INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodc studim V kapitol Difrnciální počt funkcí jdné proměnné jst s sznámili s drivováním funkcí Jstliž znát drivac lmntárních funkcí a pravidla pro drivování, jst schopni drivovat libovolnou funkci Možná Vás napadn, zda j možno z drivované funkc nějakým způsobm získat původní funkci Opačnou oprací k drivování j intgrac (anglické tty používají trmín antidriva V této kapitol s sznámít s pojmm primitivní funkc Množinu všch primitivních funkcí k dané funkci nazvm nurčitým intgrálm Sznámít s základními mtodami intgrac (substituční mtoda a mtoda pr parts) V závěru s budm věnovat způsobům intgrac něktrých vybraných druhů funkcí Primitivní funkc a nurčitý intgrál Cíl Sznámít s s pojmm primitivní funkc a nurčitý intgrál funkc jdné proměnné Přdpokládané znalosti Přdpokládám, ž umít dobř drivovat funkc jdné proměnné, ž znát tabulku drivací lmntárních funkcí Přdpokládá s i základní znalost pojmu difrnciál funkc Výklad V kapitol Difrnciální počt funkcí jdné proměnné jst s sznámili s drivováním funkcí Pro danou funkci f( ) dovdm nalézt jjí drivaci f ( ) = g( ) Věnujm s nyní opačné úloz Hldám takovou funkci F( ), aby daná funkc f( ) byla jjí drivací, tj aby platilo F ( ) = f ( ) Tato funkc, pokud ovšm istuj, s njn v matmatic hldá vlmi často a jmnuj s primitivní funkc Postup hldání primitivní funkc s nazývá intgrování (opačná oprac k drivování) Příklad Pro funkci drivování f ( ) = f ( ) = 6 = g( ) Opačná úloha intgrování F( ) f( ) = =, protož platí F ( ) = = = f( ) - 9 -
Primitivní funkc a nurčitý intgrál Dfinic Říkám, ž funkc F( ) j v intrvalu ( ab, ) primitivní funkcí k funkci f( ), platí-li pro všchna ( ab, ) vztah F ( ) = f ( ) Řšné úlohy Příklad Najdět primitivní funkci k funkci f( ) = v intrvalu (,) Hldám funkci F( ), jjíž drivac s na intrvalu (,) rovná J zřjmé, ž to bud nějaký násobk funkc Po krátkém primntování zjistím, ž j to funkc F( ) =, nboť F ( ) = = = = ( ) s liší konstantou, primitivní k dané funkci Příklad Najdět primitivní funkci k funkci f( ) f Podl věty budou i funkc, ktré = v intrvalu (, ) Jlikož všchny úvahy v řšní příkladu platí pro libovolné rálné (, ), j řšním stjná funkc F( ) = Příklad Najdět primitivní funkci k funkci f ( ) =, n N v intrvalu (, ) n Podobnými úvahami dojdm k tomu, ž primitivní funkc má tvar F( ) n+ =, n + n pro všchna ) (,, protož Příklad 5 Najdět primitivní funkci k funkci n+ n ( n+ ) n F ( ) = = = = f( ) n+ n+ f( ) = v intrvalu (0, ) Vidím, ž vztah uvdný v příkladu nlz použít pro n = Snažím s najít funkci, jjíž drivací j f( ) = = Z přhldu drivací lmntárních funkcí vím, - 0 -
ž touto funkcí j funkc F( ) ln, nboť = [ ] Příklad 6 Najdět primitivní funkci k funkci Primitivní funkc a nurčitý intgrál F ( ) = ln = = f( ) pro (0, ) f( ) = v intrvalu (,0) Podobnými úvahami jako v přdcházjící části zjistím, ž primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,0) j funkc F ( ) = ln = ln( ) Funkc F ( ) = ln j primitivní funkcí k funkci Avšak také funkc f( ) = pro (,0) (0, ) F ( ) = ln + 5 bud primitivní funkcí k dané funkci, nboť platí F ( ) = ln 5 + = = f( ), protož drivac konstanty j rovna nul J zřjmé, ž tvrzní platí njn pro konstantu 5, al i pro libovolnou jinou