Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =. Definiční obor dané funkce je celá reálná osa R. Daná funkce není na svém definičním oboru prostá. Proto k této funkci inverzní funkce neeistuje. Příklad 4. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční obor je D f =, +. Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =, + a obor hodnot H f =, +, je inverzní funkce dána předpisem f = +, D f = H f =, + a H f = D f =, +. Příklad 5. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční je D f =,,. Typeset by AMS-TEX
Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, 3, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =,, a obor hodnot H f =, 3, +, je inverzní funkce dána předpisem { + pro 3, + f = + pro, D f = H f =, 3, + a H f = D f =,,. Příklad 6. Nalezněte definiční obor funkce f = ln ln 5 + 6. Definiční obor nalezneme z nerovností ln 5 + 6 > 5 + 6 >. Z nich plyne ln 5 + 6 < 3 > = = 5 + 6 < e, 3, + = = 5 + + 4e 5 + 4e <, 3, + = 5 + 4e =, 5 + + 4e, 3, + = 5 + 4e = D f =, 3, 5 + + 4e. Příklad 7. Naleznete definiční obor funkce f = 9 + ln 3. Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů 9 3 > = ±3 + > = =,, 3 3, + = D f =,, 3 3, +. Příklad 8. Nalezněte inverzní funkci k funkci f = e +.
Definiční obor této funkce je D f = R a její obor hodnot je H f =, +. Funkce je prostá, a proto k ní inverzní funkce y = f eistuje. Najdeme ji jako řešení rovnice = e y +. Z ní snadno dostaneme vztah y = + ln. Tedy inverzní funkce je f = + ln. Její definiční obor je D f = H f = + a její obor hodnot je H f = D f = R. Příklad 9. Nalezněte definiční obor funkce f = ln cos 3 /3. Definiční obor dané funkce najdeme z podmínky cos 3 /3 ekvivalentní vztahu cos 3. Čili cos 3 Tedy D f = k Z = cos 3 ± = 3 π 4 + kπ k π, k + π., k Z = + k >. To je π, k Z. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = arcsin Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů + + Z nich plyne + = +. +. = + > + < = = = D f =,. Příklad. Vyjádřete funkce f = argsinh pomocí logaritmů. Funkce y = argsinh je inverzní funkcí k funkci f = sinh = e e. Tedy je řešením rovnice = ey e y. Z této rovnice dostaneme e y e y = = e y = + = e y = ± +. Protože e y >, musíme v posledním vztahu vzít pouze znaménko +. Pak snadno dostaneme y = argsinh = ln + +. 3
Cvičení Číselné množiny arccos Příklad. Najděte definiční obor funkce f =. + Funkce f je dána předpisem f = ep její definiční obor dán nerovnostmi ln + arccos. Proto je + > + = =,, + = =, = D f =,. Příklad. Najděte supremum a infimum množiny M = { R ; < }. Množina M je dána nerovnostmi nebo = < = < = < =. Tedy množina M je interval M = /, +. Protože množina M není shora omezená, neeistuje v R supremum. inf M =. Příklad 3. Nech Q značí množinu všech racionálních čísel. Najděte supremum a infimum množiny M = { Q ; } : a v množině Q; b v množině R. Množina M obsahuje všechna racionální čísla, pro která je. Protože není racionální číslo, neeistuje v množině Q supremum ani infimum této množiny. Naproti tomu v množině reálných čísel R je sup M = a inf M =. Příklad 4. Dokažte, že pro každé n N platí nerovnost 3 4... n n < n +. 4
Dané tvrzení lze dokázat matematickou indukcí. Nejprve ukážeme, že tvrzení platí pro n =. To znamená, že <, což je pravda. 3 V dalším kroku předpokládáme, že uvedené tvrzení platí pro n N, a za tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Tedy předpokládáme, že platí 3 4... n n a musíme ukázat, že z toho plyne vztah Podle předpokladu platí nerovnost < n + 3 4... n n + n n + <. n + 3 3 4... n n + n n + < n + n + n + = n + n +. Ze vztahu n + n + 3 = 4n + 8n + 3 < 4n + 8n + 4 = n + získáme n + nerovnost n + <. Z toho a předchozí nerovnosti již plyne požadovaná n + 3 nerovnost. Příklad 5. Mezi členy aritmetické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = a n + d, kde d je konstanta. Dokažte, že pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vztah n s n = a k = a + a + + a n = n k= a + a n. Tvrzení dokážeme indukcí. Pro n = dostaneme s = a = a + a. Tedy pro n = naše tvrzení platí. Dále předpokládáme, že pro n N platí s n = n a + a n. Z tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Pro s n+ dostaneme s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = n a + a n + an+. Pro n tý člen aritmetické posloupnosti platí a n = a + n d. Toto tvrzení dokážeme opět indukcí. Je zřejmé pro n = tvrzení platí. Předpokládejme, že platí pro n N. Člen a n+ je dán vztahem a n+ = a n + d = a + n d + d = a + nd. Tím je vztah a n = a + n d dokázán pro všechna n N. 5
Z výše odvozené relace pro s n+ dostaneme s n+ = n a + a + n d + a + nd = n + a + = n + a + a + nd = n + a + a n+. nn + d = Tím je uvedené tvrzení dokázáno pro všechna n N. Příklad 6. Mezi členy geometrické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = qa n, kde q je konstanta. Dokažte, že když q platí pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti vztah s n = n k= a k = a + a + + a n = a q n q. Důkaz provedeme matematickou indukcí. Pro n = má naše tvrzení tvar s = a = q a, a tedy platí. q Nyní předpokládáme, že tvrzení platí pro n N a z tohoto předpokladu dokážeme jeho platnost pro n +. Protože pro n + ní člen geometrické posloupnosti platí a n+ = a q n, dostáváme q n s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = a q + a q n q n+ = a. q Příklad 7. Nechť f = arccotg a M =,. Najděte obraz množiny M při zobrazení f, tj. množinu fm. Funkce f = arccotg je inverzní funkcí k funkci cotg. Protože je funkce cotg klesající, je také funkce f = arccotg klesající. Navíc je funkce arccotg spojitá na celé, R. Proto je obraz intervalu M =, interval. Protože platí arccotg = π a pro velká záporná se hodnota funkce f = arccotg blíží k π, je obraz 4 množiny M roven fm = π/4, π. Příklad 8. Nechť má funkce f tvar f = a + b a platí f = a f3 = 5. Najděte f a f. 6
