rozvíen a vyústl ve zpracování systému pro analýzu nelneárních rotorových soustav. Problematkou výpočtového modelování a optmalzací rotorových soustav ako vázaných mechanckých soustav se u nás dále dlouhodobě zabývá. Zeman a kolektv (ZČU FA Plzeň), s řadou významných vědeckých prací, nebo publkací na konferencích a semnářích. Souhrnné sou zeména práce [7] a [8]. těchto pracích e rozpracována modální redukce, kterou autoř ž po řadu let využívaí ve výpočtovém modelování šrokého okruhu úloh dynamky (problém vlastních hodnot, řešení odezvy, optmalzace, žvotnost atd.). Shrnutí současných základních poznatků z oblast dynamckých vlastností rotorových soustav z oblast výpočtového modelování e provedeno v [3], [6], [5], [8] a [2]. Základ aplkace MKP e uveden zeména pak v [] a [2], dále pak v [3], kde sou uvedeny vztahy pro lokální matce hmotnost, tuhost, gyroskopckých účnků, včetně matc pro zahrnutí materálového tlumení. ýpočtové modelování dynamckých vlastností rotorových soustav se zahrnutím různých nelneárních vazebných elementů, které e v lteratuře publkováno, často vychází z tzv. Lavalova, nebo Jeffcottova rotoru, pro který sou sestaveny rovnce v explctním tvaru a následně řešeny. Mez základní dynamcké velčny rotorových soustav, na které e zaměřeno výpočtové modelování zeména patří: frekvenčně modální vlastnost rotorových soustav př konstantních otáčkách odezva př vynuceném ustáleném kmtání odezva př přechodovém kmtání (výpočtová smulace) stanovení závslost vlastních čísel na otáčkách analýza stablty kmtání výpočet kaskádového dagramu na základě odezvy př vynuceném ustáleném přechodovém kmtání 5

6 ýpočtové modelování vycházeící z aplkace metody dynamckých poddaností (MDP) nebo modální metody (MM) se v lteratuře téměř nevyskytue. ovněž sou poměrně málo publkované výsledky výpočtového modelování zahrnuící expermentálně získaná data, zeména týkaící se poddané statorové část. této souvslost rovněž nelze zapomínat na možnost stanovení těchto, případně ných vstupních dat, v ném výpočtovém systému. Jak ž bylo uvedeno v předchozím, MDP e v dynamce rotorových soustav využívána poměrně málo. Zeména MM, která e původní, byla autorem zpracována pro komplexní analýzu dynamckých vlastností nelneárních rotorových soustav s edním a se dvěma koaxálním hřídel e původní a není známa eí publkace. Nelneární vazebné elementy, které sou zahrnuty do výpočtového modelování byly převzaty z dostupné lteratury, případně samostatně vyvíeny. souvslost s mplementací nových metod pro šroký okruh úloh e nutno se zmínt o vytvoření a otestování celé řady nových algortmů a výpočetních postupů. eškeré algortmy byly softwarově zpracovány, otestovány na řešení celé řady modelových úloh a využty př řešení úloh z techncké praxe. Teoretcký základ modální metody, včetně algortmů až po softwarové zpracování e uveden v zeména v [25] a [24]. Jednou z metod, které se začínaí v poslední době používat př výpočtovém modelování v dynamce rotorových soustav patří metoda trgonometrckých kolokací. Ta v sobě zahrnue výhody řešení, které sou př vynuceném ustáleném přechodovém kmtání. Dále bude uveden algortmus řešení pomocí této metody současně s aplkací MDP. lteratuře tento algortmus doposud nebyl publkován a autorem e ve zkrácené formě publkován v např. v [24]. Snahou autora e zabývat se problematkou komplexně, t. od teoretcké analýzy, přes vytvoření algortmů řešení, dále softwarové zpracování a testování na modelových úlohách až po řešení úloh z techncké praxe. Základem výpočtového modelování dynamckých vlastností rotorových soustav e aplkace MKP, kdy uzel má 4 o volnost v uzlu, kterým sou dva posuvy a dvě natočení v rovně kolmé na osu rotace. MDP, nebo MM pro oba případy rotorových soustav e založena na tomto modelu. Jak e známo, v nelneárních úlohách sou obecně vlastní čísla závslá na ampltudách kmtání a rychlost. ýpočet vlastních čísel pak u nelneárních úloh rotorových soustav ztrácí smysl. určtých případech, za předpokladu kmtání soustav s malým výchylkam kolem rovnovážné soustavy, lze řešt problém vlastních hodnot lnearzované úlohy (např. za předpokladu traektore středu hřídele blízké kruhové traektor kolem statcky rovnovážné polohy). souvslost s aplkací MDP e problém obecně formulován ako hledání nulových bodů komplexní funkce, od které není známé eí exaktní vyádření, nýbrž sou dány pouze dskrétní hodnoty komplexního determnantu ako funkční hodnoty komplexní frekvence. našem případě bylo testováno několk algortmů, přčemž z celé řady testovaných algortmů se nelépe osvědčly pro nevětší počet uvažovaných nelneárních vazeb pouze dva. Jsou to Mulerova metoda a metoda hledání nulových bodů. souvslost s aplkací MM, nebo MDP může být vektor neznámých sestaven pouze ze zobecněných výchylek, nebo může obsahovat zobecněné síly ve vazbách. Druhý případ e z pohledu algortmzace úlohy a snadněšího softwarového zpracování ednodušší, avšak za cenu většího řádu matce soustavy a navíc eí horší podmíněností (výchylky a síly sou řádově rozdílné velčny). Tato skutečnost komplkue návrh vhodného algortmu pro řešení. obou případech řešení odezvy byly aplkovány dvě metody řešení soustavy nelneárních algebrackých rovnc, a to Atkenova a Newtonova - aphsonova metoda. 6