konstantu C Věta J-li F( ) primitivní funkc k funkci f( ) v intrvalu ( ab, ), pak také funkc F( ) + C, kd C j libovolná rálná konstanta, j primitivní funkcí k funkci f( ) v intrvalu ( ab, ) ( ab, ) ( ) ( ) ( ) Důkaz: Jlikož na intrvalu platí [ F + C] = F = f dostanm podl dfinic uvdné tvrzní Poznámka K dané funkci istuj nkončně mnoho primitivních funkcí, ktré s liší konstantou Dfinic Množina všch primitivních funkcí k funkci f( ) na intrvalu ( ab, ) s nazývá nurčitý intgrál této funkc Píšm: f ( d ) = F ( ) + C Poznámka - s nazývá intgrační znak, - f( ) j intgrovaná funkc (intgrand), - d j difrnciál intgrační proměnné, - C j intgrační konstanta - -
funkci Základní nurčité intgrály Příklady 5 a 6 bychom mohli v souladu s dfinicí formulovat: Intgrujt f( ) = na daném intrvalu Zápis: d Výsldk, ktrý jsm získali (množina všch primitivních funkcí F ( ) = ln + C ), zapíšm: d = ln + C Tnto vztah platí pro všchna, pro něž jsou příslušné funkc ( a ln ) dfinovany, tj pro všchna 0 V takových případch často vynchávám intrval, v ktrém pracujm Základní nurčité intgrály Oprac intgrování (tj oprac určování primitivní funk a drivování jsou navzájm invrzní Z tabulky drivací lmntárních funkcí hnd dostanm tabulku nurčitých intgrálů (tab ) O správnosti uvdných vztahů s podl dfinic snadno přsvědčím drivováním Tabulka Tabulka základních intgrálů [] 0d = C [] d = + C n+ n [] d = + C n + [] d = ln + C [5] sin d = cos + C [6] cos d = sin + C [7] d = tg + C cos [8] d = cotg + C sin [9] pro > 0, n pro 0 π pro (k + ), k Z pro kπ, k Z d = arcsin + C pro (, ) [0] d = arctg + C + a [] a d = + C ln a pro a > 0, a - -
Základní nurčité intgrály [] d = + C [] f ( ) d = ln f ( ) + C f( ) d [] = arctg + C a + a a d [5] = arcsin + C a a pro a > 0 [6] f ( a + b) d = F( a + b) + C pro a 0 a pro ( a,, a > 0 Poznámka Eistují rozsáhlé tabulky, v ktrých lz nalézt množství dalších nurčitých intgrálů K výsldkům můžm dospět použitím pravidl a mtod intgrac, ktré budou uvdny v násldující části Dns však tyto tabulky ztrácjí význam, nboť jsou dostupné matmatické programy, ktré zvládnou intgraci složitých funkcí (např Driv, Mapl, Mathmatic Na Intrntu lz nalézt řadu onlin kalkulátorů (např http://intgralswolframcom/indjsp, http://wwwwbmathcom/intgrathtml a další) Po zadání intgrované funkc j nalzna primitivní funkc Nurčité intgrály z dalších funkcí lz získat různými intgračními mtodami Z pravidl pro drivování funkcí ( f ± g) = f ± g, ( cf ) = cf, c = konst a z vlastnosti primitivní funkc okamžitě plyn: Věta Mají-li funkc f( ) a g( ) na intrvalu ( ab, ) primitivní funkc, pak platí: ( f ( ) ± g( )) d= f( d ) ± g( d ) cf ( ) d = c f ( ) d, c = konst f ( d ) = f( ) + C Řšné úlohy (úpravou intgrandu) Příklad Vypočtět intgrál + + d - -
Základní nurčité intgrály + + 0 d = d+ d + d = + + ln C + Příklad Vypočtět intgrál ( ) d ( ) d = ( + ) d = d d + d = + + C = + + C Příklad Vypočtět intgrál tg d sin cos tg d = d = d = d tg C = cos cos cos + Příklad Vypočtět intgrál cotg d ( sin ) cos cotg d = d = d = ln sin C sin sin + (Použili jsm vztah [] z tabulky ) Příklad 5 Vypočtět intgrál + d + + ( + )( + ) d = d = ( + ) d = C + + + + Při úpravě čitatl zlomku jsm použili vztah a + b = ( a+ b)( a ab+ b ) Příklad 6 Vypočtět intgrál d 8 6 9 - -