Nejprve určíme konstanty a a b. Z rovností f = b = a f3 = 3a + b = 5 dostaneme a = 7 3 a b =. Tedy f = 7 3. Odtud plyne f = 3 a f = 8 3. Příklad 9. Najděte funkci f tvaru f = a + b c, jestliže je f = 5, f = 3 a f4 = 9. Konstanty a, b a c musí splňovat soustavu rovnic f = a + b = 5, f = a + b c = 3, f4 = a + b c 4 = 9. Z této soustavy rovnic plyne a = 5 b, b c = 5, b c 4 = 75 = c4 c = c + = 5 = = c = 4 = c = ± c = c =, b = 5, a = = f = + 5. Příklad. Nechť má funkce f definiční obor D f =,. Najděte definiční obor funkce g = fln. Definiční obor funkce g určíme z podmínky < ln <. To znamená, že D g =, e. Příklad. Najděte z jako funkci a y, jestliže platí arctg z = arctg + arctg y. Podle definice platí pro každé R rovnost tg arctg =. Pro jednoduchost označme α = arctg a β = arctg y. Pak platí tg α = a tg β = y. Z definiční rovnice dostaneme z = tg arctg z = tgα + β = tg α + tg β tg α tg β = + y y. Příklad. Nechť je ϕ = sgn a ψ =. Najděte funkce ϕ ϕ = ϕ ϕ, ψ ψ = ψ ψ, ϕ ψ = ϕ ψ a ψ ϕ = ψ ϕ. V případě ϕ ϕ dostaneme pro > rovnost sgn sgn = sgn = ; pro = dostáváme sgn sgn = sgn = a pro < rovnost sgn sgn = sgn =. Tedy ϕ ϕ = ϕ. 7
V případě ψ ψ dostaneme ψ ψ = =,. / V případě ϕ ψ dostáváme pro > vztah ϕ ψ = sgn / = a pro < vztah ϕ ψ = sgn / =. Tedy ϕ ψ = sgn a definiční obor této funkce je R \ {}. V případě ψ ϕ je pro > ψ ϕ = a pro < je ψ ϕ =. Tedy ψ ϕ = sgn s definičním oborem R \ {}. Příklad 3. Najděte f, jestliže platí f =. + Označme y =. Pak je = y. Po dosazení do daného vztahu dostaneme + y y fy =. Tedy f = y. Příklad 4. Je funkce f = ln sudá nebo lichá? + Platí f = ln + = ln + = f. Funkce je lichá. Příklad 5. Najděte nejmenší periodu funkce f = sin + sin + 3 sin 3. Funkce f je součtem tří periodických funkcí f = sin, f = sin a f 3 = 3 sin 3. Jejich nejmenší periody jsou po řadě L = π, L = π a L 3 = 6π. Nejmenší perioda je nejmenší společný násobek těchto tří period. Tedy nejmenší perioda je L = 6π. Příklad 6. Najděte nejmenší periodu funkce f = cos + sin. Funkce f je součtem dvou periodických funkci f = cos a f = sin. Jejich nejmenší periody jsou L = π a L = π. Protože je iracionální číslo, neeistují přirozená čísla p a q taková, že p = q. Daná funkce není periodická. 8
Příklad. Najděte itu n Daný výraz lze upravit na tvar n + 3n + 3n 8 n n 3 n + Cvičení 3 Limity posloupností n + 3n + 3n 8 n 3 n. + + /n3 + /n3 8/n = n /n + /n 3 = 8. n Příklad. Podle definice ukažte, že n n 3 + =. K danému ε > máme najít n N tak, aby pro každé n > n bylo Platí nerovnosti n n 3 + n n 3 = n n. Proto stačí zvolit n < ε. Tedy lze vzít jakékoliv n > ε. n n 3 + < ε. n + 4 n 4 Příklad 3. Najděte n n + 3 + n 3. Daný výraz lze upravit na tvar n + 4 n 4 Tedy n n + 3 + n 3 = 4. n + 4 n 4 n + 3 + n 3 = 8n3 + 8n n 3 + 6n. Příklad 4. Najděte n n +! + n!. n +! n! Daný výraz lze například napsat ve tvaru n +! + n! n +! n! n +! + n! Tedy n n +! n! = n! n + n + n! n + n n = 4n + n + 4n. =. 9
n+3 + 3 n Příklad 5. Určete n n+8 3 n+. Po zkrácení 3 n dostaneme n n+3 + 3 n 3 /3 n + n+8 = 3n+ n 8 /3 n 3 = 3. a n Příklad 6. Kolik je, kde a >? n + an Pro a > je n an = +. Proto je pro a > n a n + a n = n Pro a = je daný výraz roven konstantě a n =, a tedy 3 n Pro < a < je n an =. Proto je n a n + a n =. a n + =. a n + a n = 3. 5n sin n! Příklad 7. Najděte n n +. Posloupnost sin n! je omezená, protože sin n!. Neboť 5n sin n! n n + =. n 5n n + =, je 5n cos n Příklad 8. Najděte n 3n + 7. Tato ita neeistuje. Je jednoduché ukázat, že n 3n + 7 = 5. Ale již není tak 3 snadné ukázat, že posloupnost a n = cos n nemá itu. Přesto kdybyste se moc snažili, ukážete, že množina hromadných bodů této posloupnosti je celý interval,. Ale spíš si to jen pamatujte. 5n Příklad 9. Najděte itu 4 n. n n
Jak by měl každý vědět, je tato ita rovna 4 n = e n n 4. Nedokazujte to, ale taky si příklady podobného typu spíš pamatujte. 3n+ n + 3 Příklad. Kolik je? n n Daný výraz lze upravit ne tvar 3n+ n + 3 = + 4 3n+. n n 3n+ n + 3 Tedy byste měli vědět, že = e 6. n n Příklad. Najděte n ln +. n n Protože víme, že + n = e, dostaneme n n n ln + =. n n Příklad. Dokažte, že platí následující věta: Nechť α n = a β n = ±. n n βn Pak je + αn = ep α nβ n. n n Daný výraz je typu. Proto jej upravíme na tvar βn + αn = e β n ln +α n = ep β n α n ln + α n. α n Pak je ale n + αn βn = ep n βn α n n ln + α n α n. Ale podle předchozího příkladu lze tušit toto tvrzení dokážeme později, že ln + α n =. Proto platí n α n n βn + αn = ep α nβ n. n
Příklad 3. Najděte + n n +3 n n 3. + Z předcházejícího příkladu plyne, že stačí najít + n n +3 n n 3 = e. + n n n n 3 + 3 =. Tedy + Příklad 4. Určete hromadné body posloupnosti,, 4, 8, 7 8,..., n, n n,.... Tato posloupnost je složena ze dvou podposloupností těchto posloupností jsou n posloupnosti a n jsou body a. n = a n n a n n. Limity n n =. Tedy hromadné body Příklad 5. Najděte hromadné body posloupnosti a n = 3 4 + cos nπ. 3n Daná posloupnost je součtem dvou posloupností. První posloupnost 3 4 3n má itu 3. Druhou posloupnost lze napsat ve tvaru cos nπ = n. Tato posloupnost má hromadné body ±. Proto jsou hromadné body dané posloupnosti rovny 5 a Příklad 6. Určete hromadné body posloupnosti, 3, 3, 4, 4, 3 4,..., n, n,..., n n,.... Posloupnost a n obsahuje všechna racionální čísla z intervalu,. Proto je množina hromadných bodů této posloupnosti celý interval,.