7 2 Aplkace modální metody v rotorových soustavách Základem výpočtového modelování rotorových soustav, kterým e věnována pozornost, e přímý ednorozměrný prutový prvek se 4 o volnost v uzlu, kterým sou dva posuvy a dvě natočení echž vektory leží v rovně kolmé na osu rotace. Tento model e používán autorem ve všech oblastech výpočtového modelování. Pro komplexněší přístup k modelování e možné dále uvažovat axální posuv a natočení kolem osy rotace. Lokální matce sou převzaty z [] a [2], přčemž byly doplněny dskrétním prvky na základě [3] a [8]. Př řešení řady technckých aplkací se lze setkat s vázaným mechanckým soustavam. Tyto mohou mít charakter buď několka sérově řazených ednorotorových ednotek, (např. soustava motor - převodovka), nebo charakter více souosých vzáemně vázaných rotorů, případně vzáemná kombnace. Pro případ několka souosých rotorových soustav přchází v úvahu např. eden nebo dva rotory (vz. např. dvouproudý letecký motor AI-25). e všech případech se na dynamckých vlastnostech podílí neen vlastní hřídelová soustava, ale vzáemná mezrotorová vazba a nezanedbatelný podíl má vazba na základní těleso, v tomto případě statorovou část, která může být rovněž poddaná. Př výpočtu dynamckých charakterstk rotorových soustav lze aplkovat celou řadu výpočtových metod a postupů. současné době e neužívaněší MKP [], [2], nebo [3], avšak pokud bychom chtěl př řešení celého modelu aplkovat klasckou MKP s 3D modelem statorové část, byl by řád globálních matc značně velký, což by komplkovalo řešení. Ke snížení řádu úloh se používaí různé metody redukce, např. modální [4], [6] nebo [7]. našem případě e použta metoda redukce ve frekvenční oblast, která vede na aplkac metody dynamckých poddaností, případně modální metody. Komplexní přístup k řešení dynamky složtých nelneárních rotorových soustav e v tomto případě chápán ako syntéza těchto částí: Poddané mechancké rotuící část ( zpravdla označované ako rotor) Poddané mechancké nerotuící část ( zpravdla označované ako stator) Nerotuící, nebo rotuící nelneární vazebné část mez rotorem a statorem. Nelneární členy lze zahrnout do pohybové rovnce u členů pro zrychlení, rychlost, nebo výchylku, případně ve tvaru vektoru nelneárních funkcí u slového zatížení. e druhém případě lze použtím Taylorova rozvoe stanovt matce tuhost, tlumení, nebo hmotnost. případě řešení odezvy přechodového kmtání lze řešt odezvu na celou řadu funkčních závslostí vněšího buzení, včetně knematckého. e druhém případě lze knematcké buzení zadávat ve tvaru určtého spektra čar zrychlení, nebo výchylky, případně lbovolnou dskrétní časovou posloupností výchylek. Metoda dynamckých poddaností, kterou lze použít př výpočtu frekvenčně modálních vlastností, nebo odezvy př vynuceném ustáleném kmtání e uvedena např. v [20]. ýhodou této metody e možnost zahrnutí do řešení poddané nerotuící část, možnost snížení řádu úlohy a v neposlední řadě možnost zahrnutí expermentálně získaných dat do řešení. K tomu abychom mohl do řešení zahrnout poddanou nerotuící statorovou část, e nutno znát frekvenčně modální vlastnost volného statoru, t. bez rotorové a vazbové část (ale se skutečným vazbam na základní těleso), tedy frekvenční spektrum a normované vlastní vektory vzhledem k matc hmotnost. K eímu stanovení lze využít buď některý vhodný programový systém, případně některou z vhodných expermentálních metod. našem případě e pro stanovení frekvenčně modálních vlastností aplkována metoda expermentální modální analýzy. ýsledky modální analýzy slouží k sestavení matce 7

8 dynamckých poddaností statoru. Řád matce e mnmálně dán počtem míst s vazbam mez rotuící a nerotuící částí. Stanovení matce dynamckých poddaností statoru expermentálně e tedy následuící. Pro určtý tvar kmtu se nstalue ve vhodném místě snímač zrychlení. Zstí se komplexní přenosové funkce mez místy vazeb (dále v textu označováno ndexem v) a místem umístění snímače, včetně přenosu mez místem nstalace snímače. Předpokládeme, že k analýze aplkueme metodu plovoucího buzení, tedy snímač zrychlení nemění svou polohu (označováno ndexem s). Přenosové funkce označme p. Prvek normovaného vlastního vektoru v v reálném (), nebo komplexním (C) oboru v místě vazeb se vypočte ze vztahu (ndexy sou pro přehlednost vynechány) pvs v =, kde v, p ss C 2 ( ), kde C v = v v C 2 () Na obr. e nakreslena obecná rotorová soustava s edním hřídelem včetně možných nelneárních vazeb mez rotuící a nerotuící částí. našem případě e analyzován obecný případ kdy ak stator, tak rotor mohou být buzeny. Odvození rovnc bude provedeno pro přechodové kmtání, pro které maí výsledné rovnce obecněší tvar. S Q Q S SZ - rotor S - stator Z - základní těleso S - nelneární vazby mez hřídelem a statorem SZ - nelneární vazby mez statorem a základním tělesem Q - vněší buzení působící na hřídel Q S - vněší buzení působící na stator Obr. Schéma rotorové soustavy s edním hřídelem 2. Řešení problému vlastních hodnot Předpokládeme, že rotor není vázán ke statoru žádným vazbam, e tedy volný, avšak v místech vazeb e zatížen neznámým zobecněným slovým účnky. Jestlže rozdělíme výslednou matc dynamckých poddaností (vz [4]) rotoru na submatce tak, abychom separoval zobecněné deformační a slové účnky příslušeící rotoru a statoru pak na základě podmínek rovnováhy a spotost deformací maí rovnce tvar 8

9 q q = G Q S = G Q S S q q = G Q S S (2) kde q S e zobecněná deformace na rotoru v místech vazeb se statorem, q S e zobecněná deformace na statoru v místech vazeb se rotorem, Q S e zobecněná vazbová síla, G, G, G sou matce dynamckých poddaností rotoru, statoru a vazeb. ýsledný řád matc e obecně dán počtem vazeb mez rotorem a statorem. případě, že se do řešení zahrnou pouze posuvy, pak dvonásobným počtem vazeb, v případě, že se do řešení zahrne natočení tak čtyřnásobným počtem vazeb. Matce dynamckých poddaností se sestavuí na základě řešení samostatné rotorové část, nebo statoru. Z rovnc (2) se po úpravě obdrží nebo ve zednodušeném zápsu ( ) S G + G + G Q = O (3) Ax = 0 (4) Aby měla soustava rovnc (4) netrvální řešení, musí být determnant soustavy roven nule, což e současně návod pro výpočet vlastních hodnot. Komplexní frekvence, př které e determnant matce A roven nule e vlastním číslem soustavy. K nalezení nulových bodů bylo autorem navrženo a softwarově zpracováno několk algortmů. Právě rozmantost a specfčnost dynamckých vlastností rotorových soustav vyžadue značně ctlvý přístup k řešení dané problematky. 2.2 ýpočet odezvy př přechodovém kmtání e srovnání s řešením odezvy př vynuceném ustáleném kmtání e řešení odezvy př přechodovém kmtání obecněší. Proto zde bude nedříve analyzován případ přechodového kmtání. Pohybová rovnce lneární rotorové soustavy s uvážením gyroskopckých účnků a materálového tlumení má tvar ( ω) ( ω) ( t) Mq + B q + K q = Q (5) kde M e matce hmotnost, B e matce tlumení, K e matce tuhost a ω e úhlová rychlost otáčení hřídele. Řešení této pohybové rovnce v kroku t s počátečním podmínkam lze napsat v matcovém tvaru 2n t λt T λτ q = e vw Q( τ) e dτ + Mq (0) + Bq(0) + λmq (0) (6) = 0 kde v e -tý pravostranný vlastní vektor normovaný vzhledem k matc hmotnost, w e -tý levostranný vlastní vektor normovaný vzhledem k matc hmotnost a λ e -té komplexní vlastní 9

