Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním kmenem je proto nutné být s vlstnostmi R v tomto kurzu dobře obeznámen. V této části bude nznčen konstrukce reálných čísel budou popsány jejich zákldní vlstnosti. PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Předpokládá se, že množin N = {1, 2, 3, 4,...} přirozených čísel její vlstnosti jsou známé: n N existuje operce sčítání; n N existuje operce násobení; n N existuje lineární uspořádání; Sčítání n + m násobení n m (nebo jen nm) jsou komuttivní (tj., nezáleží n pořdí: m + n = n + m, mn = nm) socitivní (tj., nezáleží n uzávorkování: m + (n + k) = (m + n) + k, m(nk) = (mn)k); nvzájem jsou obě operce distributivní (tj., m(n + k) = mn + mk). Uspořádání 1 < 2 < 3 < 4 <... se zchovává sčítáním násobením (tj., je-li n < m, je i n + k < m + k nk < mk pro libovolné k N). Podle principu mtemtické indukce je N množin obshující s kždým prvkem prvek o jedničku větší. Nvíc je jedničk jediný prvek, který není o jedničku větší než nějký jiný prvek. Aby bylo možné i odčítt libovolná přirozená čísl (tj. vždy vyřešit rovnici x + m = n), musí se přidt 0 záporná čísl 1, 2, 3,... Vzniklá množin Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} se nzývá množinou celých čísel lze n ni vhodně rozšířit operce sčítání násobení i lineární uspořádání. Sčítání n + m i násobení n m (nebo jen nm) v Z jsou opět komuttivní socitivní nvzájem jsou obě operce distributivní. Uspořádání... < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... se zchovává sčítáním (tj., je-li n < m, je i n + k < m + k pro libovolné k Z) násobením přirozenými čísly; znménko nerovnosti se obrcí při násobení zápornými celými čísly. n m Aby bylo možné i dělit libovolná přirozená čísl (tj., vždy vyřešit rovnici xm = n), musí se přidt tzv. zlomky ; n, m N, m 0. Řešení rovnic xm = n x(km) = (kn) jsou stejná, proto i zlomky m n km kn jsou definovány jko stejné. Protože i zlomky je třeb odčítt, přidjí se i záporná čísl množin Q rcionálních čísel se definuje jko množin zlomků Q = { p ; p Z, q N. p, q jsou nesoudělná q N Q lze opět vhodně rozšířit sčítání násobení i lineární uspořádání. Množin Q má tedy následující vlstnosti: n Q existuje operce sčítání odčítání; n Q existuje operce násobení dělení (kromě nulou); n Q existuje lineární uspořádání; }. 1
Sčítání + b i násobení b (nebo jen b) v Q jsou opět komuttivní socitivní nvzájem jsou obě operce distributivní. Uspořádání se zchovává sčítáním (tj., je-li < b, je i +c < b+c pro libovolné c Q) násobením kldnými čísly; znménko nerovnosti se obrcí při násobení zápornými celými čísly. Tyto operce spolu s uspořádáním mjí vzájemné vhodné vlstnosti. Nicméně, jk je známo, npř. nelze v Q odmocňovt. Je možné přidt všechny odmocniny, popř. nějké dlší prvky pro splnění nějkých dlších lgebrických (konečných) opercí dostne se z lgebrického hledisk vhodná množin. Ani tk všk nebude možné používt nekonečné operce, npř. součet nekonečných řd (řd 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5... nebude mít součet). Doplněním tkovýchto nekonečných součtů už se získá vhodná množin pro mtemtickou nlýzu. Přístup pomocí nekonečných součtů není příliš jednoduchý, proto bude vyložen trochu jiný přístup pomocí uspořádání. V kždém přípdě všk je nutné použít operce s nekonečnými množinmi. REÁLNÁ ČÍSLA, SUPREMA A INFIMA DEFINICE. Necht A je částí lineárně uspořádné množiny X. Prvek x X se nzývá horní mezí množiny A, jestliže pro kždý prvek b A je b x. DEFINICE. Nejmenší prvek (pokud existuje) množiny všech horních mezí podmnožiny A se nzývá supremum podmnožiny A znčí se sup A. DEFINICE. Zřejmým zpusobem se definují dolní mez infimum podmnožiny A X (inf A). VĚTA. Mějme podmnožinu A lineárně uspořádné množiny X. Prvek s X je supremem A právě když pltí: 1. Pro kždé A je s; 2. je-li s < s, pk existuje A tkové, že s <. 