Základní nurčité intgrály d d d d = = = 8 6 9 8 (6+ 9 ) 8 (+ ) + 9 (+ ) = d + arcsin = + C Použili jsm vztah [6] z tabulky + Poznámka I když všchny primitivní funkc k funkci f( ) mají až na konstantu stjný tvar, můž s stát, ž při použití různých intgračních mtod dostanm pokaždé trochu jiný výsldk V tomto případě j vždy možno přvést jdn tvar výsldku na druhý Například první mtodou dostanm tg d = + C Jinou mtodou nám vyjd cos cos tg cos d = + tg + C sin cos + sin jsou správné, nboť + tg = + = = cos cos cos Oba výsldky Kontrolní otázky Kolik primitivních funkcí istuj k funkci K ktré funkci j funkc F( ) = (ln ) primitivní? J funkc sin sin primitivní funkc k funkci J funkc + primitivní funkc k funkci arctg?? Uvďt něktré z nich cos? 5 Lz při výpočtu násldujícího intgrálu použít naznačný postup? + ( + ) d = d + d 6 Platí sin d = d sin d? Úlohy k samostatnému řšní d) d b) d ) ( ) d + 8 d f} + d + d + - 5 -
( ) d b) ( + cos sin ) 6 d) sin cos d ) d) 5 d + 9 b) d + + ) d b) ln d) sin + d d cotg d f} d + d f) d arccos ) tg d f) 5 0 + 5cos + + d b) + d d) + + d Výsldky úloh k samostatnému řšní ) 5 5 + C; b) 6 + + C; C ) b) f) d) + +C f) arctg C + sin + C; tg cotg + C; d) tg+ C arctg + C ; b) + + Základní nurčité intgrály d sin cos cos d cos d + 7 d d + d + + ( + ) d cotg d cos + ; d) + + + C; + + C ; ln ln cos + C ; ) cotg + C; arctg + C ; arctg + C ; + + arctg + C ; ) arcsin + C ; f) arcsin + C ln ln + C ; 6 + ; ln ( ) b) ln arccos C + + C ; d) cos + + C ; ) ln cos + C ; - 6 -
Základní nurčité intgrály ( ) f) ln + +C 5 arcs in + C; d) 7 0 + 5sin + arctg + C; b) ln0 7 + arctg + C ; ) tg 5+ C + arctg + C ; Kontrolní tst K ktré funkci j funkc + arctg + + ( + ) = + + primitivní? F( ) arctg ln( ) 6 6, b) arctg, arctg +, d) ( + ) ( + ) K ktré funkci j funkc = primitivní? F( ) arcsin, b) +, ( + ), d) K ktré funkci j funkc + F( ) ( ), b) = primitivní? ( + ),, d) ( ) (+ ) Vypočtět nurčitý intgrál + d 9 7 6 7 C + +, b) + + + C, 9 + C, d) 9 7 7 + + C - 7 -
Základní nurčité intgrály 5 Vypočtět nurčitý intgrál ( ) d 6 ( ) + ( ) + C, b) ( ) ln + ( ) ln + C, + C, d) + + C ln ln ln ln 6 Vypočtět nurčitý intgrál + + d ln + C, b) 5 C 5 +, 5 ln + C, d) ln 6 + cos 7 Vypočtět nurčitý intgrál d + cos cotg C + +, b) + cotg + C, d) tg 8 Vypočtět nurčitý intgrál cotg d + C + tg + C, + + C cotg + C, b) tg + C, cotg + C, d) 9 Vypočtět nurčitý intgrál 8 d + + + C, b) 8ln + C, d) + C sin + + + C, + C - 8 -
0 Vypočtět nurčitý intgrál d 5 + arccos + C, b) arcsin + C, + arcsin + C, d) arccos + C Základní nurčité intgrály Výsldky tstu b); ; b); ; 5 ; 6 ; 7 b); 8 ; 9 d); 0 Průvodc studim Pokud jst správně odpověděli njméně v 8 případch, pokračujt další kapitolou V opačném případě j třba prostudovat kapitoly a znovu Shrnutí lkc V prvých dvou kapitolách jst s sznámili s pojmy primitivní funkc a nurčitý intgrál Oprac intgrování (tj oprac určování primitivní funk a drivování jsou navzájm invrzní Tabulka obsahuj přhld základních intgrálů Doporučujm vytisknout si tuto tabulku, nboť bud využívána v dalších kapitolách při intgraci složitějších funkcí Všchny příklady a cviční v kapitol vyřším tak, ž intgrovanou funkci upravujm, až dostanm základní intgrály uvdné v tabulc - 9 -