10 číslo. Označme horním symbolem místa, ve kterých sou na rotoru specfkovány vazby a symbolem ostatní místa na rotoru. ovnc (6) lze pak zkráceně přepsat do tvaru q = q 2n = t t U U Q a b e e d U U + Q a b λ 2 ( τ ) λ τ τ + λ ( τ ) (7) kde U sou submatce výsledné matce, která se obdrží po dadckém součnu pravostranných a levostranných vlastních vektorů. Předpokládeme, že rotor e volný, t. Q = 0. Označíme-l dolním ndexem " v ", že se edná o tento případ, rovnce (7) má tvar 2n t λt λτ qv = e U Q U a U a U b U b ( τ) e dτ λ + λ 2 = 0 2n t λt λτ qv = e U2 Q e d + U a + U a + U b U b ( τ) τ 2 λ λ 22 = 0 (8) Dosazením (8) do (7) se obdrží q = q U Q v 2n = 2 0 q = q U Q v 2n = t t 22 0 ( τ) e λ ( τ) e λ ( t τ ) ( t τ ) dτ dτ (9) Zde sou neznámé velčny vazbové síly, které se vyskytuí v konvolutorním ntegrálu. Aby řešení tohoto ntegrálu bylo co neednodušší předpokládeme, že v daném kroku sou tyto síly konstantní. Konvolutorní ntegrál v časovém kroku, pro místa na rotoru v rovnc (9) má pak tvar 2n t 2n λ( t τ) k U2 Q G2Q G2 Q λ ( t t ) e = + k e = 0 = k = (0) přčemž dolní ndexy u vektoru sl ve vazbách značí časový krok ve kterém se počítaí. Dále pak sou G G 2 2 2n U2 λ t = ( e ) λ = U2 λ t = ( e ) λ () modální matce, odkud název této metody modální a t e krok výpočtu. Označme v rovnc () dolním ndexem k členy příslušeící konvolutornímu ntegrálu. ovnc (9) lze pro daný krok výpočtu a požadované místo na rotoru a vazeb přepsat do tvaru 0

11 q = q q G Q v k 2 q = q q G Q v k 22 (2) této rovnc sou neznámé velčny odezva na rotoru q mmo místa vazeb, odezva na rotoru q v místech vazeb a vazbové síly Q v -tém kroku řešení. Pro samostatný stator, který může být v obecném případě rovněž buzen (například knematcké buzení), odezvu v místě vazeb s rotorem e možné vyádřt ve tvaru S S S S q = q + q + G Q (3) v k S kde G e matce s prvky ve smyslu rovnce (), s modálním vlastnostm volného statoru. Horní ndex S značí, že se prvky v matc vztahuí ke statoru. azby mez rotuící a nerotuící částí mohou být v obecném případě funkcí výchylky, rychlost zrychlení. Například pro kluzná ložska, nebo hydrodynamckého flmové tlumče mohou být síly mez rotuící a nerotuící částí pro nekruhovou traektor středu hřídele funkcí výchylky rychlost. Pak pro síly ve vazbách mez rotuící a nerotuící částí obecně platí S S S Q = K( q q ) + B( q q ) + M( q q ) (4) Pro rychlost a zrychlení v časovém kroku výpočtu lze použít např. vztahy q q q 2q + q 2 q =, q = (5) 2 t t Dosadíme-l do rovnce (4) za rychlost a zrychlení z (5), pro časový krok výpočtu, se po úpravě obdrží kde S q q G Q = q (6) k q k S S ( ) ( ) = B M M G q q q q t + 2 t t (7) a dále G K B M = + + t t 2 (8) přčemž horní ndex značí, že se prvky v matc vztahuí k vazebným členům mez rotuící a nerotuící částí. ýsledný tvar rovnce pro řešení se získá úpravou rovnc (2), (3) a (6) a má tvar

12 E 0 0 G 2 q 0 E 0 G22 q S 0 0 E G q 0 E E G Q S q q = q v v S v q q + q q k k k S k (9) kde Q e vektor neznámých sl ve vazbách. Na základě rovnce (9) se řeší odezva př přechodovém kmtání a v případě nelneárních vazebných elementů e nelneární. K eímu řešení byla v našem případě použta Atkenova, nebo Newton-aphsonova metoda. K výpočtu konvolutorních ntegrálů lze použít rekurentní formule, která byla pro tento účel odvozena algortmzována a softwarově zpracována. 2.3 ýpočet odezvy př vynuceném ustáleném kmtání ýsledná rovnce má obdobnou strukturu ako (9), pouze místo modálních matc sou matce dynamckých poddaností a na pravé straně nesou konvolutorní ntegrály. Dynamcká poddanost samostatné volné rotorové část má tvar: G n T vw = 2 ω λ = (20) Za předpokladu shodných pravostranných a levostranných vlastních vektorů se dynamcká poddanost statoru pro n tvarů kmtu vypočítá ze vztahu G n T vv = 2 ω λ S = (2) Odezva se získá řešením soustavy nelneárních algebrackých rovnc. K eímu řešení byly opět ako v předchozím případě aplkovány Atkenova, případně Newton-aphsonova metoda. 2.4 Metoda trgonometrcké kolokace Jeden z přístupů řešení odezvy př vynuceném ustáleném kmtání e proveden za předpokladu, kdy buzení odezva e rovna celočíselnému násobku otáčkové frekvence. U nelneárních úloh e známo, že v odezvě př buzení ednou harmonckou složkou sou buzeny subharmoncké, ultraharmoncké, nebo subultraharmoncké složky frekvence buzení. Jeden z možných algortmů řešení úloh e takový, kdy e nelneární funkce uvažovaná na pravé straně pohybové rovnce. některých případech e vhodněší zahrnovat přídavné účnky vazebných elementů na levou straně pohybové rovnce. Je to zeména v případě, kdy sou známy tenzory přídavných hmotností, tlumení nebo tuhostí ako funkce pouze ednoho parametru. Zahrnutí nelneárních vazebných elementů na levou stranu pohybové rovnce e také výhodné pokud se použí MDP, případně MM, tedy kdy e nutno stanovt matce dynamckých poddaností, nebo modální matce nelneárních vazeb. Buzení soustavy lze vyádřt buď v reálném, nebo komplexním oboru. Předpokládeme, že buzení e perodcké se známým násobky budící frekvence, které lze zapsat ako prvky množny v s prvky v ve tvaru 2