1. inf je největší prvek X (pokud existuje), sup je nejmenší prvek X (pokud existuje). 2. Pro A X, A, je inf A sup A. 3. Pro A B je inf B inf A, sup A sup B. 4. sup A = sup{x X; x pro nějké A} inf A = inf{x X; x pro nějké A}. DEFINICE. Oznčme R nejmenší lineárně uspořádnou množinu, která obshuje lineárně uspořádnou množinu Q rcionálních čísel ve které existuje sup A ( tedy i inf A) pro kždou podmnožinu A R. R má tedy největší prvek (znčení + ) nejmenší prvek (znčení ). Množin R = R \ {, + } se nzývá množin reálných čísel.. 2
Rozšířenou množinu reálných čísel R lze chápt jko soustvu podmnožin Q, které mjí všechny tu vlstnost, že s kždým svým prvkem obshují i kždé rcionální číslo menší než obshují i své supremum v Q, pokud existuje. V tomto modelu je reálné číslo x menší než reálné číslo y, jestliže podmnožin v Q příslušná k x je částí podmnožiny příslušné k y. Číslu inf A tedy přísluší průnik podmnožin Q odpovídjících prvkům množiny A. Aritmetické operce n rcionálních číslech lze rozšířit n R částečně n R. Pro R pltí: + (+ ) = ( ) = +, + ( ) = (+ ) =, { + pro > 0, (+ ) = pro < 0, { pro > 0, ( ) = + pro < 0, + = = 0, ± = 1 ± pro 0, (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = +, (+ ) ( ) = Některé kombince čísel,,nekonečen" nebo pouze,,nekonečen" v předchozích vzorcích chybějí. Jde o tkzvné neurčité výrzy: 0 (± ), 0 pro R, sčítání,,nekonečen" ruzných znmének, npř.(+ ) + ( ), dělení,,nekonečen" libovolných znmének, npř. + V následující části přibudou dlší operce s nekonečnem dlší neurčité výrzy. OBECNÁ MOCNINA A LOGARITMUS Je známo, že pro reálné číslo n N znmená n zkrácený zápis násobení n stejných čísel rovných. Jestliže se definuje n = 1/ n 0 = 1, to vše pro 0, je n definováno pro n Z kždé R \ 0 (i pro = 0, je-li n N). Mocnin 0 0 se nedefinuje (je to dlší neurčitý výrz). Necht nyní n N. Z dříve uvedených vlstností reálných čísel plyne sndno, že n < b n jkmile 0 < b. Odtud plyne, že pro kždé nezáporné číslo r existuje nejvýše jedno číslo tk, že n = r. Toto číslo se oznčí n r (n-tá odmocnin čísl r). V tomto přípdě je jednoduché ukázt existenci odmocniny n pro > 0 jko sup{q Q; q n } (sndno se dodefinuje pro lichá n záporná n = n ). Důkz se provede následovně. Oznčím w = sup{q Q; q > 0, q n } (musí se vědět, že tkové q existuje, neboli, že 1/k n může být libovolně mlé pro velká k N). Pokud w n, njdeme dvě rcionální čísl q 1 < w < q 2, která jsou tk blízko sobě, že q2 n qn 1 je menší než wn, což je spor (protože w n, (q1 n, qn 2 )). Že to lze, plyne z odhdu q2 n qn 1 = (q 2 q 1 )(q1 n 1 +q1 n 2 q 2 +...+q2 n 1 ) nk n 1 (q 2 q 1 ), kde k N, k > q 2. 3
Vlstně je to důkz rovnosti w = inf{q Q; q n } (pokud by se w definovlo tkto, odpdlo by dokzování toho, že tkové q existuje, le zse by bylo nutné ukázt, že w > 0). Nyní je možné definovt p/q pro libovolná > 0, p Z, q N jko q x p. V Otázkách jsou diskutovány možnosti této definice i pro 0. Číslo r je tedy definováno pro kždé kldné rcionální r. DEFINICE. Necht 1, r R. Pk se definuje r = sup{ s ; s Q, s r}. Pro 0 < < 1 se definuje r = 1/(1/) r. Číslo r se nzývá mocnin čísl, r je exponent (mocnitel), je zákld. 1. Číslo r je vždy kldné. { 2. r < s r > s, pro 0 < < 1; r < s, pro > 1. 