Cvičení 4 Limity funkcí Příklad. Najděte itu. Platí = a =. =. Podle věty o podílu it je tedy Příklad. Najděte itu. Platí = a =. Proto daný výraz upravíme. Protože je = + + = + + = = = + + = 3. Příklad 3. Najděte itu Platí + upravit. Platí + = + a + + =. = +. Proto musíme daný výraz + / / / =. Příklad 4. Najděte itu. Platí = a =. Proto je daný výraz v okolí bodu = neomezený. Pro > je >. Tedy výraz je v pravém okolí bodu = kladný. Z toho důvodu je + = +. Na druhé straně je pro < < výraz <. Tedy nabývá záporných hodnot. Proto je Protože jsou ity zleva a zprava různé, neeistuje. =. 3
Příklad 5. Nechť je a n b m. Dokažte, že platí + a n n + a n n + + a + a b m m + b m m + + b + b = Daný výraz lze upravit na tvar pro n < m a n pro n = m b m ± pro n > m + a n n + a n n + + a + a b m m + b m m + + b + b = a n n m + a n n m + + a m + a m + b m + b m + + b m + b m. Proto je pro n < m tato ita rovna nule, pro n = m je tato ita rovna a n pro n > m je ita rovna ±. Navíc je zřejmé, že znaménko této ity je stejné jako znaménko součinu a n b m. b m a + + + 3 Příklad 6. Najděte itu. Jde o itu výrazu. Proto výraz upravíme. Platí + + + 3 = 6 + + 6 3 = 6++6 = 6. Příklad 7. Najděte itu 3 + 6 5. Jde o itu výrazu typu. Proto daný výraz upravíme. Protože platí = + a 3 + 6 = + 4, dostaneme 3 + 6 5 = + + 4 5 = + + 4 5 = 5 3. Příklad 8. Nechť m a n jsou přirozená čísla. Najděte itu m n. 4
Jde o itu výrazu. Proto výraz nejprve upravíme. Platí m = m + m + + + a podobně pro n. Proto je daná ita rovna m n = m + m + + + n + n + + + = m n. Příklad 9. Najděte itu + + + +. Protože jde o ity výrazu typu, nejprve tento výraz upravíme. Po zkrácení dostaneme + + + = + + + 3 + + =. + Příklad. Najděte itu. Jde o itu typu. Proto výraz upravíme. Platí + + + + = = + + + + =. + 3 + Příklad. Najděte itu 3. 9 Jde o itu typu. Proto daný výraz nejprve upravíme. Platí 3 + 3 + 9 + 3 + + 3 + + = 3 = 9 + 3 + + = 3 3 3 3 + 3 + 3 + + = 6. 5
Příklad. Najděte itu 4 + 3. Jde o itu typu. Proto daný výraz upravíme. Platí 4 = 4 + 3 4 4 = 4 + 3 + + 3 + = + + 3 + + + + 3 = 4 3. Příklad 3. Dokažte, že sin =. Z definice funkce sin pomocí jednotkové kružnice plynou pro kladná z obsahů ploch nerovnosti sin cos < < tg = sin sin = cos < cos < cos. sin Protože cos = dostáváme z věty o sevření vztah + f = sin sin je sudá, plyne z toho také =. Tedy =. Protože funkce sin =. tg 3 Příklad 4. Najděte itu. Jde o itu typu. Proto výraz nejprve upravíme. Dostaneme tg 3 protože je sin 3 3 =. = sin 3 cos 3 = 3 cos 3 sin 3 3 = 3, cos Příklad 5. Najděte itu. Jde o itu typu. Tedy výraz nejprve upravíme. Platí cos sin / = = sin / / =. 6
Příklad 6. Najděte itu sin +. + Protože je + = + + = =, + + + + + + + + = jde o itu typu. Tedy daný výraz nejprve upravíme. Platí sin sin + = + +. + + + + sin Protože je = a + =, je + sin + =. + + Dále platí Tedy + = + = + + + =. + sin + = +. Důležité ity jsou + e = e a + + + + + + = =. Příklad 7. Najděte itu Daný výraz upravíme na tvar + + 3 = + + 3+ +. 3 3+ = + + 5 3 + 5 3 + 7 3+ = 3 + 5 3 = e 5.
ln + Příklad 8. Najděte itu. Jde o itu typu. Po úpravě dostaneme ln + = ln + / = ln + / = ln e =. + Příklad 9. Najděte itu. + Protože je + + = 3 a = + =, je + = + 3. Příklad. Najděte itu. Hledaná ita je typu. Proto je = / = e. Příklad. Nechť je funkce y = f definována v okolí bodu = +. Přímka y = k + q se [ nazývá asymptota ] ke grafu funkce y = f v bodě = +, jestliže platí f k + q =. Dokažte, že pro konstanty k a q platí vztahy + k = f + [ ] a q = f k. + Podobně se definuje asymptota v bodě =. 8
[ ] f k q Protože musí platit f k+q =, musí platit =. + f [ Z toho plyne, že k =. Pro toto k dostaneme ze vztahu f + + k + q ] [ ] = pro q výraz q = f k. + Příklad. Najděte asymptoty funkce f = Pro k dostaneme k = najdeme ze vztahu q = f ± [ ] f k = ± ± 3 + v bodech = ±. 3 = ± =. Konstantu q pak + 3 + Tedy asymptoty v bodech = ± jsou y =. + = ± =. + Příklad 3. Najděte asymptoty funkce f = + v bodech = ±. f Směrnici asymptoty k najdeme ze vztahu k = ± = + = ±. [ ] ± Koeficient q musí splňovat vztah q = f k. Tedy v bodě = + ± [ dostaneme q = + ] =. Tedy asymptota v bodě = + je + y = + [. Podobně v bodě = je q = + + ] =. Tedy asymptota v bodě = je y =. Příklad 4. Najděte body nespojitosti funkce f = charakter. Funkce f = Protože je druhu. a určete jejich + je spojitá na celé reálné ose s výjimkou bodu =. + =, je nespojitost funkce f v tomto bodě druhého + Příklad 5. Najděte body nespojitosti funkce f = charakter. + a určete jejich 9
Funkce f = + je spojitá na celé reálné ose s výjimkou bodů = a = ±. Funkci f lze upravit na tvar f =. Protože platí + a + + = =, má funkce f v bodech = a = odstranitelnou nespojitost. V bodě = je =. Tedy bod = je bodem + + nespojitost funkce f druhého druhu. + Příklad 6. Funkce f = 3 není definována v bodě =. Určete f + tak, aby byla funkce v bodě = spojitá. Aby byla funkce f v bodě = spojitá, musíme ji tam dodefinovat její itou. Tedy f = = + 3 = + + + + 3 + + /3 + + /3 + = = 3 + +. + + + /3 + + /3 + + /3 + + /3 + = Příklad 7. Funkce f = sin sin není definována v bodě =. Určete f tak, aby byla funkce v bodě = spojitá. Aby byla funkce f v bodě = spojitá, musíme ji tam dodefinovat její itou. Protože je sin = a funkce sin musíme položit f =. je omezená, je sin sin = Tedy
Cvičení 5 Derivace Příklad. Najděte derivaci funkce f = 3 + 3 +. Funkci f lze zapsat ve tvaru f = 6 3 5 3 4 + 3 +. Podle věty o linearitě derivace a známého vztahu n = n n je f = 5 5 4 3 + 6 +. Příklad. Najděte derivaci funkce f = +. Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f =, snadno dostaneme + f = 4 +. Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = + ln. Pomocí věty o derivaci podílu získáme f = + ln = ln. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f =. Když napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln = + ln. Příklad 5. Najděte derivaci funkce f =.
Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln + = ln +. Příklad 6. Najděte derivaci funkce f = ln arctg. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = arctg +. Příklad 7. Najděte derivaci funkce f = log + +. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = ln + + + = + ln +. Příklad 8. Najděte derivaci funkce f = ln lnln. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = lnln ln. Příklad 9. Najděte derivaci funkce f = arcsin. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = arccotg tg.
Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = + tg cos = cos + sin =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln. Funkci f přepíšeme do tvaru f = e ln. Podle věty o derivaci složené funkce dostaneme f = e ln ln = +ln ln. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln tg Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = = tg/ cos / sin3 sin cos sin 4 4 sin/ cos/ sin cos sin 3 = sin + cos sin 3 = sin 3. = cos sin. = sin + sin + cos sin 3 = Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = cotg + ln sin. Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = cotg + sin + cos sin = sin sin = = cos sin = cotg. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f = arctg + ln +. 3
Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = arctg + + + + = arctg + + = arctg + + + + + + + = + + = arctg +. + = Příklad 5. Najděte derivaci f funkce f = + arcsin +. V některých případech když hledáme derivaci funkce f v daném bodě, není třeba hledat derivaci v obecném bodě, ale určit derivaci pomocí definice. Například v tomto případě je f =. Tedy podle definice derivace je f = h [ + h + h + h arcsin h + h = + h arcsin ] = + h + h = + arcsin = + π 4. Jinak lze výpočet zjednodušit i jiným způsobem. Podle věty o derivaci součtu a součinu je f = + arcsin + + [ arcsin Protože v bodě = je + rovno a derivace funkce v tomto bodě omezená je f = + arcsin [ + arcsin + + ]. [ arcsin ] = = + π 4. + ] je Příklad 6. Nechť je D tzv. Dirichletova funkce, která je definována předpisem { pro iracionální D = pro racionální. 4
Najděte derivaci funkce f = D v bodě =. Protože funkce D není spojitá dokonce v žádném bodě, musíme se pokusit najít derivaci f pomocí definice. Podle ní je f = h fh f h = h h Dh h = h hdh. Protože platí hdh h, je tato ita rovna nule. Tedy f =. Příklad 7. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = e v bodě =. Pro je f = e = e. Tedy f + =. Pro je f = e = e. Tedy f =. Příklad 8. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = 3 v bodě =. Derivace funkce f = 3 je v obecném bodě různém od nuly dána vztahem f = 3 /3. V bodě = není tato derivace definována. Proto raději určíme jednostranné derivace přímo z definice. Pro platí 3 f + h = = h /3 = +. h + h h + Pro platí f + = h 3 h h = h h /3 =. Příklad 9. Najděte derivaci f funkce f = sin pro a f =. Protože je f =, je funkce f v bodě = spojitá. Lze se tedy pokusit najít její derivaci. Derivace funkce f v obecném bodě je f = sin cos. Tato funkce ale nemá itu v bodě =. Přesto je [ f = h sin h ] h h = h sin =. h h Tedy derivace funkce f = sin v bodě = eistuje a je rovna nule. Uvědomte si, že derivace této spojité funkce není v bodě = spojitá. 5
Cvičení 6 Diferenciály a geometrický význam derivace Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = cosh +e a =. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = + e = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh Tedy f = a df; h = h. + e. Příklad 3. Najděte diferenciál df ; h, kde f = =. cosh e + e 3 a Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = e + e 3 = e cosh lne + e 3, je f = e cosh sinh lne + cosh Tedy f = 3 a df, h = 3h. e 3e 3. Příklad 4. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π. 6
Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad 5. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu.3. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = a = =.3. Potom je f = f = a f = ln. Tedy f = f = ln. Protože ln. =.6935 dostaneme.3 + ln.3. =.4. Příklad 6. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu ln.. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f = ln, = a = =.. Potom je f = f = a f =. Tedy f = f =. Tedy ln... Příklad 7. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 8. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = 8 a = =. Potom je f = f8 = 9 a f =. Tedy f = f 8 = 8. Tedy 8 9 + 8. = 8.9445. 7
Příklad 8. Pro měření gravitačního zrychlení pomocí kyvů kyvadla se používá vztah g = 4π l, kde l je délka kyvadla, T je perioda kyvu kyvadla. Jak se odrazí T na hodnotě g relativní chyba δ při měření: a délky l; b periody T? Předpokládejme, že l a T jsou přesné hodnoty délky kyvadla a jeho periody. Pak je přesná hodnota gravitačního zrychlení g = 4π l. Jestliže měřením zjistíme délku kyvadla l = l + l, resp. periodu T = T + T l = l l a T = T T se nazývají absolutní chyba a veličiny δl = l a δt = T jsou relativní chyby, l T najdeme z daného vzorce zrychlení g = 4π l, resp. g = 4π l T T. Absolutní chyba nalezeného gravitačního zrychlení je g = g g = 4π l l, resp. g = g g = T T 4π l T 4π l T. Relativní chybu měření g pak definujeme jako δg = g. pomocí g diferenciálů pak dostaneme v prvním případě g = 4π T l tj. δg = δl. Ve druhém případě je g = 4π l T + T 4π l T 8π l T 3 T, tedy δg = δt. Obecně jestliže je znám vztah mezi dvěmi veličinami y = f a z měření veličiny určujeme pomocí tohoto vztahu veličinu y, dostaneme pro absolutní a relativní chyby vztahy y = f f = f + f f a δy = y y f f. Příklad 9. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = arccotg ln + ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = arccotg = π 4 a protože f = ln + + ln + ln / ln / + ln, 8
je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y π 4 =, neboli y = + π 4. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože f = ln, je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y =, neboli y = +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = sin v bodě M = [ π;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = fπ = a protože platí f = e sin ln, je f = cos sin ln + sin. Tedy f π = lnπ. Rovnice hledané tečny je y = lnπ π, neboli y = lnπ + π lnπ +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = cos cosh +3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané tečny je y = 3, neboli y = 3 +. Příklad 3. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = v bodě M = [ ;? ]. cosh + e 9
Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh + e. Tedy f =. Rovnice hledané normály je y =, neboli y = +. Příklad 4. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = + π a protože platí f = 4 e lnsin +, je f = sin lnsin + cos +. sin Tedy f π/ = π. Rovnice hledané normály je π y π = π 4, neboli y = π + π 4 + 3. Příklad 5. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = cos cosh + 3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané normály je 3y =, neboli y = 3 +. Příklad 6. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = ln bodě M = [ /;? ]. v 3
Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f/ = ln 3. Protože f = +, je f / = 8 3. Tedy rovnice hledané normály je 8 3 y = 3 8 + 3 6 ln 3. y + ln 3 =, neboli Příklad 7. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + 3 cos v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = a protože platí f = e lnsin + 3 cos, je f = sin lnsin + cos 3 sin. sin Tedy f π/ = 3. Rovnice hledané normály je 3y = π, neboli y = 3 + π 6. Příklad 8. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = 4 sin + 3 cos v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = 4 a protože platí f = e sin ln4 + 3 cos, je f = 4 sin cos ln4 4 sin 3 sin. Tedy f = ln 4. Rovnice hledané normály je ln 4 y 4 =, neboli y = ln 4 + 4. Příklad 9. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4. 3
Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být rovnoběžná s danou přímkou, jejíž směrnice je k = 4, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body [ ; y ], ve kterém je f = 3 + = 4. Z této rovnice najdeme = ±. Proto jsou body dotyku [; ] nebo [ ; 4]. Rovnice hledané tečny tedy jsou y = 4 nebo y + 4 = 4 +. Hledaná rovnice tečny je y = 4, která se grafu funkce dotýká ve dvou bodech [; ] a [ ; 4]. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 + 3 5, která je kolmá na přímku 6y + =. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být kolmá na danou přímkou, jejíž směrnice je k =, budeme hledat na grafu funkce 3 y = 3 + 3 5 body [ ] ; y, ve kterém je f = 3 + 6 = 3. Z této rovnice najdeme =. Proto je bod dotyku [ ; 3]. Rovnice hledané tečny tedy je y + 3 = 3 +, neboli y = 3 6. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá na přímku y =. Směrnice dané přímky je k p =. Protože hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být její směrnice rovna k t =. Protože směrnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je k t = f, musí pro platit rovnice f = =. Tedy bod dotyku je [; ln ]. Rovnice hledané tečny je tedy y ln =, neboli y = + ln. Příklad. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou + 4y =. Daná přímka má směrnici k p = 4. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály rovnoběžné s danou přímkou, musí pro bod platit f = 4 = 4. Z toho plyne = 4 a y = f = 5. Rovnice hledané normály je tedy y 5 = 4, neboli 4 y = 4 + 6. 3
Příklad 3. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá na přímkou y = + 4. Daná přímka má směrnici k p =. Přímka kolmá na tuto přímku má směrnici k =. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály kolmé danou přímkou, musí pro bod platit f = =. Z toho plyne = a y = f =. Rovnice hledané normály je tedy y =, neboli y =. Příklad 4. Ke grafu funkce y = + 9 veďte tečny, které procházejí bodem [; ]. + 5 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ] ; y tak, aby přímka y y = f procházela bodem [; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je y = + 9 + 5 a f 4 =, budeme hledat + 5 řešení rovnice + 9 + 5 = 4 + 5, čili +8 +45 =. Její řešení jsou = 3 nebo = 5. Hledané body dotyku proto jsou [ 3; 3] nebo [ 5; 3/5]. Protože je f 3 = a f 5 =, dostáváme dvě tečny y 3 = + 3, neboli 5 y =, a y 3 5 + 5 =, neboli y = 5 5. Příklad 5. Ke grafu funkce y = veďte tečny, které procházejí bodem [ ; ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ; y ] tak, aby přímka y y = f procházela bodem [ ; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je f =, musí splňovat rovnici =, čili =. Její řešení jsou = ±. Tedy hledané body dotyku jsou [ + ; ] a [ ; ]. Protože je f + = 3 + a f = 3, jsou rovnice hledaných tečen 33
y + = 3 +, neboli y = 3 + +, a y + + = 3 +, neboli y = 3. Příklad 6. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 =. Směrnice dané přímky je k p =. Proto musí být směrnice tečny rovna k t =. Budeme tedy na hyperbole hledat body [ ; y ] takové, aby y = f =. Předpokládejme, že jsme našli řešení y = y rovnice 7 y = 4. Jestliže derivujeme tuto rovnice, dostaneme v bodě vztah 4 4y y =. Hledané body dotyku [ ; y ] tedy musí proto splňovat vztahy 4 8y = a 7 y = 4. Řešení této soustavy rovnice nám dá dva body dotyku [4; 7] a [ 4; 7]. Eistují tedy dvě tečny s danými vlastnostmi: y 7 = 4, neboli y =, a y + 7 = + 4, čili y = +. 34
Cvičení 7 L Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů Příklad. Dokažte nerovnost sin sin y y. Uvažujme funkci f = sin. Protože je f = a f = cos, eistuje podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě číslo ξ,, pro které platí rovnost f f = sin = cos ξ. Protože je cos ξ dostaneme pro > nerovnost sin. Tedy pro platí nerovnost sin. Pomocí vztahu sin sin y = cos + y sin y dostaneme sin sin y = cos + y protože cos + y a sin y sin y y. sin y y, cosh cos Příklad. Najděte. Jde o itu výrazu typu. Protože čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné funkce, lze použít l Hospitalovo pravidlo. Pomocí něj dostaneme cosh cos sinh + sin =. Limita je opět typu. Proto použijeme l Hospitalovo pravidlo ještě jednou a dostaneme cosh cos = sinh + sin = cosh + cos =. tg Příklad 3. Najděte sin. Jde o itu typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Pomocí něj dostaneme tg sin = cos cos = cos cos cos = +cos =. 35
Příklad 4. Najděte cotg. Nejprve najdeme itu cotg. Ta je typu. Ale lze psát cotg = cos sin = cos sin =. Proto je daná ita typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Proto je cotg cotg = sin sin cos = sin sin cos = 3 sin = = sin 6 = 3. = cos sin 6 = Příklad 5. Najděte cos sin. Jde o itu typu. Protože jsou splněny všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla, je jej pro výpočet této ity možné použít. Ale při podrobnějším zkoumání daného výrazu, zjistíme, že se v něm proměnná vyskytuje pouze ve tvaru. Proto je možné zavést pomocnou proměnnou t = a zkoumat itu cos t, pro kterou je použití l Hospitalova pravidla jednodušší. Dostaneme t + t sin t cos sin = cos t t + t t + t sin t = sin t t + t =. Příklad 6. Najděte arcsin arcsin 3. Jde o itu typu. Všechny předpoklady l Hospitalova pravidla jsou splněny. 36
Proto lze psát arcsin arcsin 3 = = 3 4 = 3 + 4 4 Příklad 7. Najděte tgh. tg Daný výraz lze psát ve tvaru cosh sinh cos sin 4 3 = 4 = = 3 3 = cosh sin cos sinh =. sin sinh Tato ita je typu. Protože jsou splněny všechny předpoklady l Hospitalova pravidla je jej možné k výpočtu této itu použít. Ale přímé použití tohoto pravidla je poměrně pracné. Protože je sin = cosh sin cos sinh sin sinh = sinh cosh sin cos sinh = 3 = sin sinh 3 = 3 sin =, je výhodnější psát sin sinh sinh = = 3. Příklad 8. Najděte + cotg sin. Protože je cotg sin = e sin ln cotg a funkce f = e je spojitá v celém R, stačí najít itu sin ln cotg. Tato ita je typu. Proto ji přepíšeme + na tvar vhodný pro použití l Hospitalova pravidla. sin ln cotg ln cotg = = + + sin = + cotg sin cos sin 37 = + sin cos =.