13 4 5 { } {, 2, 3,..., 2, 3,..., 3, 3,..., k } v= v = l (22) kde = n. Např. pro nevyšší stené číslo v čtatel menovatel 4 e množna násobků 3 3 {,2,3,4,,,, 2, 4,, } v = (23) S ohledem na aplkac MDP bude v této kaptole provedena analýza v komplexním oboru. Uvažume soustavu s edním hřídelem, která e schematcky nakreslena na obr.. Dále předpokládeme, že volná rotorová statorová soustava sou lneární a vazebné prvky mez oběma částm sou nelneární. dalším se zaměřme pouze na řešení ustálené složky odezvy př kmtání kolem známé rovnovážné polohy. Znamená to tedy, že např. pro kluzné ložsko e nalezení statcky rovnovážné polohy provedeno před analýzou vynuceného ustáleného kmtání. Buzení odezvu soustavy předpokládeme ve tvaru n () ( e Im ) m () ( e Im ) n vωt vωt Q t = Q + Q e = Q e = = m vωt vωt q t = q + q e = q e = = (24) Za předpokladu shodných pravostranných a levostranných vlastních vektorů statoru v S se dynamcká poddanost statoru pro n tvarů kmtu a -tou složku budící frekvence vypočítá ze vztahu G vv (25) 2n S S T S = v ω λ = Dynamcká poddanost samostatné volné rotorové část odpovídaící -té složce budící frekvence se stanoví na základě vztahu G vw (26) 2n T = v ω λ = ozdělením dynamcké poddanost volného rotoru na submatce, echž řád e dán specfkací míst buzení a místy vazeb mez rotorem a statorem pro -tou složku buzení e q G G Q 2 S = q G G 2 22 Q (27) Za předpokladu, že e řešen volný rotor ( Q = 0) pro -tou složku odezvy na rotoru a v místech vazeb se statorem plynou z rovnce (27) vztahy (dolní ndex v značí že se edná o volnou soustavu) 3

14 q = G Q v q = G Q S v 2 (28) nebo také q v G Q qv2 0 G Q2 = qv... n 0 0 Gn Qn S q v G Q 2 S qv2 0 G = Q S qv... n 0 0 Gn 2 Qn (29) a zkráceně q q = G Q v = G Q S v 2 (30) Pro -tou složku samostatné statorové část platí pro odezvu v místech vazeb s rotorovou částí vztah S S q v G Q S S qv2 0 G Q2 = S S q v... n 0 0 Gn Qn (3) a zkráceně S S qv = G Q (32) Odezvy samostatných částí lze řešt pouze pro příslušné -té složky buzení, protože vzhledem k lneárnímu systému sou odezvy na ostatních násobcích nulové. zhledem k tomu, že poddanost rotorové a statorové část sou vyádřeny v komplexním oboru, e nutno vazby analyzovat v komplexním oboru. Pro vazebné členy mez rotorem a statorem, které mohou tvořt samostatný dynamcký subsystém, lze př použtí podmínek rovnováhy a kompatblty pohybovou rovnc psát ve tvaru n n 2 2 S S ( ) ( ) e v ωt e vωt vω vω + = = = K M B q q Q (33) 4

15 kde matce MBK,, sou obecně nelneární funkční závslost na výchylce a rychlost a ech řád e v případě uvažování pouze posuvů dvonásobný počtu vazeb mez rotorem a statorem. Zkráceně lze tuto rovn pro k -tý kolokační čas vyádřt ako kde n n k S S v ( ) e ωt k = = = C q q Q (34) 2 2 ( ω ) k k k k k v t = v + vω e ω C K M B (35) ovnce (34) po detalněším zápsu pro m kolokačních časů e C C2... C n S S v t v2 t vn t ω ω ω q q e E e E... e E Q S S vωt2 v2ωt2 vnωt C C Cn q2 q2 e e... e = E E E Q m m m S S vωtm v2ωtm vnωt e e... e 2... n n n q q m E E C C C E Qn (36) kde E e ednotková matce, eíž řád př uvažování pouze posuvů e roven dvonásobnému počtu vazeb. Stený řád maí příslušné submatce. ovnc (36) lze zapsat ve tvaru, ( ) S S C q q = DQ (37) přčemž horní ndex značí, že se matce týkaí vazeb. Obecně obdélníková matce D na pravé straně této rovnce obsahue pro konkrétní kolokační časy čísla, nebo také kde ( ) S S q q = GQ (38) G = C + D (39) ýsledná rovnce pro řešení vynuceného ustáleného kmtání má po úpravě tvar E 0 0 G 2 q q v S S 0 E 0 G22 q qv = S S 0 0 E G q 0 0 E E G Q 0 (40) Jestlže označíme n b počet míst na rotoru se specfkovaným buzením, nebo také místa s požadovanou odezvou (př nulovém buzení), n v počet míst s vazbam mez rotuící a nerotuící 5