3. 0 < < b { r > b r, pro r < 0; r < b r, pro r > 0. Tkže r > 1 právě když bud > 1, r > 0 nebo 0 < < 1, r < 0. DEFINICE. Podle předchozích vlstností existuje pro kždé w > 0, > 0, 1 nejvýše jedno r R tk, že w = r. Toto číslo r se oznčuje log w (logritmus při zákldu ). I tdy lze ukázt existenci přímo. Je to podobné, jko u odmocnin použije se Bernoulliov nerovnost. Pro > 1, w > 0, položíme r = sup{q Q; q w} (opět tkové q existuje, protože = 1 + h, h > 0, 1/(1 + h) n 1/(1 + nh) musíme vědět, že poslední výrz je libovolně mlý). Pokud r w > 0, njdeme q 1 < r < q 2 tk, že q 2 q 1 je libovolně mlý, což je spor, protože w, r leží mezi q 2, q 1. To plyne z odhdu q 2 q 1 = q 1( q 2 q 1 1) < w( 1/n 1) pokud q 2 q 1 < 1/n. Výrz ( 1/n 1) lze pro velká n udělt libovolně mlý (Bernoulli). 1. Číslo log w je kldné právě když bud w > 1, > 1 nebo 0 < w < 1, 0 < < 1. { log w > log 2. 0 < w < u u, pro 0 < < 1; log w < log u, pro > 1. 3. 0 < < b < 1 nebo 1 < < b { log w > log b w, pro 1 < w; log w < log b w, pro 0 < w < 1. Poznámky 1 Otázky 1 1 1 INTERVALY DEFINICE. Intervl v lineárně uspořádné množině X je tková její spoň dvoubodová podmnožin, řekněme J, která s kždými dvěm svými prvky obshuje i všechny prvky mezi nimi, tj. x, y J, x < < y = J. Je-li J intervl v R oznčíme = inf J, b = sup J, pk J má jeden z následujících tvru: 4
uzvřený intervl [, b] = {x; x b}, otevřený intervl (, b) = {x; < x < b}, { [, b) = {x; x < b} polootevřený či polouzvřený intervl (, b] = {x; < x b} Neomezené intervly v R tvru [, + ] nebo (, + ], [, ) pro nějké R se tké nzývjí otevřené intervly v R. DEFINICE. Podmnožin A R je shor omezená, jestliže má v R horní mez, tj. existuje x R tk, že < x pro všechn A (tj. A (, x)). Zřejmým zpusobem se definuje zdol omezená podmnožin R (A (x, + )). Podmnožin A R je omezená, jestliže je shor i zdol omezená, tj. existují reálná čísl x, y tková, že A (x, y). OKOLÍ BODU Při proximcích je potřeb znát, kdy jsou nějké body blízko nebo dokonce libovolně blízko nějké hodnotě. To lze vyjádřit pomocí pojmu okolí, která, podobně jko v normálním jeho význmu, mohou být větší či menší tím lze určovt, které body jsou hodnotě dále nebo blíže. DEFINICE. Množin U se nzývá okolí bodu R, jestliže existuje otevřený intervl J U tkový, že J pro R, J je shor neomezený pro = +, J je zdol neomezený pro =. Podle toho, zd je bod vlstní nebo nevlstní, lze okolí popst následovně: 1. U R je okolí R právě když existuje ε > 0 tk, že ( ε, + ε) U (z ε lze vzít 1/n pro vhodné n N); 2. U R je okolí + právě když existuje n N tk, že (n, + ] U; 3. U R je okolí právě když existuje n N tk, že [, n) U; Uvedené intervly ( ε, + ε) se ze zřejmých důvodů nzývjí symetrická okolí. Stčilo by tedy definovt okolí jko otevřené intervly použité v předchozí chrkterizci, protože kždé jiné okolí tkový intervl obshuje. Nvíc by stčilo brát z ε jen některá kldná čísl, npř. 1/n pro n = 1, 2, 3,... nebo jinou posloupnost kldných čísel blížících se k 0. V některých textech se tkto postupuje, le pro řdu formulcí je vhodnější mít okolí obecnějšího tvru. Pro podmnožiny A, B reálných čísel oznčíme čemuž říkáme součet součin množin VĚTA. Necht, b R. A + B = { + b; A, b B}, A B = {b; A, b B}, 1. Je-li U okolí součtu + b, existují okolí U, U b bodů, b resp., tk, že U + U b U. 2. Předchozí Je-li U okolí tvrzení součinu pltí i b, pro existují přípd, okolí kdy, U b, jsou U b bodů nevlstní, b resp., čísl tk, + že b, U b nebo U b 1/ U. má smysl. 3. Je-li 0 U okolí bodu 1/, existuje okolí U bodu tk, že {1/x; x U } U. 2 5