Tedy + cotg sin = e =. Příklad 9. Najděte e. Jde o itu typu. Proto výraz upravíme. Platí e e = e. To už je ita typu. Proto bychom mohli použít l Hospitalovo pravidlo. Výpočet e se zjednoduší, jestliže použijeme známé ity =. Pak lze psát e e = e = e = e = e =. arcsin Příklad. Najděte / arcsin Máme určit itu výrazu. / = je funkce f = e spojitá, stačí najít itu ep ln arcsin ln arcsin.. Protože arcsin Neboť =, jde o itu typu. Můžeme se tedy pokusit najít tuto itu pomocí l Hospitalova pravidla. arcsin ln = = = arcsin arcsin arcsin 3 = 6 arcsin arcsin 3 = 38 arcsin = 6. =
arcsin Hledaná ita tedy je / = e /6. sin/ Příklad. Najděte. sin Jde o itu typu. Můžeme vyzkoušet l Hospitalovo pravidlo. Dostaneme sin / sin sin / cos / =. cos Ale ita v pravo neeistuje. Proto v tomto případě nevede použití l Hospitalova pravidla k cíli. Proto výraz upravíme. sin / sin = sin sin =, protože první ita je a druhá je rovna nule, neboť sin =. je omezená funkce a Příklad. Najděte y pro funkci y = + arctg. První derivace této funkce je y = arctg +. Druhá derivace je derivace první derivace. Tedy y = arctg + +. Příklad 3. Najděte y 5 pro funkci y = ln. Například postupným derivováním dostaneme y = ln +, y =, y =, y4 = 3 a y 5 = 6 4. Příklad 4. Najděte y pro funkci y = sinh. 39
V tomto příkladě je vhodné použít Leibnizův vzorec uv n = n k= n u k v n k. k Pro u = je u = a u n = pro n > a pro v = sinh je v k = sinh a v k+ = cosh dostaneme sinh = sinh + cosh = sinh + cosh. Příklad 5. Najděte d 6 y pro funkci y = cos cosh. Šestý diferenciál funkce f je definován vztahem d 6 f = f 6 6. Proto musíme najít šestou derivaci f 6 funkce f = cos cosh. Například pomocí Leibnizova vzorce dostaneme cos cosh 6 = cos cosh 6 6 cos + 5+ cosh 6 cos + 4 6 cos cosh + + cosh 3 6 cos + 4 6 cos cosh + 5 + cosh 4 5 6 cos + 6 cosh = 6 = cos cosh 6 sin sinh 3 cos cosh + 8 sin sinh + + cos cosh 96 sin sinh 3 cos cosh. Tedy hledaný diferenciál je d 6 f = cos cosh sin sinh + 58 cos cosh 6. Příklad 6. Najděte y n pro funkci y = cos. Nejdříve určíme několik derivací dané funkce. Platí cos sin. Dále cos = cos = sin + π, = cos sin = cos = 4 cos = 4 sin + π,.... Lze odhadnout, že pro n může platit vztah cos n = n sin + n π. 4
Tento vztah nyní dokážeme indukci. Pro n = jsme platnost tohoto vztahu již ověřili. Zbývá nám ukázat, že z jeho platnosti pro n plyne tento vzorec pro n +. Derivováním dostaneme cos [ n+ = n sin + n = n sin + n π. Tedy tento vztah platí pro všechna n N. π] = n cos + n π = Příklad 7. Dokažte, že Čebyševovy polynomy T m = cosm arccos, m =,,... m splňují rovnici T m T m + m T m =. Derivací dostaneme T m = m sin m arccos m T m = m m m cos m arccos + sin m arccos Po dosazení těchto derivací se daný vztah snadno ověří.. Příklad 8. Laguerrovy polynomy jsou definovány vztahy Dokažte, že L m splňuje rovnici L m = e dm m m e, m =,,,.... L m + L m + ml m =. Návod: Použijte rovnici u + mu =, kde u = m e. Nejprve ověříme vztah u + mu =, kde u = m e. Snadným derivováním dostaneme m e = m m e m e = 4
= m m e m+ e = m m e = m u. Daná rovnice pro funkce L m lze psát ve tvaru e u m + e u m + me u m = = e u m+ + e u m+ + e u m + e u m+ + e u m + me u m = = e u m+ + + e u m+ + m + e u m =. Když derivujeme m+ krát vztah u + mu =, získáme, až na vynásobení funkcí e právě tuto rovnici. Příklad 9. Hermitovy polynomy jsou definovány vztahy H m = m e Dokažte, že H m splňuje rovnici dm m e, m =,,,.... H m H m + mh m =. Návod: Použijte rovnost u + u =, kde u = e. Derivace funkce u = e je u = e = u. Tedy platí náš pomocný vztah. Danou diferenciální rovnici lze zapsat pomocí funkce u = e ve tvaru e u m e u m + me u m = = e u m+ + 4e u m+ + + 4 e u m e u m+ + e u m + me u m = = e u m+ + u m+ + m + u m =. Ale to je až na násobení funkci e vztahu u + u =. vztah, který získáme po m + ní derivaci 4
Cvičení 8 Derivace funkce zadané parametricky a implicitně Nechť jsou funkce = ϕt a y = ψt, t a, b, diferencovatelné. Pokud je dϕ dt t = ϕt pro t a, b pak eistuje inverzní funkce t = ϕ. Její derivace je dt = ϕt kde předpokládáme, že je za t dosazeno t = ϕ. V takovém případě je funkce y = ψ ϕ = ψ ϕ diferencovatelná v intervalu α, β = ϕa, b a pro její derivaci platí dy = y = d ψ ϕ = dψ dt dϕ = ψt ϕt, kde opět bereme t = ϕ. Podobně se najdou i vyšší derivace. Například pro druhou derivaci platí d y = y = d ψt dt dt ϕt = d ψ dt ϕ ϕ. Příklad. Najděte derivaci y funkce definované parametricky rovnicemi = sin t tg t a y =, t π, π. sin t Derivace funkcí = tg t a y = jsou ẋt = cos a ẏt = cos t. Protože je t ẋt pro t π, π, je funkce y = y dobře definována. Pro její derivaci platí dy = y = cos t / cos t = cos t cos t = tg t + tg t = +. Příklad. Najděte derivace y a y funkce definované parametricky rovnicemi = a cos t a y = b sin t, t, π. Protože je ẋt = a sin t a ẏt = b cos t, získáme pomocí obecného vzorce pro derivaci parametricky zadané funkce y = ẏt ẋt = b a cotg t. Druhou derivaci lze určit ze vztahu y = d ẏt dt ẋt ẋt = b a sin 3 t. 43
Příklad 3. Najděte rovnice tečny ke křivce, která je definována parametricky rovnicemi = a cos 3 t a y = a sin 3 t, t, π, v bodě t. Rovnici tečny najdeme ze vztahu y y = y. Zde je = a cos 3 t a y = a sin 3 t. Protože je ẋt = a cos t sin t a y = 3a sin t cos t, je y = 3a sin t cos t 3a cos t sin t = tg t. Tedy rovnice hledané tečny je y a sin 3 t = tg t a cos 3 t. Všimněte si, že problémy nastanou v bodech, kdy je tg t =, tj. v bodech t = k π. V těchto bodech jsou totiž obě derivace ẋ i ẏ rovny nule. Když si načrtnete danou křivku asteroidu, snadno zjistíte, proč nastávají v těchto bodech problémy. Jiná možnost, jak najít rovnici tečny, je napsat její parametrické rovnice. Tečný vektor je τ = ẋ, ẏ. Parametrické rovnice přímky, která prochází bodem [ ; y ] a má směr τ = τ, τ jsou = + tτ, y = y + tτ, kde t R je parametr. Tedy rovnici tečny lze napsat v parametrickém tvaru = a cos 3 t 3at cos t sin t a y = a sin 3 t + 3at sin t cos t, kde t R je parametr. Příklad 4. Nechť je = r cos ϕ a y = r sin ϕ, kde r > a ϕ, π. Najděte tečnu ke křivce, která je definována rovnicí r = + cos ϕ v bodě ϕ. Křivka je dána parametrickými rovnicemi = +cos ϕ cos ϕ a y = +cos ϕ sin ϕ, kde ϕ, π je parametr. Derivace těchto funkcí jsou ẋϕ = sin ϕ cos ϕ sin ϕ = sin ϕ + sin ϕ ẏϕ = cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = cos ϕ + cos ϕ. Derivace ẋϕ = v bodech ϕ = π, ϕ = 3 π a ϕ = 4 π. V těchto bodech není jisté, 3 zda lze najít inverzní funkci k funkci ϕ = + cos ϕ cos ϕ a tedy ani y jako funkci proměnné. V jiných bodech ϕ je Tedy rovnice tečny je y = cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ. y + cos ϕ sin ϕ = cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ + cos ϕ cos ϕ. 44