16 částí, a dále n počet požadovaných násobků budící frekvence v odezvě, pak ednotlvé matce sou: 2nn 2nn G 2 - blokově dagonální matce řádu ( b v) G 22 - blokově dagonální matce řádu ( 2nnv 2nnv) S G - blokově dagonální matce řádu ( 2nnv 2nnv) G - plná matce řádu ( 2nn 2nn ) v v Zkráceně lze rovnc (40) zapsat ve tvaru, který se používá pro soustavu algebrackých rovnc Ax = b (4) což e soustava obecně nelneárních rovnc algebrackých rovnc. K eímu řešení lze použít některý z algortmů uvedených v dalších kaptolách. Tvar rovnce (40) e po formální stránce shodný s tvarem pro řešení odezvy př uvažování buzení odezvy s ednou harmonckou složkou (vz. rov. (9)). případě uvažování buzení s více složkam sou matce dynamckých poddaností rotorové a statorové část blokově dagonální, matce dynamckých poddaností vazebných elementů e plná. 3 Dynamcké vlastnost čerpadla BETA 26 Jako příklad e uvedena analýza dynamckých vlastností ednostupňového čerpadla BETA 26. Čerpadla řady BETA sou určena pro čerpání čsté a mírně znečstěné vody do teploty 80 0 C s obsahem pevných látek do 2% hmotnost a velkost zrn do 0,5 mm. Řada obsahue 40 velkostí, které výkonově pokryí oblast menovtého průtoku od 0,5 do 266 l.s - a dopravní výšky od 2,5 do 30 m. Konstrukčně e čerpadlo řešeno ako horzontální, odstředvé sprální za provozu poháněné elektromotorem, který e s čerpadlem spoen axální spokou. Čerpadla maí uzavřená oběžná kola s axálním vstupem a radálním výstupem, rotor e uložen v ložskové konzole na valvých ložskách. U ucpávky e možná volba mez měkkou ucpávkou a ednoduchou mechanckou. Schéma čerpadla e na obr. 2. Analýza byla prováděna výpočtovým modelováním expermentálně ak za rotace tak za kldu. Cílem analýzy bylo stanovt závslost frekvenčně modálních vlastností na otáčkách (Campbellův dagram), včetně tvarů kmtu, a dále stanovt odezvu na sezmcké buzení. 3. Frekvenčně modální vlastnost Frekvenčně modální vlastnost, včetně Campbellova dagramu byly stanoveny expermentálně za kldu za rotace a výpočtovým modelováním. Expermentální stanovení frekvenčního spektra bylo provedeno expermentální modální analýzou. Čerpadlo bylo přpevněno k základu, snímač zrychlení byl umístěn na oběžné kolo, kam byl provedeno buzení rázovým kladívkem. Tímto způsobem byly stanoveny vlastní frekvence suchého rotoru za kldu. Pro výpočtové modelování bylo nutno nedříve sestavt výpočtový model. Značné problémy čnlo modelování konstrukčního uzlu, který představue spoení kola s hřídelem. Jako nevhodněší se ukázal model ve kterém bylo ucpávkové pouzdro modelováno hřídelovým prvky paralelně přřazeným ke hřídel. uzlech 3 a 6 maí obě část stenou výchylku a natočení. Schéma výsledného modelu e na obr. 3. Momenty setrvačnost oběžného kola byly stanoveny expermentálně. 6

17 Tuhostí a tlumením v uzlu e modelován vlv těsnící spáry. ýpočet přídavných tuhostí, tlumení a hmotností e založen na Hrsových rovncích, které předpokládaí plně vyvnuté turbulentní proudění v axálním obvodovém směru. Př řešení se nedříve stanoví závslost tlaku, obvodové a axální rychlost na délce spáry. Složky vratných sl působících v radálním směru na čep v těsnící spáře se stanoví následnou ntegrací. Obr. 2. Schéma čerpadla q z (t) Obr. 3. ýpočtový model čerpadla Pro těsnící spáry řešeného čerpadla byly uvedenou metodou vypočteny všechny dynamcké koefcenty, přčemž koefcenty na vedleší dagonále matc maí řádově nžší hodnoty než členy na hlavní dagonále a proto s nm nebylo uvažováno př řešení dynamky rotoru. Dynamcké koefcenty byly počítány pro zadané parametry (délka, rozdíl tlaků před a za spárou, vůle,...) s otáčkam ako proměnným parametrem. ýsledkem výpočtu byla závslost dynamckých koefcentů na otáčkách. ozdíly tlaků na spárách byly zadány pro menovté otáčky čerpadla 2900 /mn. našem případě byla přídavná hmotnost zanedbatelná a přídavná tuhost tlumení vykazovaly velm slabou závslost na otáčkách. 7

18 Do výpočtového modelu byla rovněž zahrnuta poddanost ložskové konzoly, která byla stanovena pomocí expermentální modální analýzy. Z čerpadla byl demontován hřídel a čerpadlo bylo přpevněno ke stolu s T drážkam, včetně opory konzoly. Snímače zrychlení byly umístěny v místě patky konzoly ve vodorovném a svslém směru. Expermentální modální analýzou byly stanoveny frekvenčně modální vlastnost pro vodorovný a svslý směr. Z těchto hodnot byla pro místa kde sou umístěna ložska stanovena dynamcká poddanost ložskové konzoly. Do výpočtu byly pro oba směry zahrnuty frekvenčně modální vlastnost pro první a druhý tvar kmtu ložskové konzoly. Přístup k výpočtovému modelování tuhostí a tlumení valvých ložsek e uveden v [2]. Ložsko ve střední část čerpadla e v našem případě válečkové a na kra ložskové konzoly e dvouřadé kulčkové s kosoúhlým stykem. elkost tlumení byla několka násobně menší ve srovnání s tlumením v těsnící spáře oběžného kola. Pro utěsnění prostoru za oběžným kolem e v našem případě použto radální kontaktní těsnění. Expermentální analýzou bylo stanoveno, že tuhost tlumení sou několkanásobně nžší ve srovnání s hodnotam těsnících spár, proto nebylo ve výpočtovém modelu uvažováno. Jak ž bylo uvedeno, analýza dynamckých vlastností byla prováděna výpočtovým modelováním a expermentálně za kldu za rotace. tabulce I sou pro porovnání uvedeny frekvence pro první dva tvary kmtu. Zde e uvedena specfkace rotorové soustavy. Suchý rotor e bez vody, mokrý s vodou. Experment ve 2. případě byl prováděn na soustavě bez spoky mmo zkušební zařízení, zatímco ve 3. a 5. případě bylo čerpadlo se spokou a bylo umístěno na zkušebním zařízení. Hodnoty uvedené pro případ 5 byly stanoveny analýzou frekvenčního spektra vbrací př ustáleném provozním stavu pro oba směry kmtání, a také z Campbellova dagramu. zhledem k tomu, že nebylo možné rozlšt výrazněší směr kmtání, e uvedena pouze edna frekvence pro první druhý tvar. ýpočet, suchý rotor, n = 0 /mn, tuhé podpory 2 Experment suchý rotor, n = 0 /mn, poddané podpory 3 Experment mokrý rotor, n = 0 /mn, poddané podpory 4 ýpočet mokrý rotor, n = 2900 /mn, poddané podpory 5 Experment mokrý rotor, n = 2900 /mn, poddané podpory Frekvence [Hz]. tvar kmtu 2. tvar kmtu svsle vodorovně svsle vodorovně Tabulka I. lastní frekvence pro první dva tvary kmtu ýpočtové modelování bylo prováděno dvěma výpočtovým systémy. První systém e založen na aplkac metody konečných prvků a umožňue analyzovat nelneární rotorové soustavy bez možnost zahrnutí poddanost nerotuící část. Druhý výpočtový systém e založen na aplkac metody dynamckých poddaností a umožňue analyzovat nelneární rotorové soustavy se zahrnutím poddanost nerotuící část. případě aplkace MDP e nutno analyzovat nedříve volnou rotorovou soustavu a teprve následně se analyzue celá soustava, přčemž se do řešení 8