Stojí za zapamatování si uvědomit, že v bodech ϕ = 3 π a ϕ = 4 π lze vyjádřit ϕ 3 jako funkci y. Proto lze v těchto bodech najít funkci = y a pomocí této funkce najít tečnu. Příklad 5. Nechť je funkce y = y definována jako řešení rovnice e y +y e =. Najděte derivací této funkce v bodě =, y =. Bod [; ] vyhovuje dané rovnici. Leží tedy na dané křivce. Proto je možné hledat v okolí tohoto bodu funkci y = y. Předpokládejme, že jsme tuto funkci našli. Pak pro ni platí rovnice e y +y e =. Jestliže tuto rovnice zderivujeme podle proměnné, dostaneme pro derivaci y rovnici e y y + y + y = neboli + e y y = y. Za předpokladu, že + e y lze z této rovnice vyjádřit y jako y = y + e. y Tedy v bodě [; ] je y = e. Příklad 6. Najděte množinu, ve které eistuje inverzí funkce = y k funkci y = + ln a určete derivaci této inverzní funkce. Definiční obor dané funkce y = f = + ln je D f =, + a její obor hodnot je H f = R. Protože je y = + a spojitá na celém D f, eistuje inverzní funkce = y pro všechna y R. Derivace této inverzní funkce je rovna dy = y = +. Příklad 7. Najděte derivaci funkce y = y definované implicitně rovnicí arctg y = ln + y. 45
Předpokládejme, že jsme našli funkci y = y, která je řešením této rovnice. Pro tuto funkci tedy platí vztah arctg y = ln + y. Jestliže tuto rovnici zderivujeme podle proměnné a předpokládáme, že y = y, dostaneme pro derivaci y vztah y y + y = + yy + y. Z této rovnice získáme vztah y y = + y. V bodech, kde není y =, tj. v bodech, kde neplatí ln = π, lze psát 4 y = + y y. Příklad 8. Nechť je dána funkce y = f. Najděte kružnici S +y y S = R tak, aby procházela bodem [ ; y ] grafu funkce y = f a měla v tomto bodě stejnou první a druhou derivaci jako funkce y = f oskulační kružnice. Jestliže derivujeme rovnici kružnice jako implicitně zadanou funkci v bodě, získáme vztahy S + y y S y = a + y + y y S y =, kde y = f, y = f a y = f. Tedy souřadnice středu kružnice [ S ; y S ] a její poloměr R musí splňovat vztahy Řešení této soustavy rovnic je S + y y S = R S + y y S y = + y + y y S y =. S = + y y y S = y + + y 46 y y
+ y 3/ R = y. Obvykle se nazývá R poloměr křivosti a k = + y 3/ R = y křivost. Množina všech středů oskulačních kružnic [ S ; y S ] se nazývá evoluta dané křivky y = f. Příklad 9. Najděte množinu všech středů křivosti evolutu elipsy dané parametrickými rovnicemi = a cos t, y = b sin t, kde t, π. Podle předcházejícího příkladu máme najít množinu všech bodu [ S ; y S ], kde S = + y y y, y S = y + + y y. Tedy stačí nám najít y a y. V našem případě jde o parametricky zadanou křivku. Příslušné derivace y = b a cotg t a b y = a sin 3 t jsme již našli v příkladě. Po dosazení do příslušných vztahů získáme S t = a cos t a sin t + b cos t cos t = a b a a cos 3 t y S t = b sin t a sin t + b cos t sin t = a b b b sin 3 t, kde t, π. To jsou parametrické rovnice evoluty. Jestliže z těchto rovnic vyloučíme parametr t, dostaneme implicitní vyjádření evoluty ve tvaru a /3 + by /3 = a b /3 = e 4/3, kde e = a b je ecentricita dané elipsy. Příklad. Hmotný bod M se pohybuje v rovině y po elipse s poloosami a b, jejichž jedno ohnisko leží v počátku souřadnic. V polárních souřadnicích = r cos ϕ, a b y = r sin ϕ je rovnice takové elipsy dána rovnici r+ε cos ϕ = p, kde ε = a je relativní výstřednost elipsy a p = b a. 47
Dále platí, že plošná rychlost pohybu bodu M je konstantní, tj. v polárních souřadnicích platí vztah S = r ϕ = konst. Najděte závislost zrychlení bodu M na jeho souřadnicích. Parametrické rovnice bodu M jsou t = rt cos ϕt a yt = rt sin ϕt. Jejich derivováním dostaneme ẋ = ṙ cos ϕ r ϕ sin ϕ ẏ = ṙ sin ϕ + r ϕ cos ϕ ẍ = r cos ϕ ṙ ϕ sin ϕ r ϕ sin ϕ r ϕ cos ϕ ÿ = r sin ϕ + ṙ ϕ cos ϕ + r ϕ cos ϕ r ϕ sin ϕ p Mezi r a ϕ platí podle zadání vztah r = +ε cos ϕp, neboli r = + ε cos ϕ. První derivace ϕ vyhovuje rovnici ϕ = S. Derivací vztahu pro r získáme r ṙ = pε ϕ sin ϕ pεs sin ϕ εs sin ϕ = + ε cos ϕ r =, + ε cos ϕ p kde jsme použili výrazy pro ϕ a p. Najdeme ještě druhé derivace ϕ a r. Snadno dostaneme ϕ = 4Sṙ r 3 r = Sε p = 8S ε p Po dosazení do vztahů pro ẍ a ÿ, získáme ϕ cos ϕ = 4S ε p sin ϕ r 3 cos ϕ r. ẍ = 4S ε p cos ϕ r 8S ε p sin ϕ r + 8S ε p sin ϕ r 4S p = 4S rε cos ϕ p cos ϕ = 4S r cos ϕ = 4S pr3 pr3 p ÿ = 4S ε p cos ϕ sin ϕ r + 8S ε p cos ϕ sin ϕ r 8S ε p = 4S rε cos ϕ p sin ϕ = 4S r sin ϕ = 4S pr3 pr3 p cos ϕ r 3 = + y 3/ cos ϕ sin ϕ r 4S p y + y 3/. sin ϕ r 3 = 48
Cvičení 9 Taylorův polynom Příklad. Nechť má funkce f v bodě derivace až do řádu n včetně. Najděte polynom n P n = a + a + a + + a n n = a k k tak, aby platilo f k = P k n pro všechna k =,,..., n. Pro hodnotu funkce f a hledaného polynomu P n v bodě = musí platit f = P n = a. Tedy a = f. První derivace polynomu P n je k= P n = a + a + 3a 3 + + n n. Tedy v bodě = musí být f = P n = a. Odtud dostaneme a = f. Z druhé derivace polynomu P n, která je P n = a + 3a 3 + 3 4a 4 + + n na n n, získáme v bodě = vztah Z třetí derivace polynomu P n f = P n = a = a = f. P n = 3a 3 + 3 4a 4 + + n n na n n 3, získáme v bodě = vztah f = P n = 3a = a 3 = f 3 = a 3 = f 3! Obecně z k té derivace polynomu v bodě = dostaneme vztah f k = P n k = k!a k = a k = f k. k! Hledaný polynom tedy je P n = f +f + + f n n = n! n k=. f k k. k! Polynom z příkladu se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f se středem v bodě a budeme jej značit například T n f, ;. Pro Taylorův polynom platí vztah f T n f, ; n =. Platí následující 49
Věta: Taylorův vzorec Je-li: funkce f definovaná na uzavřeném intervalu a, b ; f má na tomto intervalu spojité derivace f,..., f n ; 3 pro a < < b eistuje konečná derivace f n+, pak f = n k= f k a k! a k + R n+, a b, kde R n+ = f n+ a + θ a a n+, < θ <, je zbytek v Lagrangeově n +! tvaru, nebo R n+ = f n+ a + θ a θ n a n+, < θ <, je zbytek v n! Cauchyho tvaru. Příklad. Najděte Taylorův polynom stupně n se středem v bodě = pro funkci f = e. Určete zbytek R n+ tohoto polynomu. Funkce f = e má spojité derivace všech řádů na celém R. Protože je f k = e, je pro všechna k N f k =. Tedy pro všechna R platí e = + + + 3 3! + + n n! + R n+ = n k= Zbytek R n+ lze psát například v Lagrangeově tvaru jako R n+ = e ξ n +! n+, kde bod ξ leží mezi body a. Všimněte si, že pro > platí pro zbytek R n+ odhad a pro < odhad Rn+ e n +! n+ Rn+ n +! n+. V obou případech je pro pevné R Rn+ =. Lze tedy pro každé R psát n e = n n k= 5 k k! = n= n n!. k k! + R n+.