19 zahrnuí výsledky analýzy volné rotorové soustavy. ýpočet v případě 4 byl prováděn s využtím metody MDP, v případě pomocí klascké MKP. Z tabulky I e zřemé, že na vlastní frekvence, zeména druhého tvaru kmtu, má značný vlv poddanost ložskové konzoly poddanost ložsek. Nenžší vlastní frekvence samostatné ložskové konzoly byla 350 Hz k = Tvar Tvar 50 Nabehova prmka k = Obr. 4 Campbellův dagram (výpočet) Obr. 5 Campbellův dagram (experment) 9

20 Na obr. 4 e nakreslen Campbellův dagram pro první dva tvary kmtu a pro mokrý model rotoru, který zahrnue tuhost valvých ložsek poddanost nerotuící část. Gyroskopcké účnky maí malý vlv na závslost, zeména prvního tvaru kmtu na otáčkách. Pro druhou modelovou úlohu se zeména pro nžší otáčky (menší než 500 /mn) proevue vlv tuhost valvých ložsek. Tato závslost e dána zahrnutím pouze odstředvé síly pro zatížení ložsek, která e pro nízké otáčky malá. Pro expermentální analýzu za rotace bylo čerpadlo umístěno na zkušebním stendu s uzavřeným tekutnovým systémem, přčemž místo elektromotoru bylo čerpadlo poháněno dynamometrem s proměnným otáčkam. Během provozu byly snímány vbrace v místě ložska umístěného blíže spoky. Campbellův dagram stanovený z odezvy ve svslém směru e nakreslen na obr. 5. e frekvenčním spektru se obevovala nevýrazně 7. harmoncká otáčková složka, která odpovídá 7 lopatkám oběžného kola. 3.2 Sezmcká odezva Cílem této analýzy bylo posoudt, zda za provozu př menovtých otáčkách a př zemětřesení dode ke kontaktu mez rotuící a nerotuící částí. Z frekvenčního spektra e zřemé, že nevývahou e buzen zeména první tvar kmtu, který má nevětší výchylku na konc hřídele kde e umístěno oběžné kolo. Z toho důvodu byla pozornost zaměřena zeména na relatvní výchylku v uzlu. Otáčky rotoru byly během celého řešení konstantní 2900 /mn. Sezmcké buzení e specfkováno známým časovým závslostm zrychlení pro oba směry kmtání. ychlost a výchylka byly stanoveny numercky. Na obr. 6 e nakreslena závslost zrychlení ve svslém směru na čase. Na obr. 7 e nakreslena závslost výchylky na čase stanovené numercky. Jak ž vyplývá z předchozího, na dynamcké vlastnost má značný vlv poddanost nerotuící část. Proto byla sezmcká odezva stanovena pro dva modelové případy. Oba modely sou pro mokré rotory, se zahrnutím tuhost a tlumení ve spáře. První model e bez zahrnutí poddanost nerotuící část a druhý s eím zahrnutím. Pro první model byl použt výpočtový systém založený na MKP, kdy se řeší odezva přímou ntegrací pohybové rovnce. Pro druhý model byl použt výpočtový systém založený na aplkac MDP. tomto případě e nutno v každém kroku výpočtu do řešení zahrnout konvolutorní ntegrál stanovený pro volný rotor a stator. Tato skutečnost značně prodlužue výpočtové časy ve srovnání s přímou ntegrací pohybové rovnce. Řešení odezvy e prováděno v absolutním (nehybném) souřadncovém systému a knematcké velčny relatvně vzhledem k základnímu tělesu se stanoví následným přepočtem. Zahrnutí sezmckého buzení, tedy pohybu základního tělesa e provedeno převedením na pravou stranu pohybové rovnce. Řešení odezvy e pro obě modelové úlohy, tedy pro model s nepoddanou a poddanou statorovou částí, provedeno algortmy určeným pro analýzu nestaconárních přechodových děů. Do řešení e zahrnuto buzení nevývahou sezmcké. Nedříve bylo nutno po určtý čas řešt odezvu pouze pro buzení nevývahou. Časový úsek e nutno volt tak, aby na eho konc měla odezva charakter ustáleného kmtání. našem případě byl zvolen čas 0.2 s. tomto okamžku začne působt sezmcké buzení po dobu cca 2.5 s společně s buzením od nevývahy. Celkový čas výpočtu byl 3s. Na obr. 8 a 9 sou nakresleny výchylky ve směru y v uzlu pro obě modelové úlohy. Na obr. 8 e odezva pro případ bez zahrnutí poddanost nerotuící část a na obr. 9 e s eím vlvem. Z porovnání obou obrázků e zřemé, že větších výchylek se dosahue pro modelovou úlohu se zahrnutím poddaností nerotuící část. To e způsobeno zřemě tím, že vlvem poddanost nerotuící část se sníží vlastní frekvence, a tím se výrazně proevue buzení od nevývahy. 20

21 Maxmální stanovená relatvní výchylka pro model s vlvem poddanost nerotuící část e 0.04 mm. Pro předpoklad, že vůle mez rotuící a nerotuící částí v těsnící spáře e 0.2 mm e zřemé, že během sezmckého buzení nedode ke kontaktu mez rotuící a nerotuící částí. Je nutno však mít na zřetel, že velkost odezvy značně závsí na tlumení v soustavě. Proto e nutno eímu stanovení věnovat značnou pozornost. Př výpočtovém modelování se zeména pro první modelovou úlohu proevl skok v zatížení př skončení sezmcké odezvy. To e způsobeno tím, že ve vstupních datech obsahuících zrychlení není na konc děe, t. ve 2.5s nulové zrychlení a tudíž an nulová rychlost, případně výchylka. Zeména člen K*q pro tuhé uložení dosahoval na konc sezmckého buzení relatvně značných hodnot. e frekvenčním spektru vypočtené odezvy e pro oba modelové případy nevýrazněší a domnantní otáčková frekvence. e spektru byly rovněž zřemé první a druhá vlastní frekvence soustavy. Obr. 6. Sezmcké zrychlení ve svslém směru Obr. 7. Sezmcká odezva ve svslém směru Obr. 8. ýchylka s tuhým statorem Obr. 9. ýchylka s poddaným statorem Uvedená úloha techncké praxe měla za cíl ukázat na možnost výpočtového modelování a uvést porovnání výpočtového a expermentálního modelování. Ke zlepšení výpočtového modelu byly využty výsledky expermentální modální analýzy. Bez této možnost by výsledky analýzy 2

22 mohly být více č méně zaváděící. Poddanost nerotuící část má značný vlv na dynamcké vlastnost rotorové soustavy. Tato okolnost se proevla zeména ve velkost odezvy př sezmckém buzení. tomto případě byla poddanost stanovena na základě expermentální modální analýzy. Ne vždy lze experment provést, proto se nabízí možnost stanovt frekvenčně modální vlastnost nerotuící část výpočtovým modelováním. Značný vlv na velkost odezvy př výpočtovém modelování má tlumení. našem případě byl k výpočtu přídavných tuhostí a tlumení použt přístup, který e vhodný zeména pro dlouhé těsnící spáry. Dosavadní zkušenost s modelováním přídavných účnků od těsnících spár ukazuí na nutnost expermentálního ověření výsledků výpočtu. 4 Závěr Přednáška e zaměřena na oblast výpočtového modelování dynamckých vlastností rotorových soustav. Svým rozsahem pokrývá základní dynamcké charakterstky, které e nutno stanovt zeména ve fáz návrhu rotorové soustavy. ýpočtové modelování e poato komplexně, to znamená že zahrnue teoretcký rozbor dané problematky, návrh algortmů řešení, dále softwarové zpracování do programových systémů až po řešení modelových úloh nebo úloh techncké praxe. Základní dynamcké charakterstky, které byly př řešení uvažovány sou: frekvenčně modální vlastnost odezva př vynuceném ustáleném kmtání odezva př přechodovém kmtání závslost vlastních čísel na otáčkách (problém stablty kmtání) kaskádový dagram Je popsána aplkace metody dynamckých poddaností a modální metody př řešení základních dynamckých vlastností vázaných nelneárních rotorových soustav. Zeména modální metoda e původní a autorov není doposud známa eí publkace v lteratuře. Jeí aplkace př řešení nestaconární odezvy nelneárních rotorových soustav s poddanou nerotuící částí představue nový přístup ve výpočtovém modelování. Společně s MKP byla modální metoda softwarově rozpracována pro řešení problému vlastních hodnot, odezvy př vynuceném ustáleném přechodovém kmtání. S ohledem na zahrnutí celé řady nelneárních vazeb do výpočtového modelování, bylo nutno se zabývat a zvládnout řadu nových algortmů řešení a postupů řešení. O ech orgnaltě svědčí záem frmy SS FEM s.r.o. v Brně která e mplementue do programového systému ANSYS. Původním příspěvkem k této problematce e rozšíření řešení odezvy vynuceného ustáleného kmtání v souvslost s MDP o aplkac metody trgonometrcké kolace. Algortmus tohoto zcela nového přístupu k řešení byl teprve v nedávné době softwarově zpracován v programovém prostředí MATLAB a e v současné době testován př řešení modelových úloh. Celkově lze říc, že metoda trgonometrckých kolokací spoue výhody řešení vynuceného ustáleného a přechodového kmtání. ýhodou řešení vynuceného ustáleného kmtání e, že lze na základě předem požadovaného tvaru řešení stanovt matcový záps výchozích rovnc, čímž e vlastní výpočet velm rychlý. ýhodou řešení přechodového kmtání na druhou stranu e v tom, že k popsu nelneárních funkčních závslostí lze využít prmárních fyzkálních velčn ako funkcí času, t. např. vztahů pro síly působící na hřídel, stanoveným na základě tlakového pole, které sou dále závslé např. na výchylkách, ale také rychlostech. Pro daný konkrétní čas kolokace sou tak známy knematcké velčny a není tak nutno dělat žádné předpoklady na tvar traektore středu hřídele. 22

23 eškeré algortmy a postupy, které byly prezentovány byly softwarově zpracovány a vyústly do několka programových systémů, které sou v současné době zpracovány ve vývoovém prostředí Mcrosoft Developer Studo 97. dalším období byly autorem vypracovány další 4 programové systémy, které byly odladěny a testovány na řadě modelových úloh a aplkovány pro řešení celé řady úloh z techncké praxe. ýsledky výpočtového modelování byly publkovány zeména v meznárodních národních časopsech, a také na řadě semnářů a konferencích pořádaných v Č v zahrančí. Př řešení byly výsledky výpočtů, pokud to stuace umožnla, porovnány autorem expermentálně přímo na reálném stro. Přednáška se zabývá výpočtovým modelováním dynamckých vlastností pro eden hřídel, který e vázán na poddanou statorovou část. Poměrně snadno lze celou problematku rozšířt na několk sérově vázaných rotorových soustav, které sou vzáemně spoeny spokam. Další rozšíření e možné provést pro koaxální rotorové soustavy. Také tato problematka e zpracována až do softwarového zpracování pro řešení celého výše uvedeného rozsahu úloh dynamky. této oblast byla významnou aplkací analýza dynamckých vlastností leteckého motoru AI 25. Za zmínku rovněž stoí analýza dynamckých vlastností modelové koaxální soustavy, u které byly výsledky výpočtového modelování porovnávány s expermentem. Přínos pro rozvo vědního oboru v oblast mechanky Konkrétní přínos lze spatřovat zeména v těchto oblastech: v komplexní podobě byla zpracována aplkace metody dynamckých poddaností a modální metody pro řešení dynamckých charakterstk nelneárních rotorových soustav s edním hřídelem a poddanou statorovou částí v komplexní podobě byla zpracována aplkace metody dynamckých poddaností a modální metody pro řešení dynamckých charakterstk nelneárních rotorových soustav se dvěma koaxálním hřídel a poddanou statorovou částí byl zpracován algortmus řešení odezvy vynuceného ustáleného kmtání s využtím kolokační metody a metody dynamckých poddaností v dalším rozvo vědního oboru mechanky kontnua o nové metody a přístupy k řešení v rozšíření výpočtového modelování o nové algortmy a postupy v komplexním přístupu k modelování s tím, že nové metody byly algortmzovány, softwarově zpracovány, odladěny a otestovány př řešení modelových úloh ve vznku několka nových programových systémů, především zaměřených na dynamku rotorových soustav ve využtí nových poznatků vědy př řešení úloh z techncké praxe ve výchově absolventů denního doktorandského studa tím, že sou nové metody využívány ve výukovém procesu 5 Seznam lteratury [] Nelson, H., D., Mcaugh, J., M.: The Dynamcs of otor-bearng Systems Usng Fnte Elements. Journal of Engneerng for Industry, Transactons of the ASME, May 976. [2] Zorz, E., S., Nelson, H., D.: Fnte Element Smulaton of otor-bearng System wth Internal dampng. Journal of Engneerng for Power, Transactons of the ASME, January 997. [3] Krämer, E.: Dynamcs of otors and Foundatons. Sprnger erlag Berln, 993. [4] Slavík, J., Steskal,., Zeman,.: Základy dynamky stroů, ČUT Praha,