Poslední vztah se velmi často využívá k definici funkce f = e. Příklad 3. Najděte Taylorův polynom stupně n se středem v bodě = pro funkci f = sin. Určete zbytek R n+ tohoto polynomu. Funkce f = sin má spojité derivace všech řádů na celém R. Protože pro všechna k N je f 4k = sin, f 4k+ = cos, f 4k+ = sin, f 4k+3 = cos, dostaneme pro derivace funkce f = sin v bodě = vztahy f 4k =, f 4k+ =, f 4k+ =, f 4k+3 =. Tedy pro všechna R platí sin = 3 3! + 5 5! + n n +! n+ + R n+3 = n k = k +! k+ + R n+3. k= Zbytek R n+3 lze psát například v Lagrangeově tvaru jako R n+3 = n+ cos ξ n + 3! kde bod ξ leží mezi body a. Všimněte si, že pro zbytek R n+3 odhad Tedy pro pevné R je Lze tedy pro každé R psát sin = n n k= Rn+3 n+3 n + 3!. Rn+3 =. n k k +! k+ = n= n+3, n n +! n+. Poslední vztah se velmi často využívá k definici funkce f = sin. 5
Příklad 4. Najděte Taylorův polynom stupně n se středem v bodě = pro funkci f = cos. Určete zbytek R n+ tohoto polynomu. Funkce f = cos má spojité derivace všech řádů na celém R. Protože pro všechna k N je f 4k = cos, f 4k+ = sin, f 4k+ = cos, f 4k+3 = sin, dostaneme pro derivace funkce f = cos v bodě = vztahy f 4k =, f 4k+ =, f 4k+ =, f 4k+3 =. Tedy pro všechna R platí cos =! + 4 4! + n n! n + R n+ = n k = k! k + R n+. k= Zbytek R n+ lze psát například v Lagrangeově tvaru jako R n+ = n+ cos ξ n +! kde bod ξ leží mezi body a. Všimněte si, že pro zbytek R n+ odhad Tedy pro pevné R je Lze tedy pro každé R psát cos = R n+ n+ n +!. Rn+ =. n n n k= k k! k = n= n+, n n! n. Poslední vztah se velmi často využívá k definici funkce f = cos. Z příkladů, 3 a 4 plyne, že pokud definujeme pro reálná funkci e i, kde i je imaginární jednotka, pomocí řady dostaneme e i i n = n! n= = n= n n! n + i n= n n +! n+ = cos + i sin. 5
Vztah e i = cos + i sin se nazývá Eulerův vztah a v matematice hraje velmi významnou roli. Příklad 5. Najděte Taylorův polynom stupně n se středem v bodě = pro funkci f = ln +. Určete zbytek R n+ tohoto polynomu. Postupným derivováním funkce f = ln + získáme f = +, f = +, f = + 3, f 4 = 3 + 4,.... Z těchto několika derivací lze odhadnout, že pro každé n může platit vztah f n n+ n! = + n. Tento vztah dokážeme indukcí. Pro n = jsme tento vztah již ukázali. Předpokládejme, že vztah platí pro n N. Pak je f n+ = f n = n+ n! + n = n+ n! + n+, což je ale dokazovaný vztah pro n +. Tedy vztah platí pro všechna n N. V bodě = je f = a pro všechna n platí f n = n+ n!. Tedy koeficienty Taylorova polynomu jsou a = a pro všechna n a n = f n n! Pro všechna, + lze tedy psát = n+ n. ln + = + 3 3 + n+ n + R n+ = n n k k= k k + R n+. Zbytek R n+ lze v Lagrangeově tvaru zapsat pro každé, + jako R n+ = n n n+ + ξ n+, kde ξ leží mezi body a. Pro > platí odhad Rn+ n+ n 53
a pro, je Rn+ n+ n + n+. Protože pro, je Rn+ =, lze pro tato psát n ln + = n k= Například pro = dostaneme n k+ k k = n+ n= n n. ln = + 3 + n+ n n+ + = n n=. Příklad 6. Najděte Taylorův polynom třetího stupně se středem v bodě = pro funkci f =. Abychom našli Taylorův polynom stupně 3 se středem v bodě = stačí najít v tomto bodě první tři derivace funkce f = = e ln. Postupně dostaneme f = f = ln + = f = f = ln + + = f = f = ln + 3 + 3 ln + = f = 3. Tedy hledaný Taylorův polynom je T 3, ; = + + 3. Příklad 7. Funkci f = +, >, rozložte podle celých nezáporných mocnin zlomku do členu 3 včetně. Danou funkci lze přepsat do tvaru f = +. Abychom našli rozvoj této funkce v proměnné, je výhodné zvolit novou proměnnou t = a rozložit 54
+ t funkci ft = podle proměnné t do Taylorova polynomu stupně 3 se t středem v bodě t =. K tomu ale stačí najít Taylorův polynom funkce gt = + t stupně 4 se středem v bodě t =. Měli bychom tedy najít v bodě t = první čtyři derivace funkce gt = + t. Ale pokud si všimneme, že tato funkce je funkcí pouze proměnné y = t, lze nají Taylorův polynom druhého stupně funkce gy = + y se středem v bodě y =. Tedy stačí najít v bodě y = pouze dvě derivace. Postupným derivováním a dosazením získáme Proto lze přibližně psát g = g y = + y = g = g y = 4 + y = 3/ g = 4. gy + y y 8 = gt + t t4 8. Ale z toho dostaneme ft + t t t48 = t t3 8 = f 8 3. Příklad 8. Najděte Taylorův polynom čtvrtého stupně se středem v bodě = pro funkci f = e. Abychom našli Taylorův polynom stupně 4 dané funkce se středem v bodě = musíme zdánlivě najít první čtyři derivace dané funkce v bodě =. Ale jakmile začneme derivovat, snadno zjistíme, že hodnoty těchto derivací musíme hledat pomocí it. Eistuje ale ještě jiná možnost. Když vyjádříme funkci e přibližně pomocí Taylorova polynomu stupně 5 se středem v bodě, tj. e ++ + 3 6 + 4 4 + 5, vidíme, že pro danou funkci platí přibližně vztah e + + 6 + 3 4 + 4. Proto stačí najít polynom P = a + a + a + a 3 3 + a 4 4, pro který je do mocnin 4 a + a + a + a 3 3 + a 4 4 + + 6 + 3 4 + 4 55