24 [5] Malenovský, E., Ondrůšek, Č., Zapoměl, J., eselka, F., Král, P.: ybrané problémy analýzy dynamckých vlastností rotorových soustav s elektromechanckým vazbam. Průběžná zpráva úkolu GAČ č. 0/96/078, Brno 996. [6] Tondl, A.: Some Problems of otor Dynamcs. Publshng House of the Czechoslovak Academy of Scences, Prague 965. [7] Malenovský, E., Zapoměl, J., Ondrůšek, Č., eselka, F.: ýpočtové modelování dynamckých vlastností nelneárních rotorových soustav. Závěrečná zpráva úkolu GAČ č. 0/96/078, Brno 998. [8] Malenovský, E., Kamencký, J.: Teoretcko expermentální analýza vázaného kmtání souosých rotorových soustav. ýzkumná zpráva UT FS - A Brno, 995. [9] Malenovský, E., Kamencký, J.: ýpočtové modelování vbrací dvourotorového leteckého motoru AI - 25 s uvážením poddanost skříně. ýzkumná zpráva UT FS - A Brno, 995. [0] Kamencký, J. Malenovský, E.: Dynamcké vlastnost nelneární vázané soustavy motoru AI- 25. ýzkumná zpráva A Brno, Brno 998. [] Zapoměl, J.: Přístup k zahrnutí materálového tlumení do výpočtového modelování mechanckých systémů. Habltační práce, ŠB-TU Ostrava 998. [2] Zapoměl, J.: Pops programového systému FEDYNA. Užvatelský manuál, ŠB-TU Ostrava 998. [3] Malenovský, E., Zapoměl, J.,: ybrané problémy výpočtového modelování v úlohách dynamky nelneárních rotorových soustav. Závěrečné zpráva grantového úkolu GAČ č. 0/93/0297, UT FS Brno, 995. [4] Malenovský, E.: Dynamka rotorových soustav. Habltační práce UT FSI v Brně. Brno 993. [5] Brepta,., Půst, L., Turek, F.: Mechancké kmtání. Techncký průvodce. Sobotáles, Praha 994. [6] ance, J., M.: otordynamcs of Turbomachnery. Wley, New York, 988. [7] Zeman,., Dupal, J., Hlaváč.: Modelování vbrací hřídelových soustav. z č , Plzeň 994. [8] Zeman,., Dupal, J.: Predkce únavové žvotnost a parametrcká optmalzace nosníkových konstrukcí. z č , Plzeň 997. [9] Gasch,., Pfützner, H.: Dynamka rotorů. SNTL Praha, 980. [20] Malenovský, E.: ýpočtové modelování dynamckých vlastností nelneárních rotorových soustav. Inženýrská mechanka, roč. 6, 999, č.6 str [2] Lalane, M., Ferrars, G.: otordynamcs Predcton n Engneerng. John Wley & Sons, Ltd, 990. [22] Malenovský, E., Zapoměl, J., Ondrůšek, Č., eselka, F.: ybrané problémy výpočtového a expermentálního modelování nelneárních rotorových soustav. Průběžná zpráva úkolu GAČ č. 0/96/078, Brno 997. [23] Tondl, A., Lazar, L.: Nonlnear esonances and ther Identfcaton. Acta Technca ČSA Praha, Czech epublc 976, pp [24] Malenovský, E.: Usng the Modal n otor Dynamc Systems. Internatonal Journal of otatng Machnery. ol. 9, No.3., 2003 pp [25] Malenovský, E.: Příspěvek k dynamce rotorových soustav. Doktorská dsertační práce. UT FSI Brno,

25 6 Poděkování Převážná většna výsledků v této oblast byla dosažena př řešení proektů GAČ. Je to proekt GAČ č. 0/93/0297 řešeného v létech , s názvem Modelování, smulace a analýza dynamckých evů v nteraktvních pohonových soustavách. Dále proekt GAČ č. 0/96/078 řešeného v létech , s názvem Analýza dynamckých vlastností vázaných rotorových soustav s poddanou nerotuící částí a nelneárním vazbam. Dále proekt GAČ č. 0/99/327, který byl řešen v létech , Nový přístup k modelování nelneárních vazebných elementů vázaných rotorových soustav. současné době e tato problematka rozpracovávána v rámc řešení proektu GAČ č. 0/02/00 s názvem Nový přístup k analýze dynamckých vlastností nelneárních vazebných elementů používaných v dynamce rotorových soustav. 7 Abstract Applcaton of Modal Method n the Computatonal Modellng of Dynamc Behavor of otor Systems The lecture s focused on the problem of computatonal modellng of rotor dynamc behavor. The complex computatonal model ncludes the theoretcal analyss, the algorthm composton, the software product composton and the soluton of engneerng practce tasks. The basc dynamc behavor whch were looked at durng the study are frequency modal behavor steady - state response transent response the PM egen frequency dependence (the stablty problem of vbraton) waterfall (cascade) dagram The method of dynamc complance and modal method were appled for the analyss of the dynamc behavor of couplng nonlnear rotor systems. The modal method s especally new and t s not known to the author whether t has been publshed. The method and algorthm for soluton of transent response for strongly nonlnear rotor systems nfluenced by the complance stator part s totally new. Both the modal and fnte element methods were performed usng software for solvng the egen value problem, steady state response and transent responses. A lot of new algorthms and computatonal procedures were developed for ncludng a lot of specal nonlnear couplngs. The company SS FEM Ltd n Brno ncluded these algorthms to the program system ANSYS. The orgnal s the method, whch combnes the trgonometrc collocaton method and the method of dynamc complance for the soluton of steady state response. All the algorthms have been performed not long ago n MATLAB programme code and have been used for the soluton of model samples recently. The trgonometrc collocaton method combnes the advantages of steady state response soluton wth the transent response of nonlnear dynamc systems. The bg advantages of ths approach s that t s possble to set the matrx form of the general equaton based on the assumed soluton so that ths approach leads to beng solved faster. On the other hand, a bg advantage of the transent response soluton s that the nonlnear couplng element behavor can be descrbed as forces as functons of prmary physcal propertes. For example, the forces of a thn lqud flm are determned based on the pressure and velocty feld, whch are determned only from one parameter (e.g. shaft center poston). For a gven collocaton tme the 25